Почему пространство трёхмерное

Не сходим ли с ума мы в смене пестрой            
 Придуманных причин,пространств, времён
                А. Блок

Пространство трёхмерно потому, что оно антропоморфно.  У Евклида оно изотропно. А в наших ощущениях - анизотропно. Различимы умом:  верх-низ (небо-земля),  право-лево,  вперёд-назад. Идея трёхмерности пространства порождена в нашем уме  соответствующей асимметрией  нашего тела, различимой умом.   Идея протяжённости в уме складывается из оценки  возможностей наших дланей. Будь мы шарами в невесомости, то жили бы  без понятий о пространстве.
Философ Кант доказывал, что пространство и время  лишь феномены нашего сознания. Типа средств модуляции для  формирования образов вещей. Сознание гармонизирует (упорядочивает) наши восприятия на пространственно-временной платформе, трансформируя их в соответствующую  форму. В саму суть вещей пространство и время непосредственно не входят.
Пространство (математическое) - это логически мыслимая структура, служащая средой, в которой осуществляются другие структуры, формы и те или иные конструкции, а также фиксируются отношения между ними.
Вопрос о размерности пространства в математике правомерен, если понятие "мерность" имеет смысл для объектов - элементов пространства. Для тех же векторов оно имеет смысл, поэтому размерность векторного пространства всегда можно определить. Не стоит буквально понимать математические термины. Их смысл иногда очень далек от обыденного.
Не стоит так буквально переносить математические объекты в реальный мир и проводить какие-то аналогии. Математика не претендует на материальную реализацию своих построений. Она лишь дает инструменты для оперирования разнообразными, вполне возможно не существующими в реальности, структурами. Остальные науки пользуются этими инструментами как наиболее подходящими для описания реальных процессов.
Здесь уместно вспомнить о собачках академика Павлова. Помните: звонок мясо, слюна. Многократный повтор. Условный рефлекс. Теперь: звонок, слюна и без получения мяса. Будь собачка «поумнее», у неё вполне могло бы сложится представление, что причиной появления мяса (инструментальным способом создания мяса), является выделение ею слюны. Так и современные учёные считают, что их математические упражнения являются причиной реальных природных процессов. И всякие придуманные ими МЕРНОСТИ действительно есть в природе сами по себе.
Наши представления (конкретный предмет) имеют пространственно-временное определение (место), а вот понятия (например, понятие о стуле вообще) его не имеют. Зато наш ум получает дополнительно непространственное измерение – понятийное.
Подробнее см.
   http://ezotera.ariom.ru/2012/02/15/vremya.htm                http://www.achrono.narod.ru/popov.html