Подходы к квантовой силе тяжести 13-17 частьIII Да

Часть III
Квантовая сила тяжести петли и модели пены вращения

13
Квантовая сила тяжести петли
T. ТИМАН
13.1 Вводная часть
Современную версию канонической Квантовой Силы тяжести называют квантовой силой тяжести петли (LQG), см. [1; 2] для учебников и [3; 4; 5; 6] для недавних повторений. В настоящее время, нет никакого другого канонического подхода к Квантовой Силе тяжести, которая является одинаково хорошо развитой. LQG - Квантовая Теория Поля геометрии и содержания, которая является фоновым свободным художником и берет полностью во внимание backreaction (кванта) содержание на (кванте) геометрии. Фоновая независимость означает что там не привилегированная пространственно-временная доступная метрика, скорее метрика — динамический объект entity1
которая развивается в тандеме с содержанием, классически согласно уравнениям Эйнштейна.
Они точно кодируют backreaction. Это - поэтому полностью новый тип QFT, который радикально отличается от обычного QFT. Можно было даже сказать то, что причина для факта, что сегодня еще нет установленной теории Кванта Сила тяжести внедрена на заднем плане зависимость обычного QFT. Поэтому обычная QFT (квантовая механика) нарушает фоновую независимость классических
GR в то время как классический GR нарушает квантовый принцип QFT.  Это точка, где два основных принципа современной физики сталкиваются. Пытается LQG преодолеть это препятствие, создавая фоновый независимый QFT.
Чтобы видеть более подробно, где фоновая метрика находит свой путь в очень четкости обычного QFT, вспомните фундаментальную аксиому местоположения алгебраический подход [7]. Там каждый имеет дело с сетями местной алгебры определенный (O) по областям О пространства-времени (М., g0), где М. является отличительной копией и g0 метрика Lorentzian на М. Аксиома местоположения теперь требует что если O, O пространственноподобные разделенные относительно g0 (то есть, никакой причинный geodesics (М., g0) могут соединить очки O, O) затем элементы этих двух алгебр (O), (O)
1 Описание бесконечного числа физических градусов свободы.
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
236 Т. Тимана
(анти-) добираются, соединения. Мы видим, что без g0 даже не знаем что обычный QFT
из себя представляет, потому что мы даже не знаем алгебру полевых действующих компаний!
Теперь давайте противопоставим это с ситуацией Квантовой Силы тяжести: там g0 не доступный, следовательно мы не знаем, какова причинная структура, каковы lightcones, каковы geodesics, каковы пространственноподобные разделенные средства, и т.д. Еще хуже, метрика не только динамическое количество, это даже становится действующей компанией. Следовательно,
даже если мы находимся в полуклассическом режиме где значение ожидания метрики
действующая компания близко к данной классической метрике, lightcones нечетки из-за колебаний
 метрической действующей компании. Все еще хуже, в экстремальном значении, астрофизической (черные дыры) или космологической (большой взрыв) ситуации там просто не полуклассический режим и колебания становятся настолько большими, что самое понятие метрики полностью исчезает.
Это - причина почему любой вызывающий волнение подход, основанный на разделении метрики как соль = g0 + ;g, где g0 - фоновая метрика и ;g, является колебанием и где каждый создает обычный QFT ;g на фоне g0, не может правильно описать режим, где больше не имеет смысла говорить о любом g0. Заметим то, что соль разделения = g0 + ;g нарушает фоновую независимость и diffeomorphism ковариацию одновременно, таким образом, у имеющей результатом теории есть самое большее Уничтожение, Киллинга symmetries из g0. Конечно, мы знаем, что GR - nonrenormalizable теория и следовательно это является общепринятым, что вызывающий волнение подход не имеет никакого смысла (самое большее как эффективная теория). Однако, наш параметр также относится в настоящее время фон зависимая рецептура теории струн, которая, как полагают, является renormalisable, вызывающие волнение 2-ые QFT с 10D или 11D предназначаются для истолкования пространства гравитонов (и содержание) размножающийся на пространстве-времени (М., g0): эта фоновая зависимая теория будет в большинстве получения полуклассический режим полной Квантовой Силы тяжести где значение ожидания метрической действующей компании близко к g0 и колебания являются маленькими.
Наконец, давайте упоминать очень интересное недавнее развитие в пределах алгебраического
подхода: там новое, functorial четкость вообще ковариантного QFT [8] имеет недавно развитый, который по существу описывает весь обычный QFTs на данных фонах одновременно. Эта рецептура - поэтому фоновый свободный художник по определению и может также описать Квантовую Силу тяжести, по крайней мере, perturbatively ("только" развейте весь вызывающий волнение гравитон QFTs на всех возможных фонах). Мы ожидаем, однако, что эта рецептура и LQG будут снова решительно отличаться точно когда нет никакой классической (гладкой) фоновой метрики вообще, а не некоторая фоновая метрика. Это будет очень интересно сравнить два Ans;tze в режимах, где они оба допустимы.
У этой главы есть два раздела. В первом мы выделяем канонической quantisation
программу. Во втором мы применяем это к GR, таким образом, делающему набросок отчета о состоянии LQG.
Квантовая сила тяжести петли 237
13.2 Канонический quantisation принужденных систем
Это известно [9], что Общая теория относительности (геометрия и содержание) может быть описана как гамильтонова система с ограничениями 2 первого класса Каноническая передачи рецептура происходит из-за Arnowitt, Deser и Misner (адаптивная дельта-модуляция) и используется
кардинально и вполне успешно в числовой Общей теории относительности. Мы теперь кратко
опишем, как квантовать такие системы, сосредотачивающиеся на структурных элементах и
выбор, который нужно сделать. Для большего деталей смотри [1; 2].
I. Классическая алгебра P элементарного observables.
Первый шаг - выбор ;subalgebra алгебры Поиссона гладких функций на фазе spaceM. Это означает следующее.
1. Элементы P разделяют очки М., то есть для всего м., м. ; М., м. = м. там существует f ; P таким образом что f (m) = f (м. ). В частности элементы P глобально определенные 3
2. P закрыт под сложным спряжением, которое является f ; P для всего f ; P.
3. P - подалгебра Поиссона До ; (M), это {f, f} ; P и z f + z f ; Pдля всего f , f ; P и z, z ; До. Здесь мы рассматриваем (М., {..}) как реальный symplectic копия.
Отметим, что выбор P далек от того, чтобы быть уникальным и будет вестись практически и физически соображениями для системы под рукой. Обычно, если возможный, каждый выбирает P таким образом, что алгебра Пуассона проста и что ее элементы преобразовывают просто под движения ширины кинопленки произведены ограничениями.
II. Квантовая алгебра элементарного observables.
Мы определяем резюме ;algebra, чьи элементы мы обозначаем a, си, до... состоя из конечных линейных сочетаний всех конечных эпизодов (f1..., fn) элементов ФК ; P оборудованные следующими алгебраическими операциями (f1..., fn) · (f 1..., f n): = (f1..., fn, f 1..., f n)(f1..., fn);: = (fn..., f1). (13.1)
Мы делим эту алгебру двумя примкнутыми идеалами, произведенныйми элементами следующей формы
(z f) ; z (f), (f + f ) ; (f) ; (f )(f, f ) ; (f , f) ; i ({f, f}). (13.2)
Результат - квантовая алгебра элементарного observables A. Если это еще не unital мы добавляем модуль 1 · a: = a · 1: = для всего ; A.
2, Который означает, что гамильтоновы векторные поля ограничений являются тангенциальными на гиперповерхность ограничения в
фазовое пространство [10].
3, Который не мог бы быть возможным без over-coordinatisingM, например, ifMis топологически нетривиальный. В этом случае
один embedsMinto топологически тривиальное фазовое пространство и верстает (нелинейные) отношения встраивания как
дополнительные ограничения. Мы предполагаем, что это было сделано для того, что следует.
238 Т. Тимана
Отметим, что вообще функции f будут бесконечны на М. и таким образом будут продвинуты на бесконечные действующие компании позже, которые поднимут неудобные вопросы о домене. Можно было использовать ограниченные функции вместо этого, но это обычно прибывает в цену усложнения отношений Пуассона и таким образом теории представления A. Исключение то, когда P - реальная алгебра Ли Пуассона, когда мы можем пройти к уникальной связанной -алгебра До Weyl произведена унитарными действующими компаниями в любом представлении.
III. Теория представления A.
Следующий шаг - выбор представления ; элементов (бесконечным, несязанным) действующими компаниями ; (a) на Гильбертовом пространстве H. Мы не будем вступать в обсуждение самого общего представления, но описывает важный и многочисленный подкласс, являющийся результатом положительных линейных functionals ; на ;; алгебре A, то есть, ; (a;a) ; 0 для всего ; A. Ассоциированное, так называемое представление GNS создано следующим образом. Рассмотрите набор I;: = {; A; ; (a;a) = 0}. Можно показать, что это определяет левый идеал и поэтому естественные операции + [си]: = [a+b], · [си]: = [a · b] на классах
[a]: = {+b, си ; I;} четко определены. Мы определяем ;: = [1] и ;; (a): =. Гильбертово пространство H; является завершением векторного пространства A/I; в следующем внутреннем результате
<, [си]> = <;; (a) ;, ;; (b) ;>: = ; (a;b). (13.3)
Дайте обзор двойной роли как Гильбертово пространство и как пространство действующих компаний. Вектор
; автоматически цикличен в этом представлении и очевидно нет никакого домена вопросов: все действующие компании плотно определены на плотном подпространстве A/I;. GNS данные (;;, H;,;) уникально определены ; до унитарной эквивалентности.
Выбор ; снова совсем не уникален и будет вестись физическим вводом. Для случая, это может быть истина, что подмножество ограничений производит группу Ли Поиссона G. У каждого затем есть естественное действие Соль на P через f ; ;g (f), где ;g обозначает гамильтонов поток, соответствующий соль ; Соль. Например в случае бесплатного Поля Максвелла
;g (f) = exp ({Земля d3x;a.}) · f, (13.4)
где соль = exp (i) является местным U (1), преобразованием ширины кинопленки и Ми обозначают электрическое поле. Действие ; является, очевидно, автоморфизмом Поиссона и распространяется на A
через ;g ((f1.., fn)): = (;g (f1).., ;g (fn)). В этой ситуации это - бекар,натуральное чтобы смотреть
для государств ;, которые являются Инвариантными , который является ; ; ;g = ; для всей соль ; Соль потому что следующее представление групповой Соль ширины кинопленки на H; автоматически унитарно:
U;\(g) ;; (a) ;: = ;; (a) ;.
Дальнейшие критерии - неприводимость представления. Все, что мы знаем, то, что вектор ; цикличен. Неприводимость означает, что все векторы цикличны. Если представление не непреодолимо затем, Гильбертово пространство - прямая сумма непреодолимых подпробелов, подпространств и никакие observables не существуют, какая карта между этими секторами, они супервыбраны. Следовательно физически интересная информация уже понята в одном из тех секторов.
Квантовая сила тяжести петли 239
В дальнейшем мы обозначим Гильбертово пространство H; HKin, чтобы указать то, что это - Гильбертово пространство кинематических государств, то есть ограничения еще не были осуществленны и государства поэтому не, измеряют инвариант.
IV. Выполнение ограничений.
Важный вопрос состоит в том, могут ли ограничения быть поняты в этом представлении как плотно определенные и closable (примыкающее также плотно определено), действующие компании. Это нетривиальное, особенно в полевых теориях, таких как Общая теория относительности из-за следующих причин.
1. Ограничения обычно определяются как функции определенных пределов элементов P. Например, ifMis связка котангенса затем P состоит из намазанной конфигурации и переменные импульса, говорят S (q): =
d3xSabhab, P (s): =d3xsab;ab для GR, где s, S являются гладким, симметрическим тензором (удельные веса) компактной поддержки. Однако, (намазанные) ограничения GR не полиномиалы P (s), S (q), скорее они - немногочленные выражения местных функций hab (x), ;ab (x) и их первые и вторые производные. Очевидно, можно получить те функции беря предел, в котором Sab, sab становятся сбытом Dirac, однако, с тех пор только намазанные поля определены как действующие компании на HKin, это - очень нетривиальный вопрос
определены ли ограничения плотно вообще. Технически, ненамазанные поля станьте оцененным сбытом действующей компании, и трудно иметь смысл из результатов из расположенных в тех же самых очках. Таким образом можно сталкиваться с ультрафиолетовыми проблемами.
2. Отметим, что все кроме в большинстве линейных функций сталкиваются с так называемым упорядочиванием действующей компании проблемой: Это имеет значение, идентифицируем ли мы функцию f1 f2 ; До ;(M) (который не принадлежит P) с (f1, f2) или (f2, f1) в A. Если f1, f2 реальны оцененный, затем можно выбрать симметрическое упорядочивание [(f1, f2) + (f2, f1)]/2, однако, не возможно спасти все классические отношения к квантовому уровню по крайней мере в непреодолимых представлениях, который является контентом известного Groenewald-фургона Теорема Хоу [11]. Это может быть препятствием специально для ограничения quantisation, потому что мы можем принять то, что называют аномалиями: В то время как классические ограничения творит закрытую подалгебру (возможно с функциями структуры), квантовые ограничения
не могут быть. Это могло подразумевать, что физическое Гильбертово пространство, обсужденное ниже,
является слишком маленьким.
V. Решение ограничений и физического Гильбертова пространства.
Давайте предполагать, что нам дают некоторый набор реальных оцененных ограничений CI, где я беру
амплитуду в некотором индекса наборе и предполагает, что они творят систему первого класса, то есть,
{CI, CJ} = fI JKCK, где fI J
K может быть нетривиальными, реальными оцененными функциями на фазовом пространстве. Это - точно ситуация в GR, где индексировать набор обозначает некоторую исчисляемую систему смазывания функций I = (N, N) назвала функции сдвига и ошибки. Предположите, что мы успешно квантовали функции структуры и ограничения как действующие компании ;CI, ; f I J K на HKin как определено в шаге IV. Первая возможная проблема то, что ноль очка не содержится в спектре некоторых из ;C I когда физическое Гильбертово пространство пусто. В этом случае quantisation тех действующих компаний или кинематическое Гильбертово пространство недопустимо и должно быть изменено. Давайте принимать что эта проблема обошлась. Если ноль очка не содержится в очке
240 Т. Тимана
спектр всего ;C I, нет никакого нетривиального раствора # ; HKin к системе квантовых уравнений ограничения ;C I# = 0 для всего я, который является квантовым аналогом классической системы уравнений ограничения CI = 0 для всего я (потому что это было бы подразумевайте, что # общий нулевой собственный вектор). Например, действующая компания id/dx на У L2 (R, дуплекс) есть спектр R, но ни один из формальных "собственных векторов" exp (;ikx) с собственным значением k не является normalizable. Таким образом раствор к ограничениям должен быть понят по-другому, а именно, в обобщенном смысле. Это прибывает в цену что растворы должны быть даны новым Гильбертовым пространством внутреннего результата, относительно которого они normalisable.
Мы теперь представим методику, чтобы решить все ограничения и создать внутренней результат, вызванный от того из HKin в одиночном штрихе, см. [12] и [13] для большего деталей. Рассмотрите Основное ограничение
M: =Я JCI K I J CJ (13.5)
где K я, J - положительная определенная матрица, которая может зависеть нетривиально от фазы
пространства и который распадается достаточно быстро так, чтобы М. был глобально определен и дифференцируем onM. Это называют Основным ограничением потому что, очевидно, М. = 0 ; CI =
0 ;I. Конкретный выбор K я J далее ведется возможными свойствами симметрии что М., как предполагается, имеет и требованием что соответствующее Ведущее устройство действующая компания ограничения
М. плотно определен на HKin. Как первая проверка, рассмотрите случай то, что ноль очка только содержится в спектре очка каждого ;C I, и определите М.:= Я K I ;C †Я;CЯ, где K I> 0 положительные числа. Очевидно, ;C I# = 0 для всех Я подразумеваюМ. # = 0. Наоборот, если М.# = 0 затем 0 = <#,М.# >= Я K I || ;C I#||2
подразумевает ;C I# = 0 для всего я. Следовательно, в самом простом случае, одиночном Основном ограничении содержит ту же самую информацию как система всех ограничений.
Теперь давайте рассматривать общий случай и давайте принимать что М. квантовался как уверенная самопримыкающая действующая компания на HKin.4 Затем это - известный факт что Hilbert
пространство HKin является unitarily эквивалентом прямому интегралу подчиненного пробелов Hilbert
М., то есть,HKin;=;R +d;\(;) H ;(;\) =: H ;;\, N. (13.6)
Здесь Hilbert пространства H с интервалами ;(;\), вызваны от HKin и выбором измерения ; и идет с их собственным внутренним результатом. Можно показать что мера класса [;] и функциональный класс [N], где N (;) = тусклый (H ;(;\)), разнообразие из "собственного значения" ;, unique5 уникально и в свою очередь определяет М. уникально до унитарного
4 Заметим чтоМ. естественно квантуется как уверенная действующая компания и что у каждой уверенной действующей компании есть самопримыкающий бекар , натуральный выпрямление, так называемое выпрямление Friedrichs [14].
5 Две меры эквивалентны, если у них есть те же самые наборы ноля меры. Две измеримых функции эквивалентны
если они соглашаются измерить нулевые наборы.
Квантовая сила тяжести петли 241
эквивалентность. Каждый элемент # ; HKin может считаться набором “Фурье коэффициентов” (; # (;)); ; R +, где # (;) ; H ;(;\) и< #,#> HKin=d;\(;) <P;si (;), P;si(;\)> H ;(;\). (13.7)
Очко представления Фурье (13.6), конечно, что к этому инсценируют М., а именно, М. деяния по диагонали:
М. (; #(;\)) =(;; #(;\)). Из этого следует, что физическое Hilbert пространство дано HPhys = H ;(0). (13.8)
Три замечания в порядке.
1. В то время как представительный ; не важен, представитель Н важен и требует далее физический ввод. Например, если ноль очка имеет ноль меры (находится полностью в непрерывном спектре M) затем мы можем выбрать представителя Н таким что N (0) = 0, который означал бы, что физическое Гильбертово пространство тривиально. Это конечно, не, что каждый хочет. Требуемый ввод состоит в том, что мы хотим непреодолимое представление из алгебры Dirac observables (измеряют, сетки инвариантные функции), который автоматически сохранение волокна, на HPhys. Этому можно показать решительно уменьшите свободу на выборе N.
2. Это может произойти что спектрМ. не содержит ноль очка вообще в котором случае, физическое Гильбертово пространство снова было бы тривиально. Это может быть следствием из аномалии. В этом случае оно переворачивается, физически правильно, чтобы заменить М. сМ.: = М. ;min (спекуляция (M)) 1 при условии, что “нормального упорядочивания постоянная”, конечный и исчезает в классическом пределе, то есть, lim;0 минута (спекуляция (M)) =0, так, чтобыМ. допустимый quantisation М. Ограниченности и вопроса ли
М. плотно определенный вообще кардинально зависит от выбора K I J.
3. Видеть, как аномалия может воскреснуть, особенно в случае функций структуры, предположите что ;CI, f;I J
K является симметрическими действующими компаниями. Затем классическое отношение {CI, CJ} = fI JK CK заменено квантовым отношением
[;C I, ;C J] = я (f;I JK ;C K + ;CKf;I JK)/2= я f;I JK ;CK + ;22[;C K, f;I JK]я(13.9)
где симметрическое упорядочивание на правой стороне — следствие антисимметрии коммутатора. Из этого следует, что любой (обобщенный) раствор # ;C I# = 0 для всего я автоматически удовлетворяет также
2 ([;C K, f;I JK] / (i)) # = 0 для всего я, J. Однако, классический предел той действующей компании 2 {CK, fI J
K}, который мог бы неисчезать, нет даже на поверхности ограничения. Это означает что физическое Гильбертово пространство ограничено больше чем физическое фазовое пространство и таким образом не надлежащее quantisation классической системы. Мы видим в особенности это в
242 Т. Тимана
порядке избежать аномалий, нельзя упорядочить ограничения симметрично если
{CK, fI JK} = 0, который не имеет место в GR.
VI. Dirac observables и проблема времени.
Классически, (слабые) Dirac observables определены {CI, O} M=0 = 0 для всего я. Легко проверить, что эта система условий эквивалентна одиночному отношению, а именно, {O, {O, М.}} M=0 = 0. Есть формальный, а скорее естественный способ создать их [15; 16]. Считайте систему функций фазового пространства TI таким образом что матрица АЙ J: = {CI, TJ} является, по крайней мере, в местном масштабе обратимой, и определите эквивалентный набор ограничений ДО Я: = (A;1) я JCJ. Замечательно, у этих ограничений есть слабые переключения Гамильтоновы векторные поля XI. Это является затем утомительным, но прямым, чтобы проверить что на любая функция f на фазовом пространстве функция
F;f, T:={nJ}Я(;I ; TI) nInI!ЯXnIЯ· f (13.10)
слабый заметный Dirac. Здесь сумма переезжает все эпизоды {nI} неотрицательных целых чисел. Физическое истолкование (13.10) следующие. Ограничение surfaceM из добровольного фазового пространства может считаться связкой волокна с данной основой физической фазой [М.] = {[м.]; м. ; M}, где [м.]: = {м. ; М.; м. ; m} обозначает орбиту ширины кинопленки через м., в то время как волокно выше [м.] является очками
подмножества [м.] ; М. Успением функции TI - местные координаты в волокнах выше каждого очка, то есть, данный м. ;Mwe может coordinatise это м. ; ([м.], T (m)). Следовательно у нас есть местный trivialisation связки. Условие ширины кинопленки T (m) = ; для значения ; в амплитуде T теперь устанавливает уникальное очко mT (;, [м.]) в волокне выше [m] и в том очке F;f , T, очевидно, принимает значение f (mT (;, [м.])). Начиная с F;f , T измерьте инвариант, у нас есть F;f , T (m) = f (mT (;, [м.])) для всего м. ; М.. Из этого следует, что
F;f , T только зависит от [М.] для всех значений ;, и его значение в p ; [М.] является значением
f в очке м. ;Mwith с местными координатами ([м.] = p, T (m) = ;).
Функциональное (13.10) - то, что каждый называет относительным заметным: ни одна из функций f, TI - инвариант ширины кинопленки и поэтому не заметный. Только F;f , T заметен. Это точно, что происходит в физике: рассмотрите пример релятивистской частицы. Как GR, у релятивистской частицы нет никакого гамильтониана, только гамильтоновы ограничения который в этом случае является массовой До ограничения оболочки = (p2+m2)/2 = 0. Это воскресает потому что классическое действие - reparameterisation инвариант. Ни одна из координат X; частицы - инвариант ширины кинопленки и таким образом заметный. То, что заметно, является траекторией частицы, то есть, ее график. Это может быть неявно описано P0Xa;Pa X0 = константа.
или явно F;X a, X0 = Xa + (; ; X0) Pa/P0.
Относительные observables также решают проблему Тайма: начиная с векторных полей XI слабо добираются легко видеть это f ; F;f , T - автоморфизм Поиссона среди f, которые удовлетворяют {f, TI} = 0 для всего я. Поэтому, мультиперебираемый физический автоморфизм времени F; ., T определил канонические генераторы {ПРИВЕТ (;), F;f , T} =
Квантовая сила тяжести петли 243
;F;f
, T / ; ;I. Они определяют физические Гамильтонианы, то есть. Dirac observables. Для релятивистского
частица легко видеть, что этот генератор совпадает с ;ab pa свинец + m2 как ожидаемо.
К сожалению, для достаточно сложных динамических систем, таких как GR, выражения (13.10) довольно сложны и формальны в том смысле, что немного известно о достаточных критериях для конвергенции серии, вовлеченной в (13.10) и могут ли они квантоваться на HKin, кардинально зависит от разумного выбора TI.
Однако, по крайней мере в принципе есть направляющая линия, чтобы рассмотреть проблему Тайма.
Это завершает краткое содержание канонической программы quantisation для произвольных
принужденных систем. Мы применим это в следующем разделе к Общей теории относительности.
13.3 Квантовая сила тяжести петли
Классическая каноническая структура была развита адаптивной дельта-модуляцией в 1960-ых и в
предыдущий подраздел мы выделили канонический quantisation алгоритм. Следовательно мы должны теперь начать систематически применять это к GR. К сожалению, это не непосредственно возможно, потому что для рецептуры адаптивной дельта-модуляции это не было возможно  счтитать фоновые независимые представления алгебры P произведенными от функции S (q), P (s) обсужденные в предыдущем подразделе, которые поддерживают ограничения. Поэтому, каноническая программа застряла в течение многих десятилетий до середины 1980-ые и все результаты, полученные перед тем фиником, в лучшем случае формальны. Без представления нельзя сказать, являются ли алгебраические объекты, с которыми каждый имеет дело, плотно определенными вообще, каковы спектры действующих компаний, являются ли формальные растворы к ограничению уравнения - действительно обобщенным собственными векторами и т.д. Например, функция x ; exp (kx), k ; R ; {0}, конечно, является формально eigenfunction действующая компания id/dx на L2 (R, дуплекс), однако, это ни один не надлежащий собственный вектор (так как это не normalisable), ни обобщенный собственный вектор, потому что это не может появиться в спектральном разрешении самопримыкающей действующей компании id/dx (потому что у exp (kx) есть  формально воображаемое собственное значение). Следовательно представление обязательно в порядке
создать жизнеспособную теорию.
13.3.1 Новые переменные и алгебра P
Успехи были сделаны из-за выключателя к новым каноническим переменным [17; 18], который мы
теперь опишем. Мы будем кратки, внимательный читатель может найти детали details6 в [1; 2].
6 Как историческое в стороне, считалось, что теорию для ; = ±i отличают потому что гамильтониана ограничение (13.19) затем упрощает и даже становится полиномиалом после умножения ;|det (E) |. К сожалению, теория представления для этой теории никогда не могла пониматься, потому что соединение затем сложно оцененный и каждый получает немногочленные условия действительности A+A = 2. Затем считалось, что каждый должен
244 Т. Тимана
Мы полагаем, что пространство-время размножает М., которые являются diffeomorphic к R;, где
трехмерная копия arbitray топологии. Рассмотрите любой основной SU (2) bundle7 связка P над
и обозначим получение по запросу назад местными разделами соединения на P. Аналогично,
рассмотрите ассоциированную, под примыкающим представлением SU (2), векторную связку чьи местные разделы - su (2) оцененная векторная Ми удельных весов. Мы теперь рассматриваем новое
фазовое пространство со следующей symplectic структурой
{Eaj(x), Akси (y)} = ;;;aси ;kj;\(x, y) (13.11)
где ; = 8;GN, GN - константа Ньютона, и ;> 0 является любым положительным действительным числом
[19; 20]. Все другие квадратные скобки исчезают.
Мы теперь хотим установить соединение с рецептурой АДМ. Рассмотрим Dreibein, местные разделы которого - su (2), оценены, каждый творит ми. Затем qab = ;i j eia ми jси и Eaj= |det (e) |eaj где eajми jси= ;aси, eajeka= ;kj и q - задняя часть получения по запросу, тянуть назад пространственно-временной метрики к. Затем, обозначьте получение по запросу назад местными разделами вращения соединения connection8 связанные с ми. Затем Айя = j+ ;Kabebj где Kab - получение по запросу
отступите, тянуть назад к внешней сабельности расплющивания, утолщения М. ; = R ;.
Нетривиальный результат - теперь следующий. Мы можем использовать отношения только
выведенными на экран, чтобы инвертировать qab = Hab (A, E), Pab = ав (A, E), где H, функции, которые могут быть легко получены читателем из четкости Pab =;det (q) [qacqbd ;qabqcd] Kcd  импульса сопряженое conjugate9 к q. Определите Gauss ограничение
Cj: = ;aEaj+ jkl ИначеЗемляl. (13.12)
Затем можно показать что квадратные скобки Пуассона H, используя symplectic структуру
(13.11) точно квадратные скобки Поиссона q, P до условий, которые исчезают
когда Cj = 0. Другими словами, фазовое пространство, заполненное A, Ми с symplectic
структурой (13.11) и ограничением (13.12) наложенным являются точно фазовым пространством адаптивной дельта-модуляции АДМ из geometrodynamics. Отметим, что H, Dirac observables относительно ограничения Gauss.
Мы можем теперь определить алгебру P элементарных, observables основанный на A, Ми.
Ааналогия с SU (2) теории ширины кинопленки, знакомая из electroweak теории естественно
предлагает использование методов, которые являются нормой в (решетке) теории ширины кинопленки. К этому концу, позвольте s, S быть одно - и двумерная подкопия соответственно, который
используйте реальный, оценил ;, и умножьте гамильтоново ограничение достаточно большой мощностью ;|det (E) |, чтобы к
сделайте это полиномиалом. Работа [25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32] показала что представление для Asupports гамильтоново ограничение, только если каждый использует немногочленную форму. Причина для этого - снова фон независимость.
7 можно показать, что основной SU (2) связки по трехмерному обязательно тривиальны, но мы не будем нуждаться в этом в чем
следует.
8 Это определено ковариантной Констанцией ми, то есть. Daejb= 0.
9 То есть {Pab (x), qcd (y)} = 16;GN ;a(c;bd) ; (x, y).
Квантовая сила тяжести петли 245
будет играть роль маркировки функций смазывания. Кроме того позвольте k быть su (2)
оцененная, гладкая функция на. Мы определяем holonomy и плавим функции
(s): = P exp (pA), Ek (S): =SКонцерн (k ; E) (13.13)
где ;E - метрический свободный художник, псевдодва диктора - оператора на радио формы к Ми. Теперь рассмотрите произвольный, конечный набор путей s. Их союз творит конечный finite10 график ; и мы можем составить пути s из краев имеющего результатом графика. Мы теперь звоним функцию, цилиндрическую по графику, если это - комплекс оценки функция (s), куда s пробегает края графика. Цилиндрические функции формируются Abelean ; - алгебра, которую мы обозначаем Цилиндром. Затем, обозначьте Yk, S гамильтониан векторное поле Ek (S). Затем P определен как алгебра Ли цилиндрических функций f и векторные поля v оборудованный следующей Ли квадратной скобкой [(f, v), (f , v)] =(v [f] ; v[f], [v, v]). Самый важный стандартный блок в той алгебре
Yk, S [(s)] = {Ek, S, (s)} = ;; (s1) k (s ; S) (s2) (13.14)
где s = s1 ;s2 и мы предположили, что s;S - точно одно очко, генерал, главный случай, являющийся подобным.
13.3.1.1 Квантовая алгебра A и ее представления
Соответствующий A определен формально после процедуры раздела 13.2. Мы теперь рассматриваем его теорию представления. Так как мы имеем дело с полевой теорией теории представления A будет очень богата, таким образом, мы должны будем уменьшать массу этого, верстая дополнительные физические требования. Естественное требование то, что представление происходит из государственного инварианта под автоморфизмами связки P. В местном масштабе эти автоморфизмы могут быть идентифицированы с полупрямым Соль результата: = Разность Соль () местного SU (2) преобразования ширины кинопленки и пространственный diffeomorphisms. Требование постоянства, инвариант соль — бекар, натуральное потому что обе группы произведены канонически, которое является показательным из соответствующего гамильтониана векторных полей, от ограничения Gauss и пространственного diffeomorphism ограничения соответственно. Например мы имеем с До () = d3x jCj и До (N) = d3x NaCa это;g ((s)): = exp (XC) · (s) = соль (си () (s) соль (f (s))
;; N((s)): = exp (XC (N)) · (s) = (; N (s)), (13.15)
где соль = exp () и ; N является diffeomorphism, определенным интеграла изгибами векторного поля N. Здесь, си (), f (s) соответственно обозначает начало и конечный пункт пути s и XF обозначает гамильтоново векторное поле F.
10 Технически пути и поверхности должны быть полуаналитичными и сжато поддержанные для этого, чтобы быть истиной
[1; 2; 21], но мы не будем проникать в эти детали здесь.
246 Т. Тимана
Следовательно обе группы ширины кинопленки действуют естественно по автоморфизмам Поиссона на P который подъем к A.
Это приносит нам точно в ситуацию предыдущего подраздела. Нетривиальный результат теперь [21] следующим образом.
Там существует, уникальное Инвариантное соль государство ; на holonomy плавит ; - алгебра A которая уникально определена отношениями
;\(f Yk, S) = 0, ; (f) =SU (2) Nd;H (g1)... d;H (gN) f; (g1..., gN) (13.16)
где f (A) = f; ((s1)..., (sN)), функция, цилиндрическая по графику ; = ;Nk=1sk. Соответствующее Гильбертово пространство GNS, как могут показывать, является определенным
L2 располагают с интервалами по пространству дистрибутивных соединений, в которых ;; (Yl, S) действуют как самопримыкающие действующие компании происхождения, в то время как ;; ((s)) является просто SU (2) оцененного умножения действующие компании. В этом пространстве пространство гладких соединений каждой связки плотно встроено, следовательно выбор начальной связки - мера теоретически не важная не важный 11 Представление (13.16) было создано прежде [22; 23]
независимыми методами, которые велись фоновой независимостью.
Этот результат несколько удивителен, потому что обычно каждый получает уникальность представлений в полевой теории только, вызывая динамическую информацию такой как определенный Гамильтониан. В нашем случае эта информация добавлена через Постоянство соль.
Результат является существенным, потому что он говорит, что LQG определен с точки зрения привилегированного представления в котором Соль - осуществленный unitarily. В частности нет никаких аномалий насколько Соль затронута.
13.3.1.2 Выполнение и раствор ограничений
Ограничение Gauss просто просит, чтобы функции L2 были инвариантными под местным
SU (2) преобразования ширины кинопленки и может быть тривиально решен, выбирая f;, чтобы быть
функциями инварианта ширины кинопленки, знакомыми из решетки измеряют, сетки теории.
Поэтому давайте переворачивать к другим двум ограничениям. Пространственного diffeomorphism группа - unitarily, осуществленная как U (;) # = ;; (#) и условия постоянства
количества к ;; (#) = # для всего ; ; Разность (). Можно легко показать что это у уравнения собственного значения есть только один (normalisable) раствор # = 1 (и постоянные однотипные магазины одной и той же фирмы, мультиплиес, множественные). Из этого следует, что большинство растворов - сбыт (обобщенные собственные векторы). Они могут быть найдены методами, выведенными на экран в предыдущем подразделе и мы ограничим нас здесь отображением результата, смотрите [24] для большего количества деталей.
У Гильбертова пространства есть выдающееся orthonormal основание Tn, n = (;, D),
так называемые функции сети вращения. Они маркированы графиком и бесспорными дискретными
дополнительными квантовыми числами D, чья точная форма не имеет интереса здесь. Мы имеем
11 Фактически, пространство классических соединений в любой связке имеет ноль меры, подобные тому из пространства
классических бесплатных скалярных полей в любом Fock располагают Гауссовскую меру с интервалами.
Квантовая сила тяжести петли 247
U (;) Tn = T; (n), ; ((;, D)), = (; (;), D).We Мы определяем (обобщенные) классы узла
[n]: = {; (n); ; ; Разность ()} и с этим сбыт
л [n] (Tn): = ; [n] (n) = ; [n], [n] (13.17)
где ;B обозначает характерную функцию Си набора. Пространство раствора состоит из линейного промежутка сбыта (13.17), которому можно дать структуру пространства Hilbert HDiff, завершая это в скалярном результате л [n], л [n] Разность: = л [n] (Tn). (13.18)
Теперь давайте переворачивать к заключительному гамильтониану или ограничению Wheeler-Де-Уитта который в условия A, Ми принимает форму
C = |det (E) | ;1/2 Концерн ([(1 + ;2) [Ka, КБ] ; Потрясающий] [Земля, Эб]) (13.19)
где ;K (A, E) = ; (E) и F является сабельностью A. Это очевидно что (13.19) представляет собой проблему для представления HKin, потому что это — неполиномиал функция ненамазанной Ми функции, которые становятся действующей компанией оценки сбыта. Действительно, чтобы определить намазанную гамильтоново До ограничение (;) =  d3x;C мы должны проистечь полностью по-другому из Gauss или пространственного diffeomorphism ограничения, потому что это не производит алгебру Ли из-за структуры функции вовлеченной. Можно продолжить двигаться следующим образом: разделения очка (упорядочивают) ограничение (13.19), таким образом достигая четко определенной действующей компании ;C (N) и затем берет предел ;0 в подходящей топологии действующей компании. Топология действующей компании что естественно предлагает себя, слабая топология, основанная на пространстве HDiff, рассматриваемая как пространство из линейных functionals по (плотному подпространству) HKin. Это переворачивает что предел существует в этой топологии точно из-за пространственного diffeomorphism постоянства сбыта л [n]. В технически точном смысле групповая Разность () глотает ультрафиолетовый регулятор, потому что в фоновой независимой структуре есть нет значения к понятию "короткого" поведения расстояния. Можно также показать что коммутатор [;C (N), ;C (N )] неисчезает, но что его dual12 взаимный уничтожает HDiff.
Поскольку можно показать [9], также классическая квадратная скобка Пуассона {До (N), До (N
)} исчезает на поверхности ограничения, определенной пространственным diffeomorphism ограничением, следовательно мы получаем последовательную алгебру ограничения. Однако, недостаток этой процедуры [25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32] то, что у каждого нет доступа к физическому внутреннему результату.
Более изящный раствор использует Основной метод ограничения, выделенный в
предыдущем подразделе. Вспомните отношение {До (N), До (N)} ; До (N [N]), который говорит
12 Данное Гильбертово пространство H с плотным подпространством, на котором действующая компания A определена вместе с его примыкающим взаимный, диктор - оператор на радио на пространстве ; линейных functionals на л   определен (Al) [f]: =l († f) для всего f ;.
248 Т. Тимана
что ;C (N) не может быть определен на HDiff, потому что это не должно оставить тот инвариант пространства в любом неаномальном представлении. Теперь рассмотрите Основное ограничение
M: =d3xC2;|det (E) |. (13.20)
Вследствие разумного выбора "матричного" K ; |det (E) | ;1/2 функциональный М. является пространственно инвариантом diffeomorphism. Это поэтому может быть представлено непосредственно на Гильбертовом пространстве HDiff и может быть решено прямым составным методом предыдущего подраздела.
Таким образом мы достигаем физического Гильбертова пространства HPhys, который, однако, является скорее неявно определенным через спектральное разрешение действующей компании
M. Действующая компания М. является скорее сложной, как можно было бы ожидать, и следовательно его спектр не может быть определен в закрытой форме, хотя простые, normalisable (во внутреннем результате Hdiff) растворы уже известны.
13.3.2 Нерешенные проблемы и дальнейшие результаты
В предыдущем подразделе мы ограничили наше внимание к гравитационным градусам свободы, но подобных результатов также держатся для контента содержания (суперсимметричное выпрямление) стандартная модель. Чтобы исполнить вычисления физического интереса и вступить в контакт с углублением, хорощо установленной  структурой QFT на кривых пространственно-временных моделях (например, физика стандартной модели в большом физическом масштабе), что принудительно, чтобы развить замыслы приближения оба для физического внутреннего результата и для Dirac observables, наблюдаемые которые в принципе доступны как выведено на экран в разделе 13.2. Также возможно, что то, чего мы достигли, является теорией чей классический предел не GR, а скорее абсолютно различный сектор, подобный различным фазам, что можно войти в статистическую физику или Евклидов QFT. Следовательно необходимо развить полуклассические инструменты, чтобы установить правильный классический предел. Есть происходящая работа в прогрессе над обоими фронтами: модели пены вращения [33] что были интенсивно изучены могут быть рассмотрены как авеню к приближению замыслов, схем физического внутреннего результата. Кроме того, последовательные (минимальная неуверенность) государства для фоновых независимых теорий соединений уже имеют созданный на уровне HKin [34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41] и один теперь должен вознести их к уровню HDiff и HPhys соответственно.
Затем, в пределах LQG было возможно идентифицировать сектор [42] черной дыры
который охватывает все черные дыры астрофизического интереса (Schwarzschild- Семейство Reissner-Nordstrom-Kerr-Newman), и тщательный анализ идентифицировал микроскопическое происхождение энтропии черной дыры как проколы маркировки узлов физические состояния (плюс метки D) с горизонтом. Энтропия, значащая для большых черных дыр имеет результатом значение Bekenstein-распродажи, если параметр ; принимает
Квантовая сила тяжести петли 249
определенное, всеобщее значение. Это возможно потому что в геометрических действующих компаниях LQG таких как объемы, области и продолжительность областей, поверхности (такие как горизонт) и у изгибов есть дискретный спектр [43; 44; 45; 46] с проломом, промежутком далеко от ноля (иначе энтропия была бы бесконечна).13, Можно размышлять является ли отдельность из спектров намекать на combinatorical, дистрибутивную структуру длины Планка пространство-время без значения к понятиям как гладкость или метрики, которые должны появится только на крупных масштабах.
Наконец, определенные minisuperspace приближения к LQG были развиты в порядке исполнить приблизительную квантовую космологию [48]. Полученные результаты подвергните обычному ограничению, что усеченная модель не могла бы вывести на экран истину поведение полной теории из-за искусственного прекращения публикации или продажи книги градусов свободы
у которой могли бы быть большие колебания в полной теории. См. например, [49; 50], где это
показанно, что (большой взрыв) предотвращение особенности моделей происходит из-за механизма
который только доступен в тех моделях. С другой стороны, как показано, в полном предотвращении особенности теории могло возможно быть получено более тонким свойством из LQG. В любом случае модели указывают, что LQG действительно мог бы быть в состоянии решить
особенности полного GR.
Подводить итог: LQG - математически строгий подход к Квантовой Силе тяжести
который концептуально прозрачен и прост. Он только использует принципы Общей теории относительности и Квантовой механики и нет экспериментально непроверенного успения, допущения. Это полностью фоновый свободный художник, как каждая Квантовая теория Силы тяжести должна быть. Теперь инструменты имеют, были развиты, которые позволяют вступить в контакт с экспериментом и таким образом сфальсифицировать теорию.
Ссылки
[1] До. Ровелли, Квантовая Сила тяжести (Кембридж, издательство Кембриджского университета, 2004).
[2] Т. Тиман, Современная Каноническая Квантовая Общая теория относительности (Кембридж,
Издательство Кембриджского университета, 2007),
[3] A. Ashtekar, Дж. Левандовски, “Фоновая независимая квантовая сила тяжести: состояние
работайте репортером”, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 21 (2004) R53, [gr-qc/0404018].
[4] Л. Smolin, “Квантовая сила тяжести с положительной космологической константой”,
hep-th/0209079
[5] До. Ровелли, “Квантовая сила тяжести петли”, Живущий Преподобный Рель. 1 (1998) 1, gr-qc/9710008
[6] Т. Тиман, “Лекции по квантовой силе тяжести петли”, Примечания Лекции в Физике, 631
(2003) 41-135, gr-qc/0210094
[7] Р. Хээг, Местная Квантовая Физика, 2-ой edn (Берлин, Спрингер Верлэг, 1996).
13 Фактически, есть две неэквивалентных Действующих компании Объема, одна должная Ровелли и Смолину (РТС) и другая
из-за Аштекэра и Левандовски (AL) [43; 44; 45; 46], которые оба получены, используя фонового свободного художника
методы от фундаментальной действующей компании потока. В недавней нетривиальной проверке непротиворечивости [47] РТС и AL
действующие компании объема, как показывали, были непоследовательны и совместимы соответственно с действующей компанией потока. Это первый пример для анализа, который использует внутреннюю математическую надежность, чтобы улучшить градус
из уникальности LQG.
250 Т. Тимана
[8] Р. Брунетти, К. Фреденхаген, Р. Верч, “Вообще ковариантный принцип местоположения: a
новая парадигма для местной квантовой теории поля”, Commun. Математика. Физика 237 (2003)
31-68, math-ph/0112041.
[9] Р. Валд, Общая теория относительности (Чикаго, Нажатие Чикагского университета,
1984).
[10] М. Henneaux, К. Теителбоим, Квантование Систем Ширины кинопленки (Принстон, Принстон
Университетское издательство, 1992).
[11] Соль. Си. Folland, Гармонический анализ в Фазовом пространстве, Энн. Математика. Исследования, № 122,
(Принстон, издательство Принстонского университета, 1989).
[12] Т. Тиман, “Проект Финикса: основная программа ограничения для кванта петли
сила тяжести”, gr-qc/030580; “Квант вращает движущие силы. VIII. Основное ограничение.”,
gr-qc/0510011.
[13] Си. Dittrich, Т. Тиман, “Проверяя основное ограничение составляют программу для петли
квантовая сила тяжести. Я. Общие рамки”, gr-qc/0411138; “II. Конечный размерный
системы”, gr-qc/0411139; “III. SL (2, R) модели”, gr-qc/0411140; “IV. Свободное поле
теории”, gr-qc/0411141; “V. Взаимодействующие полевые теории”, gr-qc/0411142.
[14] М. Трости, Б. Симона, Методов Современной Математической Физики, издание 2 (Нью-Йорк,
Академическое издание, 1984).
[15] Си. Dittrich. “Обертон и полный observables для гамильтониана ограничены
системы”, gr-qc/0411013; “Обертон и полный observables для канонического генерала
относительность”, gr-qc/0507106.
[16] Т. Тиман, “Уменьшенное квантование фазового пространства и Dirac observables”,
gr-qc/0411031.
[17] A. Ashtekar, “Новая гамильтонова рецептура Общей теории относительности”, Преподобный Физики Д36
(1987) 1587-1602.
[18] Ф. Барберо, “Реал переменные Ashtekar для подписи Lorenzian располагает времена с интервалами”, Физика.
Преподобный Д51 (1995) 5507-5510, gr-qc/9410014.
[19] Соль. Immirzi, “Квантовая сила тяжести и исчисление Regge”, Nucl. Физика. Proc. Suppl. 57
(1997) 65, gr-qc/9701052.
[20] До. Ровелли, Т. Тиман, “Параметр Immirzi в квантовой Общей теории относительности”,
Преподобный Физики Д57 (1998) 1009-1014, gr-qc/9705059.
[21] Дж. Левандовски, А. Околоу, Х. Залман, Т. Тиман, “Уникальность
инвариант diffeomorphism заявляет на алгебре holonomy-потока”, gr-qc/0504147.
[22] A. Ashtekar, C.J. Isham, “Представления holonomy алгебры силы тяжести
и non-Abelian измеряют теории”, Класс. Квант Grav. 9 (1992) 1433,
hep-th/9202053.
[23] A. Ashtekar, Дж. Левандовски, “Теория представления аналитического C$ Holonomy
алгебра”, в Узлах и Квантовой Силе тяжести, Дж. Баэзе (редактор). (Оксфорд, Оксфордский университет
Нажмите, 1994).
[24] A. Ashtekar, Дж. Левандовски, Д. Мэролф, Дж. Мур¦о, Т. Тиман, “Квантование для
теории инварианта diffeomorphism соединений с местными градусами свободы”,
Journ. Математика. Физика 36 (1995) 6456-6493, gr-qc/9504018.
[25] Т. Тиман, “Рецептура Без аномалий невызывающих волнение, четырехмерных
Квантовая сила тяжести Lorentzian”, Послания Физики B380 (1996) 257-264,
gr-qc/9606088
[26] Т. Тиман, “Квантовые движущие силы вращения (QSD)”, Класс. Квант Grav. 15 (1998)
839-873, gr-qc/9606089.
[27] Т. Тиман, “Квантовые движущие силы вращения (QSD) II. Косточка
Действующая компания ограничения Wheeler-Де-Уитта”, Класс. Квант Grav. 15 (1998) 875-905,
gr-qc/9606090.
Квантовая сила тяжести петли 251
[28] Т. Тиман, “Квантовые движущие силы вращения (QSD) III. Квантовая алгебра ограничения и
физический скалярный результат в квантовой Общей теории относительности”, Класс. Квант Grav. 15
(1998) 1207-1247, gr-qc/9705017.
[29] Т. Тиман, “Квантовые движущие силы вращения (QSD) IV. 2+1 Евклидова квантовая сила тяжести
как модель, чтобы проверить 3+1 квантовую силу тяжести Lorentzian”, Класс. Квант Grav. 15
(1998) 1249-1280, gr-qc/9705018.
[30] Т. Тиман, “Квантовые движущие силы вращения (QSD) V. Квантовая сила тяжести как бекар
регулятор гамильтонова ограничения квантовых теорий поля содержания”, Класс.
Шест для отталкивания. Grav. 15 (1998) 1281-1314, gr-qc/9705019.
[31] Т. Тиман, “Квантовые движущие силы вращения VI. Квант алгебра Poincar; и a
квантовая положительность энергетической теоремы для канонической квантовой силы тяжести”, Класс. Шест для отталкивания.
Grav. 15 (1998) 1463-1485, gr-qc/9705020.
[32] Т. Тиман, “Кинематический Hilbert располагает с интервалами для fermionic и квантового поля Higgs
теории”, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 15 (1998) 1487-1512, gr-qc/9705021.
[33] A. Перес, “Модели пены вращения для квантовой силы тяжести”, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003)
R43, gr-qc/0301113.
[34] Т. Тиман, “Квантовые движущие силы вращения (QSD): VII. Структуры Symplectic и
рецептуры решетки континуума теорий поля ширины кинопленки”, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 18
(2001) 3293-3338, hep-th/0005232.
[35] Т. Тиман, “Единые государства теории поля ширины кинопленки (GCS): I. Общие свойства”,
Класс. Шест для отталкивания. Grav. 18 (2001) 2025-2064, hep-th/0005233.
[36] Т. Тиман, “единые государства Complexifier для канонического Общего кванта
Относительность” (2002), gr-qc/0206037.
[37] Т. Тиман, О. Винклер, “Единые государства теории поля ширины кинопленки (GCS):II.
Свойства островершинности”, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 18 (2001) 2561-2636,
hep-th/0005237.
[38] Т. Тиман, “Единые государства теории поля ширины кинопленки (GCS): III. Теоремы Ehrenfest”,
Класс. Шест для отталкивания. Grav. 18 (2001) 4629-4681, hep-th/0005234.
[39] Т. Тиман, “Единые государства теории поля ширины кинопленки (GCS): IV. Результат тензора Бога
и термодинамический предел”, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 18 (2001) 4997-5033,
hep-th/0005235.
[40] Х. Залман, Т. Тиман, О. Винклер, “Единые государства для канонического кванта
Общая теория относительности и бесконечное выпрямление результата тензора”, Nucl. Си Физики 606
(2001) 401-440, gr-qc/0102038.
[41] Х. Залман, Т. Тиман, “К QFT на кривом пространственно-временном пределе QGR.
1. Общий замысел”, [gr-qc/0207030]; “2. Конкретное выполнение”,
[gr-qc/0207031].
[42] A. Ashtekar, Б. Кришнэн, “Изолированные и динамические горизонты и их приложения”,
Живущий Преподобный Рель. 7 (2004) 10, gr-qc/0407042.
[43] До. Ровелли, Л. Смолин, “Отдельность объема и штрафной в квантовой силе тяжести”, Nucl.
Физика. B442 (1995) 593, Опечатка: Nucl. Физика. B456 (1995) 734.
[44] A. Ashtekar, Дж. Левандовски, “Квантовая теория геометрии I: действующие компании штрафной”,
Класс. Шест для отталкивания. Grav. 14 (1997) A55-81.
[45] A. Ashtekar, Дж. Левандовски, “Квантовая теория геометрии II: действующие компании Объема”,
Реклама. Тео. Математика. Физика 1 (1997) 388-429.
[46] Т. Тиман, “Действующая компания продолжительности для канонической квантовой силы тяжести”, Journ. Математика. Физика.
39 (1998), стр 3372-3392, gr-qc/9606092
[47] K. Giesel и Т. Тиман, “Проверка непротиворечивости на объеме и трезвучной действующей компании
quantisation в квантовой силе тяжести петли. Я. ”, gr-qc/0507036; “II.”,
gr-qc/0507037.
252 Т. Тимана
[48] М. Bojowald, Х. Морэйлс-Текотл, “Космологические приложения кванта петли
сила тяжести”, Lect. Физика примечаний 646 (2004) 421-462, gr-qc/0306008.
[49] Дж. Бруннеман, Т. Тиман, “На (космологическом) предотвращении особенности в петле
квантовая сила тяжести”, gr-qc/0505032.
[50] Дж. Бруннеман, Т. Тиман, “Бесконечность подобных трезвучию действующих компаний в петле
квантовая сила тяжести”, gr-qc/0505033.
14
Ковариантная квантовая сила тяжести петли?
E. LIVINE
14.1 Вводная часть
В последние годы квантовая сила тяжести петли (LQG) стала многообещающим подходом
к Квантовой Силе тяжести (см. например, [1; 2] для повторений). Это привело к конкретным результатам таким как строгое происхождение кинематического Гильбертова пространства с дискретными спектрами для областей и объемов, имеющего результатом конечного изолированного подсчета энтропии горизонт и регуляризацию особенностей черной дыры, четкой структуры для (петля) квантовой космологии, и так далее. Однако, модель все еще должна стоять перед несколькими
ключевыми вопросами: четкие движущие силы с полуклассическим режимом, описанным Правилом силы тяжести Ньютона и Общей теорией относительности, существование полуклассического медосмотра, физического государства, соответствующего приблизительно единообразному пространству-времени, доказательством, что предел без силы тяжести LQG, соединенной с содержанием, является стандартной квантовой теорией поля, Двусмысленностью Immirzi, и т.д. Здесь, мы обращаемся к основной проблеме в основном тоне LQG, который обязательно связан с этими вопросами: почему SU (2) группа ширины кинопленки петли квантовой силы тяжести? Действительно, компактность SU (2) группы ширины кинопленки непосредственно ответственная за дискретные спектры областей и объемов, и поэтому в происхождении большинства успехов LQG: что происходит, если мы понижаем, опускаем это успение, допущение?
Давайте запустим, рассматривая общую структуру LQG и как SU (2) ширины кинопленки
группа воскресает. В первом формализме порядка Общей теории относительности (GR) сформулированой в термине четырехвалентной ми, которая указывает на местный фрейм Lorentz и соединение Lorentz ;, которое описывает параллельное перенесение. Теория является инвариантной под местными Lorentz преобразованиями и (пространство-время) diffeomorphisms.
Сложная рецептура LQG эквивалентна тому первому формализму порядка. Это каноническая рецептура, основанная на разделении пространства-времени как пространственный резаный удар, ломтик развивающийся во времени. Канонические переменные - переменные Ashtekar: самодиктор - оператор на радио, двойное сложное соединение AAsh и его сопряженная трезвучная полевая Ми. Теория является инвариантной под группой Lorentz SL (2, C) (видимый как усложненный SU (2) группы) и под пространством-временем diffeomorphisms. В этих переменных GR истинно похож на
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
254 Э. Ливайна
SU (2) теорию ширины кинопленки. Степень трудности комбинации прибывает от ограничений действительности, выражающих что воображаемая партия трезвучной полевой Ми исчезает и что реальная партия соединения AAsh - фактически функция Ми. Более точно, с одной стороны, хранения
метрики реальная под гамильтоновым потоком, требует что Ре Ми ; [Ми, Ми] = 0 и, на
другой руке, реальная партия AAsh = (E) + я K является соединением вращения (E)
в то время как его воображаемая партия - внешняя сабельность. Такие ограничения должны быть взяты во внимание мерой пространства соединения и представляют квантование укомплектованое.
Реальная рецептура LQG прибывала позже как способ избежать ограничения действительности выхода и теперь станет стандартной рецептурой LQG. Это использует
реальное соединение Ashtekar-Barbero A; = (E) + ; K и его сопряженное трезвучное поле
E. Здесь ; называют параметром Immirzi и является произвольным реальным параметром.
теория получена из оригинального первого порядка рецептуры GR в частности (обертон)
установка ширины кинопленки, ширина кинопленки времени, которая ломает местное постоянство Lorentz к местному SU (2) постоянству ширины кинопленки. У теории затем есть компактное постоянство ширины кинопленки, лишено сложных условий действительности, и ее гамильтониан (ограничение) может быть упорядоченный и квантуемый. Однако, это появляется как результат установки ширины кинопленки. Естественный вопрос состоит в том, затрагивает ли это квантование или нет: можем мы верить всем результаты реальной рецептуры LQG? Поскольку мы будем видеть, рассматривая SU (2) как группу ширины кинопленки GR вместо некомпактной группы Lorentz связаной с несколькими проблемами облицованными, сталкивается стандартной рецептурой LQG.
• Так как мы выбрали особую установку ширины кинопленки, не должны мы принимать ее во внимание в
мере на фазовом пространстве через детерминант Фаддеев-Попова? Будет ли это не изменять спектр observables теории? Кроме того, делает выбор ширины кинопленки времени ограничить нас к определенному классу измерений?
• Соединение Ashtekar-Barbero A;, на пространственном резаном ударе, ломтике не является препятствием, натянуть- назад пространственно-временного соединения [3], так как можно показать что его holonomy на пространственном резаном ударе, ломтике зависит от встраивания в тот резаный удар, ломтик в пространстве-времени. Это не истина если Immirzi параметр взят как равный просто воображаемым значениям ; = ±i соответствуя оригинальному соединению самодиктора — оператора на радио , само- двойного Аштекэра. С той точки зрения, реального соединения A; нельзя рассмотреть как подлинное поле ширины кинопленки, и SU (2) не может быть рассмотрен как группа ширины кинопленки силы тяжести.
• У сложного формализма LQG есть простое многочленное гамильтоново ограничение. На другой руке, у реальной рецептуры LQG есть дополнительный немногочленный термин. Фактически,  кажется, что мы обмениваем проблему условия действительности с проблемой более сложного Гамильтониана.
• Есть несоответствие со стандартными моделями пены вращения для GR. Модели пены вращения
были введены как дискретизация интеграла по траектории GR, видевшего как принужденная топологическая теория [4]. Они естественно появляются как пространственно-временной формализм, описывающий
развитие и движущие силы канонической теории LQG. Однако, они используют Lorentz
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 255
группа как группа ширины кинопленки и поэтому квантовые состояния квантовой геометрии - вращение
сети для группы Lorentz [5] вместо стандартного SU (2) сети вращения LQG.
• В трех пространственно-временных измерениях стандартное квантование силы тяжести петли 3-ьей силы тяжести имеет как ширины кинопленки группирует полную группу Lorentz и не только небольшую группу пространственных ротаций. Действительно, в трех пространственно-временных размерах, группа ширины кинопленки всегда - группа Lorentz, ТАК (3) в Риманновой версии [6] и ТАК (2, 1) в теории [7] Lorentzian. Это
позволяет точное соответствие между структурой LQG и квантованием пены вращения для 3-ьей силы тяжести.
• Наконец, реальная рецептура LQG сталкивается с проблемой двусмысленности Immirzi: ; - произвольный
незакрепленный параметр. Это вводит спектр геометрического observables, такого как области и объемы (на кинематическом уровне). Этому обычно верят что энтропия черной дыры вычисления должна установить эту двусмысленность, требуя точного соответствия с полуклассическим правилом энтропии штрафной, площади. Позже, ; был обсужден, чтобы быть связанным с нарушением четности когда сцепление fermions к силе тяжести. Однако, на уровне чистой силы тяжести, там все еще испытывает недостаток в прозрачном понимании физического значения ;: это не изменяет классическое фазовое пространство и каноническую структуру, но приводят к unitarily неэквивалентному квантованию (в кинематическом уровне).Мы не можем забыть возможность, что эта зависимость от ; могла бы только происходить из-за выбора ширины кинопленки времени.
Здесь, мы рассматриваем Lorentz ковариантный подход к квантовой силе тяжести петли, который был выдуман ковариантной квантовой силой тяжести петли. Это основано на явном каноническом анализе оригинального действия Palatini для GR без любой ширины кинопленки времени, сначала исполненный Александровым [8]. Канонические переменные - соединение Lorentz
и его сопряженное трезвучие (1 форма, оцененная в алгебре Lorentz). Государства кванта геометрия - сети вращения Lorentz, которые упарились, уменьшились в особом случае к стандартной SU (2) сети вращения.
Основное различие для стандартного LQG - непрерывный спектр для областей на кинематическом уровне. Основные преимущества формализма то, что Immirzi двусмысленность исчезает, и становится возможно вступить в контакт между каноническим теория и модели пены вращения. Основные недостатки подхода - некомпактная группа ширины кинопленки и некоммутативное соединение. Наконец, есть все еще большая работа оставила, чтобы точно определить структуру: строго определите и изучите Гильбертово пространство (проблема состоит в том, чтобы иметь дело с некоммутативностью соединением), и происходят, выводят  движущие силы теории (квантуйте гамильтониан ограничение и сравните со стандартными моделями пены вращения).
14.2 Lorentz ковариантный канонический анализ
В первом формализме порядка GR сформулирован с точки зрения пространственно-временного соединения ; = ;I J; ЧЖИ Jdx;, определенный как так (3, 1) - оценил 1 форму, и четырехвалентное полеeI = eI;dx;. Пространство-время - четырехмерная копия Lorentzian М. С подписью (; + ++); я... внутренние указатели, живущие в тангенсе Минковского
256 Э. Ливайна
пространство; ;I J является единообразной метрикой, и ЧЖИ Дж генераторы Lorentz; ;... пространственно-временные указатели. Действие Palatini-Холста [9]:
S [;, ми] =М.;12 I JKLeI ; eJ ; FKL (;) ; ;1; eI ; eJ ; FI J (;), (14.1)
где F (;) = d; + ; ; ; является тензором кривизны соединения ;. Метрика определена от четырехвалентного поля как g;; = eI;eJ; ;I J. Первый термин предыдущего действия - стандартное действие Palatini. Его уравнения движения эквивалентны обычным уравнениям Эйнштейна, когда тетрада является невырожденной. Второй термин фактически не имеет никакого эффекта на уравнения движения и таким образом не имеет значения на классическом уровне. Сцеплением постоянный ; является Immirzi параметр.
Степень трудности комбинации в каноническом анализе прибывает от вторых ограничений класса. Действительно, канонически сопряженная переменная к соединению ;I J ;aЯ J=abcI JKLeKэль си
c. Эти переменные - к сожалению, не свободный художник, и они удовлетворяют ограничению простоты:
;a, си, я JKL;aЯ J;bKL= 0. (14.2)
Эти ограничения - нетривиальная партия канонической структуры. Однако, Холст показал в [9], что, во время измеряют, сеткм ea0 = 0, четырехвалентная, тетрада  ми упарилась, уменьшилась к трезвучию, триаде поля Ми, ограничения простоты не появляются, и мы возвращаем канонической фазы пространство и ограничения реальной рецептуры LQG с Ashtekar-Barbero соединением (;) спрягаемой к Ми и параметру Immirzi ;.
Естественный вопрос: как ограничения простоты уходили? Barros анализ продвинутого Холста далее и показал, что возможно решить эти ограничения явно [10]. Фазовое пространство параметризуется двумя парами сопряженных переменных (A, E) и (;, ;). Первые две канонических переменные — обобщение из соединения Ashtekar-Barbero и трезвучия, триады. Новая переменная ; является нормальным временем (или внутреннее направление времени) определенной как нормализованный компонент пространства (во внутренние указатели) компоненты времени четырехвалентного поля: ;i = ;e0i/e00. Наконец, возможно измерить затруднительное положение партии стимула симметрии ширины кинопленки Lorentz, устанавливая ; = 0. Это - ширина кинопленки времени. В этом фрейме мы точно получаем переменные и ограничения LQG. Однако, цена - поражение явной ковариации Lorentz из теории.
14.2.1 Вторые ограничения класса и квадратная скобка Dirac
Стратегия ковариантной силы тяжести петли состоит в том, чтобы вычислить целый набор второго класса ограничения, получите ассоциированную квадратную скобку Dirac и затем квантовать теорию. Здесь, мы следуем за каноническим анализом [8].
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 257
Мы запускаем с пространства-timeM ; R;, где мы отличаем направление времени от трех размеров пространства. Мы анализируем четырехвалентное поле eI как:
e0 = Ndt + ;i Eiadxa
ei = EiaNadt + Eiadxa, (14.3)
где я = 1... 3 внутренний индекс (компоненты пространства I) и пространства индекса маркировки координат xa. N и Na - соответственно ошибка и сдвиг. ;i указывает на отклонение нормального на каноническую гиперповерхность от направления времени: нормальное время определено как нормализованный подобный времени с 4 векторами
; = (1, ;i) /1 ; | ; | 2.
Давайте звонить X, Y... = 1... 6 sl (2, C) - указатели, маркирующие антисимметрических пар
[Я J]. Мы определяем новые переменные соединения/трезвучия, триад оцененные в sl (2, C) вместо
нормы, стандарт su (2) из LQG. Соединения Lorentz :ТОПОР = (;12;0i, ;12i jk;jk). (14.4)
Затем мы определяем "вращательное" трезвучие, триада и трезвучие, триада стимула,
РаX= (;jkя Eia;k, Eia), BaX= ($Ra) X = (Eia, jkя Eia;k), (14.5)
где $ - действующая компания Ходжа на sl (2, C) переключение стимула и партии ротации
алгебры. Мы далее определяем фактические проекторы на секторах ротации и стимуле
из sl (2, C), (личный рекорд) X
Y= RXRaY, (ВАННАЯ КОМНАТА В НОМЕРЕ) XY= ОСНОВНОЙ ОБМЕНBaY:ЛИЧНЫЙ РЕКОРД =;;; (;ba;2 ;;a;b)1 ;;2
;abc;c1 ;;2;abc;c1 ;;2;ba; ;a;b1 ;;2;;, ванная комната в номере = Id ; личный рекорд, личный рекорд с ванной в номере = 0.
Личный рекорд демонстрирует на подпространстве su (2) ;, производящий ротации, оставляя вектор ;
инвариант, в то время как ванная комната в номере демонстрирует на дополнительном подпространстве. Действие затем читает:
S =dtd3x  BaX; ;1; РаX!ТОПОР ;ta+ XGX + Наха +NH!. (14.6)
Фазовое пространство таким образом определено с квадратной скобкой Пуассона,
"ТОПОР(x), BbY; ;1; RbY!(y)#= ;XY ;ba;\(3) (x, y). (14.7)
X, Na, N являются множителями Lagrange, проводящими в жизнь, усиливающими ограничения первого класса:
GX = DA (ОСНОВНОЙ ОБМЕН ; ;1; RX),
Ха = ; BbX; ;1; RbX!FX
ав (A),H = ;11 + 1; 2 (СИ ; ;1; R) (СИ ; ;1; R) F (A). (14.8)
258 Э. Ливайна
Однако, в отличие от обычной структуры LQG, у нас также есть второй класс ограничений:
;ab = ($Ra) X RbX= 0, ;ab ; RRDAR. (14.9)
Ограничение ; = 0 является ограничением простоты. Ограничение ; = 0 прибывает от квадратной скобки Поиссона {H, ;} и требуется чтобы ограничение ; = 0 консервировано при преобразованиях ширины кинопленки (произведенный Соль, Ха, H) и в особенности при развитии времени. ; соответствует ограничению действительности Ре Ми ; [Ми, Ми] = 0 из сложного LQG.
Чтобы решить вторые ограничения класса, мы определяем квадратную скобку Dirac {f, соль} D ={f, соль} ; {f, ;r};1РТС{;s, соль}, где РТС матрицы Dirac = {;r, ;s} сделана из квадратных скобок Поиссона ограничений ; = (;,;). Следующий [8; 11], каждый затем проверяет то, что алгебра ограничений первого класса не изменена. Определение намазывают ограничения, мы находим следующие квадратные скобки Dirac:
СОЛЬ () =XGX, H (N) =NH, D (N) =Na (Ха + ТОПОРaGX),$СОЛЬ (1), СОЛЬ (2)= СОЛЬ ([1,2]),
$D (N), D (M)= ;D ([N, М.]), $D (N), СОЛЬ ()= ;G (Na;a),$D (N), H (N)= ;H (Л N N), $
H (N), СОЛЬ ()= 0,$H (N), H (M)= D (K) ; Соль (Ав КБ),[1,2] X = f XY ZY1Z2, [N, М.] = Nb;bMa ; Mb;bNa,Л N N = Na;aN ; N;aNa, КБ = (N;aM ; M;aN) РаX RbYgXY,
где f XY Z - структура, постоянная из алгебры sl (2, C). С ; {1, 2, 3}указатели стимула и Си ; {4, 5, 6} ; {1, 2, 3} указатели ротации, у нас есть f AAA= f ABB=f СиАВ= 0 и f AAA= ;f AАВ= Си ;fBB, данные антисимметрическим тензором.
Gs производят SL (2, C) преобразования ширины кинопленки. Векторное ограничение Ха производит пространственный diffeomorphisms на каноническом гиперповерхностном инварианте. Наконец, скаляр constraintHis названный гамильтоновым ограничением и производит (время)
развитие канонических переменных.
14.2.2 Выбор соединения и спектра штрафной
Как показано в [8; 11; 12], хотя трезвучное поле R является все еще коммутативным для Dirac
квадратная скобка, свойства соединения изменение решительно: это не канонически спрягаемый к трезвучию и это не добирается с собой. Однако, один должен иметь в виду это, используя квадратную скобку Dirac оригинальные канонические переменные потеряйте их привилегированное состояние, и мы должны без опасений идентифицировать лучше удовлетворенные
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 259
переменные. Следующий [12], мы не изменяем трезвучие R, но мы ищем новое соединение удовлетворяющая следующие естественные критерии.
• Необходимость быть соединением Lorentz то есть это должно вести себя правильно в соответствии с правилом Gauss Соль:
{СОЛЬ (), ТОПОРa} D = ;aX ; [Aa] X = ;aX ; f XY ZY AZa. (14.10)
• Необходимость быть 1 формой и поэтому должным образом преобразовать под пространственным diffeomorphisms:
{D (N),} D = ТОПОРси ;aNb ; Nb;aAXb. (14.11)
• Необходимость спрягаться к трезвучию R. Это требуется чтобы действующие компании штрафной
AreaS ;S d2xnanbRaX RbX (с na нормальным на поверхность S) быть diagonalized в основании сети вращения, следующим из квантования петли. Это условие чтения:
{ТОПОР(x), RbY(y)} D ; ;b; (3) (x, y). (14.12)
Мы получаем семейство с 2 параметрами таких соединений (;, ;) [12]:
ТОПОР(;, ;) = ТОПОРa+ 12(; + ; ; ; $) PR; (; ; $) 1 + ; 2 [Ba, Соль] X+ (; + (1 ; ;) $)
 ТОПОР $ ЛИЧНОГО РЕКОРДАa+ (R)!, (14.13)
с
(R) = (;) =;i jk;j;a;k1 ; ;2,;a;i1 ; ;2.
Их отношение коммутации с трезвучием очень просто:
{ТОПОР(;, ;), BbY} D = ;b[(; ; ; $) ванная комната в номере] XY (14.14)
{ТОПОР(;, ;), ванная комната в номере} D = {ТОПОР(;, ;), ;} D = 0. (14.15)
Несмотря на это, квадратная скобка {A,} D остается сложной. Оттуда, квантование петли
выбирает функции ofA (петли Уилсона и сети вращения) как функции волны и подъемы Си трезвучий, триад R к действующим компаниям происхождения. Каждое соединение (;, ;) будет
приводить к неэквивалентному квантованию. Мы можем затем вычислить действие штрафной, площади действующей компании на (;, ;) строки Уилсона и мы находим [12; 13]:
AreaS ; l2P(;2 + ;2) До (su (2) ;) ; ;2C1 (sl (2, C)) + ;;C2 (sl (2, C)),
где До (su (2) ;) = J · J - действующая компания Казимира su (2) ; (стабилизирующий вектор
;\), C1 (sl (2, C)) = T X TX = J2 ; K 2 и C2 (sl (2, C)) = ($T) X ТАЕВ = J · K
два (квадратных) Casimirs sl (2, C). Так как алгебра su (2) входит состав, можно было думать сначала, что этот спектр штрафной не инвариант Lorentz. Однако, нельзя забыть, что ; вводит состав и вращается под преобразования Lorentz. Таким образом мы видим две альтернативы.
260 Э. Ливайна
(i) Либо мы работаем с functionals соединения A. Затем основание квантовых состояний проводится сетями вращения для группы Lorentz. Они маркированы унитарными представлениями из sl (2, C), они diagonalize C1 (sl) и C2 (sl), но они не делают diagonalize До (su). Поэтому они не делают diagonalize действующей компании штрафной, площади.
(ii) Или мы работаем с functionals и соединения A и времени нормальное поле ;. Это возможно, когда A и ; добираются (см. (14.15)). Возможно ввести продемонстрированные сети вращения, которые демонстрируют на данных собственных значениях До (su) и поэтому diagonalize действующая компания штрафной. Мы обсудим детали этих государств позже.
В следующем мы будем работать с последней альтернативой. Затем непреодолимое унитарное
представления (основной серии) sl (2, C) маркированы несколькими числами (n ; N, ; ; 0). Значения Казимира затем:
C1 = n2 ; ;2 ; 1, C2 = 2n;, До = j (j + 1), с j ; n. (14.16)
Ограничение j ; n прибывает от разложения sl (2, C) представления на su (2) непреодолимые представления. Кроме того это условие убеждается что площади собственные значения все реальны (и положительны) для любого значения (;, ;). Это - хорошая надежность проверить. Обратите внимание однако, что, так как состав вовлекает реальный параметр ;, мы теряем отдельность спектра, который был ключевым результатом LQG!
Теперь, кажется, что у нас нет никакого предпочтительного варианта соединения, и
поэтому никакое строгое предсказание на спектре штрафной. Это было бы дополнительной двусмысленностью помимо выбора параметра Immirzi ;. Вместо этого мы хотим верстать
естественно появляются дальнейшие ограничения на соединение (;, ;) и два критерия.
(i) Мы требуем, чтобы соединение вело себя должным образом под пространством-временем diffeomorphisms,
произведенный Ха и H.
(ii) Мы требуем, чтобы соединение было коммутативным, то есть что {A,} D исчезает.
К сожалению, эти два условия не совместимы. Поскольку мы будем видеть в следующем
разделы, первоначальный вариант соответствует единственному уникальному выбору ковариантного соединения и тот, используемый предложенным Ковариантным LQG. Очень интересно,
спектр штрафной, площади для этого ковариантного соединения не зависит от Immirzi
параметра ;. В то время как это решает двусмысленность Immirzi, она является все еще сложной к
квантовой теории из-за некоммутативности соединения. На другой руке, вторые критерии приводят к уникальному коммутативному выпрямлению Lorentz Соединение Ashtekar-Barbero. Это позволяет нам возвращать su (2) структуру и штрафную спектра и двусмысленность Immirzi реальной рецептуры LQG.
Это поднимает проблему пространственно-временной ковариации стандартной рецептуры
LQG, основанной на соединении Ashtekar-Barbero. Хотя нет сомнения, что Ха и H удовлетворяют ту же самую алгебру как генераторы пространства-времени diffeomorphisms, действие H на соединении не обычное. Это означает это это соединение не пространственно-временная 1 форма и таким образом не имеет прозрачного геометрического
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 261
истолкования. Хотя это не прозрачно, ясно до какой степени это - проблема, мы ожидаем
что это будет препятствием, изучая квантовые движущие силы теории.
14.3 Ковариантное соединение и продемонстрированные сети вращения
14.3.1 Непрерывный спектр штрафной
Как показано в [12; 13], есть уникальное пространственно-временное соединение, то есть которое преобразовывает как 1 форму под пространством-временем diffeomorphism произведенный ограничениями Ха, H. Это - фактически уникальное соединение, которое равно оригинальному соединению A на принужденном поверхностном GX = Ха = H = 0. Это соответствует выбору
(;\, ;), = (0, 1) и мы просто напишем для (0, 1) в следующих разделах.
Его квадратные скобки с трезвучием, триадой:
{ТОПОРa, BbY} D = ;b(ванная комната в номере) XY, {ТОПОР
a, (ванная комната в номере) YZ} D = 0. (14.17)
Первая квадратная скобка говорит, что только партия стимула соединения, кажется, имеет значение.
Второе отношение также очень важно и заявляет, что поле ; добирается с обоими соединениями и могут таким образом быть обработаны как независимая переменная. Затем, после результатов предыдущего раздела это переворачивает что спектр штрафной не зависит от параметра Immirzi вообще и дан партией стимула sl (2, C) Казимир:
Штрафная ; l2PДо (su (2) ;) ; C1 (sl (2, C)) = l2Pj (j + 1) ; n2 + ;2 + 1.
Интересно, этот спектр не норма ;j (j + 1) su (2) Казимир - спектр штрафной, но он содержит термин, прибывающий от симметрии Lorentz, которая делает его непрерывным.
Проблема с этим соединением состоит в том, что оно является некоммутативным. Действительно, квадратная скобка {ТОПОР, ДА} D не исчезает и переворачивается быть сложным. По крайней мере, это возможно доказать, что это не зависит от параметра Immirzi. Фактически это
было показано [13], что эта сложная квадратная скобка была то, вследствие того, что вращательное
партия A не была свободным художником от трезвучного поля, но равной соединению вращения:
PRAXa= (R) Xa; [R, ; R] + РЕАКЦИЯ НА ОБЛУЧЕНИЕ [R, ; R].
Явное выражение может быть найдено в [13; 14; 15]. Это отношение является напоминающим
 ограничения действительности сложной рецептуры LQG, где реальная партия самодвойное соединение - функция трезвучной, триады Ми и вынуждено быть соединением- вращения (E). Кроме того это переворачивает, врубает что и ротация и стимул партии соединения являются коммутативными:
{(PRA) X, (PRA) Y} D = {(PBA) X, (PBA) Y} D = 0. (14.18)
262 Э. Ливайна
В конце дня некоммутативность соединения прибывает от фактов, что PBA канонически сопряжен к (стимулу) трезвучия, триады (Си = $R) и то, что другая половина соединения PRA является функцией трезвучия. Это таким образом кажется, как будто эта некоммутативность прибывает от принятия во внимание действительности ограничения.
14.3.2 Продемонстрированные сети вращения
Чтобы говорить о квантовой теории и спектре штрафной, мы должны точно определить Гильбертово пространство и наши квантовые состояния пространства (разовой) геометрии. Так как геометрические observables (такие как штрафная) вовлекают ; и что ; добирается с A, это — бекар, натуральное чтобы рассмотреть functionals f (A, ;) как функции волны для кванта геометрия. Затем требуя постоянства ширины кинопленки под группой Lorentz SL (2, C) чтения:
;g ; SL (2, C) f (A, ;) = f (gA = gAg;1 + g;g;1, Соль ;). (14.19)
Принятие, что ; подобен времени всюду (то есть каноническая гиперповерхность является пространственноподобным всюду) и что все поля гладки, мы можем сделать гладкую ширину кинопленки преобразование, чтобы установить ; к ;0 = (1, 0, 0, 0) всюду. Таким образом функция волны полностью определенный его разделом f;0 (A) = f (A, ;0) в ; = ;0 постоянный:
f (A, ;) = f;0 (gA) для всей соль, таким образом, что Соль ; = ;0.
Затем у f;0 есть остаточное постоянство ширины кинопленки под SU (2) ;0. Мы фактически рассматриваем functionals соединения Lorentz, которые не являются инвариантными под
полной группой Lorentz SL (2, C), но только под компактной группой пространственных ротаций
(определенной через поле ;).
Чтобы продолжиться к квантованию петли, мы вводим цилиндрический functionals который
зависит от полей A, ; через конечное число переменных. Более точно, учитывая неподвижный ориентируемый граф с Ми соединением и V вершинами, цилиндрическая функция зависит от holonomies U1..., UE ; SL (2, C) вдоль краев и на значениях ;1..., ;V ; в вершинах графика. Постоянство ширины кинопленки затем чтения:
; кВ ; SL (2, C), ; (Ue..., ;v..) = ; (ks (e) Uek;1 t (e)..., КВ ;v...), (14.20)
где s (e), t (e) обозначают исходные и целевые вершины ми края. Как ранее, такая инвариантная функция полностью определена ее разделом ;;0 (U1..., UE) в постоянном ;1 = · · · = ;V = ;0. Имеющая результатом функция ;;0 является инвариантной под (SU (2) ;0) V: мы эффективно уменьшали постоянство ширины кинопленки от некомпактного SL (2, C) V к компактному (SU (2) ;0) V.
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 263
Физически, поле ; описывает встраивание гиперповерхности в пространственно-временной М. С точки зрения цилиндрического functionals, встраивания определен только в конечном числе очков (вершины графика) и оставлен нечеткий всюду еще. В этих очках нормаль на гиперповерхность установлен к значению ;v и симметрия таким образом уменьшилась от SL (2, C) к SU (2) ;v.
Так как симметрия ширины кинопленки компактна, мы можем использовать меру Хаара на SL (2, C) определить скалярный результат на пространстве функций волны:
;\|; =SL (2, C) МИмиdge. ; (ge, ;v) ; (ge, ;v)=SL (2, C) МИмиdge.;;0 (ge) ;;0 (ge). (14.21)
Гильбертово пространство H наконец определено как пространство цилиндрических функций L2
относительно этой меры. Основание этого пространства обеспечено продемонстрированной
сетью вращения [14; 16]. После стандартной конструкции сетей вращения, нас выберите одно (непреодолимое унитарное) SL (2, C) представление То есть = (ne, ;e) для каждого
ми края ;. Однако, мы также выбираем один SU (2) представление j (v) ми для каждой ми ссылки
в каждой из его оконечностей v. Кроме того мы выбираем SU (2) intertwiner,  между-двойного iv для каждой вершины вместо SL (2, C) intertwiner. Это отражает что постоянство ширины кинопленки
цилиндрическая функция - SU (2) V.
Давайте назовем R (n, ;) Гильбертовым пространством SL (2, C) представление I = (n, ;)
и V j пространство SU (2) представление j. Если мы выбираем нормальное (время) x ; SL (2, C)/SU (2) и считают подгруппу SU (2) x, стабилизирующийся x, мы можем анализировать RI на непреодолимые представления SU (2) x:
R (n, ;) =j;nV j(x). (14.22)
Давайте назовем P j (x) проектор от R (n, ;) на V j(x):
P j(x)= jSU (2) xдециграмм ;j(g) D (n, ;) (g), (14.23)
где j = (2 j+1) является измерением V j, интеграция по SU (2) x, ДИ(g) матрица, представляющая групповую соль элемента, действующую на RI, и ; j — символ из j-представления. Чтобы создать продемонстрированную сеть вращения, мы вставляем это
264 Э. Ливайна
проектор в вершинах конца каждой ссылки, которая позволяет нам склеивать Lorentz
holonomies к SU (2) intertwiners. Функциональное окончание:
;\(То есть, je, iv) (Ue, ;v) =viv&e&v|Ie;v j (v)ми я'(14.24)
ми Ie;s (e) j (s (e))ми me|DIe (Ue) |Ie;t (+e) j (t (e))ми я,
с неявной суммой за миллисекунду |Ix jm - стандартное основание V j (x) '; RI с
м. выполнения от ;j до j. Короче говоря, по сравнению с обычными сетями вращения мы прослеживаем по подпространствам V j (;\) вместо полных пространств RI.
Используя эти продемонстрированные сети вращения позволяет нам демонстрировать структуры Lorentz на определенном установил SU (2) представления. Это разрешает нам diagonalize действующие компании штрафной. Рассмотрение поверхности S пересечение графа только на одном ми крае в уровне (возможно дуальном) вершины, ее действующая компания штрафной AreaS будет diagonalized продемонстрированным основанием сети вращения с собственными значениями, данными выше:
AreaS | ; (То есть, je, iv) = l2Pje (je + 1) ; n2e+ ;2ми+ 1 | ; (То есть, je, iv).
Процедура теперь проста. Учитывая график и ряд поверхностей, чтобы к имейте сеть вращения, заявляют diagonalizing действующие компании штрафной, связанные ко всем они
поверхности, мы просто должны продемонстрировать то государство сети вращения на всех пересечениях  поверхностей с. Если мы хотим получить квантовые государства геометрии diagonalizing области всех поверхностей в гиперповерхности, мы должны были бы рассмотреть
“бесконечной обработки ограничение”, где мы демонстрируем государство сети вращения во всех очках графа. Такая процедура описана более детально в [13; 14]. Однако, от точки зрения, что пространство-время существенно дискретно в микроскопических масштабах, это кажется разумным, чтобы быть удовлетворенным квантовой геометрией, заявляет этому diagonalize области дискретного числа поверхностей (пересекающий граф в очках, где мы продемонстрировали государства сети вращения). Это совместимо с изображением что рассматривая продемонстрированное государство сети вращения, встраивание гиперповерхности  в пространство-время является только четким в вершинах графика, где мы знаем время нормальное ;: во всех других очках, остается нечетким и так должны быть поверхности встроенный в.
14.3.3 Простые сети вращения
До сих пор мы описали квантовые состояния f (A) и действие основанные на трезвучии, триаде действующие компании на них. Мы должны также определить действие основанных на соединении действующих компаний. Мы обычно ожидаем, что A действовал бы по простому умножению функции волны f (A). К сожалению, в нашей структуре, A не добирается с собой, таким образом, это
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 265
наивное предписание не работает. Дело в том, что, вследствие второго ограничения класса,
партия ротации соединения PRA ограничен и должен быть равным к соединению вращения [R] определенный трезвучием R. Это отражает ограничения действительности из LQG. Естественный выход - то, что мы хотели бы функции волны которые не зависят от PRA, но только от PBA. На таком государстве, действующая компания (PRA будет определенная как [) R], в то время как (PBA будет действовать просто по умножению. Это последовательно с квадратной скобкой Dirac, так как PBA добирается с собой, {PBAX, PBAY} D = 0.
В один конец, чтобы достигнуть продемонстрированных сетей вращения этого использования должен рассмотреть случай где мы демонстрируем на тривиальном SU (2) представление j = 0. Их называют простые сети вращения. Запускаться с, простое представление I = (n, ;) Группа Lorentz определена таким образом, что C2 (I) = 2n; исчезает: мы только рассматриваем представления
из типа (n, 0) и (0, ;). Затем для представления I, чтобы содержать SU (2) - инвариантный вектор (соответствующий j = 0 секторов), мы должны обязательно иметЬ n = 0. Поэтому, простые сети вращения используют простые представления Lorentz из непрерывного типа Isimple = (0, ;). Простая сеть вращения определена назначение таких представлений (0, ;e) к каждой ми края графика. С тех пор SU (2)-intertwiners тривиальны для тривиального представления j = 0, функциональное
затем чтения:
;\(;e) (Ue, ;v) =ми (0, ;e) ;s (e) j = 0|Ue | (0, ;e) ;t (e) j = 0. (14.25)
Давайте укажем, что в этом особом случае продемонстрированных сетей вращения, мы можем рассмотреть открытые графы (с "одной-valent" вершинами).
Простые сети вращения таковы, что ; (Ue) не зависит от PRA в вершины v графика. В частности рассматривая две простых сети вращения ;\, ; основанные на двух графиках и  которые только пересекаются во взаимных вершинах, затем ;\(Ue) и ;(Ue), добираются, соединяются.
Оттуда, у нас есть две альтернативы. Либо мы последовательно демонстрируем вращение
сетевых государств на j = 0 в каждом очке графа так, чтобы они полностью решили вторые ограничения класса. Или мы можем продолжить работать с вращением present simple сети, кто только решает вторые ограничения класса на дискретном уровне. В конце изо дня это будут эти те же самые простые сети вращения, которые появляются как кинематическая геометрия заявляет в квантовании пены вращения, поскольку мы будем видеть позже.
Чтобы подвести итог, мы доказали, что вторые ограничения класса приняты во внимание
на квантовом уровне, ограничивая предыдущие продемонстрированные сети вращения, чтобы быть простым. Заключительный спектр штрафной, принимающий во внимание Lorentz, измеряет постоянство и все (кинематические) ограничения просто непрерывны:
AreaS | ; (;e) = l2P;2ми+ 1 | ; (;e), (14.26)
266 Э. Ливайна
для поверхности S пересекающийся на ми края. Однако, сдвиг ;2 ; ;2 + 1 все еще приводит к неисчезающей минимальной штрафной l2P.
14.4 Снижение до SU (2) сила тяжести петли
Как мы сказали ранее, есть уникальное коммутативное соединение Lorentz, которое
мы обозначим A, и который соответствует выбору (;, ;) = (; ;, 0). Это удовлетворяет следующие отношения коммутации:
{A,} D = 0, {ТОПОРa, RbY} D = ; ;b(личный рекорд) XY. (14.27)
Интуитивно, в то время как A был чистым соединением стимула, A - просто вращательное соединение. Более точно A может быть просто выражен с точки зрения оригинального соединения
A и время нормальное поле ;:
****PRA = ЛИЧНЫЙ РЕКОРД (1 ; ; $) ; ; %,PBA = % $ (;) = $ (; ; ; ;), (14.28)
где % (;) был введен ранее в eqn. (14.13). От этого выражения оно прозрачно что A является коммутативным и что PBA не независимая переменная. Фактически, в рассчете ширины кинопленки, где поле ; взято, поскольку константа, равная ;0, A уменьшилась к SU (2) - соединение реального формализма Ashtekar-Barbero. Затем A — бекар Выпрямление Lorentz этого SU (2) - соединение [13]. Наконец, спектр штрафной для этого соединения воспроизводит точно стандартный спектр:
AreaS ; l2PДо (su (2) ;) = l2Pj (j + 1). (14.29)
Чтобы полностью возвратить LQG, мы все еще должны заботиться о втором классе ограничения. Чтобы искренне представить квадратную скобку Dirac, мы действительно хотели бы волну
функции, которые не зависят от партии стимула соединения PBA. Мы берем это во внимание в скалярном результате. Вместо того, чтобы использовать SL (2, C) Хаар — мера, мы можем ограничить нас SU (2) подгруппа. Более точно мы определяем скалярный результат, используя ; = ;0 раздел функций волны:
f |g =[SU;0 (2)] МИдолжный f;0 (Ue) g;0 (Ue). (14.30)
Мы рассматриваем обычный скалярный результат LQG, и основание дано стандартным SU (2) сети вращения. Однако, теперь возможно выйти из времени измерения и описатье функции волны для произвольных ; полей. Более точно, если f;0 (A) дан SU (2), сеть вращения, затем f (A, ;) является продемонстрированной сетью вращения в “бесконечной обработке” предел. Внимательный читатель найдет больше деталей в [13; 14].
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 267
14.5 Пена вращения и модель Barrett-студийного-крана
До сих пор мы описали кинематическую структуру ковариантной петли (квант) сила тяжести. Мы все еще должны блокировать проблему захватом определения движущих сил теории. На
одной руке, можно попытаться упорядочить и квантовать а-ля Тимана действие Гамильтонова ограничения или на ковариантном соединении A или на коммутативном соединении A. В этом случае мы должны будем естественно изучать действующую компанию объема и столкнутся с обычными двусмысленностями LQG. С другой стороны можно перевернуть к формализму пены вращения. Пена вращения развилась независимо, но параллельно к LQG. Вдохновленный от государственных моделей суммы, они обеспечивают четкие интегралы по траектории для “почти топологических” теорий, которые включают подобные силе тяжести теории. Кроме того, они используют те же самые алгебраические и комбинаторные структуры в качестве LQG. В частности сети вращения естественно появляются как кинематические государства теории. От этой перспективы, пена вращения позволяет ковариантное выполнение движущих сил LQG и строгая четкость физического внутреннего результата теории.
В трех пространственно-временных размерах чистая сила тяжести описана теорией BF и
является просто топологической. Квантование пены вращения дано Ponzano-Regge модель [17]. Его функция партитуры определяет проектор на физическую силу тяжести государства, то есть волна функционирует на пространстве модулей единообразных соединений Lorentz.
В четырех пространственно-временных размерах это переворачивает, что Общая теория относительности может быть сменить состав исполнителей как принужденная теория BF. Можно квантовать топологическую теорию BF как вращения модель пены и затем верстает дополнительные ограничения непосредственно на функцию партитуры на квантовом уровне (например, [18]). Для 4d сила тяжести, это приводит к модели Barrett-Крана [19]. Есть, конечно, двусмысленности в выполнении ограничений, которые приводят к различным версиям этой модели. Мы показываем ниже что Барретт — Крана модель служит динамической основой для ковариантного LQG.
14.5.1 Сила тяжести как принужденная топологическая теория
Давайте запустим с действия Плебанского:
S [;, СИ, ;] =М.ВИСМУТ J ; FI J [;] ; 12;I JKL BKL ; ВИСМУТ J, (14.31)
где ; так (3, 1) соединение, F [;] = d;; его сабельность, Си так (3, 1) - оценен
С 2 формами и ; множитель Lagrange, удовлетворяющий ;I JKL = ; ;J Л на I k = ; ;I JLK =
;KLI J и ;I JKLI JKL = 0. Уравнения движения:
децибел + [;, Си] = 0, FI J (;) = ;I JKL BKL, ВИСМУТ J ; BKL = ми I JKL,
с ми = 1
4! Я ВИСМУТ JKL J ; BKL. Когда ми = 0, ограничение на Си эквивалентно
ограничение простоты, я ВИСМУТ JKL Jав BKL
cd= abcde.
268 Э. Ливайна
Это ограничение удовлетворено, если и только если там существует реальное четырехвалентное поле eI = eIadxa таким образом, что любая Си = ±e ; ми (сектор I±) или Си = ё $ (ми ; e) (сектор I I±). Они четыре сектора происходят из-за симметрии ограничений под Си ; ($B).
Работа $ позволяет нам махать сектора: Я + ; I я + ; I ; ; I я ; ; I +. Ограничивая нас непосредственно мной я + сектор, действие уменьшилось к S =  $ (ми ; e) ; F
и мы возвращаем, перекрываем Общую теорию относительности в первом формализме порядка. Первое замечание то, что мы все еще должны избавиться от I± и меня я ; сектора в интеграле по траектории в квантовый уровень. Они соответственно связаны с хиральностью с 3 объемами и
к проблеме ориентации времени [21]. Второе замечание - то взятие более общего ограничения на ; поле, например a;I J Я J + b;I JKLI JKL = 0, мы выздоравливаем Действие Palatini-Холста для Общей теории относительности с параметром Immirzi [20].
14.5.2 Простые сети вращения снова
Стратегия пены вращения является первой к discretize, и квантуйте топологическую теорию BF как государственная модель суммы, затем чтобы верстать Ограничения си на discretized партитуру функцию.
Чтобы к discretize интеграл по траектории, мы выбираем триангуляцию (или более широко келейное разложение) 4d пространство-время, склеивающее 4-simplices вместе. Мы затем свяжем поле Си к треугольникам, ВИСМУТ J (t) =  t ВИСМУТ J, и сабельность соединения на двойные поверхности. Ограничение простоты с 2 формами, я ВИСМУТ JKL J ав BKLcd = eabcd, затем преобразован в дискретную установку. Для любых двух треугольников t, t мы имеем:
Я ВИСМУТ JKL J (t) BKL (t) =t, ted2; ; d2; = V (t, t),
где V (t, t) с 4 объемами, заполненный этими двумя треугольниками. В частности для любого
два треугольника, которые совместно используют край, мы имеем:
Я ВИСМУТ JKL J (t) BKL (t) = 0. (14.32)
Они - ограничения Barrett-Крана, которые осуществлены в кванта уровне. Более точно мы связываем копию sl (2, C) - алгебра к каждому треугольнику t и мы квантуем ВИСМУТ J (t) s как генераторы Lorentz J I J t. Для данного треугольника t, предыдущее ограничение для t = t становится мной JKL J I J
t J KLt= 0, который является исчезая второго Казимира К2 (sl (2, C)) = 0. Это означает что представление Это связывалось к треугольнику t, должно быть простым: любой (nt, 0) или (0, ;t).
первый Казимир К1 = ЧЖИ Дж Дж I J дает (брусковую) область треугольника. Для дискретной
серии, C1 (n, 0) = ;n2 + 1 является негативом, и треугольник подобен времени. Для непрерывной
серии, C1 (0, ;) = ;2 + 1 положительна, и треугольник является пространственноподобным. Таким образом мы возвращаем ту же самую простоту sl (2, C) представления как в ковариантном LQG.
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 269
Единственная разница - то, что мы только рассматриваем пространственноподобные треугольники в канонической структуре, и поэтому только получает (0, ;) представления. Подобное времени
представления естественно появились бы в канонической установке, рассматривая подобный времени нормальный ; (например, [15]). В следующем мы ограничим нас (0, ;) представлениями.
Сцепление между различными треугольниками происходит на уровне tetrahedra: каждому
четырёхграннику связан intertwiner между представлениями, присоединенными к его четырем треугольникам. Решение ограничений I JKL J I J t J KL t = 0 для каждых нескольких треугольников (t, t
) из четырёхгранника приводит к уникальному intertwiner. Этот Barrett-Кран intertwiner IBC: ;4t
=1R (0, ;t) ; До является единственным SU (2) - инвариант intertwiner:
IBC =SL (2, C)/SU (2)d;4t=1 (0, ;t) ; j = 0 |. (14.33)
Мы возвращаем intertwiner структуру простых сетей вращения, введенных для ковариантный LQG. Более точно квантовые государства геометрии связывались к любому пространственноподобному резаному удару, ломтику триангуляции в модели Barrett-студийного-крана - простое вращение
сети [13; 21].
Это делает ссылку между кинематическими государствами канонической теории и
государства пены вращения. Затем амплитуды связующей партии модели Barrett-Крана
могут быть преобразованы в каноническое окружение и рассмотрены как определение движущих сил
из Ковариантного LQG.
14.5.3 Проблема вторых ограничений класса
В предыдущем квантовании пены вращения, мы discretized и квантуемый интеграл по траектории для Общей теории относительности. Мы имели дело с ограничением простоты B. ($B) =
0, верстая на интеграл по траектории. Априорно, это соответствует ограничению простоты
(14.9), ; = R. ($R) = 0 из канонического анализа. Однако, это кажется что мы пропускаем другое второе ограничение класса ; ; RRDAR. ; ограничения важны для вычисления квадратной скобки Dirac: не были должны мы discretize их также и включить их в модель пены вращения?
Точка зрения пены вращения - то, что мы уже приняли их во внимание. Действительно, ; - вторичные ограничения, прибывающие от квадратной скобки Пуассона H, ;: сначала, ; = 0 только наложен на начальную гиперповерхность, и мы нуждаемся в ; = 0 к убедить, что мы сохраняем ; = 0 при гамильтоновом развитии. С другой стороны, Модель Barrett-Крана является полностью ковариантной, и ; = 0 непосредственно наложен на весь пространственно-временные структуры: мы продемонстрировали на ; = 0 на всех этапах развития (то есть на всех гиперповерхностях). Конструкция Barrett-студийного-крана убеждается что простая сеть вращения останется простой сетью вращения при развитии. В этом смысле,
270 Э. Ливайна
мы не нуждаемся во вторичных ограничениях ;. Это однако было бы интересно проверять, что discretized версия ; исчезает на партитуре Barrett-Крана функция.
14.6 Заключение замечаний
Запускаясь с канонического анализа действия Palatini-Холста, мы показали как вторые ограничения класса приняты во внимание квадратной скобкой Dirac. Требование хорошего поведения соединения Lorentz под Lorentz измеряет преобразования и расположите diffeomorphisms с интервалами, мы получаем семейство с двумя параметрами возможных переменных соединения. Требование, чтобы соединение далее вело себя как 1 форма под пространством-временем diffeomorphisms, мы получаем уникальное ковариантное соединение. Это приводит к ковариантному LQG с “простыми сетями вращения” (для группы Lorentz),  непрерывный спектр штрафной и развитие, продиктованное Barrett-Краном, вращения пены модель. Теория, переворачивается, свободный художник параметра Immirzi. Основное препятствие полному квантованию - некоммутативность этого соединения. Это может быть понят как отражение условий действительности сложной рецептуры из LQG. С другой стороны, там существует уникальное коммутативное соединение. Это переворачивает быть обобщением соединения Ashtekar-Barbero реальной рецептуры из LQG. Мы далее возвращаем SU (2) сети вращения, дискретная норма
спектр штрафной и обычная двусмысленность Immirzi.
Кажется, что ковариантный LQG мог помочь рассмотреть некоторые давнишние проблемы
из стандартной рецептуры LQG, такого как двусмысленность Immirzi, проблема симметрии Lorentz, квантование гамильтонова ограничения и как к возврату пространства-времени diffeomorphisms на квантовом уровне.
Наконец, несколько проблем, которые нужно обратиться в пределах ковариантного LQG
теория основать это более единогласно:
• исследование действующей компании с 3 объемами, действующей на простые сети вращения;
• происхождение амплитуд пены вращения от ковариантного гамильтонова ограничения LQG,
возможно после предыдущей работы в 3-ьей силе тяжести [22].
Ссылки
[1] Т. Тиман, Вводная часть к современной канонической квантовой Общей теории относительности,
[arXiv:gr-qc/0110034].
[2] До. Ровелли, Квантовая Сила тяжести, Кембриджские Монографии на Математической Физике,
(Кембридж, издательство Кембриджского университета, 2004).
[3] Дж. Самуил, гамильтонова рецептура Барберо теория ширины кинопленки Lorentzian
сила тяжести, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 17 (2000) L141-L148, [arXiv:gr-qc/0005095].
[4] A. Перес, модели пены Вращения для квантовой силы тяжести, Класса. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003)
R43, [arXiv:gr-qc/0301113].
Ковариантная квантовая сила тяжести петли? 271
[5] Л. Freidel, Э. Р. Ливайн, сети Вращения для некомпактных групп, Дж. Мэта. Физика 44
(2003) 1322-1356, [arXiv:hep-th/0205268].
[6] Т. Тиман, QSD IV: 2+1 Евклидова квантовая сила тяжести как модель, чтобы проверить 3+1
Квантовая сила тяжести Lorentzian, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 15 (1998) 1249-1280,
[arXiv:gr-qc/9705018].
[7] Л. Freidel, Э. Р. Ливайн, К. Ровелли, Спектры продолжительности и штрафной в 2+1 Lorentzian
квантовая сила тяжести петли, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003) 1463-1478,
[arXiv:gr-qc/0212077].
[8] С. Александров, ТАКИМ ОБРАЗОМ (4, C) - ковариантная сила тяжести Ashtekar-Barbero и Immirzi
параметр, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 17 (2000) 4255-4268, gr-qc/0005085.
[9] С. Холст, гамильтониан Барберо произошел из обобщенного действия Hilbert-Palatini,
Преподобный Физики Д53 (1996) 5966-5969, [arXiv:gr-qc/9511026].
[10] Ми Н. Барроса Sa, гамильтонов анализ Общей теории относительности с Immirzi
параметр, Интервал. Дж. Мод. Физика. D10 (2001) 261-272, [arXiv:gr-qc/0006013].
[11] С. Александров, Д. Вассилевич, спектр штрафной в Lorentz ковариантная сила тяжести петли,
Преподобный Физики Д64 (2001) 044023, [arXiv:gr-qc/0103105].
[12] С. Александров, На выборе соединения в квантовой силе тяжести петли, Преподобном Физики Д65
(2002) 024011, [arXiv:gr-qc/0107071].
[13] С. Александров, Э. Р. Ливайн, SU (2) квантовая сила тяжести Петли, видевшая от ковариантного
теория, Преподобный Физики Д67 (2003) 044009, [arXiv:gr-qc/0209105].
[14] Ми. Р. Ливайн, Букле и Мус де Спен en Gravit; Quantique, диссертация (2003),
Сосредоточьте де Физика Теорика CNRS-UPR 7061 (Франция), [arXiv:gr-qc/0309028].
[15] С. Александров, З. Кадар, подобные времени поверхности в Lorentz ковариантная сила тяжести петли и
модели пены вращения, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 22 (2005) 3491-3510,
[arXiv:gr-qc/0501093].
[16] Ми. Р. Ливайн, Продемонстрированные сети вращения для соединения Lorentz: соединение пены вращения
и сила тяжести петли, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 19 (2002) 5525-5542, [arXiv:gr-qc/0207084].
[17] Соль. Ponzano, Т. Регг, Полуклассический предел коэффициентов Racah, в Спектроскопическом
и Группа Теоретические Методы в Физике, Блох (редактор). (Северная Голландия, 1968).
[18] Л. Freidel, K Краснова, моделей пены Вращения и классического принципа действия, Рекламы.
Theor. Математика. Физика 2 (1999) 1183-1247, [arXiv:hep-th/9807092].
[19] Дж. В. Барретт, Л Студийного крана, модели подписи Lorentzian для Общего кванта
Относительность, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 17 (2000) 3101-3118, [arXiv:gr-qc/9904025].
[20] Ми. Р. Ливайн, Д. Орити, модель пены вращения Barrett-студийного-крана от обобщенного BF-типа
действие для силы тяжести, Преподобный Физики Д65 (2002) 044025, [arXiv:gr-qc/0104043].
[21] Ми. Р. Ливайн, Д. Орити, Осуществляя причинную связь в квантовой геометрии пены вращения,
Nucl. Физика. B663 (2003) 231-279, [arXiv:gr-qc/0210064].
[22] K. Noui, А. Перес, Трехмерная квантовая сила тяжести петли: физический скалярный результат
и модели пены вращения, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 22 (2005) 1739-1762,
[arXiv:gr-qc/0402110].
15
Представление пены вращения петли квантовой силы тяжести
A. ПЕРЕС
15.1 Вводная часть
Проблема фоновой независимой Квантовой Силы тяжести — проблема определения Квантовой Теории Поля содержания и силы тяжести в отсутствие основной фоновой геометрии (см. Главу 1 Ровелли). Квантовая сила тяжести петли (LQG) - многообещающее предложение по обращению к этой трудной задаче. Его основные предсказания и основная математическая структура описана в Главе 13 Тиман. Несмотря на устойчивое продвижение поля, движущие силы остаются к большому расширьте нерешенный вопрос в LQG. Здесь мы представляем основные идеи позади серии предложения по обращению к проблеме движущих сил. Мы обращаемся к этим конструкциям
как представление пены вращения LQG. Этот набор идей может быть рассмотрен как  систематическая попытка конструкции представления интеграла по траектории LQG.
Представление пены вращения математически точно в 2 + 1 размеры, таким образом,
мы запустим эту главу, показывая, как она воскресает в каноническом квантовании этой простой теории (больше приблизительно 2+1 сила тяжести может быть найдена в Главе 16 Freidel). Эта игрушечная модель будет использоваться, чтобы точно описать истинное геометрическое значение
истории, которые суммированы в интеграле по траектории вообще ковариантных теорий.
В четырех размерах появляются подобные структуры. Мы называем эти конструкции вращением модели пены как их четкость являются неполными в том смысле, что по крайней мере один из следующих проблемы остаются неясными: (1) соединение с канонической рецептурой, и
(2) независимость регуляризации (renormalizability). Во второй партии этой главы
мы опишем четкость этих моделей, подчеркивая значение этих нерешенных вопросов.
15.2 Интеграл по траектории для вообще ковариантных систем
LQG основан на каноническом (гамильтоновом) квантовании Общей теории относительности
чья симметрия ширины кинопленки - diffeomorphism постоянство. В гамильтоновой рецептуре
присутствие ширины кинопленки symmetries [1] дает начало отношениям среди
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 273
;;красный
орбита ширины кинопленки
Гамильтониан ограничения
векторное поле
ОГРАНИЧЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТЬ
сокращение
(вращайте отельного гида пены),
квантование
сокращение
красный
квантование
семья
физика
Рис. 15.1. Слева: геометрия фазового пространства в теориях ширины кинопленки. Справа: путь квантования LQG (непрерывные стрелки).
переменные фазового пространства - схематично До (p, q) = 0 для (p, q) ; - которые являются
называемый ограничениями. Ограничения ограничивают набор возможных государств теория, требуя, чтобы они легли на гиперповерхность ограничения. Кроме того, через квадратную скобку Пуассона, ограничения производят движение, связанное с преобразованиями ширины кинопленки на поверхности ограничения (см. Рис. 15.1). Набор физических состояний (так называемое уменьшенное красное фазовое пространство), изоморфно к пространству орбит, то есть два очка на той же самой орбите ширины кинопленки представляют то же самое государство в красном, описанном в различной ширине кинопленки (Рис. 15.1).
В Общей теории относительности отсутствие привилегированного понятия времени подразумевает что Гамильтониан силы тяжести - линейное сочетание ограничений. Это означает что
Гамильтонские уравнения не могут интерпретироваться как развитие времени и скорее переписываться двигаться вдоль орбит ширины кинопленки Общей теории относительности.
В вообще ковариантных системах обычное развитие времени - чистая ширина кинопленки: от исходных данных, удовлетворяющих ограничениям каждый возвращает пространство-время, выбирая особое семейство с одним параметром преобразования ширины кинопленки (в стандартном окружении адаптивной дельта-модуляции это количество к выбору особая функция ошибки N (t) и сдвиг Na (t)).
С этой точки зрения понятие пространства-времени становится вторичным и динамическое истолкование теория кажется проблематичным (в кванте теория это упоминается как “проблема времени”). Возможная причина для эта очевидная проблема - центральная роль, игравшая пространственно-временным представлением из классических растворов силы тяжести. Однако, причина для этого к должной значительной части к применимости понятия испытательных наблюдателей (или более широко проверяют поля),
274 А. Переса
в классической общей относительности 1 Вследствие факта, что эта идеализация - полезное
приближение к (классическому) процессу соблюдения понятие пространства-времени
полезное в классической силе тяжести.
Как подчеркнуто Эйнштейном с его параметром лунки (см. [2] для современного объяснения),
только информация в относительных проведениях темы (свободный художник любого пространства-времени представление), имеют физическое значение. В классической силе тяжести остается полезным иметь пространственно-временное представление, имея дело с идеализированными испытательными наблюдателями. Например решить геодезическое уравнение и затем задать различные инвариантные вопросы, такие как: что надлежащее время, законченное на частице 1 между двумя последующими пересечениями с частицей 2? Однако, в классической теории преимущество пространственно-временного изображения становится, безусловно, менее прозрачным, если испытательные частицы заменены реальным сцеплением объектов к гравитационному полю 2
Однако, эта возможность больше не доступна в Квантовой Силе тяжести где в длине Планка ("p ; 1033 см) квантовые колебания гравитационного поле становится настолько важными, что нет никакого пути (не даже в принципе principle3), чтобы сделать соблюдения, не затрагивая поле тяготения. В этом окружении там не может будьте любым, априорно, понятием времени, и следовательно никакое понятие пространства-времени не возможно в фундаментальном уровне. Пространственно-временное изображение только воскресло бы в полуклассическом режиме с идентификацией некоторых подсистем, которые приближают понятие испытательных наблюдателей.
Каково значение интеграла по траектории на заднем плане независимое окружение? Предыдущее обсуждение исключает обычное истолкование пути интеграл. Нет никакого значащего понятия амплитуды связующей партии между государствами в представлены различные времена t1> t0 или эквивалентно понятие “унитарного развития времени” действующей компанией U (t1 ; t0). Однако, представление интеграла по траектории вообще ковариантные системы воскресают как инструмент для того, чтобы осуществить ограничения в квантовой теории, как мы утверждаем ниже.
Из-за степени трудности комбинации, связанной с явным описанием уменьшенного
красного фазового пространства, в LQG каждый следует за предписанием Дирэка. Каждый запускает, квантуя добровольное фазовое пространство, представляя канонические переменные как самопримыкающие действующие компании в кинематическом Гильбертовом пространстве Hkin. Квадратные скобки Поиссона заменены
1 Большинство (если не все) приложений учебника Общей теории относительности использует это понятие вместе с
познание определенных точных решений. В специальных ситуациях есть даже предпочтенные базируемые системы координат
на этом понятии, которые очень упрощают истолкование (например, движущиеся совместно наблюдатели в космологии, или наблюдатели в
бесконечности для изолированных систем).
2 В этом случае надо будет  сначала решить ограничения Общей теории относительности, чтобы найти исходные данные
представления самостремящихся объектов. Затем можно было бы иметь по существу два выбора: (1) устанавливают ошибку N (t) и
сдвиг Na (t), развейтесь с ограничениями, получите пространство-время (из данных) в особой ширине кинопленки, и наконец
задайте "различный инвариантный вопрос"; или (2) попытка ответить на вопрос, просто изучая данные непосредственно (без
t-развитие). Совсем не очевидно, легче ли первая опция (обычная) немного чем второе.
3, Чтобы сделать соблюдение длины Планка, мы нуждаемся в энергетическом исследовании Планка (думают об энергетическом фотоне Планка). Было бы абсурдно предположить, что можно игнорировать взаимодействие такого фотона с гравитационным
поле, обрабатывающее это как испытательный фотон.
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 275
коммутаторы стандартным способом, и ограничения продвинуты на самопримыкающие
действующие компании (см. Рис. 15.1). Если нет никаких аномалий алгебры Пуассона классические
ограничения представлены алгеброй коммутатора ассоциированного кванта ограничения. Таким образом квантовые ограничения становятся бесконечно малыми генераторами из преобразований ширины кинопленки в Hkin. Физическое Гильбертово пространство Hphys определено
как косточка ограничений, и следовательно измерять инвариантные государства. Принятие для
простота, что есть только одно ограничение, которое мы имеем
; ; Hphys iff exp [я N ;C] | ; = | ; ; N ; R,
где U (N) = exp [я, N ;C] является унитарной действующей компанией, связанной с преобразованием ширины кинопленки произведенной До ограничения с параметром N. Можно характеризовать
набор государств инварианта ширины кинопленки, и следовательно constructHphys, соответственно определяя понятие 'усреднения' вдоль орбит произведено ограничениями в Hkin.
Например, если можно понять проектор
P: Hkin ; Hphys, где P: =dN U (N). (15.1)
Очевидно из четкости это для любого ; ; Hkin затем P; ; Hphys. Путь составное представление воскресает в представлении унитарной действующей компании U (N) как сумма по историям ширины кинопленки в пути, который технически походит на норму интеграл по траектории в квантовой механике. Физическое истолкование однако вполне отличающееся, поскольку мы покажем в Разделе 15.3.4. Представление пены вращения воскресает естественно как представление интеграла по траектории полевого теоретического аналога P в окружении LQG. Само собой разумеется много математической тонкости появляются когда каждый применяет вышеупомянутую формальную конструкцию к конкретным примерам (см. [3]).
15.3 Пена вращения в 3-ьей Квантовой Силе тяжести
Здесь мы получаем представление пены вращения LQG в простом разрешимом примере:
2+1 сила тяжести. Для четкости моделей пены вращения непосредственно в ковариантном изображении см. главу Freidel, и для других подходов к 3-ьей Квантовой Силе тяжести
см. книгу [5] Карлипа.
15.3.1 Классическая теория
Риманнова сила тяжести в трех измерениях - теория без местных градусов свободы, то есть топологическая теория. Его действие (в первом формализме порядка) данный
S [ми, ;] =М.Концерн (ми ; F (;)), (15.2)
276 А. Переса
где М. = ;R (для произвольной поверхности Риманна), ; является SU (2) - соединение
и трезвучная ми - su (2) - оцененная 1 форма. Ширина кинопленки symmetries действия
местный SU (2) преобразования ширины кинопленки
;e = [ми, ;], ;; = d;;, (15.3)
то, где ; - su (2) - оценило с 0 формами, и "топологическое" преобразование ширины кинопленки
;e = d;;, ;; = 0, (15.4)
то, где d; обозначает ковариантную внешнюю производную, и ; - su (2) - оценило с 0 формами.
Первое постоянство - декларация от формы действия, в то время как вторым является следствие личности Bianchi, d;F (;) = 0. Ширина кинопленки symmetries так большое, что все растворы к уравнениям движения - в местном масштабе чистая ширина кинопленки. У теории есть только глобальные или топологические градусы свободы.
На норму 2+1 разложение фазовое пространство в этих переменных параметризованных получением по запросу отступают к ; и ми. В местных координатах можно выразить их с точки зрения двумерного соединения Ай a и трезвучный полевой Ebj = bcek до ; jk, где = 1, 2 указатели координаты пространства и я, j = 1, 2,3, является su (2)указатели. Квадратной скобкой Поиссона дают
{Ай(x), Ebj(y)} = ; си;ij ; (2) (x, y). (15.5)
Местные symmetries теории произведены ограничениями первого класса
DbEbj= 0, Fiав (A) = 0, (15.6)
которые упоминаются как правило Gauss и ограничение сабельности соответственно.
Эта простая теория квантовалась различными способами в литературе [5], здесь мы
будет использовать это, чтобы ввести представление пены вращения.
15.3.2 Пена вращения от гамильтоновой рецептуры
Физическое Гильбертово пространство, Hphys, определено теми “государствами в Hkin”, которые являются уничтоженными ограничениями. Как обсуждено в главе Тиманом (см. также
[2; 4]), государства сети вращения решают ограничение Gauss - DaEa
я|s = 0 - как они
явно SU (2) инвариант ширины кинопленки. Чтобы завершить квантование, каждый нуждается охарактеризовать пространство растворов квантовых ограничений сабельности), Fi ав, и предоставлять этому физический внутренний результат. Как обсуждено в Разделе 15.2 мы можем достигнуть этого, если мы можем понять следующее формальное выражение для обобщенной действующей компании проектирования P:
P =D [N] exp (яКонцерн [N) F (A)]) =x ;;\[F (A)], (15.7)
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 277
где N (x) ; su (2). Дайте обзор, что это - только полевой теоретический аналог уравнения
(15.1). P будет определен ниже его действием на плотном подмножестве названных испытательных государств цилиндрических функций ; Hkin (см. главу Тиманом). Если P существует затем мы имеем
sPU [N], s = Испания, s ; s, s ; Цилиндр, N (x) ; su (2) (15.8)
где U [N] = exp (я
Концерн [я N ;F (A)]). P может быть рассмотрен как карта P: Цилиндр ; KF ; Cyl$ (пространство линейного functionals Цилиндра), где KF обозначает косточку ограничение сабельности. Физический внутренний результат определен как
s, Испания: = Испания, s, (15.9)
где , внутренний результат в Hkin, и физическое Гильбертово пространство как
Hphys: = Cyl/J для J: = {s ; Цилиндр s.t. s, Испания = 0}, (15.10)
где панель обозначает стандартное завершение Cauchy пространства фактора в физической норме.
Можно сделать (15.7) строгая четкость, если Вы вводите регуляризацию. Регуляризация необходима, чтобы избежать наивных ультрафиолетовых расхождений, которые появляются в QFT, когда каждый квантует нелинейные выражения канонических полей такой как F (A) в этом случае (или те, которые представляют взаимодействия в стандартной физике элементарных частиц).
Строгое квантование достигнуто, если регулятор может быть удален без появления бесконечностей, и если число двусмысленностей, появляющихся в этом процессе находится под контролем (больше об этом в Разделе 15.4.1). Мы будем видеть, что все это может быть сделано в простом игрушечном примере этого раздела.
Мы теперь вводим регуляризацию. Учитывая партитуру с точки зрения двумерного plaquettes координатной штрафной 2 (Рис. 15.2) можно написать интеграл
F [N]: =Концерн [NF (A)] = lim;0p2Tr [NpFp] (15.11)
как предел суммы Риманна, где Np и Fp - значения поля смазывания N и сабельность abFi
ав[A] в некоторой внутренней точке plaquette p и аваWp
;;
Рис. 15.2. Келейное разложение копии пространства (квадратная решетка размер в этом примере), и бесконечно малый plaquette holonomy Wp.
278 А. Переса
тензор Левия-Сивиты. Так же holonomy Wp вокруг границы plaquette p (см. Рис. 15.2) дают
Wp = 1l + 2Fp (A) + O (2). (15.12)
Предыдущие два уравнения подразумевают что F [N] = lim;0 p Концерн [NpWp], и преимущество к следующей четкости: данный s, s ; Цилиндр (думают о государствах сети вращения), физическим внутренним результатом (15.9) дают
Испания, s: = lim;0 spdNp exp (iTr [NpWp]), s. (15.13)
Партитура выбрана так, чтобы ссылки основных графиков сети вращения ограничат plaquettes. Можно легко исполнить интеграцию по Np, используя личность (теорема Петра-Веила)
dN exp (iTr [СЗ]) =j(2 j + 1) Концерн [j(W)], (15.14)
где
j(W) вращение j унитарное непреодолимое представление SU (2). Используя
предыдущее уравнение
Испания, s: = lim;0np ()pjp(2 jp + 1) s Концерн [jp(Wp)]), s, (15.15)
где вращение jp связано с pth plaquette, и n p () является числом plaquettes. Так как элементы набора действующих компаний петли Уилсона {Wp} добираются, упорядочивание plaquette-действующих-компаний в предыдущем результате не имеет значение.  Ограничение ; 0, существует, и можно дать закрытое выражение для внутреннего медосмотра результат. То, что регулятор может быть удален, следует из orthonormality SU (2) непреодолимые представления, который подразумевает, что две суммы вращения связывались с действием двух соседних plaquettes выходит из строя в одиночную сумму по действию сплава соответствующего plaquettes (см. Плод инжира 15.3). Каждый может также
покажите, что это конечно, 4 и удовлетворяет все свойства внутреннего результата [6].
4 физический внутренний результат между государствами сети вращения удовлетворяет следующее неравенство** s, Испания**; ДО j (2 j + 1) 2;2g,
для некоторой положительной постоянной До. Конвергенция суммы для соль рода ; 2 следует непосредственно. Случай
соль сферы = 0 и соль торуса = 1 банка быть обработанным индивидуально [6].
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 279
jk(2 j + 1) (2 k + 1)
j k= k(2 k + 1)
k
Рис. 15.3. В двух размерах действие двух соседних plaquette-сумм на вакуум эквивалентен действию одиночного более крупного plaquette полученного действия от сплава оригинальных. Это подразумевает тривиальное масштабирование медосмотра внутренний результат при обработке регулятора и существовании четко определенного ограничения ; 0.
15.3.3 Представление пены вращения
Каждый Концерн [jp(Wp)] в (15.15) деяния в Hkin, создавая замкнутый контур в jp представлении
в границе соответствующего plaquette (Плоды инжира 15.4 и 15.6). Теперь, чтобы получить представление пены вращения, мы вводим немедосмотр (скоординируйте время), следующим образом. Вместо того, чтобы работать с одной копией копии пространства мы рассматриваем n p () копии как дискретное расплющивание {p} n p ()p=1. Затем мы представляем каждый Концерн [jp(Wp)] в (15.15) на соответствующем p. Если Вы вставляете партитуру единства в Hkin между ломтиками, графически
1l =;\;, {j} ;| ;\, {j} ;, {j} |координатное время;3;2;1(15.16)
где сумма по полному основанию государств сети вращения {| ;, {j}} — базируется на всех графиках ; ; и со всей возможной маркировкой вращения - каждый прибывает в сумму по сетевому вращением представлению историй s, Испания. Более точно, s , Испания может быть выражен как сумма по амплитудам, соответствующим серии связующих партий что может быть рассмотрено как “развитие времени” между "начальной" сетью вращения s и "заключительной" сетью вращения s. Это иллюстрировано в двух простых примерах Плодов инжира. 15.5 и 15.7); на r.h.s. мы иллюстрируем полученное изображение пены вращения континуума когда регулятор удален в пределе ; 0.
Узлы сети вращения развиваются в края, в то время как ссылки сети вращения развиваются в
двумерные лица. Края наследуют intertwiners, связанный с узлами и лица наследуют вращения, связанные со ссылками. Поэтому, серия связующих партий может быть представлен с 2 комплексами, 1 обитель которого маркирована intertwiners и
280 А. Переса
Концерн [k(Wp)] jP= м.Nj, м., k jм.
k
Рис. 15.4. Графическая нотация, представляющая действие одного plaquette holonomy на государстве сети вращения. Справа результат, написанный с точки зрения сети вращения основания. Амплитуда Nj, м., k может быть выражен с точки зрения Clebsch-Gordan коэффициентов.
jjм.kм.kjjkм.м.kjм.jkjkм.м.kjм.kjjkм.м.kj.kм.j
Рис. 15.5. Ряд дискретных связующих партий в от петли к петле физический внутренний результат
полученный серией связующих партий как в Рис. 15.4. Справа, непрерывного вращения представление пены в пределе ; 0.
Концерн [n(Wp)] j kм.P= o, p1njkm+j k м.n o p,j kм.p on
Рис. 15.6. Графическая нотация, представляющая действие одного plaquette holonomy
на вершине сети вращения. Объект в скобках ({}) является 6j-символом и j: = 2 j + 1.
чьи 2 обители маркированы вращениями. Помещение, где действие plaquette действующие компании петли создают новые ссылки (Плоды инжира 15.6 и 15.7), определяют 0 обителей или вершины.
Эти подобные пене структуры - так называемая пена вращения. Амплитуды пены вращения
являются просто комбинаторными и может быть явно вычислен от простого действия действующей компании петли в Hkin. Физический внутренний результат берет норму
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 281
м.jkм.onkjpм. nkjpopм. nkojм. nkjpoм. nkjpoм. ponkjм. nkjpoм. nkpojм.kop n
Рис. 15.7. Ряд дискретных связующих партий, представляющих одну из способствующих историй
в фиксированном значении регулятора. Справа, непрерывной пены вращения представление, когда регулятор удален.
Ponzano-Regge формируются, когда сеть вращения заявляет s, и s имеют только 3-valent
узлы. Явно,
s, Испания =Fs;sf ;Fs;s(2 j f + 1); f2v;Fs;sj3j4 j5jj 2 1j6, (15.17)
где сумма по всей интерполяции пены вращения между s и s (обозначенный
Fs;s, см. Рис. 15.10), f ; Fs;s обозначает лица пены вращения (маркированный
вращения j f), v ; Fs;s обозначает вершины, и ; f = 0 если f ; s = 0 ; f ; s = 0,
; f = 1, если f ; s = 0 ; f ; s = 0, и ; f = 2, если f ; s = 0 ; f ;
s = 0. Четырёхгранная диаграмма обозначает 6 j-символов: амплитуда получена
посредством естественного сокращения четырех соответствий intertwiners 1 обители, сходящаяся в вершине. Более широко, для произвольных сетей вращения, амплитуда вершины соответствует 3nj-символам, и s, Испания берет ту же самую генерала, главную форму.
Даже при том, что упорядочивание plaquette действий не затрагивает амплитуды,
представление пены вращения условий в сумме (15.17) очень зависит от того упорядочивания. Это представлено в Рис. 15.8 где пена вращения, эквивалентная этому из Рис. 15.5 получен, выбирая упорядочивание plaquettes где таковые центральный акт области сначала. Можно видеть эту свободу представления как аналогия свободы ширины кинопленки в пространственно-временном представлении в классической теории.
Можно фактически явно создать основание Hphys, выбирая линейно независимую группу представителей классов эквивалентности определена в (15.10).
282 А. Переса
jkjм.jм.kjkjм. kjм.kj kjм. kjм.kkjм.jм.
kм.м.kj
Рис. 15.8. Различное представление связующей партии Рис. 15.5. Эта пена вращения получена различным выбором упорядочивания в (15.15).
6g;14
6g;13
6g;12
6g;11
6g;10
6g;9
6g;8
6g;7
6g;6
1
2
3
4
5
Рис. 15.9. Сетевое вращением основание физических состояний для произвольной соль рода Риманн
поверхность. Есть 6g ;, 6 меток вращений (вспомните, что 4-valent узлы переносят квантовое число intertwiner).
Одно такое основание иллюстрировано в Рис. 15.9. Число необходимых квантовых чисел маркировать базисный элемент 6g ; 6, соответствуя измерению пространство модулей SU (2) единообразные соединения на поверхности Риманна соль рода. Это количество степеней свободы классической теории. Таким образом мы прибываем в полностью комбинаторной четкости стандартного Hphys, уменьшая большое количество градусов свободы кинематического фазового пространства конечно многим действием из обобщенной действующей компании проектирования P.
15.3.4 Квантовое пространство-время как истории ширины кинопленки
Что геометрическое означает конфигурации пены вращения? Можем мы идентифицировать
пена вращения с “квантовыми конфигурациями пространства-времени”? Ответ на вышеупомянутое
вопросы, строго говоря, отрицательно в согласии с нашим обсуждением в
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 283
j
j
j
k
k
k
л
л
л
p
q o
q
p
o м.
n s
j
k
л
м.
n
s
Рис. 15.10. Пена вращения как "цветное" представление с 2 комплексами связующей партии
между тремя различными государствами сети вращения. Вершина связующей партии величается с
права.
конец Раздела 15.2. Это заключение может быть лучше всего иллюстрировано, выглядя первым
в простом примере в 2+1 силе тяжести, где М. = S2 ; R (соль = 0). В этом случае конфигурации пены вращения, появляющиеся в амплитудах связующей партии, смотрят в местном масштабе то же самое как те, которые появляются в представлении P для любой другой топологии. Однако, внимательный взгляд на физический внутренний результат, определенный лицензиями P одной  приводит к заключению, что физическое Гильбертово пространство является одномерным - классическая теория имеет нулевой градус свободы и таким образом нет никакого нетривиального Dirac, заметного в квантовой теории. Это означает, что сумма по пене вращения в (15.17) не является ничем иным но сумма по чистым градусам ширины кинопленки свободы и следовательно никакого физического истолкования может быть связан к этому. Вращения, маркирующие промежуточную пену вращения, не переписываются к любому измеримому количеству. Для любой другой топологии это все еще сохраняется, истинные градусы свободы самой глобального топологического характера. Это означает что в общем (даже когда местные возбуждения присутствуют как в 4d), геометрическое пространство-время истолкование конфигураций пены вращения является тонким. Это - важный момент что часто выходят в литературе: нельзя интерпретировать сумму пены вращения из (15.17) как сумма по конфигурациям любым очевидным способом. Его истина, означающая вместо этого
прибывает от усреднения по орбитам ширины кинопленки, произведенным квантовыми ограничениями что определяет P - напоминают классическое изображение Рис. 15.1, дискуссию о
eq. (15.1), и конкретное выполнение в 2+1, где U (N) в (15.8) унитарное преобразование, представляющее орбиты, произведенные пеной Ф. Спина, представляет историю ширины кинопленки кинематического государства. Сумма по историям ширины кинопленки что определяет P как средство для того, чтобы извлечь истинные градусы свободы от тех которые закодированы в кинематических граничных государствах.
284 А. Переса
Здесь мы изучили истолкование представления пены вращения в точном окружении нашего игрушечного примера; однако, законность заключения имеет общие символ и сохраняется в случае физического интереса четырехмерный LQG. Хотя, квантовые числа, маркирующие конфигурации пены вращения, переписываются к собственным значениям кинематических геометрических количеств, таким как продолжительность (в 2+1) или штрафная (в 3+1), LQG, их физическое значение и измеримость зависят от динамического соображения (например наивное истолкование вращений в 2+1 силе тяжести как кванты физической продолжительности, как показывают, здесь не физической уместности). Количественные понятия, такие как время, или расстояние так же как качественные проведения темы о причинном структура или время, упорядочивая вводит в заблуждение (в лучшем случае), если они наивно созданы в условиях понятий, являющихся результатом истолкования пены вращения как квантовое пространство-время конфигурации 5
15.4 Модели пены вращения в четырех размерах
Мы изучили 2+1 силу тяжести, чтобы ввести качественные полнометражные фильмы
представление пены вращения в точной установке. Теперь мы обсуждаем некоторые из идей
это преследуется для физического случая 3+1 LQG.
Представление пены вращения канонического LQG
Нет никакой полной конструкции физического внутреннего результата LQG в четырех размерах. Представление пены вращения как устройство для его четкости было первоначально введенная в канонической рецептуре Ровелли [2]. В четырехмерных трудностях LQG в понимании движущих сил центрированы вокруг понимания пространства растворов квантового ограничения скаляра ;S (см. Главу 13 Тиман). Физический внутренний результат формально становится
-Постскриптум, s.разность=D [N]; n=0я nn!/;;N (x)) S (x);;ns, s4разность, (15.18)
где , разность обозначает внутренний результат в Гильбертовом пространстве различно-инвариантных государств, и показательное в (полевой теоретический аналог) (15.1) было расширено в
силах.
Гладкие государства петли естественно уничтожены) S (независимо от любого квантования
двусмысленности [9; 10]). Следовательно,), S действует только на узлы сети вращения.
В общем это делает так, создавая новые ссылки и узлы, изменяющие основной график государств сети вращения (Рис. 15.11).
5 обсуждение этого раздела - прямое следствие перспективы Дирэка, относился к пене вращения представления.
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 285


N (x)) S (x)
j kм.= только для указанных целейN (xn) Snopj kм.p onjponkм.
Рис. 15.11. Действие скалярного ограничения и его представления пены вращения.
N (xn) - значение N в узле, и Snop - матричные элементы), S.
В пути, который качественно подобен тому, что мы нашли в конкретном выполнении
из ограничения сабельности в 2+1 силе тяжести, каждого термина в сумме (15.18) представляет серию связующих партий - данный локальным действием), S в сети вращения узлы - через различные государства сети вращения, интерполирующие границу, заявляют s и s соответственно. Действие S ; может визуализироваться как “вершина взаимодействия” в развитие 'времени' узла (Рис. 15.11). Как в 2+1 размерах, eq. (15.18) может быть изображен как сумма по "историям" сетей вращения, изображенных как система из переходящих поверхностей, описанных с 2 комплексами, элементы которого наследуют метки представления на промежуточных состояниях (см. Рис. 15.10). Значение
амплитудами "связующей партии" управляют матричные элементы), S.
Представление пены вращения в Основной Программе Ограничения
Предыдущее обсуждение формально. Каждый работает в технические трудности, если Вы пробуете осуществить конструкцию 2+1 силы тяжести в этом случае. Главная причина для
этого - факт, что алгебра ограничения не соглашается с константами структуры в случае 3+1 силы тяжести 6, Чтобы обойти эту проблему (см. главу Тиман), Тиман недавно предложил верстать одно одиночное основное ограничение определенное как
M =dx3 S2 (x) ;; qabVa (x) Vb (x)det q (x), (15.19)
где qab - метрика пространства, и Va (x) является векторным ограничением. Используя методы
развитый Тиманом, этому ограничению можно действительно способствовать на квант
действующую компанию, действующую на Hkin. Физический внутренний результат мог затем быть определен как
s, Испания: = limT ;;/s,T;Tdt ei t) г-жа4. (15.20)
6 В 2+1 силе тяжести алгебра ограничения соответствуют алгебре Ли меня ТАК (3) (изометрии Евклидова бемоля пространство-время). Нет никаких местных градусов свободы, и у основной симметрии ширины кинопленки есть нединамическое структура. В 3+1 силе тяжести присутствие гравитонов измененяет то. Факт, что алгебра ограничения закрывается со структурой функции означают, что структура симметрии ширины кинопленки - динамический или полевой иждивенец. Это ключевая степень трудности комбинации в преобразовании простых результатов 2+1 в 3+1 размеры.
286 А. Переса
Представление пены вращения предыдущего выражения получено, разделяя t-параметр в дискретных шагах и письме
ei t) М. = limn ;;[ei t) M/n] n = limn ;;[1 + я t) M/n] n. (15.21)
Представление пены вращения следует из факта что действие основной действующей компании 1+i t) M/n на сети вращения может быть написана как линейное сочетание новых сети вращения, графики которых и метки были изменены созданием новых узлы (в пути, качественно аналогичном локальному действию, показанному в Рис. 15.11). Явное происхождение физического внутреннего результата 4d LQG вдоль этих строк под текущим следствием.
Представление пены вращения: ковариантная перспектива
В четырех размерах также мотивировалось представление пены вращения LQG
дискретизациями решетки интеграла по траектории силы тяжести в ковариантной рецептуре
(поскольку недавние повторения видят [7; 8] и Глава 16 Freidel). В четырех размерах там
две красных строки подхода; оба основаны на классических рецептурах силы тяжести
основанный на модификациях действия BF-теории.
Первый подход лучше всего представлен моделью [11] Barrett-Кран и переписывается
к попытке квантования классической рецептуры базируемой силы тяжести на действии Плебанского
S [СИ, A, ;] =Концерн [Си ; F (A) + ; Си ; Си], (15.22)
то, где Си, таким образом (3, 1) - оцененная ; с двумя формами, является множителем Lagrange, верстающим квадратное ограничение на Бакалавра наук, растворы которого включают Си сектора = $ (ми ; e), для четырехвалентной, тетрады ми, соответствуя силе тяжести в четырехвалентной, тетрады рецептуре. Ключевая идея в четкости модели - то, что интеграл по траектории для BF-теории, действие которого
S [СИ, A, 0],Ptopo =D [Си] D expяКонцерн [Си ; F](15.23)
может быть определен с точки зрения пены вращения простым обобщением конструкции
из Раздела 15.3 [13]. Дайте обзор, что формальная структура действия S [Си, A, 0] аналогичная тому из действия 2+1 силы тяжести (15.2) (см. [12]). Барретт - Крана Модель стремится обеспечивать четкость интеграла по траектории силы тяжести формальнописьменный как
PGR =D [Си] D ; [Си ; $ (ми ; e)] expяКонцерн [Си ; F], (15.24)
где мера D [Си] D ; [Си ; $ (e;e)] ограничивает сумму в (15.23) теми конфигурациями топологической теории, удовлетворяющей Си ограничений = $ (ми ; e) для
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 287
некоторой четырехвалентной, тетрады ми. Замечательный факт - то, что Си ограничения = $ (e;e) могут быть непосредственно осуществленны на конфигурациях пены вращения Ptopo соответствующим ограничением на позволенные метки вращения и intertwiners. Все это возможно, если регуляризация проводится, состоя из келейного разложения пространственно-временной копии.
Ключевой нерешенный вопрос, однако, как избавиться от этого регулятора. Предложение по регулятору независимой четкости - четкость групповой представленной рецептуры теории поля
в Главе 17 Oriti.
Второе предложение - то, недавно введенное Фреиделем и Стародубцевым
[14] основанный на рецептуре действие Макдауэлл-Мансури Риманновой силы тяжести
данный S [СИ,] =Концерн [Си ; F (A) ; ;4СИ ; B;5], (15.25)
где Си, таким образом (5) - оценил с двумя формами, так (5) соединение, ; = Соль/3 ;
10;120 постоянное сцепление, и ;5 в последнем термине ставит симметрию ломки ТАК (5) ; ТАК (4). Идея состоит в том, чтобы определить PGR как серию силы в ;, а именно,
PGR =;n=0(;i;) n4nn!D [Си] D (Концерн [Си ; B;5]) n expяКонцерн [Си ; F]. (15.26)
Отметим, что каждый термин в сумме - значение ожидания определенной силы Бакалавра наук по
углублению поняло топологическую полевую теорию BF. Регулятор в форме келейного
разложения пространственно-временной копии необходимо, чтобы дать значение прежнему
выражению. Из-за отсутствия местных градусов свободы BF-теории ожидается, что регулятор может быть удален на аналогии с 2+1 силой тяжести случае. Важно показать, что удаление регулятора не ставит набор не поддающийся контролю двусмысленностей (см. замечания ниже оценки renormalizability).
15.4.1 Ультрафиолетовая проблема на заднем плане независимого окружения
В представлении пены вращения функциональный интеграл для силы тяжести заменен суммой по амплитудам комбинаторных объектов, данных подобными пене конфигурациями (вращайте пену). Это - прямое следствие фонового независимого обслуживания из градусов поля тяготения свободы. В результате есть, не помещают для ультрафиолета расхождения, что Квантовая Теория Поля нормы чумы. Комбинаторная природа из фундаментальных градусов свободы геометрии появляется как регулятор всех взаимодействий. Это, кажется, типичная функция всех отнесенных рецептур
к в этой главе. Это означает, что ультрафиолетовая проблема в LQG решена? Ответ на этот вопрос остается открытым по следующей причине. Вся четкость  вращения модели пены требуют вводной части некоторого регулятора в общем представленный пространством (например, в канонической рецептуре 2+1 силы тяжести или в
288 А. Переса
программа основного ограничения) или пространственно-временная решетка (например, в модели Barrett-Крана или в предписании Фрейдел-Стародубцева). Эта решетка играет роль ультрафиолета
регулятор в более или менее том же самом смысле как ультрафиолетовый перемах () в стандартном QFT. Ультрафиолетовая проблема в стандартном QFT часто связывается с расхождениями в амплитудах когда предел ;; взят. Стандартная процедура перенормализации состоит из взятия того предела, соответственно настраивая пустые параметры теории так, чтобы ультрафиолетовые расхождения отменили, чтобы дать конечный ответ. Связанный к этому процессу есть свойственная двусмысленность относительно того, какие значения определенные амплитуды должны взять.
Они должны быть установлены соответствующим сравнением с экспериментами (перенормализации
условия). Если только конечное число условий перенормализации требуется теория, как говорят, является renormalizable. Двусмысленность процесса удаления регулятор — свойственное свойство QFT.
Фоновое независимое обслуживание силы тяжести в LQG или моделях пены вращения
мы описали, здесь не выходят из этих общих соображений (см. [15]). Поэтому, даже при том, что никакие ультрафиолетовые расхождения не могут воскреснуть как следствие комбинаторного
структура поля тяготения, сердце ультрафиолетовой проблемы теперь  будет найдено в потенциальных двусмысленностях, связанных с устранением регулятора. Это остается открытой проблемой для всех попыток квантования силы тяжести в 3+1 размеры. Проблема принимает следующую форму в каждом из подходов представленных в этой главе.
• Удаление регулятора в 2+1 случае является свободным от двусмысленностей и следовательно бесплатным от
любой ультрафиолетовой проблемы (см. [15]).
• В случае основной программы ограничения можно явно показать, что есть большой градус двусмысленности связанный к процедуре [15] регуляризации. Остается быть показанный, уменьшена ли эта двусмысленность или исчезает, когда регуляторы удалены на четкости P.
• Модель Barrett-Кран - иждивенец дискретизации. Никакое ясное предписание для устранения зависимости триангуляции известно.
• Предписание Фрейдел-Стародубцева страдает (в принципе) от связанных двусмысленностей с четкостью значения ожидания Одночленов си, появляющихся в (15.26) прежде, чем регулятор удален 7, надеются что тесная связь с топологической теорией могла бы исправить эти двусмысленности, хотя это остается быть показанным.
Продвижение разрешения этой проблемы в любом из этих подходов представило бы главный прорыв в LQG.
7 есть различные предписания в литературе по тому, как определить эти одночлены. Они в основном созданы с точки зрения вставки соответствующих источников, чтобы создать BF, производящий функцию. Все они свойственно неоднозначны, и градус двусмысленности растет с порядком одночлена. Основной источник из двусмысленности находится в проблеме где в дискретной решетке, чтобы действовать с функциональными исходными производными.
Представление пены вращения квантовой силы тяжести петли 289
Подтверждение
Я хотел бы благодарить М. Мондрагона за осторожное чтение рукописи и D. Oriti для его усилия и поддержки в этом проекте.
Ссылки
[1] P. Утра Dirac, Лекции по Квантовой механике (Дувр, 2001).
[2] До. Ровелли, Квантовая Сила тяжести (Кембридж, издательство Кембриджского университета, 2005).
[3] D. Giulini & D. Marolf, На общности усовершенствованного алгебраического квантования. Класс.
Шест для отталкивания. Grav. 16 (1999) 2479.
[4] Т. Тиман, Вводная часть к Современной Канонической Квантовой Общей теории относительности,
(Кембридж, издательство Кембриджского университета, 2007).
[5] С. Карлип, Квантовая Сила тяжести в 2+1 Размерах (Кембридж, Кембриджский университет
Нажмите, 1998).
[6] K Noui & A. Перес, Трехмерная квантовая сила тяжести петли: Физический скаляр
результат и модели пены вращения, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 22 (2005) 4489-4514.
[7] A. Перес, модели пены Вращения для квантовой силы тяжести, Класса. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003)
R43.
[8] Д. Орити, Пространственно-временная геометрия от алгебры: модели пены Вращения для невызывающего волнение
квантовая сила тяжести. Rept. Прогр Физика 64 (2001) 1489-1544.
[9] T. Jacobson & L. Smolin, Невызывающие волнение квантовые конфигурации. Nucl. Физика. B299
(1988) 295.
[10] Л Smolin & C. Ровелли, представление пространства Петли квантовой Общей теории относительности.
Nucl. Физика. B331 (1990) 80.
[11] J. W. Barrett & L. Студийный кран, Релятивистские сети вращения и квантовая сила тяжести. Дж. Мэт.
Физика 39 (1998) 3296-3302.
[12] Дж. К. Баэз, вводная часть, чтобы вращать модели пены квантовой силы тяжести и теории BF.
Lect. Физика примечаний 543 (2000) 25-94.
[13] Л Студийного крана, Л Kauffman & D. Н. Еттер, инварианты государственной суммы 4 копий. J Узел
Theor. Разветвления 6 (1997), 177-234.
[14] Л Freidel & A. Стародубцев, Квантовая сила тяжести с точки зрения топологического observables
(2005) arXiv:hep-th/0501191.
[15] A. Перес, На двусмысленностях регуляризации в квантовой силе тяжести петли (2005)
arXiv:gr-qc/0509118.
16
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения
L. FREIDEL
16.1 Вводная часть
Квантовая сила тяжести петли обеспечивает фоновый независимый подход к Кванту Силы тяжести. В этом окружении кинематическое Гильбертово пространство заполнено сетями вращения (график, маркированный представительствами от групп населения Lorentz), которые являются eigenstates геометрических действующих компаний. Движущие силы таких теорий закодированы в ряде связующих партий   амплитуды между начальной буквой и финалом вращают сетевые государства, которые переносят информацию о физическом внутреннем результате теории. В общем, эти амплитуды созданы с точки зрения моделей пены вращения, которые являются местными государственными моделями суммы связанный с суммой цветной интерполяции 2 комплексов между начальной буквой и заключительными государствами сети вращения.
Есть много важных вопросов, которые нужно обратиться в этой структуре такой как надлежащий выбор движущих сил, конструкции и истолкования амплитуды пены вращения, сцепление, чтобы иметь значение, спаривание для дела и описание полуклассического режима такой теории. Вклады Д. Орити и А. Переса в этом объем обращаются к некоторым из этих проблем.
В этом вкладе мы сосредоточимся на простом случае трехмерных силы тяжести и ее квантование через модели пены вращения. Преимущество использования структура пены вращения является двойной, двуслойной. Во-первых, эта структура специально не скроена к трем измерениям, в отличие от квантования Chern-Simons например, и некоторые из уроков и методов, используемых там, могут быть полезными для более реалистического четырехмерного случая. Во-вторых, этот способ квантовать силу тяжести соглашается с другими квантованиями, когда они применяются, но вообще применимы к большему классу проблем (как сила тяжести Lorentzian и вычисление изменения топологии амплитуды).
Надлежащий способ закодировать движущую силу 3-ьей силы тяжести с точки зрения пены вращения модель была обнаружена давным-давно Ponzano и Regge [1]. В следующем
мы суммируем ряд недавних результатов [2; 3; 4; 5] относительно Ponzano-Regge
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 291
модель. Мы показываем, как эта четкость может быть связана с дискретизацией действия силы тяжести, мы затем показываем что остаточная симметрия ширины кинопленки, все еще существующая в системе должна быть установленной шириной кинопленки и что это устраняет нежелательную симметрию; мы затем опишем сцепление содержания к 3-ьей силе тяжести и покажем, как это может быть эффективно описанный с точки зрения некоммутативной плетеной квантовой теории поля.
16.2 Классическая сила тяжести и содержание
В первом формализме порядка 3-ья сила тяжести описана в термине поля фрейма ei;dx;
и соединение вращения ;i;dx;. Они оба оценены в алгебре Ли так (3) для Евклидовой теории, в то время как они попали бы так (2, 1) в теории Lorentzian. Оба указатели i и ; работают от 0 до 2. Действие определено как:
S [ми, ;] = 116;Gei ; Fi [w], (16.1)
где F ; d; + ; ; ; является тензором кривизны 1 формы ;. Уравнение
движения для чистой силы тяжести затем просто верстает, что соединение — бемоль, плоское
F [;] = 0.
Второе уравнение движения верстает, что скрученность исчезает, T = d;e = 0.
Частицы Spinless введены как источник сабельности (вращение было бы введенно как источник скрученности):
Fi [;] = 4;Gpi; (x).
Вне частицы пространство-время остается бемолем, плоским и частица просто создает коническую особенность с углом дефицита имела отношение к массе частицы [6; 7]:
; = ;m, ; ; 4;G. (16.2)
Этот угол дефицита игнорирует реакцию частицы на пространства-времени геометрии.
Так как угол дефицита, очевидно, ограничен 2;, у нас есть максимальная масса (для частицы очка), который определяет массу Планка:
м. ; mmax = 2;;= 12G= mP.
Факт, что масса Планка mP в трех пространственно-временных размерах зависит только на Ньютона постоянной Соль и не зависит от постоянной Планка, существенная особенность 3-ьей Квантовой Силы тяжести и объясняет, почему 3-ья сила тяжести обладает такими удивительными свойствами как энергия адаптивной дельта-модуляции, ограниченная снизу и выше.
292 Л. Фреиделя
16.3 Модель Ponzano-Regge
Модель Ponzano-Regge обеспечивает полное квантование 3-ьей силы тяжести как государства
модель суммы. Это можно рассмотреть как дискретизацию интеграла по траектории действие (16.1),
Z =DeD;ei S [ми, ;].
Однако, так как теория является топологической, discretized интеграл по траектории фактически
обеспечивает квантование теории континуума.
Более специально мы считаем триангуляцию 3-ьей копии М., сделанной из вершин, ми краев и лиц f. Мы можем работать более в общем с келейным разложением. Трезвучное, триады поле ei
; - discretized как Ксенон элементов алгебры Ли ; так (3) присоединенные к каждому  краю ;, в то время как соединение ;i ; определено до ТАК (3) группы элементов f ; ТАК (3) присоединенные к каждому лицу f или эквивалентно присоединенный к каждому двойному  краю ; ; ;. Мы можем далее определить holonomy Ge вокруг каждого края ми и discretize действие как:
S [Ксенон, соль f] = 116;Gмиконцерн (XeGe), Ge ;;;; f *eсоль f. (16.3)
Используя следующий состав, дающий ;-distribution на group1 ТАК (3):
;\(G) =так (3)d3X8;e12концерн (XG), (16.4)
мы можем объединить трезвучный. триаду Ксенон переменных и написать функцию партитуры как результат из ;-functions, верстающего плоскостность соединения:
Z =миdXefдециграмм f ми 12 концерн ми (XeGe) (16.5)
=fдециграмм fми;\(Ge), (16.6)
с дециграммом нормализованной мерой Хаара и дуплекс ; d3X/8;. Перерасширение ; (G) в
условиях SU (2) - символы:
;\(g) =j;Ndj;j (g),
1 В этой главе мы работаем с ТАК (3) = SU (2)/Z2, функция дельты на ТАК (3) связана с функцией дельты на SU (2) ;SO (3) (g) = (;SU (2) (g) + ;SU (2) (;g)).
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 293
с ди-джеем = 2 j + 1, мы можем наконец объединить соль f переменные и выразить функцию партитуры как государственная модель суммы с единственными переменными метки представления je, присоединенную к каждому краю триангуляции:
Z ={je}миdjet+je1 je2 je3je3 je5 je6,, (16.7)
групповая интеграция дает результат ТАК (3) {6 j} символы, соответствующие каждой
tetrahedra триангуляции. Это - функция партитуры, первоначально определенная Ponzano и Regge. Z - свободный художник триангуляции и зависит только на топологии 3-ьего manifoldM. Кроме того, поскольку мы будем видеть, это конечно после надлежащей установки ширины кинопленки diffeomorphism симметрии [2; 3; 8].
Если мы рассматриваем триангуляцию с границей ;in ; ;out, мы определяем Квантовую амплитуду Силы тяжести таким же образом за исключением того, что мы не суммируем по
граничными вращениями. Амплитуда зависит от граничного диктора - оператора на радио сетей вращения к граничной триангуляции и это дают нам Квантовую амплитуду связующей партии Силы тяжести Z (jin, jout). Если мы специализируем к цилиндрической топологии М. = [0, 1] ; 2,
Z (jin, jout) фактически проектор на единообразных соединениях (на 2), который является
ожидаемым проектором на физические состояния в теории [9] континуума.
Функция партитуры, выраженная как выше, является просто алгебраической и Ньютон постоянная Соль для силы тяжести не появляется вообще. Это ожидается от континуума теория начиная с Соль может быть поглощена в перенормализации трезвучного поля e. Соль вновь появляется, когда мы выражаем физическую продолжительность и расстояния с точки зрения
метки представления и продолжительность, длины Планка:
l = j долгоиграющая пластинка = j Соль.
Это ясно появляется в полуклассическом поведении {6 j} символы. Действительно, для
больших вращений j s, {6 j} символ - до коэффициента нормализации косинус Действия Regge SRegge для четырёхгранника с продолжительностью края j ; долгоиграющая пластинка,  [10; 11; 12].
16.3.1 Симметрия ширины кинопленки
Конструкция Ponzano-Regge довольно формальна начиная с законченного суммирования
вращения, которые появляются на четкости функции партитуры (16.7), являются ужасно расходящимися. А именно, если бы Вы помещали срез на вращения j <затем, то можно было бы ожидать функцию партитуры, чтобы масштабироваться как 3V, где V число вершин в триангуляции.
Этот факт, в течение долгого времени, предотвращал более глубокое понимание этой модели. Ключевой пункт, сделанный в [8; 2] понимании, что эти расхождения главным образом из-за присутствия симметрии ширины кинопленки: эти расхождения только выражают факт, что объем группы ширины кинопленки не конечен. Ясно 3-ья сила тяжести является инвариантной
294 Л. Фреиделя
при обычном преобразовании ширины кинопленки. Ширина кинопленки symmetries действия континуума (16.1) симметрия ширины кинопленки Lorentz
;\; g;1dg + g;1;g, e;g;1eg, (16.8)
в местном масштабе параметризовавший групповой соль элемента, и переводной симметрией в местном масштабе параметризовавший элементом алгебры Ли ;
;\;;, e;e + d;; (16.9)
и который держится из-за личности Bianchi d;F = 0. Сочетание их symmetries эквивалентен на оболочке diffeomorphism симметрии.
Дискретное действие (16.3) является инвариантным при дискретном преобразовании ширины кинопленки Lorentz действования в каждом tetrahedra. Это - аналог обычной симметрии ширины кинопленки теория ширины кинопленки решетки. Так как мы рассматриваем здесь Евклидову силу тяжести, группу Lorentz -компактная группа, и эта симметрия ширины кинопленки принята во внимание при использовании нормализованной меры Хаара в (16.6).
Замечательно дискретное действие (16.3) является также инвариантным под дискретной версией из переводной симметрии. А именно, возможно определить ковариантную производную
;e, действующий на элементы алгебры Ли v, связывался к вершинам триангуляции, таким образом, что изменение
;Xe = ;e (16.10)
оставляет действие (16.3) инвариант. Дискретная ковариантная производная упарилась, уменьшилась к обычной производной ;e ; se; te, когда поле ширины кинопленки - Abelian и симметрия происходит из-за дискретной личности Bianchi.
Так как эта симметрия некомпактна, мы должны измерить затруднительное положение ее, чтобы определить функция партитуры и значения ожидания observables. Естественная установка ширины кинопленки состоит из выбора набора краев T, которые творят дерево (никакие петли) и который максимально (соединенный и который проходит все вершины). Мы затем arbitarily затруднительное положение значения Ксенона для всей ми краев ; T. В континууме эта установка ширины кинопленки количество к выбору векторного поля v (дерево) и установки значения ei
;v;, который является  выбрать "осевую" ширину кинопленки.
Взятие этой установки ширины кинопленки и детерминанта Фаддев-Попова во внимание в
происхождении (16.6, 16.7) мы получаем установленную модель ширины кинопленки Ponzano-Regge
Z, T, j 0 ={je}миdjee;T; je, j 0ми(ди-джей 0) 2t+je1 je2 je3je3 je5 je6,. (16.11)
Как тест надежности можно показать что Z, T, j 0 = ZGF свободный художник выбора максимального дерева T и параметра установки ширины кинопленки j 0.
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 295
16.4 Содержание сцепления, материи, дела к Квантовой Силе тяжести
Чтобы соединить частицы с материальными полями, мы сначала создаем сцепление из силы тяжести к интегралам Feynman с тех пор, поскольку мы собираемся видеть, есть бекар, натуральное и
однозначный способ соединить модель Ponzano-Regge с интегралами Feynman.
Мы используем факт, что интегралы Feynman могут быть написаны как worldline интеграл
[13], это - то, если (закрыто для простоты) график Feynman, его интеграл Feynman данный
Я (e) =D;DxDp ei S, (16.12)
где
S (x, p, ;) = 12ми ;миконцерн d;peet ; ;e2(p2ми; ;2e). (16.13)
; - поле множителя Lagrange, которое является полем фрейма worldline и ограничен быть всегда положительным (метрика на worldline дана ds2 = ;2d; 2); x обозначает встраивание графика в пространство-время и и = e; ; x;, pe = пирог;i элементы алгебры Ли. Мы хотим вычислить сцепление содержания к силе тяжести что - значение ожидания
I =DeD; ei S [ми, ;] я (e).
Обратите внимание, что, когда мы исполняем интеграл по всей геометрии, мы эффективно объединяем все возможное встраивание графика. Так интеграл по всему встраиванию
x избыточен и может быть понижен: Я также равен предыдущему интегралу, но с неподвижным графиком. То, что является хэппенингом, - то, что присутствие неподвижного графика ломает
симметрию diffeomorphism вдоль графика, эти градусы ширины кинопленки свободы
динамичное становление и играет роль позиции частицы.
Так как мы видели, что есть остаточное действие переводных (который равный diffeomorphism на оболочке) симметрия в модели Ponzano-Regge подобное явления произойдут и сцепление неподвижного графика Feynman к Модели Ponzano-Regge будет эффективно содержать сумму по embeddings и давать воскреснуть до правильных движущих сил.
Чтобы соединить частицы к нашему дискретному действию силы тяжести (16.3) позвольте нам рассматривать триангуляцию и вставить частицы вдоль краев графика Feynman ;,
где края являются краями триангуляции. Дискретное описание действия сцепления, спаривания силы тяжести к этому графику затем
ИСПАНИЯ=ми ;концерн ; XePe + ;e (P2ми; M2e)!. (16.14)
Мы видим, что добавление этого действия вставляет частицы, изменяя плоскостности условие. holonomy вокруг частицы не вынуждена быть личностью, но
296 Л. Фреиделей
теперь вынуждена быть в классе сопряжения hme, где меня = 4;Gm ; ми угол дефицита, создаваемый частицей массового м. ; ми и hme, является элементом Cartan подгруппы, соответствующей ротации угла 2me:гм ;eim 00 e;im.
Угол дефицита связан с параметром Меня на дискретном действии
;Me = sinme.
Затем соответствующая квантовая амплитуда
Я () =иdXefдециграмм fми ;d;eми ;d3Pe4;2 ми 12 концерн ми (XeGe) ;i ИСПАНИЯ (Ксенон, Pe, ;e)
дана
Я () =fдециграмм fми ;;Kя (Ge)e/;;\(Ge). (16.15)
;K
м. (g) является функцией на ТАК (3), которая является инвариантной под спряжением и определенной в условиях импульсов 2i; P (g) ; концерн (g;), данный проектированием соль на Pauli matrices.
;Kм. (g) = i;2(;2P2 (g) ; sin2 м. ; i). (16.16)
Так как это - функция класса, мы можем расширить ее с точки зрения символов. Мы имеем
личность
;Kм. (g) =j;NКм (j) ;j (g), (16.17)
где ;j (гм) - символ гм в j-представлении:
;j (гм) = грех (2 j + 1) м.sinm,
и
Км (j) = 2i;2eid j (m+i)cosm.
Это интересно обратить внимание, что это - по существу обычный оцененный распространитель Feynman на дискретной решетке то, что если км (x) является раствором распространителя Feynamn
(, - +m2) км (x) = ;i; (x), затем Км (j)ди-джей= ;34;км (;d j)cosm.
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 297
Обратите внимание также что с тех пор Ре Грамм (j) = ;2;2 sinm cosm ;j (гм) у нас есть это
; Ре (;G м. (g)) = ;;P2 (g) ; sinm2;2=2;2 sinmcosm;m (g), (16.18)
где ;m (g) является сбытом на ТАК (3), который устанавливает соль, чтобы быть в классе сопряжения
маркированный м.:
ТАК (3)дециграмм f (g) ;m (g) =ТАК (3)/U (1)дуплекс f (xhmx;1).
Это, распространитель Hadamard.
Используя символьное разложение мы можем в конечном счете переписать I () с точки зрения
{6 j} символов:
Я () ={je}e/;djeми ; je (hme)t+je1 je2 je3je3 je5 je6,. (16.19)
Это выражение ясно дает понять, что вставка частиц на графике переписывается к вычислениям значения ожидания заметного O я в топологической государственной сумме:
Oм. ми (je) =ми ;K je (hme)dje.
Еще раз Квантовая амплитуда Силы тяжести I () является просто алгебраической и Постоянная Соль Ньютона только появляется как модуль, чтобы преобразовать алгебраические количества j, м. в физическую продолжительность л = jlP = jG и физическая масса м. ; = m; = ;/4;G. Обратите внимание, что в нашем происхождении мы не столкнулись ни с какой двусмысленностью
в построении амплитуд вне оболочки, заключительное выражение соглашается с тем
предложенный в ([4]), но не соглашается с каждым в [14].
Как в вакууме случаются, амплитуда (16.19) должна быть должным образом установленной шириной кинопленки, это сделано так же, вставляя в значение ожидания заметное
e;T; je, j 0ми(ди-джей 0e) 2 (16.20)
где T - дерево, касающееся каждой вершины, котороt не вершина. Обратите внимание то, что мы не должны измерить вершины затруднительного положения, затрагивающие с тех пор теперь градусы ширины кинопленки свободы в месте съемок является динамическими объектами, соответствующими частице  места съемок.
Ширина кинопленки установила функцию партитуры I (), как, могут показывать, свободный художник триангуляция и ширина кинопленки, устанавливающая ([3]) и только, зависят от топологии
(M). Это означает, что мы можем тривиально взять предел бесконечно тонких триангуляций
и что модель Ponzano-Regge соответствует эффективному континууму теория, даже если это первоначально описано с точки зрения дискретной структуры.
298 Л. Фреиделей
16.4.1 Математическая структура
Мы видели, что установка ширины кинопленки удаляет избыточный градус ширины кинопленки свободы и соответствующие бесконечности. Мы можем спросить теперь, установила ли ширина кинопленки партитуру функция всегда конечной и какой инвариант она вычисляет.
Например это показали в [2], который вычислил инвариант Ponzano-Regge поскольку цилиндр размножает М. = соль ; I, где соль - поверхность соль рода, конечный после установки ширины кинопленки и вычисляет проектор на физические состояния, который является пространством единообразных соединений на 2 [9].
Более широко, если мы считаем копию М. с границей и с вставленным графиком, и мы устанавливаем угол дефицита вокруг краев графика (это мы вычислили установленную функцию партитуры ширины кинопленки (16.19) со вставкой распространителя Hadamard Ре (Км)). Затем, как показано в [3], Ponzano-Regge модель конечна при условии, что дополнение графика в М. допускает только один бемоль соединение с предписанными углами дефицита. Модель Ponzano-Regge затем
понятая как инвариант, обеспечивающий меру на пространстве единообразного соединения
[3]; эта мера известна как скрученность Reidemeister (см. также [15]).
Кроме того известно это на классическом уровне эта 3-ья сила тяжести с космологическим нолем постоянная может быть сформулирована как теория Chern-Simons для Poincar;
группы. Когда группа ширины кинопленки теории Chern-Simons компактна, там существует
понятие квантования Chern-Simons, данного Виттен-Решетихин-Тураевым инвариант связанный к квантовым группам.
Когда группа ширины кинопленки некомпактна только некоторые гамильтоновы версии
Квантование Chern-Simons были известны. В [3] было показано что Chern- Квантование Simons может быть расширено к случаю группы Poincar; и этого инвариант Ponzano-Regge эквивалентен квантованию Chern-Simons. А именно, можно показать, что инвариант Ponzano-Regge может быть выражен как  Инвариант Виттен-Решетихин-Тураева, основанный на номере на двоих человек Drinfeld, который является ; деформацией группы Poincar;.
16.5 Квантовая Сила тяжести правления Feynman
Теперь, когда мы получили правления Feynman для скалярного содержания, соединенного с силой тяжести мы хотели бы показать, что эти амплитуды могут быть поняты с точки зрения Feynman
диаграммы эффективной полевой теории, которые эффективно описывают сцепление из материального поля к 3-ьей силе тяжести. Поскольку мы уже подчеркнули, выражение, являющееся просто алгебраической и зависящей от триангуляции нашего пространства-времени кажется на первый взгляд вполне отдаленно соединенным с обычным Feynman изображают схематически оценку. Чтобы показать то, что (16.19) может действительно быть дан иное толкование как оценка диаграммы Feynman мы сначала ограничем нас случаем, где окружающая копия имеет тривиальную топологию, что
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 299
М. = S3, и также к случаю, где является плоским (мы возвратимся позже к случаю неплоских диаграмм). В этом случае мы можем избавиться от триангуляции зависимости dependence2 и перезапись I [] (16.19) просто с точки зрения диаграммы Feynman данных [4]:
Я () =v ;dXv8;;3ми ;dge;K (ge)v ;ми 12; концерн (XvGv), (16.21)
где результат по вершинам v и ми краев. Интеграл по одной копии R3 для каждой вершины Xv ; Xi
v;i и одна копия ТАК (3) (наше деформированное пространство импульса) для каждого края и
Объем газа =;;e;vобъем газа (e)ми, (16.22)
с v (e) = ±1 в зависимости от того, является ли ми края поступающей или исходящей и
результат уважает циклическое упорядочивание краев, которое четко определено для плоской
диаграммы.
Мы видим, что основной эффект Квантовой Силы тяжести является двойным. Сначала масса добирается повторно нормализованный m;sin ;m/; и затем пространство импульса больше не единообразное пространство но гомогенно кривое пространство: S3 в Евклидовом случае, или AdS3 в
Случай Lorentzian. Эквивалентно импульс P (g) ; 1 2i; концерн (g;) ограничен удовлетворить связанный ; | P | <1.
Выражение (16.21) почти походит на диаграмму Feynman за исключением того, что
косточка, ядро Фурье exp (концерн (XvGv)/2;) запутывает импульсы края нетривиальным способом.
16.5.1 QFT как полуклассический предел QG
Мы можем теперь взять ; ; 0 пределов Квантовых амплитуд Силы тяжести (16.21).
Это соответствует пределу GN ;0, в котором сцепление к силе тяжести становится незначительным. Беря этот предел нужно сохранить физический массовый м. ; = m/; конечный, это количество к посылке угла м. к 0. В этом пределе мы рассматриваем маленькие волнения ТАК (3) вокруг личности группы:
g = ei; p.; = 1 + ; (p.;) + O (;2) (16.23)
; g1g2 = 1 + ; (p1 + p2).; + O (;2). (16.24)
2, Если мы выбираем самое простое встраивание в S3, который является тем, в котором привлечен на поверхности  сферы S2 ; S3 без любых пересечений.
300 Л. Фреиделей
Поэтому, в первом порядке в ;, мы находимся в пределе Abelian и интеграле по ТАК (3)
приблизительно интеграл по R3:
дециграмм ; ;3R3d3 p2;2.
Амплитуда (16.21) становится
Я ; ;3|e |v ;d xvми ;d peK0mми (pe)миei pe. (xt (e) ;xs (e)), (16.25)
где мы объединяемся по переменным xv присоединенным к каждой вершине графика с s (e), t (e) являющимися соответственно исходными и целевыми вершинами ориентируемой ми края.
;K0m(p) распространитель Feynman:
;K0m(p) =+;0dT e;iT (p2;m2).
Амплитуда (16.25) является фактически стандартной оценкой диаграммы Feynman квантовой теории поля (для массивного скалярного поля).
Мы можем эквивалентно взять предел ; ; 0 непосредственно в выражении пены вращения
(16.19). Так как продолжительность выражена в ; модулях как л = ; j, сохраняя л конечного желания
пошлать метку j представления в бесконечность: это - асимптотический предел пены вращения
амплитуды. Более точно мы можем заменить сумму по j интегралом по л:
j; 1;;0дл,
и замените 6 j-символов в выражении (16.19) его asymptotics. Это дает выражение обычных интегралов Feynman как значение ожидания заметных определенных значения в асимптотической государственной модели суммы. Роль этой государственной модели суммы обеспечить правильную меру интеграции набора очков в единообразном пространстве выраженную с точки зрения инвариантной относительной продолжительности, это показали в ([16]) (см.также [17]).
То, что довольно замечательно, является фактом, что полная амплитуда может также интерпретироваться как Feynman изображает схематически амплитуду, если мы вводим нетривиальный $ - результат.
16.5.2 Звездообразный результат
Поскольку мы видели ранее пространство импульса, которое появляется в Кванте
Амплитуды силы тяжести (16.21) является элементом SU (2) группа. Это - затем бекар, натуральное к
вводу понятия плоских волн, определенных, чтобы быть
Например (X) ; ми 12; концерн (Xg) (16.26)
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 301
где X = Xi;i. Групповые элементы могут быть конкретно написаны как
g = (P4 + ; ; Pi;i), P24+ Пи ;2Pi = 1, P4 ; 0. (16.27)
Мы ограничиваем нас "северным полушарием" SU (2) P4> 0, так как это достаточно, чтобы маркировать ТАК (3) элементы, и плоские волны просто Например (X) = ei P (соль) · X.
Мы определяем некоммутативный $ - результат на R3, который определен на плоскости
волны
($ Eg1 Eg2) (X) ; Eg1g2 (X). (16.28)
Этот $ - результат может быть более явно написан с точки зрения импульсов как
e; P1 · X $ e; P2 · X = e; (P1 ; P2) · X, (16.29)
где
P1 ; P2 =1 ; ;2 | P2|2 P1 +1 ; ;2 | P1|2 P2 (16.30)
; ; P1 ; P2, (16.31)
и ; - 3-ий векторный перекрестный результат. Линейностью этот звездообразный результат может быть расширен к любой функции R3, который может быть написан как линейное сочетание плоских волн. Это может также быть расширено на любую многочленную функцию X, беря производные
Например относительно P вокруг P = 0. Используя это, можно легко показать что это звездообразный результат описывает некоммутативное пространство-время с некоммутативным удовлетворением координат
[Xi, X j] = i;i jk Xk,
[Xi, Pj] = я1 ; ;2P2 ;i j ; i;i jk Pk. (16.32)
Некоммутативность времени пространства непосредственно связана с фактом что пространство импульса навешено. Действительно в квантовой механике X ; i;P координата -происхождение на пространстве импульса, и производные кривого пространства делают не переключают 3 Это, некоммутативная пространственно-временная структура воскресает в квантовании из 3-ьей силы тяжести был сначала предложен ’t Hooft [19], хотя детали отличающиеся. Существование плоских волн, соединяющих R3 с ТАК (3), позволяет нам развивать новый Фурье преобразование [4; 18] F: До (ТАК (3)) ;C; (R3) отображающиеся функции на группу к функциям на импульсах ограничения R3 1/;:;\(X) =дециграмм ; ; (g) ми 12; концерн (Xg). (16.33)
3 левый $ - умножение X понято, как правильная инвариантная производная на импульса пространстве S3 с интервалами.
302 Л. Фреиделя
Обратная группа преобразование Фурье затем явно написана
; ; (g) =R3d3X8;;3 ; ми за (X) $12; концерн (Xg;1)=R3d3X8;;3 ; (X)1 ; ;2P2 (g) ми 12; концерн (Xg;1).(16.34)
Этот Фурье преобразовывает, переплетает $ - результат с групповым скручиванием результат •
$ ;1 ;2 (g) = ; ;1 • ; ;2 (g). (16.35)
Наконец это преобразование Фурье - изометрия между L2 (ТАК (3)) и C; (R3) оборудованные нормой
||; || 2;=дуплекс8;;3 ; $ ; (X). (16.36)
Некоммутативная пространственно-временная структура и факт, что пространство полей
C; (R3) ограничили экспрессы импульсов факт, что там существует минимальная шкала расстояний, доступная в теории. Это прозрачно, если Вы смотрите на некоммутативную функцию дельты, определенную
$ ;0 ; (X) = ; (0) ;0 (X). (16.37)
Этим дают
;0 (X) = 2;J1  |X |;!|X |, (16.38)
с J1 первая Бесселевая функция, прозрачно, что ;0 (X) сконцентрирован приблизительно X = 0
но имеет ширину отличную от нуля.
16.6 Эффективная некоммутативная полевая теория
Теперь, когда мы оборудованы этим звездообразным результатом, мы можем написать косточку Фурье
(16.21) как результат
ми 12; концерн (XvGv) = ;e;vми v (e)2; концерн (Xvge) (16.39)
и амплитуда (16.21) читает
I =v ;dXv8;;3ми ;dge;Kя (ge)v ;v ;ми v (e)2; концерн (Xvge). (16.40)
Эффективный распространитель Feynman дает
Км (X) = ядециграммми 12; концерн (Xg)P2 (g) ;  грех ;m;!2 . (16.41)
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 303
От выражения (16.40) это теперь прозрачно, что я - оценка диаграммы Feynman из некоммутативной полевой теории, основанной на предыдущем $ - результате. Это проведение темы - истина для всех возможных диаграмм, даже если мы должны иметь в виду что равенство I = я () между интегралом (16.40) и Квантовой Силой тяжести амплитудой (16.19) до сих пор устанавливалась только для плоских диаграмм.
Более точно давайте рассматривать случай, где у нас есть частицы только одного типа,
таким образом, все массы взяты равные, меня,  м. Имеющие различные массы только потребовал бы
нас, чтобы ввести больше полей и не изменил бы общую картину ни в каком случае. Теперь давайте рассматривать сумму по трехвалентным графам:
трехвалентный
;|v |SЯ, (16.42)
где ; - постоянное сцепление, |v | число вершин, и S фактор симметрии графа.
Основной момент - то, что эта сумма может быть получена из вызывающего волнение расширения из некоммутативной полевой теории, данной явно:
S = 18;;3d3x&12($ ;i; ;i ;) (x) ; 12sin2 m;;2 (; $ ;) (x)+ ;3! (; $ ; $ ;) (x), (16.43)
где поле ; находится в C; (R3). У его импульса есть поддержка в мяче радиуса ; ;1.
Мы можем написать это действие в пространстве импульса
S (;) = 12дециграммP2 (g) ; sin2 ;m;25;\(g) 5; (g;1)+ ;3!dg1dg2dg3 ; (g1g2g3) 5; (g1) 5; (g2) 5; (g3), (16.44)
от которого это прямо, чтобы читать правления Feynman и показать наше проведение темы.
Замечательно, эту некоммутативную полевую теорию сначала рассмотрел Imai и Sasakura в [20] в попытке создать некоммутативную, но релятивистским образом инвариантную квантовую теорию поля.
Проверка взаимодействия, написанная в пространстве импульса, показывает ясно что импульс
правление добавления становится нелинейным, чтобы сохранить условие что импульсы ограничены. В вершине взаимодействия чтения сохранения импульса:
0 = P1 ; P2 ; P3 = P1 + P2 + P3 (16.45)
; ; (P1 ; P2 + P2 ; P3 + P3 ; P1) + O (;2). (16.46)
304 Л. Фреиделя
От этой личности кажется, что импульсы нелинейно сохранены, и несохранение более сильно, когда импульсы неколлинеарны. Бекар, натуральное истолкование состоит в том, что партия энергии, вовлеченной в процесс столкновения, поглощена полем тяготения этот эффект предотвращает любую энергию, вовлеченную в процесс столкновения будучи больше чем энергия Планка. Это явление просто говорит нам это когда у нас есть богатый трансфер импульса, вовлеченный в процесс частицы, каждый не может  дольше проигнорировать гравитационные эффекты, которые действительно изменяют, как энергия передана.
Некоммутативное полевое действие теории симметрично под ;-deformed деформированным действием группы Poincar;. Если мы обозначаем генераторами преобразований Lorentz
и Ta генераторы переводов, кажется что действие этих генераторов на государствах с одной частицей недеформированы:
 · ; ; (g) = ; ; (соль
;1) = ; ; (· P (g)), (16.47)
Ta · ; ; (g) = ei P (соль) · ; ; (g). (16.48)
Нетривиальная деформация группы Poincar; появляется на уровне мультичастицы государства. Только действие переводов истинно искажено:
 · ; ; (P1) ; ; (P2) = ; ; (· P1) ; ; (· P2), (16.49)
Ta · ; ; (P1) ; ; (P2) = ei P1 ; P2 · ; ; (P1) ; ; (P2). (16.50)
Мы хотели бы интерпретировать предыдущую полевую теорию как эффективную полевую теорию описания движущих сил содержания в Квантовой Силе тяжести после интеграции
гравитационных градусов свободы. Прежде, чем сделать так мы должны расширить наши результаты на случай неплоских диаграмм.
16.7 Неплоские диаграммы
Это переворачивает то, что Квантовое выражение (16.21) Силы тяжести не эквивалентно
интегралу (16.40), когда диаграмма не является плоской.
Это не должно прибыть слишком много как удивление, так как (16.21) зависит не только от
топологии, но также и на встраивании в R3. Кроме того, чтобы  определить интеграл, мы должны выбрать циклическое упорядочивание в вершинах графика который однозначно определен только в случае плоских графов.
Чтобы понять, где проблема внедрена, позволяют нам вспоминать это даже когда содержание
невзаимодействует есть все еще нетривиальная S-матрица из-за присутствия поля тяготения [21; 22]. Это может видеться на полуклассическом уровне когда мы смотрим на рассеивание поля в присутствии поля тяготения (коническая особенность) создаваемой массивной частицей. Это преобразовывает [23; 24] в квантовый уровень в факт, что нетривиальный фактор тесьмы воскресает, вычисляя Квантовую амплитуду Силы тяжести, этот фактор тесьмы естественно включен в
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 305
Модель Ponzano-Regge как показано в [2]. В [4] мы показали, что этот результат может
быть расширен на произвольную диаграмму Feynman, встроенную в R3. Более точно это означает, что мы можем оценить явно амплитуду неплоской диаграммы соединенной с Квантовой Силой тяжести с точки зрения ряда местного Feynman правления, если мы добавляем в обычный Feynman, управляют еще один для каждого пересечение диаграмм. Набор правлений Feynman получен в итоге в Плоде инжира 16.1. Для каждого края мы вводим распространителя ;K (g) для каждой трехвалентной вершины мы вставляем правление сохранения ; (g1g2g3), где gi маркирует поступающую группу оцененной импульсы в вершине, и для каждого пересечения диаграммы мы связываем вес
;\(g1g2g1;1g2;1)
где g2 маркирует край, который является по пересечению и g1s маркируют край undercrossing (см. Плод инжира 16.1). Feynman изображают схематически амплитуду для закрытой Feynman диаграммы затем получена, объединяясь по всей группе импульсов, моментов.
Это завершает описание правлений Feynman, и его можно легко показать то, что эти правления не зависят от выборов проектирования и представителя края.
Эти Квантовой Силы тяжести правления Feynman являются точно правлениями Feynman
некоммутативной полевой теории введенной выше при условии, что полевой ввод четкости действия (16.49) повинуется нетривиальной статистике. Действительно, когда мы вычисляем амплитуду Feynman из полевой теории, одно первое должно расширить значение ожидания результата свободного поля с точки зрения двух использований функций очка теоремы Фитиля, Вик. Чтобы сделать эту работу, мы сначала должны обменять порядок из режимов Фурье ; ; (g) перед использованием теоремы Фитиля. Если диаграмма является плоской никакой обмен режимом Фурье не необходим, но такие обмены необходимы в неплоском случае. Спецификация правлений обмена режимами Фурье - a
g1
; ; (g1g2g3); ; (g1g2g1; - 1 g2; - 1) ; (g2g2; - 1); Км (g1)
g1g1g2 g3g1 g2
соль '2 соль' 1
Рис. 16.1. Feynman управляет для распространения частиц в модели Ponzano-Regge.
306 Л. Фреиделей
выбор статистики. Чтобы воспроизвести Квантовые амплитуды Силы тяжести, мы нуждаемся
выбрать нетривиальную статистику, где режимы Фурье полей приняты повиноваться отношению обмена:
; ; (g1) ; ; (g2) = ; ; (g2) ; ; (g;12 g1g2). (16.51)
Это отношение обмена фактически естественно определено нашим выбором звездообразного результата и дуальность между пространством и временем (плоские волны). Действительно, давайте смотреть на результат двух идентичных полей:
$ ; ; (X) =ми dg1dg2 12; концерн (Xg1g2) 5; (g1) 5; (g2). (16.52)
Мы можем 'переместить' ; ; (g2) налево, делая следующую замену переменных g1 ;
g2 и g2 ; g;12 g1g2, звездообразные чтения результата $ ; ; (X) =ми dg1dg2 12; концерн (Xg1g2) 5; (g2) 5; (g;12 g1g2). (16.53)
Идентификация режимов Фурье ; $ ; (X) приводит к отношению обмена (16.51).
Это отношение коммутации - точно то, являющееся результатом тесьмы двух частиц соединенных с Квантовой Силой тяжести. Эта тесьма была сначала предложена в [24] и
вычисленна в модели пены вращения в [2]. Это закодировано в матрицу тесьмы
R · ; ; (g1) ; ; (g2) = ; ; (g2) ; ; (g;1
2 g1g2). (16.54)
Это - матрица R ;-deformation группы Poincar; [24]. Мы видим что нетривиальная статистика наложена исследованием нашей некоммутативной полевой теории связаной с тесьмой частиц в трех пространственно-временных размерах. Это нетривиальное тесьма счетов на нетривиальное гравитационное рассеивание между двумя имеет значение частицы. Такие полевые теории с нетривиальной плетеной статистикой обычно просто названны плетеные, тесьмы некоммутативные полевые теории и были сначала введены в [25].
16.8 Обобщения и заключение
Наши результаты естественно распространяются на теорию Lorentzian. Хотя прямое происхождение из модели пены вращения от континуума теории все еще недостает, Lorentzian
версия модели Ponzano-Regge была записана [26; 27] и топологическая государственная сумма сформулирована с точки зрения {6 j} символы SU (1, 1). Каждый может уже применить существующие методы установки ширины кинопленки [2; 28], чтобы упорядочить амплитуды
основанные на некомпактной группе ширины кинопленки. Кроме того частицы еще раз вставлены
как топологические дефекты, создающие конические особенности и подобное (почти идентичный)
эффективная некоммутативная полевая теория может быть получена из пены вращения
амплитуды.
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 307
Версия Lorentzian модели Ponzano-Regge выражена с точки зрения {6 j} символов некомпактной группы ТАК (2, 1) [26]. Holonomies вокруг частицы - ТАК (2, 1) групповые элементы, параметризованные как
g = P4 + i; Пи ; i с P24+ Пи ;2Pi = 1, и P4 ; 0, (16.55)
с метрикой (+ ; ;) и su (1, 1) Pauli matrices, ;0 = ;0, ;1,2 = i;1,2.
Массивные частицы соответствуют Пи Пи> 0 секторов. Они описаны овальными групповыми элементами, P4 =, потому что ;, ; | P | = грешат ;. Угол дефицита дан массой, ; = ;m. Все математические отношения Риманновой теории преобразованы в структуру Lorentzian, исполняя преобразование
P0;P0, P1;i P1, P2;i P2. (16.56)
Обратите внимание, что это преобразование отличается от обычной ротации Фитиля, Вик(который вращается P0 только).
Распространитель остается данным составом (16.41). Пространство импульса теперь AdS3 ; ТАК (2, 1). Добавление импульсов искажено соответственно к составу (16.31). Мы так же представляем группу, Фурье преобразовывает F: До (ТАК (2, 1)) ; C; (R3) и $ - диктор - оператор на радио результата к результату скручивания на ТАК (2, 1). Наконец мы получаем эффективную некоммутативную полевую теорию с тем же самым выражением (16.43) как в Риманновом случае.
Также возможно, в окружении Евклидовой силы тяжести, принять во внимание космологическую константу отличную от нуля. Соответствующая модель - Turaev-Viro
модель [29], основанная на Uq (SU (2)), где q находится на круге модуля для космологического позитива постоянный и q реально для отрицательной космологической константы. Для позитива
космологическая константа, обеспечивает максимальную шкалу расстояний. Мы написали явные
Правления Feynman, соответствующие этой модели пены вращения в [4] и, показали что мы получаем сферические или гиперболоидную сумму государства, основанную на распространителях на
 3 сфере или с 3 гиперболоиде соответственно в зависимости от знака. Далее работа необходима, чтобы проанализировать детали этих моделей и расширить результаты на Случай Lorentzian.
Чтобы подвести итог, мы показали, как модель пены вращения Ponzano-Regge может
будьте должным образом шириной кинопленки, установленной, чтобы обеспечить надлежащую четкость евклидовых 3-их Квантовая Сила тяжести. Мы видели, как эта модель может быть естественно соединена с содержанием и что соответствующие 3-ьи Квантовые амплитуды Силы тяжести фактически Feynman изображают схематически оценки плетеного и некоммутативного QFT. Эта эффективное полевая теория описывает движущие силы материального поля после интеграции
гравитационные градусы свободы. Теория является инвариантной под ;-deformation алгебры Poincar;, которая действует нетривиально на государства много-частицы. Это явная реализация QFT в структуре деформированной специальной относительности (см. например, [30]), который реализовывает от первооснов оригинальную идею Снайдера [31] из использования кривого пространства импульса, чтобы упорядочить диаграммы Feynman.
308 Л. Фреиделей
Более глубокое исследование значения плетеной некоммутативной полевой теории что
воскресает в этом исследовании, необходимо. Прежде всего, будет важно понять если такое
теория допускает гамильтоново описание и описывает (или не) унитарную теорию.
Наконец можно было бы хотеть понять, какой результат, полученный здесь, может быть
расширенный на четыре размеров. Было показано например, что мы можем выразить норму 4d QFT Feynman графыи как значения ожидания определенного observables в 4d топологическая spinfoam модель (см. например, [32]). Соответствующая пена вращения модель обеспечивает полуклассический предел QG и может быть идентифицирована как нулевой порядок расширения в термине инверсии масса Планка ; полного вращения QG амплитуды пены [33]. Эффекты QG затем появились бы как деформации Feynman оценки графика и исправления QG к посыпающим амплитудам могли быть вычисленны порядком согласно порядку в ;.
Подтверждения
Мое основное признание идет к Д. Орити, монтажеру этого объема, для его поддержки, его понимание и бесконечное терпение. Я также хотел бы благодарить моих сотрудников Д. Лоуэпр и Э. Ливайн для работы, представленной здесь.
Ссылки
[1] Соль. Ponzano, Т. Регг, Полуклассический предел коэффициентов Racah, в Спектроскопическом
и Группа Теоретические Методы в Физике, Блох (редактор). (Северная Голландия, 1968).
[2] Л. Freidel, Д. Лоуэпр, модель Ponzano-Regge повторно посетила меня: установка Ширины кинопленки, observables
и взаимодействующий, вращая частицы, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 21 (2004) 5685,
hep-th/0401076.
[3] Л. Freidel, Д. Лоуэпр, модель Ponzano-Regge повторно посетила II: Эквивалентность с
Chern-Simons (2004), gr-qc/0410141.
[4] Л. Freidel, Э. Р. Ливайн, модель Ponzano-Regge повторно посетила III: диаграммы Feynman и
Эффективная полевая теория, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 23 (2006) 2021 [arXiv:hep-th/0502106].
[5] Л. Freidel, Э. Р. Ливайн, 3-ья квантовая сила тяжести и эффективный некоммутативный
квантовая теория поля, Преподобный Физики Летт. 96 (2006) 221301 [arXiv:hep-th/0512113].
[6] С. Дезер, Р. Джекив, G. ’t Hooft, Трехмерная сила тяжести Эйнштейна: движущие силы
единообразное пространство, Физика Летописи 152 (1984) 220.
[7] Х. Дж. Мэчулл, М. Веллинга, Квантовой механики частицы очка в 2 + 1
размерная сила тяжести, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 15 (1998) 2981, gr-qc/9708054.
[8] Л. Freidel, Д. Лоуэпр, Diffeomorphisms и модели пены вращения, Nucl. Си Физики 662
(2003) 279.
[9] Х. Оогури, Партитура функционирует и изменяющие топологию амплитуды в трехмерной решетке
серьезность Ponzano и Regge, Nucl. Физика. B382 (1992) 276-304, hep-th/9112072
[10] K. Schulten, Р. Г. Гордон, Полуклассические приближения к 3j и 6j коэффициенты
для кванта механическое сцепление угловых импульсов, Дж. Мэта. Физика 16 (1975)
1971.
[11] Дж. Робертс, Asymptotics и 6j символы, Геометрия. Topol. Monogr. 4 (2002) 245-261.
Трехмерная Квантовая Сила тяжести пены вращения 309
[12] Л. Freidel, Д. Лоуэпр, Asymptotics 6j и 10j символы, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20
(2003) 1267, hep-th/0209134.
[13] Утра Поляков (Москва, ITEP), Поля Ширины кинопленки И Строки, Понятия Contempory
в Физике, 3 (Шур, Швейцария: Харвуд, 1987).
[14] Д. Орити, Т. Тлас, Причинная связь и распространение содержания в 3-ьей квантовой силе тяжести пены вращения,
Преподобный Физики Д 74 (2006) 104021 [arXiv:gr-qc/0608116].
[15] Дж. В. Барретт, я. Наис-Гусман, модель Ponzano-Regge и Reidemeister
скрученность, arXiv:gr-qc/0612170.
[16] A. Baratin, Л. Фреидель, Скрытая квантовая сила тяжести в 3-ьих диаграммах Feynman,
arXiv:gr-qc/0604016.
[17] Дж. В. Барретт, Feynman diagams соединился с трехмерной квантовой силой тяжести,
Класс. Шест для отталкивания. Grav. 23 (2006) 137 [arXiv:gr-qc/0502048].
[18] Л. Freidel, С. Маджид, Некоммутативный гармонический анализ, теория дискретизации по времени и
Duflo отображаются в 2+1 квантовой силе тяжести, arXiv:hep-th/0601004.
[19] G. ’t Hooft, Квантование пространства и времени в 3 и в 4 пространственно-временных размерах,
arXiv:gr-qc/9608037.
[20] С. Имай, Н. Сасакура, Скалярные полевые теории в трехмерном Lorentz-инварианте
некоммутативное пространство-время, JHEP 0009 (2000) 032 [arXiv:hep-th/0005178].
[21] G. t'Hooft, Невызывающие волнение 2 амплитуды рассеивания частицы в 2+1 размерный
квантовая сила тяжести, Commun. Математика. Физика 117 (1988) 685700.
[22] С. Дезер, Р. Джекив, Классический и квант, посыпающий на диффузоре, Commun. Математика.
Физика 118 (1988) 495509.
[23] С. Карлип, Точный квант, посыпающий в (2+1) мерная сила тяжести, Nucl. Физика. B324
(1989) 106122.
[24] Ф. А. Бэйс, Н. М. Мюллер, Б. Дж. Шрерс, Квантовая групповая симметрия и частица
посыпая в (2+1) мерная квантовая сила тяжести, Nucl. Си Физики 640, (2002) 3,
hep-th/0205021.
[25] Р. Оекл, Вводная часть к плетеной квантовой теории поля, Интервалу. Дж. Мод. Си Физики 14
(2000) 2461.
[26] Л. Freidel, модель Ponzano-Regge Lorentzian 3-мерная сила тяжести, Nucl.
Физика. Proc. Suppl. 88 (2000) 237-240, gr-qc/0102098.
[27] С. Давидс, государственная модель суммы для (2+1) Квантовая Сила тяжести Lorentzian,
gr-qc/0110114.
[28] Л. Freidel, Э. Р. Ливайн, сети Вращения для некомпактных групп, Дж. Мэта. Физика.
44 (2003) 1322-1356, hep-th/0205268;
[29] V. Соль. Тураев, О. И. Виро, государство суммирует инварианты 3 копий, и квант {6 j}
символы, Топология 31 (1992) 865-902.
[30] J. Kowalski-Glikman, Вводная часть к вдвойне специальной относительности (2004),
hep-th/0405273.
[31] Х. Снайдер, Квантуемое пространство-время, Преподобный Физики 71 (1947) 38.
[32] A. Baratin, Л. Фреидель, Скрытая квантовая сила тяжести в 4d диаграммы Feynman:
Появление пены вращения (2006), arXiv:hep-th/0611042.
[33] Л. Freidel, А. Стародубцев, Квантовая сила тяжести с точки зрения топологического observables,
(2005), hep-th/0501191.
17
Групповой теории поля подход к Квантовой Силе тяжести
D. O R I T I
17.1 Вводная часть и побуждение
Групповые теории поля (GFTs) [1; 2] были развиты сначала как обобщение матричных моделей для 2-ой Квантовой Силы тяжести к 3 и 4 пространственно-временным размерам, чтобы поставить рецептуру решетки топологических теорий. Позже, они были развиты далее в окружении моделей пены вращения для Квантовой Силы тяжести, как инструмент преодолеть ограничения работы с неподвижной решеткой в нетопологическом случае. По нашему мнению, однако, GFTs должен видеться как фундаментальная рецептура из Квантовой Силы тяжести и не так же, как вспомогательный инструмент. Нижняя строка этой перспективы, здесь только экспериментально выделенная и все еще быть полностью реализованным, выведенным мы надеемся, после намного большего количества работы, может быть получен в итоге следующим образом: GFTs - квантовое поле теории пространства-времени (в противоположность QFTs на пространстве-времени), которые описывают движущие силы и их топологии и геометрии в местных, симплициальных, ковариантных, алгебраических условиях, и которые охватывают идеи и способность проникновения в суть от большинства других подходов к невызывающей волнение Квантовой Силе тяжести. Мы должны только начать исследовать структуру  этих моделей, но уже есть некоторая реальность, по нашему мнению, это в GFT структуре находится потенциал для важных событий.
Идея определить квантовую теорию поля геометрии, то есть QFT на суперпространстве
(пространство 3 конфигураций) для данной пространственной топологии, скажем S3, уже был
исследуем в прошлом [3; 4; 5]. Окружение было затем глобальной или “квантовой космологией”
одно. Такая теория поставила бы, в ее вызывающем волнение расширении, сумме
по различной топологии каждому соответствие возможному графику Feynman, то есть к
возможного взаимодействия обрабатке для "вселенных", представленных основным с 3 сферами.
Пространственное изменение топологии было бы ограничено поэтому изменяющимся числом
из непересекающихся копий S3. Поле представило бы второе квантование канонической функции волны на суперпространстве, здесь описывая “сектор с одной частицей” из теории 1 Квантовая амплитуда для каждого графика Feynman, соответствуя
1 существо с 3 метриками непосредственно поле, это второе квантование того, что уже является полевой теорией, были дублированы “треть
квантования”.
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 311
особой пространственно-временной топологией с n компонентами границы, дали бы
квантование суммы по историям силы тяжести на данной топологии с обычной показательной- из- действия амплитуды для каждой истории. Элементы, имеющие степень трудности в создании математического смысла интеграла по траектории самого континуума известны, и это - сейф
угадать что технические трудности в превращении этой третьей идеи квантования в  математически строгой структуре в континууме еще более огромна. Кроме того, такая космологическая установка представляет печально известные проблемы истолкования. Общее представление, однако, обращается, поскольку оно обеспечило бы естественный механизм для осуществления топологии изменения в пределах ковариантного квантования суммы по историям  силы тяжести. В особом мог предположить, что истолкование выходит, если нет технических трудностей, было бы сделано легче, если бы было возможно осуществить вышеупомянутые идеи в местной структуре, например обобщая суперпространство конструкция, чтобы открыть куски вселенной, например 3- мяча, и затем описание в трети квантования язык взаимодействия этих местных предметов вселенной, производящей динамически целую вселенную и пространство-время в их развитии.
Снова, однако, установка континуума, кажется, предотвращает строгую реализацию
из этих идей. Переворачивая к симплициальному описанию пространства-времени, группы
полевого формализма теории дает математически лучше определенную реализацию их
привлекательных идей, и учитывают более легкое физическое истолкование, будучи основанными на
свойственно местном изображении развития геометрии и топологии.
17.2 Общий формализм
Геометрия симплициального пространства (триангуляция) полностью характеризуется исчисляемым, если не конечным, числом переменных, то есть суперпространство становится дискретным. Кроме того, каждый закрытый симплициальный комплекс D-dimensional может быть получен, склеивая основной тон Стандартных блоков D-dimensional, каждый с топологией D-мяча, вперед
их границ (данный (D ; 1)-simplices). Местный житель, и таким образом более физически
благоразумный, реализация идеи полевой теории на суперпространстве затем возможна,
рассматривая сначала функцию волны связанную к каждому (D ; 1) мерному симплициальному
стандартному блоку пространства (если пространство-время - D-dimensional), и затем второе
квантование этого. Квантовая геометрия большего пространственного симплициального комплекса будет закодированная в результате тензора таких функций/действующих компаний волны для человека стандартных блоков, творящие их. Как делает каждый характеризует геометрию каждого
симплициального стандартного блока, и таким образом полного симплициального комплекса? Здесь групповое поле теории следуют за путем, прослеженным квантовой силой тяжести петли, и описывают квант геометрию с точки зрения группы и переменных представления. Это убывает [1; 9; 10] из классического описания силы тяжести с точки зрения переменных соединения, оцененных в
алгебре Ли группы Lorentz соответствующего измерения, discretized к даному оцененному параллельному перенесению элементарной группы вдоль путей в (диктор — оператор, двойной на радио, того)
312 Д. Орити
симплициальный комплекс, или эквивалентно с точки зрения оцененного алгебре Ли (D ; 2) - формы
как в рецептурах подобных BF силы тяжести, discretized, чтобы дать объемы (D;2) - размерные обители симплициального комплекса, маркированного непреодолимыми представлениями
из группы Lorentz. Эквивалентность между этими двумя наборами переменных дана
гармоническим анализом на групповой копии, которая выражает их сопряженную природу. Более конкретно поле - Оцененная  функция групповых элементов D, для родовой группы Соль, один для каждой границы D (D ; 2) — лица (D ; 1) - симплекс поле соответствует:
;\(g1, g2..., gD): G;D ; До.
Порядок параметров в поле соответствует выбору ориентации для (D ; 1) - симплекс что представляет; поэтому это — бекар, натуральное чтобы верстать поле, чтобы быть инвариант под даже перестановками его параметров (которые не изменяют ориентацию), и превращаются в его собственный комплекс, сопряженный под нечетными перестановками; этот выбор убеждается, что только orientable комплексы произведены в расширении Feynman из полевой теории [17]. Другие свойства симметрии можно также рассмотрены [7]. Крышка D (D ; 2) - лица, чтобы творить (D ; 1) - симплекс выражена алгебраически постоянством поля под диагональным действием группы Соль на
D параметры поля: ; (g1..., gD) = ; (g1g..., gDg), который также наложен [6; 13]. Это - симплициальная копия постоянства ширины кинопленки Lorentz 1-го порядка силы тяжести. Расширение режима дает:
;\(gi) =Чжи, ki;ЧжиkiяDJiлитий ki (gi) CJ1... J4l1... l4,
с J s маркировка представлений Соль, ks векторных указателей в представлении пробелы, пространства и Cs, являющийся intertwiners группы Соль, orthonormal основание которого маркировано дополнительным параметром. Групповые переменные представляют пространство конфигурации, в то время как параметры представления маркируют передачу пространство импульса. Геометрически, групповые переменные, как сказано, представляют параллель транспорт соединения вдоль элементарного диктора - оператора на радио, двойного пути к (D ; 2) - лица, в то время как
представления J могут быть помещены в корреспонденцию объемам тех же самых
(D ; 2) - лиц, детали этой корреспонденции в зависимости от определенной модели
[9; 10]. Первое квантование геометрического (D ; 1) - симплекс с точки зрения их переменных были исполнены в больших деталях в 3-и 4-мерном случае в [6], но подобному анализу недостает более высоких размеров. Создано симплициальное пространство из N такой (D ; 1)-simplices затем описано результатом тензора N такие функции волны, на 1-ом квантуемом уровне, с подходящим осуществлением ограничений их склеивания, то есть факт, что часть из их (D ; 2) - лиц идентифицированы. Например, государство, описывающее два (D ; 1)-simplices склеенно вдоль одного общего (D ; 2) - лицо было бы представлено: ;
J1 J2.. JDk1k2... kD ;J;1 J2... J;D
;; k1k2... ; kD, где склеивание
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 313
вдоль лица, маркированного представлением J2, и произведенный сокращением из соответствующих векторных указателей (конечно, заявляет соответствующее, чтобы разъединить (D;1)-simplices также позволены). Соответствующее государство в переменных конфигурации :
dg2; (g1, g2..., gD) ; (; g1, g2..., ; gD). Мы видим что государства теории затем маркированы, в пространстве импульса, сетями вращения группы Соль (см. главу 13 Тиманом и главу 15 Пересом). Второе квантование теории способствует этим функциям волны действующим компаниям, и полевая теория определена  выбором действия и по четкости квантовой функции партитуры. Партитуры
функция затем выражена perturbatively с точки зрения диаграмм Feynman, как мы собираемся обсудить. Это неявно принимает описание движущих сил в условия создания и уничтожения (D ; 1)-simplices, чье взаимодействие производит (дискретное) пространство-время как особый процесс взаимодействия (диаграмма Feynman) [7]. Это изображение подробно еще не тренировалось, и никакая прозрачная структура Fock на пространстве государств была создана. Работа над этим происходит [11].
Пространство-время, представленное симплициальным комплексом D-dimensional, появляется в вызывающем волнение расширение как особый процесс взаимодействия среди (D ; 1)-simplices,
описанные как обычная QFT Feynman диаграмма. Затем легко понять выбор классического полевого действия в групповых теориях поля. Это действие, в конфигурации расположите с интервалами, имеет общую структуру:
SD (;, ;) = 12Di=1dgid ; gi;\(gi) K (gi ; g;1i) ; (; gi)+ ;(D + 1)!;;D+1i = j=1dgi j;
; ;\(g1 j)...; (gD+1 j) V (gi j g;1ji), (17.1)
где выбор кинетических и функций взаимодействия K и V определяет определенную
модель. Термин взаимодействия описывает взаимодействие D + 1 (D;1)-simplices
творить D-симплекс, склеивая вдоль их (D;2) - лица (параметры полей). Природа этого взаимодействия определена выбором функции V. (Квадратный) кинетический термин вовлекает два поля каждого представления данного (D ; 1) - видевшего симплекса от одного из двух D-simplices (вершины взаимодействия) совместное использование этого, так, чтобы выбор из кинетических функций K определяет как информацию и поэтому геометрические градусы свободы, соответствующие их D (D;2) - лицам, распространены от одной вершины взаимодействия (фундаментальное пространственно-временное событие) другому. Что мы имеем затем
почти обычная полевая теория, в которой мы можем положиться на неподвижной фоновой метрики
структуру, данную инвариантной метрикой Уничтожения-Cartan, и обычным разделением
между (квадратным) кинетическим и взаимодействием (более высокий порядок) называет на действии, что позже учтет прямое вызывающее волнение расширение. Однако, действие
является также нелокальным в этом параметры D + 1 поля в термине взаимодействия
314 Д. Орити
все одновременно не идентифицированы, но только парами. Это - конечно, осложнение
относительно обычных полевых теорий в Пространстве Минковского, но это может упростить
так или иначе проблемы перенормализации, так как это означает то, даже если взаимодействие имеет
порядок D + 1, с точки зрения числа вовлеченных полей, оно является все еще квадратным в условиях из отдельных параметров полей. Никакой подробный анализ уравнений движение, следующее из вышеупомянутого действия в любой определенной модели GFT, перенесли
до настоящего времени, но работа над этим происходящая [12]. Эти уравнения определяют классические движущие силы полевой теории, они позволили бы идентификацию классических
фоновых конфигураций, вокруг которых можно расшириться в полуклассическом волнении
расширение, и т.д. Однако, что является их значением с точки зрения Квантовой Силы тяжести, в легком, свете из геометрического истолкования GFT как местное, локальное симплициальное “третьего квантования” силы тяжести? Ответ прост,если ударяя: так же, как уравнение Klein-Гордона дает в то же самое время классические движущие силы (свободной) скалярной полевой теории и квантовые движущие силы для первой квантуемой (свободной) теории, классические уравнения GFT кодируют полностью квантовые движущие силы основной (симплициальной) канонической Квантовой теории Силы тяжести. Решение вышеупомянутых уравнений затем
обозначает идентифицирующие Квантовые функции Гравитационной волны, удовлетворяющие весь Квант Ограничения силы тяжести!
Другой проблемой, которая все еще нуждается в осторожном исследовании, является проблема классических symmetries из вышеупомянутого действия. Некоторые из них, держась независимо от определенного выбора кинетических и действующих компаний взаимодействия, вышеупомянутая "крышка" симметрия верстала на каждое поле: ; (gi) = ; (gi g), ;g ; Соль, закодированная в симметрии свойство кинетических действующих компаний и действующих компаний вершины: K (gi ; g;1i) = K (ggi ; g;1я соль),V (gi j ; g;1ji) = V (gi gi j ; g;1ji gj), и глобальная симметрия действия под: ;\(gi) ; ; (ggi) ;g ; Соль. Дополнительные symmetries могут присутствовать в зависимости от определенной моделю, и соответствовала бы определенным symmetries классических дискретных квантуемых теорий. Идентификация таких аналогов GFT
классический symmetries не легкое задание. 2
Большая часть работы до сих пор сосредоточилась на вызывающих волнение аспектах кванта
GFTs, то есть расширение в диаграммах Feynman партитуры функционируют и свойства имеющих результатом амплитуд Feynman:
Z =D; e;S [;] =;Nсимфония [] Z (),
где N - число вершин взаимодействия в графике Feynman, симфония [] является фактор симметрии для диаграммы и Z () соответствующая амплитуда Feynman.
2 Уже в более простом примере рецептур GFT теорий BF, характеристика symmetries как перевод или топологический symmetries, который может быть правильно идентифицирован на уровне GFT Feynman амплитуды, не делает соответствие вышеупомянутому очевидному symmetries действию GFT [16].
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 315
Амплитуды Feynman могут быть созданы легко после идентификации распространителя
и амплитуда вершины. Каждый край диаграммы Feynman сделан из D компании, один для каждого параметра поля, и каждый затем изменен маршрут в вершину взаимодействия, с комбинаторной структурой D-симплекса, следуя соединением полевых параметров в действующей компании вершины. Он показывают схематически следующим образом.
KD ; 1D3 2 123D ; 1D1V123D + 1
Каждая компания проходит несколько вершин, возвращаясь туда, где она запускалась, для
закрытых диаграмм Feynman, и поэтому идентифицируют с 2 обителями. Каждая диаграмма Feynman
затем набор 2 обителей (лица), края и вершины, то есть с 2 комплексами, что, из-за выбранной комбинаторики для параметров поля на действии, является топологически двойным к симплициальному комплексу D-dimensional [7; 17]. Ясно, у имеющих результатом комплексов/ триангуляций может быть произвольная топология, каждая передача к особому процессу рассеивания фундаментальных стандартных блоков пространства, то есть (D;1)-simplices.  D-dimensional триангуляции двойной к  2 комплексу, воскресая как GFT Feynman диаграмма, не обязательно была бы симплициальная копия, как данные в GFT Feynman диаграммы не ограничивают окрестности simplices из размеров от (D;3) вниз, чтобы быть сферами. В общем случае,
имеющий результатом симплициальный комплекс, полученный, склеивая D-simplices вдоль их (D ;
1) - лиц, соответствовал бы псевдокопии, то есть к копии с коническими особенностями [7; 17; 37]. Точный набор  условий, под которыми GFT Feynman
316 Д. Орити
диаграммы соответствуют копиям, идентифицирован и обсужден подробно в [17]. Все
соответствующие условия могут быть проверены алгоритмически на любой данной диаграмме Feynman. Это не прозрачно, в настоящее время, можно ли создать соответственно ограниченные GFT
модели, удовлетворяющие этим условиям, таким образом производя только подобные -копии комплексы в их расширении Feynman.
Каждая компания переносит полевую переменную, то есть групповой элемент в пространстве конфигурации или представление марки, лейбла в пространстве импульса. Поэтому в импульсе, моменте пространства каждой диаграммы Feynman дана пеной вращения (с 2 комплексами с лицами, маркированными переменными представления), и каждая амплитуда Feynman (сложная функция
метки представления, полученные, сокращая амплитуды вершины с распространителем
функции) моделью пены вращения (см. главу 15 Пересом):
Z () =J ff(J f)миОдин (J f |e)vAv (J f |v).
Как во всех моделях пены вращения, у переменных представления есть геометрическое
истолкование (продолжительность края, области, и т.д.) (см. [9; 10]) и так каждый из их
амплитуд Feynman соответствуют четкости суммы по историям для дискретной Квантовой Силы тяжести на определенном триангуляции дуальном, двойном к диаграмме Feynman,
хотя квантовые амплитуды для каждой геометрической конфигурации не обязательно
даны показательным из дискретного действия силы тяжести. Для большего на квантовой геометрии позади моделей пены вращения мы обращаемся к литературе [9; 10; 28]. Можно показать, что инверсия - также истина: любая местная модель пены вращения может быть получена из вызывающего волнение расширения GFT [13; 2]. Это подразумевает что GFT подход включает в категорию подход пены вращения на вызывающем волнение уровне, в то время как в
тот же самый выход за пределы времени этого, так как есть, конечно, намного больше в QFT чем
его вызывающее волнение расширение. Сумма по диаграммам Feynman дает затем сумму
по пене вращения (истории сетей вращения на границе в любом рассеивании процесс), и эквивалентно сумма по триангуляциям, увеличенным суммой над алгебраическими данными (групповые элементы или представления) с геометрическим истолкованием, назначенными на каждую триангуляцию. Значения ожидания GFT observables могут также быть оцененные perturbatively. Они даны [2] сочетаниями инварианта ширины кинопленки основных полевых действующих компаниями, которые могут быть созданы в пространстве импульса, используя вращение сети согласно составу, формуле
O#= (;, je, iv) (;) =;;(я j)dgi jdgji;# (;, je, iv) (gi j g;1ji)я;\(gi j),
где # (;, je, iv) (g) идентифицирует сети вращения функционал для маркированной сети вращения
графиком ; с представлениями je связанной к его краям и intertwiners iv ассоциированные к его вершинам, и gi j - групповые элементы, связанные к краям (я j) ;
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 317
это встречается в вершине i. В частности амплитуда связующей партии (амплитуда вероятности
для определенного процесса рассеивания) между определенными граничными условиями, представленными двумя сетями вращения, произвольной комбинаторной сложности, могут быть выражены как значение ожидания полевых действующих компаний, имеющих ту же самую комбинаторную структуру двух сетей вращения [2]:
#1 | #2 =D; O#1 O#2 e;S (;) =/=#1#2;Nсимфония [] Z (),
где сумма вовлекает только 2 комплекса (пена вращения) с границей, данной двумя выбранными сетями вращения.
Вышеупомянутое вызывающее волнение расширение вовлекает поэтому два совсем других типа суммы: каждый - сумма по геометрическим данным (групповые элементы или представления
G) который является аналогом GFT интеграла по импульсам или позициям обычных QFT; другой сумма по диаграммам Feynman. Это включает сумму по всем триангуляциям для данной топологии и суммы по всей топологии (так как все возможные gluings D-simplices и идентификаций лица присутствуют конструкцией в GFT Feynman расширение). Обе суммы являются потенциально расходящимися. Прежде всего наивная четкость амплитуд Feynman подразумевает определенную степень избыточности, следуя из symmetries определения GFT. Надлежащая установка ширины кинопленки из этих symmetries особенно те, группа которых некомпактна, необходимы
избежать расхождений [16]. Даже после установки ширины кинопленки, сумма по геометрическим данным имеет потенциальное расхождение для каждого "пузыря" GFT Feynman диаграмма, то есть для каждого закрытого набора 2 обителей. Это - аналог GFT расхождений петли обычный QFT. Конечно, ли амплитуды GFT являются расходящимися, или не зависит на определенной модели 3 Вообще регуляризация и вызывающая волнение перенормализация процедура была бы необходима, но никакое систематическое исследование перенормализации GFT не имеет вынесенный до настоящего времени, несмотря на его очевидное значение. Сумма по Feynman диаграммы, с другой стороны, являются наверняка расходящимися. Это не удивительно. Сумма по диаграммам Feynman дает сумму по всем триангуляциям для всей топологии, каждой нагруженной (дискретной) Квантовой суммой по историям Силы тяжести. Это такая сумма может быть определена конструктивно благодаря симплициальному, и установка QFT уже настоящее достижение, и попросить это быть конечным было бы действительно также очень! Кроме того, от строго перспективы QFT, нужно ожидать что расширение в диаграммах Feynman QFT поставил бы самую большую асимптотическую серию и не сходящийся. Дело обстоит так для всего интересного QFTs мы знаем об. Что делает обычное вызывающее волнение расширение QFT полезным несмотря на его расхождение
3 Например, в то время как самая естественная четкость групповой теории поля для Barrett-студийного-крана вращают пену
модель [7], подарки действительно пузырьковые расхождения, простая модификация этого [18; 19], обладает конечным Feynman
амплитуды, то есть это perturbatively конечный без потребности в любой регуляризации.
318 Д. Орити
очевидный факт, что у этого есть прозрачное физическое значение, то есть мы знаем то, что  означает вычислить амплитуду связующей партии до данного порядка. В случае GFT  означает обеспечение прозрачного физического истолкования для сцепления постоянный ;. Может быть
сделанное, фактически, в больше чем в один конец. Прежде всего, определяя ; = ;
1D;1 и пересмотр; ; = ;;, мы можем сменить состав исполнителей действия GFT в форме S; [;] = 1
;2 S; = 1 [; ;]. Каждый может затем исполнить расширение петли функции партитуры GFT, которая является расширением в параметре ;, вместо вызывающего волнение расширения в постоянном сцеплении. Это дает, для родовой амплитуды связующей партии между двумя граничными государствами #1 и #2: #1 | #2 = 1;2;i=0 ;2i #1 | #2i, где #1 | #2i сумма по Feynman диаграммам с я петлями. Очко здесь должно понять что, добавляя петлю в данную
диаграмму Feynman эквивалентно [2] к добавлению дескриптора к симплициальному комплексу
двойной, дуальный к нему. Это означает что параметр ; = ; 1D;1 управляет силой топологии
изменение процессов в вызывающем волнение расширении GFT. Это истолкование может также
будьте подтверждены, анализируя уравнения Швинджер-Дайсона для родового GFT [2].
Другая точка зрения на физическое значение ; получена, давая обзор что тяжесть ; так или иначе "размер" пространственно-временных моделей, появляющихся в вызывающем волнение GFT
расширение, предполагая, что число D-simplices - мера D-объема из пространства-времени. Например, если Z () = ei S (), с S (), скажем, действие Regge для чистой силы тяжести без космологической константы на триангуляции (дуальный к) с неподвижной продолжительностью края, затем можно было определить ; = ei, и таким образом переписать партитуры GFT функцию как: Z =
1симфония () ei (S () +V ()). Затем играл бы роль пустой космологической константы. Действительно это было бы точно выражением для динамической модели [14] триангуляций. Этот эвристический аргумент может быть приведен строгий в тензора модели [15; 17], особый случай формализма GFT. Два предложенных истолкования для ; совместимы друг с другом, и обнаружением прозрачной ссылки между двумя означал бы соединение значение пустого, и затем повторно нормализованной, космологической постоянный к присутствию пространственного изменения топологии. Это поняло бы строго одну из начальных целей “третьего квантования” формализм [3; 4; 5].
Теперь давайте заметим еще раз относительно соединения между GFT и канонической
Квантовой Силы тяжести. Как уже упомянуто, классические уравнения GFT движения
закодируйте полные квантовые движущие силы соответствующей первой квантуемой теории;
это - симплициальная Квантовая теория Силы тяжести чьи кинематические квантовые состояния
маркированы сетями вращения D-valent для группы Соль. Можно хотеть дать  ковариантный или четкость суммы по историям канонического внутреннего результата (кодирования полные движущие силы квантовой теории, и действие гамильтонова ограничения действующей компании, см. главы Тиманом и Пересом) для симплициальной версии из квантовой силы тяжести петли, основанной на таких государствах. Ограничение вызывающего волнение GFT расширение к уровню дерева, вовлекая действительно только классическую информацию, для данной граничной сети вращения observables [2], может быть рассмотрен как четкость GFT
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 319
из такого канонического внутреннего результата, если имеющие результатом функции с 2 очками имеют результатом то, чтобы быть реальным и положительным, что касается таковых в качестве примера из BF или моделей Barrett-Кран. Четкость - изложенное углубление, потому что в дереве выравниваются, каждая отдельная амплитуда Z () конечна независимо от того, что модель рассматривала из-за отсутствия бесконечного суммирования. Кроме того, она обладает всеми свойствами, которые каждый ожидает от канонического внутреннего результата: (1)
она вовлекает сумму по диаграммам Feynman, и поэтому триангуляции, с цилиндрической топологией SD;1 ; [0, 1], для закрытых сетей вращения #i связанной с этими двумя границами, как легко проверить; (2) это реально и положительно, но не строго положительно; у этого есть нетривиальная косточка, которую можно показать [2], чтобы включать все растворы
классического уравнения GFT движения, как ожидалось. Это означает что медосмотр
Гильбертова пространства для канонических государств сети вращения может быть создано, используя GNS конструкцию, от кинематического Гильбертова пространства всей сети вращения заявляет quotienting те государства, принадлежащие этой косточке. Это представляет тестируемый бетон, конкретное предложение по завершению четкости рецептуры петли Квантовой Силы тяжести,
и доказательство полноценности идей GFT и методов. В то же самое время, это шоу, показывет что формализм GFT содержит намного больше чем любой каноническую кванта теорию силы тяжести, учитывая, что последнее полностью содержится на "классическом" уровне только из прежнего.
17.3 Некоторые групповые модели теории поля
Теперь давайте обсуждать некоторые определенные модели GFT. Самый легкий пример — прямое обобщение матричных моделей для 2-ой Квантовой Силы тяжести к GFT [20],
данное действием:
S [;] =СОЛЬdg1dg212;\(g1, g2) ; (g1, g2)+ ;3!dg1dg2dg3; (g1, g2) ; (g1, g3) ; (g2, g3) (17.2)
где Соль - родовая компактная группа, скажите SU (2), и упомянутые symmetries выше наложены на поле ; допущение, в этом случае: ; (g1, g2) = ; ; (g1g;12).Отношение с матричными моделями очевидно в пространстве импульса, расширяя поле в представления j Соль, чтобы дать:
S [;] =jтусклый (j)12концерн (; ;2j) + ;3! концерн (; ;3j)(17.3)
где полевые режимы ; ; j действительно matrices с измерением, тусклым (j), так, чтобы
действие дано суммой матричных действий моделей для того, чтобы увеличить размеры, или,
320 Д. Орити
лучше, одиночной матричной моделью, в которой было перевернуто матричное измерение от параметра в динамическую переменную. Амплитуды Feynman дают Z () = j тусклый (j) 2;2g (), таким образом, GFT выше дает квантование теории BF (с группой ширины кинопленки G) на закрытой разбитой на треугольники поверхности, дуальный к, соль рода (), увеличенный суммой по всем таким поверхностям [20]. Подобное квантование 2-ой силы тяжести использовало бы Соль = U (1), ограничение на представления, и дополнительные данные кодирование информации о связке [21].
Выпрямление, расширение к более высоким размерам может продолжиться двумя способами. В [15] первой “модели тензора”, для N ; N ; N тензор ; было введено:
S [;] =;i12;;1;2;3;;1;2;3+ ;4! ;;1;2;3;;3;4;5;;5;2;6;;6\4;1,
который производит и копию - и псевдоподобных копий 3-ьи симплициальные комплексы
[15; 17]. Это перевернуто легко в GFT прямым обобщением 2-ой случая. Следующее кинетическое и вершины условия:
K (gi, ; gi) =СОЛЬдециграммя;\(gi ; g;1я g),
или
V (gi j, gji) =яСОЛЬdgiя <j;\(gi gi j g;1ji g;1j),
где интегралы верстают постоянство ширины кинопленки под действием Соль, дают Квантование GFT теорий BF, для групповой Соль ширины кинопленки, в любом измерении [22; 23].
В частности в трех измерениях, выбор [22] Соль = ТАК (3) или Соль = ТАК (2, 1) обеспечивает квантование трехмерной силы тяжести в подписях Euclidean и Minkowskian, соответственно, и так называемые Ponzano-Regge вращают модель пены, в то время как выбор квантовой группы SU (2) q дает топологический инвариант Turaev-Viro. Действие затем:
S [;] =яСОЛЬ;\(g1, g2, g3) ; (g1, g2, g3)+ ;4!6i=1СОЛЬdgi ; (g1, g2, g3) ; (g3, g4, g5) ; (g5, g2, g6) ; (g6, g4, g1).(17.4)
Жребий известен о последней модели (см. главу 16 Freidel). Здесь, упоминаем мы
только один результат, который является представляющим интерес для общего вопроса перенормализации GFT. Это доказательство [25], что простая модификация GFT выше дает модель чье
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 321
вызывающее волнение расширение - Борель summable. Количество модификации к добавлению
другой термин вершины к оригинальному, данное:
+ ; ;4!6i=1dgi [; (g1, g2, g3) ; (g3, g4, g5) ; (g4, g2, g6) ; (g6, g5, g1)] | ; | <1.(17.5)
Новый термин соответствует просто немного отличающемуся пересцеплению
переменные группы/представления в каждой вершине взаимодействия, геометрически к
только другому возможному способу склеить четыре треугольника, чтобы творить закрытую поверхность. Это результат интересен больше чем по одной причине: (1) это показывает, что возможно управлять суммой по триангуляциям всей топологии, появляющейся в вызывающем волнение GFT расширении; (2), даже если у этого нет никакого прозрачного физического истолкования еще от Кванта Точка зрения силы тяжести, это - действительно очень мягкая модификация, и что наиболее важно одно вероятное, которое будет нашпиговано, усилено на нас, свыше нас групповыми параметрами перенормализации, что обычно потребует, чтобы мы включали в действие нашей полевой теории все возможные условия, которые являются совместимыми с symmetries. Ограничение трехмерной модели Булатова для  реального поля к однородному пространству ТАК (3) / ТАК (2) 0 S2 [25], и с глобальным ТАК (3) пониженное постоянство, дает обобщение модели тензора (17.3) с действием:
S [;] =ji, ;i12; j1 j2 j3;1;2;3; j1 j2 j3;1;2;3+ ;4!ji, ;i; j1 j2 j3;1;2;3; j3 j4 j5;3;4;5; j5 j2 j6;5;2;6; j6 j4 j1;6;4;1
где указатели ;i переезжают основание векторов в ji пространства представления, и его функция партитуры: Z = (; ;) nсимфония () j f6 f (2 j f + 1), с f быть лицами из 2-complex/Feynman графика, который является расходящимся и должен быть упорядочен. Есть три способа сделать это, весь модель тензора в результате: (1) просто понижение суммы по представлениям j f, устанавливая их, чтобы равняться данному J; (2) размещение перемаха на сумме, ограничивая ji <N, получая Z =
(; ;) nv ()симфония ()[(N +1) 2] n f (); (3) эквивалентно, но более изящно, определяя модель не на S2
но на некоммутативном S2N с 2 сферами, который также переносит представление SU (2), но подразумевает ограниченное разложение в сферических гармониках (маркированный
j <N), таким образом давая тот же самый результат для функции партитуры. Мы признаем в
выше результат партитуры функцию для модели (17.3) тензора и для динамической модели [14] триангуляций.
Теперь давайте обсуждать 4D случай. Здесь здание модели GFT следовало развитие моделей пены вращения для 4D Квантовая Сила тяжести (см. главу 15 Перес). Идея руководства была фактом, что классическая сила тяжести может быть написана как  принужденная версия теории BF для группы Lorentz. Вращения Barrett-Кран модели пены фактически [8] количество крупно к ограничению моделей пены вращения для Теории BF вовлечь только простые представления группы Lorentz (ТАК (4)
322 Д. Орити
или ТАК (3, 1)) [8; 9; 10]. Это ограничение может быть введено на уровне GFT, запускаясь
от GFT описание 4D теория BF, демонстрируя вниз параметры поля от Соль = ТАК (4) (ТАК (3, 1)) к однородному пространству ТАК (4) / ТАК (3) 0 S3 (ТАК (3, 1) / ТАК (3) или ТАК (3, 1) / ТАК (2, 1) в случае Lorentzian), эксплуатируя факт, что только простые представления Соль появляются в гармоническом разложении из функций на этих пробелах. Действие GFT затем определено [7] как:
S [;] = 12яТАК (4)dgiРазыгрывающий защитник Ph; (g1, g2, g3, g4) разыгрывающий защитник Ph; (g1, g2, g3, g4)+ ;5!10i=1ТАК (4)dgiРазыгрывающий защитник Ph; (g1, g2, g3, g4) разыгрывающий защитник Ph; (g4, g5, g6, g7)Разыгрывающий защитник Ph; (g7, g8, g3, g9) разыгрывающий защитник Ph; (g9, g5, g2, g10) разыгрывающий защитник Ph; (g10, g8, g6, g1) (17.6)
где проектирование Ph; (gi) = 6 яТАК (3) dhi ; (gihi) от группы к однородному пространству верстает требуемые ограничения на представления, и проектирование Pg; (gi) =  ТАК (4) дециграмм ; (gi g) убеждается, что постоянство ширины кинопленки поддержано. Различные изменения этой модели, имеющей результатом различные Одни амплитуды края, может быть созданы [18; 19; 9; 10], вставляя эти два Ph проекторов и разыгрывающего защитника в действие в различных сочетаниях. Соответствующие амплитуды Feynman:
Z () =J ffтусклый (J f)миОдин (J f |e)vVBC (J f |v), (17.7)
где тусклый (J f) мера для представления J f, маркируя лица 2-complex/Feynman график, вводя гармоническое разложение дельты функция на группе, и функция VBC (J f |v), в зависимости от этих десяти представлений маркируя десять лиц инцидентных к той же самой вершине v - так называемая Вершина Barrett-Кран [8; 9; 10].
Вышеупомянутые амплитуды Feynman могут быть выровнены по ширине различными способами, например, запускаясь от дискретизации классической теории BF и последующего наложения ограничения [9; 10], и есть хорошее согласие по факту что Barrett-Кран амплитуда вершины получает, по крайней мере, некоторые из свойств, необходимых пене вращения
описание 4D Квантовая Сила тяжести. Также [27], для соответствующих конфигураций
к невырожденным симплициальным конфигурациям асимптотический предел Barrett-Кран
амплитуды VBC (J) пропорциональна косинусу действия Regge, то есть правильной дискретизации Общей теории относительности.
Все вышеупомянутые модели совместно используют следующие свойства: (1) их амплитуды Feynman реальны; (2) никакая уникальная ориентация для (различные элементы) триангуляция
дуальный к любому графу Feynman может быть восстановлен от амплитуды связанной с этим; (3) в Квантовых моделях Силы тяжести, асимптотическом пределе
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 323
амплитуда вершины дает (в невырожденном секторе) косинус Regge действия вместо показательного из этого. Эти свойства предлагают истолкование [24] из соответствующих моделей как определение Квантового аналога Силы тяжести Функция Hadamard для релятивистской частицы, и, как сказано, является требуемыми свойствами если мы ищем четкость GFT канонического/Гамильтонова внутреннего результата 4 Однако, есть несколько причин, почему можно хотеть пойти вне этого типа структуры. (1) С точки зрения полевой теории на симплициальном суперпространстве мы
защищая здесь, самый естественный объект можно было бы ожидать, что GFT определит с
Функцией с 2 очками не канонический внутренний результат, раствор гамильтонова ограничения,
но Грина функцию для этого. Это - то, что происходит в обычном QFT, для свободной теории, и в формальном окружении квантования трети континуума для Кванта Сила тяжести, где (бесплатная, свободная теория) амплитуды Feynman соответствуют обычному пути интегралу для Квантовой Силы тяжести, с амплитудой, данной показательным из GR действия [3; 4; 5], которое является функцией Грина для гамильтонова ограничения, и нет раствора, решения того же самого, в каждом из его параметров. (2) ориентация GFT 2 комплекса могут быть даны, для моделей Lorentzian, причинного истолкования [28; 29], и таким образом независимость ориентации обычных моделей предлагает, чтобы каждый был должен быть в состоянии создать другие типы моделей, определяющих причинную Квантовую связующую партию Силы тяжести амплитуды [28; 29] и соответствующий GFTs. (3) Никакое прозрачное значение не может быть данный от гамильтоновой/канонической перспективы до амплитуд GFT для Feynman графов вне уровня дерева, когда пространственное изменение топологии присутствует. Для всех этих причин можно было бы хотеть иметь более общий класс моделей GFT что действительно зависит от ориентации GFT Feynman графов, которые могут интерпретироваться последовательно как аналоги причинных амплитуд связующей партии QFT, которые находятся в более прямом контакте с обычными рецептурами интеграла по траектории (симплициальной) силы тяжести, и этого выпарьте, уменьшается к вышеупомянутому типу моделей когда соответственно ограничено. Класс моделей что достигает, это было создано в [24]. Здесь обобщенная версия GFT формализма была определена, для поля ; (gi, си): (Соль ; R)
;4 ; ДО:Sgen =;\, ;144i=1dgiRdsi7;; ;; (gi, си)&я ;i;; ; си+ ;i!';;; (gi, си)8+;;i\{;i, ;}5!5i = j=1СОЛЬdgi jRdsi j
"Ph;;;1 (g1 j, s1 j) Ph;;;2 (g2 j, s2 j)... Ph;;;5 (g5 j, s5 j);\(;i си j + ;j s ji) K gi j, gji; ; (;i си j + ;j s ji)!%,
4 Другими словами, амплитуды Feynman этих моделей GFT соответствовали бы не симплициальной версии из формализма интеграла по траектории для Квантовой Силы тяжести, но к symmetrized версии того же самого по противоположности пространственно-временным ориентациям, который действительно дает четкость интеграла по траектории растворов гамильтонова ограничения действующец компании канонической Квантовой Силы тяжести [26].
324 Д. Орити
где: gi ; Соль, си ; R, ; = ±1 и ;i = ±1 являются данными об ориентации, которые позволяют
одно, чтобы восстановить ориентацию графика Feynman от сложной амплитуды связанной к этому, ;
+(gi, си) = ; (g1, s1;..., g4, s4) и ;;(gi, си) = ; † (gi, си), Ph - постоянство наложения проектора под ТАК (3), подгруппа, ; действующая компания Д'Аламбертяна на групповой Соль, ; (s) является ступенчатой функцией и K (соль, s) косточка развития для скалярной частицы на групповой Соль копии с развитием параметра s. Поле принято инвариантом под диагональным действием Соль как
описанное выше. Форма кинетической действующей компании и действующей компании вершины верстает нетривиальную зависимость от данных об ориентации полностью ковариантным способом. Имеющий результатом Feynman у амплитуд [24] есть все требуемые свойства, будучи сложными и orientation -dependent, и имейте естественное истолкование как аналоги связующей партии Feynman
амплитуды для Квантовой Силы тяжести [24; 29]. Кроме того, когда выражено с точки зрения
переменных, сопряженные к си, амплитуда для каждой вершины дана показательным
из действия Regge в первом формализме порядка, рассчитывает соответствующую меру
фактора [24]. Остается быть доказанным, что это также держится для амплитуды связанный
к целому графику Feynman [30; 31]. Другие модели, основанные на том же самом формализме
и тот же самый тип поля, но отличие, например, в выражении для вершины термин может также быть создан, и совместно использовать подобные свойства [31]. Другие типы GFTs были созданы в литературе, в пределах от Модели подобной Boulatov для 3-ьей силы тяжести, основанной на квантовой группе DSU (2) [32], со ссылками к моделям 3-ьей Квантовой Силы тяжести, соединенной с содержанием, упомянутым ниже, к измененной версии [33] GFTs для моделей Barrett-Кран, с мелодичным дополнительным сцеплением среди 4-simplices и возможного применения в перенормализации модели пены вращения. Для всего этого мы обращаемся к литературе. Мы обращаемся к литературе также для недавней конструкции групповых моделей теории поля для Квантовой Силы тяжести соединенной с материальными полями любой массы и вращения в 3-ьем [34; 35; 36], для работы в продвижении относительно 4d случай (сцепление Квантовой Силы тяжести и полей ширины кинопленки, из топологической силы тяжести и строк, и т.д.), и для предложения иного толкования конических особенностей, появляющиеся в неподобных копии графиках Feynman GFTs как материальные поля [37].
17.4 Соединения с другими подходами
Мы хотели бы резюмировать здесь некоторые ссылки к другим подходам, и эскиз  (довольно спекулятивный, в настоящее время) более широкое изображение GFTs как обобщенный формализм
для Квантовой Силы тяжести, в которой могут быть включены в категорию другие дискретные подходы.
GFTs стремятся понять местное симплициальное третье квантование силы тяжести, с
дискретные интегралы по траектории силы тяжести как амплитуды Feyman и сумма по симплициальному пространству-времени всей топологии поняли как расширение Feynman. Что является точным отношением с более традиционными квантованиями интеграла по траектории симплициальной
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 325
силы тяжести: квантовое исчисление Regge (см. главу 19 Уильямсом), и динамические триангуляции
(см. главу 18 Ambj;rn и др.)? Первое из вышеупомянутого использования неподвижная триангуляция пространства-времени, и таким образом должна быть воспроизведена на уровне GFT Амплитуды Feynman для данной диаграммы Feynman. Учитывая геометрическое истолкование из переменных GFT [28; 9; 10], каждая амплитуда должна соответствовать первому квантованию интеграла по траектории порядка дискретной силы тяжести, то есть обрабатывающий на равной основе
(D ; 2) - объемах и образуемые двумя пересекающимися плоскостями углы (эквивалентно, приспособьте параллельное перенесение из соединения Lorentz) как фундаментальные переменные, в противоположность второму порядку рецептуры традиционного исчисления Regge с точки зрения продолжительности края. Это, однако, может быть рассматривают несколько незначительные различия. Главный вопрос, который будет очищен в порядке установить прозрачную ссылку с квантом подход исчисления Regge должен сделать с фактом, что квантовые амплитуды последнего подхода даны показательным, экспонентой из действия Regge для дискретной силы тяжести, в то время как в наиболее изученном вращении пена моделирует соединение между квантовыми амплитудами и действием Regge прозрачно только в особом режиме и скорее вовлеченный. Однако,  кажется вероятным то, что новые обобщенные модели [24], или соответственно модификация того же самого, могут действительно дать амплитуды с той же самой структурой как в кванте исчисление Regge, с мерой, уникально определяемой выбором действия GFT, таким образом очищая, проясняя
соединение с дискретной силой тяжести и в то же самое время отнесением к группе кванта
исчисления Regge приближения в пределах формализма GFT. Тот же самый тип амплитуд
необходим также, чтобы установить твердую ссылку с динамическим подходом триангуляций,
где отягощения действия Regge на сей раз комбинаторная структура триангуляции непосредственно, который обработан как единственная истинная динамическая переменная в пределах суммы
по всем возможным триангуляциям данной топологии. Динамических триангуляций подход затем еще раз воскрес бы как подсектор формализма GFT, если один мог найти правильный способ упростить дополнительную структуру, связанную к каждой триангуляции (таким образом понижение суммы по геометрическим данным). Конечно, больше работы было бы быть необходимым затем, чтобы верстать дополнительные условия (установленная структура разрезания, отсутствие
детского образования ядра вселенной, и т.д.), которые, кажется, необходимы в современной версии
подход (см. главу 18 Ambj;rn и др.) иметь хороший предел континуума. Работа на этом происходящая [30].
Известно, что ковариантное квантование интеграла по траектории является более общим чем
соответствующий канонический/Гамильтонов, и что это - даже больше истины в третьем формализме квантования с его суммой по топологии. Каждый ожидает быть способным воспроизвести от GFT результаты канонической Квантовой Силы тяжести с групповыми элементами и представительствами от групп населения как базисные переменные, и сети вращения как квантовые состояния, то есть квантовая сила тяжести петли. Мы обсудили выше, как это может действительно быть реализовано [2]. Основные отличия между особой версией формализма LQG, который подход GFT воспроизводит, и традиционным (см. глава Тиманом): (1) сети вращения, появляющиеся как граничные государства или
326 Д. Орити
observables в GFTs неотъемлемо инсценированы к симплициальному окружению в этом, они
всегда D-valent в пространственно-временных размерах D, будучи дуальным, чтобы приспособить (D ; 1) - триангуляции, в то время как сети вращения, воскресающие в кванте петли континуума
подход силы тяжести имеет произвольную валентность; (2) группа имела обыкновение маркировать эти государства и их истории в случае GFT - группа Lorentz соответствующего измерения
(например, в измерении 4 и подпись Minkowskian, некомпактная группа ТАК (3, 1)), в то время как LQG использует SU (2) сети вращения. Первое из этих различий не настолько важно, так как с одной стороны любая более-высокая-valent сеть вращения в LQG может анализироваться в более-низкие-valent, и с другой стороны любая крупная graining процедура, приближающая симплициальные структуры с континуума, будет, вероятно, удалять любое ограничение на валентность. Второе различие более неприятно, и установление явного соединения между полностью ковариантным GFT вращает сети и SU (2) не является никаким легким заданием. Однако, большая работа уже была
сделанна по этому выпуску [38] (см. главу 14 Livine) и может быть начальная точка для (1) установления четкого канонического формализма от структур GFT сначала, и затем (2) соединение (более соответственно, сокращение, вероятно через своего рода установку ширины кинопленки) этот формализм к тому из традиционных LQG.
Четвертый подход, который может быть соединен с GFT, каждый - причинного набора
подход (см. главу 21 Хэнсоном). Недавняя работа над моделями пены вращения и GFT
[28; 29; 24] показал, как GFT Feynman амплитуды может быть переписан как модели причинного развития сетей вращения [39], правильным выполнением требования причинной связи. Ключевой шаг в выполнении этого является причинным истолкованием, в окружении Lorentzian, GFT Feynman график, этот являющийся направленным графом, то есть. диаграммы с "направлениями" или стрелками, маркирующими его края, таким образом обеспеченные ориентации. В этом истолковании, вершины графа, то есть элементарное GFT взаимодействие, дуального к D-simplices, являются фундаментальными пространственно-временными событиями, и ссылки графа каждое соединение двух таких вершин, дуального к (D ; 1)-simplices и соответствие элементарному распространению градусов свободы в GFTs, представляет фундаментальные причинные отношения между пространственно-временными событиями. Направленный график отличается от причинного набора только для одного, хотя важного, свойства: это возможно включает замкнутые контуры стрелок. Это, с точки зрения причинной теории множеств, нарушение причинной связи, микроскопический дискретный эквивалент закрытого подобного времени петли в Общей теории относительности, запрещенной в основных аксиомах, определяющих подход. Нет такого ограничения введеного, априорного, на соответствующих структурах GFT. Там несколько возможных отношений к этой проблеме с точки зрения GFT: (1) что возможно, что такие конфигурации не важны для приближения континуума, то есть они дают незначительный вклад в сумму под соответствующей крупной
процедурой graining; (2) в определенных моделях GFT, которые, перевернется, будут больше всего
интерес для Квантовой Силы тяжести, графы Feynman, обладающие такими “закрытыми подобными времени петлями” могут закончить тем, что были назначены квантовые амплитуды, которые подавляют их; (3)
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 327
можно быть в состоянии дать просто полевое теоретическое истолкование таких петель в
окружении GFT и затем идентифицирует своего рода “запрещение” правлений супервыбора
их; (4) наконец, можно решить, что нет никакой фундаментальной причины запретить такую
конфигурацию, и находит вместо этого способ интерпретировать их физически и изучить их
заметные следствия. Наконец, есть еще одно различие для причинных наборов: снова благодаря симплициальной установке, у GFT Feynman диаграммы есть вершины конечная и неподвижная валентность в зависимости от пространственно-временного измерения, в то время как причинный
 набор вершин нет имеет ни одного. Еще раз это - углубление, возможное, что нужно приветствовать такое ограничение, потому что это имеет результатом еще один знак фундаментальной пространственно-временной отдельности,  может быть привлекательно и от философских и от физических причин. Также возможно, что такое ограничение на валентность будет удалено автоматически в исследовании из приближения континуума дискретных пространственно-временных моделей GFT, из-за крупной процедуры graining или групповых параметров перенормализации (например, включение большего взаимодействия называет на действии GFT).
Формализм GFT поэтому в состоянии охватить несколько других подходов к Квантовой Силе тяжести, каждый переносящий ее собственный набор идей и методов. Укрепление ссылки с этими другими подходами будут, по нашему мнению, очень важны для дальнейшего развития структуры GFT непосредственно, но также и для продвижения на различные нерешенные вопросы, с которыми все еще стоят такие другие подходы.
17.5 Перспектива
Давайте подводить итог. Групповой подход теории поля стремится описывать движущие силы
и пространственно-временной геометрии и топологии вниз к длине Планка, в фона независимого и невызывающего волнение пути (даже если в настоящее время почти только расширение волнения вокруг “полного вакуума” является понятым углублением), используя полевой теоретический формализм. В основном GFT - полевая теория по групповой копии, что касается математической рецептуры, и в то же самое время полевой теории симплициальное суперпространство (пространство конфигураций), что касается физического истолкования. Соответствует местному третьему квантованию силы тяжести, в который "кванта" быть создаваема и уничтоженна не вселенные, как в традиционном подходе, но соответственно определенные куски пространства. Что особенно привлекательно, по нашему мнению, об этом подходе сочетание ортодоксального на математическом языке используемого и радикальности в идеях, что этот язык выражает. С одной стороны,
фактически, GFTs - почти обычные полевые теории, определенные на групповой копии с
неподвижной метрикой и топологией, и таким образом, формально разговор, фоновый иждивенец, зависимый. Означает, что GFTs позволяют, по крайней мере в принципе, один блокировать любой захватом из традиционных вопросов в Квантовой Силе тяжести, используя методы и идеи от QFT, таким образом делая использование обширной совокупности знаний и методов развитыми в фоновом иждивенца, зависимом окружении, которое появилось в течение длительного времени, не непосредственно применимого к Квантовой Силе тяжести
328 Д. Орити
исследованию. С другой стороны, общая картина пространства-времени и силы тяжести,  на чем этот
подход основан, является определенно радикальной и предлагает следующее. Там существует
фундаментальные стандартные блоки или атомы пространства, которые могут быть объединены, чтобы дать воскреснуть до всех видов геометрии и топологии пространства. В вызывающем волнение пространстве-времени уровня дискретная (виртуальная) история создания/уничтожения их основной тон атомов; у этого нет никакого реального существования, по крайней мере больше реального существования сам по себе чем каждый из бесконечных возможных процессов взаимодействия, соответствующих индивида Фейнмен диаграммам в любой полевой теории. Описание этого развития является обязательно фоновым свободным  (с точки зрения пространства-времени), потому что пространство-время непосредственно создано с нижней точки, и вся пространственно-временная информация должна быть восстановлена от информации, которую переносят "атомы" и таким образом диаграммами Feynman. На невызывающем волнение уровне, для того, что мы можем видеть данный настоящее положение сюжет, пространство-время просто не там, учитывая, что невызывающие волнение свойства Квантовой Силы тяжести были бы закодированы обязательно либо на действии GFT, и в имеющие результатом уравнения движения, или в функции партитуры GFT, и связанных корреляционных функциях, чтобы быть изученным non-perturbatively, ни один из которых нуждаются в любом понятии пространства-времени, которое будет определено или проанализировано. Пространственно-временная информация таким образом обязательно закодированное в структурах, которые не используют по существу понятие пространства-времени. Наконец, была бы фундаментальная отдельность пространства-времени и ключевой роли для причинной связи, в предгеометрическом смысле упорядочивания (так, чтобы это, вероятно, было бы лучше к разговору о "предварительной причинной связи"). Многие из этих идей были предложены несколько раз в прошлом и происходят больше чем в одном другом подходе к Квантовой Силе тяжести, но формализм GFT соединяет всех их в пределах уникальной структуры и, как
сказано, экспрессы, выражает их на довольно обычном и сильном языке.
Позвольте нам эскиз некоторые примеры того, как традиционные полевые теоретические методы могут использоваться, чтобы блокировать захватом в пределах новой перспективы некоторых важных нерешенных вопросах в Кванта Исследовании силы тяжести. Мы уже упомянули некоторые из этих примеров. Давнишняя проблема решения гамильтонова уравнения ограничения канонических
Квантовая Сила тяжести может быть идентифицирована с заданием решения классических уравнений GFT из движения. Другая давнишняя проблема определения канонического внутреннего результата
для Кванта государства Силы тяжести превращена в задание анализа усечения уровня дерева
из (вызывающее волнение расширение) приспосабливания GFT. Кроме того, волнение
теорией вокруг таких Квантовых государств Силы тяжести управляло бы, согласно
выше результатов, приближением партитуры GFT функции вокруг его классических растворов, и это предлагает новую стратегию исследования существования гравитонов (распространяющих градусы свободы) в определенных моделях пены GFT/spin. Самый выдающийся нерешенный вопрос, что большинство дискретных невызывающих волнение подходов к Квантовой Силе тяжести все еще стоят, олицетворяют однако, то из приближения континуума. Эта проблема была сформулирована и блокировалась захватом во множестве путей. Очевидно, учитывая роль, что формализм как динамические триангуляции, кванта Regge
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 329
исчисление, причинные наборы или квантовая сила тяжести петли могут играть в пределах групповой теории поля структуры, различные методы, развитые для них, может быть инсценированы к GFTs.
Однако, полевой язык теории, который является в центре деятельности подхода GFT предлагает еще раз новые перспективы. Давайте делать набросок их кратко.
Проблема приближения континуума может видеться как поиск ответа на два различных типов вопросов. (a), Что является лучшей процедурой, чтобы приблизить  дискретное пространство-время, например, симплициальный комплекс, с копией континуума, и  получить некоторую эффективную квантовую амплитуду для каждой геометрической конфигурации от основной фундаментальной дискретно модели? В окружении моделей пены вращения, это количеством, суммирует к изобретению фоновой независимой процедуры для “крупного graining” 2- комплекса пены вращения и соответствующие амплитуды [40; 41], чтобы получить гладкое приближение того же самого. (b), Если пространство-время континуума или пространство ничто иное чем своего рода "конденсат" существенно дискретных объектов, как в некоторой “силе тяжести на стадии становления” подходы (см. главу 7 Dreyer и главу 9 Markopoulou) и, как предложено моделями аналога конденсированного вещества силы тяжести [42; 43], каковы эти фундаментальные составляющие? Каковы их свойства? Что отчасти (обязательно фоновый свободный художник) модель может описать их и
целый процесс "конденсации"? Что является эффективными гидродинамическими переменными
и каковы их движущие силы в этой “сжатой или плавной фазе”? Как делает это сравнивается
к GR?
Для какого, чего касается первого (набор об) вопрос (ов), предложеный  подход GFT потенциально решающая реинтерпретация: так как пена вращения не ничто иное чем Feynman
диаграммы GFT, и та пена вращения модели не являются ничем иным чем своя передача
Амплитуды Feynman, крупный graining модели пены вращения [40; 41], точно вызывающая волнение перенормализация соответствующего GFT. На той руке это предполагает что одно соглашение с проблемой приближения континуума пены вращения, используя всю вызывающую волнение и невызывающую волнение группу перенормализации методов из обычной полевой теории, инсценированной к случаю GFT. С другой стороны дает дальнейшее выравнивание для идеи, предложенной в [41], что Connes-Kreimer Алгебра Hopf перенормализации, развитой для QFT, могла быть правильным типом формализма, чтобы использовать в таком Квантовом окружении Силы тяжести.
Что касается второго (набора об) вопрос(ов), подход GFT идентифицирует уникально
основные стандартные блоки квантового пространства, те, которые могли быть ответственными за
вид процесса "конденсации" или связующей партии к плавной фазе в основном тоне появления гладкого пространства-времени в некотором приближении и физическом режиме, и дает точное предписание для их классических движущих сил и квантовых движущих сил, которые могут теперь
быть исследованным. С этой точки зрения это лучше всего интерпретируется как теория "предварительной геометрии" в смысле, обсужденном в главах Markopoulou и Dreyer. В
частности, можно было развить статистическое изображение механики для движущих сил
GFT "атомы" пространства, и затем вышеупомянутая идея "конденсации" или вообще
330 Д. Орити
из возможности гидродинамического описания могла быть проверена в определенной GFT
модели, и в очень конкретных и точных условиях. Более детальное обсуждение возможного развития GFTs вдоль этих строк может быть найдено в [44].
Будет ли какая-либо из вышеупомянутых идей понята, или другая, еще предполагаемая,
возможность для развития станут декларацией в ближайшем будущем, только дальнейшая
работа скажет. По нашему мнению, однако, это уже прозрачно, что GFT приближение
может быть правильная структура для того, чтобы расследовать большинство фундаментальных вопросов о Квантовой Силе тяжести.
Ссылки
[1] Д. Орити, в: B. Fauser, Дж. Толксдорф, Э. Зеидлер (редакторы)., Квантовая Сила тяжести
(Birkhaeuser, 2006); gr-qc/0512103.
[2] Л. Freidel, Интервал. Дж. Зэор. Физика 44 (2005) 1769, hep-th/0505016.
[3] С. Гиддингс, А. Штромингер, Nucl. Си Физики 321 (1989) 481.
[4] T Банки, Nucl. Си Физики 309 (1988) 493.
[5] М. Макгуигэна, Преподобного Физики Д 38 (1988) 3031.
[6] Дж. К. Баэз, Дж. В. Барретт, Реклама. Theor. Математика. Физика 3 (1999) 815, gr-qc/9903060.
[7] R. Де Пиетри, Л. Фреидель, K Краснова, К. Ровелли, Nucl. Си Физики 574 (2000) 785,
hep-th/9907154.
[8] Дж. В. Барретт, Л Студийного крана, Класса. Шест для отталкивания. Grav. 17 (2000) 3101, gr-qc/9904025.
[9] Д. Орити, Rept. Прогр Физика 64 (2001) 1489, gr-qc/0106091.
[10] A. Перес, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003) R43, gr-qc/0301113.
[11] Д. Орити, Дж. Райан, гамильтонов анализ и структура Fock для обобщенной группы
полевые теории, в приготовлении.
[12] A. Baratin, Л. Фреидель, Э. Ливайн, Решая модели пены вращения: instantons и группа
полевая теория, в приготовлении.
[13] М. Reisenberger, К. Ровелли, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 18 (2001) 121, gr-qc/0002095.
[14] Дж. Амбджорн, Дж. Юркиевич, R. Сидите развалившись, Преподобный Физики Д 72 (2005) 064014, hep-th/0505154.
[15] Дж. Амбджорн, Б. Дерхуус, Т. Джонссон, Модник. Латыш Физики. 6 (1991) 1133.
[16] Л. Freidel, Д. Лоуэпр, Nucl. Си Физики 662 (2003) 279, gr-qc/0212001.
[17] R. Де Пиетри, К. Петронио, Дж. Мэт. Физика 41 (2000) 6671, gr-qc/0004045.
[18] A. Перес, К. Ровелли, Преподобный Физики Д 63 (2001) 041501, gr-qc/0009021.
[19] A. Перес, К. Ровелли, Преподобный Физики Д 64 (2001) 064002, gr-qc/0011037.
[20] Ми. Livine, А. Перес, К. Ровелли, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003) 4425, gr-qc/0102051.
[21] Д. Орити, К. Ровелли, С. Спезиэл, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 22 (2005) 85, gr-qc/0406063.
[22] Д. Булатов, Модник. Латыш Физики. 7 (1992) 1629, hep-th/9202074.
[23] Х. Оогури, Модник. Латыш Физики. 7 (1992) 2799, hep-th/9205090.
[24] Д. Орити, Преподобный Физики Д 73 (2006) 061502, gr-qc/0512069.
[25] Л. Freidel, Д. Лоуэпр, Преподобный Физики Д 68 (2003) 104004, hep-th/0211026.
[26] Дж. Халливелл, Дж. Хартл, Преподобный Физики Д 43 (1991) 1170.
[27] Дж. В. Барретт, Р. М. Уильямс, Реклама. Theor. Математика. Физика 3 (1999) 209, gr-qc/9809032.
[28] Ми. Livine, Д. Орити, Nucl. Си Физики 663 (2003) 231, gr-qc/0210064.
[29] Д. Орити, Преподобный Физики Летт. 94 (2005) 111301, gr-qc/0410134.
[30] Теория поля D. Oriti, Group и симплициальная квантовая сила тяжести, в приготовлении.
[31] Д. Орити, Т. Тлас, GFT и причинные 3-ьи модели пены вращения, в приготовлении.
[32] K Краснова (2005), hep-th/0505174.
Групповая теория поля приближается к Квантовой Силе тяжести 331
[33] Ми. Livine, Д. Орити, JHEP 0702, 092 (2007), gr-qc/0512002.
[34] Д. Орити, Дж. Райан, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 23 (2006) 6543, gr-qc/0602010.
[35] Л. Freidel, Д. Орити, Дж. Райан (2005), gr-qc/0506067.
[36] В. Фэрбэрн, Э. Ливайн (2007), gr-qc/0702125.
[37] Л Студийного крана (2001), gr-qc/0110060.
[38] С. Александров, Э. Ливайн, Преподобный Физики Д 67 (2003) 044009, gr-qc/0209105.
[39] Ф. Маркопулоу, Л. Смолин, Nucl. Си Физики 508 (1997) 409, gr-qc/9702025.
[40] Р. Оекл, Nucl. Си Физики 657 (2003) 107, gr-qc/0212047.
[41] Ф. Маркопулоу, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003) 777, gr-qc/0203036.
[42] Соль. Volovik, Физика. Rept. 351 (2001) 195, gr-qc/0005091.
[43] До. Barcelo, С. Либерати, М. Виссера, Живущего Преподобного Реля. 8 (2005) 12, gr-qc/0505065.
[44] Д. Орити (2006), hep-th/0612301.
Вопросы и ответы
• Q — Л. Кран - Т. Тиману:
Чтобы применить канонический подход к Общей теории относительности, это необходимо
выбрать пространственноподобное расплющивание пространства-времени. Это важно что генерал, главное пространство-время не допускает такое расплющивание? Например, пространственно-временные модели с черными лунками в них не допускают такое расплющивание, или по крайней мере не с физическим временем функции и постоянной топологией. Делает эту декларацию непосредственно косвенно в части из проблемы подхода LQG?
- Т. Тиман:
Известной теоремой из-за Geroch, каждого глобально гиперболического пространства-времени допускает расплющивание пространственноподобными гиперповерхностями. Глобальный hyperbolicity - физическое требование, которое мотивируется возможностью изложить углубление
рецептуры первоначального значения Общей теории относительности. Следовательно, классически есть абсолютно никакое поражение в создании этого успения. В частности пространственно-временные модели с черными дырами являются, конечно, глобально гиперболическими, фактически теоремы черной дыры из-за Пенроза и Распродажи имеют глобальный hyperbolicity на их успении
(поскольку Schwarzschild используют координаты Kruskal, чтобы видеть это явно).
LQG запускается с этой классической структуры и таким образом, можно думать, что это не может
соглашаться с изменением топологии. Однако, очень красиво дело обстоит не так: векторы
в Гильбертовом пространстве LQG наложения государств сети вращения. Они описывают подобные полимеру возбуждения поля тяготения на конечных графиках. Считайте действующую компанию объема LQG связанной с некоторой пространственной областью. Если у той области есть пустое пересечение с данным графиком, то объем исчезает. Физически это означает, что данное государство не назначает объема на ту область, то есть что есть лунка в той гиперповерхности. Следовательно мы видим что изменение топологии находится повсеместно в LQG. Причина, почему это происходит
то что, чтобы математически определить классические уравнения Эйнштейна мы должны предположить, что метрика является всюду невырожденной. Однако, это требование может быть полностью смягчено в квантовой рецептуре. Дайте обзор этого
332
Вопросы и ответы 333
лунки могут видеться только, исследуя геометрию с областями, которые являются "меньшими" чем масштаб графика. Макроскопическим образом геометрия поэтому остается не выродившимся, потому что полуклассическое государство обязательно основано на "очень тонкие" графах.
В заключение нет абсолютно никаких проблем в LQG, связанном с этим типом вопроса.
• Q - Р. Перкаччи - Т. Тиману:
LQG может видеться, поскольку попытка к непосредственно “квантовать теорию Эйнштейна”. Как обсуждено во вкладе Бюргера теория Эйнштейна может видеться как низкая энергия эффективной полевой теории и каждый ожидали бы, что гравитационные движущие силы добираются
измененными в очень богатых энергиях. Например, более высокие производные условия могли
появитесь на действии. До какой степени мог одна надежда обобщить результаты из LQG для этих более общих действий?
- Т. Тиман:
Полуклассический предел LQG - терм Эйнштейна-Хилберта. Исправление условий более высокой силы в или скорее "2 P может действительно интерпретироваться как выше производные условия типа, который обсуждает Бюргер. Важный момент то, что это истолкование держится только, используя уравнения движения Терма Эйнштейна-Хилберта. Это необходимо, чтобы заменить канонические
импульсы канонической теории covariantly определенной внешней сабельностью которая поставляет более высокие ковариантные производные. Реальный вопрос состоит в том почему каждый не квантует более высокие производные действия непосредственно. Ответ очень простой: каждый мог, но если дополнительные условия являются топологическими, то есть в меньше всего на оболочке, равной полным производным, каждый изменяет число градусов из свободы теории. Давайте обсуждать простой пример, термин R2. Даже после исполнения интеграции партиями этот термин будет зависеть от производных времени из пространственной метрики до третьего, если не четвертого порядка. Таким образом, чтобы решить уравнения движения, нужно определить исходные данные, вовлекающие пространственную метрику вместе с ее скоростью, ускорением и возможно рассчитывает производные третьего порядка. Таким образом даже в линейном порядке у теории не только есть знакомые два градуса поляризации свободы гравитационных волн, но фактически
больше. Отметим, что это - просто классическое соблюдение, и в литературе известное как обобщенный метод Ostrogadsky. См. например, книгу Tuytin на принужденных системах или недавних статьях Вудардом. Следовательно, как в Янге — Миллза Теории , более высокие производные эффективные действия никогда не должны думаться как классические начальные точки для квантования, а скорее как эффективные инструменты или транспортные средства, чтобы сделать вычисления такой как только вычислительные диаграммы дерева из эффективной теории вместо того, чтобы делать все заказы петли основной, фундаментальной теории. Это - то же самое в функции Лагранжа и в гамильтоновом подходе. В общих словах в двух подходах есть полное соглашение.
• Q - Р. Перкаччи - Т. Тиману:
334 Вопроса и ответы
Я частично не соглашаюсь с Вашим ответом.
1. Если начальная точка квантования ("пустое" действие) содержала другой Planck-mass градусы свободы вне гравитона, который действительно не был бы проблемой потому что у нас нет доступа к тем энергиям, и мы не можем проверить. Пока, все, что мы знаем, - то, что теория должна описать невесомый гравитон в низких энергиях.
2. Причина, почему более высокие производные условия не присутствуют на пустом действии
в Яна-Миллза теории состоят в том, что они не renormalizable в теории волнения, и теория волнения работает в этом случае. В случае силы тяжести мы оба кажется думаем, что необходимо пойти вне теории волнения. Но затем, нельзя применить знакомые параметры подсчета силы, и это не настолько прозрачно какие критерии могут использоваться, чтобы определить пустое действие. Эйнштейн-Хилберт или Действие Palatini - хорошая начальная точка, но я не ожидаю, что это будет целый
сюжет.
Вместо того, чтобы пытаться предположить пустое действие и затем получить низкую энергетику
от этого в “верхней части вниз” моде, подход Wilsonian может обеспечить метод из определения этого запускающийся снизу. Запустите, принимая эффективную полевую теорию точка зрения с действием, содержащим все условия, которые совместимы с постоянством diffeomorphism. Как обсуждено во вкладе Бюргера, это позволяет один, чтобы последовательно говорить о квантовых теориях поля силы тяжести. Каждый был бы затем вычислять бета функции и см., где поток приводит когда энергия
склоняется к бесконечности. Если предел может быть взят, который является пустым действием. Таким образом, в наименее в принципе это "вверх дном" подход может использоваться, чтобы определить пустое действие.
Я соглашаюсь с Вами это, если пустое действие содержало более высокие производные условия жизнь была бы грязна, но это будет нашей проблемой и не основным тоном несогласованности в физических правилах. Возможно, если мы удачливо пустое действие
будет все еще выглядеть разумно простым после некоторой полевой перечеткости, переопределения как обсуждено Тэйлор.
- Т. Тиман:
Я также делаю с Вашим ответом.
1. Я не искупаю это. Обычно мы говорим, что не можем видеть разновидность частицы
в низких энергиях, потому что его масса покоя слишком богата и, мы надеемся, есть каналы распада, которые учитывают его распад в более легкие частицы. Никто не имеет показанный, что такие каналы распада существуют для более высоких производных теорий, ни имеют показанный, что эффективная масса покоя дополнительных градусов свободы имеет размер Планка, он может углубление быть намного ниже. Затем, понятия такой как мессы покоя и энергии - (Минковский) фоновый иждивенец, зависимый LQG  не учитывают такие понятия априорно, и следовательно обычная интуиция может очень хорошо быть абсолютно вводящей в заблуждение. Наконец, дайте обзор, что очень массивные частицы имеют тенденцию значительно увеличить значение космологической константы через
Вопросы и ответы 335
их вакуумные колебания, который не находится в конфликте с соблюдением если один запускает точную настройку.
2. Случай QCD — встречный, счетный пример Вашего проведения темы, статуса. QCD — perturbatively renormalizable; однако, теория волнения не применима к большинству важных явлений, таких как заключение. Ваше проведение темы, очевидно, неокончательное и мы, кажется, достигли очка, где только эксперименты могут быть в состоянии решить. Здесь я хочу напомнить об анализе из-за Т. Дэмура и др., кто в цифровой форме показал что в пределах 15 пространств параметров обобщенных действий чистый термин Эйнштейна-Хилберта являются безусловно наиболее естественным выбором сравниваясь с экспериментом. Я знаком с подходом theWilsonian
и конечно я полностью согласен с этим.
Я думаю, что мы не не соглашаемся на очке, что эффективный Lagrangean содержит
более высокие производные условия. Однако, то, что я хочу сказать, является этим в гамильтониана
приближения, такие как LQG обслуживание более высокого производного действия как фундаментальное действие отличалось бы от того, что каждый обычно делает в Структуру термина счетчика Lagrangean индексирует интеграл по траектории квантования. В последнем подходе, эти встречные условия не изменяют число градусов свободы, в то время как в прежнем они сделали бы. Вы можете видеть это явно, смотря в том, как преобразования вращения квартала производят дополнительные эффективные условия. Вы всегда объединяйте богатые градусы импульса свободы относительно наивного действия, Вы никогда не изменяете количество степеней свободы в пути
составной, интегральной меры (в теориях Яна-Миллза Вы только используете меру, зависящую
на соединении, но не его выше (ковариантных) производных). В гамильтониана подходе Вы должны были бы столкнуться с большим количеством градусов свободы. Чтобы  примирить оба подхода, Вы используете уравнения движения наивного (сначала, первого порядка) действие, чтобы превратить более высокие производные условия в более низкие производные условия. Я не забочусь, грязна ли жизнь, я хотел указать что обслуживание из эффективных действий, поскольку фундаментальный Lagrangeans в каноническом обслуживании непоследовательный с обычным обслуживанием. Это - то, как я интерпретировал Ваш вопрос.
• Q - Р. Перкаччи - Э. Ливайну:
Могли Вы уточнять далее физическое значение непрерывного против дискретного спектра действующей компании площади?
- Э. Ливайн:
Квантовая сила тяжести петли (LQG) формулирует силу тяжести как теорию ширины кинопленки, основанную на компактной группе SU (2). Казимир SU (2) дает спектр площади.
Мы затем получаем дискретный спектр. С другой стороны, ковариантный квант петли у силы тяжести (CLQG) есть некомпактная группа Lorentz как группа ширины кинопленки и получает непрерывный спектр площади. В трех пространственно-временных размерах, группа ширины кинопленки - фактически группа Lorentz, которая дает дискретную продолжительность
336 Вопросов и ответы
спектра в Риманновой теории и непрерывный спектр (для пространственноподобных
антрактов) в случае Lorentzian. В четырех пространственно-временных размерах,
группа ширины кинопленки LQG является истинной complexification SU (2) и действительности
условия могли бы фактически выбрать некомпактный раздел комплекса группы, из которой мы затем получили бы contiuous спектр. Наконец, эти результаты только на кинематическом уровне. Они не используют физическое Гильбертово пространство и скалярное произведение, таким образом, мы не можем убедиться в их физической уместности. Фактически, действующая компания площади самостоятельно только определена в кинематическом Гильбертовом пространстве (не инвариант под diffeomorphism и не в косточке из гамильтонова ограничения), и мы не были в состоянии вознести это к физической действующей компании, действующей на физическом состоянии. Однако, в трех пространства-времени размерностях, работа Noui & Perez (2004), предполагает, что мы можем создать
физическую действующую компанию продолжительности, вводя частицы в теории и мы затем возвратим, перекрываем кинематические результаты то есть непрерывный спектр продолжительности для теории Lorentzina. Проблема, однако, все еще открыта в четырех пространства-времени размеростях.
• Q - Л Студийного крана - Д. Орити:
Это кажется ужасным позором, чтобы перейти к сути дела, где каждая Feynman диаграмма  в Модели GFT конечна, затем чтобы описать заключительную теорию как бесконечную сумму таких условий. Думать о Вас когда-либо возможность что, определяя структуру из наблюдателя включая его фоновую геометрию мы ограничиваем число из симплициальных комплексов мы должны суммировать, или по крайней мере сделать большинство маленькие вклады, таким образом представляя ответ на любой по-настоящему физически конечный вопрос?
- Д. Орити:
Я соглашаюсь. Я был бы осторожен в различении “четкости теории”, данной его функцией партитуры (или его амплитудами связующей партии), и количества что, в теории непосредственно, соответствует физическому observables и таким образом отвечает на физические вопросы. Функция самой партитуры может быть определена, в отсутствие лучшего пути, посредством его вызывающего волнение расширения в Feynman диаграммах, и таким образом вовлекают бесконечную сумму, которая наиболее вероятна вне досягаемости из практической исчисляемости, и наиболее вероятно расходящийся. Однако, я действительно верю тому, как только мы понимаем теорию лучше, ответ на физические вопросы потребует только конечных вычислений. Это может произойти тремя способами, я думаю. Как Вы предлагаете, очень математическая рецептура вопроса, вовлекая возможно спецификацию наблюдателя или ссылочного фрейма, или обращения к конечному пространственно-временному объему только, или некоторому другому типу физического ограничения, разрешит или даже шпигует, усиливает нас, чтобы ограничить сумму по графикам к конечному числу их, таким образом делая конечное вычисление. Другая возможность то, как в обычном QFT, ответе на физический вопрос (например, результат
Вопросы и ответы 337
из своего рода процесса рассеивания, таким образом соответствующий амплитуде связующей партии)
потребует вычисления только к конечному порядку в теории волнения. Это означает получать только приблизительные ответы, но это может углубление быть хорошим достаточно для всех практических целей (снова, дело обстоит так в обычном QFT). В порядок на эту возможность, которая будет реализована, конечно, нужно очиститься далее физического истолкования постоянного сцепления GFT, вне того, что уже известно. Наконец, бесконечные суммы появляются в вызывающем волнение расширении полной, микроскопической, функции партитуры; возможно что после большего количества работы, и с более глубоким пониманием формализма GFT, каждый будет в состоянии
получить эффективные теории, инсценированные к более макроскопическому окружению, например, подходящему изучить некоторую определенную фазу теории (как "сжатый" соответствующий
к приближению континуума пространства-времени), от микроскопического GFT; если это верно, бесконечные суммы вызывающего волнение расширения микроскопического GFT не будет непосредственно важен для ответа на вопросы в этой фазе/приближения, и эти вопросы могут вместо этого потребовать только конечные вычисления в эффективной теории.