Теорема гёделя по русско-российски

                ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ ПО РУССКО-РОССИЙСКИ


      Вероятно, когда-то люди были немыми, т.е. они могли формировать звуки (человек и животные не издают звуков, но могут возмущать области среды так, что системы слуха других животных и человека формируют звуки; человек, конечно, может воображать, что он воспринимает звуки из внешней среды, но это заблуждение многих и многих), но не могли возмущать среду так, чтобы на основе сформированных звуков другие могли формировать слова, речь. Благодаря исследованиям нейрофизиологов и психологов, а также собственным, мы знаем, что говорить и формировать речь значительно сложнее, ресурсозатратнее, чем преобразовывать части среды так, чтобы пользователь формировал изображение (рисунок). Мы убеждены, что немые люди сначала научились рисовать и писать, потом петь, а уж потом - говорить и слушая формировать слова (речь).
       Курта Гёделя мы не знаем. Но если таковой математик был, то единственное, что он мог, как математик, - это говорить (во время лекций, например) и создавать средства письменности, а также организовывать изготовление книг, опять же, средств письменности. По русско-российски он, конечно, не говорил и не писал. Таким образом, для нас он является немым человеком, если мы не наработали навыков формирования немецкой, английской речи. Мы, следовательно, будем иметь дело с произведениями толмачей или с произведениями математиков, которые пользовались произведениями толмачей (переводчикоВ). Будем считать, что мы имеем дело с русско-российской версией теорем Курта Гёделя.
       "Пожалуй ни одна теорема математики не пользуется такой известностью вне этой науки, как теорема Гёделя о неполноте. О ней рассуждают, на нее ссылаются физики, инженеры, психологи, лингвисты, биологи, специалисты в области педагогики, искусствоведения, социологии, этики... Но, как нередко бывает с выдающимися открытиями, говоря (в оригинале ГОВОРЯ курсив...), мало кто имеет адекватное представление о сути дела, а еще меньше тех, кто читал ее авторское изложение. Однако именно оно представляет огромный интерес. Метод, которым Гёдель доказал свою теорему, ценен в той же мере, что его результат: как почти всегда бывает с эпохальными достижениями научного знания, метод здесь оказывается неотделимым от результата. В этой главе, не стремясь к недостижимой здесь строгости, мы очертим общий ход мысли Гёделя. Но сначала о нем самом.
        Курт Гёдель родился в городе Брюнн (Австро-Венгрия; ныне г.Брно, Чехия) в 1906г"
(соответствует части изделия типографии ООО "Рохос". 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9)(Б.В.Бирюков, В.Н.Тростников, Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики, М., 2004, с.119).
        Собственно, мы имеем дело с конструкцией из бумаги и внесенных в бумагу составов. Если Курт Гёдель доказал какие-то две теоремы, то кому он их доказал? И что значит доказать кому-либо и что-либо? Доказать - это значит создать такие условия для того, кому доказывается, что благодаря своей неодолимой зависимости от собственных структур, обеспечивающих программы-автоматизмы лексического характера, субъект-индивид полностью соглашается с им же полученным результатом, который желателен доказывающему, т.е. создающему определенные условия для того, кому он доказывает.
         "Согласно данной теореме, называемой теоремой о неполноте (в оригинале курсив - теоремой о неполноте), или первой теоремой Гёделя (курсив в оригинале), получается (здесь должна быть запятая) что если формальная арифметика ("типа PM") непротиворечива, то она неполна. А что если она противоречива? Тогда понятие теоремы в ней вообще лишается смысла, так как (ср. с 111) в противоречивой системе доказуема любая ее формула. В этом случае, конечно, гёделева формула, говорящая "Я недоказуема", окажется доказуемой, но доказуемым будет и ее отрицание. Математики и логики исполнены надежды, что теория натуральных чисел непротиворечива. Но как обосновать отсутствие противоречия в (формальной) арифметике - превратить надежду в уверенность?
          Гёдель занялся и этим вопросом. С помощью разработанного им метода ему удалось доказать в своей логико-арифметической системе формулу, метаматематический смысл которой можно передать словами: "Если формальная арифметика непротиворечива, то формула говорящая: "Я недоказуема", доказуема" (обозначим эту формулу через Фнепр). Допустим теперь, что мы сумели доказать формулу, утверждающую непротиворечивость формальной арифметики. Тогла в силу формулы Фнепр, по правилу модус понес вытекает заключение: формула, утверждающая: "Я недоказуема", доказуема. Но это противоречит предыдущей теореме. Значит, формулу, утверждающую непротиворечивость формальной арифметики, невозможно доказать в этой последней, если, разумеется, сама эта арифметика не противоречива. В противном же случае, поскольку в ней доказуема любая формула, доказуема и формула,которую можно считать выражающей свойство непротиворечивости.
          Методологическое заключение, вытекающее из этой теоремы - она именуется второй теоремой Гёделя (курсив), - таково: если формальная арифметика неротиворечива, то ее непротиворечивость нельзя доказать средствами, формализуемыми в ней самой, то есть теми финитными средствами, которыми Гильберт хотел ограничить метаматематические исследования" (там же, с. 124-с.125).
          Самая простая конструкция математиков соответствует такому: ""1 + 1 = 11" (l + l = ll)" ~ один штрих плюс один штрих равно конструкции из двух штрихов (1 + 1 = V, где V - конструкция из двух штрихов (1 + 1 = 2, т.е. конструкция "2" явно не есть то, что 1 + 1; но и 11 также не есть 1 + 1, как и V не есть 1 + 1.
           А строгость в рассуждениях, когда формулы говорят, - это шизофреническая строгость.
           "Подчеркнем: результаты Гёделя относятся не к одной только формальной арифметике - они распространяются на любую формальную систему, содержащую арифметику натуральных чисел, т.е. на любое исчисление, "начиная с арифметики". Исчисление высказываний беднее (беднее - курсив в оригинале) арифметики, поэтомсу на него теорема Гёделя не распространяется - и, как мы знаем, нетрудно доказать его непротиворечивость; вместе с тем оно полно (полно - курсив), в том смысле, что каждая его тождественно истинная формула доказуема.
           Гениальные открытия Гёделя положили начало строгим  исследованиям возможностей формализованно-дедуктивного метода (курсив от возм.) познания. Открытия эти были почти полной неожиданностью для логической науки "догёделевского" периода. Неудивительно, что они вызвали множество разных толкований. Однако общим их мотивом - вполне убедительным - является заключение  об определенной внутренней ограниченности (курсив с внутр.)
регулярных процедур дедуктивного и вычислительного характера, о невозможности представления процесса расширения знания (начиная с математики) в виде завершенной формальной системы" (там же, с. 125).
            "Суха теория, мой друг,
            А древо жизни вечно зеленеет" (произведение "Prinzipia mathematica", по поводу которого Гёдель провел работу, - это 1948 страниц).