Макромикро Теория по Мультиполевому Поведению Сцеп

Кинг-Хуа Кин
Кинг-Шенг Янг
Макромикро Теория по Мультиполевому Поведению Сцепления
 Гетерогенных Материалов
“Эта страница, оставленная преднамеренно чистой.”
Кинг-Хуа Кин
Кинг-Шенг Янг
Макромикро Теория по
Мультиполевого Сцепления
Поведению
Гетерогенных Материалов
С 78 числами
~ ~~~~tiiJl&t}
_ НАЖАТИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ~ Спрингер
АВТОРЫ:
Профессор Кинг-Хуа Кин
Отдел Разработки
Австралийский Национальный университет
ЗАКОН 2601, Канберра, Austrlia
Электронная почта: qinghua.qin@anu.edu.au
Ян профессора Кинга-Шенга
Отдел Технической Механики
Пекинский Технологический университет
100022, Пекин, Китай
Электронная почта: qsyang@bjut.edu.cn
ISBN 13 978-7-04-022350-7 Нажатий Высшего образования, Пекин
ISBN 13 978-3-540-78258-2 Спрингера Берлина Гейдельберг Нью-Йорк
ISBN ми 978-3-540-78259-9 Спрингера Берлина Гейдельберг Нью-Йорк
Контрольное число Библиотеки Конгресса: 2008920889
Эта работа подчинена авторскому праву. Все права зарезервированы, являются ли целым или частью материала
заваренны, специально права на перевод, переиздание, повторное использование иллюстраций, декламации, широковещательной передачи,
воспроизведение на микрофильме или любым другим способом, и хранением в банках данных. Дублирование этой публикации
или партии этого разрешены только под съестными припасами немецкого Закона об авторском праве от 9 сентября,
1965, в его текущей версии, и разрешении для использования должен всегда получаться от Спрингера-Верлэга.
Нарушения склонны к судебному преследованию в соответствии с немецким Законом об авторском праве.
Нажатие Высшего образования © 2008 года, Beijing and Springer Verlag GmbH Берлин Гейдельберг
Cо-изданный Нажатием Высшего образования, Beijing and Springer Verlag GmbH Берлин Гейдельберг
Спрингер - партия СМИ Спрингера Сайенсе+бузинесса
springer.com
Использование общих описательных имен, зарегистрированных имен, торговых марок, и т.д. в этой публикации не делает
подразумевайте, даже в отсутствие определенного проведения темы, что такие имена освобождены от соответствующего
защитные законы и постановления и поэтому бесплатный для общего использования.
Проект крышки: Steinen-сок Frido, Кальмар EStudio, Испания
Напечатанный на бескислотной статье
Предисловие
Интеллектуальный материал с мультиполевыми свойствами сцепления – важный аспект современной науки и технологии с приложениями во многих индустриальных полях, таких как биомедицинское, электронное и механическое машиностроение.
Известно что большинство технических материалов, композиционных материалов в частности, являются гетерогенными. Разнородность либо разработана, чтобы встретиться с техническими требованиями для определенных свойств и функций либо натуральное развитие, чтобы инсценировать историческую архитектуру к изменениям в долгосрочных погрузках и обстановках. Типичные примеры включают функционально материалы градиента и биоматериалы. Функционально материалы градиента разработаны согласно определенному функции требуются потребителями. Биоматериалы, с другой стороны, реконструируют
непосредственно инсценировать к изменениям в окружающей среде. Очевидно, есть много гетерогенных материалов в разработке включая соединения, дефектные материалы и естественные биоматериалы. Гетерогенные материалы экспонируют комплекс свойств и на микроскопическом и на макроскопическом уровне из-за их анизотропии и взаимодействия между компонентами. Вообще, есть два используемые подхода
в исследовании гетерогенных материалов. Один - механики континуума подход, где материалы, как предполагается, являются приблизительно гомогенными и непрерывными средами. Другой подход микромеханики, используемый для исследования деформации и напряжения гетерогенных материалов
рассмотрением взаимодействий компонентов в микроскопическом масштабе.
В последние годы, исследование в макромикро механике композиционных материалов
имел результатом очень много публикаций включая статьи журнала и монографии. До настоящего времени, однако, никакое систематическое обслуживание макромикро теории гетерогенных мультиполевых соединений была доступна. Объектив этой книги состоит в том, чтобы заполнить этот пролом, так, чтобы читатель мог получить звуковые элементарные знания методов раствора мультиполевых соединений. Это объем детализирует развитие линейных теорий мультиполевых материалов и представляет современные результаты на гальванопластике магнето упругих соединений. Книга
Предисловие vi
состоит из восьми глав. Главы 1, 2, 5, и 7 были написаны Кингом-Шенгом Ян, и сохранение четыре главы были завершены Кингом-Хуа Кин. Глава 1 описывает фундаментальные понятия и методы раствора гетерогенных
мультиполевые соединения. Глава 2 вводит основы гомогенизации подходов для гетерогенных соединений. Глава 3 имеет дело с основными уравнениями и растворами линейного пьезоэлектричества, и выпрямления, чтобы включать магнитные эффекты обсужденые в Главе 4. Глава 5 касается основных уравнений,
вариационных принципов, и раствора  конечного элемента термо-электро-хемоэлектрических проблем. Приложения много полевых теорий  дать кость реконструкции процесса детализированы в Главе 6. Глава 7 исследует общую гомогенизацию замыслов гетерогенных мультиполевых соединений. В Главе 8, последней главе, детальное обсуждение различных моделей микромеханики дефектного пьезоэлектричества обеспечено.
Основное содержание этой книги было собрано от авторов новых результатов исследования и достижения исследования других в этом поле. Отличающиеся партиями исследования, представленные здесь, частично дирижировали авторами в Отделе Разработки, австралийского Национального университета; и Отделе
из Механики университета Тяньцзиня, Отдела Технической Механики в Пекинском Технологическом университете. Поддержка со стороны этих университетов, Отечественой Научной Организации Китая, и австралийского Научного совета с благодарностью подтвержденны.
Мы обязаны многим отдельным лицам в академических кругах и организации, которые способствовали различными, но важными, способами к приготовление этой книги. В частности мы хотим расширить нашу оценку для наших аспирантов для их помощи в подготовке этой книги. Особая благодарность пойдите к г-же Джианбо Лиу Высшего образования Печати за ее приверженность публикации этой книги. Наконец, мы хотим подтвердить отдельные лица и организации, процитированные в книге для разрешения использовать их материалы.
Авторы были бы благодарны, если читатели пожалуйста пошлют нам сообщения любого типографские и другие ошибки, так же как их более общие комментарии.
Кинг-Хуа Кин, Канберра, Австралия
Кинг-Шенг Янг, Пекин, Китай
Май 2007
Содержание
Вводная часть главы 1...................................................... ··· 1
1.1 Гетерогенные · 1
л 2 Мультиполевых свойств сцепления гетерогенных материалов.............. · 3
л 3 Общий обзор и структура книги.................................................. 5
6
глава 2 Теория Гомогенизации для гетерогенных материалов................................... 7
2.1 Микроструктура гетерогенных материалов...................................... · 7
2.2 Периодические граничные 9
2.2.1 Общие 9
2.2.2 Симметрические и периодические граничные условия.................... · 10
2.3 Выполнение периодических граничных условий в анализе FE.... 12
2.3.1 Многоточечные 13
2.3.2 Многочленные интерполяции................................................... 14
2.3.3 Указанные государства 14
2.4 Эффективные поля и эффективные свойства.......................................... 15
2.4.1 Средние · 16
2.4.2 Эффективные · 17
2.4.3 Методы 20
2.5 Прямая · 22
2.6 Косвенный метод ···.......... ······.......... ······.......... ······.......... ······............ 23
2.6.1 Последовательный и обобщенный последовательный замысел...... 24
2.6.2 Метод 25
2.6.3 Последовательный FEM и M-T FEM.................................. · 27
2.6.4 Отличительный метод.. ·........ ······.......... ······.......... ······.......... ·· 28
2.7 Вариационный метод...... ·······.. ·...... ·······.......... ······.......... ······............. 30
2.8 Метод расширения с двумя 31
Содержание Vlll
2.8.1 Расширение поля замещения................................... 32
2.8.2 Установление основных уравнений упругих 33
2.8.3 Определение эффективных свойств материала с 34
2.8.4 Вариационные 35
2.8.5 Конечного элемента формулировка············································...... 37
2.9 Приблизительная оценка эффективных свойств......................... 38
2.10 Рецептуры и выполнение для 2-ой проблемы....................... 39
2.1 0.1 Рецептуры.. 39
2.10.2 Выполнение FE методов гомогенизации ··············· 46
2.11 Числовые 2.11.1 Эффективная чопорность изотропического соединения......................... 49
2.11.2 Эффективная чопорность анизотропного соединения ·········............. 52
2.11.3 Микроструктурная деформация ·............................................ 53
56
Глава 3 Проблемы термо-электро-эластичности ··············.. ······· 59
3.1 Вводная 59
3.2 Линейная теория пьезоэлектричества····································· ················ 61
3.2.1 Основные уравнения линейного пьезоэлектричества ················............ 61
3.2.2 Двумерное упрощение......................................... 66
3.3 Два классических раствора приближаются для пьезоэлектричества................... 67
3.3.1 Раствор с формализмом Строх Stroh ·........................................... 68
3.3.2 Раствор с формализмом Лехнитски Lekhnitskii.................................. 69
3.3.3 Некоторые 73
3.4 Логарифмическая особенность полей первоклассной подсказки в гомогенном 75
3.4.1 Общий раствор для полей первоклассной подсказки................................... 75
3.4.2 Измененный раствор для p быть многократным основным тоном..................... 77
3.4.3 Измененный раствор для того, чтобы 1] быть многократным основным тоном ····················· 77
3.5 Метод конечных элементов Трефтц Trefftz для piezoelectricity··························· 78
3.5.1 Основные уравнения поля и граничные условия ······............. 79
3.5.2 Принятое замещение и электрические потенциальные поля ············ 80
3.5.3 Вариационные 83
Содержание ix
3.5.4 Элементная матрица чопорности.................................................. 86
3.5.5 Приложение к проблеме антиплоскости...................................... 87
3.5.6 Числовые примеры...................................................... ····· 94
3.6 Теория двойных термо-пьезоэлектричества·································.... 95
3.6.1 Основные уравнения 95
3.6.2 Уникальность решения··············································.... 97
3.7 Растворы Фурье преобразовывают метод.......................................... 99
3.7.1 Фурье преобразовывает метод и вызвал общий раствор - ·· 100
3.7.2 Первоклассная подсказка 3.7.3 Трещина Гриффита в гомогенном пьезоэлектричестве................ 106
3.8 Трещины формы пенса...................................................... ··············· 111
3.8.1 Проблемное проведение темы и основное уравнение ··························.... · 112
3.8.2 Снижение первоклассной проблемы к раствору a
Интегральное уравнение Фредхольма Fredholm ······................................ ········· 115
3.8.3 Числовой assessment думать задницей············································........... 126
3.9 Пьезоэлектрические волокниты...................................................... 128
3.9.1 Теоретическая модель для пьезоэлектрического нажатия волокна ··......... 128
3.9.2 Трансфер напряжения в связанном интерфейсе ·····......................... l31
3.9.3 Фрикционное скольжение.. ··············································............... l33
3.9.4 Частично debonding типа связывания модель··············································.. l35
3.9.5 Граничный debonding критерий·········································· l39
3.9.6 Числовые 141
144
Глава 4 Термо-магнето-электро-эластичные
4.1 Вводная 149
4.2 Основные уравнения поля для гальванопластики магнето упругие твердые вещества ·········.......... 150
4.2.1 Основные уравнения общей анизотропии ·····.......................... 150
4.2.2 Восемь форм учредительных уравнений ·····.......................... 152
4.2.3 Поперек изотропическое упрощение................................ 153
4.2.4 Выпрямление, чтобы включать тепловой эффект ·········.......................... 154
4.3 Вариационная  155
4.4 Общий раствор для трехмерного, поперек изотропической
гальванопластики магнето упругие твердые вещества...................................................... 157
x Содержание
4.5 Функция зеленого цвета для полуплоскости и bimaterial два-материала проблем ·······.......... 160
4.5.l Предварительные 4.5.2 Новая координата изменяемых··············································.... 162
4.5.3 Функция зеленого цвета для полного пространства·········································· 162
4.5.4 Функция зеленого цвета для полупространства ·.. ······································ 164
4.5.5 Функция зеленого цвета для bimaterial биматериала проблемы........................ 165
4.5.6 Функция зеленого цвета для наклоненного интерфейса или полуплоскости связки
166
4.6 Функция зеленого цвета для проблем куска........................................... 168
4.6.1 Основные рецептуры ····........................................................ 168
4.6.2 Функция зеленого цвета для куска или полубесконечной трещины...... 169
4.7 Антиплоскость стрижет трещину в гальванопластике магнето упругий уровня ·············· 172
4.7.1 Проведение темы проблемы.. ································· ··············· 172
4.7.2 Раствор, решение 175
178
Глава 5 Термо-электро-хемо-механическое 5.1 183
5.2 Управление уравнениями  ······· 185
5.3 Бесплатная энергия и учредительные правила.. ··············································· 188
5.4 Вариационный 190
5.5 Рецептура конечного 193
5.6 Хемо-механическое 195
5.7 Процедура FE и числовые примеры......................................... 199
203
Глава 6 Реконструкция кости термо-электро-эластичная ············ 207
6.1 Вводная 207
6.2 Термо-электро-эластичная внутренняя реконструкция кости........................ 208
6.2.1 Линейная теория кости термо-электро-эластичная.................... 208
6.2.2 Адаптивная упругая теория..................................................... 209
6.2.3 Аналитический раствор гомогенной пустоты
круговой цилиндрической кости bone···················································· 211
Содержание Xl
6.2.4 Полуаналитический раствор для цилиндрического неоднородного
отделить от костей слоев 215
6.2.5 Внутреннее поверхностное давление вызвано контактом средной medullar......... 218
6.2.6 Числовые примеры...................................................... ··· 221
6.3Термо-электро-эластичная поверхность реконструкции кости ························· 227
6.3.1 Уравнение для поверхностной реконструкции кости ····......................... 227
6.3.2 Отличительное уравнение поля для уровня реконструкции поверхности.... 228
6.3.3 Приближение для небольших изменений в радиусах ························· 230
6.3.4 Аналитический раствор поверхностной реконструкции....................... 232
6.3.5 Приложение полуаналитического раствора, чтобы появиться
реконструкция неоднородной кости............................... 235
6.3.6 Уравнение реконструкции поверхности изменено вставкой
средной medullar ··············· 236
6.3.7 Числовые примеры...................................................... ··· 238
6.4 Выпрямление к термо-магнето-электро-эластичной проблеме................. 241
6.4.1 Линейная теория термо-магнето-электро-эластичного твердого вещества..... 241
6.4.2 Раствор для внутренней реконструкции кости ····......................... 242
6.4.3 Раствор для поверхностной кости перемоделирования remodelling······························ 246
251
Глава 7 Эффективные свойства сцепления
гетерогенные материалы ·.. ···························· 255
7.1 Основные уравнения для мультиполевого сцепления.. ······································ 256
7.2 Прямой метод...................................................... ························· 259
7.3 Косвенный 260
7.4 Метод расширения с двумя масштабами ···.. ··················································· 264
7.4.1 Асимптотическое расширение полей........................................ 264
7.4.2 Эффективные свойства сцепления ··.......................................... 267
7.5 Вычисление FE эффективных свойств сцепления.......................... 269
7.6 Числовые примеры...................................................... ··············· 271
7.6.1 Пьезоэлектрическое твердое вещество с пустотами........................................... 272
7.6.2 Твердые включения...................................................... ·········· 273
7.6.3 Пьезоэлектрическое соединение.................................................... 275
Ссылки...................................................... ·······································277
Содержание xii
Глава 8 Эффективные свойства  термо-пьезоэлектричества····························· 279
8.1 Вводная 279
8.2 Модель микромеханики термо-пьезоэлектричества с
281
8.2.1 Основная рецептура двухфазового термо-пьезоэлектричества...... ······......................................... 281
8.2.2 Эффективная проводимость...... ·······.......... ······.......... ······.......... 285
8.2.3 Эффективные электроэластичные константы...................................... 292
8.2.4 Эффективное тепловое расширение и пироэлектрические
константы ···.......... ······.......... ······.......... ······.......... ····.......... 297
8.3 Модель микромеханики термо-пьезоэлектричества с микропустотами 298
8.3.1 Эффективная · 299
8.3.2 Эффективные электроэластичные константы...................................... 299
8.3.3 Эффективные факторы сосредоточения, основанные на различном
модели микромеханики.................................................. · 301
8.4 Модель микромеханики пьезоэлектричества с включениями.......... 302
8.4.1 Тензоры Эшелби для соединения с
эллипсоидальное 302
8.4.2 Эффективные elastoelectric модули.......................................... 305
8.4.3 Эффективное тепловое расширение и пироэлектрический
306
8.5 Граничный элемент микромеханики перемешивал подход.................... 310
8.5.1 Двухфазовый БЫТЬ рецептурой............................................... 310
8.5.2 Алгоритмы для последовательного и Мори-Танакы
подходы........ 312
3 13
Вводная часть главы 1
1.1 Гетерогенные материалы
В классической механике континуума материалы рассматриваются как идеальные, непрерывные,
гомогенные среды. Цель механики континуума состоит в том, чтобы описать ответ из гомогенных материалов к внешним силам использующие, приблизительно учредительные отношения без микроструктурных соображений. Фактически, все материалы неоднородны в микроскопическом масштабе. Произведенные соединения, натуральные почвы и рок так же как биологические ткани - типичные примеры. Континуум
модель материалов в макроскопическом масштабе. Поэтому, однородность из материалов зависит от масштаба измерения. Величина используемого микромасштаба отличается для определенных материалов. Вообще, приблизительная амплитуда микромасштаба составляет 10-7 м. к 10-4 м.
Гетерогенные материалы существуют в  синтетических продуктах и природе. Синтетический
примеры включают выровненные и прерванные волокна соединения, композитов, частиц соединения,композитов ,  глубоко проникая в многофазные соединения, клеточные твердые вещества, коллоиды, гели, пены, микро эмульсии, блок сополимеры, (кипящие слоя) сжиженные постели, и бетон.
Некоторые примеры естественных гетерогенных материалов - многокристаллы, почвы, песчаник, гранулированные среды, корж земли, морской лед, древесина, кость, легкие, кровь, животная и растительная ткань, совокупности обители, и опухоли [1]. Эти гетерогенные  материалов имеют четкую микроструктуру. Рис.l.l до 1.3 показывает, шоу микроскопические изображения из некоторых неоднородных материалов.
Это примечательно, что важный класс гетерогенных СМИ – соединения которые являются произведенными смесями двух или больше составляющих, твердо (как правило, но не всегда) связанные вместе [2]. Соединения имеют неоднородные свойства для различных доменов или различных направлений из-за неоднородности  их микроструктур. Это – важное свойство и заслуга
Вводная часть главы 1
гетерогенных материалов . Микроструктуры композиционных материалов могут быть разработаны
встретить различные желаемые свойства и функции. Материалы могут обладать очень богатыми свойствами в одном или двух направлениях и очень слабыми свойствами в других направлениях, в зависимости от проекта для структурного выполнения. Поскольку из их превосходных поддающихся расчету характеристик, композиционные материалы все более и более относятся  к индустриальным полям, например, аэронавтика и астронавтика, электроника, химическое машиностроение, биомедицинские поля и так далее.
рис. 1.1  Волокно переукрепленое соединение, композит
~-...-: P.,'
рис. 1.2 Микроструктура бетона
рис. 1.3 Микроструктура кости
,.:." ..
.' до ~, _
Л ~, r_:h; '0'
. . ,. ~ ... '
1.2 Мультиполевые свойства сцепления гетерогенных материалов 3
Гетерогенные материалы часто экспонируют очень сложные свойства, представляя новые испытания и возможности ученым и инженерам. В последние годы несколько новых композиционных материалов были развиты, которые выводят на экран не только хорошие механические свойства, но также и некоторые новые функции такие как тепловые, электрические, магнитные, световые, и химические эффекты. В то же самое время, композиционные материалы могут создать новые функции и выполнение, которые отсутствуют в их
составляющих. Такие многократные физические свойства обычно вместе с каждым другим. Следовательно, свойства сцепления и поведение деформации гетерогенные материалы - очень интересные темы для качественного и количественного исследования.
1.2 Мультиполевые свойства сцепления гетерогенных материалов
Много гетерогенных материалов могут выполнить трансфер между механическим и немеханическая энергия (тепловая, электрическая, химическая энергия, и т.д.). Такой материалы обычно называют интеллектуальными материалами. Эти материалы могут использоваться в адаптивные структуры, датчики, и приводы головок. Интеллектуальные материалы чувствительны к переменным внешней среды, корректируя их форму или размер, чтобы инсценировать к изменениям в той обстановке. Это мультиполевое поведение сцепления – уникальная характеристика интеллектуальных материалов. Например, пьезоэлектрическая керамика, пьезоэлектрические полимеры, и некоторые биологические ткани (например, кость, кожица, и т.д.) выставка термо-электро-эластичных свойств сцепления [3]. Электрический ток и тепловой поток
будет выражен, когда материал подчинен механичекой загрузке, и наоборот.
Как пример, композиционный материал, состоящий из пьезоэлектрической фазы и пьезомагнетической фазы экспонирует значительные мультиполевые свойства сцепления, то есть и электро-механическое и магнето- механическое сцепление. Кроме того, это выводит на экран удивительно большой коэффициент сцепления между статическим электрическим и магнитным полями, который отсутствует в любой составляющей. Магнетоэлектрическое сцепление в соединении создается через взаимодействие между пьезоэлектрической фазой и пьезомагнетической фазой, которую называют свойством результата. Свойство результата соединений предлагает большие технические, машинные возможности развить новые материалы.
В различном примере , биологические ткани, форма естественного материала, могут
4 Вводных части Главы 1
исполнить энергетический трансфер между химической и механической энергией. В этом процессе
соединены электрические и тепловые эффекты. Это явление может также быть найденно в глине, геле, и так далее, и может быть описано термо-электрохемо- механическая теория сцепления.
У исследования относительно гетерогенных сред есть долгая история. Два подхода были приняты: макромеханические и микромеханические подходы. Макромеханика имеет дело с материалом как гомогенный континуум, основанный на приблизительной учредительной модели, игнорируя разнородность микроструктуры. Макроскопические или усредненные свойства гетерогенных материалов
изученны. Однако, макроскопические свойства материалов зависят от микро - структурной информации, таких как геометрические и физические свойства составляющих и поведение их интерфейса. Микромеханика была развита исследовать отношения между эффективными свойствами и микроструктурами из гетерогенных материалов и взаимодействий среди составляющих [4,5]. Поскольку характерная продолжительность микроструктуры - гораздо меньше чем характерная продолжительность целого тела, гомогенизация вынесена, чтобы получить макроскопическое поведение материалов, как показано на рисунке l.4, Обозначающем y как микроскопический масштаб и x как структурный масштаб, с тех пор y« x, соединение заменено гомогенизированным континуумом.
(a) Гетерогенный материал с микроструктурой (b) Гомогенизированный континуум
Рис 1.4 Гомогенизациягетерогенных материалов
Во рабочей рамке микромеханики акцент сделан перекрыванию эффективных свойств и параметрами микроструктуры материалов. Эффективные свойства, которые могут быть измерены экспериментально, включают эффективную упругую чопорность, проводимость электричества и высокой температуры, коэффициента проницаемости жидкости и коэффициенты сцепления среди физических полей. Понимание отношений
1.3 Общий обзор и структура книги 5
эффективных свойств и микроструктуры материалов очень жизнеспособно в проекте из новых композиционных материалов.
1.3 Общий обзор и структура книги
Мультиполевое поведение сцепления гетерогенного материала - мультидисциплинарный
сюжет. Эта книга сосредотачивается на мультиполевых свойствах сцепления несколько интеллектуальных материалов, исследуя их посредством макро - и микромеханики. Первая группа вовлеченных материалов является искусственно интеллектуальными материалами, такими как пьезоэлектрические твердые вещества, пьезоэлектрические материалы, и электрическая активность полимеры, которые чувствительны к стимулам от внешней среды. Вторая группа материалов включает натуральные вещества, такие как биологические материалы (кость, мягкая ткань, суставной хрящ). Эти материалы экспонируют термо-электрохемо-
механические эффекты сцепления. Исследование поведения таких материалов может способствовать пониманию взаимодействия полей и механизма  деформации, роста, старения и восстанавливания биологической системы.
Эта книга разделена на две партии: макромеханика и микромеханика. Макромеханический анализ покрыт в Главах 3 - 6. Феноменологическая теория непрерывных сред применена в исследовании мультиполевого сцепления, спаривания поведения гетерогенных материалов. В Главе 3 линейная теория и общие растворы, ршения  пьезоэлектрических материалов описаны. В Главе 4  электро-упругая теория сцепления расширена на  магнето-электро- упругие, эластичные проблемы сцепления. В Глава 5 мы обсуждаем фундаментальные уравнения и аналитические методы термо-электро-хемо-механических проблем сцепления. Глава 6 вовлекает приложения термо-электро-эластичные сцепления в модернизации, перемоделировании кости.
Микромеханический анализ сосредотачивается на соединении между макросвойствами и параметрами микроструктуры, уделяя внимание к установлению аналитических методов для эффективных свойств сцепления материалов. С микромеханическим анализом имеют дело в Главах 2, 7, и 8. Глава 2 обсуждает
теорию гомогенизации микроструктуры и метод вычисления  эффективных свойств гетерогенных упругих материалов. В Главе 7, мы вводим методы гомогенизации в общем смысле, включая прямой средний метод, косвенный средний метод, и математической гомогенизации метод. В Главе 8, микромеханическая модель
термо-пьезоэлектрического твердого вещества описана, и эффективные свойства
6 Вводных частей Главы 1
термо-пьезоэлектрических материалов с микродефектами вычислены.
Ссылки
[1] Торкуато С. Рандом гетерогенные материалы, микроструктура и макроскопические свойства.
Нью-Йорк: Спрингер-Верлэг, 2002.
[2] Материалы Мухаммеда С. Хетеродженеоуса. Нью-Йорк: Спрингер, 2003.
[3] Qin Qinghua. Механика перелома пьезоэлектрических материалов. Саутгемптон: Нажатие ОСТРОУМИЯ,
2001.
[4] Немэт-Нассер С, Ори М. Микромеканикс: полные свойства гетерогенных материалов.
Амстердам: Elsevier, 1993.
[5] Мура Т. Микромечаникс дефектов в твердых веществах. Дордрехт: Мартинус Ниджхофф, 1987.
Глава 2 Теория Гомогенизации для гетерогенных
материалов
В этой главе мы обсуждаем характеристики гетерогенных сред, основных понятия, и методы гомогенизации микроструктур материалов. Поскольку есть много литературы по этой теме, например ссылки [1,2],  глава представляет краткий обзор текущего состояния и новые разработки теории гомогенизации.
2.1 Микроструктура гетерогенных материалов
Гетерогенные материалы, такие как соединения, твердые вещества с микродефектами, роком,
и естественными биоматериалами состоят из сочетаний различных сред той формой области, достаточно большой, чтобы быть расцененной как континуа, которая является обычно твердо связанный вместе в интерфейсе. Их микроструктура может наблюдать средства электрических микроскопов просмотра. Вообще, для гетерогенного соединения, непрерывные составляющие или фаза могут упоминаться как матрица, и a
дискретная фаза как включение, которое встроено в матрицу. Включение может быть частица, волокно, микропустота, или микротрещина. Полные (эффективные или макроскопические) свойства композиционных материалов зависят от геометрических и физических свойств фаз.
Микроструктура гетерогенных материалов может быть очень беспорядочной и комплекс в этом сбыте, размер и форма включений случайны. Кроме того есть местные колебания фракции объема фазы в соединении.
Поэтому, математическое описание микроструктуры соединения сложный вопрос.
С практической точки зрения считается, что композиционный материал блок периодических элементарных ячеек. Элементарную ячейку также называют представителем элемента объема (RVE), как показано на рис 2.1 и 2.2. Необходимая характеристика
8 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
 композиционных материалов статистическая однородность (SH). Строгая четкость, определение этого понятия должно быть выражено с точки зрения вероятностей n-очка и ансамбля средних чисел. Достаточно сказать практически что в сложном отображении SH все глобальные геометрические характеристики, такие как фракция объема, с двумя очками корреляции, и т.д., являются тем же самым в любом RVE, независимо от его позиции [3].
cr cr cr cr cr
cr cr cr cr cr
cr cr cr cr cr
Рис. 2.1.Соединение, композит с периодической обителью, клеткой
Рис 2.1. Элемент объема представителя (РОЖЬ)
Граничные условия, наложенные на непрочное, деформируемое тело, называют гомогенными граничными условиями, если любое
ui (s) = &ZXj (2.1.1)
7; (s) = aZnj (2.1.2)
удовлетворено, где &Z постоянные растяжения, и азимут постоянные усилия, Xj координаты, и n j - компоненты прямого нормального из границы. Гомогенные граничные условия относились к отображению среднего размера
SH ставит статистически гомогенные поля в пределах тела. Статистически гомогенные поля статистически неразличимы в пределах различного RVEs в гетерогенное тело. Это подразумевает что их статистические моменты, такие как среднее число, различие, и т.д. то же самое когда принято любой RVE в пределах гетерогенного телa. В частности статистическая однородность подразумевает что среднее число тела
и среднее число RVE - то же самое.
Гомогенный материал, у которого есть эффективные свойства соединения, композитного
2.2 Периодические граничные условия 9
материала, упоминается как эффективная среды. Для гня, статистически гомогенной среды, механическое поведение РЖИ должно быть эквивалентным механическому поведению эффективной среды.
2.2 Периодические граничные условия
2.2.1 Общие соображения
Соединения гня обычно состоят из периодических обителей, клеток как показано на рисунке 2.1. В этом
случае, микроскопическое поле замещения и поле напряжения - периодические растворы, решения
и РОЖЬ - периодическая обитель, клетка как иллюстрировано в Плоде инжира 2.2. Поэтому граничные условия РЖИ должны отразить периодичность микроструктуры. Без поражения общности, строгие периодические условия замещения и поля напряжения могут быть выражены [4]
Ui (Y) =Ui (y+Y), 'v'YEn (2.2.1)
(j ij (y) = (j ij (y + Y), 'v'y Ми n (2.2.2)
где Y = (1'; 1; 1;) периодичность, n - домен РЖИ. A типичная периодическая деформация соединения иллюстрирована на рисунке 2.3. Для 'v'yO Ми r, периодическое граничное условие замещения РЖИ может быть
написано как
(2.2.3)
Рис 2.3 Типичная деформация соединения
где r - граница RVE. Периодичность напряжения RVE требует антипериодическое граничное условие тяги
T; (Эй) =-T; (Эй + Y), 'v'yOМи r (2.2.4)
где л + Y является границей периодической РЖИ.
10 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
Для 2-ого квадратного или прямоугольного RVE, как показано в Плоде инжира 2A, периодическом замещении
граничные условия могут быть выражены
ul (Y ~ 'Y2) = UI (Y ~ + ~ 'Y2)
(y?, y ~)
Рис 2.4 Периодическая РОЖЬ
на левых и правых других сторонах, и
ul (И, Y ~) = ul (И, Y ~ + 1;)U2 (Yi'Y ~) = U2 (YI'Y ~ +1;)(2.2. Sa)
(2.2. Сурьма)
(2.2.6a)
(2.2.6b)
на верхних и более низких других сторонах. Антипериодичность тяги граничных условий требуют
все (YIO 'Y2) = - все (Y ~ + ~ 'Y2)
aI2 (Y ~ 'Y2) =-O "12 (Y ~ + ~ 'Y2)
на левых и правых сторонах и
0 "22 (Yi'Y ~) =-0" 22 (Yi'Y ~ + 1;)
21 (Yi'Y ~) =-0 "21 (И, Y ~ + 1;)
на верхних и более низких сторонах.
2.2.2 Симметрические и периодические граничные условия
(2.2.7a)
(2.2.7b)
(2.2.8a)
(2.2.8b)
Периодические условия описаны Eq. (2.2. S) к Eq. (2.2.8) может быть упрощен к обычным граничным условиям, поскольку RVE симметричен. Этот случай может размышлять много образцовых соединений, в которых включение имеет, в 2-ом государстве, форме из круга, эллипса, или прямоугольника, как показано на рис 2. S.
2.2 Периодические граничные условия 11
Рис 2.5 Симметрическая и периодическая РОЖЬ
Во-первых, считайте нормальные (выпрямление и сокращение) деформации режимы RVE. Периодичность и симметрия RVE требуют
u, (y?, Yz) = u, (y? + ~, Yz)
=-u, (y? + ~, Yz)=0
на левых и правых других сторонах, и
Uz (y, yg) = Uz (y, yg + Yz)
=-uz (y" yg + Yz)=0(2.2.9)
(2.2.10)
на верхних и более низких других сторонах. Eqs. (2.2.9) и (2.2.10) подразумевают что нормальные замещения на всех внешних краях RVE установлены, как показано на рис 2.6. Ясно, эти ограничения могут удовлетворить антипериодические и симметрические требования граничных условий тяги.
Рис .2.6. Ограничения на РОЖЬ для нормальной деформации
Во-вторых, рассмотривая чистого сдвига деформации RVE, антисимметрический режим деформации происходит. Затем мы можем получить
uz (y?, yz} = Uz (y? + ~, yz)=-uz (y? + ~, Yz)
=0(2.2.11)
12 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
на левых и правых других сторонах, и
U1 (y "y ~) = U1 (И, y ~ + 1;)
=-U1 (y "y ~ + 1;)
=0
(2.2.12)
на верхних и более низких других сторонах. Урав. (2.2.11) и (2.2.12) значат, что замещения тангенса на границе RVE установлены, как показано на рис 2.7.
o
Рис. 2.7. Ограничения на RVE для чистого сдвига деформации
К периодическим и симметрическим граничным условиям можно относить метод расширения с двумя масштабами, где начальные растяжения загружены [5, 6], который является обсужденным в следующем разделе. Для симметрического RVE, анализа FE только половина четвертьфинала RVE достаточна.
2.3 Выполнение периодических граничных условий в FE
анализе
Вообще, замещение может анализироваться в две партии: постоянное замещение и периодическое замещение. Соответственно, альтернатива Eqs. (2.2.5) и (2.2.6), общие периодические граничные условия могут быть переписаны как
u1 (Y? 'Y2) = u1 (y? + ~ 'Y2) +c1
U2 (YIO, yJ = u2 (y? + ~, yJ + c2
на левых и правых других сторонах, и
U1 (И, y ~) = U1 (И, y ~ + 1;) + эль
U2 (И, Y ~) = U2 (YI'Y ~ +1;) +e2
(2.3.1a)
(2.3.1b)
(2.3.2a)
(2.3.2b)
на верхних и более низких других сторонах, где C1' C2 и эль, e2 являются постоянными замещения. Эти граничные условия ставят периодическое поле растяжения и поэтому периодическое поле напряжения. Однако, замещения теряют их периодичность.
2.3 Выполнение периодических граничных условий в анализе FE 13
2.3.1 Многоточечные ограничения
В анализе конечного элемента есть различные методы для того, чтобы верстать периодические
граничные условия. Например, приспособьте многоточечные ограничения, наложены на границе RVE, чтобы поставить периодические граничные условия [7]. Для квадратного или прямоугольного RVE идентичные функции замещения должны быть определены для соответствующих узлов на противоположных краях. Например, пары из узлов на противоположных краях RVE могут быть соединены уравнением ограничения
так, чтобы у противоположных краев были идентичные деформации. Периодическая граница
условия 2-ого прямоугольного RVE, как показано в Плоде инжира 2.8, была определена
Хох и Беккер [8].
p+l i+p 2 пункта
2p+2q
j+q
l'p + 1
0-0 - 0---0 - 0 2p+q + 1
1 P
11-' - 1-1
Рис 2. S Многоточечные ограничения RVE
Предполагается, что есть узлы на 2 пункта на верхних и более низких сторонах, 2q
узлы на других двух сторонах. Многоточечное ограничение для RVE может быть выражено
U (p) / - u (i) / = U (2p) / - U (i+p) / 'я = 1,3. ·., p (2.3.3a)
на верхних и более низких сторонах, и
U (2p+q) / - u (j) / = U (2p+2q) / - u (j+q) /' j = (2 пункта + 1), (2 пункта + 2). · ·, (2 пункта + q)
(2.3.3b)
на правых и левых сторонах, и u (i) / значения компонентов замещения
U/в узле i, я = 1,2,3.
Для проблемы наклона тарелки будет периодичность ротаций
14 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
 описана как
rpU) = rpU + p), я = 1,3, ···, p
rpU) = армированный пластик (j+q)' j = (2 пункта + l), (2 пункта + 2), ···, (2 пункта + q)
то, где rpO) является ротацией относительно x3-оси в узле i.
2.3.2 Многочленные интерполяции
(2.3.4a)
(2.3.4b)
Многоточечные ограничения, удовлетворяющие периодические условия, могут быть осуществлены
в стандартных программах конечного элемента, таких как программное обеспечение ABAQUS. В некоторых случаях, однако, трудно выразить периодические граничные условия многоточечными ограничениями, особенно в случае довольно произвольного FE сцепления, спаривания и/или произвольных границ R VE. В этом случае корреспонденция граничного узла не может быть легко установлена. Для этого случая метод может быть осуществлен для того, чтобы предписать периодические граничные условия те, в которых замещения граничных узлов выражены подходящими многочленными функциями.
Предполагается, что есть p узлы на любой стороне, даже кривая сторона RVE. Затем (p-l) th упорядочивают полиномиал, выбраный для замещений. Обозначить U как компонент замещения относительно оси X. Поэтому мы можем получить p уравнения
{~l = ao + a1x1 + a2Yl.. · ap_1x; л y;
м. n
=ao +alxp +a2Yp ··· ap_lxpYp
m+n=p-l (2.3.5)
где u л, ···, центральные компоненты замещения относительно x оси и XI' ···' x p - координаты узлов на границе. Подобные уравнения компонентов замещения v и w, относительно Y и z топоров, соответственно, могут быть получены. Они приводят к ограничениям замещения в уравнения FE до решения. Эти ограничения замещения могут быть введены в уравнения FE методом множителя Lagrange или наказанием метода [9, 10].
2.3.3 Указанные государства растяжения
Граничные ограничения могут быть непосредственно наложены на RVE согласно деформации
режимов RVE. Для 2-ой проблемы, например, есть три
2.4 Эффективные поля и эффективные свойства 15
вида основных режимов деформации, двух нормальных режимов функционирования и одного в плоскости сдвига режима, как показано на рис 2.9. Три режима деформации используются в FE вычислении эффективных коэффициентов чопорности соединения прямым среднего числа методом, который описан в следующем разделе. Рис 2.9 показывает граничные ограничения, соответствующие следующим государствам простого растяжения:
(2.3.6)
v=ov=bv=o
u=o
Рис 2.9 Три деформиационные режима 2-ой РЖИ
2.4 Эффективные поля и эффективные свойства
Микроструктурные материалы, такие как различные виды соединений, тела со структурной иерархией, где характерная продолжительность всего тела очень
16 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
больше чем характерная продолжительность микроструктуры. Есть комплекса взаимодействие между фазами. Таким образом, если только количества в макроскопическом масштабе требует  быть определенной, метод по желанию - то, что микроструктура гомогенизирована по причинам более эффективного анализа. Гомогенизация - метод для того, чтобы найти макроскопические поля и свойства, основанные на микроструктурных параметрах и локальные свойства гетерогенных сред. Эффективные
свойства представляют полное поведение и зависят от свойств фазы и информации о микроструктуре гетерогенных материалов. Схематически гомогенизация представлена на рис 2.lO.
Рис 2.10 Схематическая гомогенизация гетерогенного материала
2.4.1 Средние поля
Среднее число объема местного или микроскопического напряжения (Jij и растяжения cij может
быть определена
(2.4.1 )
и
- II До = - cdQlj v.a lj(2.4.2)
где Q обозначает, что RVE и V является объемом RVE, верхнего индекса панель обозначает среднее число объема количества, например, макроскопического или эффективного количества. Для упругого тела среднее число объема энергии растяжения может быть выражено
2.4 Эффективные поля и эффективные свойства 17
w = ~ f wdQ = ~ f ~O "cdQ V Q V Q2 II lj
= ~V fQ ~2C. ·· klC.. CkldQ II lJ
(2.4.3)
= ~ fQ л · J; jklO "ijO" kldQ
1
где 20 "ijcij = w - плотность энергии растяжения, Cijk1 - местной чопорности, жесткости коэффициенты и! ijkl (! = c-1
) местные коэффициенты согласия которые отличаются от фазы до фазы. Дополнительно, макроскопическая энергия растяжения должна удовлетворить
(2.4.4)
2.4.2 Эффективные свойства
Эффективные свойства, которые представлены эффективной чопорностью Cijkl или согласием hjkl соединений, композитов с точки зрения среднего напряжения и растяжения, могут быть определены как
(2.4.5)
или согласно эквивалентности энергии растяжения, определенной как
~O '& = ~f ~O "cdQ 2 1/lJ V Q 2 lJ II
(2.4.6)
то есть
(2.4.7)
Это отношение было получено Хиллом [11] и упоминается как принцип Хилла [12]. Принцип был обобщен в нелинейных и неэластичных материалах [13].
Линейность отношения растяжения напряжения в упругое тело приводит
a2wCijkl = a-acijck/
(2.4.8)
затем явная форма эффективных компонентов чопорности может быть получена [8]
18 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
i=j, k=l, i=k
W ("'ij) ~2' 2cij
я "#-j,k" #-l,i=k,j=l
[W ("'ij'' ''k,)-W (' ''ij)-W (' ''k,) J _ ~,
"'если"' k!
[W ("'ij'' ''k!) - W ("'ij) - W ("'k/)] _1_,
2CU "'k!
i=j, k=l, я "#-k
i=j, k "#-l
(2.4.9)
где w ("'ij' "'k!) обозначает плотность энергии растяжения для ссылочного государства растяжения,
где только, "'если и "'kl имеют ненулевые значения. Указатели означают что никакое суммирование
должен быть исполнено.
Гомогенные граничные условия обычно используются, чтобы оценить повсюду
свойства материала. Для гомогенной тяги (); ~ на границе r RVE, мы имеем
(2.4.10)
и
(2.4.11)
Таким образом счесть эффективное согласие lijkl средним растяжением "'ij должно быть вычислено для соединения, подвергнутого гомогенному граничному условию тяги.
Для гомогенного условия замещения на границе r RVE, мы имеем
(2.4.12)
и
(2.4.13)
соответственно, чтобы определить ~jkl среднее напряжение (} ij должно быть вычислено для гетерогенного материала, подвергнутого гомогенной границе замещения условию.
Стоит обратить внимание что среднее число объема напряжения, растяжения и растяжения
плотности энергии может быть выражено фракциями объема фазы. Для общей
func2.4 Эффективные поля и эффективные свойства 19
функции F, среднее число объема может быть написано как
p = ~ f FdQ = ~ [f FdQ+f FdQ +...]
VD VDj D2= ~ пиксел) + Vz p (2) +...V V
(2.4.14)
= v pCl) + v p (2) +...] 2
где Q], Q2'... (Q] + Q2 +... = Q) являются поддоменами, которые представляют домены, занятые фазой 1, 2... композиционного материала, и ~, V2"" их объем, в то время как
V V =-2...
2 V'
(2.4.15)
упоминаются как фракции объема соответствующих фаз и v] + v2 +... = 1. Для соединения n-фазы могут напряжение, растяжение и энергия растяжения быть выражены
;=1
nW; j = Л v; w; j);=](2.4. I6a)
(2.4. I6b)
(2.4.l6c)
где верхний индекс (i) приписывается фазе i. Одним словом, среднее число напряжение, растяжение и плотность энергии растяжения могут быть вычислено среднего числа объема методом. Средние свойства соединения могут быть получены при использовании любого из двух усредненных количеств упомянутого выше.
Поскольку форма включения является эллипсоидальной, напряжение или растяжение во включении
однородно. В этом случае эффективные свойства могут быть выражены так называемым фактором сосредоточения напряжения или растяжения. Предполагается что Хука правило держится в каждой упругой фазе
r = O, я, "'n
r = O, я, "'n
(2.4. I7a)
(2.4. I7b)
Замена Eq. (2.4. I7a) в Eq. (2.4. I6a), и использование Eq. (2.4.6), мы можем получить
n
c=co + Lvr (cr _co) eCr) e-1 (2.4. ISa)
r=l
Замена Eq. (2.4. I7b) в Eq. (2.4. I6b), и использование Eq. (2.4.5), мы имеем
20 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
n I = фа + LVr (F - fO) u (r) ii-1 (2.4. 18b)
r=1
Предполагается, что есть отношение между средним растяжением и местным растяжением
ми (r) = - Точно так же у среднего напряжения и местного напряжения есть отношение
(r) = Лифчик
(2.4.19a)
(2.4. 19b)
Таким образом эффективная до чопорность и согласие f соединения могут быть написаны как
11
c=co + LVr (cr cO-) Площадь (2.4.20a)
11
1 = f O + Lvr (F - fO) бром (2.4.20b)
r=1
где Площадь и Си r упоминаются как факторы сосредоточения напряжения и  растяжения, соответственно. Они - функции в термине свойств составляющих и форма включений.
Для изотропического соединения, такого как частица укрепил соединения, отношение растяжения напряжения может быть выражено двумя независимыми техническими константами следующим образом
(2.4.21)
где iikk = iii I + (i22 + (i33' ~ (k = &; I + &22 + &33' sij' и eij является deviatoric отклонения частями ~j и (iij' соответственно. k является эффективным оптовым модулем и JilS сдвига модуль. Под этой ситуацией, Урав. (2.4.20a) может быть переписано как
n
k=ko + Lvr (kr-ko) &t?&jjl (2.4.22a)
11
_" () (r) - я Чжи - Jio + L. стабиловольт Jir - Jio eii eii 'ij никакая сумма (2.4.22b)
r=1
2.4.3 Методы гомогенизации
Есть различные подходы гомогенизации. Прямая гомогенизация основана на среднем числе объема полевых количеств, таких как напряжения, растяжения и энергии плотность. Затем эффективные свойства могут быть найдены согласно четкости из эффективных свойств соединения. Среднее число и вычисление
местные полевые количества могут быть исполнены числовой процедурой, FEM или
2.4 Эффективные поля и эффективные свойства 21
BEM [14,15], например, в то время как геометрия и свойства микроструктур могут быть произвольными.
Косвенная гомогенизация следует за идеей эквивалентного включения методом, основанным на eigenstrain собственном растворе, решении Эшелби для одиночного включения, встроенного в бесконечную матрицу [16]. Этот метод не использует среднее число поля количества, и эффективные свойства могут быть получены с точки зрения объема фракции и геометрии включения так же как свойства составляющих. Последовательный замысел [17-19], обобщенный последовательный замысел [20], отличительный метод [21, 22] и метод Мори-Танака [23-25] были развиты вроде этого подхода и используются широко, чтобы найти свойства различных композиционных материалов. Однако, произвольная микроструктурная морфология, с которой часто сталкиваются в фактических материалах, не может быть детерминировано отнесена протерта с этими моделями. Учредительные ответы составляющих фаз - также некоторые, что ограничены, и предсказания с большим
несоответствия свойства не очень надежны. Дополнительно, из-за нехватки надлежащего представления микроскопических усилий и растяжений, эти модели не могут получить эффект местной неоднородности. Обзор косвенной гомогенизации методов и приложений в предсказаниях эффективных свойств
соединения были представлены Hashin Хашин [3].
Либо прямые  и косвенные гомогенизации, вариационный метод уникален в этом, он может дать верхние и нижние границы эластичных модули [26-29]. Этот метод дает улучшенные результаты по более ранним границам [30,31].
Состоит относительно новый подход для гомогенизации микроструктуры из математической гомогенизации, основанной на расширении с двумя масштабами поля замещения. Это произошло для того, чтобы проанализировать физические системы, содержащие две или больше шкалы расстояний [32-35]. Это является подходящим для многофазных материалов в которых естественные масштабы являются микроскопическим масштабом, характеризуемым меж - разнородностью или местным интервалом неоднородности и макроскопический масштаб характеризующий габаритные размероы структуры. Этот метод может быть назван математическая гомогенизация.
Книги, покрывающие различные методы гомогенизации, были написаны Mura [36], Немэт-Нассер и Ори [37]. Критическое повторение различной гомогенизации методов и приложений в келейном, клеточном сэндвиче структур может быть найдено в недавней вещи Хохом и Беккером [38].
В следующих разделах мы сосредотачиваемся на прямом методе, косвенном методе
22 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
и метод расширения с двумя масштабами. Особое внимание уделено приложению в соединении с анализом FE и выполнением методов.
2.5 Прямая гомогенизация
В прямой гомогенизации, прямых средних числах микроскопических полей, таких как напряжение, растяжение и плотность энергии растяжения, вычислено объемом или поверхностного усреднения
процессом. Эффективные свойства соединений затем предсказаны согласно отношениям макроскопического напряжения, растяжения и плотности энергии растяжения. Эффективные количества напряжения, растяжения и плотности энергии растяжения могут быть вычислены от соответствующих граничных значений поверхностным усреднением процедурой. Для растяжения меди " = ~ (u J' + uJ, 2'.'..), применяя теорему расхождения в Ур. (2.4.2)  получаем результаты
- Если, Если 1 до ·· = - до. dQ =-(u.n.. +U. n) dF
'Я V n 'Я V r 2 'я я'
(2. S.l)
где F - граница RVE, n; прямой нормальный вектор на F. Поверхностное среднее число усилий может быть получено интеграцией партией, частью из Eq. (2.4.l), которое является
(f = ~f O "dQ = ~f ~ (Tx + Tx) dT (2. S.2)
'1 V n 'Я V r 2 '1 я'где T; вектор тяги на поверхности RVE. Это подразумевает что T; = O "ijnj держится. Это показывает из Ур. (2. S.2), что могут быть вычислены средние усилия объемом усредненым усилий, стрессов или поверхности усредненным тяг.
Давайте рассматривать, для иллюстрации, RVE кирпичной формы как показано на рис 2.ll,
который использовался в большинстве исследовательской работы. Поверхностные средние числа тяг
могут быть выражены, например,
- 1 f 0 "1l = - O" lldT,
си Быть
(2. S.3a)
(2. S.3b)
Средняя энергия растяжения может быть выражена граничными значениями, соответственно
к принципу энергии работы
w = ~ f ~O "cdQ = ~ f TudF
V n2 Y lJ V r ',
(2. S.4)
2.6 Косвенный метод 23
Рис 2.11. Условие Тяги  RVE
Это отношение может быть доказано и  выведено математически. Фактически, использование
Теоремы  Грина, мы можем получить
f O "&d.o = '! 'f 0" (u +u.) d.o
Q Y Ij 2 Q Ij I,)}, я
= f O".. u. d.o Q Ij I,}
=f [(O "u).-O".. u] d.o Q Ij I,} y,} я
=-f O".. ud.o + f O".. u.ndF Q Ij,} я r Ij I}
(2.5 .5)
Обращая внимание, что O "ij, j =-J; (в.0) и O" ijnj =T; (на Футах), затем Ур. (2.5.4) становится
f O "&d.o = f J; ud.o + f TudF Q fj lj n I я T (я я
(2.5.6)
Это - принцип энергии работы: энергия растяжения, сохраненная в RVE, равна  работе внешних сил. В случае свободной массовой силы, то есть. J; = 0, полная энергия растяжения может быть представлена работой тяги пограничной поверхности.
Поэтому, приходят к заключению что среднее число напряжения, растяжения и энергии растяжения плотности может быть вычислено или объемом или процессом усреднения поверхности.
Как только два из этих трех количеств найдены, эффективные свойства соединения, композитов могут быть предсказаны.
2.6 Косвенный метод
Косвенная гомогенизация в этой книге обращается к различным методам гомогенизации
полученными из теории включения Эшелби. Был получен упругий раствор, решение
24 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
для одиночного включения, встроенного в бесконечную эластичную среду [16]. Такой метод
не вовлекает вычисление средних полей. Последовательный замысел, обобщенный последовательный замысел, метод Мори-Танака и дифференциала метод развит вдоль этого маршрута. Косвенные методы широко привыкли к предсказанию эффективных свойств соединений, композитов [39,40].
2.6.1 Последовательный и обобщенный последовательный, само-содержащий замысел
Последовательные и обобщенные последовательные замыслы обеспечивают методы вычислить напряжение или факторы сосредоточения растяжения. Они кратко рассмотрены здесь для двойного соединения с матрицей (r = 0) и включением (r=1).
В само-содержащем замысле предполагается что типичное включение (волокно, частица или микро-пустота) встроено в большое количество, эффективное среднего размера подвергнутое  однородному растяжению "& в бесконечной границе. Обозначьте до как эффективную чопорность из соединения, которое будет найдено. Согласно Eq. (2.4.12), "& - эффективное растяжение соединения. Соответствующее эффективное напряжение
u = ce (2.6.1)
Растяжение во включении состоит из двух партий, однородного растяжения и беспокойства
растяжения cPt, и напряжение во включении - S + spt, которое является
До (I) = "& +cpt
(T (l) = (j + (Tpl
Используя эквивалентные принципиальные результаты включения
- t 1 - f - t *U +up = до (ми +e P) = до (ми +e P-e)
и
cpt = Sc*
где S - тензор Eshelby и c* эквивалентное собственное значение.
Решение Eqs. (2.6.2) и (2.6.3), мы находим
ми (1) = [1 +SC-I (CI_C) f;;
(2.6.2a)
(2.6.2b)
(2.6.3a)
(2.6.3b)
(2.6.4a)
где я - тензор модуля. Сравнение Eq. (2.6.4a) с Eq. (2.3.20a) дает фактор сосредоточения растяжения
A = [Я + SC-1 (C1-c) f (2.6.4b)
Эффективные свойства могут быть найдены заменой Eq. (2.6.4b) в Eq. (2.4.20a). Поскольку гомогенное граничное условие тяги применено на бесконечной границе эффективного среднего размера, мы можем получить напряжения
concen2.6 Косвенный метод 25
консентрации фактор  и эффективное согласие соединения.
В этой модели растяжение, подвергнутое на эффективной среде, является эффективным
растяжением соединения, которое будет найдено. Замысел последователен, само-содержащий.
Это примечательно, что фактор сосредоточения растяжения - функция эффективных неизвестных
 чопорности, жесткости. Итеративная процедура должна использоваться, чтобы решить эффективные свойства. Кроме того, использование раствора Эшелби означает что форма включения, как предполагается, является эллипсоидальной. Последовательный замысел может быть применен к вычислению эффективных свойств соединения. Но сложное взаимодействие включений нельзя рассмотреть в этой модели, которая может поэтому привести к неточному предсказанию эффективных свойств. В частности, неправильный результат будет получен когда фракция объема включения больше чем 0.5.
Обобщенный последовательный замысел – модификация последовательной модели. Предполагается, что РОЖЬ встроена в эффективное большое количество среднего размера подвергнутое гомогенным граничным условиям. Это – романа модель и дает разумный результат, хотя работа замысла более сложная.
2.6.2 Метод Мори-Танака
Мори и Танака [23] дали раствор, решение обратного напряжения в матрице соединений. Этот результат может быть применен в выпрямлении раствора, решения Эшелби для номера на одного человека включения в соединение с конечной фракцией объема включения.
Для проблемы включения конечной фракции с собственным значением eigenstrain II, хотя
есть сложные взаимодействия фаз, среднее напряжение может быть выражено
<a> m=c <e> м. =-vjc (Se*-e *) (2.6.5)
где <8> III среднее растяжение в матрице. VI фракция объема включения.
Есть различные изменения к применению среднего напряжения Мори-Танака концепции к соединениям с включением конечной фракции. Weng [24] дал следующую повторную проверку Мори-Танака (М.-T) метода.
Для двойного соединения, подвергнутого гомогенному граничному условию [Eq. (2.1.2)], обозначая r=0 матрицу и r = 1 включение, эффективное напряжение – uo. Поскольку sameshaped определенной формы  чистая матрица относилась к тому же самому граничному условию, соответствующее растяжение 8 ° может быть выражено
26 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
(2.6.6)
где КО - чопорность матрицы. Из-за существования включения, растяжение в реальной матрице соединения отличается от этого в чистой матрице. Позвольте & быть растяжением беспокойства и 0-соответствующими напряжениями беспокойства. Таким образом eO + & и aO + 0-являются растяжением и напряжением в реальной матрице с
0'0 +a = cO (до ° +i) (2.6.7)
Растяжение и напряжение во включении отличаются от тех в матрице. Различия - ми' и', соответственно. Таким образом eO + & + ми' и aO + 0-+' растяжение и напряжение во включении. Эквивалентный принцип включения
дает результаты
(l) =ao +o-+' =cl (eo +&+e') =co (eo +e+e '-e *)
ми' = Se*
& = Вай - (S - J) ми *
(2.6.8a)
(2.6.8b)
(2.6.8c)
где VI фракция объема включения. Eq. (2.6.8c) является результатом понятия Мори-Танака среднего напряжения [Eq. (2.6.5)]. Решение Eq. (2.6.8) дает результаты
e* = H eO (2.6.9)
где H = [КО + flc (VI J - voS) rl flc, flc = статья- co, Vo = 1-VI является объема фракцией матрицы.
Соответственно, эффективная  растяжения
"& = (1-VI) ми (O) + VI ми (l)
= (л vl) (eo +&) +vl (eo +&+e')
=e ° +v\e *
= (Я + vjH) eo
и эффективная чопорность соединения
c=c ° (я +vjHr
j(2.6.l0a)
(2.6.l0b)
Benveniste [25] представил другое объяснение Мори-Танака метода при использовании понятия фактора сосредоточения. Обозначьте как сосредоточения растяжения фактор для соединения с разведенным включением. Здесь A свободный художник фракции объема включения. Обозначение как растяжения
фактор сосредоточения для обстоятельства конечной фракции объема включения, отношение существует
(2.6.11 )
Поэтому, эффективная чопорность соединения может быть определена
2.6 Косвенный метод 27
Eq. (2.4.20a) как
-c =c ° +VI (CI co-) (2.6.12)
Чтобы вычислить сосредоточение учет, фактор A, вводят новую Соль тензора satistymg удовлетворяющего
До (I) = Сборщик мусора (O)
Используя отношение "& = vocCO) + ВИК (I) получаем результаты
A = Соль [vol-vlGrl
(2.6.13)
(2.6.14)
В государстве предела фактор сосредоточения должен удовлетворить следующему условию
Iv 1 - +0 = A, Alvl - +l = я (2.6.15)
Очевидно, устанавливая только Соль = A, вышеупомянутое условие предела будет удовлетворенным. Таким образом метод Мори-Танака может быть получен в итоге как: включение встроенное в бесконечную матрицу, подвергнутую однородному растяжению "&. растяжения фактор сосредоточения может быть вычислено [см. Eq. (2.6.4b), но до заменено
co]A = [Я + S (cOrl (статья co-) r
Затем эффективная чопорность
c=co +VI (CI cO-) [vol +vlAr(2.6.16)
(2.6.17)
2.6.3 Последовательный, само-содержащий  FEM и M-T FEM
Последовательный замысел, само-содержащаяя схема и метод M-T близки математически. Однако, они применимы только к включениям эллипсоидальной формы. Это – критический предел для их практической утилиты. Последовательный конечный элемент и М.-T метод конечного элемента (FEM) является числовыми процедурами, используемыми, чтобы решить эффективное свойства соединений. Последовательная модель или модель M-T в связи с FEM может быть применена к контакту с соединениями с произвольными формными включениями.
Предполагается, что типичное включение встроено в эффективное большое количество среднего размера подвергнуто однородному растяжению "&. эта краевая задача может быть решена FEM и затем среднее растяжение во включении может быть получено. Следовательно, фактор сосредоточения растяжения может быть найден и эффективная чопорность может быть вычислена Eq. (2.4.20a). В этом процессе, неизвестные эффективные
28 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
свойства должны использоваться в вычислении FE, требуя итеративной процедуры [41].
Последовательный FEM может иметь дело с произвольными формами включений. Влияние формы включения можно рассмотреть. Кроме того, это может иметь дело с нелинейным материалом и эффектом граничных свойств.
Точно так же M-T FEM может использоваться, чтобы в цифровой форме иметь дело с произвольными
формами включения. В М.-T FEM, типичное включение встроено в большое количество матриц среды подвергнутых гомогенному граничному условию растяжения. FE процедура применена, чтобы вычислить, сосредоточение растяжения учитывают A, затем эффективные свойства соединения могут быть найдены при использовании Eq. (2.6.17).
2.6.4 Отличительный, дифференциальный метод
У отличительного метода есть долгая история в физике. В рассмотрении взаимодействия
из фаз отличительный метод был применен к соединению и растрескавшимся твердым веществам.
Обозначьте ми как эффективная жесткость соединения с объемом Va и фракция объема включения VI. Добавьте объем bVof включения в соединение так, чтобы фракция объема включения была VI + bV1 и эффективная
чопорность - ми + быть. Сохранить постоянный объем Vo соединения, расход дутья объем вычтен из соединения прежде, чем добавить включение.
Таким образом сосредоточение включения
ЖИВО +bV-V1bV = (VI +bV1) VO (2.6.l8a)
то есть
(2.6.18b)
Среднее напряжение
(2.6.l9a)
затем мы имеем
- Va - расход дутья расхода дутья (1)
& = &+-&
Va Va
(2.6.19b)
- Vo - расход дутья расхода дутья (1)
U = u +-u
Va Va
(2.6.l9c)
где & и u обозначают среднее напряжение и растяжение в мгновенном соединении, соответственно. &(1) и u (l) представляют среднее напряжение и растяжение
2.6 Косвенный метод 29
добавленного включения, соответственно. Если есть очень немного включений, растяжения фактор сосредоточения может быть вычислен раствором, решением Эшелби для разведенного включения проблемы
& (1) =Ac (2.6. I9d)
где = [я +SC-I (CI-c) f, S является тензором Eshelby.
Подставляя ,Замена Eqs. (2.6.19b), (2.6.19c) и (2.6. I9d) в Eq. (2.6. I9a)
 получаем результаты
s:-_ (я-) расход дутья uC - до-c -
Va
Используя Eq. (2.6. I8b), и устанавливая bVI---+ 0, мы можем получить
dc I я - = - (до-c) A
dVI I-vI
(2.6.20)
(2.6.2Ia)
Это - отличительное уравнение для эффективной чопорности. Его начальное условие
clvl=o = КО (2.6.2Ib)
Eq. (2.6.2Ia) нелинейное уравнение, которое может быть решено числовой процедурой.
Поскольку сферическая макрочастица укрепила соединение, форма ofEq. (2.6.2Ia)

dk kl-k k +k*
- = (2.6.22a)
dVI I-vI kl + k*
d, литий f.11 - литий, литий + f.1 *
(2.6.22b)
dVI I-vI f.11 + f.1 *
где k и f.1 – оптовый, теста модуль и стригут, сдвига модуль изотропического соединения. kl и f.11 - большая часть, теста и сдвига модули включения, соответственно, и
*, литий 9 k + 8, литий
f.1 =6 k +2, литий
(2.6.22c)
Начальное условие Eq. (2.6.21 b), становится
VI = 0, k = ko, f.1 = f.1o (2.6.22d)
где ko и f.1o - большая часть, тесто и сдвиг модули матрицы.
Если мы берем приблизительно значения
k * =-4 f.1o' f.1 * =-f.1o-9 - k '' o - +-8'f-.1-'o '-
3 6 ko + 2f.1o
(2.6.22e)
30 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
приблизительный раствор Eqs. (2.6.22a, b), может быть получен
k
-k vl (kl-k)
- 0 + ------''--'---'------:-------:--
1 + (1 - v) kl - ko
Я kl +k*
ji = J.1o + VI (J.11 - ji)
1 + (1-VI) J.11 - J.1 ~
J.11 + J.1(2.6.22f)
(2.6.22g)
2.7 Вариационный метод
Вариационный метод используется, чтобы определить связанные из эффективных свойств
соединения. Это дает верхние и нижние границы эффективных свойств соединения согласно постоянному принципу энергии.
Рассмотрите соединение, объем V, подвергнутый гомогенному растяжению граничного условия [Eq. (2.1.l)]. Обозначим Sij как виртуальное растяжение, которое удовлетворяет граничному условию замещения и геометрические уравнения, энергия растяжения может быть написана как
U-= - Если C0k IS.Skid V + - Если CI" ЯВЛЯЕТСЯ "Заносом V 2 Va lj lj 2 VI ljn lj
(2.7.1)
где Va - домен, занятый матрицей, ~ - область включения и Vo + ~ = V.
Эффективная энергия растяжения, соответствующая среднему растяжению и напряжению
1_ 0 0
U = 2Cijk/SijSkiV (2.7.2)
Согласно минимальному потенциальному принципу, должно удовлетворить реальное растяжение
U ~ U (2.7.3)
Это уравнение приведет к верхней границе эффективной чопорности.
Если соединение подвергнуто гомогенному граничному условию напряжения [Eq. (2.1.2)], обозначая (Jij как напряжение, которое удовлетворяет уравнение равновесия
и граничное условие тяги, дополнительная энергия - Если 0 я f r = - + 'я (J. ·· (JkldV + - + · Ик л (J ·· (JkldV 2 JiJ Vo' (IJ 2 JiJ TJ lJ
(2.7.4)
Реальная дополнительная энергия может быть выражена посредством эффективного напряжения
и растяжения
2.8 Метод расширения с двумя масштабами 31
1 - 0 0 r = "2 fjk / (Jij (JkIV
Минимальный дополнительный энергетический принцип приводит
r~i'
(2.7.5)
(2.7.6)
Это уравнение может использоваться, чтобы найти нижнюю границу эффективной чопорности.
Давайте рассматривать два особых случая.
(1) Постоянное растяжение: однородное одноосное растяжение применено к соединению в
одном направлении, и растяжения матрицы и волокна, как предполагается, являются тем же самым.
Это государство обозначает одноосную деформацию однонаправленного соединения волокна.
Минимальный принцип потенциальной энергии приводит
Эль ~ voEln + vlEf (2.7.7)
где Эль - эффективный модуль вдоль осевого или одиночного направления. Ei (я = м., f) являются упругими модулями составляющих. Уравнение выше указывает, что верхняя граница эффективной чопорности может быть выражена смесью правил. Этот результат упоминается как приближение Войт [30].
(2) Постоянное напряжение: предполагается что гомогенной границы тяги условие применено к соединению, и усилиям в матрице и волокне соединения, композита - то же самое. Минимальный дополнительный энергетический принцип дает результаты
(2.7.8)
Это упоминается как приближение Reuss [31]. Это обычно используется, чтобы предсказать
поперечный эффективный модуль соединений.
2.8 Метод расширения с двумя масштабами
Предполагается, что упругое, эластичное тело - блок периодического микроскопического модуля
обители, клетки. Есть две системы координат: глобальная координата x = (XI, X2, X3) и местная координата y = (Yl' Y2' Y3). Глобальная координата x связана с местной координатой y как
y=x/& (2.8.1)
где & очень маленькое положительное число, обозначающее отношение между измерением элементарной ячейки и структурного тела. Когда подвергнуто структурному уровню загрузки и смещения, имеющие результатом эволюционные переменные, например, деформация и усилия, стрессы, напряжения изменяются от очка до очка в макроскопическом масштабе x. Кроме того,
32 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
высокий уровень разнородности в микроструктуре вызывает быстрое изменение этих переменных в маленьком  соседстве    макроскопического очка x. В существующей теории гомогенизации, периодическое повторение микроструктуры о макроскопическом очке x было принято, поэтому полевые функции зависят периодически на y = xl ми. Эту характеристику часто называют V-периодичностью, где Y соответствует RVE.
2.8.1 Расширение поля смещения
Поле замещения может быть асимптотически расширено как
ui = u;" (x) = u7 (x, y) + eU; (X, y) + e2U; 2 (X, y) +... (2.8.2)
 Верхний индекс обозначает ассоциацию функции с двумя продолжительности масштабами. Обратите внимание на то
oFl: (x, y) (x, y) loF (x, y)
------'----'--"-'-= +
oXi oXi ми 0Yi
(2.8.3)
где F - общая функция для ми тензора растяжения; я' мы имеем
e =.!.. [OUi + au j)
Если 2 топора топора J I
I - 1 0 1
= - eii (X, y) + eii (x, y) + eeij (x, y) +... ми.. (2.8.4)
где
(2.8.5a)
(2.8.5b)
1 1 [au; OU ~) 1 [OU; 2 OU ~: ми (X, y) = - + - + - + -
IJ 2 топора OXi; 2 внука OYj;
(2.8.5c)
Упругие коэффициенты Cijkl - периодические функции x и зависят от ми, которая является
До; ~kl = до; ikl (x / e) = Cijkl (y)
Таким образом напряжение может быть выражено как
(2.8.6)
2.8 Метод расширения с двумя масштабами 33
=-1C ijk "л E:k-лития (x, y) + До" i'j klE0: kl (X, y) + E:C "'я jklE1: kl (X, y) +...
E:
1 - Я 0 1
= - () ij (x, y) + () ij (x, y) + Ми: () ij (x, y) +...
E:
(2.8.7)
Отношения растяжения напряжения могут быть выражены
() ~ (x, y) = C~klE:I;' (X, y), n =-1,0,1 (2.8.8)
От Eqs. (2.8.5) и (2.8.8), у усилий есть следующие формы
Ми-I ouZ
() ij = Cijkl OYI (2.8.9a)
0_, ми' [ouZ OU!) () ij-cijkl + 0
XI y,
(2.8.9b)
() 1 = C~kl [au ~ + aui)
Если, Если топор, внук,
(2.8.9c)
2.8.2 Установление основных уравнений упругой микроструктуры
Упругая проблема с периодической микроструктурой описана как:
() я ~, j +.t; = 0 (в Q) (2.8.10a)
(2.8. свеча)
(2.8.lOc)
Замена Eq. (2.8.7) в Eq. (2.8.1O), и приравнивание сил Ми:, мы получаем
O () ~I
_lJ _ = O
внук)
a - 1 0
() ij + () ii = 0
ВОЛ) внук)
(2.8.11a)
(2.8.11b)
O ()? 0.1
_If + _If + t; =0 (2.8.11c)
ВОЛ) внук). Я
Для того, чтобы решить систему Eq. (2.8.11), важный результат введен здесь. Для периодической функции Y rfJ = t1> (x, y), уравнение
- ~ [aij (y) OrfJ.l = F (2.8.12)
0Yi 0Yi
34 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
имеет уникальный раствор, если скупое значение F равно нолю, то есть.
- 1 f F =-Fdy=O V y
(2.8.13)
где V объем элементарной ячейки. Приложение этого условия к Eq. (2.8.11a) приводит
и затем от Eq. (2.8.8) и Eq. (2.8.5a), мы имеем
u7 (x, y) = u7 (x)
Это показывает, что u7 - функция глобальной координаты x только.
Расширение поля смещения может быть переписано как
uj = u; (x) = u7 (x) + &Ui (x, y) + &2U; (X, y) +...
(2.8.14)
(2.8.15)
(2.8.16)
Мы можем расценить u7 как макроскопическое смещение, в то время как 1 2 Uj 'Uj, ••• микроскопические смещения. Физическое истолкование Eq. (2.8.16) таким образом то, что реальное смещение uj колеблется быстро вокруг значения смещения u7 из-за неоднородности с микроскопической точки зрения. u; uj2. •. смещения беспокойства на уровне микроструктуры.
Подставляя Eq. (2.8.14) в Eq. (2.8.11b), мы можем получить микроскопическое уравнение равновесия
O ()?
__ lJ = 0 (в.Q)
oYj
(2.8.17)
Взятие значения из Eq. (2.8.11c) по.Q и применению Eq. (2.8.13) к O () л второй термин -", приводит макроскопическое уравнение равновесия
oYj
OO'?
_oXIf + f = 0 (в.Q) j
Я
(2.8.18)
где О'З - макроскопические усилия.
2.8.3 Определение эффективных свойств материала с микроструктурой
Предполагается что поля замещения u7 и u; связаны 1 __ kt () ouZ uj - If/j x, y;:
uXI(2.8.19)
2.8 Метод расширения с двумя масштабами 35
Подставляя Eq. (2.8.19) в (2.8.9b) получаем результаты
(Tt ~ = [Ciikl - ctimn o;:: lf / ~) ~uZ, uYn uXI
(2.8.20)
Затем объединение на RVE приводит к эффективным отношениям растяжения напряжения для
упругой, эластичной среды
(2.8.21 )
где
0-"0" =-1 f (T0 (x, y) dY
Если V y, Если
(2.8.22)
- 1 [Olf / ~ 1 Ci,/k л =V-fy До, я /" kl-ct, / 'ln0nYn-dY
(2.8.23)
гомогенизированные упругие коэффициенты. Это может видно из Eq. (2.8.23) то, что функция, Если / (x, y) должна быть вычислена перед определением гомогенизированного свойства. Вообще, оценка того, Если / (x, y) может быть исполнена FEM.
2.8.4 Вариационные формы
Вариационные формы вышеупомянутых уравнений могут быть установлены к вычислению эффективных свойств соединения в связи с FEM.
Вариационная форма Eq. (2.8.11a)
;:-\[0) u (T ij 0 & гагарка 0
f, - ouidQ=f & Ciikl - ouidQ=Oнет. n, внук j I ', j
(2.8.24)
где oui может быть рассмотрен как произвольные виртуальные смещения. Для Y-периодической функции ; (y), мы определяем скупую действующую компанию следующим образом:
limf, ; (xlrlQ=J.-f f ; (y) dYdQ (2.8.25)
10 - +0 n & r V n y
Так как метод гомогенизации состоит из обнаружения предела растворов к Eqs. (2.8.11a) ~ (2.8.11c) как & склоняется к нолю, у нас есть форма ofEq. (2.8.24)
11 · м. f, До [&ti kl-ouZ) us:U t ° d. 0=1-f f [CijokulZ-) us:U t ° d Еврей.0=0
1: - +0 n 'OYI' V n y OYI'
J J
(2.8.26)
36 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
Используя теорему расхождения в Eq. (2.8.26) получим результаты
Таким образом
-1 11 [До ijll-ouZ) bUj0 dYdQ
V n y (aYI.
, j
=-1 1 ~ до ·· kaulZ-nbu 0 dsdQ = 0
V n s, Если да, j I
auf =0
aYi
Показано снова, что u ~ является функцией x только.
(2.8.27)
(2.8.28)
Подставляя Eq. (2.8.9b) в вариационную форму Eq. (2.8.11 b) получим результаты
(2.8.29)
Затем
1 · f 1 м. & [ouZ oUk) s: ld I.. Cikl - + - uUi Q
&-->0 n j OXI 0YI.
, j
= Если 1 до ·· [auV n yUki z + aau;) нас:u 1dYid rl = 0 я J.L (2.8.30)
XI YI.j
Объединяя партиями,частями, и замечая, что виртуальные смещения; = 0 в границе RVE, и u ~ являются функцией ofx только, мы имеем
f auZ (1 до. ~ abU; dY: dQ + 1 1 до... au; abU; dYdQ = 0
n 0 y Ilkl любой Ilkl a
~ ~ ~ ~
(2.8.31 )
Вводя функцию, Если / (x, y), которая удовлетворяет
o kl I я 1 До If/p obu 1 abu jipq----' dY = Cijkl - л dY
y. да q aYi y aYi
(2.8.32)
и замена Eq. (2.8.32) в Eq. (2.8.31), мы имеем
o kl I я я 1 гагарка 1 Cj ~ abuj dYdQ + 1 1 гагарка Cjkl abuj dYdQ = 0
n топор y ~pq да да. n y Y да внук., q j I j
(2.8.33)
Применение теоремы расхождения к Eq. (2.8.33) приводит
1 ~ Cijpqlf/pkl nq-au-f-Odbus; dQ + 1 ~ cijkZup1 nq "базовый дисплей"; sdQ = 0
n s aXI aYi n s aYi
(2.8.34)
2.8 Метод расширения с двумя масштабами 37
От Eq. (2.8.34), мы можем снова получить Eq. (2.8.19). Это объясняет причину для
допущения сделаного в предыдущем разделе.
2.8.5 Рецептура конечного элемента
Интерполяция  FE формы для функции 'я' (x, y) может быть выражена
Vik л = (Na'l'a) kil = (Ноль') ki л, = 1,2. ··, М. (2.8.35)
где N - функция формы, 'я' поддерживает центральные обобщенные координаты, и М. обозначает общее количество градусов свободы в системе FE. Затем производные в Eq. (2.8.19) могут быть выражены как
kl
~a = (Си q'l') kpl
Yq
o8u; = (B'I') kl ouZ
OYj J I oXI
(2.8.36)
(2.8.37)
где висмут - производные функции формы N относительно И' Обратите внимание что функция u? свободный художник y.
Мы можем переписать Eq. (2.8.32) в стандартной форме FE (tBTcBdY) 'I'kl = tBTckldY (2.8.38)
где до - матрица растяжения напряжения, Си - дискретная матрица растяжения смещения в зависимости от функций формы элемента Ckl - вектор колонны kl (kl=II, 22,33,23,31,12) до матрицы растяжения- напряжения, и 'I'kl – характеристика вектора смещения связанного с kl режимом. Есть шесть уравнений  быть решеными для различных государств растяжения. Обычный FE может использоваться, чтобы вычислить Eq. (2.8.38).
Поэтому, гомогенизированные упругие константы определены Eq. (2.8.23), могут будьте выражены как
- Если до = - до (1 - РАСХОД ДУТЬЯ') dY V y
(2.8.39)
где
(2.8.40)
В общих словах, 'I'kl в Eq. (2.8.38) решен FEM и затем эффективные свойства могут быть вычислены от Eq. (2.8.39).
38 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
2.9 Приблизительная оценка эффективных свойств
Здесь приблизительно давайте оценим эффективные свойства, основанные на методе расширения с двумя масштабами. Рассмотрите два конкретных случая: постоянного растяжения модель и постоянного напряжения модель .
Анализ основного предположения, сделанного в методе расширения с двумя масштабами,
Eq. (2.8.19), и эффективная чопорность, Eq. (2.8.23), мы можем видеть что первый термин в Eq. (2.8.23) известное правление смеси, в то время как второй термин -термин исправления из-за разнородности микроструктуры.
В постоянной модели растяжения предполагается что растяжения, в которых подвергаются у каждой фазы есть те же самые значения. Таким образом никакие замещения беспокойства не существуют, что является
Я kl auZ uj = - Если/; (x, y) - =O (2.9.1) топор,
Затем эффективная чопорность Eq. (2.8.23) может быть уменьшена как
- 1 f [Если/;;] dY Cijkl = V y Cijkl - Cjjmn-a-
Yn
= ~LCijk, dY (2.9.2)
Это - известное правление смеси. Простое выражение под одноосным государством
Электронный l1-1 f Ми - (I) (2) l1dV - vlEII + v2EII +... (2.9.3) V y
где Эль - модуль Янга, Vj и E I (;) фракция объема и модуль Янга фазы i, соответственно. Eq. (2.9.3) упоминается как
приближение Войт [30] и обычно используется, чтобы предсказать эффективный осевой модуль однонаправленного композиционного материала волокна. Eq. (2.9.3) дает верхнее связанного упругого модуля.
Для того, чтобы оценить приближение эффективных свойств в постоянного стресса государстве, мы можем представить отношение
Ё [~:: + ~~ 1 ~ I., до;" (2.9.4)
и
(2.9.5)
Растяжение
2.10 Рецептуры и выполнение для 2-ой проблемы 39
Беря интеграцию по RVE, мы можем получить
&;j =.t; jpqCJ pq
с гомогенизированными коэффициентами согласия
- 1 [. alf / ~ J J; jpq = V f y j ijpq - J; jmn-a-fklpq dY
Yn
(2.9.6)
(2.9.7)
(2.9.8)
Eq. (2.9.8) может интерпретироваться как исправление, воздействующее на правление смеси
для согласия. В постоянной модели напряжения предполагается что усилия из каждой фазы однородные и равные Применение равного условия напряжения к Eq. (2.9.8), мы можем получить
- 1 f J; jkl = V yj~kldY (2.9.9)
Для одноосного государства модуль Янга может быть выражен
-1-= ~ f _1_dV = ~ + ~ +...
E -
V y Ми Ми (I) Ми (2)
22 22 22 22
(2.9.10)
Это уравнение называют приближением Реуса [31] и обычно используется, чтобы предсказать поперечный модуль однонаправленного композиционного материала. Это проверено то, что это уравнение дает простую нижнюю границу эффективного упругого модуля из соединения.
Это должно быть примечательно, что приближения Войта и Реуса обеспечивают строгие верхние и нижние границы. Они наиболее просто случаи Hashin и вариационных растворов Стрикмена [26].
2.10 Рецептуры и выполнение для 2 проблем
В этом разделе подробная рецептура FE 2-ой проблемы дана для метода расширения с двумя масштабами. Есть три режима деформации 'Pkl (kl = 11,22,12), например, 'P = ('ПИ 1, 'P22, 'P12), чтобы быть вычисленным для этого случая.
2.10.1 Рецептуры
Рассмотрите проблему напряжения плоскости ортотропического упругого тела. Растяжения- напряжения
отношение
40 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
(2.lO.1)
где матрица согласия может быть выражена техническими константами
1
hlll=E'
II
1
/2222 =;'
22
1
h212 =0
12
Точно так же матрица чопорности может быть написана уравнением
[
0'11. [ДО CI1I1
l122
0 J [&11 •
0'22 = C2211 C2222 0 &22
0'12 0 0 C1212 2&12
где
CIIII = 2'
1-f.112E22 / Эль
C - До - f.112E22
1122 - 2211 - 1 - 2 МИ / МИ
f.112 22 11
E22
C2222 = 2, C1212 = GI2 1-f.112E22 I элей
(2.10.2a)
(2.lO.2b)
(2.10.3)
(2.l OAa)
(2.lOAb)
где Эль и E22 - модули Янга, f.112 - отношение Пуассона, и GI2 - сдвига модуль. Для изотропического упругого тела, Эль = E22 = Ми,МИf.1 - f.1 Соль - Соль - и согласие и чопорности,жесткости матрица может быть написана как
12 - 12 - 2 (1 + f.1)
 f'" h122 [~J ~ [-;-f.1 f - 12211 1; 222 1 2 (1~J (2.10.5)
0 0 0
и
[ми" "CI122 0 1 f.1 0
c = C2~11 C2222
o = _E_ f.1 0 (2.10.6)
1-f.12
0 CI212 0 0
1-f.1
2
Управляющие уравнения (2.8.32) и (2.8.23)  метода гомогенизации переписаны следующим образом:
k/
f ~ oVi dY=f oVi dY
yCijpq yCijklO Ик Идж Идж
(2.10.7)
2.10 Рецептуры и выполнение для 2-ой проблемы 41
(2.10.8)
где Вай = 5u: произвольные виртуальные смещения. Уравнения будут решены для трех случаев: kl = 11, kl = 22 и kl = 12, соответственно. Подробное решение процедуры, включающей FEM, теперь обеспечено для этих трех случаев.
Случай kl=l1 Расширение Eq. (2.10.6) с элементами матрицы приводит
(2.10.9)
Эффективные свойства в Eq. (2.1O.8) становятся
ij = 11 (2.10.10)
ij = 22 (2.10.11)
Перезапись Eq. (2.10.9) в матричной форме, мы получаем
II If/I
D: "J
°YI
f [OVI
Расход дутья oV2, QV, f"" CI122, Если / ~ I - + - e2211 C2222 dY
Y 0YI °Y2 °Y2 °YI 0 0 °Y2
II II J.L+JL
°Y2 °YI
(2.10.12)
Теперь мы вводим нотации для растяжений
42 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
ми (Ij/) =
8 Ij / ~ 1
8Yl
81j / ~ 1
8Y2
8 II 8 II
J.L + ~
8Y2 8YI
где V' = [~i:l v = [:: л
s (v) =
8v1
8YI
8v2
8Y2
8vI 8v - +-2
8Y2 8YI
Матрица чопорности может быть написана в компактной форме
C = [ci c2 c3]
где
Затем Eq. (2.10.12) может быть написано в матричной форме как
fl T (v) ce (lj/) dY = fl T (v) c1dY
(2. и се. 13)
(2.lO.14)
(2.10.15)
(2.10.16)
Дискретизация FE введена интерполяцией функции Iff с формой
11
Iff = Л N/itt = Ночь (2.lO.17)
; ~l
где n - число узлов в элементе, Ij/e - градусы центральной, узлов свободы элемента

Матрица функции формы N может быть выражена
N = [NI N2... Ноль]
(2.10.18)
(2.10.19)
Подставляя Eq. (2.lO.17) в первое из Eq. (2.lO.13), растяжение может быть полученно
(2.10.20)
где Си = LN является матрицей растяжения элемента, и
2.10 Рецептуры и выполнение для 2-ой проблемы 43
0
0
°YI
L = 0
0
(2.10.21)
°Y2
0 0
--
°Y2 °Y1
матрица линейного дифференциального оператора, который соединяет отношение между замещения и растяжения для проблемы плоскости.
Точно так же рецептуры FE для функции v, называемые произвольными виртуальными смещениями, могут также быть получены с точно той же самой формой. Таким образом мы можем получить уравнение FE из Eq. (2.10.16)
Kt? =F (2.10.22)
где
(2.10.23)
(2.10.24)
У "силы" вектора F есть физическое значение. c1 - напряжение, вызванное  определенным начальным растяжением 0
(2.10.25)
который подразумевает, что однородное начальное растяжение применено к RVE в любом очке
(2.10.26)
Таким образом, Eq. (2.1O.22) решен, чтобы дать замещение Если / и растяжение Соль (t?), и мы можем вычислить эффективные свойства Eqs. (2.1O.10) и (2.10.11), из которых матричные формы
-C 1 f T IIII =V-[CIIII - сигара (1f/)] dY y
(2.10.27a)
- 1 f T C2211 =V-[c2211-c2G (Если/)] dY y
(2.l0.27b)
44 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
Для м. конечных элементов интеграция может быть заменена элементом суммирования элементом
(2.10.28a)
(2.10.28b)
в то время как интеграция в элементе может быть вычислена числовой интеграции процедурой, такая как правление Gauss-Legendre. Легко добавить рецептуры в стандартную программу FE.
Случай kl = 22 идентичный подход может использоваться, чтобы получить FE рецептуры для случая kl = 22. Управляющее уравнение становится

Эффективные свойства соединений
C2222 = - f C2222 - C2211 ~ - C2222 ~ dY,
1 [ 0 221 0 22)
V y 0Y1 0Y2
ij = 22
ij = 11
Матричная форма Eq. (2.1O.29)
fl T (v) статья' (Если/) dY = fl T (v) c2dY
Матричные формы уравнений для эффективных свойств
C2222 = ~Vf [C2222 - cil' (1f/)] dY y
(2.10.29)
(2.10.30a)
(2.1O.30b)
(2.1O.31a)
(2.1O.31b)
(2.10.31c)
2.10 Рецептуры и выполнение для 2-ой проблемы 45
где ~ = [~;: л
Уравнение конечного элемента
K, p=F (2.10.32)
где
(2.lO.33)
и
(2.lO.34)
В этом случае физическое значение "силы" вектора F  узловых сил вызванное однородным начальным растяжением
(2.lO.35)
Рецептуры для вычисления эффективных свойств
1 В C2222 = V ~ f.o' [C2222 - до; Си, pe J dQ (2.10.36a)
До; 122 = ~ ff.oe [c1l22-c; Си, peJdQ
Ve=1
(2.lO.36b)
Случай kl = 12 В этом случае, у нас есть серия соответствующих уравнений
(2.lO.37)
До; 212 = - f До
I212 1-__ 1_ - ДО
I122
1 [0~12 _0 ~ _ 122 _) dY,
V y 0Y2 0YI
ij = 12 (2.lO.38)
46 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
f ми T (v) ce (Если/) dY = f ми T (v) до, dY
y y 0
(2.lO.39)
(2.lO.40)
где, Если / = [~i: л
Уравнение конечного элемента
K, p=F (2.lO.41)
где
В В
K = LKe, F=LFe (2.lO.42)
e=1 e=1
(2.lO.43)
Однородное начальное растяжение в RVE, стимулирует узловых "сил" вектор F, идентифицированный как

Эффективные свойства могут быть вычислены от
Я м.
До; 212 = - Л f.oe [C1212 - ci Си, pe] dQ
V e=1
(2.lO.44)
(2.lO.45)
Это примечательно, что сдвига коэффициенты сцепления, существуют для анизотропных материалов. Они могут быть вычислены подобными рецептурами.
2.10.2 Выполнение FE методов гомогенизации
Стандартная программа FE доступна для предсказания эффективных свойств  гетерогенных материалов. Но определенные дополнительные подпрограммы должны быть включенны в стандартную программу FE, чтобы обработать узловой "силы" вектор, периодические граничные условия и вычисление эффективных свойств.
Программа гомогенизации под названием ШУМНАЯ ИГРА развита здесь, включая прямой метод и расширяющийся метод с двумя масштабами. Организация программы показанная на рис 2.12. Части в сером обозначают подпрограммы, которые будут добавлены в стандартную программу FE.
Препроцессор
Ввод начальных данных

Протирка периодических граничных условий

Решение КЭ уравнений

Вычисления среднего
растяжения, стреса и энергии

Вычисления эффективного
свойства прямым и с двумя масштабами
расширение методами

Постпроцессор

Рис 2.12 профиль HOMP

2.11 Числовые результаты
2.11 Числовых результата 47
Исследовать эффективные свойства соединений, используя прямые методы (включая напряжение, растяжение и энергию) и расширяющийся метод с двумя масштабами, мы рассмотрим следующие проблемы.
Случай 1 Круговое включение встроенное  в изотропическую матрицу, и имеющее результатом соединение является почти поперек изотропическим. Микроструктура показанная на рис 2.l3.
I. • 1
Рис 2.13. Случай  1: почти поперек изотропическое соединение
48 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
Случай 2 Включения -формы  встроены, погруженны в изотропическую матрицу, и имеющие результатом соединение - ортротопическое. Соединение и RVE иллюстрированы на рис. 2. I4.
~ ~ ~
~ ~ ~ 1B1j N
~ ~ ~
Я • 3 • Я
Рис 2.14. Случай на рис 2.14 2: соединение ортротропическое
Случай 3 Y - имеющие форму включения встроены в изотропическую матрицу, и
имеющие результатом соединение является анизотропным, как иллюстрировано в на рис. 2. I5.
,-
V a
I.. i-
Рис. 2.15. Случай  3: анизотропное соединение
Каждый случай включает соединение волокна, твердое включение среды и пустоты
твердое вещество. Свойства включений изменяются от очень большого значения (моделирование
твердых включений) к очень маленькому значению (моделирующее пустоты). Материал
констант следующий:
Волокно э- стекла: модуль Янга - 73.1 С.Б.Б., отношение Пуассона 0.22.
Матрица эпоксидной смолы: модуль Янга - 3.45 С.Б.Б., отношение Пуассона 0.35.
Включение с очень большим упругим модулем используется, чтобы приблизить твердое включение. Упругий модуль включения в 104 раза больше чем эта матрица. Отношение Пуассона матрицы 0.35.
Включение с очень маленьким упругим модулем используется, чтобы смоделировать пустоту.
Упругий модуль пустого включения в 10-6 раз больше чем  матрица.
2.11 Числовых результата 49
Отношение Поиссона матрицы 0.35.
Модель растяжения плоскости учтена здесь. Таким образом в плоскости или вычислены поперечные свойства соединений. Для прямого среднего числа методов, граничные условия с определенными смещениями наложены и затем метод FE применен в вычислении среднего напряжения, растяжения и плотности энергии растяжения на RVE с одноосным государством растяжения. Окончани, результата эффективной жесткости матрица проблемы растяжения плоскости
r
CIIII CI122 o.
Cl122 C2222 0
o 0 C1212
(2.11.1)
Технические константы для изотропического тела (CIIII = C2222) могут быть вычислены
E = c1 I я 1 (1 +.u) (1 - 2.u)
1-. u
G = C1212
2.11.1 Эффективная чопорность изотропического соединения
(2.11.2a)
(2.l1.2b)
(2.11.2c)
Эффективные поперечные коэффициенты чопорности поперек изотропического соединения перечислены в Таблице 2.1. Здесь ЗАДНИЦА обозначает прямой средний метод основанный на растяжении и полях напряжения, ASE прямой средний метод, основанный на растяжении плотность энергии и TEM метод расширения с двумя масштабами. Показано что три результата методов идентичные коэффициенты чопорности. Это не удивительно из-за той же самой гомогенизации принцип используется во всех трех методах.
Таблица 2.1 Поперечные коэффициенты чопорности для соединения волокна
c1111/GPa CI122/GPa Cl212/GPa
ЗАДНИЦА ASE TEM ЗАДНИЦА ЗАДНИЦА TEM ASE TEM
0.1 6.3147 6.3147 6.3148 3.2920 3.2920 1.4726 1.4726 1.4727
0.2 7.3218 7.3218 7.3218 3.6171 3.6171 1.6824 1.6824 1.6824
0.3 8.6606 8.6606 8.6606 3.9511 3.9511 1.9255 1.9255 1.9255
0.4 10.4873 10.4873 10.4874 4.2879 4.2879 2.2313 2.2313 2.2314
0.5 13.0754 13.0755 13.0758 4.6347 4.6346 2.6549 2.6550 2.6551
0.6 17.0605 17.0606 17.0608 5.0817 5.0817 3.3356 3.3356 3.3357
50 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
технические константы могут быть найдены Eq. (2.4.2) для сравнения с приближения границами и экспериментальными данными. Плод инжира 2.16 иллюстрирует поперечный Модуль Юнга E22 как функция фракции объема волокна. Более низкая связка была вычислена приближением Руесса. Этому показывают ту ЗАДНИЦУ, ASE и TEM предоставляют хорошим последовательным результатам экспериментальные данные [42]. Экспериментальные данные и границы перечислены в Таблице 2.2.
16
-----TEM, ЗАДНИЦА, ASE *
14 - Нижняя граница
Vl
;:;::;> * Экспериментальные данные
"0 12
0
S
.~
до 10
;::>
~ 8 "~
"> до Vl 6
OJ
~
4
2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Фракция объема волокна
Рис 2.16 Модуль Поперечный Юнга против фракции объема волокна
Таблица 2.2 Поперечные константы
E22/GPa G23/GPa
f. л
Нижняя жердь разновысокого брусья Данных об Экспорте нижней жерди разновысокого брусья
0.0 3.45 3.45 1.278 1.278 0.35
0.1 4.0582 3.8133 1.4727 1.4133 0.3427
0.2 4.9291 4.2622 1.6824 1.5806 0.3307
0.3 6.0361 4.8309 0.46 7.5 1.9255 1.7929 0.3133
0.4 7.9412 5.5746 0.52 10.1 2.2314 2.0711 0.2902
0.5 10.6499 6.5890 0.59 14 2.6551 2.4514 0.2617
0.6 14.6712 8.0548 0.595 15.1 3.3357 2.9852 0.2295
Рис 2.17 показывает, что поперечные сдвига модули соединения с различной фракцией объема волокна. Никакие экспериментальные данные для поперечного не сдвига модуль доступен для сравнения. Приблизительная оценка для поперечного сдвига модуля
~=~+2
Грамм-сила Грамма соль
2.11 Числовых результата 51
(2.11.3)
графически изображен на рис. 2.17. Легко доказать что Eq. (2.11.3) обеспечивает более низкое направляющееся в сдвига модуле.
3.5 - TEM, ЗАДНИЦА, ASE
- Нижняя граница
: '":l 3.0" 3
"0'"
8
~ 2.5
.. Q
'" 11)
~ "> 2.0 ='"
~
1.5
1.0
0.0 0.1 0.2 OJ 0.4 0.5 0.6
Фракция объема волокна
Рис 2.17. Поперечный сдвиг модуля против фракции объема волокна
Отношение поперечное Пуассона показано на рис. 2. Нелинейное отношение между отношением эффективного поперечного Пуассона и объемом волокна фракция продемонстрированное. Никакие соответствующие границы и экспериментальные данные не доступны для сравнения.
0.36
0.34
.S 0.32
O. J.
:::
; 0.30
''0"
p..
<1.l
~
0.28
<1.l
;>
'" 0.26 ~
0.24
0.22
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Фракция объема волокна
Рис. 2.18 Отношение Поперечное Пуассона против фракции объема волокна
52 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
Для твердых и пустых включений перечислены эффективные коэффициенты чопорности
в Таблицах 2.3 и 2.4. Показано что эти три результата методов те же самые результаты. В общих словах прямые методы и метод расширения с двумя масштабами предсказывают ту же самую эффективную чопорность для большого спектра упругих несоответствий [43].
Таблица 2.3 Коэффициенты чопорности для твердого включения, среднего размера
cIIII/Eo cIl22/Eo c1212/Eo
VI
ЗАДНИЦА ASE TEM ЗАДНИЦА ЗАДНИЦА TEM ASE TEM
0.1 1.8560 1.8560 1.8673 0.9678 0.9678 0.4324 0.4311 0.4325
0.2 2.1900 2.1900 2.1967 1.0791 1.0784 0.4952 0.4968 0.5007
0.3 2.6504 2.6504 2.6577 1.1957 1.1986 0.5721 0.5738 0.5821
0.4 3.3123 3.3123 3.3464 1.3128 1.3150 0.6638 0.6724 0.6797
0.5 4.3297 4.3297 4.4308 1.4206 1.4195 0.8096 0.8140 0.8273
0.6 6.1427 6.1427 6.2106 1.5056 1.5047 1.0548 1.0548 1.0766
Таблица 2.4 Коэффициенты жесткости для пустого твердого вещества
CIlll/Eo C1l22/Eo cl2lzlEo
VI
ЗАДНИЦА ASE TEM ЗАДНИЦА ЗАДНИЦА TEM ASE TEM
0.1 1.1314 1.1314 1.1314 0.5381 0.5381 0.2763 0.2763 0.2763
0.2 0.8405 0.8405 0.8405 0.3459 0.3459 0.1919 0.1919 0.1919
0.3 0.6388 0.6388 0.6388 0.2221 0.2221 0.1235 0.1235 0.1235
0.4 0.4863 0.4863 0.4863 0.1385 0.1385 0.0731 0.0731 0.0731
0.5 0.3625 0.3625 0.3625 0.0811 0.0811 0.0389 0.0389 0.0389
0.6 0.2537 0.2537 0.2537 0.0413 0.0413 0.0171 0.0171 0.0171
2.11.2 Эффективная чопорность анизотропного соединения
Для Случая 2 и Случая 3, вынесено вычисление чопорности. Здесь анализ исполнен только для фракции объема включения 0.4. Числовые результаты перечислены в Таблицах 2.5 и 2.6. Снова, ЗАДНИЦА, ASE и результат TEM те же самые предсказания эффективной чопорности.
Таблица 2.5 Коэффициенты чопорности для соединения с фракцией 0.4 для Случая 2
Кллли К2222 CI122 CI212
ЗАДНИЦА ASE TEM ЗАДНИЦА ASE TEM ЗАДНИЦА ЗАДНИЦА TEM ASE TEM
волокно
(x 104
)
1.3222 1.3222 1.3222 1.1440 1.1440 1.1440 0.4000 0.4000 0.2437 0.2437 0.2437
пусто
(Лев)
0.3621 0.3621 0.3621 0.3007 0.3007 0.3007 0.0651 0.0651 0.0394 0.0394 0.0394
твердый
5.0192 5.0192 5.0192 3.9738 3.9738 3.9737 1.1360 1.1360 0.9005 0.9005 0.9005
(/Eo)
2.11 Числовых результата 53
Таблица 2.6 Коэффициенты чопорности для соединения с фракцией 0.4 для Случая 3
Clill C2222 Статья 122 Cl2 l2
ЗАДНИЦА ASE TEM ЗАДНИЦА ASE TEM ЗАДНИЦА ЗАДНИЦА TEM ASE TEM
волокно
(x 104
)
1.8515 1.8516 1.8516 1.5770 1.5766 1.5770 0.4856 0.4856 0.3425 0.3425 0.3425
пусто
(Лев)
0.2310 0.2310 0.2310 0.1408 0.1408 0.1408 0.0120 0.0120 0.0049 0.0049 0.0049
твердый
494.51 494.51 494.51 6.2615 6.2615 6.2614 1.5905 1.5905 2.2646 2.2646 2.2647
(Лев)
2.11.3 Микроструктурная деформация
Этот раздел сосредотачивается на вычислении микроструктурной деформации анизотропных соединений [44].
Микроструктурные деформации ортротропических соединений с  -формы  включений показаны на рис 2.19, где деформации масштабировались.
,...,
Ny
r, л.-.. f...
.11. \tD 0\
(a) Начальная петля (b) Униформа &"
K:
r"
'-+ Джей-Джей. t {j
\
t-
J
1 Cjjj J.J.J +?;; lifr
/ заполняются.. если
~
~ l. -'
(c) Униформа&22 (d) Униформа &"
Рис 2.19. Деформация соединения с несимметрическим включением
54 теории Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
Здесь три однородных одноосных государства растяжения рассматривают. Хотя прикладное растяжение - однородное, сложные деформации RVE, найдены из-за разнородности микроструктуры и периодичности границы условие. Показано, что периодичность деформаций экспонирована для
прикладного нормального растяжения и сдвига государства растяжения. Рис 2.20 показывает деформацию пустого твердого вещества. Здесь у пустот есть та же самая форма как у волокон показанных на рис. 2.19. Периодичность деформаций RVE убеждает совместимость  деформаций среди элементарных ячеек соединения.
(a) Начальная петля (b) ми Unifonn л л
(e) Unifonn &22 (d) Unifonn &' 2
Рис. 2.20. Деформация  пустого твердого вещества с несимметрической лункой
Микроструктурные деформации RVE с включением Y-shaped формы показанной на рис 2.21 и 2.22. Для верхних и более низких сторон RVE, периодические деформации экспонированы и для нормального и сдвига государства. На левые и правые стороны, симметрия и периодичность деформаций приводят нулевые ортогональные замещения для нормальных государств растяжения (см. рис 2.2Ib, до и
рис 2.22b, c). Однако, антисимметрия и периодичность сдвига результат деформаций в нулевых замещениях тангенса на левых и правых сторонах (см. рис 2.2Id и рис 2.22d).
2.11 Числовых результата 55
(a) Начальная петля (b) Униформа &"
(c) Uniform &22 (d) Униформа &"
Рис.2.21. Деформация  соединения волокна с включением с одной симметрической плоскостью
(a) Начальная петля
(c) Uniform &22 (d) Униформа &,2
Рис 2.22. Деформация  соединения с несимметрическим включением
56 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
Ссылки
[I] Du S Y, Ван Б. Микромечаникс композиционных материалов (на китайском языке). Пекин:
Научное Нажатие, 1998.
[2] Янг Кингшенг. Микроструктурная механика и проект соединений (на китайском языке).
Пекин: Китайское Издательство Tiedao, 2000.
[3] Хэшин З. Анэлизис обзора композиционных-материалов-A. Журнал Прикладной Механики,
1983, 50: 481-505.
[4] Havner K S. Дискретная модель для предсказания последующего результата появляется в
многопрозрачная пластичность. Интервал. Дж. Солидс Страктурес, 1971, 7: 719-730.
[5] Си Hassani. Прямой метод получить граничные условия гомогенизации
уравнение или симметрическая обитель. Коммуникация. Numer. Денатурат. Engng., 1996, 12: 185-196.
[6] Си Hassani, повторение Хинтона Э. А гомогенизации и оптимизация топологии I, II.
Компьютеры и Структуры, 1998, 69: 707-73 8.
[7] Янг Кингшенг, Беккер В. А сравнительное исследование различной гомогенизации
методы для предсказания макроскопических свойств соединений. CMES-компьютер
Моделируя в Разработке & Науке, 2004, 6: 319-332.
[8] Hohe J, Беккер В. Ан энергичная процедура гомогенизации для упругих свойств
общие келейные центры сэндвича. Соединения: Си Партии, 2001, 32: 185-197.
[9] Zienkiewicz 0 До, Tayloy R Л. Метод конечных элементов. 4-ый редактор Лондон:
McGraw-Hill.
[10] Повар Р Д. Финайт элемент, моделирующий для анализа напряжения. Нью-Йорк: John Wiley & Sons,
1995.
[II] Хилл R. Упругие свойства укрепленных твердых веществ: некоторые теоретические принципы. Дж. Меч.
Твердые вещества Физики, 1963, 11: 357-372.
[12] Ми кроны. Статистическая Механика Континуума. Берлин: Спрингер, 1972.
[13] Условие Хазанова С. Хилла и полные свойства соединений. Архив Прикладных
Механика, 1998, 68: 385-394.
[14] Янг Кингшенг, Qin Q Х. Моделлинг макроскопические elasto-пластмассовые свойства
однонаправленные соединения, укрепленные волокном, уходят в спешке под поперечной напряженностью и
постригите загрузку. Материаловедение & Разработка A, 2003, 344: 140-145.
[15] Янг Кингшенг, Qin Q H. Микромеханический анализ композиционных материалов BEM.
Технический Анализ с Граничными элементами, 2004, 28: 919-926.
[16] Eshelby J D. Определение упругого поля эллипсоидального включения и
связанные проблемы. Proc. Р. Сок. Лондон, Сер. A, 1957 241: 376-396.
[17] Хилл Р. А последовательная механика композиционных материалов. Твердые вещества Физики Дж. Меча,
1965, 13: 213-222.
[18] Си Budiansky. На упругих модулях некоторого гетерогенного материала. Дж. Меч Фис.
Твердые вещества, 1965, 13: 223-227.
[19] Тая М, Трубочка из теста T W. На двух видах эллипсоидальной неоднородности в бесконечной резинке
Ссылки 57
тело: приложение к гибридному соединению. Интервал. Дж. Солидс Стркт., 1981, 17: 553-563.
[20] Кристенсен Р М., И се K Х. Солушнса для эффективного стрижет свойства в трех сферах фазы
и цилиндрические модели. Твердые вещества Физики Дж. Меча, 1979,27: 315-330.
[21] Норрис N. Отличительный замысел эффективных модулей соединений. Механик
Материалы, 1985, 4: 1-16.
[22] Hashin Z. Отличительный замысел и его приложение к растрескавшимся материалам. J Физика Механика
Твердое вещество ~ 1988,36: 719-736.
[23] Mori T, напряжение Танаки К. Аверэджа в матричной и средней упругой энергии материалов с
не подхождение для включений. Встреченные деяния., 1973,21: 571-574.
[24] Соль Weng J. Некоторые упругие свойства укрепленных твердых веществ со специальной ссылкой на
изотропическая матрица, содержащая сферические включения. lnt. Дж. Энгнг. Наука, 1984,22: 845-856.
[25] Benveniste Y. Новый подход к приложению теории Мори-Танаки в соединении
материалы. Материалы механика, 1987,6: 147-157.
[26] Hashin Z, Shtrikman S. На некоторых вариационных принципах в анизотропном и
негомогенная эластичность. Твердые вещества Физики Дж. Меча, 1962, 10: 335-342.
[27] Hashin Z, Shtrikman S. Вариационный подход к теории flastic поведения
многофазные материалы. J Твердые вещества Физики Механика, 1963, 11: 127-140.
[28] Кронер Э. Бундс для Эффективных Упругих Модулей Беспорядочных Материалов. J Физика Механика
Solides, 1977,25: 137-156.
[29] Уолпоул Л J. На границах для полных упругих модулей неоднородных систем. J
Твердые вещества MechPhys, 1966, 14: 151-162.
[30] Войт В. Он отношение между константами эластичности изотропических тел. Энн. Физика.
Chern., 1889 274: 573-587.
[31] Реусс А. Детерминэйшн очка результата многокристаллов, основанных на условии результата
из одиночных кристаллов (немецкий язык). З. Ангью. Математика. Механик 1929,9: 49-58.
[32] Bensoussan A, Лев J Л, Соль Papanicolaou. Асимптотический анализ для периодических структур.
Амстердам: Северная Голландия, 1978.
[33] Ми Sanchez-Паленсии. СМИ Non-hongeneous и теория вибрации. Лекция обращает внимание в
Физика, 1980, 127.
[34] Пенг X, Cao J. Двойная гомогенизация и конечный элемент приближаются для материала
характеристика текстильных соединений. Соединения: Си Партии, 2002, 33: 45-56.
[35] Ghosh S, Ли К, Moorthy S. Два анализа масштаба гетерогенной упругой пластмассы
материалы с асимптотической гомогенизацией и моделью конечного элемента обители Voronoi.
Comput. Приложение методов!. Механик Энгнг., 1996, 132: 63-116.
[36] Мура Т. Микромечаникс дефектов в твердых веществах. Дордрехт: Мартин Ниджхофф Паблишерс,
1987.
[37] Немэт-Нассер С, Ори М. Микромеканикс: полные свойства гетерогенных
материалы. Amsterdam:North Голландия, 1993.
[38] Hohe J, отношения растяжения напряжения Беккера В. Эффектива для келейного двумерного
центры сэндвича: гомогенизация, материальные модели, и свойства. Прикладной Преподобный Механика,
58 теорий Гомогенизации Главы 2 для гетерогенных материалов
2002, 55(1): 61-87.
[39] Кристенсен Р М. Критическая оценка для класса моделей микромеханики. J Механик
Твердые вещества физики, 1990, 38:379-406.
[40] Трубочка из теста T W, Nomura S, Тая М. А последовательный подход к упругой чопорности
соединения короткого волокна. J Композиционные материалы, 1980, 14: 178-188.
[41] Янг Кингшенг, Сильный запах Л М., Чена Х Р. Последовательный метод конечных элементов: новое
метод для того, чтобы предсказать эффективные свойства СМИ включения. Конечные элементы в
Анализ и проектирование, 1994, 17:247-257.
[42] Tsai S W. Структурное поведение композиционных материалов. НАСА CR-71, 1964.
[43] Янг Кингшенг, чопорность Беккера В. Эффектива и микроскопическая деформация
тарелка orthotropic, содержащая произвольные лунки. Компьютеры & Структуры, 2004, 82:
2301-2307.
[44] Янг Кингшенг, исследование Беккера В. Нумерикэла для напряжения, растяжения и энергии
гомогенизация orthotropic соединения с периодической микроструктурой и
несимметрические включения. Вычислительное Материаловедение, 2004, 31: 169-180.