Алгебра гармонии

В детстве, как всякого нормального ребенка из семьи научно-технической интеллигенции, меня пытались учить музыке – родители отдавали дань существовавшей в 60-70е годы моде, сами совершенно не имея никакого отношения к музыке и особо в ней не разбираясь. Учили меня несколько лет и без особого толка, практически ничего не объясняя, а просто заставляя учить гаммы и играть этюды, но не буду вдаваться в особенности советского музыкального обучения, тем более, что об этом написано достаточно и настоящими музыкантами, например Танкгерл на ее страничке tankgirl.stih.ru в небольшой повести «Килограмм фанеры и тысячи искалеченных детских судеб». С самого начала у меня в голове возникали вопросы, откуда берутся 12 мажорных и минорных тональностей по 7 нот в каждой, но никакого разумного ответа мне не давалось, просто говорилось, что так основана гармония, известная чуть ли не с древнегреческих времен и связанная с пифагорейской школой магической интерпретацией чисел и закрепленная Иоганном Себастьяном Бахом в хорошо темперированном клавире. В более зрелые годы, когда отвращение от изучения музыки прошло, и появился собственный живой интерес к ней, я пробовал читать разные умные книжки по теории гармонии, включая консерваторские курсы. Но ответа на свои вопросы я не нашел и в них, а поскольку поставленные однажды вопросы требуют, чтобы на них когда-нибудь ответили, то пришлось самому привлечь свое образование физика-теоретика и попробовать найти ответ.
Проще всего оказалось понять, откуда берутся 12 тональностей. Во-первых, достаточно естественно, что удвоение частоты тона воспринимается как консонанс, поскольку колебания происходят синхронно, без биений, поэтому необходимо разобраться с тональностями сначала только в пределах одной октавы. Так же достаточно логично, что если частота ноты выше частоты тоники (для примера до) в полтора раза (так называемая доминанта или нота соль) или на одну треть (так называемая субдоминанта или нота фа), то восприятие их ухом совместно с тоникой будет весьма приятным – достаточно вспомнить красивые кривые Лисажу на осциллографе при развертке по двум координатам с разными частотами из школьного курса физики. При этом расстояние между доминантой и субдоминантой составляет одну шестую октавы, и для равномерного распределения нот по октаве следует добавить еще три ноты (с частотами на одну, четыре и пять шестых выше тоники). Однако при этом не оказывается ноты, отстоящей от тоники на одну четверть частоты (нота ми), которая тоже должна бы быть весьма созвучной тонике из общих соображений – и добавление этой ноты приводит к тому, что расстояние между ней и субдоминантой (фа) составляет одну двенадцатую октавы, а значит для равномерного заполнения октавы требуется 12 хроматических тонов. Таким образом, 12 тональностей связаны с особенностью человеческого уха гармонично воспринимать звуковые колебания с частотами, отличающиеся как на четверть, так и на треть октавы. Однако если в пределах одной октавы двенадцати хроматических тонов, составляющих арифметическую прогрессию, достаточно, то при переходе к следующей октаве потребовалось бы их уже в 2 раза больше - а при переходе к высшим октавам, их число росло бы в геометрической прогрессии с основанием 2, что делало бы невозможным построение разумной нотной линейки сразу для нескольких октав. Гениальный выход был найден Иоганном Себастьяном Бахом – он предложил строить нотную линейку по принципу геометрической прогрессии с основанием 2^1/12, при этом 4-ый от тоники хроматический тон оказался примерно на четверть тона выше тоники (а не 3-ий, как в случае арифметической прогрессии с шагом 1/12), пятый – на одну треть (а не 4-ый) и седьмой – на половину (а не 6-ой), в чем видно проявление нелинейности геометрической прогрессии или экспоненциального роста (что то же самое). Точнее говоря, 4-ая нота (ми) имеет частоту 1.25992 от тоники до (а не 1.25), 5-ая (фа) - 1.33484 (а не 1.33333) и 7-ая (соль)- 1.49831 (а не 1.5). Благодаря этой близости частот возможно построение нотной линейки на основе геометрической прогрессии, единой для всех октав. Каждому хроматическому тону отвечает своя тональность, отсюда и возникает число тональностей – 12.
Следующий вопрос возникает, а почему традиционно в каждой тональности используется 7 нот вместо всех 12-ти. Видимо, ответ заключается в том, что для человека градация на 12 хроматических тонов является слишком тонкой, и для гармонического восприятия достаточно более грубой сетки. Посмотрим, как можно уменьшить число нот в тональности, исходя из простейших предположений. Во-первых, обязательно должны присутствовать доминанта и субдоминанта (5 и 7-ой хроматический тон), во-вторых можно потребовать, чтобы два одинарных хроматических интервала в этой сетке не повторялись подряд, что сразу исключает из рассмотрения 6-ой хроматический тон. Удобно записывать нотную линейку в виде последовательности чисел, представляющих из себя разность между нотами в хроматических тонах, итак, если стартуем с 12 единиц 111111111111, то после первого упрощения эта последовательность становится 11111(2)11111, где двойкой в скобках обозначено расстояние между субдоминантой и доминантой. Дальнейшее упрощение, очевидно, может состоять в замене первого и второго интервалов по 5 хроматических тонов на три добавлением двух нот по схеме 221, 212 и 122, не допуская интервалов по три хроматических тона между нотами.Таким образом, самое примитивное упрощение требует, действительно, семи нот. Всего при этом, на первый взгляд получается 9 вариантов. Первый 221(2)221 представляет из себя известную натуральную до-мажорную гамму. Однако надо учесть, что сдвиг четырех из других вариантов на несколько хроматических тонов вверх или вниз по октаве будет давать ту же самую мажорную последовательность, но в другой тональности, действительно

212(2)212 ; 2+ 212(2)21 ; 221(2)221 (си-бемоль мажор – сдвиг на 2 интервала вниз) – так называемый дорийский лад
221(2)212 ; (2)212 +221 ; 221(2)221 (фа мажор – сдвиг на 5 интервалов вверх) – так называемый миксолидийский лад
212(2)122 ; 2(2)122 +21 ; 221(2)221 (ми бемоль мажор – сдвиг на 3 интервалов вверх)
122(2)122 ; 22 + 122(2)1 ; 221(2)221 (ля бемоль мажор – сдвиг на 4 интервала вниз)

Таким образом, все эти 4 варианта не дают новой тональности. Аналогично два варианта 221(2)122 и 122(2)212 эквивалентны варианту 212(2)221 с точностью до сдвига по октаве, а 9-ый вариант 122(2)221 должен быть исключен, поскольку содержит два последовательных интервала по одному хроматическому тону. Таким образом, существует только два варианта упрощения хроматической гаммы из 12 тонов до тональности из семи нот: 221(2)221 и 212(2)221. Покажем, что второй вариант связан с традиционным минором, служащим дополнением к мажорной гамме. Традиционно натуральная минорная тональность, для которой тоника считается первым тоном (в отличие от приведенных ранее рассуждений, когда она считалась нулевым хроматическим тоном, от которого велся отсчет до 12-го) , получается из мажорной понижением 3-го , 6-го и 7-го тона, те имеет схему 212(2)122, и эквивалентна мажору, сдвинутому на 3 интервала вверх, как показано выше. Помимо натурального минора существует мелодический минор, в котором повышены 6-ой и 7-ой тона, т.е. схема имеет вид как раз второй, дополнительной к мажорной тональности 212(2)221. Таким образом действительно из простейших алгебраических соображений получается, что возможны только два упрощения хроматической гаммы до двух тональностей по семь нот – натурального мажора и мелодического минора. Основные трезвучия натуральной мажорной гаммы до-ми-соль и до-фа-ля построены по схеме 33 и 44 и имеют достаточно устойчивые симметричные структуру и звучание, а в мелодическом миноре доминантное и субдоминантное трезвучия имеет структуру 24 и 44, уже менее симметричную и устойчивую, но для усиления асимметрии, а соответственно и ощущения неустойчивости, чаще используют гармонический минор, когда структура этих трезвучий 24 и 43, что вызывает уже достаточно напряженные эмоции… Можно и дальше было бы разбирать теорию музыки, взаимодействия тональностей и т.д., но для популярного ликбеза вроде достаточно и этих простейших, качественных представлений о нотной линейке. В заключение хочется в очередной раз снять шляпу перед Иоганном Себастьяном Бахом, придумавшим эту простую и изящную схему, не говоря уж о богатстве художественных образов, которыми он наполнил свой хорошо темперированный клавир.