Макромикро Теория по Мультиполевому Поведению Сцеп

Глава 3 Проблемы термо-электро-эластичные
3.1 Вводная часть
Когда пьезоэлектрический материал подвергнут механической загрузке, он производит электрический заряд. Этот эффект обычно называют "пьезоэлектрическим эффектом". Наоборот, когда пьезоэлектрический материал подчеркнут электрически напряжением, изменяются его размеры. Это явление известно как "пьезоэлектрической инверсии эффект". Термо-пьезоэлектрические материалы, с другой стороны, могут поставить электрические и механические поля, когда они нагреты. Свойства сцепления среди тепловых, электрических, и механических полей делают пьезоэлектрические материалы подходящими для широкого применения в промышленном применении в различных полях включая промышленность электроники, ядерная промышленность, умные структуры, микроэлектромеханические системы, биомедицинские устройства, и устройства сверхпроводимости. Эти приложения произвели возобновившийся интерес к поведению сцепления мультиполевых материалов включая термо-пьезоэлектрические материалы. В частности информация относительно тепловых сосредоточений напряжения вокруг материальных или геометрических дефектов в
 пьезоэлектрических твердых веществах будет иметь широкое применение в анализе и разработке сложных структур. В начале 1974, Mindlin [1] был первым, чтобы развить управление уравнениями трехмерной линейной термо-пьезоэлектрической среды. Nowacki [2] впоследствии развивал некоторые общие теоремы и математические модели термо-пьезоэлектричества, который может быть рассмотрен как основание различных численных методов. Данн [3] изученные модели микромеханики для эффективного теплового расширения и пироэлектрических коэффициентов пьезоэлектрических соединений. Benveniste [4] получил некоторые точные результаты в микромеханике пьезоэлектрических волокнистых соединений двух, трех и четырех фаз. При использовании семи потенциалов функции, Ashida и др. [5] вводил метод для трехмерных асимметричных проблем пьезотермоэластичности кристаллического класса 6 мм. Алтай
60 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
и D6kmeci [6] вводил ряд уравнений Euler-Lagrange прерывистых thermo-пьезоэлектрических полей. Запуск с принципа виртуальной работы и изменяя это посредством преобразования Фридричса, они представили основной тон уравнения прерывистых термо-пьезоэлектрических полей в вариационной форме. Noda и Kimura [7] изучили ответ тонкого piezothermoelastic сложная тарелка, подвергнутая постоянным тепловым и электрическим полям. Они показали, что у двойных прямых пьезоэлектрических и пироэлектрических эффектов есть существенное влияние на ответ отклонения. Ashida и Tauchert [8] представленную рецептуру конечной разности для того, чтобы определить изменение времени, осесимметричное, температуру окружающей среды на поверхности пьезоэлектрического кругового диска, основанный на познании сбыта вызванной электрической разности потенциалов через дисковую толщину. Для анализа перелома thermo-piezoelectricity, Shang и др. [9] предложил метод для осесимметричных трехмерных проблем поперек изотропических thermo-пьезоэлектрических материалов посредством потенциальных функций и преобразования Фурье-Анкэля. Перелом и повреждение поведения растрескавшегося пьезоэлектрического твердого вещества под двойными, тепловыми, механическими и электрическими нагрузками были изучены Ю и Кином [10,11]. Используя методы преобразования Фурье и расширенный формализм Stroh, они уменьшали температуру поле для одиночной первоклассной проблемы паре двойных интегральных уравнений при помощи дополнительной функции. Электростатическое поле управляло другой парой двойных интегральных уравнений. С этими уравнениями, закрытые растворы, решения форм были получены для энергетического уровня освобождения растяжения под тепловыми, механическими и электрическими полями. Основанные на вышеупомянутых результатах, несколько моделей микромеханики были развиты для трещины или ослабленных пустотой пьезоэлектрических материалов, включая разведенное, последовательное само-содержащееся, Мори-Танака, (сделали вывод) обощенный последовательный, само-содержащийся и отличительный, разностный методы [12-14]. Позже, Кин и Мэй [15-24] представили серию из функций Грина для thermo-пьезоэлектрических материалов с различными дефектами такой как трещина, лунка и включение, с приложением к практическим проблемам.
В этой главе мы начинаем с обсуждения линейной теории piezoelectricity, сопровождаемый вводной частью двух классических растворов приближения, подходов для электро-упругих проблем. Затем, растворы представлены для того, чтобы проанализировать логарифмическую особенность полей первоклассной подсказки в гомогенном piezoelectricity. В Разделе 3.5,  модель конечного элемента развита для electroelastic проблем. Выпрямления, расширения линейной electroelastic теории включать тепловой эффект обсуждена в Разделе 3.6. Фурье преобразования подход, и его приложение, чтобы сломать анализ представлены
3.2 Линейная теория piezoelectricity 61
в Разделе 3.7. Наконец, рецептуры выражены с точки зрения цилиндрической координатной системы и их приложение к формы пенса трещины  и пьезоэлектрического волокна продвинуть-наружу проблемам, обсуждены.
3.2 Линейная теория piezoelectricity пьезоэлектричества
3.2.1 Основные уравнения линейного piezoelectricity пьезоэлектричества
В этом разделе мы вспоминаем кратко трехмерную рецептуру линейного piezoelectricity, который появился в ссылках [25,26]. Здесь, трехмерная Декартова система координат принята, где вектор позиции обозначен x (или x;). В этой книге, и обычная indicial указывающая нотация Xi и традиционная Декартова нотация (x, y, z) используется. В случае indicial нотации мы вызываем соглашение суммирования по повторным латинским указателям, которые могут иметь два типа с различными амплитудами: я, j, k=1,2,3 для строчных букв и М., N=I, 2,3,4 для прописных букв. Кроме того, векторы, тензоры и их матрица представления обозначены буквами, набранными жирным шрифтом. Соответствующий энергетический принцип
может быть установлен в пути, подобном случаю упругих проблем если мы возьмем (cij, Их) как обобщенный тензор растяжения и (CYij, Dm) как обобщенный тензор напряжения. Используя Декартову систему координат, трехмерное учредительные уравнения для линейного piezoelectricity могут быть получены, рассматривая
внутреннюю плотность энергии U определенную [26]
(3.2.1)
Очевидно, Eq. (3.2.1), прямое выпрямление от упругой энергии плотности dU = (Tijdcij' Таким образом, электрическая энтропия за соль единичного объема может быть определена как
(3.2.2)
где U, Dm и Они - внутренняя плотность энергии, электрическое смещение и электрическое поле, соответственно, и Они определены
Их - ;, м. (3.2.3)
в котором ; - электрический потенциал, комма , сопровождаемая параметрами, обозначает обертон
дифференцирование относительно параметров. Учредительное отношение piezoelectricity
может затем быть получен, рассматривая следующее Legendre
62 Главы 3 проблемы Thermo-electra-elastic
преобразование
дециграмм = O "udcij - DmdEm
в котором растяжение cij определено
(3.2.4)
1
C = - (u +u) (3.2.5)
/j 2 '..1 J.l
с Uj, являющимся упругим смещением. Это может видеться от Eq. (3.2.4) что
O "ij = [ggl, Dm = - [o ~ 1 (3.2.6)
c/j J В
Когда функциональная соль расширена относительно cij и Их в пределах контекста oflinear взаимодействия, мы имеем
g = ~ [cu 00... +Em o ~] [Ckl 00 +En o ~) соль c'l м. ckf n
(3.2.7)
Следующие константы могут затем быть определены:
До (E) = [02g 1 K (&) = - [02g 1 Ukl 0 c'l.. 0 ckf 'нм oEn o Ми' В
(3.2.8)
где <7), упругие модули, измеренные в постоянном электрическом поле, K;:;
диэлектрические константы имели размеры в постоянном растяжении, emij пьезоэлектрическое
коэффициенты, верхний индекс "Ми' (или "до") представляет значение связанной переменной имела размеры в данном электрическом поле (или растяжение). Когда функциональная соль дифференцированная согласно Eq. (3.2.4) и вышеупомянутые константы используются, мы находим
O "ij = Cijklckl - emijEm, Dn = enijcij + KmnEm (3.2.9)
Ряд этих двух уравнений является учредительным отношением в двойной системе. Это должно быть примечательно что верхние индексы "s' и "Ми", появляющаяся в Eq. (3.2.8) были понижены здесь. Чтобы упростить последующее письмо, мы опускаем их в остатке от этой книги. Используя нотацию, определенную выше, электрическая функция энтропии за единичный объем может теперь быть выражена как [27]
1 1
g = "2CijkfCijCkf - "2 KijEiEj - eijkEiCjk (3.2.10)
в то время как связанные уравнения расхождения и граничные условия могут быть получены
рассматривая вариационный принцип измененного Байота [27]
f Q UdQ - f Q (bjiSu j - beiS;) dQ - f r (t; iSu i - qsiS;) доктор = 0 (3.2.11)
то, где, является вариационным символом, Q, и r - домен и граница материала, bi и быть является массовой силой за единичный объем и электрического заряда den3.2
Линейная теория piezoelectricity 63
плотность, и tj и (j, прикладная поверхностная тяга и прикладной поверхности расход, соответственно. Вариационное уравнение (3.2.11) обеспечивает следующие результаты
(3.2.12)
(3.2.13)
вместе с учредительным уравнением (3.2.9), где ni - внешний нормальный модуль вектор к r. Eq. (3.2.12) включает упругое уравнение равновесия и Гаусса правило electrostatics, соответственно, Eq. (3.2.13), граничное условие.
Нужно упомянуть, что четыре эквивалентных учредительных представления обычно используемый в постоянной теории линейного piezoelectricity описать двойное взаимодействие между упругими и электрическими переменными. У каждого типа есть имейте различный набор независимых переменных, и соответствует различной термодинамической функции, как перечислено в Таблице 3.1. В то время как все уравнения в Таблице 3.1 выраженны с точки зрения тензора, указатели были опущены для краткости. Это должно указать, что альтернативное происхождение составов - просто преобразование от одного типа отношения к другому. Некоторые отношения между различными константами, происходящие в четырех типах, даны следующим образом:
f) "h r" rf) d d (J i" Cijk! - Ci/le! = emil знак!' род.J!-.J род! = milg знак!' ноль = K nmg mil = ми nk!. Мил (3.2.14)
Материальные константы могут быть уменьшены следующим соображением. Согласно четкости [Eq. (3.2.5)] мы можем написать &iF&ji. Из этого следует, что
Таблица 3.1 Четыре типа основного тона electroelastic отношение
Независимая переменная
8, МИ
8, D
u, Ми
u, D
Учредительное отношение
Ja =clJ-eE t,' 'л
lD=elJ +tcCE
{
a = CDlJ-hTD
E =-hlJ +pr. D
{
lJ = Илия +d'E
D=da+tc "Ми
{
lJ =1/Ja+g'D
E =-ga+p "D
Термодинамические потенциалы
соль, =go +ED
64 Главы 3 проблемы Thermo-electra-elastic
(3.2.15)
в котором использовалось отношение () ij = () ji.
Ввиду этих свойств полезно ввести так называемую два - индекс нотацию или сжатия матричную нотацию [29]. Два - индекс нотация состоит из замены ij или км p или q, то есть. Cijian=Cpq, eilan=eiq, () ij = ap, где я, j, k, м. берет значения 1~3, и p, q принимают значения 1~6 согласно заменам
11 ~ 1, 22~2, 33 ~ 3,23 или 32~4, 13 или 31 ~ 5, 12 или 21 ~ 6.
Учредительное уравнение (3.2.9) затем становится

в котором
{
&ij', когда я = j
&q = 2&ij', когда я *-j
(3.2.16)
(3.2.17)
Кроме того, упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические константы могут теперь быть написаны
в матричной форме, так как они все описаны двумя указателями. Массивы для произвольно анизотропного материала
Cll CI2 cl3 CI4 CI5 CI6
CI2 C22 C23 C24 C25 C26
до [3 c23 C33 C34 C35 C36 до = (3.2.18)
CI4 C24 C34 C44 C45 C46
CI5 C25 C35 C45 C55 C56
CI6 C26 C36 C46 C56 C66 л ми"
эль el3 el4 el5 ми"
e = ми e21 22 ми 23 ми 24 ми 25 ми 26 (3.2.19)
ми e31 32 ми 33 ми 34 ми 35 ми 36 л K" K" KU j K = KI2 K22 K23 (3.2.20)
K [3 K23 K33
Это может видеться, что есть 21 + 18+6=45 независимые константы для этого материального типа. Для поперек изотропического материала с X3 в poling направлении (Класс мм C6v=6), связанного материала matrices упрощены как
3.2 Линейная теория piezoelectricity 65
Cll Cl2 cl3 0 0 0
CI2 CII Cl3 0 0 0
Cl3 Cl3 C33 0 0 0
c = 0 0 0 C44 0 0 (3.2.21)
0 0 0 0 C44 0
1
0 0 0 0 0 - (Cll - c12)
2
e~l ~ 0 0 0 el5 0 0 ми ~j l5 0 (3.2.22)
e31 e31 e33 0 0 л K" 0 0 j K = 0 KII 0 (3.2.23)
o 0 K33
Таким образом это прозрачно, что материал с этим типом симметрии описаны 10 независимых материальных констант. Эта категория материала важна потому что у поляризованной керамики есть богатое пьезоэлектрическое сцепление. Наконец, у изотропического диэлектрического материала есть массивы, которые подобны массивам для поперек изотропических материалов, за исключением того, что есть некоторые дополнительные отношения среди материальных констант. Они eip = 0,

 для всех значений я и p (3.2.24)
где G=EI [2 (л +, u)] является сдвига модулем эластичности, A=2G, uI (I-2, u)
Ламе константа и Ми, u являются модулем Янга и отношением Пуассона, соответственно. В системе MKS упомянуты материальные константы и переменные выше измереные в следующих модулях: [cij] = Нм-2, [eij] = См-2,[Kij] =C2N-lm-2=NV-2, [O "ij] = Нм 2, [Cij] =mm-л, [Ди] =Cm-2 =N (Vmfl,[EJ=NCI = Vm-l, [;] =V Для poled полярного титаната бария (BaTi03) и преимущество, лид-irconate, ирконат- титанат, эти физические константы имеют заказы: cy O (1011 нм 2),ми · =O (и се Нм 2)/G · =O (1O-8NV-2U, U) •
Замена Eq. (3.2.3) и Eq. (3.2. S) в Eq. (3.2.16), и позже в Eq. (3.2.12), дает результаты в
1 1
CIIUI, Я Я +-2 (CII + C12) U2 '1 2 + (C13 + C44) U31, 3 +-2 (CII - CI2) UI. 2 2 +
C44U I, 33 + (e31 + el5) ;, 13 + кипа = 0 (3.2.26)
66 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
1 1
CIIU222 + - (CII + CIJUI12 + (C13 + C44) U3 23 + - (CII - CI2) U211 +, 2 ', 2'
C44U2,33 + (e31 +eIS) ;, 23 +b2 =0
C44U3,11 + (C44 +C13) (UI, 31 +U2,32) +C44U3,22 +C33U3,33 +
ми (;, 11 + ;, 22) + ми 33;, 33 + си 3 = 0
ми 1S (u3,11 + U3,22) + (e1S + e31) (U1,31 + U2,32) +
ми 33u3,33 - KII (;, II + ;, 22) - K 33;, 33 + быть = 0
(3.2.27)
(3.2.28)
(3.2.29)
для поперек изотропических материалов (класс мм C6v=6) с X3 как poling полинг направление
и плоскость X1-X2 как изотропическая плоскость. Этот тип материала принятый в оставшихся главах.
3.2.2 Двумерное упрощение
Для большинства практических проблем пьезоэлектрические материалы обработаны как двумерная проблема упростить процесс раствора. Здесь мы обсуждаем два особые случаи, которые имеют некоторый интерес:
(1) Растяжение плоскости. Без поражения общности мы сосредотачиваемся поперек изотропической piezoelectricity. Предполагая, что x-y плоскость - изотропическая плоскость, один может использовать либо -z либо y-z плоскость для исследования электромеханической плоскости явления. Выбирая прежнего, простые условия растяжения требуют что
(3.2.30)
Заменой Eq. (3.2.30) в Eq. (3.2.16), мы имеем
(T1 CII c13 0 0 ми 31 &1
(T3 Cl3 C33 0 0 ми 33 &3
(Ts 0 0 ми Css 1S 0 &5 (3.2.31)
D1 0 0 ми 1S
-K
II 0-E1
D3 e31 ми 33 0 0-K
33 - E3
или обратно пропорционально
&1/; 1/; 3 0 0 P31 (T1
&3 1; 3 1; 3 0 0 P33 (T3
&5 0 0 Iss P1S 0 (Ts (3.2.32)
-EI 0 0 ПИ-/311 0 ДИ
-E3 P31 P33 0 0-/333 D3
3.3 Два классических раствора приближаются для piezoelectricity 67
в котором fu является постоянным из упругого согласия материала, Pu – пьезоэлектрический коэффициент и Pij - диэлектрическая постоянная непроницаемость. В учредительных уравнениях (3.2.31) и (3.2.32),-Ei используется вместо Ei, потому что это будет позволять конструкцию симметрической обобщенной линейной матрицы ответа который окажется, будет выгоден. Когда учредительным уравнением (3.2.31) заменяют
в Eq. (3.2.12) мы получаем
cllul, Il + (c13 +cSS) U3,13 +CSS U1,33 + (e31 +e1S) ;, 13 +b1 =0 (3.2.33)
CSSU3,11 + (css +C13) U1,31 +C33U3,33 +e1S ;, 11 +e33;, 33 +b3 =0 (3.2.34)
ми 1S u 3,11 + (eiS + ми 31) U1,31 + ми 33 u 3,33 - ; Kll, ll - ; K33, 33 + быть = 0 (3.2.35)
(2) Деформация антиплоскости. В этом случае только упругое замещение из плоскости U3 и электрические поля в плоскости являются отличными от нуля, то есть,
u\= u2 =0, U3 =U3 (X \, X2)
E\=E \(x \, xJ, E2 =E2 (x \, xJ, E3 =0
(3.2.36)
Таким образом учредительное уравнение (3.2.16) упрощается до
0'4 C44 0 0 e\S &4
0 C44 О e\S 0 &s (3.2.37)
D\0 ми lS-K
ll 0-E\
D2 e\S 0 0-K \\-E2
и управляющее уравнение (3.2.12) становится
C44 V 2
U3 + elS V2; + b3 = 0
e\SV
2
u 3-K \\; V2 +be =0
(3.2.38)
где V2 = (), \1 + (), 22 является двумерной действующей компанией Laplacian.
3.3 Два классических раствора приближаются для piezoelectricity
Для двумерных деформаций в общем анизотропном пьезоэлектрическом материале, в котором Ui и ; зависят от Xl и X2 (или X3) только, есть две полномощные процедуры раствора, решения в литературе. Каждый - подход Лекнитския [30], который начинается с уравновешенных функций напряжения, сопровождаемых совместимостью уравнений. Этот подход обсужден в Подразделе 3.3.2. Другой – Строх формализм [31], который начинается со смещений и электрического потенциала, сопровождаемого уравнениями равновесия. Эквивалентность этих двух формализмов имеет обсуждение Suo [32]. Детали рецептуры Строха даны ниже.
68 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
3.3.1 Раствор с формализмом Stroh
Мы начинаем, вводя сокращенную нотацию, данную Барнеттом и Lothe [33], поскольку это очень упрощает следующее письмо. С этой стенографии нотации, управляющее уравнение (3.2.12) и учредительные отношения
(3.2.16) могут быть переписаны как
где b4=be (J =4), и
~J, я +b/=0
~J = EiJKmUK, м.
_ {(J ij' я, J = 1, 2, 3
llJI
D;, J = 4 я = 1, 2, 3
{
Великобритания' K = 1, 2, 3
U =
K ;, K =4
Я Cljkm' я, J, K, м. = 1, 2, 3
em'I, K=4, я, J, m=1,2,3
Ми, JKm = J 4. K 1 2 3
_e'km:' л, м. =,
K llll
, J-K-4, я, m=l, 2, 3
(3.3.1)
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.4)
(3.3.5)
Для двумерных деформаций, в которых U = [Uj U2 U3;] T зависит от Xj и X2 только, где верхний индекс T обозначает транспонирование, общий раствор может быть получен, рассматривая произвольную функцию формы [33]
U = звуковая частота (z) (3.3.6)
где z = Xl + PX2' P и решительного, вводя Eq. (3.3.6) в Eq. (3.3.2), и позже в Eq. (3.3.1). В отсутствие любой массовой силы и свободного сбыта расхода, мы имеем
[Q + за + RT) + p2T Ja = 0
где Q, Тара Р  4x4 реальный matrices матрица, компоненты которого
QIK = Ми llKI, RIK = Ми llK2, ~K = E21K2
(3.3.7)
(3.3.8)
Напряжение и электрическое замещение (SED) получены, заменяя Eq. (3.3.6) в Eq. (3.3.2) могут быть написаны в условиях ofa SED функция tpas
где
tp = bf (z)
b = (RT + пинта) =-p-\Q + pR) a
(3.3.9)
(3.3.10)
(3.3.11)
Второе равенство в Eq. (3.3.11) следует из Eq. (3.3.7). Это достаточно поэтому
3.3 Два классических раствора приближаются для piezoelectricity 69
рассматривать  функцию SED потому что усилия (Jij и электрическое смещение D; может быть получены дифференцированием.
Есть восемь собственных значений p от Eq. (3.3.7), которые состоят из четырех пар из комплекса спрягаемых [33]. Если PJ' aAJ =1,2, ··, 8) собственные значения и ассоциированные собственные векторы, позволим
(3.3.12)
где "1 м." обозначает воображаемую партию комплексного числа и сверхпанели обозначают сопряженный комплекс. Предполагая, что P./отличны, общие растворы для U и ди, полученной, суперизлагая восемь растворов формы
Eq. (3.3.6) и Eq. (3.3.1O)
4
U = Л {a./f./(z./) + U./f. / + 4 (zJ)} (3.3.13)
4
долгоиграющая пластинка = Л {b./fJ (z J) + bJ fJ +4 (ZJ)} (3.3.14)
J~I
где fJ (J = я, 2, ··, 8) произвольные функции их параметра Z J = XI + P JX2 • В большинстве приложений jj принимают ту же самую функциональную форму, так, что мы можем написать
(3.3.15)
где q./-сложные константы, которые будут определены. Выражения (3.3.13) и (3.3.l4) может затем быть написаны в компактной форме
U = 2Re {Звуковая частота (z)} = 2Re {(J (зона действий)) q} (3.3.16)
долгоиграющая пластинка = 2Re {Bf (z)} = 2Re {Си (J (зона действий)) q} (3.3.17)
в котором "Ре" обозначает реальную партию комплексного числа, Jl:z), = [fj (z]) j2 (z2) 13 (Z3)} 4 (Z4)] T, A, ой 4x4 комплекс matrices матриц определенных
A = [[a2 a3 a4], Си = [си [b2 b3 b4] (3.3.18)
и (J (z a)) диагональная матрица
(3.3.19)
Для данной проблемы это ясно, что все, что требуется, нужно определить неизвестную фуенкцию f (zJ) и сложный постоянный вектор q.
3.3.2 Раствор с формализмом Lekhnitskii Лехнитски
Математический метод, известный как формализм Lekhnitskii, был развит первоначально решить двумерные проблемы в упругих анизотропных материалах [30].
70 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
Развитие метода и много расширений к electroelastic проблемам были описаны в [34-37]. В этом разделе используется формализм Lekhnitskii в линейном piezoelectricity кратко полученом в итоге. Для полного происхождения и обсуждения, читателя отправим [30, 34-37].
Рассмотрите двумерную пьезоэлектрическую тарелку, где материал поперек изотропический и сцепление между усилиями в -плоскости и в- плоскости электрические поля имеют место. Для Декартовой системы координат Oxyz выберите ось Z как poling полярное направление, и обозначает координаты x и z Xl и X2 в порядке произвести уплотненную нотацию. Растяжения плоскости учредительные уравнения
управляются Eq. (3.2.3l) или Eq. (3.2.32), за исключением того, что все указатели 3 должны быть
замененный 2 здесь. То есть [35]
&11 привет h2 0 0 P21 (СЕЗАМ
&22 I12 I22 0 0 P22 (T22
2&12 0 0 h3 P13 0 (T12 (3.3.20)
-EI 0 0 P13-/311 0 ДИ
-E2 P31 P33 0 0-/322 D2
От учредительных уравнений мы замечаем, что D2 ставит нормальные растяжения &11 и &22, в то время как компонент напряжения (T12 вызывает электрическое поле ЭДЖ, и (СЕЗАМ и (T22 ставят E2. Уравнение (3.3.20) составляет систему пяти уравнений в десять неизвестных. Дополнительные уравнения обеспечены упругим равновесием и Гаусс правилом
(3.3.21)
в котором отсутствие массовых сил и бесплатного электрического расхода объема было принято, и одним эластичным и одним электрическим условием совместимости
(3.3.22)
Сформулировав электро-упругую проблему, мы ищем решение к Eqs. (3.3.20) ~ (3.3.22) подвергнутому данной загрузке и граничному условию. К этот конец, известные Lekhnitskii подчеркивают функцию F и функцию пролога V удовлетворяя предшествующие уравнения равновесия введеного следующим образом [34,35]:
(СЕЗАМ = F.22' (T22 = F.II' (T12 =-F.12' ДИ = V, 2' D2 =-V, я (3.3.23)
Вставка Eq. (3.3.23) в Eq. (3.3.20), и позже в Eq. (3.3.22) приводит
L4F - L3V = 0, L3F + L2V = 0 (3.3.24)
где
3.3 Два классических раствора приближаются для piezoelectricity 71
Обратите внимание, что, если бы проблема была просто механической, L4 был бы единственным отличным от нуля действующей компанией и ее форма совпали бы с плоскостью анизотропного обсужденного случая,
среди других, Lekhnitskii [30]. Решить Eq. (3.3.24) мы уменьшаем систему к одиночному частичному отличительному уравнению порядка шесть или в F или в V. Выбирая F, мы получаем
(3.3.26)
Как обсуждено в [30] в пределах структуры анизотропной эластичности, Eq. (3.3.26) может быть решено, принимая раствор F (z) таким образом что
F (z) =F (xl +px2), p=a+i/3 (3.3.27)
где a и/3 - действительные числа. Вводя Eq. (3.3.27) в Eq. (3.3.26), и использование цепочечного правления дифференцирования, выражения формы ИЗ (6) = 0 получен. Нетривиальный раствор следует, устанавливая характеристику уравнение (то есть, L~2+L3L3) равное нолю, а именно,
1; 1/3IIP6 + (1; 1/322 + 1; 3/311 +21; 2/311 + P~I + ПИ
2
3 +2P2IPI3) p
4
+
(f22/311 +21; 2/322 + 1; 3/322 +2P2IP22 +2P13P22) p
2
+ 1~2/322 + P~2 =0 (3.3.28)
Вследствие особой материальной симметрии пьезоэлектрического материала под исследованием, полиномиал выражен с точки зрения даже сил p. Это позволяет нам решать Eq. (3.3.28) аналитически, представляя
PI=i/3I' P2=a2+i/32' P3 =-a2+i/32' P4=PI' PS=P2' P6=P3 (3.3.29)
где/31' a2 и/32 зависят от материальных констант. Однажды Пи основных тонов, корни ' j = 1, 2, 3 известны, раствор для функции напряжения F написан как
3
F (XI, x2) = 2Re LF/z)
j~1
(3.3.30)
Следующий шаг должен найти функцию V используя однo q. (3.3.24).Ксли мы рассматриваем
L3F =-L2 V, принимая растворы формы F (Zk) и V (Zk), мы имеем
~: '(zk) = знак (Pk) F;;' (zk) (3.3.31)
где начала указывают на дифференцирование относительно связанного параметра, и
- () (P21 +P13) P; +P22
OJk Pk = 2
/3IIPk +/322
(3.3.32)
Интеграция ofEq. (3.3.31) приводит
72 Главы 3 проблемы Thermo-electra-elastic
(3.3.33)
Это должно быть примечательно здесь, что произвольные постоянные интеграции могли быть установлены
ноль [34]. Таким образом раствор для функции пролога может быть выражен следующим образом:
3 3
V (XpXz} = 2Re" V. (Z). = 2Re" ii5F' (z) L. Джей-Джей Л. 1JJ (3.3.34)
При помощи Eq. (3.3.30) и Eq. (3.3.34) мы можем получить выражения для напряжения и электрические компоненты смещения. Используя Eqs. (3.3.23), (3.3.30) и (3.3.34), мы получаем
r. r
2 0 "11 3 Pk j
0 "22 = 2Re ~ _1 ([J! до (Zk)'
0 "12 Pk
где rIHz,) = F {(Zk)'
Наконец, используя учредительное уравнение (3.3.20) в связи с Eq. (3.3.35) позволяет нам находить выражения для растяжения и электрического поля. Они
r
Эль j 3 r
p
: j [Ми] 3 [* 1 E22 =2ReL q; <л}; (Zk)' я =-L t: ([J ~ (zk) (3.3.36)
2 k~1 * E2 "~I v"
EI2 'Я,
где
P; = переворачивают; + h2 - P2l ii5k' q; = f12P; + f22 - P22 ii5k' r; = (P13 ii5k - f33) Pk
(3.3.37)
Замена Eq. (3.2.3) и Eq. (3.2.5) в Eq. (3.3.36), и затем интеграция из нормальных растяжений и электрического поля Ei = - ;, я производит
(3.3.38)
где константы mo, Ua, Вирджиния представляют смещения твердого тела, и ;o –  ссылочный потенциал.
Конспективно, основанная на процедуре выше, пьезоэлектрического растяжения плоскости
проблема уменьшена до одного из обнаружения трех сложных потенциалов, ~, ~ и армированный пластик: в некоторой области К материала. Каждый потенциал - функция различной обобщенной сложной переменной Zk = Xl + PkX2'
3.3 Два классических раствора приближаются для piezoelectricity 73
3.3.3 Некоторые личности
В этом подразделе представлены некоторые личности matrices, чтобы обеспечить источник для использования в более поздних разделах и главах. С этой целью перезапись Eq. (3.3.11) в форме
(3.3.39)
где 1 единичная матрица. Так как rl существует, мы можем уменьшить Eq. (3.3.39) к
(3.3.40)
где
(3.3.41)
Сш = _r1RT, N2 =r1 =Ni, N3 =RrlRT-Q=N; (3.3.42)
Eq. (3.3.40) норма eigenrelation в восьмимерном пространстве. Вектор ~ в Eq. (3.3.40), правильный собственный вектор. Левый собственный вектор TJ определен
TJTN=pTJT, NTTJ=pTJ (3.3.43)
и, как могут показывать, [33]
(3.3.44)
Нормализация ~I и TJl (которые являются ортогональными друг другу) дает
TJJ~K = 0lK (3.3.45)
где OJK - дельта Kronecker. Использование Eqs. (3.3.11), (3.3.41), и
(3.3.44), Eq. (3.3.45) может быть написано как [;: ~:l [;; л = [~~] (3.3.46)
Это - отношение ортогональности. Два matrices матрицы слева Eq. (3.3.46) инверсия друг друга. Их результат добирается так, что
[
~l [~T ~Tl = [1 0] (3.3.47)
СИ СИ БРИТИШ ТЕЛЕКОМ В 0 1
Это - отношение крышки и эквивалентно
ОКОЛО + AiJY = BAT + BAT = 1, AAT + AAT = BBT + BBT = 0 (3.3.48)
Уравнение (3.3.48) говорит нам, что реальная партия ОКОЛО является II2, в то время как AAT и BBT
просто воображаемые. Следовательно, три тензора Барнетта-Лозэ S, H, Л, определенные
S = я (2ABT - 1), H = 2iAAT, Л =-2iBBT (3.3.49)
74 Главы 3 проблемы Thermo-electra-elastic
реальны. Это прозрачно, что Ручные Л симметричны. Можно показать, что они положительно определенные и тот гимнастический конь, LS, ЕГО, srI антисимметричны [38]. Кроме того реальные матрицы matrices S, H, Л не полностью независимы. Действительно, они связаны
LS + СВЯТОЙ Л = 0 (3.3.50)
sri + rlsT = 0 (3.3.51)
HST + ГИМНАСТИЧЕСКИЙ КОНЬ = 0 (3.3.52)
СВЯТОЙ H-1 + H-1S = 0 (3.3.53)
HL-SS=I (3.3.54)
Личности (3.3.50), (3.3.52) и (3.3.54) могут быть проверены прямой заменой из S, Ручного Л от Eq. (3.3.49) при помощи Eq. (3.3.48). Личность (3.3.51) полученныая из личности (3.3.50), предварительно умножаясь и постумножаясь rl. Точно так же личность (3.3.53) получена из личности (3.3.52), умножаясь
H-I •
Обобщенная форма Eq. (3.3.40) и Eq. (3.3.43), которая связана с координатным преобразованием и полезно для развития личностей, письменно как
где
N (OJ); = p (OJ);
NT (OJ) 17 (OJ) = P (OJ) 17 (OJ)
'1 (OJ) = [потому что OJ + p (O) грешат OJ] '1 (0)
()
p (O) cosOJ-sinOJ
p OJ =
p (O) грешат OJ + потому что OJ
(3.3.55)
(3.3.56)
(3.3.57)
(3.3.58)
NtCOJ) =-rtcOJ) RT (OJ), N2 (OJ) = rtcOJ), N3 (OJ) =-R (OJ) NI (OJ) - Q (OJ)
(3.3.59)
с
QJK (OJ) = EiJKsnin" RJK (OJ) = EiJK, n; TJK миллисекунды (OJ) = EiJK, м.; м., (3.3.60)
n = [cosOJ sinOJ O] T, м. = [-sinOJ coSOJ O] T (3.3.61)
В Eq. (3.3.61), не - и м. два взаимно ортогональных вектора модуля, встроенные в материал как показано на рис 3.1. Плоскость, определенная не - и м., является плоскостью интерес и t=nxm - модуль, нормальный к плоскости. Обратите внимание на это; в Eq. (3.3.55) свободный художник OJ, как был показан в [39]. Когда w=0, Eq. (3.3.55) уменьшился к Eq. (3.3.40). При использовании Eq. (3.3.40) и Eq. (3.3.55), следующие личности могут будьте получены [38,39]
2AP (OJ) В =N2 (OJ)-i [N2 (OJ) СВЯТОЙ +NI (OJ) H]
2AP (OJ) Бритиш Телеком = NI (OJ) - я [NI (OJ) S - N2 (OJ) Л]
(3.3.62)
(3.3.63)
3.4 Логарифмическая особенность полей первоклассной подсказки в гомогенном piezoelectricity 75
2BP (OJ) В = N; r (OJ)-i [N; r (OJ) СВЯТОЙ + N 3 (OJ) H]
2BP (OJ) Бритиш Телеком = N 3 (OJ) - я [N 3 (OJ) S - N jT (OJ) LJ
в котором P (OJ) является диагональной матрицей, определенной
P (OJ) = диагональ [Pj (OJ) P2 (OJ) P3 (OJ) P4 (OJ)]
Материальные топоры
Ссылочная данная величина
Рис 3.1 Взаимно ортогональные векторы модуля м., не - и t используемый в анализе
Далее, это показали в [38] что
(3.3.64)
(3.3 .65)
(3.3 .66)
S =-lf 1t Nj (OJ) dOJ, H =-lf 1t N lf 1t 2 (OJ) dOJ, Л = - N 3 (OJ) dOJ
нет нет нет
(3.3.67)
Уравнение (3.3.67) обеспечивает альтернативу Eq. (3.3.49) для Барнетта-Лозэ тензоры S, Ручной Л. Кроме того, для любого числа целого числа k, мы имеем [40]
APk В = (N; М.-iNjk) H 12 (3.3.68)
где
APk Бритиш Телеком = (Njk М. -
j + в;) Л I2
Bpk В = [(Njk) T М. - в;] H 12
BpkBT = [N; М. -
j
+i (Njk) T] Л I2
M = H -
j
(/+), = (/-"ЗНАТОК") Hj
(3.3.69)
(3.3 .70)
(3 .3.71)
(3.3.72)
3.4 Логарифмическая особенность полей трещины-наконечника в гомогенном
piezoelectricity
3.4.1 Общий раствор для полей трещины -вершины, наконечника
Особенность напряжения и электрического замещения около подсказки в гомогенном
76 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
piezoelectricity был изучен Тингом [41] для анизотропной эластичности, Qin и Ю [42] для электро-упругих проблем, и Ю и Кина [10] для thermo-electroelastic проблемы. В этом разделе мы следуем за результатами, уступленными, данными [42].
Рассмотрите полубесконечную трещину вдоль отрицательной оси X. Особенности SED
в подсказках трещины могут быть определены, принимая функцию J в Eq. (3.3.6) и Eq. (3.3.1O) в следующей форме [43]
ZI-'7
J (zJ) =-J 1
-17
(3.4.1)
где ry=a+ib - сложная константа с a и си, являющимися двумя реальными константами.
Замена Eq. (3.4.1) в Eq. (3.3.9) и Eq. (3.3.l3) дает результаты
U = 2Re {A\Z ~-'7)-q-} (3.4.2)
1-17
~ =2Re {B\z ~ '7) q} (3.4.3)
где ~ = [0 "21 0" 22 0 "23 D2]Е Если мы используем Т. Ифва полярную систему координат (r, 8) происходя в первоклассной подсказке, сложная переменная Зона действий становится
Зона действий = r (cosB + Pa грешат B) (3.4.4)
Мы видим это с допущением  Eq. (3.4.1) SED, данный Eq. (3.4.3) имеет порядок r - '7. Очевидно, что SED исключителен если реальная партия 17, то есть a, положительно. Для потенциальной энергии, которая будет ограничена в первоклассной подсказке, мы требуем  что <л. Таким образом, мы сосредотачиваем наше внимание на антракте 0 <<л Используя тягу - заряд свободное условие на трещины поверхностях и обращая внимание что Z =r когда Си =0
и Z = re±in, когда Си = ±n, мы знаем это
~ (n) =-r-a (r-ib ми - в} 7 Беккерелей + обечайка einTj Беккерель) = 0 (3.4.5)
(3.4.6)
или в матричной форме
X (17) Q = 0 (3.4.7)
где Q = [Беккерель Беккереля] T. Чтобы получить нетривиальный раствор для Q, мы должны позволить
детерминант X исчезнет, то есть.
Ilxll=o (3.4.8)
где символ, IHI обозначает детерминант, который приводит
b=O, (1-e4irra
)4 = 0 (3.4.9)
Раствор Eq. (3.4.9) читает
l-n
a =-2-' n = 0, 1, 2, ··· (3.4.10)
3.4 Логарифмическая особенность полей первоклассной подсказки в гомогенном piezoelectricity 77
Следовательно, удовлетворить O <<л, мы должны взять n=O, который является четырехкратным основным тоном, корнем  Eq. (3.4.9). Упругое смещение и электрический потенциал, V, и SED, Ih, может теперь быть написанным в их асимптотических формах, объединяя Eqs. (3.4.2), (3.4.3) и (3.4.10) как
V = 4r 1! 2 Ре [\(cosB + По: sinB) 1! 2) q]
~ = 2r-I
/
2 Ре [Си \(cosB + По: грешите Br1l2), q](3.4.11)(3.4.12)
3.4.2 Измененный раствор для p быть многократным основным тоном
Исследования, представляемые до сих пор молчаливо, предполагают, что p's собственных значений отличен. Когда один из p's - двойной основной тон,  один может либо не может четыре свободные функции в Eq. (3.4.11) и Eq. (3.4.12), и ряд дополнительных растворов требуются [43]. Не трудно видеть что если Eq. (3.4. 11) и Eq. (3.4.12) растворы, соответствующие двойному коренному Пи, [43] - также
V (2) = 4r 1! 2 Ре {~ {\(cosB + По: sinB) I/2)} q}
разность потенциалов;
(3.4.13)
~ (2) = 2r-1
! 2 Ре {d~i {Си \(cosB + По: sinBrIl2)} q} (3.4.14)
где ЦРУ / разность потенциалов; и децибел / разность потенциалов; может быть получен, дифференцируя Eq. (3.3. 7) и Eq. (3.3.11) относительно Пи, которое является
~ {DA} =O
разность потенциалов;
децибел = ~ {(RT + пинта)}
разность потенциалов; разность потенциалов;
(3.4.15)
(3.4.16)
где D=Q + p (R+RT) + p2T 4x4 матрица. Новые растворы (3.4.13) и (3.4.14) существуют, если следующее уравнение сохраняется [44]:
d"
- гомотетия IIDllp~Pi =0, n =N-M
lPi
(3.4.17)
где Не - и М. является порядком и чином D, соответственно. Однако, это найдено , что порядок особенности не изменен в присутствии нового раствора (3.4.14).
3.4.3 Измененный раствор для 17 являющийся многократным основным тоном
Если 17 многократный основной тон Eq. (3.4.8), компоненты q, возможно, не уникальны и
78 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
нужно найти другие независимые растворы. Для основного тона разнообразия м., новое растворы даны (берущий Il2 как пример)
~ (i) = 2Re {Си [z; U) z ~ (i) z; (i) Z; (i)] T}, я = 1, 2. ··, м.-1 (3.4.18)
где z: (i) = z ~J7 (-В z + 0°7] J q a. Аналогично, новые растворы существуют если
n=8-M (3.4.19)
сохраняется. Здесь М. является чином матрицы X. С тех пор 1F 112 четырехкратный основной тон [см.
Eq. (3.4.9)], особенности SED в подсказке полубесконечной трещины должны произойти в одном  после случаев
O (r-1I2
),
O (r-1I2 В r),
~ (r) =
O (r-1I2 In2 r),
O (r-1I2 ln3 r),
только удовлетворяя XQ = 0
удовлетворение дуплекса / d7] IIJ~I/2 = 0
удовлетворение d2 X / d7] 211J~1I2 = 0
удовлетворение d3 X! d7] 31 '7~1I2 = 0
(3.4.20)
Для полубесконечной трещины в анизотропном пьезоэлектрическом среды, это потому показанно, что и напряжение и электрическое замещение в накенечнике, вершине трещины могут быть порядка r-1I2, или r-I12 1nr, r-I12 1n2 r, r-1I2 1n3 r, как r---+ 0, где r расстояние то, от трещины накенечника до полевого очка, в зависимости от которого граничные условия удовлетворены.
3.5 Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity
Гибрид-Trefftz (HT) конечного элемента (FE) модель была первоначально развита в 1977 для анализа эффекта искажения петли на тонких элементах тарелки [45]. В течение следующих трех десятилетий, потенциала конечных элементов Trefftz для раствора, решения различных типов прикладной науки и технических проблем были признанны. За эти годы метод конечных элементов HT (FEM) стал все более и более популярный как эффективный числовой инструмент в вычислительной механике и широко использовался в анализе эластичности плоскости, тонкой и толстой тарелки наклон, уравнения Пуассона, оболочки, нагрева проводимость, и пьезоэлектрические материалы. Детальное обсуждение развития в этой штрафной может быть найдено в [46]. В контрасте с обычным FEM, класс конечных элементов, связанных с Методом Trefftz основан на гибридном методе, который включает использование auxil3.5
Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 79
углового смещения межэлемента  или тяга структуры, чтобы соединить внутреннего смещения полей элементов. Такие внутренние поля, выбранные, чтобы априорно удовлетворить управляющие отличительные уравнения, были удобно представлены как сумма особого, частичного интеграла негомогенных уравнений и соответственно усеченный Полный набор Trefftz регулярных гомогенных растворов, умноженных неопределенными коэффициентами. Сценарий межэлемента проведен в жизнь при использовании измененного
вариационного принципа вместе с независимым полем фрейма, определенным на каждой границе элемента. Рецептура та элемента, во время который внутреннее параметры устранены на уровне элемента, в конце приводит к норме отношения сил-смещения, с симметрической положительной определенной чопорности
матрицы. Ясно, тогда как обычная рецептура FE может ассимилироваться к особой форме метода Ритца Рэлея, у HT FE подход есть завершение отношения с методом Trefftz [46]. Этот раздел обращается к приложениям
Trefftz FEM к пьезоэлектрическим материалам. Представление ниже следует событиям, появляющимся в [47,48].
3.5.1 Основные уравнения поля и граничные условия
Рассмотрите линейный пьезоэлектрический материал, в котором отличительное управление
уравнения в Картезианце координируют Xi (i=l, 2, 3) дают
CTij, j + bi = 0, Ди, я + быть = 0, в Q (3.5.1)
где Q - домен раствора и законченное соглашение суммирования Эйнштейна используются повторные указатели. Для анизотропного пьезоэлектрического материала, учредительного отношение
о (u, D) D
cij = 0 = SijklCTkl + gkijDk,
CTij
(3.5.2)
для (u, D) как базисные переменные,
о (ми, E) Ми
CTij = 0 = Cijklckl - ekijEk, cij
(3.5.3)
для (ми, E) как базисные переменные,
о (ми, D) f)
CT ij = 0 = Cijklckl + hkijDk'
CTij
(3.5.4)
80 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
для (я; D) как базисные переменные, и
о (u, E) Ми
&ij = - = SijklO'kl + dkijDk'
. О'ий.
(3.5.5)
для (u, E) как базисные переменные, с
() 1 D 1 проживание без питания" H\u, D = - "2SijkIO'iPkl + "2 ijDPj-gkijO'ijDk (3.5.6)
1 МИ 1 [;
H (я; E) = "2 Gijkl&ij&k/ - "2KijEiEj -ekij&ijEk (3.5.7)
1 D 1 1& h
H (я; D) =-2G ijkl&ij.& kl +-2/I, ijDjD.j + kij&.i jDk (3.5.8)
H (u, E) =-lS:klO'iPkl-lKi ~ EiEj - dkiPijEk (3.5.9)
где GiEj ki' Gifj) k л d SiEjk i' Sijfk) л являются жесткости и согласия  коэффициентами тензора для E=O или D=O, Ки ~' <и Ай ~' Ай ~ является матрицей диэлектрической постоянной и обращением диэлектрической постоянной постоянной матрицы для 0' =0 или &=0.
Граничные условия electroelastic проблемы определены
ui = ui 'на Ttl (3.5.10)
ti = 0' ijnj = ti, на я; (3.5.11)
Dn = Dini =-qn =Dn, onTD (3.5.12)
; = ;, onT; (3.5.13)
где ~, 7; qn и ; - соответственно, предписанное смещение границ, вектор тяги, поверхностный расход и электрический потенциал, верхняя панель обозначает заданное значение, T=Tu + Tt =TD +T; является границей домена раствора Q.
Кроме того, в Trefftz FE форме, Eqs. (3.5.l) ~ (3.5.l3) должно быть завершено следующими требованиями сценария межэлемента:
Uie=Uif ';I ;e=' onTenTf' соответствие (3.5.14)
Dne + Dilf = 0, на Те n T f, взаимность (3.5.15)
где "e" и ''я'' поддерживаем любые два соседних элемента. Eqs. (3.5.1) ~ (3.5.15) взяты как основание, чтобы установить измененный вариационный принцип для Trefftz анализа FE пьезоэлектрических материалов.
3.5.2 Принятое смещение и электрические потенциальные поля
Основная идея HT FEM состоит в том, чтобы установить рецептуру FE посредством чего
3.5 Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 81
сценарий внутриэлемента проведен в жизнь на несоответствующем внутреннем смещении поле, выбранное, чтобы априорно удовлетворить управляющее отличительное уравнение проблемы на рассмотрении [46]. Другими словами, как очевидная альтернатива метод Ритца Рэлея как основание для рецептуры FE, модель здесь основанна на методе Trefftz [49]. С этим методом домен раствора n подразделенный на элементы, и по каждому элементу "e", принятый внутри - поля элемента
Uj uj NI
u =
u2 u2 +
N2
c=it + LNjcj =it+Nc (3.5.16)
u3 u3 N3 j=j
; (j N4
где Cj поддерживает неопределенный коэффициент, и это = [iiI ii2 ii3 (j] T и N известны функции. Если управляющее отличительное уравнение (3.5.1) переписано в общей форме
9i'u (x) + ведьма) = 0 (x E.q,) (3.5.17)
где 9i' обозначает матрицу дифференциального оператора для Eq. (3.5.1), x для вектора позиции, h = [кипа b2 b3 быть] T для известного термина правой стороны, и .q обозначает eth поддомен элемента, затем это = это (x) и N = N (x) в Eq. (3.5.16) должен быть выбран таким образом что
fllit + h = 0 и fll N = 0 (3.5.18)
всюду в.q. Полная система гомогенных растворов Nj может быть произведенной посредством раствора в формализме Stroh
u = 2Re {(J (зона действий)) до} (3.5.19)
где (J (зона действий)) =diag [f (zl) f (Z2) f (Z3) f (Z4)] diagonal4x4 матрица, в то время как f (Zi) является произвольной функцией с параметром Zi = XI + Пи X2 · Пи (i=1~4) - материальные собственные значения. Особенно интересный полный набор многочленных растворов, которые могут быть произведены, устанавливая в Eq. (3.5.19) в tum
f (Зона действий) = ~:}, k=I, 2... (3.5.20)
f (зона действий) = lZa
где я = ~. Это ведет для N; ofEq. (3.5.16), к следующему эпизоду
N 2j = 2Re {(z ~)}, N 2j+1 = 2Re {(iz ~)} (3.5.21)
Неизвестная содействующая До в Eq. (3.5.19) может быть написана как
... C] T
В (3.5.22)
82 Главы 3 проблемы Thermo-electra-elastic
в котором м. является измерением векторной до. Выбор м. был обсужден в [46]. Для удобства читателя мы кратко описываем основное правило для того, чтобы определить m. Важно выбрать надлежащее число м. испытательных функций ~ для элемента Trefftz с гибридным методом. Основное правило имело обыкновение предотвращать поддельные энергетические режимы походят на это в модели гибридного напряжения.
Необходимое (но не достаточное) условие для матрицы H, который позже определен Eq. (3.5.47) в Подразделе 3.5.4, чтобы иметь полный чин заявленый как [46]
mmin = NDOF - N ОБОРУДОВАНИЕ (3.5.23)
где NDOF и NRIG - числа центральных градусов свободы элемента на рассмотрении и раскрытых условий движения твердого тела, или больше вообще число нулевых собственных значений. Хотя использование минимума
число м. = N DOF - N ОБОРУДОВАНИЕ режима потока членов в Eq. (3.5.23)  не всегда гарантирует матрицу чопорности с полным чином, полный чин может всегда достигаться соответственно увеличивающимся м. Оптимальное значение м. для данного типа элемента должен быть найден числовым экспериментированием.
Неизвестная содействующая до в Eq. (3.5.19), может быть вычислена от условий на внешней границе и/или условиях сценария на меж - границе элемента. Таким образом различные модели элемента Trefftz могут быть получены использованием разных подходов, чтобы провести в жизнь эти условия. В большинстве случаев
гибридный метод используется, посредством чего элементы соединены через угловой приспосабливания фрейм замещения, у которого есть та же самая форма как в обычном Методе FE. Это означает что, в Trefftz FE подходе, приспосабливания электрический потенциал и замещение (EPD) поле должны быть независимо определены
на границе элемента, чтобы провести в жизнь полевой сценарий между элементами и также соединить содействующую до, появляющуюся в Eq. (3.5.19), с центральным EPD d. Фрейм определен как
u (x) = (3.5.24)
где символ "~, используется, чтобы определить, что поле определено на элементе граница только, d=d (c) обозначает вектор центральных замещений который финал unknowns проблемы, Fe представляет границу ми элемента, и N - матрица соответствующих функций формы, которые являются тем же самым как
3.5 Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 83
те в обычной рецептуре FE. Например, вдоль стороны A-O-B  особый, частичный элемент (см. рис 3.2), простая интерполяция замещения фрейма и электрический потенциал может быть дан в форме
U,
U (X) = u2
= [N N] [~: л U3
xEFe (3.5.25)
;
где
N =diag [Сш N, N. N,], Na =diag [N2 N2 N2 N2] (3.5.26)
dA = [UtA U2A U3A ;A] T, da = [Uta u2B u3a ;a] T (3.5.27)
с
- 1-~
N, =-2-'
N-1 + ~ 2 =--
2
;=-1 ;= 0 ; =+1
G-----~A ~----~ ®
0 СИ
Рис 3.2 четырехсторонний элемент обобщенной двумерной проблемы
(3.5.28)
Используя вышеупомянутую четкость, обобщенной границы силы и электрические
смещения могут быть получены из Eqs. (3.5.11), (3.5.12) и (3.5.16), и обозначенны
(3.5.29)
где ~ и ГОМОТЕТИЯ получены из ii.
3.5.3 Вариационные принципы
Trefftz FE уравнение для пьезоэлектрических материалов может быть установлен
вариационным подходом [46]. Начиная с постоянных условий традиционного poten84
Глава 3 проблемы Thermo-electra-elastic
tial потенциала  и дополнительного вариационного функционала не могут удовлетворить межэлемент сплошной среды условие , которое требуется в Trefftz FE анализе, некоторые новые вариационные functionals должны быть развиты. С этой целью мы представляем следующие два изменения вариационных functionals фуекционалов подходящих для Trefftz FE анализа:
ми; D = Le; ~ =L {e:D-f (Dn-Dn) ;ds-f (7;-t;) ii; ds +
язь лежит
ми ми
f (D}, + t; iiJds} (3.5.30)
Fie
ми ~ ;; = Ли ~:e =Ll 1 ': ; + f« (f - ;) Dnds + f (литий; T;e-uJ~ds-T tI (
2f ii/; ;Dnds-f ds-2f (;Dn +ii; t; ds} (3.5.31)
lte FDe FIe
e:; D = Le, ~~ =Lfe:D - f (Dn-Dn) ;ds + f (U;-uJ~dseel
rDe сожалеют
2f ii/; ds+f (Dn;-t; iiJds} (3.5.32)
СВЯЖИТЕ Связь
ми; Ми = Л ми; исключая ошибки = Л 1:E + f« (f - ;) Dnds - f (7; - t;) ii; ds -
ми ми II ljie Fie
2f Dn;ds - J (Dn; - t; ii;) dS} (3.5.33)
язь лежит
где e:D
= Если H (реакция на облучение, D) dQ + f tJ:I; ds + f DJds (3.5.34)
4 lue l;e
e:E=ff [H (ми, E)-b; u;-be;] dQ+f 7; ii; Dn;ds ds+f (3.5.35)
4 ~ ~
ми; D =ff [H (ми, D)-b; u;] dQ+f 7; ii; ds+f Dn (fds (3.5.36)
4 ~ ~ e:E
= Если [H (реакция на облучение, E) - be;] dQ + f t; литий; ds + f Dn;ds (3.5.37)
4 сожалеют о r De
Граница ре особого элемента состоит из следующих партий:
(3.5.38)
где
(3.5.39)
и r То есть является границей межэлемента элемента "e". Мы теперь показываем что постоянное условие любого функционала в Eqs. (3.5.30) ~ (3.5.33) приводит Eqs. (3.5.l0) ~ (3.5.l5), u; = ii; (на r t) и ; = ; (на rf))' и существующая теорема на существовании экстремума функционального, которое убеждается что
приблизительный раствор, решение может сходиться к точному. Взятие ми; f) как exam3.5
Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 85
пример, у нас есть следующие два проведения темы:
(1) Измененный дополнительный принцип.
se:f) =0 =? (3.5.10) ~ (3.5.15), u; =u; (onFt) и ; = ; (onFf))
(3.5.40)
где S обозначает символ изменения.
(2) Теорема на существовании экстремума.
Если выражение
Если S2H (a, D) dfl+f Святой; SDnS;ds Suids+f + Lf (S;SDn +Su; StJds
D, Если lD лежат
ми
(3.5.41)
однородно положительно (или негатив) по соседству Ua, где Uo такое значение, что e:D (Uo) = (e:D) o' и где (e:D)  обозначает постоянное значение efJf) у нас есть м.'
cwD:> - (ClfJD) [r ClfJD;:: (ClfJD)] &m r.:ym 0 0 t:Ym-....::: 0 (3.5.42)
в котором, отношение что ue = uf идентичен на Fe n, И следующие использовались.
Доказательство: Во-первых, мы получаем постоянные условия функционала (3.5.30). К
этому концу,выполненное изменение e:D и обращая внимание на тот Eq. (3.5.1) сохраняется сперва предыдущим допущением, мы получаем
se:f) =f (ii;-u;) Святой; ds+f ((f - ;) SDndsl"
l;
f I, [0; - tJSu; - (u; - uJSt; Jds-tLJ [(15n - Dn) S; - (; - ;) SDn Jds +
(3.5.43)
Поэтому, уравнения Euler для выражения (3.5.43) - Eqs. (3.5.1O) ~ (3.5.15), U; = Ui (на T t), и ; = ; (на T D), как количества 6t; Однокомнатный номер с кухней' S;, SDIl  Однокомнатный номер с кухней и S;могут быть произвольными. Принцип (3.5.40) был таким образом доказан. Это указывает, что постоянное условие функционала удовлетворяет необходимую границу и уравнения среды межэлемента и могут таким образом использоваться для того, чтобы получить Trefftz FE рецептура. Что касается доказательства теоремы на существовании экстремума, мы можем завершить это посредством так называемого "второго вариационного подхода" [50]. В выполнении этого, выполненное изменение se, ~D и использование принужденных условий
(3.5.1), мы находим
86 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
02e:: D =, Если D o2H (u, D) dD + f I, ot; ou; ds +
f ODno;ds + l:f (O;ODn +ouiotJds
Ми Tn Tre
(3.5.44)
Поэтому теорема была доказана от достаточного условия существования из местного экстремального значения функционала [50]. Это завершает доказательство. Функционал данный Eqs. (3.5.31) ~ (3.5.33) может быть заявлен и доказан так же. Мы опускаем те детали ради осмысленности.
3.5.4 Элементная матрица чопорности
Уравнение матрицы элемента может быть произведено, устанавливая oe::; = O. Упростить происхождение, мы сначала преобразовываем все интегралы домена в Eq. (3.5.30) в граничные. Фактически, из-за свойств раствора внутри-элемента испытательные функции, функционал ми::: может быть упрощен до
D, Если, Если - f - eeT = - (Турция +D, f,) ds - (бушель +q-, f,) dD-(D-D), f, dsme
2 Fe 1 я n'f/2 ноля b'r язь n 11, Если'
(3.5.45)
Замена выражениями, уступленными Eqs. (3.5.16), (3.5.24), и (3.5.29) в (3.5.45) ставит
e::: = - позволяют Ему + и Sd + и
Ij + dT
Y2 + называет без ми или d (3.5.46)
в котором матрицы matrices H, S и векторы Yj, Y2 определены
H = fIe КВАРТА Nds (3.5.47)
S ~ t ~ Q; N, ds + t.lHl ~} + t. Q'Nds (3.5.48)
1 f T ~ T ~ 1 f T-Y1 = - (N T+Q u) ds - N bdD +
2 ~ 2 D
(3.5.49)
3.5 Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 87
Усилить  меж-элемента среду на границе общего элемента, неизвестный вектор до должен быть выражен с точки зрения центрального DOF d. Отношения по желанию между до и d в смысле изменения может быть получены из
ofX'D
~ =-Hc+Sd+1j =0 (3.5.51)
ОКТЯБРЬ
Это приводит
c=Gd+g (3.5.52)



где Соль = H-1 Песочная соль = H-11j, и затем прямо дает результаты выражение
из ми: ~ только с точки зрения d и другого известного матриц matrices
e: ~ = ~dT GT HGd + dT (Вис GT + rJ + называет без d (3.5.53)
Поэтому, уравнение матрицы чопорности элемента может быть получено, беря
исчезающее изменение функционала ми, ~~ как
Kd=P (3.5.54)
где K=GTHG и P =-GTHg-r2 являются, соответственно, матрицей чопорности элемента и эквивалентный центральный вектор потока. Выражение (3.5.54) – элементное матричное чопорностью уравнение для Trefftz FE анализа.
3.5.5 Приложение к проблеме антиплоскости
Рецептура, представленная в Подразделе 3.5.4, для главного трехмерного пьезоэлектрического твердого вещества. Показать типичные приложения вышеупомянутого FE модели, давайте рассматривать проблему трещины анти-плоскости.
В случае антиплоскости сдвиг деформации, вовлекающую только из плоскости смещения Uj и электрические поля в плоскости, и эти переменные зависят от XI и X2 как определено в Eq. (3.2.36), учредительное уравнение отношения и равновесия управляются Eq. (3.2.37) и Eq. (3.2.38), соответственно. Когда система координат (X, y, Z), а не (xt, X2, X3), используется, Eq. (3.3.27) и
Eq. (3.3.28) переписаны как
(3.5.55)
88 Глав 3 проблемы Thermo-electra-elastic
() xz C44 0-e15 0 Yxz
G'yz 0 C44 0-e15 Yyz
(3.5.56)
Дуплекс e15 0 Kll 0 Исключая
Dy 0 e15 0 Kll Ey
или обратно пропорционально
Yxz S44 0 g15 0 O "xz
Yyz 0 S44 0 g15 O "yz
Исключая 0 ~1 0 D
(3.5.57)
-g15 x
Ey 0-g15 0 ~l Dy
где Yxz 'Yyz andEr, Ey, соответственно, сдвига растяжения и электрические поля
данные
ou_ oUz Ми o; = _ o;
Yxz = 0; Yvz=a' Исключая = -
. y вол y внук
Константы S44, gl5 и Все определены отношениями
Граничными условиями проблемы антиплоскости дают
t = 0 "3jnj = t,
Dn =D; n; =-qn =Dn,
;=;,
onI'u
на я;
(3.5.58)
(3.5.59)
(3.5.60)
(3.5.61)
(3.5.62)
(3.5.63)
где Ii, T, qn и ; - соответственно, предписанное смещение границ, вектор тяги, поверхностный расход и электрический потенциал, верхняя панель обозначает
заданное значение, T=Tu+I; =TD+T; - граница домена раствора. Q .
В Trefftz FE форме, Eqs. (3.5.55) ~ (3.5.63) должны быть завершены
следующими требованиями сценария межэлемента:
используйте = uzt ';e = ;f' на Те n T f
где "e" и "f" обозначают любые два соседних элемента.
Это очевидно из Eq. (3.5.55), что это требует
C44 K ll + l12
5 из 0
(3.5.64)
(3.5.65)
(3.5.66)
иметь нетривиальные растворы для замещения из плоскости и в плоскости
3.5 Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 89
электрические поля. Это имеет результатом
'\l2 uz = 0, (3.5.67)
(1) Функции Trefftz. Известно что растворы лапласовского уравнения (3.5.67) может быть найдены, используя метод переменного разделения. Этим метод, функции Trefftz получены как [51]
=
uz (r, B) = L> м. (то, потому что МБ + МБ греха bm) (3.5.68)
m=O
=
; (r, B) = Л комнаты (см cosmB + dm sinmB) (3.5.69)
m=O
для ограниченной области и
uz (r, B) = ~ + ao В r + Lr-m (cosmB + bm sinmB) (3.5.70)
m=i
=
; (r, B) = до ~ + Ко В r + Lr-m (см cosmB + dm sinmB) (3.5.71)
m=1
для бесконечной области, где Си рнда пара полярных координат. Таким образом,
ассоциированные полные наборы Trefftz Eqs. (3.5.68) ~ (3.5.71) могут быть выражены в форме
T = {Я, комната, потому что МБ, МБ греха комнаты} = {1-;}
T = {Я, lnr, r-m cosmB, r-m sinmB} = {я;}
(3.5.72)
(3.5.73)
(2) Принятые поля. Чтобы исполнить анализ FE, домен раствора 12 разделен
в элементы, и по каждому элементу "e" два независимых поля приняты следующим образом:
(a) Несоответствующее поле внутриэлемента выражено
[
Uz] я [N\i 0] [CUi] [N1 0] u = ; = j=1 0 N
2j
C;j = 0 До N2 = Nc
(3.5.74)
где до - вектор неопределенного коэффициента, Ni взяты от компонентов
из серии (3.5.68) ~ (3.5.71).
(b) Вспомогательное поле приспосабливания
U = [~] = [:1; J [~:] + [~c; 2J [~::] =Nd+Ncdc (3.5.75)
независимо принято вдоль границы элемента с точки зрения центрального DOF
90 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
d = [рэнд d; du dc = [duc d;c r, где N представляет обычные функции интерполяции конечного элемента и N, до 'N2c даны в Eq. (3.5.75) выше. Например, в простой интерполяции поля фрейма на стороне l-C-2 особого элемента (рис. 3.3), функции фрейма определены в следующем пути:
М." uzl2 = N1uZI +N2uZ2 + Л, ми -' (1-.; 2) uzCJ
J=I
M;
12; =N, <P, +N2 <P2 + Л.; J-'(1-.; 2) <PCJ
J=I
где uzCJ и <PCJ показывают в Плоде инжира 3.3, и
1-'; - 1+';
2 'N2 =-2-
g =-I
•
g=o
.& до
• uz '</> (2 DOF)
g = + 1
•
2
f::. UzC I' </> CI, Uzel' ··· (2MDOF)
Рис.3.3. Геометрия  треугольного элемента
(3.5.76)
(3.5 .77)
Используя вышеупомянутую четкость, обобщенной границы силы и электрические смещения могут быть получены из Eqs. (3.5.61), (3.5.62) и (3.5.74), обозначая
(3.5.78)
(3) Специальный элемент, содержащий углового посетителя. Это известно что особенности вызванные местными дефектами, такими как угловые посетители, трещины, и так далее, можно точно составлять в обычной модели FE посредством соответствующей местной обработки петли элемента. Однако, важное свойство
из HT FEM - то, что такие проблемы могут быть намного более эффективно решены использованием  функций особого назначения [46]. Элементы, содержащие местные дефекты (см. Рис. 3.4), обработаны, просто заменяя стандартные регулярные функции N в Eq. (3.5.74) соответствующими функциями особого назначения. Одна общая характеристика такого испытания функции - то, что это не только управляющие отличительные уравнения, которые вот Лапласовские уравнения, которые удовлетворены точно, но также и некоторая предписанная граница
3.5 Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 91
условия в особой порции ФЕС (см. Рис. 3.4) границы элемента. Это позволяет различным особенностям быть специально принятыми во внимание без неприятной обработки петли. Так как целая рецептура элемента остается
неизменной [за исключением того, что теперь фрейм функцич u в Eq. (3.5.75) определен и граничная интеграция исполнена только в порции Fe' элемента
граница Fe = Fe' + Фес смотри рис. 3.4] [46], все, что необходимо, чтобы осуществить элементы, содержащие такие специальные испытательные функции, должны обеспечить элемент подпрограммы нормы, регулярных элементов с библиотекой различных, по желанию наборов функций особого назначения.
y
Рис. 3.4 Специальный элемент, содержащий исключительного посетителя
Элемент r
граничная ми'
В этом разделе мы показываем, как могут быть созданы функции особого назначения удовлетворить и лапласовское уравнение (3.5.67) и границу без тяг
условия на угловом посетителе стоят (рис. 3.4). Происхождение таких функций основанный на общем растворе двумерного лапласовского уравнения
= =
uz (r, tJ) = ao + ~) r' <n +bnr-'<n), потому что (AntJ) + ~) d,/n + enr-' <n) грех (AntJ)
11 = 1 n=1
(3.5.79)
= =
; (r, tJ) = eo + ~) enr' <n + я "r-'<n), потому что (AntJ) + ~) gn r' <n + hnr - '<n) грех (AntJ)
11=1 11=1
(3.5.80)
Соответствующие испытательные функции для исключительного элемента посетителя получены рассмотрением бесконечного куска (рис 3.4) с особыми граничными условиями предписанными вдоль сторон tJ=± ~ формируя углового посетителя. Граница условия на верхних и более низких поверхностях куска являются свободными от поверхности тяги и поверхностного расхода
92 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
(3.5.81)
Это приводит
Buz =0
СИ (),
=0 B;
СИ (),
(3.5.82)
Чтобы решить эту проблему, мы переписываем общий раствор (3.5.79) как
= =
Uz (r, ()) = ao + Л (/'" + bnr - я,), потому что + Л (dnrP" + enr - p,) грех (Pn)
n=1 n=1
(3 .5.83)
где и P/l два набора констант, которые, как предполагается, больше чем ноль. Дифференциация раствора (3.5.83) и замена этим в Eq. (3.5.82) дает результаты
=
"fJ (d армированный пластик L... J 1l n "+ en си - p"), потому что (+ - fJ n (O)) = 0
11=1
Так как раствор должен быть ограничен для r = 0, мы должны определить
миллиард = эль = 0
От Eq. (3.5.84) это может быть выведено что
грех (±A/l () o) = 0, потому что (±P/l () o) = 0
приведение
(3.5.84)
(3 .5.85)
(3.5.86)
A/l () O = nn, n=1, 2,3. ·· (3.5.87)
2P/l () o = nn, n =1,3,5. ·· (3.5.88)
Таким образом, для элемента, содержащего трещину края (в этом случае () o = 1r),
раствор может быть написан в форме
= = n
uz (r, ()) = ao + Ля /' потому что (n) + Л d/lr2 грех (~)
n=1/l =1,3,5 2
(3.5.89)
С раствором (3.5.89), внутренняя функция определена в Eq. (3.5.74), может быть
взята как
N n 3" = '.. (2n - 1) 2/l_1 = r, потому что (n), N2/l = r 2 см-2-(), n =1,2,3. ·· (3.5.90)
Очевидно, что функция замещения (3.5.89) включает пропорциональный термин
к rll2, производная которого исключительна в вершине трещины. Раствор для
второго уравнения (3.5.82) может быть получен так же.
3.5 Метод конечных элементов Trefftz для piezoelectricity 93
(4) Вариационный принцип. Для краевой задачи, описанной Eqs. (3.5.55) ~ (3.5.67), соответствующий дуальный вариационный функциональный, создан в форме
ми, ~D = L:e; ~ =L: {e:D-tlJe (15n-Dn) тик ;ds-(T-t) uzds +
ми ми
tlc (Dn; + tuz) ds} (3.5.91)
e~E = L:e ~; =L: {e:E + f (; - ;) Dnds + f (itz-uz) tdse
T;e ми сожалеют
(3.5.92)
где
(3.5.93)
(3.5.95)
1 2 2 я 2 2 H (rij, Ek) = "2C44 (rxz + ryz) - e] SrxzE, - e] SrrzEr - "2 K]] (Er + Er) (3.5.96)
Граница Те особого элемента состоит из следующих партий:
(3.5.97)
где
(3.5.98)
и СВЯЗЬ - граница межэлемента элемента "e".
(5) Поколение матрицы элемента. Подобный обслуживанию Eq. (3.5.45),
интеграл домена в Eq. (3.5.93) обращен в граничный интеграл использованием
из  свойств раствора испытательных функций внутри-элемента, для которого функционал (3.5.91) переписан как
II;:eD =-f (Dn - Dn) ;ds - f (T - t) uzds + f (Dn; + tuJds} -
r De r tc СВЯЗЬ
(3.5.99)
Замена выражениями, данными Eqs. (3.5.74), (3.5.75) и (3.5.78) в
(3.5.99) ставит
94 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
crD 1 T T T T. ll, l1e = - ми Он + ми Sd + ми Ii + d r2 + называет без ми или d
2
в котором матрицы H, S и векторы r" r2 определены
H=f QTNds
ре
(3.5.100)
(3.5.101)
(3.5.102)
(3.5.103)
(3.5.104)
Оставшееся происхождение и имеющие результатом уравнения находятся в той же самой форме как в Eqs. (3.5.51) ~ (3.5.54).
3.5.6 Числовые примеры
Поскольку числовая иллюстрация рецептуры конечного элемента представлена в этом разделе, пример пьезоэлектрической призмы, подвергнутой простой напряженности, рассматривают (см. Рис. 3.5). Этот пример был взят от [52] для керамики PZT-4 призмы, подчиненной напряженности Нм P=10 2 в y-направлении. Свойства материала даны следующим образом:
y
- D
до
o Си x
Рис.3.5. Геометрия  пьезоэлектрической призмы
CIIII =12.6x10Io Нм 2
, CII22 =7.78xlO'O Нм 2
, CII33 =7.43x10'o Нм 2
C3333 = 11.5 X 1010 нм 2
, C3232 = 2.56 X 1010 нм 2
, el31 = 12.7 см 2
e311 =-5.2Cm-2
, e333 =15.1Cm-2
, KII = 730Ko, K33 = 635Ko
где Ko = 8.854 X 10-12 C2 I Nm2
. Граничные условия призмы
(j'yy = P, (j'xy = Dy = 0, на краях y = ±b
3.6 Теория двойного thermo-piezoelectricity 95
0" xx = O "xy = Дуплекс = 0, на краях x = ±a
где a=3 м., си = 10 м. Вследствие симметрии о загрузке, граничных условиях
и геометрии, только один сектор призмы смоделирован 10 (x-направление) x
20 (y-направление) элементами в HT FEM анализе. Таблица 3.2 перечисляет смещения и электрический потенциал в очках A, Си, До, и D использование настоящего метода и сравнение сделано с аналитическими результатами. Показано, что TFEM имеет результаты находящиеся в хорошем соглашении с аналитическими [52].
Таблица 3.2 Ul, U2, и результаты ;ofTFEM и сравнение с точным решением
Укажите (2,0) Си (3,0) ceO, 5) D (O, IO)
TFEM ul / (1010 m)-0.9674 - 1.4510 0 0
U2 / (J 09m) 0 0 0.5009 1.0016
(V) ;0 0 0.6890 1.3779
Точный [52J u / (1010 m)-0.9672 - 1.4508 0 0
U2 / (l09m) 0 0 0.5006 1.0011
(V) ;0 0 0.6888 1.3775
3.6 Теория двойного thermo-piezoelectricity
В предыдущих разделах этой главы мы описали различные проблемы пьезоэлектрических материалов, не рассматривая тепловых эффектов. В этом разделе, выпрямлении включать тепловой эффект представлено. Мы начинаем с обсуждения общей теории thermo-piezoelectricity, сопровождаемого вводной частью уникальность thermo-electro-elastic раствора. Представление сосредотачивается событиями в [1,2].
3.6.1 Основные уравнения
Уравнения классической, линейной теории piezoelectricity, включая сцепление среди деформации, температуры, и электрического поля, были получены Mindlin [1]. Проблема сцепления на рассмотрении состоит из determiuing напряжения O "ij (x, t), электрическое смещения D; (x, t), упругого displacementu; (x, t) температуры T (x, t) и электрического потенциала ; (x, t) для x Ми Q и t> O.
В регионе К и для t> O без массовой силы и бесплатного расхода, следующие уравнения должны быть удовлетворены:
96 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
(1) Уравнения расхождения.
CTij, j = PUi' Ди, я = 0, привет; =-Ta/l.s (3.6.1)
где P - массовая плотность. Используя нотацию, введенную в Разделе 3.3 и
рассматривая установившуюся проблему, Eq. (3.6.l) может быть переписано в простой форме
EiJKnP Komi = AiJT, я' kijT, ij = ° (3.6.2)
где AiJ (J=I, 2,3) представляют константы теплового напряжения, Ai4 = трибуны Пи для пироэлектрического коэффициента.
(2) Уравнения градиента.
1
Ei =-(u. + u), lj 2 foj jof
где kij - коэффициент проводимости высокой температуры.
(3) Учредительные уравнения.
F - [~n,' <Tij ~ [:: 1; D = - [og 1 м. oEm f: T
где соль - "электрическая функция Гиббса", определенная
Я я pC" 2
g = '2CijkiEiijEiki - '2KijE; Ei - 2T T-e; иконоскоп; Eijk - PmTEm-AijTEiij
o
(3.6.3)
(3.6.4)
(3.6.5)
Eqs. (3.6.1) ~ (3.6.4) включают 27 уравнений линейного thermo-piezoelectricity
управляя 27 зависимыми переменными Uo CTij, Eiij' D;, Ei' ;, hi's, T. От
Eq. (3.6.4) и Eq. (3.6.5), мы находим
где = pC "К л
•
s = в + AijEiij + Пополудни Их
CTij =-AijT + CijkiEiki - emijEm
Dn = PnT + enijEiij + KmnEm
(3.6.6)
Последующей заменой эти 27 уравнений могут быть уменьшены до пяти на Ui,
;an  и T
До "klUk I' + ek ;' - В = pu U, я "U, J (л U, л J
ek "u '. k - K;.. + пинта = ° lj л, j lj, lj 1,1 (3.6.7)
.. kT
/1l.U •.. - pydo. + T =-lJ - f'!
lJ f.j f Ta
Эти уравнения должны быть завершены с граничными и начальными условиями.
следующие количества могут быть назначены в поверхности rofthe тела Q:
3.6 Теория двойного thermo-piezoelectricity 97
(1) Смещение или поверхностная тяга.
ui = Ii; (x, t) (на T j), O "ijn j = t; (x, t) (на T 2) (3.6.8)
где Ii; и t; известные функции, и T = T j U T 2, T j n T2 = O.
(2) Электрическое потенциальное или электрическое смещение.
; = ; (x, t) (на 1 3), Djnj =-qs (x, t) (на 14) (3.6.9)
где (f и qs известные функции, и T = T3 U T 4, T3 n T4 = O.
(3) Температура или поток высокой температуры.
- -
T=T (x, t) (на 15)'-kijT, jni =-h, (x, t) (на 1 6) (3.6.10)
где, если и h" известные функции, и 1 = 15 U 1 6, 15 n 16 = O.
(4) Начальные условия.
u; (x, O) =}; (x), u; (x, O) =g; (x), T (x, 0) = Ta (x). (3.6.11)
где ii, gi и К известные функции.
3.6.2 Уникальность раствора, решения
Теорема уникальности для отличительных уравнений thermo-piezo-electricity
может быть установлена посредством принципа виртуальной работы. Функциональная энергия используемая с этой целью следующая:-f n piiI 5uI dQ + f r TI 5uI дл = f n Ол "j 5&lj dQ
(3.6.12)
в котором виртуальные инкременты были заменены реальными инкрементами
au;. O&ij.
5u =-dt=udt, 5& =-dt=&dt (3.6.13)
Я в я, Если, в Если
Таким образом мы получаем фундаментальное энергетическое уравнение-f piiudQ + f Tudl = f O "i:. ноль dQ r I я Q Y 11
в который мы вводим учредительные отношения
O "ij =-AijT + Cijkl&kl - emijEm
Следовательно
~ (K + W) = dt футы TIul дл + f fl (UA T + emEym) iy: dQ
где K является кинетической энергией и W работа деформации
(3.6.14)
(3.6.15)
(3.6.16)
K = P2 f n uudQ, W = ~f До ·· 'I&··&kldQ (3.6.17) я я 2 n II" 'я
Чтобы устранить термин f n Aiji:ijTdQ, мы рассматриваем уравнение проводимости высокой температуры
98 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
(3.6.18)
Умножение T и объединение по области К, после простого преобразования
мы получаем
где
f
XT.s dQ=ki-j f TTndT-p fT'E dQ-d-91-Xo
n, Если lJ l'o r, J 1 м. n м. dt
k Xo =T2 f n T, лейтенант, Джд К
o
Подставляя Eq. (3.6.19) в Eq. (3.6.16) дает результаты
(3.6.19)
(3.6.20)
~dt (K + W + 91) + Xo = f r [T1i t 1 + kij TTn) dT + f (исключая ошибки я: - p, Ми, T) dQ l'o, J 1 n мой м., Если 1 1
(3.6.21)
Устранить термин f nemiAjEmdQ в Eq. (3.6.21), мы используем учредительные
отношения
(3.6.22)
Наконец, мы используем уравнение Ди-джея электрического поля, я = 0. Умножая уравнение ; и объединяющийся, интегрируя по области К, мы получаем
f rDjn; ;dT + fnDrnEmdQ=O (3.6.23)
Используя отношение (3.6.22), после простых преобразований мы получаем
В (emijE", f:ij - pjE; T) dQ =-frDmnm;dT-:t (1',' - Pk fnTEkdQ) (3.6.24)
где
(3.6.25)
В поле зрения ofEqs. (3.6.21) ~ (3.6.23), мы достигаем измененного энергетического баланса
:t (K + W +91 + N + PkJnTEkdQ) + Xo
= f [Синица +2TTn-D ;n dT k)
r 1 1 К, J м. на 1 м. (3.6.26)
Энергии функционал (3.6.26) делает возможным доказательство уникальности решения.
Рассмотрите два отличных раствора, решения (u; ; ', T') и (u;', ; ", T"), которые удовлетворяют Eq. (3.6.1) и соответствующие граничные и начальные условия. Позволить
3.7 Растворы Фурье преобразовывают метод 99
; / = ;' - ; ", T* =T'-T" (3.6.27)
Так как проблема линейна, переменные различия в Eq. (3.6.27) также растворы, решения. Поэтому, Eq. (3.6.26) держится для раствора (u; ; *, T *).
Ввиду однородности уравнений и граничных условий, правая сторона Eq. (3.6.26) исчезает. Следовательно,
ddt (K * + W * + ill* + ~ * +Pk fn T * Ek*dQ) = - *: (O (3.6.28)
где мы использовали факт что подынтегральное выражение энергетического разложения функция  является положительно-определенной квадратной формой. Интеграл в левой стороне Eq. (3.6.28) исчезает в боковике, так как переменные (ui*, rjJ *, T *) удовлетворяют гомогенным начальным условиям. С другой стороны, неравенство в Eq. (3.6.28) доказывает, что его левая сторона - или негатив или ноль. Последний возможность происходит, если подынтегральное выражение - сумма квадратов.
Следовательно, мы принимаем что
K* = W* = 0, ill* + 1' <* + фунт, l*E; dQ;;:' 0 (3.6.29)
Эти результаты подразумевают что
(3.6.30)
Предполагая, что Kij - известный положительно-определенный симметрический тензор, Pk – вектор, и a> 0. Рассмотрите функцию
(T, Ek) = aT2 + 2PkTEk + KijEiEj (3.6.31)
A является неотрицательным (A;;:' 0) для каждой настоящей пары (T, Ek), при условии, что
Ipil2
: (a1m (3.6.32)
где 1 м. - самое маленькое положительное собственное значение тензора Kij. Eq. (3.6.30) подразумевает уникальность растворов, решений thermo-piezoelectricity уравнений, то есть,
u, "d '. == d. ", j =uj ''f' 'f' T' =T" (3.6.33)
3.7 Растворы, решения Фурье преобразовывания метода
Граничные задачи с начальными условиями, описанные в предыдущем разделе, могут быть решенными посредством Фурье преобразования подхода. После этого, для простоты, мы предполагаем, что все переменные не меняются в зависимости от времени. В этом случае проблема определенная в предыдущем разделе известна как краевая задача. Это должно быть примечателено, что Фурье преобразования подход к thermo-пьезоэлектрической
100 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
проблеме обычно вовлекают два основных шага: (1) решают проблему теплопередачи сначала получить установившееся поле T; (2) вычисляют electroelastic поле вызванное полем T, затем добавьте изотермический раствор, чтобы удовлетворить передачу электрических и механических граничных условий, и наконец, решают измененную проблему для electroelastic полей. В этом разделе мы сначала происходим, выводим Фурье преобразования рецептуры для температурных полей и затем расширяет ее на случай thermo-electro-elasticity.
3.7.1 Фурье преобразования метод и вызваное общее раствор, решение
Фурье преобразование пары, используемой в этом разделе, определено [10,11]
j (~) = _1 f = f (x) eiS'xdx, f (x) = _1 f = j (~) электронный-iS'xd ~
2n-w 2n-w
(3.7.1)
где я = Х. Применяя преобразование (3.7.1) к Eq. (3.6.2) с уважением tOXI,
приводит
2 '. из 021'
~ kllT + 21~k12 - k22 - 2 = 0
oX2 oX2
Eq. (3.7.2) допускает раствор формы
f = ao (~) ми-irx
2
при условии, что" удовлетворяет следующее уравнение собственного значения:
kll~2 + 2kI2 ~" + k 22 "2 = 0
Основные тоны Eq. (3.7.4)
* k12. k *-* 2 1/2 ПИ = - +l-, P2 = ПИ' k = (kllk22-klJ
k22 k22
(3.7.2)
(3.7.3)
(3.7.4)
(3.7.5)
где P; = "; / ~ и сверхпанель обозначает сопряженный комплекс. Для данного
реальный ~, "Я и "2 могу быть определен таким образом, что для Im ("1 »0, результаты _ {p; ~.;> 0 "я - *
ПИ ~' ~ <0
(3.7.6)
Как следствие, общий раствор Eq. (3.7.2) может быть написан как
f =-J2; (Fofo + Энергичный) (3.7.7)
где
G-Irx2
o-e (3.7.8)
Вспомните, что ~ и" содержатся в собственном значении P =" / ~, в то время как фа и д две функции ~, которые будет определены от граничных условий
3.7 Растворы Фурье преобразовывают метод 101
данной проблемы. Преобразованный поток высокой температуры дан
т =-kij~j дают
h=i ~. J2; [(k] + p; kll) Fofo + (k] + P; 'kll) GOgoJH (~) +
я ~. J2; [(kr + p; krr) Fofo + (kr + p; krr) GogoJH (-~) (3.7.9)
где h = [привет h2] T, kr = [kll kI2] T, krr = [k21 k22] T и H (~)
Ступенчатая функция Heaviside. Eq. (3.7.7) и Eq. (3.7.9) представляют общее раствор, решение для поля потока температуры и высокой температуры в Фурье преобразования пространстве. Взятие инверсии Фурье преобразования, результаты,
T (xl'x2) = f:n (Folo + Энергичный) электронный-i~Xld ~ (3.7.10)
h (xl'x2) =if 0 ~ [(k, + p; kll) Fofo + (k, + p; kll) GogoJe-iSXld ~ +
если: = ~ [(k] + p; kll) Fofo + (k] + p; kll) Энергичный электронный-i~Xl d J ~ (3.7.11)
Точно так же применяя Eq. (3.7.1) к Eq. (3.6.2) с отношением, уважением tOXI, мы имеем
~2QU+i ~ (R+RT) OU _T02 ~ =i~A, T-A2 (3.7.12)
oX2 oX2 oX2
где A.i = [Ай) Ai2 Ai3 P; J. Раствор, регение к Eq. (3. 7.12), может быть принято
состоять из особой партии, частиц части и гомогенной партии Мм как
(3.7.13)
так как это - линейная проблема.
Используя раствор (3.7.7), особый раствор, который удовлетворяет
Eq. (3.7.12) может быть принят в форме
. J2;-.J2; -
= - ~ (AoFofo +AoGogo) H (~) - ~ (AoFofo +AoGogo) H (-~)
(3.7.14)
где
(3.7.15)
Гомогенная партия Мм может быть получена, рассматривая произвольные собственные еigenfunction  из формы
(3.7.16)
Подставляя Eq. (3.7.16) в левую сторону Eq. (3.7.12), найдено что
[Q (+ ~lJ (R + RT) + lJ2T JA = 0 (3.7.17)
которое является точно тем же самым как Eq. (3.3.7), если мы putP=lJ / ~. Собственное значение eigenvalue p может быть определено, рассматривая характерный детерминант Eq. (3. 7.17)
102 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
(3.7.18)
Как был примечателено, отмечено в Разделе 3.3, есть восемь собственных значений P от Eq. (3.7.18),  которые состоят из четырех пар комплексно сопряженных. Позволить
_ {ПОПОЛУДНИ ~' ~> 0
7JM-;:;: 0
ПОПОЛУДНИ' =" '=' <
(3.7.19)
где M=1, 2, 3, 4. Очевидно что Im (7JM »O для всего ~. Такая четкость
целесообразна для развития последующего происхождения. Следовательно, общий раствор Eq. (3.7.12) может быть получен простым суммированием двух партий
раствора где
(; = J2;. (AFJ + AGg) H (~) +J2;. (AFJ + AGg) H (-~) -
J2;. - J2;.-.
-----;; f (AoFofo + AoGogo) H (~)------;; f (AoFo./o + AoGogo) H (-~)
F (~, X2) = (Фа (~, X2)) = (электронный-iJ7aX2)
Соль (~, X2) = (Ga (~, X2)) = (электронный-il7wt2)
(3.7.20)
(3.7.21)
(3.7.22)
Преобразованное напряжение и электрические замещения следуют из учредительного отношения (3.6.6)
~ = i~J2;. (BPFJ + liPGg) H (~) + i~J2;. (lipFJ + BPGg) H (-~) -
где
J2;. (Бибоп; Fofo + Бибоп; Энергичный) H (~) - J2;. (Бибоп; Fofo + Бибоп; Энергичный) H (-~)
(3.7.23)
~ =-i~J2;. (BFf + BGg) H (~)-i~J2;. (BFf + BGg) H (-~) +
J2;. (BoFo.fo + lioGogo) H (~) - J2;. (BoFo.fo + BoGogo) H (-~)
(3.7.24)
(3.7.25)
Вектор тяги на поверхности с нормальным n = [сш n2 0] может быть найден
от Eq. (3.7.23) и Eq. (3.7.24) как
i = ~n\+ ~n2 = i~J2;. [Си (n\P - n2I) И следующие + Си (n1P - n2I) Строительное стекло JH (~) +
i~J2;. [Си (ЗАЖИМ - n2I) FJ + Си (n1P - n2I) Строительное стекло JH (-~) -
J2;. [Филиал (зажим; - n2) Fofo + lio (зажим; - n2) Энергичный] H (~) -
J2;. [Филиал (n\p;-n2) FO' / ~ + Филиал (n\p;-n2) GogoJH (-~) (3.7.26)
3.7 Растворы Фурье преобразовывают метод 103
Eqs. (3.7.20), (3.7.23) и (3.7.24) представляют раствор для резинки и
электрические поля в Фурье преобразовании пространства. Общий раствор electroelastic поля в реальном пространстве получен, применяя инверсию преобразования Фурье к Eqs. (3.7.20), (3.7.23), (3.7.24) и (3.7.26). Результаты
U (XPX2) = f; [УТВЕРДИТЕЛЬНЫЙ + AGg - я ~ (AuFofo + AoGOgo)] электронный-iq XI d ~ +
f o [AFf+AGg-~ (AoFof ~ + AuGogo)] электронный-iqXld ~ (3.7.27)
- = л ~
II., (XPX2) = f; [я (BPFf +iipGg) ~ - Бибоп; Fofo-iiop; GogoJe-isxld ~ +
f: = [я (iipFf + BPGg) ~ - iiop; 'Fofo - Бибоп; Энергичный] является электронным XI d ~
(3.7.28)
~ (XPX2) =-f; [я (BFf + iiGg) ~ - BoFofo - iiopGogoJe-isXld ~-
f: = [я (iiFf + BGg) До; - iioFof ~ - BoGogo] является электронным XI d ~
t (X1, X2) = f; {я ~ [Си (nlP-n2I) Ff+ii (nlP-n2I) GgJBO (
n1P;-n2) Fofo-iiO (n1P;-n2) GogO} e-i; xld ~ +
f:.n {я ~ [(ii (n1P - n2I) И следующие + Си (ЗАЖИМ - n2I) GgJ-
(3.7.29)
iiO (n1P;-nJFofo - ФИЛИАЛ (n1P;-n2) GogO} e-i; xld ~ (3.7.30)
Для данной краевой задачи идут восемь functions/o, j, и g определенные от соответствующих граничных условий. Как иллюстрация, общие растворы, решения  (3.7.27) ~ (3.7.30) теперь используются для того, чтобы проанализировать особенности трещины вершины.
3.7.2 Особенность трещины -вершины
Исключительное поведение в трещины вершине может быть найдено, рассматривая полу-бесконечную трещину вдоль отрицательной Xl - оси с происхождением в трещины -вершине под соображение, рассмотрение. Предположение, что трещины лица без тяг и без расходов и тепло изолированны, граничные условия в трещины лицах
104 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
~ (Xp O +) = ~ (xp 0-) = 0, h2 (xP 0 +) = h2 (xP 0-) = 0
Условия сценария вдоль x2 = 0 и XI> 0 требуют что
T (xl' O +) = T (xp 0-), h2 (Xl' 0 +) = h2 (xl' 0-)
U (xp 0 +) = U (xl' 0-), ~ (xp O +) = ~ (xp 0-)
(3.7.31)
(3.7.32)
Так как раствор должен быть ограничен как IX21 ~ =, fi, и gi (i=0~4) должен быть
взят как
;; (;) = 0, whenx2> 0
gi (';) = 0, когда x2 <0
(3.7.33)
(3.7.34)
Далее, искупление условий сценария alongx2=0 требует этого
;; (-;) =;; (;), соль; (-;) = соль; (;), i=0~4 (3.7.35)
Это следует затем за тем
azO () aZO ()
1 (j) (xp O) =-aJ +-aJ (3.7.36)
XI XI
U (j) (xl' 0) = (j) Z (j) + (j) Z (j) + проживание без питания (j) Zo (j) + проживание без питания (j) Zo (j) (3.7.37)
2 2-
. ZO (j). ZO (j)
h2 (j) (xp O) =-zk (j) 2 +ZkU) - 2-(3.7.38)
aXI aXI
aZUl - азимут (j) azOU) - aZO (J)
~Ci) (Xp O) =B (j) - +B () - +BO () - +BO () - (3.7.39)
aXI
J aXI
Я aXI
J aXI
где приписка (j) используется, чтобы отличить более низкую и верхнюю полуплоскость, j=l соответствует домену X 2> 0, и j=2 означает, что очко расположено в более низкой полуплоскости. Количества kU)' ZO (i) и Z (n определены
k (j) = k (j) k (J) - (k (j)) 2 II 22 12
Z - f = 1 (J:) iqxj d J:
0 (1) - 0 я; пойдите -'" ми'"
ZO (2) = - f 0 = я ~! O (;) ми-iqx [d;
Z - f = (J:) iqXjdJ:
(I) - 0 соль -'" ми'"
Z (2) = лиса! (;) электронный-iqX [d;
(3.7.40)
(3.7.41 )
(3.7.42)
(3.7.43)
(3.7.44)
Асимптотическая форма полевых переменных может быть получена установкой Xl ~ 0 (r ~ 0) вдоль x2 = 0. Следовательно, ZO (i) и Z (i) становятся
(3.7.45)
3.7 Растворы Фурье преобразовывают метод 105
(3.7.46)
Подставляя Eq. (3.7.45) и Eq. (3.7.46) в Eqs. (3.7.36) ~ (3.7.39) дает результаты
_ си"
'Fcf) (xp 0) = (5+1) (qo (f) +qo (j)) lxll, xl> O (3.7.47)
h (j) (xp 0) = ik - (j) 5 (5+1) (qo (j)-i] o (J)) lxl ·-l, Xl> 0 (3.7.48)
h (0) - · k" (" 1) (си" (j)-b" (j)-) 1 1
0
-
1
(j) XI'-I uF U + ми qO (j) - ми qO (j) XI,
U (j) (Xp 0) = 2 Ре ((j) q (j) + проживание без питания (j) qo (i)) lxll
o
+
л
, Xl> 0
o
~ (J) (XI' 0) = 2Re [(5 + l) (Си (j) h (j) + ФИЛИАЛ (J) qo (J))] lxll 'XI> 0
или) 1 1
0
~ (j) (xp 0) = 2 Ре [(5 + l) ми J (Си (j) q (j) + ФИЛИАЛ (j) qO (j))] Xl, Xl <0
(3.7.49)
(3.7.50)
(3.7.51)
(3.7.52)
где 5 (j) = in5 (-l) i+l. Соглашение суммирования не относится к повторному
указанному в Eqs. (3. 7.4 7) ~ (3. 7.52). Подставляя Eqs. (3. 7.4 7) ~ (3. 7.52)
в Eq. (3.7.31) и Eq. (3.7.32) приводит к системе 20 гомогенных уравнений.
Результаты могут быть написаны в матричной форме как
(3.7.53)
где
% (1) Си (l) q (l)
ak =
%(1)
до =
СИ (I) (J (I)
% (2) Си (2) q (2)
(3.7.54)
qO (2) Си (2) (J (2)
1 -1 -1
Kk =
ik (l) ik - (l) ik - (2) ik (2)
ми
2iITO
k - k (!) 0 0 (1)
(3.7.55)
0 0 k (2) _e2iITO k
(2) 4x4
(l) Си (~;
- - 1
(l) Филиал)-A (2) Си ~\
- --1
-A (2) СИ (2)
K =
1 1 -1 -1
до e2i "0 1 1 0 0
(3.7.56)
0 0 1 e2iTeb" 1 16xl6
ПРОЖИВАНИЕ БЕЗ ПИТАНИЯ (I) ПРОЖИВАНИЕ БЕЗ ПИТАНИЯ (I) - ПРОЖИВАНИЕ БЕЗ ПИТАНИЯ (2) - ПРОЖИВАНИЕ БЕЗ ПИТАНИЯ (2)
K =
ФИЛИАЛ (l) ФИЛИАЛ (!) - ФИЛИАЛ (2) - ФИЛИАЛ (2)
м. 2iTeO
ФИЛИАЛ ми (I) ФИЛИАЛ (l) 0 0
(3.7.57)
0 0 Си O (2) e2iITb "jj
0 (2) 16x4
106 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
Порядок особенности в температуре и полях тяги определен устанавливая детерминант 20 x 20 матриц в Eq. (3.7.53) к нолю. Это эквивалентно
(3.7.58)
или
(3.7.59)
Обратите внимание что основные тоны 8 в Eq. (3.7.58) и Eq. (3.7.59) являются недвойными; они данные как 6 k и 6e, соответственно. Для полубесконечной трещины в гомогенном твердом веществе, Eq. (3.7.58) результаты
1
6 k =--
2
Основные тоны ofEq. (3.7.59) даны в [42] как
6 = _l
до 2
(3.7.60)
(3.7.61)
Они находятся в множестве 4. Они имеют результатом пять r-1I2 особенностей когда 6 k = 6e, который может обратиться в логарифмические особенности. Для данного случая, напряжение и электрические особенности замещения в трещине наконечнике могут быть одни из следующих случаев: r-1I2 , r-1I2 ln j r (j=0~3). Для трещин интерфейса, основного тона, корня Eq. (3.7.58) все-еще-I12, и основные тоны Eq. (3.7.59) будут [53]
6 = _ l±ia,-l±K (3.7.62)
2 2
где a и K являются действительными числами в зависимости от учредительных констант. Для определенных специальных bimaterials, может быть нолем [53]. В такой ситуации, три r-1I2 особенности могут преобладать, они могут также быть обращены в логарифмические особенности. Вышеупомянутый анализ показывает что порядок особенности для температурного поля всегда имеет обратный тип квадратного корня для трещины в гомогенном твердом веществе и лежащий в интерфейсе bimaterial. Особенности тяги в трещины-вершинах, однако, может меняться в зависимости от различных материалов.
3.7.3 Трещина Гриффита в гомогенном piezoelectricity
Как приложение рецептуры, развитой в Подразделе 3.7.1, рассмотрите
трещину длины 2a с ее вершинами, расположенными в XI =-a и XI = в бесконечном  thermo-пьезоэлектрическом материале, подвергнутом униформной нагрузке T = и llz = в бесконечности. Поверхность трещины без тяг и без расходов и сохранена в
3.7 Растворы Фурье преобразовывают метод 107
нулевой температуре. Поведение трещины-вершины может быть найдено, рассматривая следующие условия:
U (l) (xl' 0) = U (2) (xl' 0), IXII> a
IXII> a
~ (1) (xl' 0) = ~ (2) (xl' 0), IXII> a
1 (l) (xp 0) = 1 (2) (Xl' O) =-T =,
~ (1) (Xp 0) = ~ (2/XP O) = - ~ =, IXII <a
T (xl' xJ~O, IILJ (xl, X2) ~0, когда (X12 +x ~) ~ oo
1) Температурное поле
(3.7.63)
(3.7.64)
(3.7.65)
(3.7.66)
(3.7.67)
(3.7.68)
Eqs. (3.7.63) ~ (3.7.68) может быть применен к результату управляющего двойного интеграла уравнения при помощи дополнительного условия среды имеющего отношение к температуры полю, чтобы добавить Eq. (3.7.63). Это может быть выполнено, вводя дополнительную функцию, скажем d, таким способом, который
d (l) (XI' 0) = d (2/XI' 0), IXII> a
d (j) (Zt) = Q (j) (Zt) + Q (j) (Zt) 'j=1,2
1 (il (Zt) = A*Q (j) (Zt) + A*Q (j) (Zt)
где A* - сложная константа, которая будет определена, Zt = Xl + P; x2, и
Q (l) (Zt) = f 0 = соль ~ (_ ~) eiqz (d ~
Q (2) (Zt) = Lnj ~ * (~) электронный-iqZld ~
fa* (-~) = 10* (~), соль ~ (-~) = соль ~ (~)
(3.7.69)
(3.7.70)
(3.7.71)
(3.7.72)
(3.7.73)
(3.7.74)
Замена Eqs. (3.7.72) ~ (3.7.74) в Eq. (3.7.70) и Eq. (3.7.71) дает результаты
d (1) (zt) = f 0 = [соль ~ (~) e-i {Зона огня + соль ~ (~) ei;Zf Jd ~, x2> 0 (3.7.75)
d (2) (Zt) = Л = [fo * (~) e-i;Zf + 1o * (~) ei;Zf Jd ~, x2 <0
1 (1) (z), =, если 0 = [A*g ~ (~) ei;Zf - A*g ~ (~) e-i {Зона огня J~d ~, x2> 0
1 (2) (z), = я Л = [A*fa* (~) e-i;Zf - A* 10* (~) ei;Z (] ~d ~, X2 <0
Сравнение Eq. (3.7.77) и Eq. (3.7.78) с Eq. (3.7.10) представляет
fo (~) =-i~A*fa * (~)
пойдите (~) =-i~A* соль ~ (~)
Это следует из Eq. (3.7.64) что
(3.7.76)
(3.7.77)
(3.7.78)
(3.7.79)
(3.7.80)
108 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
(3.7.81)
Вставка Eqs. (3.7.75), (3.7.76) и (3.7.81) в Eq. (3.7.69), и Eq. (3.7.77)
и Eq. (3.7.78) в Eq. (3.7.66), найдено что
соль fom ~ (~ {l-~:) электронный-iqxld ~ + fomg ~ (~ {l-~:} iqXld ~ = O, IXII> a
(3.7.82)-L = i~A*g ~ (~) электронный; qXld ~ + Л = i~A*g ~ (~) ei~Xld ~ = _Tn, IXII <(3.7.83)
Это может видеться что Eq. (3.7.82) будет тривиально если 1-A* / A* = 0. Поэтому, постоянный A* должен быть выбран так, чтобы 1-A* / A* *-0, например, A* = я = ~. Теперь, обозначьте реальные и воображаемые партии соль ~ (~) как
соль ~ (~) = qs (~) + iqa (~) (3.7.84)
где qs (~) и обеспечение качества (~) являются двумя реальными функциями ~. Начиная с температуры T = симметрично о Xl = 0, можно показать что анти-симметрическая партия на левой стороне Eq. (3.7.82) и Eq. (3.7.83) может быть взято как ноль, то есть, обеспечение качества = 0, и полагая Eq. (3.7.84) в Eq. (3.7.82) и Eq. (3.7.83) приводит
f 0 = q, (~), потому что (xl ~) d ~ = 0, Xl> ° (3.7.85)
(3.7.86)
Пара Eqs. (3.7.85) и (3.7.86) -стандартные двойные интегральные уравнения.
Раствор уравнений дан [54]
qs (~) = 2a ~ J л (~) Tn (3.7.87)
где Jl (~) является Бесселевой функцией первого вида с порядком один. Замена
Eq. (3.7.84) и Eq. (3.7.87) в Eq. (3.7.79) и Eq. (3.7.80) дает
соль ~ (~) = - j ~* (~) = ~Jl (~) T = (3.7.88)
2~
где знак (~ определен как
{
Я,
знак (~) =-1,
0,
Eq. (3.7.88) может быть помещено в Eq. (3.7.77) и Eq. (3.7.78), давая результат
(3.7.89)
(3.7.90)
3.7 Растворы Фурье преобразовывают метод 109
[
~I) = Ре iZt 1 = 2 2 112 - 1 T,
(-Zt)
(3.7.91)
[~ 1 ~2) =Re 2 - 2112 - 1 T =,
(-Zt)
(3.7.92)
Eq. (3.7.91) и Eq. (3.7.92) представляют температурное поле границы
проблемы значения заявленой Eqs. (3.7.64), (3.7.66) и (3.7.68).
2) Упругие и электрические поля
Чтобы упростить происхождение, мы вводим следующую нотацию:
соль * (~) = {соль (~)-jj-:jjOgo (~)/i ~, ~> O (3.7.93)
соль (~) - B-Bogo (~)/i ~, ~ <0
f * (~) = {f (~) _ ~-l~ofo (~)/i ~, ~> O (3.7.94)
f (~) - Си-IBofo (~)/i ~, ~ <0
Eq. (3.7.29) может таким образом быть написано как
ilz (l) (Xl, O) =-iL = [jjg * (~) электронный-i~Xl-Bg*c ~) ei~Xl J~d ~ (3.7.95)
ilz (2) (xi' 0) =-i Л [Bf*c ~) электронный-i~Xl - jj T (~) ei~Xl J~d ~ (3.7.96)
Как следствие, Eq. (3.7.65) дает
jjg* (~) = Bf*c ~) (3.7.97)
Смещение трешины открытия и электрический потенциал вдоль x2 = 0 получены заменяя Eqs. (3.7.93), (3.7.94) и (3.7.97) в Eq. (3.7.27) , чтобы дать результат
AU (xl) = 2Re [f 0 = (iCBf*-bfo ~-l) электронный-iqX'd ~]
где
Замена
AU (xl) = U (l) (Xl) - U (2/XI), X2 = 0
C = я (АВ 1 - Ajj-л)
b = я [(-АВ-IBO) - (Ao - Ajj-ljjo)]
a* = f* - j ~ Си-IClb
я ~
(3.7.98)
(3.7.99)
(3.7.100)
(3.7.101)
(3.7.102)
приводит к паре двойных интегральных уравнений, объединяя Eqs. (3.7.63), (3.7.67),
(3.7.99) и (3.7.102):
(3.7.103)
110 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
-f 0 = ir; (Ba * электронный-isx1
- Jiit eiSX1
) доктор; = 2C-Ib f o =. фа (r;), потому что (xlr;) доктор; - ~ =, IXII <a
(3.7.104)
Ради удобства определим
обеспечение качества = Ре (Ba *), q, = Im (Ba *) (3.7.105)
или
q = Ba* =q +iq s (3.7.106)
где о и q, две реальных функции r;. Eq. (3.7.103) и Eq. (3.7.104) могут
таким образом быть переписаны как
(3.7.107)
f 0 = r; [q, (r;), потому что (xl) - обеспечение качества (r;) грех (xlr;)] доктор; = До-Ib f o=fo (r;), потому что (xlr;) доктор; - ~n, IXiI <a
(3.7.108)
Вышеупомянутая пара двойных интегральных уравнений определяет обеспечение качества функций и q. Они
обеспечение качества (r;) =0
q=iq, = ~~ (До-Ibr - ~cY <) JtCar;)
(3.7.109)
(3.7.110)
Это может видеться от Eqs. (3.7.93), (3.7.94), (3.7.102), (3.7.109) и (3.7.110)
что
fer;) = ~; л (n; XO + BoT") J] (площадь;)
соль (r;) = a:; л (n; n + BoTn) J] (площадь;)
(3.7.111)
(3.7.112)
Замена Eq. (3.7.111) и Eq. (3.7.112) в Eqs. (3.7.27) ~ (3.7.29) и
(3.7.98) дает результаты в
U (1) =Re [ЗВУКОВАЯ ЧАСТОТА (z) B-l (~ = +BoT =)-AoF (2;) T =], x2> 0 (3.7.113)
U (2) = Ре [ЗВУКОВАЯ ЧАСТОТА (z) B-1 (~ = + BoT =) - AoF (z), T =], x2 <0 (3.7.114)
L'lU (xl' 0) = (c~m-br') (a2-x; i/2, IXII <(3.7.115)
~ (l) = - Ре [BPF* (z) B-I (n; n + Bor) + Бибоп; F* (2;) Tn J, X2> 0
(3.7.116)
~ (2) = - Ре [BPF * (z) B-l (~ = +BoT =) + Bop~F * (zt) T =], x2 <0
(3.7.117)
3.8 Трещины формы пенса 111
~ (I) =Re [BF * (z) B-I (~ = + BoT =)-BoF * (Z;) T =], x2> 0 (3.7.118)
~ (2) = Ре [BF* (z) B-) (. ll; ~ + BoT") - BoF" (zt) T"], x2 <0 (3.7.119)
где
F (z) = диагональ [F (z)) F (Z2) F (zJ F (Z4)]
F * (z) =diag [F * (z)) F * (Z2) F * (Z3) F * (Z4)]
F (z) = (Z2 _a2) 1I2_z
* z
F (z) = 2 2 1/2 (z-a)
3) Поля трещины-вершины
(3.7.120)
(3.7.121)
(3.7.122)
(3.7.123)
Полярная система координат (r, fJ) центрировала в вершине трещины с
(x)' x2), = (a, 0) и fJ =0 вдоль первоклассной строки взята. Позвольте переменной z быть данной как
z = + r (cosfJ + psinfJ) (3.7.124)
Напряжение и электрическое поле смещения около вершины трещины могут быть получены взятием асимптотического предела Eqs. (3.7.113) ~ (3.7.119). Следовательно, ~ (j) III Eq. (3.7.118) и Eq. (3.7.119) становятся
II, (2) "'" ffRe {BP (fJ'P) B-I ~ = + [BP (fJ, p) ВИСМУТ
- Я f3 * (fJ, p;)] Bor}, x2> 0
(3.7.125)
~ (2) "'" ffRe {BP (fJ'P) B-) ~ = + [BP (fJ, p) ВИСМУТ
- If3 * (fJ, p;)] Bor}, x2 <0
(3.7.126)
где
P (fJ, p) = диагональ [f3" (fJ, p)) 13* (fJ, P2) 13* (fJ, P3) 13* (fJ, P4)] (3.7.127)
13* (fJ, p) = (потому что fJ + psin fJrl/2 (3.7.128)
3.8 Трещины формы пенса
В предыдущих разделах этой главы рецептуры, формулировки были получены с точки зрения прямоугольной системы координат. Рецептура, однако, неэффективна для осесимметричной проблемы electroelastic. В этом разделе представлены теоретические модели с точки зрения цилиндрической системы координат и используемые, чтобы проанализировать (a) re112
Глава 3 проблемы Thermo-electro-elastic
отклики упругого напряжения и электрического смещения в длинном пьезоэлектрическом цилиндре с концентрической трещиной формы пенса и (b) эффект упругого покрытия на поведении перелома пьезоэлектрического волокна с трещиной формы пенса. Обсуждение следует за развитием в [55].
3.8.1 Проблемное проведение темы и основное уравнение
Рассмотрите пьезоэлектрический цилиндр си радиуса, содержащей центрированной трещины формы пенса радиуса при осесимметричных электромеханических загрузках (рис. 3.6). Для удобства, цилиндрическая система координат (r, Си, z) возникнающая в центре трещины используется с z - ось вдоль оси симметрии цилиндра. Цилиндр, как предполагается, поперек изотропического пьезоэлектрического материала с poling направлением параллелен к z - ось. Это подвергнуто далекому- полю нормального напряжения, О'з = O' (r) и нормальное электрическое смещение, Дюжина = D (r).
z
y
x
Рис. 3.6. Трещина формы- пенса в пьезоэлектрическом цилиндре.
Учредительные уравнения для пьезоэлектрического материала, который является поперек изотропическим и poled вдоль оси Z может быть написан как [56]
(3.8.1)
(3.8.2)
(3.8.3)
3.8 Трещины формы пенса 113
(3.8.4)
(3.8.5)
(3.8.6)
в котором Ур, Uz обозначают смещения в r-направлениях и z-направлениях
соответственно.
В происхождении, выводе аналитического раствора, решения следующих потенциальных функций введены [57]:
3 0 армированных пластиков
Ур == L-"
Я или
(3.8.7)
где ll! (r, z) (я = 1,2,3) потенциальные функции, которые будут определены, kli и
k2i (я = 1,2,3) являются неизвестными константами.
Подставляя Eq. (3.8.7) в учредительные уравнения (3.8.1) ~ (3.8.6),
уравнения поля и уравнения градиента, у нас есть следующие управляющие уравнения:
~ (orp 1 orp) ~ {[] OflJ.} C11L.. - ~ + -' + L. C44 +k1i (CI3 +c44) +k2Je31 +els)---f =0
i~l или r или i~l УНЦИЯ
(3.8.10)
Следуя процедуре, представленной в [57], раствор, решение к Eqs. (3.8.8) ~ (3.8.1O) может быть принято в форме:
ll! (r, z) = болельщик i [A; (~) Io (~~), потому что (~z) + Си; До ~) exp (-~SiZ) ДЖО (~r) 1d ~ (3.8.11)
где AJ ~), BJ ~) (i=1,2,3) - неизвестные функции, которые будут определены,
J, 0 Бесселевые функции первого вида порядка n, и InC) измененные
Бесселевая функция первого вида и второго вида порядка n. Кроме того, Си'
kli и k2i (я = 1,2,3) определены
114 проблем Главы 3 Thermo-e1ectro-e1astic
1
s; = r::' i=I, 2,3
'в;
C44 + (cl3 +C44) ku - (e3l +esl) k2;
n; = ~---= - ~~ - ~ - ~~
Cll
c33kJi - e33k2;
(3.8.12)
(3.8.13)
какой n; (я = 1,2,3), определены следующим уравнением:
; + Миллиард; 2 + Cn; + D = 0 (3.8.14)
где
A=C44Kll+elS2 (3.8.15)
B = (KllC~3 - CllC33Kll + 2C13C44Kll - CllC44K33 +
2c13e~S +2cl3elSe3l-c44eil-2clleISe33)/cll (3.8.16)
C = (C33C44Kll - C~3K33 + CllC33K33 - 2C13C44K33 + c33e~S + 2c33elSe3l +
c33 eil-2c13elSe33 - 2c13e31e33 - 2c44e31e33 - 2c44e31e33 +clle; 3)/c11
(3.8.17)
(3.8.18)
Используя Eq. (3.8.11), следующие выражения для электрических и упругих полей
в растрескавшемся пьезоэлектрическом волокните могут быть получены
uz (r, z) = - tklif; ~ (~) Io (~~} в (~Z) d ~-
3 =
~.) JiS; f 0 Си; (~) Джо (~r) e-I; SiZd ~ + (r) z
; ~l
(3.8.19)
Ур (r, z) = t:; f; A; (~) Il [~~} OS (~Z) d ~ - tf; BJ ~) Jl (~r) e-I; SiZd ~
(3.8.20)
3
~) 2; s; f; Си; До ~) Джо (~r) e-I; SiZd ~-b (r) z (3.8.21)
; ~l
3 F = [~r) O "zz = - ~ S; ~ f 0 ~~ (~) Io---;; потому что (~z) d ~ +
3 LF;; f; ~B; (~) Джо (~r) e-I; SiZd ~ + до (r)
; ~l
(3.8.22)
3.8 Трещины формы пенса 115
(Jrr =-t: ~i f;' ~Ai (~) 10 [~~} OS (~Z) d ~ +
CII; ДО
12 t S~2 f 0 ~Ai (~) J2 [~~} OS (~Z) d ~ +
3 3
LFSif;' ~Bi (~) ДЖО (~r) электронный ;SiZd ~ + Cll-C
12 Lf ~n~B; До ~) J2 (~r) электронный ;SiZd ~
'~l 2 i~l
(3.8.23)
(Jzr =-t: ~i f; ~ A, (~) ЧЖИ [~~} в (~Z) d ~ + tF; f; ~B; До ~) ЧЖИ (~r) электронный ;SiZd ~
(3.8.24)
3
LF2i f на ~Bi (~) ДЖО (~r) электронный ;SiZd ~ + d (r) (3.8.25)
i~l
3 F f en [~r) 3 f <Эй Доктор = - t; S~i 0 ~Ai (~) ll-;; грех (~z) d ~ + t; F4i 0 ~BJ ~) Jl (~r) электронный ;SiZd ~
в котором
F; я = (C33kJi-e33k2,) Сай
2
-CI3 'F2i = (e33kli +K33k2,) Сай
2
-e31
F; я = [C44 (1+ku)-eISk2i] Си' F4i = [els (1+ku) +Kllk2i] Си
си (r) = c33D (r) - e33 ~ (r)
C33K 33 + e33
- -
до (r) = O' (r), d (r) = D (r)
(3.8.26)
(3.8.27)
(3.8.28)
3.8.2 Снижение трещины проблемы к решению Fredholm
интегрального уравнения
1. Пьезоэлектрический цилиндр с трещиной формы- пенса.
Иллюстрировать приложения рецептур, представленных в Разделе 3.8.1, мы полагаем, что растрескавшийся цилиндр, показанный в Рис. 3.6, подвержен следующим двум случаям граничных условий:
116 проблем Главы 3 Thermo-e1ectro-e1astic
(1) В первом случае мы предполагаем, что пьезоэлектрическая цилиндрическая поверхность свободна от сдвига, и поддержана таким способом что радиальный компонент вектора смещения исчезает на поверхности. Проблема определения
сбыта напряжения и электрического смещения около трещины эквивалентна тому из обнаружения сбыта напряжения и электрического смещения в полубесконечном цилиндре z ~ 0, ° ~ r ~, когда его граница плоскости z = °подвергнута условиям
O "zz (r, O) = 0, ° ~ r <a
uz (r, O) =O, <r <си
; (r, O) =O, <r <си
O "с пассивной паузой (r, O) =O, O~r <си
Дюжина (r, O +) = Дюжина (r, O-), O~r <a
Er (r, O +) = Er (r, O +), ° ~ r <a
и его кривая граница r = си подвергнута условиям
Ур (си, z) =O, O "с пассивной паузой (си, z) =0, Доктор (си, z) =O, z~O
(3.8.29)
(3.8.30)
(3.8.31)
(3.8.32)
(3.8.33)
(3.8.34)
(3.8.35)
От граничных условий (3.8.31) ~ (3.8.35), и использование Фурье
теорему инверсии так же как теорему инверсии Hankel, мы получаем
Bj (;) = MjBj (;), B2 (;) = M2Bj (';), B3 (;) = M3B3 (;) (3.8.36)
1 3 1 3
Aj (;) = (;) ~N1i (';) j; / ';), A2 (;) = (;) ~N2i (;) 1; я (';),
1 3
A3 (;) = (;) ~N3; (O!;; (;) (3.8.37)
где
(3.8.38)
(3.8.40)
Nli (;) = [(h13 (;) h22 (;) - hj2 (;) h23 (;)] g3i + [(hj2 (;) h33 (;) - h13 (;) h32 (;)] соль 2i +
[(h23 (;) h32 (;) - h22 (;) h33 (;)] gji (3.8.41)
3.8 Трещины формы пенса 117
N2i (~) = [(h11 (~) h23 (~) - h21 (~) h13 (~)] g3i + [(h13 (~) h31 (~) - h11 (~) h33 (~)] g2i +
[(h21 (~) h33 (~) - h3J (~) h23 (~)] gJj (3.8.42)
N3; (~) = [(h12 (~) h21 (~) - hll (~) h22 (~)] g3i + [(hll (~) h32 (~)-h31 (~) h12 (~)] g2; +
[(h22 (~) ~1 (~) - ~1 (~) ~2 (~)] g1i (3.8.43)
с
(3.8.44)
(3.8.45)
(3.8.46)
Из Ур.(3.8.29)-(3.8.30) , мы можем получить систему дуальных интегральных уравнений

До' ~ (M1F; 1 + M2F; 2 + M3F; 3) B1 (~) ДЖО (~r) d ~ =-c (r), 0 ~ r <(3.8.47)
f 0 (M1k11 S1 + M2k12S2 + М. i13s3) B1 (~) Джо (~r) d ~ = 0, <r <си (3.8.48)
 Eq. (3.8.47) и Eq. (3.8.48) могут быть решены, используя функцию lj / (a) определенную
(3.8.49)
где lj / (O) = O.
Используя следующие решения интегралов:
f = S.I n (sz) ми - ЕСЛИ-ДЮЖИНА = 2 S 2 'f =, потому что (sz) ми-uzdz = 2 u 2
o s +u 0 s +u
(3.8.50)
f t rlo (~r) доктор = sinh (~t) f Джо (рутений) грех (единое время) du = sinh (святой) Ko (РТС) t <r
o. J t2 _ r2 ~ 'o S2 + u2 С
f = uJ (рутений) грех (единое время).
1 2 2 du = smh (святой) K1 (РТС), t <r
o s +u
болото u
2
Джо (рутений) грех (единое время) d-.. h () ()
2 2 U - S см святая РТС KO,
o s +U
t <r
(3.8.51)
(3.8.52)
(3.8.53)
118 Глав 3 проблемы Thenno-electro-elastic
f = u
2
J2 (рутений) Грех (единое время) d-.. h () K ()
2 2 U - S см святые 2 РТС,
o s +u
t <r (3.8.54)
Так же как решение интегрального уравнения
f = / (t ~ dt = соль (x), 0 <<л, <x <си
o (x - t t (3.8.55)
которое дано
J (t) = 2sin 1ta d f t ug (u) du, <t <си
1t dt 0 (t 2 _ u2) I-a
(3.8.56)
Мы можем получить интегральное уравнение Fredholm второго вида в следующей
форме:
фа 2 фа ре (r)
lj / (a) + lj / (f3) Л (a, fJ) dfJ = - J доктор
o 1trno 0 a2 _ r2
(3.8.57)
где
Л (a, fJ) =-:-± F; j f ~-l-sinh (qal± ~Nj; (q) Sinh [qfJ) КИ [qb) dq
1t rno J=I Sj L1 (q) Sj 1=1 s; s; s;
(3.8.58)
(2) Во втором случае мы предполагаем что пьезоэлектрическая цилиндрическая поверхность без тяг. Условия (3. 8. 29) ~ (3.8. 34), остаются тем же самым, но
граничное условие (3.8.35) заменено O "реакция на облучение (си, z) =0, O" с пассивной паузой (си, z) =0, Доктор (си, z) =O, z ~ O (3.8.59)
Используя процедуру, подобную этому в случае (1), мы имеем
1 3
АЙ (q) = L1 (q) t; [NI; (q).h; (q) + я:; (q) J2i (q) + W; я (q).hi (q)] (3.8.60)
1 3
A2 (q) = L1 (q) t; [N2i (q).hi (q) + ~/q) J2i (q) + W2/q} привет (q)] (3.8.61)
1 3
A3 (q) = L1 (q) t; [N3i (q).hi (q) + ~i (q) J2i (q) + W; я (q).hi (q)] (3.8.62)
в котором
f. (J:) = ~f = rl ВИСМУТ (7J) Джо (7 Jb) d f. (J:) = ~f = 7J2B я (7J) J2 (7Jb) d (3.8.63)
2." 0 2 2 J:2 7J, 3, '"0 2 2 J:2 7J
1t 7J ~ +." 1t 7J ~ +."
Nli (q) = [h52 (q) - h42 (q)] [~3 (q) g2i - h23 (q) g3i] +
[h53 (q) - h43 (q)] [h22 (q) g3i - ~2 (q) g2;] (3.8.64)
1 I:i (q) = ~ [~3 (q) ~2 (q) - h22 (q) ~3 (q)] g5i (3.8.65)
3.8 Трещины формы пенса 119
1
W:ti (До;) = ~ [h23 (до;) h32 (До;) - h22 (до;) h33 (До;)] соль 4i (3.8.66)
N2Jc;) = [hS3 (До;) - h43 (до;)] [~ I (до;) g2i - h21 (до;) g3J +
[hstCc;) - h41 (до;)] [h23 (до;) g3i - h33 (до;) g2i] (3.8.67)
1
~i (До;) = ~ [h21 (до;) ~3 (До;) - h23 (до;) h31 (до;)] gSi (3.8.68)
1
W2i (До;) = ~ [h21 (до;) h33 (До;) - h23 (до;) h3tCc;)] соль 4i (3.8.69)
N3i (До;) = [hsl (До;) - h41 (до;)] [~2 (до;) g2i - h22 (до;) g3i] +
[hS2 (до;)-h42 (до;)] [h21 (до;) g3i - ~I (до;) g2i] (3.8.70)
1
~i (До;) = ~ [h22 (до;) h31 (До;) - h21 (до;) h32 (до;)] gSi (3.8.71)
1
W3i (До;) = ~ [h22 (до;) h31 (До;) - h21 (до;) h32 (до;)] g4i (3.8.72)
L1 (до;) = \[-hS3 (До;) + h43 (до;)] ~2 (До;) + [hS2 (До;) - h42 (до;)] ~3 (до;) л h21 (До;) +
\[hS3 (До;) - h43 (до;)] h3J (До;) + [-hsJ (До;) + h4J (до;)] ~3 (до;) л h22 (До;) +
\[hSI (До;) - h41 (до;)] ~2 (До;) + [-hS2 (До;) + h42 (до;)] ~I (до;) л h23 (До;) (3.8.73)
с
h\i (до;) =-F42i II [-c; b), gli =F4iMi (3.8.74)
Сай Сай
h2i (до;) =-lS2i II [C-; b), g2i = lSiMisi (3.8.75)
Сай Сай
h3i (до;) =-1 II [-c; b), g3i = Misi (3.8.76)
Си s;
h (до;) = эль-e12 1 я (до; b) _ эль-e12 М. (3.8.77)
41 2 2 2 'g4i - 2 iSi
Сай Сай
hSi (До;) =!-ls2i 10 [-c; b), gSi = Фс; М.; s; (3.8.78)
Сай Сай
В вышеупомянутых уравнениях, висмут (ry) и j; я (до;) то же самое тем в случае (1).
Поэтому, соответствующее интегральное уравнение Fredholm для случая (2)
может быть получено и имеет точно ту же самую форму как Eq. (3.8.57) за исключением того, что косточка, ядро Л (a, p) заменено
120 проблем Главы 3 Thermo-e1ectro-e1astic
Л (a, p) = + t ~j f; _I_sinh (sa:t ~sinh [ИСПАНИЯ) x
n мама j~1 си i1 (S) Sj i~1 Сай Сай
[Nj; (S) K {: ~ J-~ Pj; (S) Ka (: ~ J + ~ Wj; (S) K2 [: ~) 1dS (3.8.79)
Обобщенный фактор интенсивности напряжения может таким образом быть выражен с точки зрения lj / (S)
как [57]
K" = K [= lim ~2n (r - a) O "z (r, 0) = ~mOlj / (a)
r---+a + a
(3.8.80)
KD = литий ~ ~2n (r-a) Дюжина (r, 0) = ~mllj / (a) (3.8.81)
r---+a a
KC = литий ~~ 2n (r-a) &z (r, 0) = ~m2lj / (a) (3.8.82)
r---+a a
KE = литий ~ ~2n (r-a) Ez (r, 0) = ~m3lj / (a) (3.8.83)
r---+a a
в котором
мама = - (MI~I +M2F; 2 +M3F; 3) (3.8.84)
мл = - (F2IMI + F22M 2 + F23M 3) (3.8.85)
m2 = - (klls~MI +kI2S~M2 +kl3s~M3) (3.8.86)
m3 = - (k21s; Мл +k22S~M2 +k23S~M3) (3.8.87)
и KeY, KD, Ks и KE - фактор интенсивности напряжения, электрическое смещение фактор интенсивности, фактор интенсивности растяжения и фактор интенсивности электрического поля, соответственно.
2. Покрытое пьезоэлектрическое волокно с трещиной формы пенса.
Предотвратить пьезоэлектрические цилиндры, такие как рассмотренные выше от механического отказа и увеличить прочность сцепления интерфейса между волокном и матрицей во время службы, эти цилиндры часто покрываются упругим уровнем [55,58]. Поэтому желательно понять эффект покрытия уровня на поведении перелома пьезоэлектрических волокон композитов. С этой целью, рассмотрим пьезоэлектрическое волокно с конечным упругим покрытием и содержащим центрированную трещину формы пенса радиуса под электромеханической осесимметричной загрузкой (Рис. 3.7). Волокно, как предполагается есть поперек изотропический пьезоэлектрический материал с poling, полюса направлением параллельно к оси Z, и резинке, эластичному
3.8 Трещины формы пенса 121
покрытию - также поперек изотропического материала. Они подвергнуты
далекого поля  нормальному растяжению, cz = до (r) и нормальной электрической загрузке, Ez = Ми (r).
Граничные условия этой проблемы [55]
lJzz (r, O) =O, O~r <a
л (r), K (r)
л (r), K (r)
Пьезоэлектрическое волокно
Упругое покрытие
x
(3.8.88)
(3.8.89)
Рис 3.7 Пьезоэлектрическое волокно с конечным упругим покрытием и содержащее трещину формы пенса при механической и электрической загрузке
; (r, O) =O, <r <си
lJrz (r, O) =O, O~r <си
Дюжина (r, O +) = Дюжина (r, O-), 0 ~ r <a
Ми. (r, O +) = Ми. (r, O +), 0 ~ r <a
D. (си, z) =O, O <z <=
(3.8.90)
(3.8.91)
(3.8.92)
(3.8.93)
(3.8.94)
Содержание и загружающиеся условия этой проблемы определены:
(1) Условия содержания для упругих смещений и тяг в интерфейсе между волокном и упругим покрытием
(3.8.95)
(3.8.96)
(2) Загружающиеся условия в бесконечности
122 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
cz (r, =) =E" (r), Ez (r, =) =E (r), до ~ (r, =) =E" (r)
(3) Загружающие условия на наружной поверхности покрытия
u ~ (d, z) = 0, (J" ~z (d, z) = 0, 0 <z <=
(3.8.97)
(3.8.98)
Выражения для электрических и упругих полей в растрескавшемся волокне даны Eqs. (3.8.l9) ~ (3.8.26). Упругое поле замещения в уровне покрытия может
быть получено, рассматривая следующие потенциальные функции:
2 Полковника rPc
UC = "k До _u _ '_.
z L.... Я Полковник'
i~l uZ
2 0 rPc
U ДО = Л - Я
r j~l или (3.8.99)
Потенциальные функции для упругого уровня покрытия могут затем быть написаны как:
<Я {("z) ~ До z [q';) J" [!; J+D, (';) Ko [~; J} O *'Z) d'; (38100)
С Eq (3.8.100), упругие смещения и усилия в упругом покрытии могут быть
даны в форме
u; (r, z) ~ - tk; f; [До, ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ" [!;) + D, До';) K" [~;)} в ('; Z) d'; + () z
(3.8.101)
u; (r, z) ~ t: f, [до, см [~;)-D' (c) K, [~;)] co'C'; z) d'; (38102)
o-~ (r, z) ~-t i; f;.; [скорострельный) J" [!;) + D, (';) Ko [:;)], ПОТОМУ ЧТО (fZ) d'; +
crl - C~2 t-h-f; ~ [Cj (~) J2 [~~) + Ди (~) K2 [~~ J], ПОТОМУ ЧТО (~Z) d ~
2 l~l Сдж Сдж Сдж
(3.8.103)
o-; (r, z) ~-t; ~ f;.; [До, До';) J, [:;) - D, (';) K, [~;)} в ('; Z) d'; (3 8 104)
в котором
до до
F до _ До kC c2 _ Cll + cl2
.3, · - Cl3. S. 2
(3.8.105)
где верхний индекс "c" обращается к покрытию.
Используя граничные условия (3.8.88) ~ (3.8.96) и (3.8.98), Фурье
теорему инверсии и теорему инверсии Hankel, мы получаем
3.8 Трещины формы пенса 123
1 3 •
АЙ (~) = L1 (~) t; J NIJ ~) jli (~) + ~i (~) f2i (~) + ~i (~) привет (~) + 1'; я (~) f4i (~)]
(3.8.106)
1 3
A2 (~) = L1 (~) ~ [N2i (~) fli (~) + ~i (~) f2i (~) + W2i (~) привет (~) + Yzi (~) f4i (~)]
(3.8.107)
A3 (~) = L1: ~) t [N3i (~) j; я (~) + ~i (~) j; я (~) + ~i (~) j; я (~) + 1; я (~) j~i (~)]
где
3
CI (~) = Л [M3A (~) + M4; До ~) j;; До ~)]
i=1
3
C2 (~) = Л [MsA (~) + M6i (~) f2i (~)]
i=1
2 2
ДИ (~) = LMIiCi (~), D2 (~) = LM2iCJ ~)
; =1 i=1
Nli (~) = [H13 (~) H32 (~) - H12 (~) H33 (~)] gjj (~) +
[~3 (~) H32 (~) - HI2 (~) H33 (~)] hSi (~)
N2i (~) = [ПРИВЕТ я (~) H33 (~) - H31 (~) H13 (~)] gjj (~) +
[hl1 (~) H33 (~) - H13 (~) H31 (~)] hs; До ~)
N3i (~) = [HI2 (~) H31 (~) - HII (~) H32 (~)] gli (~) +
[~2 (~) H31 (~) - Hl1 (~) H32 (~)] hsi (~)
~i (~) = [h13 (~) H32 (~) - hl2 (~) H33 (~)] H2i (~) +
[h12 (~) H13 (~) - h13 (~) H12 (~)] H4; До ~)
~i (~) = [~J ~) H33 (~) - ~3 (~) H3J ~)] H2; До ~) +
[h13 (~) HII (~) - привет я (~) H13 (~)] H4i (~)
~i (~) = [~2 (~) H31 (~) - ~J ~) H32 (~)] H2; До ~) +
[привет я (~) HI2 (~) - hl2 (~) HII (~)] H4i (~)
~i (~) = [~3 (~) HI2 (~) - hl2 (~) H13 (~)] hsi (~)
W2i (~) = [hll (~) H13 (~) - ~3 (~) HII (~)] hsi (~)
~i (~) = [~2 (~) HII (~) - hll (~) HI2 (~)] hsi (~)
1'; я (~) = [~3 (~) H12 (~) - hl2 (~) H13 (~)] h9i (~)
(3.8.108)
(3.8.109)
(3.8.110)
(3.8.111)
(3.8.112)
(3.8.113)
(3.8.114)
(3.8.115)
(3.8.116)
(3.8.117)
(3.8.118)
(3.8.119)
(3.8.120)
124 проблемы Главы 3 Thermo-e1ectro-e1astic
1'; я (~) = ['11 (~) HI3 (~) - h13 (~) Hll (~)] h9i (~)
~J ~) = [h12 (~) Hll (~) - '11 (~) H12 (~)] h9i (~)
Литий (~) = hll (~) [H13 (~) H32 (~) - H12 (~) H33 (~)] +
h12 (~) [Hll (~) H33 (~) - H31 (~) H13 (~)] +
h13 (~) [HI2 (~) H31 (~) - HII (~) H32 (~)]
где j~i (~), hii (~), gii (~), и Hii (~) определены
(3.8.121)
(3.8.122)
(3.8.123)
(3.8.126)
(3.8.127)
(3.8.128)
(3.8.129)
(3.8.130)
(3.8.l31)
(3.8.l32)
(3.8.133)
(3.8.134)
(3.8.135)
3.8 Трещины формы пенса 125
Mli (~) = g132 (~) g14i (~) - g152 (~) g12i (~)
g132 (~) g151 (~) - glS2 (~) gl3l (~)
M2; До ~) = gl3l (~) g14i (~) - glS1 (~) gl2i (~)
gl3l (~) glS2 (~) - glSl (~) g132 (~)
Gli (~) = g2; До ~) + g31 (~) M1J ~) + g32 (~) M2i (~)
G2; До ~) = gIOi (~) - glll (~) Mli (~) - gll2 (~) M2i (~)
M3i (~) = G22 (~) h2i (~) - GI2 (~) hIOi (~)
G22 (~) Gll (~) - G12 (~) G21
M4i (~) = G22 (~) h3i (~) ~ + GI2 (~) hll; До ~)
G22 (~) Gll (~) - GI2 (~) G21
MSi (~) = G2I (~) h2; До ~) - Джил (~) hlO; До ~)
G21 (~) GI2 (~) - GIl (~) G22
M6i (~) = G21 (~) h3; До ~) + ql (~) ~Ii (~)
G21 (~) GI2 (~) - GIl (~) G22
ti (~) = g4; До ~) - gSI (~) MIi (~) - gS2 (~) M2, (~)
1f (~) = [g7i (~) - g6i (~)] ~ + [g91 (~) - gSl (~)] ~Ml; До ~) +
[g92 (~) - gS2 (~)] ~M 2i (~)
Hli (~) = ti (~) M3i (~) + t2 (~) MSi (~) - h4i (~)
H2i (~) = tl (~) M4i (~) + t2 (~) M6; До ~)
H3i (~) = 1] (~) M3i (~) + r2 (~) MSi (~) - [h7i (~) - h6i (~)] ~
H4i (~) = 1] (~) M4i (~) + r2 (~) M6i (~)
(3.8.l36)
(3.8.l37)
(3.8.l38)
(3.8.139)
(3.8.140)
(3.8.141)
(3.8.142)
(3.8.143)
(3.8.144)
(3.8.145)
(3.8.146)
(3.8.147)
(3.8.148)
(3.8.149)
(3.8.150)
(3.8.151)
(3.8.152)
От Eqs. (3.8.88), (3.8.89) и (3.8.106) ~ (3.8.110), следующая система
 двойных интегральных уравнений может быть выведена:
_L' ~ [F~I lor ~rJAI (~) + F~2 lor ~rJA2 (~) + F ~ и се [~r) A3 (~) л d ~ +
СИ л СИ S2 л S2 S3 S3
f ~n ~ (МИ ~ I + M2~2 + M3~3) ВИСМУТ (~) Джо (~r) d ~ =-c (r), 0 ~ r <a
(3.8.153)
126 проблем Главы 3 Thermo-e1ectro-e1astic
f; (M1klls1 + М. 2k12s2 + M3k13s3) B1 (;) Джо (; r) d; = 0, <r <си
(3.8.154)
где Ми уступлены Eq. (3.8.38).
Найдено что вышеупомянутые двойные интегральные уравнения (3.8.153) и (3.8.154) также дает результат интегральное уравнение Fredholm (3.8.57), за исключением того, что косточка, ядро Л (a, p) заменено
(3.8.155)
3.8.3 Числовая оценка
Чтобы иллюстрировать приложения растворов,решений представленных выше, рассмотрим растрескавшийеся пьезоэлектрический волокна композит как показано в Рис. 3.7. Свойства материала, используемые в анализе
(1) Пьезоэлектрическое волокно.
Упругие константы (1010 N/m2): Cll = 16.8, Cl2 = 6.0, C33 = 16.3, C44 = 2.71.
Пьезоэлектрические константы (C/m2): e15 = 4.6, e31 =-0.9, e33 = 7.1.
Диэлектрические диэлектрические постоянные (10-10 Flm): dll = 36, d33 = 34.
(2) Упругое покрытие.
Упругие константы (1010 N/m2): Cll = 0.83, Cl2 = 0.28, c\3 = 0.03, C33 = 8.68,
C44 = 0.42.
Это может видеться от Eqs. (3.8.80) ~ (3.8.83), что определение напряжения
фактора интенсивности требует решения функции ljf (;). Интеграла Fredholm
уравнение второго вида (3.8.57) может быть решено, в цифровой форме используя
Гауссовский состав, формулу квадратуры. В вычислении, си = 40 мм, s (r) = л Вола 10-5,и Ми (r) = 106 Энергий принята.
Изменения в нормализованной интенсивности напряжения учитывают с отношением трещины радиуса к радиусу волокна я си под различными толщинами и упругими константами из покрытия показаных на рис. 3.8 и рис. 3.9. Это может видеться из
3.8 Трещины формы пенса 127
Рис. 3.8, что фактор интенсивности напряжения уменьшается с увеличением отношения фт. Также очевидно, что толщина упругого покрытия имеет важный эффект на факторе интенсивности напряжения, стресса, и большая толщина приведет к более высокому распада уровеню и меньшее значение фактора интенсивности напряжения. Это означает что более толстый уровень покрытия может уменьшить трещины распространение.
0.75
.. r 0.74
8
~ 0.73
0
>::::' 0.72
{ 0.71
--....- ~- .... ~- ---------
" " "" " "" ' "
---d=0.05,
---d=0.06
- d=0.07"'"
~
~ 0.70
"'~
.. , .... ,
:.:: 0.69
0.68
0.0
стихарь
Рис.3.8. Изменение  интенсивности напряжения учитывает с  отношением под различными толщинами  покрытия.
Изменение в интенсивности напряжения учитывает с отношением под различными значениями упругого постоянного C33 уровня покрытия графически изображеного на Рис. 3.9. Это может видеться от фигуры, что фактор интенсивности напряжения может увеличиться или уменьшиться
с отношением в зависимости от значения C33 покрытия. Когда C33
0.76
.. r 0.75..§
~ 0.74
>::::' J 0.73:e:
~ 0.72 ~
1..:
0.71
до...........................
"" '" "
- C33=8.68, d=O.06 "'.
_. - c33 = I3.02, d=0.06""
---c33=21.7, d=O.06 '"'"."
0.0
стихарь
Рис.3.9. Изменение  интенсивности напряжения фактора с отношением под различными значениями упругого постоянного e33 покрытия.
128 Глав 3 проблемы Thenno-electro-elastic
покрытие больше чем то из пьезоэлектрического волокна, интенсивности напряжения фактор увеличится с увеличением / си. Очевидно, скорость затухания
интенсивность напряжения зависит сильно от значения C33, когда это меньше
чем то из пьезоэлектрического волокна.
3.9 Пьезоэлектрические композиты
В последнем разделе этой главы рецептуры представлены с точки зрения цилиндрической системы координат. В этом разделе, приложениях рецептур к
проблемам пьезоэлектрического тестирования нажатия композита обсуждены. Мы
запустим, представляя теоретическую модель пьезоэлектрической проблемы нажатия волокна и используйте это, чтобы проанализировать упругую деформацию и фрикционное скользящее поведение в одиночном пьезоэлектрическом волокна продвижения тесте. Теоретическая модель также используется в качестве  основания для того, чтобы основать debonding, выигрыша критерий для того, чтобы расследовать debonding, выигрыша процесс пьезоэлектрического волокна в тесте нажатия. Обсуждение следует
развитию в [59-61].
3.9.1 Теоретическая модель для пьезоэлектрического нажатия волокна
Физическую проблему, которая будет изучена, показывают в Рис. 3.10, где круговое пьезоэлектрическое волокно поляризовано в осевом направлении с радиусом встроенным, погруженным в центр коаксиальной цилиндрической матрицы с радиусом п и  общей длиной Л. Poling, Полюса направление пьезоэлектрического волокна параллельно осевому направлению. Загрузка
О'А применена в z = °, и матрица установлена в z = Л. В нашем анализе
матрицу считают поперек изотропической. Для простоты, цилиндрической координаты система (r, ми, z) используется.
' ~t-----------I---[" ~
I. L. 1 ~
Рис. 3.10 Пьезоэлектрическая цилиндрическая модель волокна/матрицы в волокне продвигает тест
Нужно упомянуть, что теоретическая модель, развитая здесь, базируется
на следующих двух успениях, допущениях: (a) осевые усилия свободны
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 129
радиального расстояния в любом разрезе соединения; (b) матрицы сдвига растяжение примерно даны 1y gI. ven где си y r с матрица смещения в угловом, осевом направлении ou ~ h z ·. d' 1. м. = - был UI/1, matnx ISP acement III
Или [62].
Общее отношение между растяжениями и усилиями дано [59,61]
r
EI/1 III.J; 2.J; 3 0 r
(} м.
ми h2 h) h3 0 Граммов ми (} м. (3.9.1)
&/~ j; 3 j; 3 j~3 0 () ~
r: ~ z 0 0 0 Iss с пассивной паузой 'м.
для поперек изотропической матрицы и
Ми; h').J; ~ h; 0 (); 0 g31
МИ
ми
j; ~ h'l h; 0 ми 0
[f (} f ~:l
+
g3)
(3.9.2)
Ми;.J;;.J;; я; 3 0 (); 0 g33
r7 0 0 0 Иза, 7 g) S 0
();
[~:l =-[g~l 0 0 g~s]
ми
+ [K)) или [D: 1 (} f (3.9.3)
g31 g33 (} r o K33 D
,7
для пьезоэлектрического волокна, где приписки "I" и "m" обращаются к волокну и матрице, верхние индексы обозначают координатное направление (r, ми, z), Ii; и () ~(я = r, ми, z, и j = м., I) растяжения и стресса компоненты, соответственно. В Eq. (3.9.2) и Eq. (3.9.3), Ди и Эи - компоненты электрического смещения
(NV-lm-l) и электрическое поле (Vm-I ), gij и Kij являются пьезоэлектрическими
коэффициентами (Vm~l) и диэлектрические константы (NV-\и Iij и.1;;
компоненты упругого согласия [61].
Уравнения поля пьезоэлектрического волокна, подвергающегося  осевого направления симметричной деформации об оси Z могут быть выражены как
(} Z a, с пассивной паузой, с пассивной паузой
-. Я +-.1-+-.1-= 0 унций Или r
':l r ':l с пассивной паузой r ми
U (}.I u '.I (} j-(} j
--+--+ =0
Или Унция r
oDr тесло Доктора
--+-+--=0
Или r унция
(3.9.4)
(3.9.5)
(3.9.6)
130 Глав 3 проблемы Thenno-electro-elastic
Равновесие между осевым напряжением и граничным напряжением может быть выраженно как da, ~, 2r () или - = - 'r. Z
дюжина'
(3 .9.7)
dar 2
&=-~ 'ri (Z) (3.9.8)
в котором r = a2 / (b2- a2) и 'ri (z) – граничное, межлицевое сдвига напряжение.
Электрическое поле, Ei, определено
Er = _ o; EZ = _ o;
Или 'унция (3.9.9)
Упростить происхождение теоретической модели и без поражения общности, осевые усилия j и a; как предполагается, функции Z только, и электрический потенциал, который вызван упругой деформацией волокна - также независимый ofr [61], то есть,
j =aj (z), a, ~, =a: (z), ; = ; (z) (3.9.10)
Используя Eqs. (3.9.3), (3.9.6), (3.9.9), и (3.9.10), электрические смещения в
волокне могут быть выражены с точки зрения матричных усилий как
ДЮЖИНА = дл sa j, Доктор = дл s'rj (3.9.11)
в котором скидка (= KIIgIs) является пьезоэлектрическим коэффициентом.
Теперь необходимо найти выражение напряжения волокна с точки зрения некоторых получаемых функций. В тесте нажатия, хотя электромеханического сцепления эффект в Eq. (3.9.2) и Eq. (3.9.3), рассмотрен, следующее успение, допущение все еще приемлемо [59,61]:
j (z) = ~ (z) = qi (Z) (3.9.12)
где qi (Z) является граничным радиальным напряжением, являющимся результатом сокращения Пуассона между волокном и матрицей.
Граничное, межлицевое сдвига напряжение во фрикционном скользящем интерфейсе, управляется правилом [59] трения Кулона. Таким образом,
'ri (Z) =-.u [qo-q/z)] (3.9.l3)
где qo - остаточное волокно, зажимающее (сжимающее) напряжение в радиальном направлении вызванное матричным сжатием и отличительным тепловым сокращением coostituents, содержимого после охлаждения от температуры обработки, и.u трения коэффициент.
Оставшееся задание должно получить дифференциальное уравнение для j и радиальное
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 131
напряжение q; (z) из-за упругой деформации в соединениях с отлично связанным
взаимодействием через интерфейс или во фрикционном скользящем процессе после того, как интерфейс полностью debonded, выигран. Подробные происхождения для этих двух процессов обеспечены в следующих двух подразделах.
3.9.2 Трансфер напряжения в связанном интерфейсе
Трансфер напряжения имеет фундаментальное значение в определении механического свойства повторно-пере, усиленные- волокном композиционных материалов [63]. В первой стадии продвиньте процесс, упругое напряжение обычно переходит от упругой матрицы до упругого волокна через связанный интерфейс, который преобладает в упругой матрице / упругом волокон композите, и это зависит в значительной степени от микромеханических характеристик интерфейса волокна/матрицы. В интерфейсе в пьезоэлектрическом волокне
укрепленные соединения, трансфер напряжения затронут пьезоэлектрическим коэффициентом в дополнение к микромеханическим свойствам. Исследовать эффект пьезоэлектрического коэффициента на упругом трансфере напряжения, мы рассматриваем внутренние и внешние условия  границы матрицы
CT ~, (a, z) =q; (z), r;: (a, z) = r; (z), CT: (си, z) =O, r;: (си, z) =0 (3.9.14)
Затем от Eqs. (3.9.4), (3.9.8) и (3.9.14), мы получаем
с пассивной паузой () y (си
2
комната r, z - r2) () = r; z (3.9.15)
площадь
После процедуры, данной в [62], мы имеем
CT: (r, z) =:a: \217lb2 [В (r / b) + y (b2/r2 - 1) ln (си / a) J +
yq; (z) (b2/r2 - 1) +7h (b2-r2) (1-a2/r2)) (3.9.16)
CT! (r, z) =-yqJz) (1 + r2 / b2) +.. Л доктора; 1172 (b2 + r2) (1 + a2 / r2) + 4b2 +
4a дюжина \
277Jb2 [В (r / b) - y (b2 / r2 + 1) В (си / a) J + 2171 (b2 - r2)) (3.9.17)
Подставляя Eq. (3.9.16) и Eq. (3.9.17) в Eq. (3.9.1) получаем результаты
u: =yq; (Z) [U; 2 - 1; 1) b2/r2-;; 1 - 1; 2J +;; 3CT: +
r
:a: \217Jb
2
(fll + 1; 2) [ln (r/b)-yln (b/a)] +
217lb2y В (си / a) U; 2 - 1; I) b2 / r2 + 1; 1172 (b2 + r2) (1 + a2 / r2) +
1;217
2
(си 2
_ r2) (I-a2 / r2) + 4;; Ib2 + 21; 1171 (b2 - r 2)) (3.9.18)
132 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
au: =-2f13rQj (Z) +!: '3 (J, ~, + 2f13 Л d' j 12'71b2 [В (r I b) - r В (си I a)] +
УНЦИЯ 4a дюжина \
'71 (b2-r2) +2b2 + '72 (a2 +b2)}
(3.9.19)
Для полностью связанного интерфейса, условий сценария осевой и радиальной деформации между волокном и матрицей дают
u;', (a, z) =uj (a, z)
u: (a, z) = uj (a, z)
(3.9.20)
(3.9.21)
От Eqs. (3.9.19), (3.9.21) и (3.9.2), радиальное напряжение волокна получено как
Qj (z) =, 1 \r!: 3 (Ja-(r!: 3 +!: '3+g3As) (Джей-Джей +
2 (f13 + r ~3)
2~3: ~ [2'71 b\1+r) ln (л b) + '71 (си
2
-a
2
) +2b
2
+ '72 (a
2
+b2) J}
(3.9.22)
Затем, объединяя Eqs. (3.9.2), (3.9.18), (3.9.20) и (3.9.22) получим результаты дифференциальное уравнение (Джей-Джей как
d2 (J j (z) z
dz2 Al - (Jf (z) = ~ (Ja (3.9.23)
где  и две константы
(3.9.24)
(3 .9.25)
с
Кипа = ~; + ~ 'л-r (~ 2 - ~1) b2 л a
2 +r (~l + ~2) (3.9.26)
2 (~~ + r ~ 3)
C1 = 2'71b2 (~I + ~2) (1 + r) В (a/b) + 21J1b2r В (си I a) (~ 2 - ~ 1) b2 I a2 +
2~1'72 (2 +b2) +4~lb2 +2~1'71 (b2 _a2) (3.9.27)
C2 = 2'71b2 (1 + r) В (я b) + '71 (b2 - a2) + 2b2 + '72 (a2 + b2) (3.9.28)
(3 .9.29)
(3.9.30)
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 133
Используя граничные условия напряжения
O "j (O) = O"' O "j (L) = 0 (3.9.31)
сбыт осевого напряжения в пьезоэлектрическом волокне дан
O "j (z) =KI sinh (JA" z) +K2 дубинка (JA "z) - ~ O" (3.9.32)
АЙ
где КИ и K2 определены
~ - (1 + ~ J дубинка (JA" L)
АЙ АЙ
K I - фа O "(3.9.33)
sinh (\j АЙ L)
K2 = (я + ~~ ДЖО "(3.9.34)
Кроме того, использование Eqs. (3.9.4), (3.9.5) и (3.9.12), qi (Z) может быть выражено как
d2 z
Z O "j
q; (z) =NIO "a-NPj +N3d; 2 (3.9.35)
где N; (i=I, 2,3), даны
N I = r/; 3, N 2 = r/; 3 + 1; 3 + g3As, N3 = _ rCd13 (3.9.36)
2 (J; ~ + r 113) 2 (J; ~ + r J; 3) 4
Из Eqs. (3.9.3), (3.9.11), (3.9.32) и (3.9.35), электрическое поле' может
быть вычислено
EZ (z) =-2g3Iq; (z) + [~ - g33) O "j (Z) (3.9.37)
K 33
3.9.3 Фрикционное скольжение
Однажды интерфейс debonds выигрыш  полностью, фрикционное скольжение волокна из окружающая матрица начнется, который является последней стадией процесса нажатия. Чтобы лучше характеризовать этот этап,  теоретический анализ проведен, дирижирован с микромеханической моделью, показанной на рис. 3.11.
Рис.3.11 Матрица- волокна цилиндрическая модель для фрикционного скольжения в тесте нажатия
134 Главы 3 проблемы Thenno-electro-elastic
Ради простоты мы принимаем маленькую упругую деформацию и  большое замещение в загруженном волокном конце во время скольжения. Поэтому, резинки, эластичная деформация волокна может быть пренебрежима, и волокно осевое смещение 0 приблизительно равняется скользящему расстоянию волокна s, то есть, 0::::: s.
Подобно математической работе для Eq. (3.9.23), мы имеем от условия сценария радиального замещения Eq. (3.9.20)
q. (z) = r 1; 3 реакции на облучение _ r 1; 3 + 1; ~ + g3A s rrZ +L ~ drj
V v J (3.9.38)
Я ДИ ДИ 4a дюжина ДИ
Подстановка Eq. (3.9.38) в Eq. (3.9.13) дает управляющее уравнение для O "j
d20 "j (z) делают" j (z) z
-.... ми., 2 = - +E1 +E20 "J (z) =E3 (3.9.39)
дюжина дюжины
где Эдж (i=1, 2,3) дают
МИ
__ 4aDI
1- ,
f./yCI
E = 8D1 (r 1; 3 0" _ q)
3 дистанционных управления D 0 1 1
с
Используя граничные условия напряжения
O "j (s) =O"' O "j (L) =0
Eq (3.9 39) решено, и раствор, решение получено
МИ
O "j (z) =K3eA, tZ +K4e~z + _3
E2
где s - скользящее расстояние волокна и K3, K4, ~, ~ дают
1 =-1E - 1 ~ МИ 2 - 4E "2 2 1 2 1 2
(3 .9.40)
(3.9.41)
(3.9.42)
(3.9.43)
(3 .9.44)
(3.9.45)
В процессе, граничные, меж-лицевые сдвига напряжение, управляется законом трения Кулона уступленным, данным в Eq. (3.9.13). Замечая, что волокно и матрица поддерживают контакт в радиальном направлении, мы имеем
uj (a, z) = u:n (a, z)
Затем, радиальное напряжение может быть выражено как
d2 z O "J
qj (z) =M1-MPa +M3d; 2
(3.9.46)
(3.9.47)
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 135
где М.; (i=1,2,3) дают
M = _yCI
3 8D Я
(3.9.48)
Используя Eqs. (3.9.3), (3.9.11), (3.9.43) и (3.9.47), электрическое поле может быть
полученно как
(3.9.49)
Замечание, что сумма радиального напряжения волокна должна быть негативом, и волокно и матрица могут связаться с друг другом во время скользящего процесса волокна, радиальное напряжение должно удовлетворить выражение
qo-q; (z) ~O (3.9.50)
Согласно сбыту волокна подчеркивают поля в тесте нажатия, осевое напряжение достигает своего максимального значения в загруженном волокном конце z = s (s ~ 0, и s определены в Рис. 3.7), в то время как граничные, меж-лицевые сдвига напряжение, достигает его минимума значение в том же самом месте. Затем Eq. (3.9.50) дает результаты
qo-q; (s) =O (3.9.51)
Поэтому отношения между прикладным напряжением O "a и осевым смещением
8 в загруженном волокном конце может быть дано как
q (1-m 1 2eAIS - м. 1 eA:1S)
0" = 0 3"1 4"2
1;; + ~3 IdI5 + Y ~3 (m3A, 2eAIS + m4Az 2eA:1S) + ~~ I (n3A, 2eAIS + n4Az 2eA:1S)
Я Я Я
(3.9.52)
eA:1L _ eA:1S
m =---,-----,------,-
3 2; (eAIL +A2S _ eAIS+A:1L),
(3.9.53)
eA:1L
n 3 = ми AIL+A2S _ eAIS + A:1L '(3.9.54)
3.9.4 Частично модель debonding выигрыша
Считайте снова физическую завязку действия показанную на рис 3.1O, но теперь граничная, меж-лицевая трещина debonding, выигрыша длины я расположена в интерфейсе между пьезоэлектрическим волокном и матрицей (см. Рис. 3.l2).
136 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
v r11i •
Л
I-z -
C-
· 1 2b
Направление Poling
Рис. 3.12 Пьезоэлектрическая модель нажатия волокна при электрической и механической загрузке
1. Механическая загрузка
Используя механические граничные условия (3.9.31) и процедуру
подобную тому в [64], поля напряжения в debonded, выигрыша регионе (0::::; Z::::; I) полученный как
где
Их (f13 +g3I СКИДКА) O "j +vmO", ~,
qj (z) =
Ми/11 (1; 1 + 1; 2) +1+2y+v/11
O", ~, (z) = yw [0" * + O "J [I-exp (-Азимут)]
O "j (z) =O "-w [O" * +O" aJ [1-exp (-Азимут)]
K = _ Ми/11 (1; 3 + g3ldlS) - YV/11
Ми/11 (1; 1 + 1; 2) + 1 + 2y + V/11
W = __ Электронный"./11, - (.:.... 1; - 13 _ +....:g =. c3 '-'.1 d_l",-s,-) Их (1; 3 + g3l dlS) - YV/11
, 1, = 2J1x
a
* % 0" =--
WK
(3.9.55)
(3.9.56)
(3.9.57)
(3.9.58)
(3.9.59)
(3.9.60)
(3.9.61)
(3.9.62)
Растворы полей напряжения в связанном регионе (/::::; Z::::; L)
даны
(3.9.63)
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 137
где
(Tj (l) = (T, = (Ta - {(T* + (Ta] [1-exp (-АЙ)]
_ 2 [y+E, Jh3 +g3As)-2K (Y)) 1I1-EII/J; 3)]
, - (1 +)) "J [2yb2 дюйма (си л a)-a2]
2 [Y + 2 (y)) 111-EII/J; 3) (w-I) K]
A2 =-~----=-----~----~
(1 +)) 111) [2yb2 В (си I a) - a2]
(3.9.64)
(3.9.66)
(3.9.67)
(3.9.68)
Электрическому полевому Ez в обоих debonded и связанные области дают как
(3.9.69)
2. Электрическая и механическая загрузка
Растворы, решения представленные выше, просят проблемы с механической загрузкой только. Чтобы получить растворы, решения из-за электрической и механической загрузки, мы переписываем учредительные уравнения (3.9.2) и (3.9.3) в следующей форме [56,60]:
&z
J
2&f
J;, J; 2 J; 3
J; 2 J;, J; 3 ~ I: ~ + [~ ~:: [EElz'] J; 3 J; 3 h3 0 (Tj 0 d33
o 0 0 Iss Tf d, s 0
(3.9.70)
(3.9.71)
Рассмотривая Eqs. (3.9.6), (3.9.9), (3.9.10), (3.9.12), (3.9.70) и (3.9.71),
мы можем вывести, что электрический потенциал может быть получен и написан в
138 проблем Главы 3 Thermo-e1ectro-e1astic
форма
где
CI = _ V - I-f [2d13q; Cz) + (d33-dls) O "j (z)] дюжина, C2=V
Л e33L 0.
(3.9.73)
Электрические граничные условия в концах пьезоэлектрического волокна
даны как
; (O) = V, ; (L) = 0 (3.9.74)
где механические граничные условия даны Eq. (3.9.31).
Растворы, решения для сбыта напряжения в составляющих получены в
связанной области и debonded, выигрыша области, и являются точно тем же самым как те уступленные в Eqs. (3.9.56) ~ (3.9.58) и (3.9.63) ~ (3.9.65), за исключением того, что бесспорные переменные и параметры заменены следующим образом:
Их [.t; 3 - d13 (d33 - dls) / K33] O" / (z) + vmO":Jz) - Emd13CI
q; (z) =
Их (.t; л +.t; 2 - 2d1//K33) +1+2y+vm
Их [.t; 3-d13 (d33-dlS)/K33]-YVm
K =
Ми "J/; я +/; 2 - 2d13
2/K33) + 1 + 2y + Vm
Ми "Jt; 3-d13 (d33 - СКИДКА)/K33]
(j) =---=---=------------=---=----
Их [.1; 3 - d13 (d33-dls) / K33] - YVm
q* Их d13CI
(3.9.75)
(3.9.76)
(3.9.77)
(3.9.78)
(3.9.79)
(3.9.80)
_ 2 {Y + Эм Лх3 - d33 (d33 - скидка) / K33] - 2 K (YVm - Ми "J13 + Их d13d33 / K33)}
1-(1+vn), [2yb2 В (b/a)-a 2
]
{
[y + 2 (yvm - Em.t; 3 + Ми "A3d33 / K3J ((j)-l) K] +}
2 2 [yvm - Их (.t; 3-d13d33/K33)] Q*/O "+Emd33C1/O" a
(1 + VI/,) [2yb2 В (си / a) - a2
]
(3.9.81)
(3.9.82)
Электрическое поле Ez в обоих debonded выигрышах, развязанных и связанных областях  дано как
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 139
(3.9.83)
3.9.5 Граничный, меж-лицевой выигрыша, развязанный,  debonding критерий
В пьезоэлектрических волокнитах (PFCs), в отличие от непьезоэлектрического волокна соединения, есть электромеханические сцепления, вызванные пьезоэлектрическим или обратным пьезоэлектрическим эффектами. Поэтому, существующий debonding, развязанного, выигрыша критерий базировался на непьезоэлектрических волокнитах не применим к PFCs. Соединить пьезоэлектрический эффект в debonding, выигрыша, развязанного критерии мы рассматриваем растрескавшееся пьезоэлектрическое упругое тело  объема V, в котором тяга P, фрикционное напряжение t и поверхностный электрический заряд OJ наложен. Испания, Святая и ТАК), передача поверхности соответственно, как показано на  Рис.3.13. Ради простоты, матрица предполагается, является пьезоэлектрическим материалом чьи пьезоэлектрические коэффициенты и диэлектрические константы равны нолю. В нашем анализе, debonding, выигрыша, развязанного область взята, чтобы быть трещиной (см. Рис. 3.13).
Основанный на принципе энергетического баланса, изменение энергии в
пьезоэлектрической системе для трещины роста ЦРУ вдоль трения поверхности под электромеханической загрузкой
(3.9.84)
где Сборщик мусора - энергия перелома, Wr - работа, сделанная напряжением трения во время трещины роста
Рис. 3.13 Пьезоэлектрическое упругое тело с фрикционной трещиной под электромеханической загрузкой
140 проблем Главы 3 Thermo-e1ectro-e1astic
(3.9.85)
и соль - обобщенная механическая и электроэнергия, сохраненная в
пьезоэлектрическом теле
g = ~I (6' + 6'0): (0' + О'о) dQ-
2 n
~ I (D + Делают): (Ми + Eo) dQ - я PudS + я m;dS
2 n Испании ТАК)
(3.9.86)
в котором v - относительное падение первоклассных поверхностей, и к тангенциальный компонент предварительного напряжения (или начального напряжения) на первоклассных поверхностях. так' Делают напряжение саморавновесия и обобщенные государства напряжения, соответственно, и
s + Так 'D + Делают балансы прикладного напряжения и обобщенного напряжения.
Используя основную теорию piezoelectricity [Eqs. (3.9.1) ~ (3.9.9)], каждый может легко доказать соответствующий взаимный принцип работы и принцип
виртуальной работы для пьезоэлектрического материала
Ir t; u; 2dT - 2 Irml; dT + В си; u; 2dQ = Irt; 2u; dT - ;ldT Irm2 + В си; 2u; dQ
(3.9.87)
Я t; 6UjdT + я bj6u реакция на облучение n jdQ - я rO) ~6;dT + я n be6;dQ = я n (O'ii&ii - Dj6 Эдж) dQ
(3.9.88)
Используя эти два принципа (3.9.87) и (3.9.88), можно доказать что
энергетический уровень освобождения против возрастающей debonding, развязанного, выигрыша продолжительности равен граничной, меж-поверхностной, меж-лицевой Соли стойкости перелома ic, 'который является [60]
2naG = автоморфизм
Я в (3.9.89)
в котором Единое время - полная упругая энергия и электроэнергия, сохраненная в волокне и матрица, которая может быть выражена в следующей форме:
Единое время = я: Я: (О'Джс (-ДЮЖИНА EO) rrrdrdz + r I: (О'ДЖС (-ДЮЖИНА EZ) rrrdrdz +
I:S: [(~:: 2 + 2 (1;:n,) (r;:) 2} rdrdz +
r s: [(O ':Y + 2 (1+vm) (r:;') 2] nrdrdz (3.9.90)
Эм Их
Затем следующий энергетический критерий введен:
Соль; ~Gic (3.9.91)
где Gic - критический интерфейс debonding, развязанного, выигрыша энергетического уровня освобождения.
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 141
В Уравнении (3.9.90), Единое время - сложная функция свойств материала
составляющих и геометрических факторов. Исполнение некоторых математических манипуляций на Eq. (3.9.90) по debonded, развязанным и связанным областям для системы соединения пьезоэлектрической эпоксидной смолы, используя числовую квадратуру приближения и затем замена результатом в Eq. (3.9.89), мы можем получить Соль; как функцию второго порядка прикладного напряжения u для системы волокна/матрицы с данной debonding, развязанного длины t.
3.9.6 Числовые примеры
Иллюстрировать приложения рецептур развивалось в этом разделе, числовая оценка представлена для гипотетического пьезоэлектрического волокна/эпоксидной смолы сложной системы. Свойства материала и геометрические характеристики пьезоэлектрического волокна, матрицы и интерфейса [61]
SII = 0.019 (GPafi, S33 = 0.015 (GPafi, SI2 =-0.0057 (GPafi
s13 =-0.0045 (GPafi, S55 = 0.039 (GPafi, d33 = 390 x 10-12 м. y-i
d31 =-d15 =-190xlO-12 мой-I, g33 =24xlO-3 YmN-I
g31 =-11.6x 10-3 YmN-I, e33 = 16.25 x 10-9 Ny-2
Их = 3GPa, J) м. = 0.4
Радиусы волокна и матрицы: = 0.065 мм, си = 3 мм, и I = 0.6 мм, Л = 2 мм. Остаточный зажим волокна подчеркивает в шине с радиальным кордом направлением qo, как предполагается, являются-0.01 С.Б.Б. и, u=0.8 [59].
Рис. 3.14 показывает сбыт усилий и электрического поля как функции безразмерного осевого расстояния z/L для частично debonded, развязанной пьезоэлектрической сложной системы, подчиненной постоянному внешнему напряжению u = 1.5 С.Б.Б в тест нажатия волокна. В вычислении debonding, развязанной длины, как предполагается, 1 = 0.6mm. Для сравнения и иллюстрации эффекта электромеханических сцепление на напряжении передачи поведении, соответствующий сбыт усилий для непьезоэлектрического волокна  композита (NPFC) также графически изображен в Рис. 3.14. Это показанно, что у изгибов для PFCs и NPFCs есть подобные формы. Когда подвергнут прикладному напряжению того же самого значения, осевое напряжение u f в PFC меньше чем в NPFC (Рис. 3.14a). Это может также видеться из Рис. 3.14a и Рис. 3.14d что и осевые и радиальные усилия в волокне постепенно уменьшаются как z / Л увеличений.
Рис. 3.14c демонстрирует, что есть большее радиальное напряжение в PFC, и это распадается
142 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
более быстро чем это в NPFC, которые приводят к большему интерфейса сдвига напряжению в debonded, развязанной области PFC на Рис. 3.14b из-за правила трения Кулона [Eq. (3.9.13)]. Это явление может быть приписано пьезоэлектрическому эффекту в пьезоэлектрическом волокне; большее прикладное напряжение требуется в PFC поставить то же самое осевое напряжение как в непьезоэлектрических волокна композитах. Различие в полях напряжения между этими двумя сложными системами управляют пьезоэлектрическими коэффициентами, которые были исследованы в нашей предыдущей работе [59] для полностью связанных соединений. Когда пьезоэлектрические коэффициенты и диэлектрические константы установлены быть нолем, пьезоэлектрическое волокно ухудшается к непьезоэлектрическому волокну. Рис. 3.14d показывает изменение электрического поля как функция осевого расстояния zlL. Изменение Ez с zlL очень подобно тому из волокна осевого напряжения.
1.6
1.4
1.2
oj 1.0
По. Y 0.8
'1:,'-,0.6
0.4
0.2
0.00.0
0. D25
0.020
t"; 0.015
МИ '"0 '-, 0.010
0.005
0.0000.0
0.2
0.2
- Пьезоэлектрический
---Непьезоэлектрический
0.4 0.6
zlL
(a)
- Пьезоэлектрический
---Непьезоэлектрический
0.4
zlL
(c)
0.07r--------------,
0.06
OJ 0.05
По. Y 0.04
3:
,:,- 0.03
I.v
0.02r-_...........:l"
0.01
0.000.0 0.2
- Пьезоэлектрический
---Непьезоэлектрический
0.4 0.6
zlL
(b)
zlL
(d)
0.8 1.0
Рис. 3.14.График (a) волокна осевое напряжение, (b) интерфейса сдвига напряжение, (c) волокна радиальное напряжение, (d) электрическое поле для пьезоэлектрического волокна продвижению при механической загрузке.
Рис. 3.15 показывает сбыт усилий и электрического поля как функции
безразмерного осевого расстояния zlL для частично debonded, развязанной пьезоэлектрической сложной системы, подчиненной электрической загрузке и постоянному внешнему напряжению
3.9 Пьезоэлектрические волокниты 143
(Ya = Лос С.Б.Б. в волокне продвигают тест. Изучить эффект положительной и
отрицательной электрической загрузки на трансфере напряжения, электрические потенциалы SOOO V, o V и-SOOO V применены на конец пьезоэлектрического волокна (z = 0).  Рис. 3.lSa показывает что волокно осевое напряжение под отрицательным электрическим потенциалом распадается более быстро чем под положительным электрическим потенциалом. Это может также видеться
из Рис. 3.lSc, в котором отрицательный электрический потенциал приводит к большему радиальному напряжению в пьезоэлектрическом волокне чем делает примененный положительный электрический потенциал, вызывая больше
фрикционного интерфейса сдвига напряжение соответственно в debonded регионе на Рис. 3.lSb. Это то, потому что, когда пьезоэлектрическое волокно подвергнуто электрическому потенциалу прикладная параллель к направлению поляризации, расширение происходит в том же самом направлении и сжатие происходят в поперечном направлении [2S]. Для позитивного прикладного электрического потенциала, заболевшее, петли напряжение кольца является сжимающим, в то время как для негативного примененный электрический потенциал, заболевшее, петли напряжение кольца растяжимо. На Рис. 3.lSd, сбыт электрического поля в пьезоэлектрическом волокне графически изображен через йте, и это зависит сильно от прикладного электрического поля.
1.2
~'" 1.0
3S:2: 0.8
't', - 0.6
0.4
0.2
0.00.0
0.012
0.011
0.010
0.009
'" 0.008 13 0.007
~ 0.006
~0.005
'" 0.004
0.003
0.002
0.001
0.0000.0
0.2
0.2
- +5000V
OV
-*-5000 V
0.4 0.6
zlL
(a)
zlL
(c)
- +5000V
- + - 0 V
-i:r-5000 V
0.018,---------------,
0.016~~;;;;
0.014
~ 0.012
§?,0.010
~,..; _0.008
0.006
0.004
0.002
0.0000.0 0.2
МИ 5
S> ~ 0
~ ~N-5
-10
0.4
zlL
(b)
zlL
(d)
- +5000 V
- OV
-i:r-5000 V
0.6 0.8
- +5000 V
- + - 0 V
-i:r-5000 V
1.0
Рис.3.15. График  волокна осевого напряжения, (b) интерфейса сдвига напряжение, (c) волокна радиальное напряжение, (d) электрическое поле для пьезоэлектрического волокна продвигает при электрической и механической загрузке
144 Главы 3 проблемы Thermo-electro-elastic
Ссылки
[1] Mindlin R Д. Экуэйшнс высокочастотных колебаний thermopiezoelectric кристалла
тарелки. Интервал. Дж. Солидс Стракт., 1974, 10:625-637.
[2] Nowacki W. Некоторые общие теоремы thermo piezoelectricity. J. Тепловые Усилия, 1978,
1:171-182.
[3] Данн М Л Микромеханики двойных electroelastic соединений: эффективный тепловой
расширение и пироэлектрические коэффициенты. J. App\. Физика, 1993, 73:5131-5140.
[4] Benveniste Y. Точные результаты в микромеханике волокнистых пьезоэлектрических соединений
показ pyroelectricity. Proc. Р. Сок. Lond., 1993, A44\:59-81.
[5] Ashida F, Tauchert T R, метод функции Ноды Н. Потентиэл для piezothermoelastic
проблемы твердых веществ кристаллического класса 6 мм в цилиндрических координатах. J. Тепловые Усилия,
1994, 17:361-375.
[6] Алтайская Соль A, D6kmeci М. К. Фандэментэла вариационные уравнения прерывистых
поля thermopiezoelectric. Интервал. Дж. Энг Счи, 1996, 34:769-782.
[7] Noda N, Кимура С. Деформэйшн piezothermoelectric сложной тарелки, рассматривая
эффект сцепления. J. Тепловые Усилия, 1998,21:359-379.
[8] Ashida F, Tauchert T замысел Р. Финайт дифференса обратного переходного piezothermoelasticity
проблемы, J. Тепловые Усилия, 1998, 21:271-293.
[9] Shang F Л, Ван З K, Литий Z H. Тепловой анализ напряжения ofa трехмерная трещина в a
твердое вещество thermopiezoelectric. Инженер Фрэк. Механик, 1996,55:737-750.
[10] Ю Шоувен, Qin Qinghua. Анализ повреждения thermopiezoelectric свойств: партия
I - взломайте особенности подсказки. Theore. App\. Frac. Механик, 1996, 25:263-277.
[11] Ю Шоувен, Qin Qinghua. Анализ повреждения thermo пьезоэлектрических свойств: вторая часть
- эффективная трещина mode\. Theore. App\. Frac. Механик, 1996, 25:279-288.
[12] Qin Qinghua. Используя теорию GSC для эффективного теплового расширения и пироэлектрический
коэффициент растрескавшихся пьезоэлектрических твердых веществ. Интервал. Дж. Фрэк., 1996, 82:R41-R46.
[13] Qin Qinghua. Ю Шоувен. Эффективные модули thermopiezoelectric материала с
микрополости. Интервал. Дж. Солидс Стракт., 1998,35:5085-5095.
[14] Qin Qinghua. Мэй И В, Ю Шоувен, Эффективные модули для thermopiezoelectric
материалы с микротрещинами. Интервал. Дж. Фрэк., 1998, 9\:359-371.
[15] Qin Qinghua. Мэй И В. Первоклассное предсказание роста наклоненной трещины в полуплоскости
твердое вещество thermopiezoelectric. Theore. App\. Frac. Механик, 1997,26:185-191.
[16] Qin Qinghua. Мэй И В. Многократные трещины в thermoelectroelastic bimaterials. Theore
App\. Frac. Механик, 1998,29:141-150.
[\7] Qin Qinghua. Функция Зеленого цвета Thermoelectroelastic для пьезоэлектрической тарелки, содержащей
овальная лунка. Мать механика., \998, 30:21-29.
[18] Qin Qinghua, Мэй И В. Функция Зеленого цвета Thermoelectroelastic и ее приложение для
Ссылки 145
bimaterial пьезоэлектрических материалов. Дуга. Приложение!. Механик, 1998,68: 433-444.
[19] Qin Qinghua, Мэй И В. Закрытая первоклассная модель подсказки для интерфейса раскалывается в
thermo-пьезоэлектрические материалы. Интервал. Дж. Солидс Стракт., 1999,36:2463-2479.
[20] Qin Qinghua. Функция зеленого цвета и ее приложение для пьезоэлектрической тарелки с различным
открытия. Дуга. Приложение!. Механик, 1999,69:133-144.
[21] Qin Qinghua. Анализ Thermoelectroelastic трещин в пьезоэлектрической полуплоскости BEM.
Compu. Механик, 1999,23:353-360.
[22] Qin Qinghua. Функция зеленого цвета для thermopiezoelectric материалов с лунками различных
формы. Дуга. Приложение!. Механик, 1999,69:406-418.
[23] Qin Qinghua. Функция Зеленого цвета Thermoelectroelastic для тепловой загрузки внутри или на
граница овального включения. Мать механика., 1999, 31:611-626.
[24] Qin Qinghua. Взаимодействие Thermopiezoelectric макрои микротрещины в пьезоэлектрическом
среднего размера. Theore. Приложение!. Frac. Механик, 1999,32:129-135.
[25] Tiersten H F. Линейные пьезоэлектрические колебания тарелки. Нью-Йорк: Нажатие Пленума, 1969.
[26] Партон V Z, Кудрявцев Б А. Electromagnetoelasticity, piezoelectrics и электрически
проводящие твердые вещества. Нью-Йорк: Гордон и Научные Издатели Нарушения, 1988.
[27] Мэйсон В П. Пьезоэлектрические кристаллы и их приложение к ultrasonics. Нью-Йорк: Фургон
Nostrand, 1950.
[28] Biot М. А. Тэрмоелэстикити и необратимой термодинамики. Дж. Апп!. Физика, 1956, 27:
240-253.
[29] Най Дж Ф. Физические свойства кристаллов. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, 1957.
[30] Lekhnitskii S Г. Зэори эластичности анизотропного упругого тела, Сан-Франциско:
Holden-дневный, 1963.
[31] Stroh. Дислокации и трещины в анизотропной эластичности. Phi!. Мэг., 1958, 3:625-646.
[32] Суо З. Сингулэритис, интерфейсы и трещины в несходных анизотропных СМИ. Proc. Р. Сок.
Lond., 1990, A427:331-358.
[33] Барнетт Д М., Лозэ Дж. Дислокэйшнс и строка взимает в анизотропных пьезоэлектрических изоляторах.
Физика. Stat. Так!. (b), 1975,67:105-111.
[34] So sa проблемы Х. Плэйна в пьезоэлектрических СМИ с дефектами, Интервалом. Дж. Солидс Стракт., 1991,
28:491-505.
[35] Qin Qinghua. Новый раствор для thermopiezoelectric твердого вещества с изолированной овальной лункой.
Деяния Mechanica Sinica, 1998,14:157-170.
[36] Qin Qinghua. Мэй И В. Новый thermoelectroelastic раствор для пьезоэлектрических материалов
с различными открытиями. Деяния Mechanica, 1999, 138:97-111.
[37] Ван С С, Чой 1. Трещина интерфейса между несходными анизотропными композиционными материалами.
J. Приложение!. Механик, 1983, 50: 169-178.
[38] Lothe J, Барнетт Д М. Составного формализма для поверхностных волн в пьезоэлектрических кристаллах:
соображения существования. Дж. Апп!. Физика, 1976,47:1799-1807.
[39J Chadwick P, Соль Смита Д. Фундэйшнс теории поверхностных волн в анизотропной резинке
материалы. Реклама. Приложение!. Механик, 1977, 17:303-376.
146 Глав 3 проблемы Thermo-electro-elastic
[40J Звон T До T. Некоторые личности и структура Ni в формализме Stroh анизотропных
эластичность. Q. Прикладной. Mathe., 1988, 46: Я 09-120.
[41 Звон J T CT. Явное решение и постоянство особенностей в интерфейсе раскалываются в
анизотропные соединения. lnt. Дж. Солидс Стракт., 1986,22:965-983.
[42J Qin Qinghua. Ю С В. Логарифмическая особенность в первоклассных подсказках в пьезоэлектрических СМИ.
Китайский Научный Бюллетень, 1996, 41:563-566.
[43J Звон T До Т. Эффектс изменения ссылки координирует на анализе напряжения
анизотропные упругие материалы. lnt. Дж. Солидс Стракт., 1982, 18: 139-152.
[44J Демпси Дж П, Си Синклера Г. На особенностях напряжения в эластичности плоскости
сложный кусок. Дж. Элэстикити, 1979,9:373-391.
[45J Jirousek J, Леон Н. А сильный конечный элемент для наклона тарелки. Комбинированный Денатурат. Прикладной.
Инженер механика, 1977, 12: 77-96.
[46J Qin Qinghua. Конечное Trefftz и метод граничных элементов. Саутгемптон: Нажатие ОСТРОУМИЯ,
2000.
[47J Qin Qinghua. Решение проблем антиплоскости пьезоэлектрических материалов конечным Trefftz
подход элемента. Compu. Механик, 2003,31:461-468.
[48J Qin Qinghua. Вариационные рецептуры для TFEM piezoelectricity. lnt. Дж. Солидс Струк.,
2003, 40:6335-6346.
[49J Треффц Э. Эин gegenstiick zum ritzschen verfahren. В: Слушания 2-ой Международный Конгресс
Прикладная механика, Цюрих, 1926, pp.131-137.
[50J Симпсон Х К. Спектор С Дж. На позитиве второго изменения конечной эластичности,
Дуга. Рациональный Анальный Механик., 1987,98:1-30.
[51J Зиелинский P, Zienkiewicz 0 До. Обобщенный анализ конечного элемента с T-complete
граничные функции раствора. Интервал. Дж. Нумер. Денатурат. Инженер, 1985, 21:509-528.
[52J Динг Х Дж, Ван Г К, Чен В К. Граничная составная рецептура и 2-ой основной тон
растворы для пьезоэлектрических СМИ. Comput. Денатурат. Прикладной Инженер Механика, 1998, 158:65-80.
[53J Suo Z, До Kuo М., Барнетт Д М., и др. механика Перелома для пьезоэлектрической керамики. J.
Твердые вещества Физики механика, 1992,40:739-765.
[54J Sneddon I Н. Фурье преобразовывает. McGraw-Hill Book Company, Inc., 1951.
[55J Qin Qinghua. Ван Дж С, Литий X Л Эффекта упругого покрытия на поведении перелома
пьезоэлектрическое волокно с трещиной формы пенса. Структуры соединений, 2006, 75:465-471.
[56J Qin Qinghua. Механика перелома пьезоэлектрических материалов. Саутгемптон: Нажатие ОСТРОУМИЯ,
2001.
[57J Янг Дж Х, Ли К И. Пенс сформировал трещину в пьезоэлектрическом цилиндре, окруженном
упругий среднего размера подвергнутый объединенным механическим и электрическим нагрузкам в плоскости. lnt. J.
Твердые вещества Struct., 2003, 40:573-590.
[58J Xiao Z М., Bai J. Числовое моделирование на покрытом пьезоэлектрическом датчике, взаимодействующем a
трещина. Конечный Элемент. Анальный. Дес., 2002, 38: 691-706.
[59J Qin Qinghua, Ван Дж С, Канг И Л. Теоретическая модель для electroelastic анализа в
пьезоэлектрический тест нажатия волокна. Реклама. Прикладной Механик, 2006, 75:527-540.
Ссылки 147
[60] Ван Дж С, Qin Qinghua. Критерий Debonding для пьезоэлектрического волокна продвигает тест. Фил.
Мэг. Послания, 2006, 86: 123-136.
[61] Луи Х И, Qin Qinghua, Мэй И В. Теоретическая модель пьезоэлектрической вклейки большого формата волокна. Интервал. J.
Твердый Struct., 2003, 47:5511-5519.
[62] Занг X, Луи Х И, Мэй И В, и др. На установившейся вклейке большого формата волокна I: поле напряжения с
упругое граничное покрытие. Композит. Научная Технология., 1999,59:2179-2189.
[63] Jiang, X Y, Kong X Соль. Микромеханические характеристики волокна/матрицы взаимодействуют через интерфейс в
композиционные материалы. Композит. Научная Технология., 1999,59:635-642.
[64] Zhou Л М., Мэй И В, Вы Л Исследований волокна продвигают тест, основанный на переломе
подход механики. Композит. Инженер, 1995,5:1199-1219.
“Эта страница, оставленная преднамеренно, очищает.”