Микро макро теории гетерогенного Глава 5 проблемы

2, 53:815-838.
[35] Ху П Ф, Динг Х Дж, Чен Дж И. Функция зеленого цвета для поперек изотропического
СМИ magnetoelectroelastic. Интервал. Дж. Энг Счи, 2005, 43:826-858.
[36] Литий J Y. Функции магнитоэлектрического Зеленого цвета и их приложение к включению и
проблемы неоднородности. Интервал. Дж. Солидс Струк., 2002, 39:4201-4213.
Ссылки 181
[37J Динг Х Дж, Jiang М., Ху П Ф, и др. функции Грина для двухфазового поперек
изотропическая гальванопластика магнето упругие СМИ. Анализ инженера с Граничными элементами, 2005,
29:551-56l.
[38J Qin Qinghua. Функции зеленого цвета magnetoelectroelastic твердых веществ с полуплоскостью
граница или интерфейс bimaterial. Philos. Мэг. Послания, 2004, 84:771-779.
[39J Qin Qinghua. Функции 20 Грина дефектных magnetoelectroelastic твердых веществ под
тепловая загрузка. Аналитическая Граница инженера с Элементами, 2005, 29:577 - 585.
[40J Яо В А. Обобщенные вариационные принципы трехмерных проблем в
твердые вещества magnetoelectroelastic. Чинезе Дж. Компу. Механик, 2003, 20:487 - 489.
[41J Луи Дж X, Ван X К, раствор Вана Б. Генерэла для двойных уравнений поперек
изотропические magnetoelectroelastic твердые вещества. Прикладной. Mathe. Механик, 2003, 24:684-690.
[42J До Gao F, Noda N. Тепловым образом вызванное граничное взламывание magnetoelectroelastic
материалы. Интервал. Дж. Энг Счи, 2004, 42, 1347-1360.
[43J До Gao F, Фэн В X. Функции зеленого цвета для проблемы плоскости в полубольшом количестве
пьезоэлектрический среднего размера. Механик Рес. Commun., 1998,25:69-74.
[44J Qin Qinghua, Мэй И В. Функция Зеленого цвета Thermoelectroelastic и ее приложение для
bi-материал пьезоэлектрических материалов. Дуга. Приложение. Механик, 1998,68:433-444.
[45J Qin Qinghua. Механика перелома пьезоэлектрических материалов, Саутгемптона: Нажатие ОСТРОУМИЯ,
200l.
[46J Qin Qinghua. Функции зеленого цвета magnetoelectroelastic твердых веществ и приложений к
анализ перелома//Proc. 9-ой Международной конференции по вопросам Осмотра, Оценки, Восстановлений
& Поддержка Структур, 20-21 октября, Фучжоу, Китай, 2005:93-106.
[47J Stagni Л. На упругом полевом волнении неоднородным в эластичности плоскости. ZAMP,
1982,33:313-325.


Глава 5 Термо-электро-хемо-механическое сцепление
Много синтетических и естественных сред, которые часто описываются как полифункциональные умные материалы демонстрирующие thermo-electro-chemo-mechanical сцепления поведение и чувствительны к внешним экологическим стимулам. Эта глава подарит ряд основных уравнений, вариационный принцип и конечного элемента процедуру для того, чтобы расследовать двойное поведение thermo-electrochemo- упругих сред. Акцент здесь сделан представлению химических эффектов в двойную систему уравнения. Используя управляющие уравнения тепловой проводимости, электрического поля, ионного распространения и баланса импульса, вариационный принцип выведен для линейно двойной системы посредством свободной энергетической функции расширенного Гибба. Вариационный принцип затем привык  получить полностью двойную мультиполевую рецептуру конечного элемента для того, чтобы моделировать соединенное thermo-electro-chemo-elastic поведение таких сред. Числовой примеры, как рассмотрены иллюстрировать двойные явления материалов и проверить предложенную вариационную теорию и числовую процедуру.
5.1 Вводная часть
С быстрым развитием материальных наук и технологий, многие новые
многофункциональные материалы были созданы и относятся к организация производства, включая материалы, которые экспонируют двойное, спаренное мультиполевое поведение и взаимодействие среди полей. Например, дирижирующие полимеры широко использовались как искусственные мускулы и биодатчики [1-4], потому что полимеры дирижирования могут выполнять преобразование электрической, химической и механической энергии
и продемонстровать ответ на внешние экологические переменные включая
температуру, показатель степени кислотности среды и электрические и механические погрузки. Такие универсальные полимеры, которые, кажется, все более и более производятся, включают гидрогель и
184 сцепления Главы 5 Thermo-e1ectro-chemo-mechanica1
различные усовершенствованные полимеры [5-7]. Вообще, эти мультиполевые материалы состоят из твердой сети и жидкости антракта, и искажают в объеме и форме. Они может быть применены в практической разработке как биодатчики, искусственной кожи роботов, искусственных мускулов, и приводы головок адаптивных структур [2, 4].
С другой стороны, натуральные вещества, такие как биологические ткани, глины и сланцы экспонируют сильную опухоль и сжимающиеся свойства под химическими, электрическими и механическими стимулами. Например, суставной хрящ – пористое среднего размера в ванне электролита и его electro-chemo-mechanical сцеплении поведение не может быть проигнорировано. Этот хрящ состоит из гидратированного proteoglycans и волокна коллагена, которые творят волокнистые структуры, которые заманивают в ловушку их собственную воду. Выдержать внешние загрузки, включая механические и электрохимические загрузки, хрящ изменяет свою внутреннюю конфигурацию посредством воды и иона обменов [8-10]. Выступление влажных пористых сред также привлекло
внимание исследователей - историков и ученых за прошлые десятилетия [11,12]. Рано исследования в этом поле сосредоточились на взаимодействиях между твердым веществом и жидкостью во влажных пористых средах. Пороэластичная, poroelastic теория была развита [13, 14] и используема для того, чтобы получить различные числовые алгоритмы. Понятие эффективного напряжения
и уравнения массового баланса и баланса импульса творят первоначальную рабочую рамку poroelastic теории.
Используя poroelastic теорию [14], triphasic модель смеси пористых СМИ
был предложен, чтобы считать электрический эффект и эффект распространения вызванными ионами в жидкости [15]. В triphasic теоретической модели было принято пористое среднего размера быть составленным из твердого вещества, жидкости и ионов. Измененный массовый баланс и импульс уравнения баланса, в дополнение к ионному уравнению распространения, были введены.
Эти уравнения затем использовались, чтобы описать деформацию и напряжение
биологических мягких тканей как хрящ и получить соответствующий конечный элемент (FE) рецептуры [16]. Позже, quadriphasic модель была представлена,
исследовать квазистатическую конечную деформацию опухоли пористых несжимаемых сред, где ионы в жидкости – decompounded, разложены как анионы и катионы [17]. В этой модели правила баланса получены для каждой фазы и для смеси как  целая, quadriphasic модель, рассматривая электрический осмос и потоковую передачу текущих эффектов, может быть применена к анализу межпозвоночной дисковой ткани [18].  Позже, thermo-electro-chemo-mechanical рецептура, основанная на модель смеси quadriphasic была развита для конечного квазистатического деформация опухоли несжимаемых пористых сред [19]. Это примечательно что
5.2 Управление уравнениями offields 185
triphasic и quadriphasic модели принадлежат категории теории смеси
основанный на poroelasitic структуре пористых сред. Однако, эти две
модели обеспечивают уравнения баланса смеси только, и явная форма
учредительного правила не появляется в связанной литературе. Поэтому решение
из этих теоретических моделей в значительной степени зависит от формы учредительного правила используемого.
В дополнение к методам смеси, обсужденным выше, другие типы мультиполевого подхода была представлена в последние годы [20-27], чтобы открыть электро-хемо-механическое поведение сцепления пористых сред и попробовать объяснить взаимодействия среди полей. На основе этих теорий некоторые численные методы были развиты, чтобы решить двойного мультиполя
отличительные уравнения, включая прямые итеративные процедуры [22, 23] и FE
метод [24-27].
В этой главе, теоретической модели и соответствующей рецептуре FE
для thermo-electro-chemo-mechanical соединий проблемы представлены,
развиты, пересматривая линейно соединенные учредительные отношения и распространение свободной энергии традиционного Гибба включать химические эффекты. В отличие от предыдущей работы, теоретическая предложенная модель основана на недавно введенном линейном учредительном химическом правиле вместо правил баланса, которые использовались в triphasic и quadriphasic модели [15-19] смеси. Как существующий химикат управляющие уравнения не являются подходящими для анализа FE, мы запускаем, выводя  измененную форму основного уравнения для химического поля (Раздел 5.2). Расширяя свободную энергию традиционного Гибба включать химическое поле, мы получим линейные формы двойных учредительных правил и вариационного принципа
включая химический эффект (Разделы 5.3 и 5.4). Вариационный принцип
затем используемый, чтобы получить рецептуру FE (Раздел 5.5). Как особый случай сдвоенной, спаренной системы, сцепление, спаривание между химическими и механическими полями обсуждено подробно, и определение некоторых двойных параметров свойства также продемонстрированно (Раздел 5.6).
5.2 Управление уравнениями полей
Рассмотрим thermo-electro-chemo-mechanical тело объема Q ограниченной
поверхностью S. Управляющие уравнения, включая уравнение проводимости высокой температуры,
Уравнение Максвелла electrostatics, уравнения равновесия усилий, и
186 сцеплений Главы 5 Thermo-e1ectro-chemo-mechanica1
уравнения распространения ионов, следующие:
(1) Уравнения равновесия импульса усилий баланса уравнения.
(Jij.j + J; = 0, в 12 (5.2.1)
(2) Граничные условия.
Ui =ui 'на Su
(Jijnj = t; на S,
(3) Уравнение Максвелла electrostatics.
Ди, я = qb, в 12
(4) Электрические граничные условия.
; = ;, на S;
(5) Уравнение проводимости тепла.
привет'; = - Тори, в 12
(6) Тепловые граничные условия.
(5.2.2a)
(5.2.2b)
(5.2.3)
(5.2.4a)
(5.2.4b)
(5.2.5)
T = T, на Сэре (5.2.6a)
hini = hn' на Sh (5.2.6b)
В этих уравнениях, (J ij, Ди' и привет соответственно тензор напряжения, электрический вектор смещения, и высокой температуры потока вектор; J; и qh - механическая тела сила и плотность электрического заряда тела; ~ и t; предписанная поверхность смещения и тяги; ; и (j, предписанный электрический потенциал и поверхностный электрический заряд; T и hn - предписанное изменение температуры и высокая температура потока, сопли на поверхности S; ni - модуля прямой нормальный вектор на поверхность S; TJ - плотность энтропии; К ссылочная температура; и
S = Su + Sf = S; + SD = Сэр + Sh'
(7) Основные уравнения химического поля.
Правило Фика показывает, что массовый поток.g± пропорционален градиенту ионных сосредоточений Y' c± [28]
(5.2.7)
где "+" и "-" обозначают анион и катион, соответственно. Пропорциональное
коэффициенты qJi ~ обозначают коэффициенты распространения анионов и катионов, в зависимости от внутренних свойств в среды. Для изотропической среды, qJi ~ = rp± 0ij' c± являются инкрементами сосредоточений для аниона и катиона. Поэтому c± может быть связан с текущими сосредоточениями c± c± = до ~ + c±,
5.2 Управление уравнениями полей 187
где до ~ является ссылочными сосредоточениями. V = [~ ~]  градиента
действующая компания. Уравнения распространения конвекции ионов могут таким образом быть написаны как oc± + [rp±c± +) Tt+V. (условная цена)-V. RT* V; r =0 (5.2.8)
где v - скорость ионов, R - всеобщая газовая константа, и T* абсолютная температура. Первый термин в Eq. (5.2.8) представляет уровень изменения
из сосредоточений относительно времени. Второй термин обозначает
эффект конвекции, который описывает макроскопическое движение ионов. Третье
термин - распространение ионов. Электрический потенциал, поставленный ионом, очень маленький по сравнению с поставленным прикладным электрическим полем и поэтому проигнорированный.
Для движения ионов в жидкости первичный механизм - ионное распространение. Игнорируя эффект конвекции в Eq. (5.2.8), что означает что
макроскопическое движение ионов не рассматривают, мы имеем
0;;-\7. [~;.' \71'} O (5.2.9)
где J1± - химический потенциал. В классической физической химии, химиката
 потенциал и сосредоточения ионов есть следующие отношения:
J1± = J1 ~ + RT* lnc± (5.2.10)
где J1 ~ является ссылочным потенциалом аниона и катиона в стандартном государстве.
Замена Eq. (5.2.10) в Eq. (5.2.9) приводит
oc± + + - V.rp-Vc-=0 в (5.2.ll)
Это примечательно что Eqs. (5.2.8) и (5.2.11) соглашаются с примененными в [20] для движения ионов. Для изотропического среднего размера мы имеем
oc± + V;:± = 0 в Q в '=',
Соответствующее естественное граничное условие
';; ±n; =.;: на S
где'; я ~ является ионным потоком на поверхности домена.
(5.2.12)
(5.2.13)
Eq. (5.2.12) и естественное граничное условие (5.2.13) управления
уравнения ионного распространения. Для мультиполевого случая сцепления мы должны изменить
188 Глав 5 сцепление Thermo-electro-chemo-mechanical
Eq. (5.2.12), чтобы рассмотреть эффект сцепления. С этой целью, взятие
дифференцирования в уважении, чтобы рассчитать t приводит
Ofl± = RT* oc±
в z± в (5.2.14a)
Рассмотрим маленький инкремент сосредоточения, таким образом Z± = до ~ + c±::::; до ~. Мы можем получить
Ofl± = RT* oc±
в до ~ в (5.2. 14b)
Использование Eq. (5.2.12) и Eq. (5.2.14b), мы получаем уравнения распространения ионов в форме
+ +
fl-+ Ко V;:± = 0 (5 2 15) в RT* '"..
Отношения между смещениями u i и растяжениями для упругого поля,
электрический потенциал ; и электрические поля Ei для electrostatics, температуры
изменения T и потока высокой температуры  для проводимости высокой температуры, ионного потока ~i± и изменения сосредоточения c± для химического поля следующие: 1
B = - (u. +u)
Если 2 я.} j, л
E = - ;
1 .'
(5.2.16)
(5.2.17)
(5.2.18)
(5.2.19)
где kij - коэффициенты проводимости высокой температуры. Это примечательно, что теория вывела здесь ограничения маленьким деформациям, поскольку линейные уравнения используются.
5.3 Свободная энергия и учредительные правила
В этом разделе свободная энергетическая функция Гибба в [29,30] расширена, чтобы включать химический эффект и используется, чтобы получить линейное учредительное правило для системы thermo-electro-chemo-mechanical. Для системы, которая включает тепловой, электрическое, химическое и механическое взаимодействие, расширенная свободная Гибба энергия за объем может быть написана, добавляя химическую энергию в форме
g = U-EiD;-ryT + Л flaca (5.3.1)
a = +,-
где U обозначает внутреннюю энергию, вторую и третью трибуну условий для
5.3 Бесплатная энергия и учредительные правила 189
энергетические вклады электрических и температурных полей, соответственно, и последний термин - химическая энергия. Свободная энергия Гибба, содержащая первые три условия в Eq. (5.3.1) была обсуждена в другом месте [29,30]. Последний термин должен быть добавлен к свободной энергии Гибба, когда химический эффект рассматривают [28]. Точный дифференциал свободной энергетической функции Гибба (5.3.1) относительно ее независимых переменных приводят
дециграмм = O "ijdsij - DmdEm-lJdT + Л, uadca (5.3.2)
a = +,-
Таким образом мы получаем
og
0" .. =--,
lJ oSij
D = _ og og ± og
j oE 'lJ = - в', u = oc±
л
(5.3.3)
Когда функциональная соль расширена относительно T, Sij, Их и c± в пределах
контекста линейных взаимодействий, мы имеем
(T = ~ [T ~ + S ~. +E _o _ + C±~l (T ~ + S ~ +E ~ +c± ~ Ig
си 2 в IJ OSjj м. oEm oc± в k! спросите! 11 oEn oc±)
(5.3.4)
Следующие константы можно затем определить
(5.3.5)
где Cijkl - упругие модули, Kl1m диэлектрические константы, условная цена, жар за определенную единицу массы, emij пьезоэлектрические коэффициенты, Au теплового напряжения коэффициенты, и Xm пироэлектрические коэффициенты. Недавно введенные константы R: 'J) ±, w!, и s± - соответственно механически-химические коэффициенты имели размеры в постоянном температурном и электрическом поле, термохимические коэффициенты имели размеры в постоянном растяжении и электрическом поле, электрически-химические коэффициенты имели размеры в постоянном растяжении и температуре,
и химическая потенциальная константа имела размеры в постоянном растяжении и
температурное и электрическое поле для аниона и катиона.
190 сцеплений Главы 5 Thermo-e1ectro-chemo-mechanica1
Когда функциональная соль дифференцирована согласно Eq. (5.3.2), и
выше констант используются, мы находим
(5.3.6a)
a = +,-
(5.3.6b)
a = +,-
(5.3.6c)
a = +,-
(5.3.6d)
Ряд этих уравнений является учредительным отношением в двойной системе.
Это примечательно, что учредительные уравнения (5.3.6a~d) являются расширениями известного thermo-electro-mechanical сцепления [29, 30], чтобы включать химическое поле. В классической физической химии, отношение между химическим потенциалом и ионные сосредоточения выражены функцией логарифма [см. Eq. (5.2.10)], но здесь мы принимаем линейное соотношение между потенциалом и изменениями сосредоточения, которое означает что Eqs. (5.3.6a~d) относятся к маленькому изменению ионных сосредоточений только. Это допущение позволяет нам развивать соответствующую численную модель для рецептуры FE простым способом. Фактически, классическое отношение логарифма применено, чтобы определить показанные линейные  коэффициенты, как показано в следующем разделе.
Наконец, посредством материальных параметров определенных в Eqs. (5.3.6a~d) мы может переписать свободную энергетическую функцию Гибба как
g =-2 1
Cijkl&kl&ij - AijT&ij - eijnEn&ij - я R:c
a
&ij - 2
1
aT2 -
a = +,-
ВЕТЕРИНАР - я vaeaT - 1 Ми Ми Ми - я waeaE +I-I saeaca
A.n n = + _ 2 МС n м. = + _ м. В 2 = + _
, "
(5.3.7)
Эта энергетическая функция используется в качестве основания для того, чтобы развить рецептуры FE в следующих разделах.
5.4 Вариационный принцип
Вариационные функционалы играют центральную роль в рецептуре
основных управляющих уравнений  в методе конечных элементов (FEM). Для
краевой задачи, описанной в Разделе 5.2 и линейном учредительном
уравнении (5.3.6), вариационный функционал, используемый для того, чтобы получить рецептуру FE thermo-electro-chemo-mechanical сцепления системы могут быть созданы в форме
5.4 Вариационный принцип 191
f
. T-, -
-/t; u; + qjp - hn - T L. ~l1a приблизительно) dS
К ~ +,-
где T = R:*. Исчезающее изменение функционала (5.4.1) приводит к Ко
8Il = f Q 813dQ + 8 f Q (F + J) dQ - f Q U; 8u; - qh8;) dQIs
(t; 8u; + (j, ;8 - hn 8T - T Л ~a8ca) dS = 0
К ~ +.-
(5.4.1)
(5.4.2)
где Си - бесплатная энергия обобщенного Байота [30] из двойных, спаренных четырех- полей системы. Функция Си должна удовлетворить следующие условия:
Обь = {} Обь = Обь = D Обь = ± как Ij' в 7], oE i' oc± J1
U л
(5.4.3)
Это должно быть примечательно что знак "минус" в Eq. (5.4.3) исчезает здесь. Таким образом  функция Си имеет следующую отличительную форму
8B = 8g + 2Dn8En + 2it8T (5.4.4)
Функция J в Eq. (5.4.1) энергия разложения, вызванная ионным распространением и F - теплоотдача. Они определены
Я Л; J = - 2T:>' До. 1,1
a = +,-
Я F = - hT 2To 1, л
Замена Eqs. (5.4.4) и (5.4.5) в Eq. (5.4.2) дает результаты
8JJ = f Q ({} ij8i; я + it8T + Dn8En + Л jta
8c
a
) dQa = +,-
(5.4.5a)
(5.4.5b)
(5.4.6)
Через серию объединения партиями и математическими операциами, Eq. (5.4.6)
может быть далее написано как
192 Главы 5 сцепление Thermo-electro-chemo-mechanical
811 = f [-(0"' + t;) 8it + [~ + ry) 8T + (D. - ql) 8; + Q, Если,)' я я 1'0 1,1 J
"(дистанционное управление; +, если) 8ca 1dQ + f [(L. J 1,1 S O" 1. J. nJ. - Tl) 8it 1 + (DlnI +S q) 8; +
a = +,-
[hn _ hjn
j
) 8T + Л r (~la _ ~janJ8caldS = 0 (5.4.7)
К К = +,-
Из-за произвольности 8uj, 8rjJ, 8T и 8c±, вариационное уравнение
(5.4.7) приводит к следующим управляющим уравнениям и естественной границе
условий:
Очевидно, они - уравнения Euler функционала (5.4.l) и представляют
управление уравнениями (5.2.1), (5.2.3), (5.2.5) и (5.2.15) из механических,
тепловых, электрических и химических полей, соответственно, так же как
соответствующие естественные граничные условия (5.2.2b), (5.2.4b), (5.2.6b) и
(5.2.14), соответственно.
Это интересно обратить внимание что управляющие уравнения химического поля имеют те же самые формы как таковые из проблем проводимости высокой температуры. Другими словами, есть аналогичное отношение между ионным распространением и проводимостью высокой температуры. Таблица 5.1 перечисляет аналогичные отношения между химическими проблемами и высокой температурой проблемы проводимости.
Таблица 5.1 Аналогии ионного распространения и проводимости высокой температуры
Распространение иона
 проводимость тепла
Температура T до Сосредоточения
Поток тепла h =-K.. T I Массовый поток II.j qi = - CP, Fi
Уровень изменения энтропии 7j Химический потенциальный уровень изменения jL
Энергетическая форма ryT энергетическая форма! - До
Управление уравнением т + ~ 7j=O, 1'u
Управляя уравнением qi, я +R~T · J' {-O
Граничное условие hini = hn до Граничного условия; jni = до; n
5.5 Рецептура конечного элемента 193
5.5 Рецептура, формулировка конечного элемента
Замена учредительных уравнений (S.3.6a~d) и градиент уравнения (S.2.16) ~ (S.2.19) в вариационное уравнение (S.4.6), мы получаем
f n [Cijkl&kl - AijT - eijnEn + ~-R ~ до") o&ijdQ +
f n [Aij&ij + в + XnEn + ~ _ vaca) 8TdQ +
f n [ek1m&kl + XmT + Emn En + ~-w~ca) oEmdQ +
f n [~_ (-R~&kl - чан - w: En + saca)] 8C
a
dQ +
f [~KT8T +r "Q/1Ca n T lJ, я, J ~ lJ, 1 8C, J"] dQ-o ~ +,-
f f - h,-a n (.t; 8u; ;-Qb8) dQ-s (t; 8u; ; +Zis8---.!'... 8T-r ~ ~n 8c) dS=O
К ~ +,-
(S.S.I)
Это - вариационное уравнение с точки зрения независимых переменных u, ;, T
и c±. Это - основание для того, чтобы основать рецептуру FE. Как в обычном
FEM, граница S и домен Q разделены на серию границы элементов и внутренние обители, клетки. По каждому внутреннему элементу, свободные переменные u, ;, T и c± интерполированы центральными дискретными значениями в форме
11
U = LNju; = Nue
, Ii = Лютеций = LNue = Bue (S.S.2a)
n n
T =" NT =Nr, (T) =" NT =jjr ~ I я, j ~ I,)} (S.S.2b)
i~1; ~I
n n
; = LNj;; = Nf,/) ми, (Ми;) = - LNiA = _jjf,/) ми (S.S.2c)
i~1 i~1
+ Ln - + n-0 + До L-= неон = Урожденная, (до ~) = Nc:-+ =B-ee
t I, я 1,1 я (S.S.2d)
где N, Не - и N является matrices функций формы, n - центральное
число элемента, и исключая ошибки = [до: c1... до; <] T - центральное ионное
194 сцепления Главы 5 Thermo-e1ectro-chemo-mechanica1
вектор сосредоточения ми элемента. Пусть ei = [до; До;] T обозначает градус
свободы для ионных сосредоточений в узле i. Л ЯВЛЯЕТСЯ матрицей дифференциала действующих компаний и зависят от форм уравнения градиента.
Чтобы упростить нотации, компактная форма матрицы применена в
следующих рецептурах. Когда домен - discretized, потенциальная энергия
целой системы может быть получена суммированием энергии по каждому
элементу
елей =0L:Ile
Таким образом у нас есть вариационное уравнение для ми элемента
oJr =
f De DUeT (Бритиш Телеком eBue - Бритиш Телеком ANr + Бритиш Телеком elif.1Je - Бритиш Телеком RNee) dQ +
f De OrT (NT ABue + NT aNr - NT zlif.1Je + NT JlNee) dQf
De 1J и (осветил eBuc +, осветил z Номер - освещенная Ми lif.1Je + осветила wNeC
) dQ +
f De oeeT (_NT RT Bue - NT JlNr + NT wlif.1Je + NT SNeC
) dQf
12' [-овертайм ~ осветил K lir - икру cT Бритиш Телеком rpBec + DUcT NT f - 1J cT NT qb), dQ-
(5.5.3)
f DUeT NT/dS - f 1J cT NT-.dS + f Или
T
NT Ii dS + f Ti5e cT NT ~ dS = 0
se q, se T n святой ~n
t D II 0 s
(5.5.4)
где ue, Те, f.1Je, eeare неизвестные, чтобы быть решенными и oueT, 1JeT, oTeT, oeeT произвольные вариационные переменные. Эквивалентные формы Eq. (5.5.4)
(5.5.5a) f D, (NTATBue +NTaNr-NTzlif.1Je +NTJlNee) dQ +
f освещенный K лития r dQ + f NT Ii dS = 0
De К sZ К II
(5.5.5b)
(5.5.5c)
5.6 Chemo-механическое сцепление 195
f D' разрывают rpBcedQ + f r С NT {dS = 0
до;
(S.S.Sd)
или в матричной форме
Ми Кмм Кмт Км Км Fe U м.
Ктм Ктт Кт Кт Те Фи
t
Пехотинец Кет Ки Ки (/Je Плата
(S.S.6)
Пехотинец ми до Кета Ки Ки Fe
до
в котором
f T f T - f Kmm = Си De CBdQ, Kmt = - T-D' Си ILNdQ, Kme = Си De eBdQ
K = f Бритиш Телеком RNT dQ Fe = f NT JdQ + f NTidS
я ne 'm.ff сэр
Kem = f ми De ijT
T
BdQ, Кайф = f De jjT ZT NdQ, Kee =-f DeijT KiidQ,
Kee = f De ijT W
T
NdQ, Плата = f De NT q "dQ + f s'h NTcisdS
Kem = fDeNTRTBdQ, Кайф =-fDeNTvTNdQ, Kce = fDeNTwiidQ
Kee = f D' (NT SN + rfPrpB) dQ, Fcc =-f s {rN
T
{, dS
Уравнение FE (S.S.6) для ми элемента только. Целая линейная система может быть получена регулярным процессом блока элементных уравнений чопорности.
5.6. Хемо-механическое сцепление
Когда никакое внешнее электрическое поле не применено и электрический потенциал, вызванный ионами проигнорирован, проблема может быть значительно упрощена, опуская электрический эффект. Кроме того, когда проводимость высокой температуры системы под соображением не вызвана напряжением и ионным распространением, или другими словами когда температурное поле не затронуто напряжением и химическим полем, температурное поле может затронуть другие поля через учредительное отношение только, и наоборот, другие поля не имеют никакого эффекта на температурное поле. В этом разделе, двойная химическая и механическая неисправность, как полагают, иллюстрирует
196 сцеплений Главы 5 Thermo-e1ectro-chemo-mechanica1
более ясно, как химическое поле может быть вместе с другими полями. Для
этой цели, рассмотрите двойной химикат с временной зависимостью и механической проблемой. Управляющие уравнения
ep ±c ± ·-1j.1ё = 0, САЙ ij, j + j'; = 0
, 11 T
(5.6.1)
где инерционным эффектом пренебрегают. Естественные граничные условия
ep +-до, +in; = - ~~ I1 +-'CYijnj-t; = 0 (5.6.2)
Обобщенный вариационный принцип для chemo-механического сцепления
затем данный
(5.6.3)
где соль - свободная энергия Гибба для chemo-механических проблем сцепления, и
J - химическая энергия разложения
J = - 1T Л;: ~.a' До a=l-TL ep ac a · до · a
2 1,1 2 ,1 ,1
a = +,-= +,-
Замена Eq. (5.6.4) в Eq. (5.6.3), мы имеем
8II = f [CY8i + j.t8c + T "epa приблизительно 8Ca) dQ - f f8udQ-2; 1) 1] L. J, 1, я! J' я 1
a = +,-
T; 8u; dS + Л Является T~a8cadS = 0
a = +,-
После некоторых математических операций уравнение становится
8II = fn (CYij +;;) 8u; dQ + (CYijnj-t;) 8u; dS +
Л f n (До Tepa, ~; + j.t) 8cu dQ + Л ЛЕЙТЕНАНТА (epa <n; +'; ~) 8cu dS = 0
a = +,-= +,-
(5.6.4a)
(5.6.4b)
(5.6.5)
(5.6.6)
Уравнение (5.6.6) эквивалентно Eqs. (5.6.1) и (5.6.2). Замена учредительных правил в Уравнении (5.6.5) дает результаты
8II = fn [CijklE:ij8ikl - ~-R~ca8ikl - u ~-Rftikl 8c
a
+ u ~-saca8c
Lr
) dQ +
fnT Л epa<&,~dQ_ fn;; 8u; "Знаток" dQ-; 8u; dS + Л IsT~a8cLrdS=O
~~ ~~
(5.6.7)
5.6 Chemo-механическое сцепление 197
Дискретная форма FE независимых переменных U и до может читать
n
U = LNjuj = Nue
, 6 = Лу = LNue = Bue (5.6.8a)
n n
C = '"N, до. = Nce
, до · = '"до N. = Bce
L. J, 1 ~ 1,11 (5.6.8b)
j~l j~l
Таким образом мы получаем
D ~ = J (DucT Бритиш Телеком eBue - DueT Бритиш Телеком RNec - De и NT RBue + De и NT SNce) dQ +
4
J, DeeT fPrpBeedQ-J DUeT NT JdQ-J DUeT NTTdS + J, Делавэр и NT~dS = 0
4 1 {Se Se
(5.6.9a)
Это
817 = 8lieT [В (Бритиш Телеком eBue - Бритиш Телеком RNce) dQ - В JdQ NT - Является NTTdSJ +
8c и (В NT RBlie + NT SNce +, Бритиш Телеком rpBc ми +, NT~dS), = 0
Вышеупомянутое уравнение приводит к следующим рецептурам FE
[
0 0] [литий] [Kmm Kmc] [U] [Из]
K, ~c Меня До + 0 До Kee = Fe
в котором коэффициент matrices имеет следующие формы
Я = LI NTSNdQ
ми ne
Центральные, узловые эквивалент сил векторы,
F: = "L. J' я De NT JdQ + я NTTdS Se, FeC = - "L. J' я Se TNT qen dS
ми ми
(5.6.9b)
(5.6.10)
(5.6.11)
(5.6.12)
(5.6.13)
Нужно упомянуть, что материальные параметры использовали III соединенные учредительные уравнения классифицированые в два набора. Один набор покрывает "чопорности" коэффициенты, которые отражают силу полей, таких как модуль Янга, диэлектрический коэффициент, и т.д. Другой набор состоит из двойных коэффициентов между полями, представляя взаимодействие между полями такой как пьезоэлектрические коэффициенты, chemo-механические коэффициенты, и т.д. В принципе, все материала
198 Глав 5 сцепление Thermo-electro-chemo-mechanical
параметры должны быть определены экспериментами. Но мы можем крупно оценить амплитуды некоторых параметров теоретическим методом. Начиная с материала свойств thermo-electro-mechanical сред известных [28],
следующее обсуждение сосредотачивается на chemo-механических параметрах сцепления.
Для материальных параметров chemo-технических-средств-коммуникации, механического матрица чопорности может быть вычислена через модуль Янга и отношение Пуассона, и коэффициент распространения может быть измерен физико-химическим методом [28]. Здесь новые параметры, которые будут определены, являются пропорциональны коэффициентам химического потенциала и сосредоточения, и двойного коэффициента химических и механических полей.
Сначала, мы рассматриваем линейно пропорциональные коэффициенты химических потенциал и сосредоточение.
В нашем исследовании принято линейное отношение f.1± = s±c±. Согласно
 физико-химической теории, c± имеет измерение молекулярной массы - m-3, и f.1± имеет измерение ofJ – m-3 , таким образом у s± должно быть измерение ofJ - молекулярная масса - '.
Мы используем ту же самую нотацию, чтобы написать Например. (5.2.10) как
+ RT* _ + RT* + +
f.1-=----=-;-Inc =----=-; - в (co +c-) (5.6.14) v-v-
Затем мы имеем
(5.6.15)
Рассматривая бесконечно малое изменение в сосредоточении, мы имеем
Ё _ RT* I' 1 RT*
s - _ + 1 м. + + v-c± - +o Ко + c-j7±ct
(5.6.16)
Если изменение температуры является очень небольшим, то есть, T* = К + T ~ К, мы имеем
s + - RTo
j7±ct
(5.6.17)
Так как у всеобщего газового постоянного R есть измерение J • молекулярная масса - '• K-', T имеет  измерение K, и j7± имеет измерение m3
• молекулярная масса - ', измерение из s± должно быть J. mor', которое совместимо с измерением в показанном линейном отношении. Значение s± зависит от используемого материала.
Для двойного коэффициента химических и механических эффектов мы можем использовать аналогичное отношение химических и проводимости высокой температуры, чтобы предсказать ее значение. Рассмотрение изотропического материала и наложение что сосредоточение изменяет вызов, индукцию только опухоли и сокращения, без сдвига деформации средины,
5.7 Процедура FE и числовые примеры 199
учредительные правила для chemo-механического сцепления могут быть изданы как
"vE s: Ми" s: a
(Jij =CijklCij - L. R ij до = (1) (1-2) Ckk Uij +-l-cij - L. ROuijc
a = +,-+ V V + V = +,-
(S.6.18a)
+ + + + +.s: + + (6 18b), ЕСЛИ = R ki до kl +S-до = ДИСТАНЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ; u kl до kl +S-C-S.
Чтобы оценить двойные, спаренные коэффициенты Rt, установка i = j в вышеупомянутом уравнении и обозначение Cj j = cil + до 22 + до 33 как растяжение, страдание объема, объема напряжения дают
(J. = - электронная до · - 3Ro+C + - 3R; До -
/I 1 - 2v/I
(S.6.19)
Предполагается что опухоль и сокращение материала, вызванного
изменением сосредоточения начинается с бесплатного государства напряжения, например, (Jjj = O. Таким образом мы можем получить коэффициент объемного расширения
K + = (до ~ J = 3 (1 - 2v) R;
ДО 0" =0 МИ
(S. 6.20a)
K - = - 'Л = Ro
[
C.) 3 (1 - 2v)
C-0" =0 МИ
(S.6.20b)
Затем двойной коэффициент
Rt = Ми K ±
3 (1 - 2v)
(S.6.21)
Это примечательно, что измерение Ми - N · m-2 и измерение K ±
m3 • молекулярная масса - я, измерение Rt таким образом N · м. · молекулярная масса - я.
5.7 Процедура FE и числовые примеры
Основные управляющие уравнения и рецептуры FE для термоэлектрического - chemo-механическое сцепления было дано в предыдущих разделах. В этом разделе, выполнение FE и числовые примеры представлены.
Обсуждение сосредотачивается на chemo-механической проблеме сцепления.
Программа FE развита на основе упругой процедуры FE. Центральные, узловые градусы свободы для упругой проблемы заменены обобщенными
градусами свободы, включая упругие смещения, электрический потенциал и
магнитный потенциал в узлах, для существующей проблемы сцепления. Рис. S.1
показывает шаги для анализа проблем сцепления методом FE.
200 Глав 5 сцепление Thermo-electro-chemo-mechanical
Старт
Входные параметры управления
Решите уравнения и выведите смещение,
электрический потенциал и сосредоточение
Вычислите напряжение, электрическое смещение
и химический потенциал
Рис. 5.1. Эпизод потока  для двойного метода конечных элементов
Некоторые примеры теперь даны, чтобы иллюстрировать аналитический процесс и поведение сцепления мультиполевых проблем. Числовое моделирование вынесено для биологических тканей и геля полимера.
Очерчивать основные принципы предложенного мультиполевого подхода включая химический эффект оценка ограничена опухолью прямоугольной тарелки, подвергнутой химической загрузке и прямоугольной полосе, подвергнутой
химическим стимулом на его более длинной стороне. Эти два примера иллюстрируют сцепление между химическими и механическими полями.
Материальные параметры, используемые в вычислениях, следующие.
Модуль молодёжи - Ми = 3.5 X 105 Pa; отношение Пуассона 0.45. Распространение
коэффициенты ионов (p + =4.8xlO-IO m2/s, (F =7.8xlO-IO m2/s. Линейно пропорциональные коэффициенты химического потенциала и ионного
5.7 Процедура FE и числовые примеры 201
сосредоточения - s + = s-= 1.0 X 103 N.m.morl
• Коэффициенты сцепления механического и химического эффекта - R; = РЕЗЕРФОРД = 1.75 X 104 N.m.mol-I
.
Пример 1 Квадратная тарелка, подвергнутая химической загрузке.
Считайте опухоль квадратной тарелки 0.01 mx 0.01 м. вызванной
химической загрузкой. Предполагается, что тарелка - бесплатная массовая сила и бесплатная тяга. Более низкая граница полностью сжата (никакое смещение на этой стороне) и другие стороны являются бесплатными от поверхностной тяги. Инкремента линейный сбыт из ионного сосредоточения от максимума на верхней границе к нолю на более низкой границе применена к тарелке. Таким образом сбыт ионов может быть полностью определен. Сосредоточение ионов изменяется, линейно изменяются по x направлению и равномерно распределен в y направлениях. Очевидно, тот же самый сбыт принят здесь для анионов и катионов.
Деформация тарелки, полученной из предложенной рецептуры,
показанной на Рис. 5.2. Очевидно, что опухоль объема тарелки происходит под
химическими стимулами, в то время как градус опухоли изменяется от очка до очка. Из-за линейного сбыта ионного сосредоточения, максимальная опухоль
происходит на верхней границе, и никакая опухоль не происходит на более низкой границе. Это очевидно, что химическая опухоль среднего размера очень подобна высокой температуре расширение, где чистое объемное расширение поставлено при тепловой загрузке. Изменения максимального замещения против ионного сосредоточения показаны на Рис. 5.3. Смещения увеличиваются линейно наряду с увеличением ионного сосредоточения. Это примечательно, что максимумы смещений Ux и uy не  появляются в том же самом очке. Максимум Ux происходит в концах верхней границы, в то время как максимум uy в центре верхней границы. Это показано что максимумы замещений, Ux и uy очень отличаются
Рис. 5.2. Опухоль  прямоугольной тарелки при химической загрузке
202 Главы 5 сцепление Thermo-electro-chemo-mechanical
из-за различия ионного сбыта в двух направлениях. На верхней границе, даже сбыт ионов с максимальными значениями происходит в x направлении и следовательно относительно большое смещение в x направлении найдено. Симметрия деформации также экспонирована в x направлении. В контраст, ионный сбыт в y направлении изменяется линейно, и максимум uy - накопление замещения в y направлении. Поэтому, сравнительно маленькое максимальное замещение происходит в y направлении.
4.0X 10 - 5
3.5X 10-5
~ 3.0X 10-5
a
8 2.5 x 10-5
! л
. ~ 2.0X 10-5
"§\'" 1.5 X 10 - 5
a
. ~ л Вола 10-5
:: s 5.0 x 1O-6l-': ==:!:: ~ ==::: t: =: ~::: =:: ===: = ~
O · ~.O 2.0X 10-3 4.0X 10-3 6.0X 10-3 8.0X 10-3 л Вола 10-2
Ионик concentrationl (mollL)
Рис. 5.3. Изменения  максимального смещения против ионных сосредоточений
Пример 2 Прямоугольная полоса, подвергнутая химическому стимулу на
более длинной стороне.
Рассмотрим 0.01 mxO.004 м. прямоугольной полосы с без- смещений
границей на более низкой стороне и границами без тяг на оставшихся сторонах.
Химический стимул применен к полосе на одной из ее более длинных сторон.
Уникальный интерес в этой проблеме состоит в том, что деформация среднего размера может быть затронута геометрией и ограничениями образца под прикладной химической загрузкой.
Ионное распространение имеет результатом линейный сбыт ионов в полосе.
Расчетную деформацию полосы показывают в Рис. 5.4. В отличие от
Примера 1, cгибающаяся деформация полосы появляется, из-за несимметрической опухоли, которая приводит к различным расширениям на двух других сторонах полосы. Приходят к заключению что модель деформации для всего образца можно управлять, применяя надлежащие ограничения на
Ссылки 203
границы. То же самое явление для гелеобразного волокна уже было
продемонстрированно в [23]. Этот пример иллюстрирует способность показанной
теории для того, чтобы смоделировать деформацию двойных сред под химическим
стимулом.
Рис 5.4.Деформация наклона полосы при химической загрузке
Теоретическая модель и рецептура FE были развиты в этой главе,
основанная на предложенных управляющих уравнениях двойных, тепловых, электрических, химических и механических полях. Используя предложенные четыре уравнения поля, вариационный принцип для того, чтобы получить рецептуру FE, может легко быть создан. Сцепление между химическим полем и другими полями усиленно. Таким образом окончания процедура FE полностью соединена с точки зрения четырех поля. Два числовых примера, как полагали, иллюстрировали приложение FEM и проверили предложенную теорию.
Линейно учредительное отношение было получено, используя понятие расширенных свободных энергий Гибба. Параметры материалов для chemo-механического сцепления проблемы были обсуждены от теоретических оценок и их размеров. Было показано что материальные параметры в существующей линейной модели скоординированы с физическими константами в классической физической химии.
Ссылки
[I] Baughman R полимер Х. Кондактинга искусственные мускулы. Синтетические Металлы, 1996, 78:
339-353.
[2] Garard М., Chaubey A, Си Malhotra Д. Аппликэйшн дирижирования полимерами к
204 Главы 5 сцепление Thermo-electro-chemo-mechanical
биодатчики. Биодатчик & Биоэлектроника, 2002, 17 (5): 345-359.
[3J Макдиармид Соль. Синтетические металлы: новая роль для органических полимеров. Синтетический
Металлы, 2002, 125: 11-22.
[4J Си Yoseph полимеры К. Электроуктива как искусственные способности мускулов, потенциалы и
испытания [EB/OL J. http://trs-new.jpl.nasa.gov/dspace/bitstreaml20 14/3 05.01.7531 - 0308.
pdf.
[5J Отеро Т Ф, Гранде H, Родригес Дж. А новая модель для электрохимического окисления
polypyrrole под конформационным управлением релаксацией. Дж. Электроунэлитикэл Чемистри,
1995,394: 211-216.
[6J Дои М, Мацумото М., Хироз И. Деформэйшн ионных гелей полимера электрическими полями.
Макромолекулы, 1992,25,5504-5511.
[7J Санта D, Росси Д Д, Маццольди А. Перформанче и способность работы polypyrrole
дирижирование полимером линейный привод головок. Синтетические Металлы, 1997,90: 93-100.
[8J Си Simom R, Кауфман М V, Луи Дж, и др. Теория Porohyperelatic-transport-swelling,
свойства материала и модели конечного элемента для большого atieries. Интервал. Дж. Солайдс
Структуры, 1998, 35 (34-35): 5021-5031.
[9J Garikipatia K, Ми Arrudab М., Groshc K, и др. Обслуживание континуума роста в
биологическая ткань: сцепление массового транспорта и механики. Журнал
Механика и Физика Твердых веществ, 2004,52: 1595-1625.
[IOJ Loret Си, Симоуз Ф М. F. Структура для деформации, обобщенного распространения, мессы
трансфер и рост в мультиразновидностях многофазные биологические ткани. Европейский Журнал
Механика AlSolids, 2005, 24: 757-781.
[11 де Бое Р J. Размышления на развитии теории пористых СМИ. Прикладной Механик.
Преподобный, 2003, 56 (6): 27-42.
[12J де Бое, Р. Зэори Пористых СМИ: Выделения в Историческом развитии и
Текущее состояние. Берлин: Спрингер, 2000.
[13J Biot М. А. Зэори эластичности и консолидации для пористого анизотропного твердого вещества. 1. Прикладной
Физика, 1995,26: 182-185.
[14J Боуэн Р М. Сжимаемые пористые модели СМИ при помощи теории смесей. lnt.
J. Наука инженера, 1982, 20: 697 - 735.
[15J Лай В М., Ху Дж С, Скирда V До A. triphasic теория для опухоли и деформации
поведения суставного хряща. ASME J. Biomech. Инженер, 1991, 113: 245 - 258.
[16J Snijders H, Huyghe J М., Дженссен Дж Д. Модель конечного элемента Triphasic для того, чтобы раздуться
пористые СМИ. Интервал. Дж. Нум. Денатурат. Жидкости, 1995,20: 1039-1046.
[17J Huyghe J М., Дженссен Дж Д. Механика Quadriphasic опухоли несжимаемого пористый
СМИ. Интервал. Дж. Энгнг Счи, 1997, 18: 793-802.
[18J Frijns J H, Huyghe J М., Дженссен Дж Д. Проверка допустимости quadriphasic теории смеси
для межпозвоночной ткани диска. lnt. Дж. Энгнг Счи, 1997,35 (15): 1419-1429.
[19J Huyghe J М., Дженссен Дж Д. Рецептура Thermo-chemo-electro-mechanical влажных
заряженное пористое твердое вещество. Транспорт в Пористых СМИ, 1999,34: 129-141.
Ссылки 205
[20] До Moyne, Murad М. A. Сцепление Electro-chemo-mechanical в раздувающихся глинах произошло
из микро процедуры / процедуры макрогомогенизации. Интервал. Дж. Солидс и Распорка., 2002, 39:
6159-6190.
[21] Си Loret, Hueckel T, Gajo A. Chemo-механическое сцепление во влажных пористых СМИ:
elasto-пластмассовое поведение homo ионных экспансивных глин. lnt. Дж. Солидс и Распорка., 2002, 39:
2773-2806.
[22] Sudipto K D, Aluru N R. chemo-electro-mechanical математическая модель для
моделирование показателя степени кислотности среды чувствительные гидрогели. Механика материалов, 2004, 36: 395-410.
[23] Wallmersperger T, Си Kroplin, и Ущелье R. Соединенный chemo-electro-mechanical
рецептура для ионных гелей полимера числовые и экспериментальные исследования.
Механика Материалов, 2004, 36: 411-420.
[24] Gajo A, моделирования Лорета Б. Финайт элемента chemo-механического сцепления в elasticplastic
homo ионные экспансивные глины. Comput. Приложение методов!. Механик Энгрг, 2003, 192:
3489-3530.
[25] Янг Кингшенг, До Cui Q, Лютеций X Z. Общая процедура для того, чтобы смоделировать физико-химический
поведение сцепления усовершенствованной партии материалов 1: теория. MMMS-Muitidisciplinary
Моделируя в Материалах и Структурах, 2005, 1 (3): 223-230.
[26] Янг Кингшенг, До Cui Q, Лютеций X Z. Модель MFE для thermo-electro-chemomechanical
двойная проблема//Proc. WCCM6, 5-10 сентября, Пекин, Китай, 2004.
[27] Zohdi T 1. Моделирование и моделирование класса двойного thermo-chemo-mechanical
процессы в многофазных твердых веществах. Comput. Приложение методов!. Механик Энгрг, 2004, 193:
679-699.
[28] Химия Левина I Н. Физикэла. 5-ый редактор Нью-Йорк: Макгроу Хилл, 2002.
[29] Qin Qinghua. Механика перелома пьезоэлектрических материалов. Саутгемптон: нажатие ОСТРОУМИЯ,
2001.
[30] Мэйсон В П. Пьезоэлектрические кристаллы и их приложение к ultrasonics. Торонто: D. Фургон
Nostrand Company, Inc., 1950.