Микро макро теории гетерогенного Глава 4 проблемы

 
Глава 4 Термо-магнето-электро-эластичные проблемы
4.1 Вводная часть
В предыдущей главе мы представили линейную теорию  пьезоэлектричества и приложение к различным техническим проблемам. Расширение теории и
методология к термо-магнето-электро-эластичным проблемам описано в этой главе. Во-первых, мы представляем краткий обзор событий в этом поле. Как
упомянуто в [1], Suchtelen [2], кажется, был первым, чтобы работать репортером
магнето электрический эффекта сцепления в пьезоэлектрических-пьезомагнетических соединениях. Он указал, что магнитоэлектрический эффект - свойство результата, который следует из взаимодействия между различными свойствами этих двух фаз в соединениях, композитах.  Позже, Boomgaaed и др. [3] далее исследовали магнитоэлектрический эффект соединения BaTiOrCoFe204. Исследовать фундаментальные теории и раствор, решение процедуры, Ли [4], Хи [5], и Кинг и др. [6] создал множество вариационных принципов для гальванопластики магнето упругих материалов. Alshits и др. [7] изучали
существование поверхностных волн в пьезоэлектрических и piezomagnetic соединениях. Используя метод возмущений, Ли и др. [8] исследовали эффекты напряжения на электромагнитном резонансе круговых диэлектрических дисков. Ли и Данн [9] и Ли [10] полученные составы для того, чтобы предсказать среднюю гальванопластику магнето упругого поля и эффективные свойства материала гальванопластики магнето упругих твердых веществ, содержащих мультивключение или неоднородность используя подход микромеханики. Исследование общих процедур решения должны также быть упомянуты, это включает: восемь наборов учредительных уравнений [1]; аналитические растворы, решения для просто -поддержанного и многослойной магнето-электро-эластичные  тарелки [11, 12], для магнето-электро-эластичной тарелки с многоугольными включениями [13], и для функционально градуируемого и слоистого
магнето-электро-эластичных тарелок [14]; общие растворы, решения трехмерных
150 Глав 4 проблемы Thermo-magneto-electro-elastic
 магнето-электро- упругие, эластичные твердые вещества, основанные на потенциальном функциональном подходе [15, 16]; и гиперболоидные записи проблемы [17]. Недавно, Луи и др. [18] представили выражения закрытой формы упругих, электрических и магнитных полей для перемещения дислокации в магнето-электро-эластичных, упругих твердых телах и нашли, что магнето-электро-эластичное,-упругое поле экспонирует особенность r-1 близости центр дислокации. Используя методы лапласовских и конечных преобразований синуса, Ootao и Tanigawa [19] получили переходный раствор, решение для просто поддержанных и многослойных магнето-электро-термо-эластичных раздеваний, полос из-за неустойчивого и неоднородного теплоснабжения в направлении ширины. Сох и Луи [20] представили аналитическое выражение для граничной debonding, развязанной проблемы пьезо-электрического пьезо-магнетического соединения, композита с круговым включением. Кроме того, это должно быть отмечено то, что приложение механики перелома к  магнето-электро-эластичным, упругим проблемам было плодотворным сюжетом, включая, но не ограниченным к работе над граничными, меж-лицевыми трещинами [21], плоскость раскалывается при, под деформации из-по- плоскости [22], поля трещины-вершины и энергия выпуска уровня [23], коллинеарные трещины [24], параллельные трещины в биматериале твердого вещества [25], постоянное перемещение cracka, тещины при, под деформации анти-плоскости [26], микротрещины-микротрещины взаимодействие [27], динамичная анти-плоскость взлома, трещины проблемы [28], л- интеграл и модели дислокации для трещины проблем [29], динамичное поведение двух коллинеарных трещины [30], и конечные трещины в полосе пьезоэлектромагнетической [31]. Относительно Грина функций   магнето-электро-эластичные, упругие проблемы сообщения могут быть найденны на овальной лунке и твердых проблемах включения [32,33], трехмерных
проблемах [34,35], общих проблем включения [36], биматериала проблемы [37], и
бесконечная  магнето-электро-эластичное, упругое твердое тело с различными дефектами [38, 39].
Мы начинаем эту главу с обсуждения общей теории магнето-электро-
эластичных, упругих проблем, сопровождаемые вводной частью вариационного принципа и потенциального подхода. Затем,Грина функции  представлены для полуплоскости, биматериала, и проблемы куска. Наконец, растворы, решения для антиплоскости сдвига трещины в  магнето-электро-эластичном, упругом уровне получена.
4.2 Основные уравнения поля для гальванопластики магнето упругих твердых тел
4.2.1 Основные уравнения общей анизотропии
В этом подразделе мы рассматриваем кратко основные уравнения трехмерных
4.2 Основные уравнения поля для гальванопластики магнето упругие твердые вещества 151
 магнето-электро-эластичных, упругих твердых тел. Для линейного магнето-электро-эластичного ,упругого твердого тела общая анизотропия, управляющие уравнения механических и электрических полей находятся в той же самой форме как таковые из Eqs. (3.2.3), (3.2.5), (3.2.12), и (3.2.l3). Для пользы законченности, мы перечисляем все эти уравнения вместе с уравнениями управляющими магнитными полями ниже [4, 40]:
Силы уравнения равновесия:
Отношения замещения растяжения:
1
& "=2-(u. +u) л, j j, л
Магнитоэлектрическое уравнение Максвелла:
Du +be =0, Си; я +b", =0
Магнитоэлектрическое уравнение градиента:
E. = _do., H. =-1//.
Я 'f/, л I "t', 1
(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)
Eqs. (4.2.1), (4.2.2) соединены с Eqs. (4.2.3), (4.2.4) со следующими
учредительными отношениями [4]:
CJij = Cijki&ki - eiijEi - eliiHi
D; = e;k/&ki + Ki/EZ + АЙ/ГЦ (4.2,5)
Си; = ми; k'&kl + ailEI + f.1i/H,
В вышеупомянутых уравнениях bm - электрический ток тела; Си; H;, и lj/
магнитный пролог, магнитное поле, и магнитный потенциал соответственно, и
ми, "a., и II.. пьезомагнетные константы, электромагнитные константы, и
"lJ r" магнитные проницаемости, соответственно. Позвольте T быть границей раствора, решения домена Q магнето-электро-эластичного, упругого твердого тела рассматренного. Затем границы условий могут быть даны в форме [40]
u; =u; onTu (4.2,6)
t; = CJijnj = к onTI (4.2.7)
; = ;, onT; (4.2.8)
Dn =D; n; =-q, =Dn, onTD (4.2.9)
lj/= lj/, onTIf (4.2.10)
Миллиард = Си; n; = iii, onTE (4.2.11)
где панель по переменной указывает, что переменная предписана, и
T = Турция UTI = T; U TD = Tif U T Си • Вводная часть символа Dn для
простоты письма, которое следует. Очевидно, первые четыре уравнения
152 Главы 4 проблемы Thermo-magneto-electro-elastic
(4.2.6) ~ (4.2.9) - электрические и механические граничные условия, которые являются тем же самым, поскольку представленные в Разделе 3.5, и сохранении два для магнитного поля. Eqs. (4.2.1) ~ (4.2.11) составляют полный набор уравнений линейной магнето-электро-эластичного, упругого твердого тела. Этот набор уравнений соединен среди магнитных, электрических, и механических полей.
4.2.2 Восемь форм учредительных уравнений
В дополнение к учредительному уравнению (4.2.5), Сох и Луи [1] представили другие семь эквивалентных учредительных представлений, обычно используемых в постоянной теории линейной магнето-электро-эластичное, упругое твердое тело, чтобы описать двойное взаимодействие среди упругих, электрических, и магнитных переменных. Таблица 4.1 перечисляет
восемь форм учредительных отношений, соответствующих независимых переменных, и обобщенной энергии Гиббса функционалы. В Таблице 4.1 до и s являются упругими чопорность и тензоры согласия, K и p - позволительность и впозволительность, impermittivity,  тензоры, J1 и ЧЖИ - проницаемость и reluctivity, перелюктности  тензоры, a, A, 1], и (; магнитоэлектрические константы, ми, h, d, и соль - пьезоэлектрические константы, и ми, ii, d и соль - пьезомагнетические константы. Это может видеться от Таблицы 4.1 что каждая
 форма учредительного представления имет свои собственные отличные независимые переменные и соответствующий термодинамический потенциал. Но они зависят друг от друга и любой формируется, может быть выведен от другого до Legendre преобразования. F или пример, если мы выбираем u, Ми, и H, поскольку независимые переменные, 8 8 могут быть выведенны через Legendre преобразования от 8] следующим образом: 8 8 = 8] – U&, который имеет результатом следующие учредительные отношения с точки зрения 8 соль:
& = _ 8 8 D = _ 8 8 Си = _ 8 8
au', один' ах
(4.2.12)
Таблица 4.1 Восемь форм учредительных моделей [я]
Независимые переменные
ми, Ми, H
ми, D, H
Учредительные отношения
ju = ce - ми T Ми - я? H
D = ee+ICE +aH
B = исключая ошибки + один + показатель степени кислотности среды
ju=ce-hTD-eTH
E =-he+pD-, H
B=ee +'D+pH
Термодинамические потенциалы
Я 2 2 2
@1 = - (ce - ЛЕД - показатель степени кислотности среды) -
2
eeE-eeH-aEH
4.2 Основные уравнения поля для гальванопластики магнето упругие твердые вещества 153
Таблица 4.1 (продолжение)
Независимые переменные Учредительные отношения Термодинамические потенциалы
ми, Ми, Си
ми, D, Си
u, D, Си
u, Ми, Си
u, D, H
u, Ми, H
Я T-T u=ce-e Ми-h Си
D = ми ~ + метка + TJB
H = - он-TJE + vB
л
u = ce-hTD-i? Си
E = - ~ e+pD-AB
H=he-AD+vB
Я
e = su + glD +
E =-gu + фунт - АВ
H=gU-AD+vB
Я
e = su + dT Ми + gT Си
D=du+teE+TJB
H =-gu-TJE + vB
Я
e = su + glD + d IH
E =-gu+PD-(H
B=du + (D+jlH
Я
e = su + dT Ми + dT H
D = du+teE +aH
B=du+aE+jlH
4.2.3 Поперек изотропическое упрощение
Если гальванопластика магнето упругое твердое тело, которое рассматривают, является поперек изотропическим, уравнения, описанные в Подразделе 4.2.1, могут быть далее упрощены [41]. В неподвижной
прямоугольной системе координат (X, y, Z), учредительные уравнения (4.2.5), и
управляющие уравнения (4.2.1) и (4.2.3) из поперек изотропического магнето-электро- эластичного, упругого твердого тела с изотропическим перпендикуляром плоскости к оси Z может, соответственно, быть выражены в следующей форме [15, 16]:
O "xx =CllUI, x +c12u 2, y +c13u 3, z +e31;, z +e31 1fl, z
O "yy = CI2UI, x + CllU2, y + до 13u 3, z + ми 31;, z + ми 31 1fl, z
O "zz = c13ul, x + C13U2, y + C33U3, z + ми 33;, z + ми 33 1f1, z
0" yz = C44 (u2, z + U3, y) + eIS;, y + elslfI, y
O "xz = C44 (ul, z + u 3, x) + eIS;, x + e1slfl, x
O "xy = C66 (u1, y + u2, x)
(4.2,13)
154 проблемы Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
и
Дуплекс = ми ls (uI, z + u 3, J - KII;, x - aillf/, x
D y = els (u2, z + U3, y) - ; Kll, y - l1 lf/, y
D z = e31 (ul, x + U2, y) - ми 33u 3, z - ; K33, z - 33 lf/, z
Си x = eIS (u I, z + U3, x) + 11;, x - ИЛИ I, Если/, x
Расход дутья = ми ls (u2, z + U3, y) + all;, y - Ilillf/, y
Bz = e31 (ul, x + U2, y) + ми 33u 3, z + 33;, z - 1l33lf/, z
1 1
CIIUI, xx + "2 (CII-CI2) UI, yy + "2 (CII +CI2) U2, XY + (C13 +C44) U3, xz +
(4.2.14)
(4.2.15)
C44UI, zz + (e31 +eIS) ;, xz - угри +e31) lf/, xz +bl =0 (4.2.16)
1 1
CI1 u 2, j}' + "2 (Cll - cl2) u2, xx + "2 (cl1 + Cl2) ul, xy + (C13 + До 44) U3, yz +
C44U2, zz + (e31 + eIJ;, yz - (elS + e31), Если/, yz + b2 = 0 (4.2.17)
C44 (u3, xx + U3, yy) + (C44 + cl3) (ul, xz + U2, yz) + C33U3,33 +
eIS (;, xx + ;, H) + e33;, zz-e33 lf/, zz-eIS (lf/, xx +If/, yy) +b3 = 0 (4.2.18)
ми (u3, xx +u3,} ~ ·) + (eIS +e31) (ul, xz +U2, yJ + e33u 3, zz -
ми lS (U 3, H + U3, yy) + (els + e31) (uI, xz + U2, yJ + e33u 3, zz +
все (;, xx + ; "Y) + 33;, zz - Иллинойс! (Если/, xx +, Если/, j}') - 1l33lf/, zz + bm = 0 (4.2.20)
Eqs. (4.2.13) ~ (4.2.20) используются в качестве основания в более поздних разделах.
4.2.4 Выпрямление, чтобы включать тепловой эффект
Уравнения, представленные в Разделе 4.2.1, могут быть прямо расширены на
включить тепловые эффекты, если температурное поле не полностью соединяется с магнето -электро-эластичным, упругим полем , то есть, если магнето-электро-эластичное, упругое поле может быть затронуто температурным полем через учредительные отношения, но температурное поле не затронуто магнето-электро-эластичным,  упругим полем. Под такими допущениями управляющие уравнения термо-магнето-электро-эластчных. упругих проблем могут быть выражены как [42]
(J'ij, j +bi =0, Ди, я +be =0, висмут, я +b", =0
(J'ij = Cijk, ck' - e/ijE/-e/ijH, - AuT}
Ди = eik/ck' + KuE, + ailH, - p7
Висмут = eik/ck/+ ailE, + llilH/-J./iT
(4.2.21)
(4.2.22)
4.3 Вариационная рецептура 155
1
& = - (u + u), Ми, = - ; ", H, =-lj /". lJ 2', j j,' (4.2.23)
привет, я = 0, привет =-kijT, j (4.2.24)
где Вай – pyromagnetic, пиромагнетические коэффициенты. Граничные условия термо-магнето- электро-упругой проблемы все еще определены Eqs. (4.2.6) ~ (4.2.11) вместе с граничными условиями для теплового поля. Получить
раствор, решение краевой задачи определенные Eqs. (4.2.6) ~ (4.2.11) и
(4.2.21) ~ (4.2.24), мы обычно сначала решаем проблему теплопередачи получить
установившееся поле T, и затем вычислить магнето-электро-эластичное, упругое вызванное поле полем T, добавим изотермический раствор, чтобы удовлетворить соответствующие магнитные, электрические и механические граничные условия, и наконец решают измененную проблему для  магнето-электро-эластичных, упругих полей.
4.3 Вариационная рецептура
Беря e1 (s, Ми, H) (см. Таблицу 4.1) как пример, мы теперь представляем
вариационный принцип для магнето-электро-эластичного, упругого твердого тела в домене . bounded, ограниченном r. Вариационный принцип основан на независимых переменных (s, Ми, H). Во-первых, явное выражение эль (s, Ми, H) с точки зрения &' i' Ei и Hi представленно
~=~~~~-~~~~-~~~~-~~~-~~~-~~~
(4.3.1)
который имеет результатом следующие учредительные отношения:
CJ = oel D = _ oel Си = _ oel
lJ 0&" oE' я о.
y 1 л
(4.3.2)
Затем, основанный на вариационном функционале e1 (s, Ми, H) и основных уравнениях (4.2.1) ~ (4.2.11), вариационный функционал может быть создан как
f (0 - бушель-b> ;-b lj/) d.a-f tUdr-f jj ;dr-f mlj/dr НОЛЬ I ми м. 1, я я В 11 полном пансионе
(4.3.3)
в котором Eqs. (4.2.5), (4.2.6), (4.2.8), и (4.2.10), как предполагается, удовлетворены, a priori.
Мы теперь продолжаем показывать что Eqs. (4.2.1), (4.2.3), (4.2.7), (4.2.9), и
(4.2.11) может быть получено из Eq. (4.3.3) для независимых переменных
156 проблем Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
OU; o;, и Olj/. Взяв исчезающие изменения Eq. (4.3.3), мы имеем
f (0@1-b; ou;-beO;-bmOlj/) dQ-f t; ou; i5nO;dT-f dT-f mOlj/dT=O
Q I, 1 [J
(4.3.4)
Замечая, что изменение @1 выраженное Eq. (4.3.1) может быть далее написано как
0@1 = Cijkl&kIO&ij - eijk (EkO&ij + &jkOEJ - KijEjOEj-).lijHjOHj -
eijk (HkO&ij + &jkOH;) - aij (EjoH; + HiDE;)
(4.3.5)
Замена Eq. (4.3.5) в Eq. (4.3.4) дает результаты
fQ (o-ijO&ij - D; oE; - Си; о; - си; ou; - beo; - bmolj/) dQf
t; ouidT - f 15no;dT - f mOlj/dT = 0
Я, 1 [J III
(4.3.6)
Используя Eqs. (4.2.2) и (4.2.4), переменные могут быть выражены как
1 0& = - (ou. +ou), DE =-o;, о =-Olj/, Если 2},' я,} я, я я, 1 (4.3.7)
Заменяя Eq. (4.3.7) в Eq. (4.3.6) и используя цепочечное правление
дифференцирования, интеграции партиями, теоремой расхождения, и границы
условия (4.2.6), (4.2.8), (4.2.10), первые три условия Eq. (1.106), с
заменой Eq. (4.3.6), становятся
f o-o&dQ = f o-noudT-f o-oudT
Q, Если, Если r/, Если} / Q, Если,}}
=f toudT-f o-oudT 11 я я Q lJ, J J
-f DoEdQ = f DnOA-.dT-f DOA-.dT [) 1 я rn I я, Если / 12 [1 'f/
=ir [J Dno;dT-LD; iO;dT
-f BoHdQ = f BnOlj/dT-f BOlj/dT Q I я r
D
Я Я Q 1,1
=fr [J BnOlj/dr-fQB; iOlj/dT
Затем, с заменой Eqs. (4.3.8) ~ (4.3.1O) в Eq. (4.3.6), мы имеем
f) (o-ij, j + bJou; + (D;; + bJo; + (Си; я + bnJolj/] dQ-
(4.3.8)
(4.3.9)
(4.3.10)
f (ti - t) iOUidT - f (Dn - i5n) o;dT - f (Миллиард - m) olj/dT = 0
~ ~ ~
(4.3.11)
Вышеупомянутое уравнение должно быть удовлетворено для независимых переменных OUi, o;,
4.4 Общий раствор для трехмерной поперек изотропической гальванопластики магнето упругие твердые вещества 157
and8lf/. Следовательно, интеграл объема в Eq. (4.3.11) приводит к Eqs. (4.2.1) и
(4.2.3), и соответствующие поверхностные граничные условия результата интегралов (4.2.7), (4.2.9), и (4.2.11). Точно так же мы можем представить вариационные принципы для других семи термодинамических функционалов (82 ~ 8 g) прямым способом. Это должно будьте упомянуто что вышеупомянутый вариационный принципиальный результат половина границы условия только. Это - то, потому что только три переменные взяты как свободные переменные. Чтобы получить все уравнения поля из вариационного принципа, мы нуждаемся
создать соответствующие вариационные функционалы таким способом что все переменные, то есть, u; cij' O "ij' ;, Ei' D;, Если/, H;, висмут независимые переменные. Взяв 8 1 (ми, Ми, H) (см. Таблицу 4.1) как пример снова, Яо [40] представил обобщенный вариационный функционал следующим образом:
f) O "ijcij-81 +U; (O" ij, j +b;)-D; Ми;-BiH; + ; (Ди, я +be) +
Если / (висмут; +bm)] dQ-f t/i; доктор-f D) ФРГ-f Б/дждждр-
, Телевизор T; сезама,
f (t;-t;) uidr-f (Dn-Dn) ;dr-f (Миллиард-m) lf/dr
Терраса в номере Телевизора Tf
(4.3.12)
Можно показать, что исчезающее изменение функционала (4.3.12) приводит к
Eqs. (4.2.1) ~ (4.2.11) [40].
4.4 Общее решение для 3D поперек изотропических  магнето-электро-эластичных упругих твердых тел.
Основанный на событиях в [15, 41], этот подраздел описывает потенциала
функции подход для того, чтобы решить трехмерную магнето-электро-эластичных, упругих проблем. С этой целью Ван и Шен [15] предполагали что общее решение  Eqs. (4.2.16) ~ (4.2.20) находится в форме
(4.4.1)
где (] J и 'F две потенциальных функции, которые будут решены для, и k1' k2' k3,
три константы, которые будут определены. Замена Eq. (4.4.1) в Eqs. (4.2.16) ~
(4.2.20), мы получаем
(4.4.2)
158 проблем Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
Cll (долгоиграющая пластинка, xx + долгоиграющая пластинка') Y) + [C44 +kl (CI3 + C44) + k2 (e15 +e31)-k3 (eI5 +e31)] долгоиграющая пластинка, zz = 0
(C13 +C44 +klc44 +kAs - Кас) (долгоиграющая пластинка, n + долгоиграющая пластинка,) Y) + (klc33 +k2e33-ki33) долгоиграющая пластинка, zz =0
(eiS + e31 + klelS - k2Kll - k3all) ((/J, xx + (/J, yy) + (kle33 - k2K33 - k3 a33) (/J, zz = 0
(e15 +e3l +klelS +k2a ll-k3fill) (долгоиграющая пластинка, xx +lP, yy) + (kle33 +kp33-k3fi33) долгоиграющая пластинка, zz =0
(4.4.3)
который имеет результатом следующее уравнение:
C44 +kl (CI3 +c44) +k2 (eIS +e31)-k3 (eIS +e31)
Cll
klc33 + k2e33 - k3 e33
Cl3 + C44 + klc44 + k2el5 - kil5
kle33 + k2a33 - k3fi33 = A,
elS +e31 +klel5 +k2all-k3fill
(4.4.4)
Устранение kl' k2 и k3 от Eq. (4.4.4) дает  результатом следующее уравнение для A:
единое время (A-A, Brlu=CII-C44 A,-1 (4.4. S)
где
lC" +CM j л до"
e33-e" j л До
М. el5-e" j u = e~5 + e~1, = e~3-K33-a33, Си = e~5-KII - все
-e15-e3l-e33-a33 fi33-e15 - все заполняются
(4.4.6)
Это огромно и неразумно, чтобы непосредственно расширить левую сторону
Eq. (4.4. S). Чтобы получить алгебраическое уравнение для A в изящной манере,
Ван и Шен считают следующую проблему собственного значения:
A; = 8B; (4.4.7)
Затем следующие ортогональные отношения относительно A и Си установлены:
yTBY=Ah, yTAY=Aa=AoAh (4.4.8)
где
y = [; 1; 2; 3]' Ав =diag [купленный b2 b3], Ao =diag [61 62 63]
Используя отношения (4.4.8), Eq. (4.4. S) может быть переписано как
ii (Ao - A, Irl A~l = cll - C44 A,-1
где
в то время как k; (я = 1, 2, 3), может быть выражено с точки зрения A, как
(4.4.9)
(4.4.10)
(4.4.11)
4.4 Общий раствор для трехмерной поперек изотропической гальванопластики магнето упругие твердые вещества 159
(53 - A) b3
Расширение Eq. (4.4.10) дает результаты следующее алгебраическое уравнение для A
3 -2
-C4+4 Л".. Ui =CII i~1 (5; - A) си;
(4.4.12)
(4.4.13)
Eq. (4.4.13) биквадратное уравнение в A. Обозначьте четыре основных тона Eq. (4.4.13) как Ай (я = 1, 2, 3, 4) и пусть Au = C44 / C66. Затем, там существуйте пять потенциальных функций (j); (я = 1 ~ 4) и (j) o = 'P, которые удовлетворяют
(/J; xx + (/J; yy + A; (/J; zz = 0, я = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (4.4.14)
Основанный на вышеупомянутом происхождении, смещениях, электрический потенциал и магнитный потенциал в неподвижной Декартовой системе координат может быть выражен с точки зрения пять потенциальных функций (j) я (я = ° ~ 4) как
4 4
UI = Л (j) я, x - (j) o, y' U2 = Л (j) я, y + (j) o, x
; ~I; ~I
4 4 4
U3 = Lkli (j); z' ; = Lk2i (j); z, Если/3 = Lk3; (j); z
где k лития, k2; и k3i может быть получен из Eq. (4.4.4) как [41]
Iii _ я 2; k = я 3;
kl; =y' k2;-Y' 31 я;
с
Cl3 + ми C44 l5 + ми 31 CI5 + C31
Я; = e33 - elsA; KIIA;-K33 alIA;-a33
C33 - СНГ A; alIA;-a33 f.111 Ай - f.133
CIIA;-C44 els + ми 31 СНГ + C31
IIi = (els +e31) A; KIIAi-K33 alIA; - 33
(СНГ +C31) A; alIA;-a33 f.11 - f.133
Cl3 + C44 Cl3 Ай - C44 СНГ + C31
I2i = e33 - elsA; (els +e31) A; alIA;-a33
C33 - CIsAi (СНГ +C31) A; f.11 I Ай - f.133
(4.4.15)
(4.4.16)
(4.4.17)
(4.4.18)
(4.4.19)
160 проблем Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
I3i = ми 33-el5' ~i KIIAi-K33 (els +e31) Ай
e33 - elsA; aliA; - 33 (els + e31) A;
Eq. (4.4.15) может также быть написан в матричной форме как
U = (jp + я (/Jo)' W = KP'z
где
W~l: J' p ~::
f! J
4
J =
A = ~ топор + я ~ внук
(4.4.20)
(4.4.21)
T
(4.4.22)
Использование Eqs. (4.4.21) и (4.2.12) ~ (4.2.14), мы можем получить напряжение,
электрическое замещение, и магнитную индукцию, пролог с точки зрения f! Чжи как
- T (Txx + (Tyy = 2 (C66JH - c44J - 10 СПИН) P, zz
(4.4.23)
где
(4.4.24)
Eqs. (4.4.21) и (4.4.23) общие выражения магнето-электро-эластичного поля с точки зрения пяти потенциалов функций f! Чжи (я = 0, 1, 2, 3, 4).
Поэтому, с потенциальным функций методом 3D поперек изотропическая
магнето-электро-эластичная, упругая проблема уменьшена до одного из обнаружения пяти комплексов потенциальных функций.
4.5 Функция Грина для полуплоскости и биматериала проблемы
В этом и следующих разделах, функциях Грина дефектного  магнето-электро-эластичного, упругого твердого тела получены основанные на формализме Stroh. Дефекты, которые рассматривают здесь включают интерфейс биматериала, половина границы плоскости, и границы куска.
4.5 Функция зеленого цвета для полуплоскости и bimaterial проблем 161
4.5.1 Предварительные рецептуры
Упростить последующее письмо, сокращенная нотация, описанная в Подразделе 3.3.1 используется здесь. В постоянном случае, где нет свободного электрического заряда, электрический ток, и массовая сила, как предполагается, существуют, полный набор управления уравнения для спаренных электромагнетоэластичных проблем [38]
Управление уравнением:
Ilu; = 0
Учредительные отношения:
где r J;:; 3-t' М.;:; 3
Ilu = D;, J=4, ГМ - ;, M=4
Висмут, J=5 lj/, M=5
cUmn 'J, М.';:; '3
enij, J';:; '3, M=4
enij, J';:; '3, M=5
eimn, J=4, М.';:; '3
E = iJMn - Семья' J=4, M=4
-ain, J=4, М. =5
eimn, J=5, М.';:; '3
-ain, J =5, М. =4
-/1; 11' J=5, М. =5
Общее решение к Eq. (4.5.1) может быть выражено как [38]
U = 2 Ре [Звуковая частота (z) q]
где
A = [[A2 A3 A4 Как]
феска) = (J (зона действий)) = диагональ [J (z [) / (Z2) / (Z3) / (Z4)
q = [q [q2 q3 q4 qsf
(4.5.1)
(4.5.2)
(4.5.3)
(4.5.4)
(4.5.5)
где f произвольная функция, которая будет определена, q, обозначает неизвестные константы  будут найдены граничными условиями, и Пи и Ай - константы, определенные
[Q + (R+RT) p; +Tp; JA; =O (4.5.7)
162 проблемы Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
с Q, Рэнд Тбеинг 5x5 постоянные матрицы, определенные
(Q) ИК = EIIKl' (R) ИК = Ми l1K2, (T) ИК = E2IK2 (4.5.8)
Напряжения-электрический магнитный-смещения пролог, индукция (SEDMI), II, полученный из Eq. (4.5.2) может быть написан как

где й - функция SEDMI, данная как
с
армированный пластик = 2 Ре [Bf (z) q]
B = RT + ВЫЯВЛЯЮТ = - (ОБЕСПЕЧЕНИЕ КАЧЕСТВА + РЭП) P-l
P = (Pa) = диагональ [Мн P2 P3 P4 Постскриптум]
4.5.2 Новые координатные переменные
(4.5.9)
(4.5.10)
(4.5.11)
Интерфейс полуплоскости или биматериал, который рассматривают в этом разделе, отличается от тех, о которых сообщают в литературе [43,44]. Граница полуплоскости (или биматериал) находится в вертикальной линии (Xl = 0 на границе в нашем анализе), а не горизонтальное направление (см. Рис. 4.1). Очевидно, что Zk = Xl + PkX2 становится действительным числом
на горизонтальном граничном X2 = O. Однако, Zk - вообще, не одно реальное
число, ни чистое мнимое число на вертикальной границе Xl = 0, который
усложняет связанное математическое происхождение. Обойти эту проблему, новое
координатная переменная введена [38]
(4.5.12)
В этом случае * Zk - действительное число на вертикальной границе Xl = O. Это координаты преобразование используется и для полуплоскости и для биматериала проблемы ниже.
4.5.3 Функция Грина для полного пространства
Для бесконечной магнето-электро-эластичного, упругого твердого тела, подвергнутое строки силе qo и строке си дислокации оба расположенные в Zo (XIO, x20) (см. Рис. 4.1), раствор, решение в форме Eqs. (4.5.5) и (4.5.lO) [45]
U =; Im [A\ln (z:-z:o)) q J, армированный пластик =; Im [B\ln (z:-z:o)) q] (4.5.l3)
4.5 Функция зеленого цвета для полуплоскости и bimaterial проблем 163
, л zo (x ДЖО, x20)
Я
Я Я ""
Рис.4.1. Магнето-эдектро- упругая полуплоскость

где q - сложный вектор, который будет определен. С тех пор В (z: - z:o), a мультиоцененная функция мы вводим сокращение вдоль строки, определенной X2 = X20 и Xl ~ XIO. Используя полярную систему координат (r, ()) с ее происхождением в ZO (XlO, X20) и с () = 0 являющийся параллельным xl-оси, решение (4.5.13) относится
-11: <() <11: r> 0
Поэтому
Вследствие этого отношения, Eq. (4.5.13) должно удовлетворить условию
U (11:) - U (-11:) = си, армированный пластик (11:) - армированный пластик (-11:) = q 0
которые приводят
2Re (Произвольное количество) =b, 2 Ре (Беккерель) =qo
Это может быть написано как
Это следует из отношения
[~T ~Tl [~l = [1 0] Бритиш Телеком В Си Си 0 1
это
Следовательно
(4.5.14)
(4.5.15)
(4.5.16)
(4.5.17)
(4.5.18)
(4.5.19)
(4.5.20)
(4.5.21)
164 проблемы Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
Функция Грина для полного пространства может таким образом быть получена, занимая место Eq. (4.5.2l) в Eq. (4.5.l3).
4.5.4 Функция Грина для полупространства
Позвольте материалу занимать область XI> 0 (см. Рис. 4.1), и сила-заряд строки qo и си дислокации строки применяются в Zo (XlO, X20). Удовлетворить граничные условия на бесконечной прямой границе полуплоскости, общий раствор (4.5.l3) должен быть изменен следующим образом:
U =! Im [(В (z: - z:o)) q] + ±! Im [(В (z:o - z; o)) qf3] (4.5.22)
n P~l n
армированный пластик =! Im [Си (В (z: - z:o)) q] + ±! Im [Си (В (z:o - z; o)) qf3] (4.5.23)
n f3~1 n
где q уступлен Eq. (4.5.21) и q 13 неизвестные константы, которые будут определены. Чтобы определить константы qp' следующие два вида граничных условий продуманны.
Рассмотрим сначала случай, в котором поверхностный Xl = 0 без тяг, таким образом, что [45]
армированный пластик = 0, X = 0 (4.5.24)
Замена Eq. (4.5.23) в Eq. (4.5.24) дает результаты
армированный пластик =! Im [Си (В (x2 - z:o)) q] + ±! Im [Си (В (x2 - z; o)) qf3] = 0 (4.5.25)
n f3~1 n
Обращая внимание, что Im (.f) = - Im (.f), мы имеем
Im [Си (ln (x2-z:o)) qJ =-Im [ii (ln (x2-z; o)) liJ (4.5.26)
и
где
If3 = (5f3a) =diag [5f31 5132 5133 5134 5f3sJ
Eq. (4.5.25) теперь дает результаты
-I---I-T-T
q 13 = Си BIf3q = Си BIf3 (% + Си b)
Если граница Xl = 0 является твердой поверхностью, то
U = 0, x=o
(4.5.27)
(4.5.28)
(4.5.29)
(4.5.30)
4.5 Функция зеленого цвета для полуплоскости и bimaterial проблем 165
Та же самая процедура показывает, что решение дано Eqs. (4.5.22) и (4.5.23)
с
(4.5.31)
Таким образом окончательная версия Грина функции может быть написана как
(4.5.32)
1 5 1
qJ = - Im [Си (ln (зона действий - zaO) / Pa) q] + Л-Im [Си (ln (зона действий / Pa - zpo / p/J) qp]
11: P =I11:
(4.5.33)
4.5.5 Функция Грина для  проблемы биматериала
Мы теперь рассматриваем биматериала твердое тело, интерфейс которого находится на X2-оси (xl = 0). Это принято, что левая полуплоскость (XI <0) занята материальным 1, и правая полуплоскость (XI> 0) материальными 2 (см. Рис. 4.2). Они твердо связаны вместе так, чтобы
X=o (4.5.34)
Xz
o
~ Интерфейс
Рис. 4.2 Магнето-электро-эластичная, упругая" биматериала тарелка
где верхние индексы (1) и (2) маркируют количества, касающиеся материалов 1 и 2
соответственно. Равенство сценария тяги прибывает от отношений
1 = aqJ / как. Когда вопросы вдоль интерфейса рассмотрены, интеграция
1 (1) = 1 (2) предоставляет Eq. (4.5.34) начиная с соответствия констант интеграции
твердое движение может быть проигнорировано.
166 проблем Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
Для  магнето-электро-эластичной, упругой биматериала тарелки, подвергнутой строки силы-расход qo и си дислокации строки обе расположенные в левой полуплоскости в ZO (XIO, X20) (Рис. 4.2), раствор, решение может быть принято, используя подобное обслуживание для этого для проблемы полуплоскости, в форме [38]
U (l) =! комната [(l) (В (z: (1) - z: ~))) q] + я! комната [(l) (В (z: (l) - z; ~))) q ~)]
n P~l n
(4.5.35)
rpCl) =! Im [Си (l) (В (z: (1) - z: ~))) q] + я! Im [BCl) (В (z: (l) - z; ~))) q ~)]
n P~l n
для материального 1 в XI <0 и
U (2) = я! Im [(2) (В (z:C2) - z ~ (~))) qj;)]
P~1 n
армированный пластик (2) = ±! Im [Си (2) (В (z: (2) - z ~ (~))) q~2)]
P~1 n
(4.5.36)
(4.5.37)
(4.5.38)
для материала 2 в X> 0, где Z * (I) = z (1) fp (l) z * (i) = z (i) fp (i) (я = 1,2). Я, Значение q снова дано Eq. (4.5.21), и q ~), q~2), неизвестные константы
которые определены, заменяя Eqs. (4.5.35) ~ (4.5.38) в Eq. (4.5.34).
После происхождения в подразделе 4.5.3, мы получаем
(l) q ~) +A (2) q~2) =A (l) Ipq, Си (l) q ~) +B (2lq~2l =B (llIpq
Решение Eq. (4.5.39) дает результаты
q~l =B (ll-I [я _2 (М. (ll-1 +M (2)-lr1L (ll-I] Си (l) Ipq
q~l =2B (2l-1 (Mcll-л +M (2l-1rlL (ll-IB (llIpq
где М. (j) =-iB (j) (j)-l является поверхностной матрицей импеданса.
(4.5.39)
(4.5.40)
(4.5.41)
4.5.6 Функция Грина для наклоненного интерфейса или полуплоскости
границы
Если полуграница находится в углу () 0 (() 0 *-0) (см. Рис. 4.3) с положительной осью X, функция соответствующего Грина может быть получена, вводя новое
отображение функции:
(4.5.42)
которое отображает границу () = ~ в z-плоскости на реальную ось в s-плоскости
(~ +iTJ) ·
4.5 Функция зеленого цвета для полуплоскости и bimaterial проблем 167
~ - плоскость
.:?:xlO 'x20)
""
""
d ~ '~---~
/, л ~o (~o, 7] 0)
0/
Рис.4.3. Магнето -электро-эластичное, упругое твердое тело с произвольно ориентируемой полуплоскостью
После процедуры в Подразделах 4.5.3 и 4.5.4 этому можно показать что
функции Грина имеющие результат могут быть выражены как
U = ~ Im [(ln (z ~/BO-z ~~ ФИЛИАЛ)) qJ +:t~Im [(ln (z ~/BO-z; ~BO)) q, 8 J
n, 8=ln
(4.5.43)
qJ = ~ Im [Си (В (z ~/BO - z ~~ ФИЛИАЛ)) q] +:t ~ Im [Си (В (z ~/BO - z; ~BO)) q, 8]
n, 8=1 n
для проблемы полуплоскости, и
U (1) =; Im [(1) (ln (z11) 1t IBO-Z1161t IBO)) qJ +
:t ~ Im [(I) (В (z ~) 1tIBO - ZftlJ" IBO)) q ~)]
, 8=1 n
qJ (1) =; Im [Си (I) (ln (z ~) 1tIBO _Z~61tIBO)) q J +
:t ~ Im [Си (1) (В (z ~) 1tIBO - ZftlJ" IBO)) q ~)]
, 8=1 n
для материала 1 в XI <0 и
U (2) =:t ~ Im [(2) (В (z12) 1t IBO - Z~61tIBO)) q~2)]
, 8=1 n
qJ (2) =:t ~ Im [Си (2) (В (z12) 1t IBO - Z~61tIBO)) q ~)]
, 8=1 n
(4.5.44)
(4.5.45)
(4.5.46)
(4.5.47)
(4.5.48)
для материала 2 в проблеме биоматериала, где q, 8' q ~), и q ~), имеют,
соответственно, те же самые формы как дано Eqs. (4.5.31), (4.5.40), и
168 проблем Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
(4.5.41).
4.6 Функция Грина для проблем куска
В предыдущем разделе мы представили функции Грина для магнето-электро-эластичных, упругих проблем. Расширение рецептур к термо-магнето-электро-эластичным, упругим проблемам обсуждены в этом разделе.
4.6.1 Основные рецептуры
С сокращенной нотацией, используемой в последнем разделе и в постоянном случае где нет свободного электрического заряда, электрического тока, массовой силы, и источник тепла не предполагаемый существовать, полный набор управляющих уравнений для двойных термо-магнето-- электро-эластичных, упругих проблем [24]
вместе с
где
IIiJ; = 0
{
Aii' J (3
AiJ = Пи' J=4
Вай' J=5
и где fliJ' U М.' и EiJMn определены Eqs. (4.5.3) и (4.5.4).
с
Общее решение к Eq. (4.6.1) может быть выражено как [45]
T = 2Re [соль' (zt)]' U = 2 Ре [Звуковая частота (z) q + сантиграмм (Zt)]
(4.6.1)
(4.6.2)
(4.6.3)
(4.6.4)
(4.6.5)
в котором начало (') обозначает, что дифференцирование с параметром, q представляет неизвестные константы, которые будут найдены граничными условиями, соль и f, произвольные функции, которые будут определены, T и до, являются константами, определенными [45]
k22T2 + (k12 + k21) T + kjj = 0
[Q + (R+RT) T+TT2JC=A, +TA2
(4.6.6)
где Ай 5x 1 вектор, определенный
Ай = [Aj) Ai2 Ai3 Пи Vir (4.6.7)
Поток высокой температуры, h, и SEDMI, II, полученный из Eq. (4.6.2) может быть написан как
4.6 Функция зеленого цвета для проблем куска 169
привет =-2Re [(kil + rki2) соль" (Zt)], fllJ =-qJJ, 2' fl2J =qJJ, 1
где qJ - функция SEDMI, данная как
qJ = 2Re [Bf (z) q + дециграмм (zJ]
с
d = (RT +rT) до-A2 = - (Q+rR) clT+A, 1T
Представление функции теплового потока [45]
9 = 2 k Im [соль' (zt)]
(4.6.8)
(4.6.9)
(4.6.10)
(4.6.11)
где k = (kllk22 kI -2) 1 12, и "1 м." обозначает воображаемую партию
комплексного числа, мы имеем
(4.6.12)
у которого есть та же самая форма, как те для функции SEDMI [см Eq. (4.6.8)]. Таким образом мы может использовать тот же самый метод в качестве такового в  магнето-электро-эластичных, упругих проблемах произойти тепловые решения.
4.6.2 Функция зеленого цвета для куска или полубесконечной трещины
Рассмотрим бесконечный магнето-электро-эластичный, упругий кусок чья симметрическая строка простирается бесконечно в отрицательном направлении xI-оси (Рис. 4.4). Куска угол обозначен 2i %. Твердое вещество подвергнуто температурной неоднородности f и источник тепла h *, оба в очке Zo (XIO' x20) как показано на Рис. 4.4. Лица куска, как предполагается, тепловым образом изолированы, и свободны от сил, внешнего электрического тока и расхода. Граничное условие вдоль двух лиц куска может таким образом быть написано как
9=qJ=O
, tzo (X 10 'x20)
Я
Я Я"
----------------..... o XI
(4.6.l3)
Рис. 4.4  Формы- куска магнето-электро-эластичная, упругая тарелка и ее отображение в (-плоскость
170 Глав 4 проблемы Thermo-magneto-electro-elastic
1. Общий раствор для теплового поля
Основанный на понятии волнения, данного Stagni [47], главное решение для функции температурного и теплового потока может быть принято в форме
T = 2Re [соль' (zt)] = 2Re [fo (святой) + J; (Святой)] (4.6.14)
.9 = 2klm [соль' (zt)] = 2 k Im [Джо (Святой) + J; (Святой)] (4.6.15)
где Джо может быть выбрано, чтобы представить решения, связанные с невозмутимыми тепловыми полями, которые являются голоморфными во всем домене кроме  некоторых особых точек, таких как очко, в котором источник тепла очка применен, и fi является  функцией, соответствующая встревоженному полю из-за куска. Здесь Святой и StO связаны с Zt и ZtO (= xlO + H 20) отображающимися функциями [48]
Zt = си /" и ZtO = Stl;" (4.6.16)
где, 1, = n / (2n - 2&0) и Святой = ~ + е карты границы куска & = ± (n -
&0) в zt-плоскости в воображаемую ось в Святом - плоскости (Рис.4.4.. Поэтому
домен решения отображен в правильную половину оси плоскости в Святом - плоскости.
Для данного загружающегося условия функция Jo может быть получена легко начиная пока это связано с раствором гомогенных сред. Когда бесконечное пространство подвергнуто источнику тепла строки h * и тепловой аналог температуры строки неоднородности оба расположены в (XIO, x20), функция Jo может быть выбрана в форме
fo (Святой) = % В (Святой-Sto) (4.6.17)
где qo - комплексное число, которое может быть определено от условий f до dT = f для любой закрытой До траектории, заключающей очко StO (4.6.18)
f до d.9 =-h *, для любой закрытой До траектории, заключающей очко StO (4.6.19)
С заменой Eq. (4.6.17) в Eqs. (4.6.14) и (4.6.15), условия (4.6.18) и (4.6.19) дают результат
qo = f / 4ni - h */4nk (4.6.20)
Для половины плоскости в Святом = ~ + плохая система, функция волнения может быть принята в форме [45]
(4.6.21)
Замена Eqs. (4.6.17) и (4.6.21) в Eq. (4.6.15), условие (4.6.13) дает результаты
Im [qo В (плохо - StO) + ql В (-плохо - ~o)] = 0
Обращая внимание, что Im (f) = - Im (f), мы имеем
Im [qo В (плохо - Sto)] = - Im [Zio В (-плохо - ~o)]
(4.6.22)
(4.6.23)
4.6 Функция зеленого цвета для проблем куска 171
Уравнение (4.6.22) теперь дает результаты
ql = % (4.6.24)
Получив решение   fo и Ji, функция соль' (Zt) может теперь быть написана
как
соль' (Zt) = qo В (z;-Z ~) + qo В (-z;-Z; ~)
Замена Eq. (4.6.25) в Eqs. (4.6.14) и (4.6.15) дает результаты
T = 2Re [qo В (zt'' - z ~) + qo В (-z; - Z; ~)]
9-= 2kIm [% В (Zt"-Zt ~) + qo В (-Zt"-Zt ~) J
(4.6.25)
(4.6.26)
(4.6.27)
Функция джин Eq. (4.6.14) может таким образом быть получена, объединяя функции 10 и Ji относительно Z который приводит к
соль (Zt) = ; (Zt) + qoh (Zt)
где
1; (Zt) =/tZt [-1 + 2 F; (1//t, 1, 1 + 1//t, z; / Zt ~)] + Zt В (z; - Zt ~)
h (Zt) =/tZt [-1 + 2 F; (1//t, 1, 1 + 1//t, - z; / Z; ~)] + Zt В (-z; - Zt ~)
с 2FI (a, си, до, z) быть гипергеометрической функцией определеной в [49]
r (c) 1 tb-I (1-t) "си до я"
F (abcz) = f ~
2 1 '"r (b) r (c-b) 0 (1-tzY
. .
или расширение серий
D (b)-1 ав (a+l) си (b+l) 2 •• • _ ~ (a) l1 (b) 11 11
21 "1 a, до, z - + Z + Z + - L.... Z
л! до 2! до (c+l) 11=0 n! (c) n
то, где король) является гамма функцией.
2. Функция Грина для  термо-магнето- электро-эластичного, упругого поля
(4.6.28)
(4.6.29)
(4.6.30)
(4.6.31)
Общее решение термо-магнето-электро-эластичной проблемы может быть
записано как
(4.6.32)
где приписки ''p'' и "h" относятся, соответственно, к частиц и гомогенному раствору.
Из Eqs. (4.6.5) и (4.6.9) особое решение магнето-электро-эластичного, упругого поля, вызванного тепловой загрузкой, может быть написано как
=2Re [сантиграмм (zt)], f/Jp =2Re [дециграмм (zt)] (4.6.33)
172 Главы 4 проблемы Thermo-magneto-electro-elastic
Особые,частиц решения (4.6.33) вообще не удовлетворяют границы
условие (4.6.13) вдоль границы куска. Мы поэтому должны искать корректирующий изотермический раствор, решение для данной проблемы так, чтобы, когда это нанесено на особом термо-магнето-электро-эластичном растворе, поверхности условия (4.6.13) будут удовлетворены. Вследствие факта что tj (zk) и dg (zt) имеют тот же самый порядок эффекта на напряжение и электрическое смещение в Eqs. (4.6.5) и (4.6.9) [обратите внимание что термин Bj (z) q в Eq. (4.6.9) теперь заменен Си ((J; (Zk») ql + (1; (zk)) q2)], возможные функциональные формы прибывают от партитуры соль (Zt). Они
1; (Zk) =, 1, Zk [-1 + 21'; (1/, 1, 1,1 + 1/A, Z; / z ~)] + Zk В (z; - Z; ~)
, , , (4.6.34)
12 (zk) = AZk [-1 + 21'; (1/A, л, л + 1/A,-Z ~'/Z; ~)] + Zk В (-z; - Z; ~)
Замена Eqs. (4.6.28) и (4.6.34) в Eq. (4.6.9), и затем в Eq. (4.6.13), приводит к
ql =-B-1dqo, q2 =-B-1dCfo (4.6.35)
Замена Eq. (4.6.35) в Eqs. (4.6.5) и (4.6.9), функции Грина могут затем быть написаны как
U = 2Re [-A ((1; (Zk») % + \! 2 (zk») qo) Си-1d + сантиграмм (Zt)]
qJ = 2Re [-B ((t; (Zk») qO + \! 2 (Zk») qo) Си-1d +dg (zt)]
(4.6.36)
Когда ~ =O, то есть, A=1I2, Eq. (4.6.36) представляет функции Грина для случая из полубесконечной трещины в бесконечной  магнето-электро-эластичном, упругом твердом теле.
4.7 Антиплоскости сдвига трещина в  магнето-электро-эластичном, упругом
уровне
В этом разделе трещины проблема магнето-электро-эластичного уровня связывалась с несходными половины пробелами под антиплоскостью сдвига и inplane в-плоской электрической и магнитной загрузками считают основанными на рецептуре, описанной в предыдущих разделах этой главы. В анализе преобразования Фурье используются, чтобы уменьшить смешанные
краевые задачи трещины, которая, как предполагается, является водопроницаемой,
к одновременным двойным интегральным уравнениям, и затем выраженны с точки зрения интегральных уравнений Fredholm второго вида. Обсуждение следует
развитию в [50].
4.7.1 Проведение темы проблемы
Полагаем, что трещина Гриффита длины 2c расположена в середине плоскости
4.7 Антиплоскость стрижет трещину в гальванопластике магнето упругий уровень 173
магнето-электро-эластичный, упругий уровень,  который зажат между двумя упругими половинами плоскостей с упругой чопорностью постоянной до ~, как показано в Рис. 4.5. Количества в упругой половины плоскости будет впоследствии определяться Ми верхнего индекса. Координаты система (x, y, z) установлена в центре трещины для ссылки. Из-за принятой симметрии в геометрии и загружающихся условиях, достаточно рассмотреть проблему для O ~x <=, O~y <= только.
Рис. 4.5 Магнето-электро-эластичный, упругий ламинат с конечной трещиной.
Магнето-электро-эластичная, упругая краевая задача упрощена
значительно, если мы рассматриваем только смещение из плоскости, в плоскости
электрические поля и магнитные поля в плоскости, то есть,
Исключая = Исключая (x, y), Ey = Ey (x, y), Ez = 0
Hx = Hx (x, y), Hy = Hy (x, y), Гц =0
(4.7.1)
(4.7.2)
(4.7.3)
(4.7.4)
где (ux 'uy, uz), (Исключая, Ey, Ez) и (Hx' Hy, Гц) компоненты смещения, электрическое поле и векторы магнитного поля, соответственно. Учредительные уравнения для анти-плоскости магнето-электро-эластичного материала берет форму [51]
и управляющие уравнения
где  два-размерный Лапласиана оператор в переменныхи.
Мы рассмотрим четыре случая электрических и магнитных границы условий на краях магнето-электро-эластичного слоя.
Случай 1: D/x, h) = Делают, Расход дутья (x, h) = Eo (4.7.8)
Случай 2: Ey (x, h) = Eo, Ey (x, h) = Eo (4.7.9)
Случай 3:
Случай 4:
Dv (x, h) = Делают, Hy (x, h) = Хо
Ey (x, h) = Eo, Hy (x, h) = Хо
Механические условия
О'з/кс, O) = 0, 0: (x <До
uz (x, O) =O, До: (X <=
O'!. (x, y) = Десять' x2 + / ~ =
О'зи (x, h) = O'! (x, h)
uz (x, h) = u; (x, h)
Сдвига напряжение T = может быть выражено как
~ T (elSall-elsKll) Eo + (elSall-elsJill) Делают
-- 0+ 2'
C44 КИ ИДЖИЙ I - все
Азимут (elSall - elsJil1) Eo - elsBo
- К +,
C44 Джилл
~ (elSall-elsKll) Хо-эльсдо - 1'0 +,
C44 KII
~1'0 - elsEo-elsHo,
C44
Случай 1
Случай 2
Случай 3
Случай 4
(4.7.lO)
(4.7.11)
(4.7.12)
(4.7.l3)
(4.7.14)
(4.7.15)
(4.7.16)
(4.7.17)
где 1'0 униформы сдвига напряжение при нулевых электрических и магнитных загрузках, и Aj (j = 1, 2, 3, 4) являются  магнето-электро-эластичные, упругие загустевшие, сжатые упругие константы определенные как
4.7 Антиплоскость стрижет трещину в гальванопластике магнето упругий уровень 175
2 -2 2 -
1 _ f.ill el5 + Kll el5 - allel5el5
"1 - C44 + 2
K llf.i11 - l1
A:z = (C44f.i11 + e1
2
5) / f.ill (4.7.18)
~ = (C44 KII +e~5)/KII
, 1,4 = C44
Электрические и магнитные условия для водопроницаемого первоклассного случая могут быть выраженны как [50]
Dy (x, O +) = D, (x, O-), E) x, O +) = Er (x, O-),
(x, O +) = (x, O-), Hx (x, O +) = Hx (x, O-), 0: (x <До
O: (x <До
(4.7.19)
; (x, O) = 0, lj / (x, 0) = 0, До: (x <'= (4.7.20)
4.7.2 Процедура решения
К преобразованиям Фурье относятся Eqs. (4.7.6) и (4.7.7), и мы получаем
результаты как
2f = uz (x, y) = - 0 [АЙ (a) exp (да) + A2 (a) exp (-да)], потому что (топор) da + aoy
n
2 f = ; (x, y) = - [ВИСМУТ (a) exp (да) + B2 (a) exp (-да)], потому что (топор) da - мальчик
n 0
2 fon
lj / (X, y) = - [CI (a) exp (да) + C2 (a) exp (-да)], потому что (топор) da - скромный
n 0
Ми 2f = uz (X, y) = - 0 A3 (a) exp (-да), потому что (топор) da+doy+eo n
(4.7.21)
(4.7.22)
(4.7.23)
(4.7.24)
где A/a) (j = 1, 2, 3) и B/a) (я = 1, 2) неизвестные, которые будут решены
и ao' филиал, co' делают и eo - реальные константы, которые могут быть определены рассмотрением далекого- поля и условий интерфейса как
Случай 1: (4.7.25)
Случай 2: (4.7.26)
176 проблем Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
Случай 3: (4.7.27)
Ко =Ho
Случай 4: ao = _ я _ (T = + elsEo+elsHo), bo=Eo, co=Ho (4.7.28)
C44
(4.7.29)
Затем, простое вычисление приводит к напряжению, электрическому смещению и магнитным выражениям пролога, индукции
2 f = {[C44 Al (a) + elsBI (a) + elSCI (a)] exp (да)-}
О'зв = - _, потому что (топор) da +
~ 11: 0 [c44A2 (a) + elsB2 (a) + elSC2 (a)] exp (-да)
c44aO-elsbo-eISCO (4.7.30)
(4.7.31)
2 f = {[elsAI (a) - алиби (a) - f.iIICI (a)] exp (да)-}
= - _, потому что (топор) da +
11: 0 [elsA2 (a)-aIIB2 (a)-f.iIIC2 (a)] exp (-да)
elSaO + allbo + f.illCO (4.7.32)
Ми 2 Ми r = Ми
О'зи = - C44 Джо aA3 (a) exp (-да), потому что (топор) da + C44do
11:
(4.7.33)
Удовлетворение граничных условий (4.7.8) ~ (4.7.11), (4.7.15) и (4.7.16)
приводит к результату что
(a) = (Ай - до!) exp (-2ah) F (a)
Q
я
A2 (a) = (Ай + До ~) F (a)
Я
A3 (a) = 2AiF (a) jQi
exp (-2ah) [Соль (a) + mjF (a)]
Кипа (a) =------=--------=l +
exp (-2ah)
B2 (a) = Соль (a)-mj exp (-2ah) F (a)
1 + exp (-2ah)
(4.7.34)
(4.7.35)
(4.7.36)
(4.7.37)
(4.7.38)
4.7 Антиплоскость стрижет трещину в гальванопластике магнето упругий уровень 177
exp (-2ah) [H (a) + n; F (a)]
CI (a) =-------=.--------=.
1+exp (-2ah)
ДО
2
(a) = H (a) - ni exp (-2ah) F (a)
1 + exp (-2ah)
(4.7.39)
(4.7.40)
где F (a), Соль (a) и H (a) являются единственными неизвестными функциями, и м.; n; и 12; (я = 1, 2, 3, 4), определены для Случая i (я = 1, 2, 3, 4), соответственно,
как
(4.7.41)
2C; 4 (eIS ll-elsKII) 2c! ми n ls л = 2 'n2 =---, n3 =n4 =0
121 (Kll, ull - все) 1'11 122
(4.7.42)
12i =A; +C; 4 + (A;-c; 4) exp (-2ah), i=l, 2, 3, 4 (4.7.43)
Применяя смешанные граничные условия (4.7.l3), (4.7.19) и (4.7.20), мы
можем уменьшить проблему до неизвестных  (a), Соль (a) и H (a), которые удовлетворяют после одновременных двойных интегральных уравнений:
f = nT
; (a) F (a), потому что (топор) da = - = - 0: (x <до, я = 1, 2, 3, 4
o ~« ~.7. ~
rF (a), потому что (топор) da=O, x;;; 'до r aG (a) грех (топор) da = 0, Л = ах (a), потому что (топор) da = 0, 0: (x <до (4.7.45) r Соль (a), потому что (топор) da = 0, Л = H (a), потому что (топор) da = 0, x;;;' до (4.7.46)
где Ми (a) определены как
( )
= 2 {МИ 1 Ми 2C; 4 exp (-2ah) (ulleI2s + Kllel2s - 2allelsels)} _1 '1+C44 + - ~--------~2 ~ - ~~ - ~~~
121 C44 (Kll, ull - ll) [1 + exp (-2ah)]
(4.7.47)
(4.7.48)
(4.7.49)
(4.7.50)
Eqs. (4.7.44) ~ (4.7.46) могут быть решены при использовании метода Копсона [52],
и решения следующие:
178 проблем Главы 4 Thermo-magneto-e1ectro-e1astic
до nT
2 f = F (a) = - = - r; 0i (r;) Джо (acr;) доктор;
2C44
0
до nT
2 s = Соль (a) = - = - r; 'ПИ (r;) Джо (acr;) доктор;
2C44
0
(4.7.51)
nT c2 f = H (a) = - = - r; 'P2 (r;) ДЖО (acr;) доктор;
2C44
0
где J 0 () является нулевым порядком Бесселевой функции первого вида. Функция
0/r;) должна удовлетворить интегральные уравнения Fredholm второго вида в
форме
где
Ки (lJ, t) = lJ f: s [Ми (s/c)-1] Джо (святой) Джо (slJ) dlJ
Функции 'P (r;) (j = 1, 2) 'P (r;) = 0.
1 J
(4.7.52)
(4.753)
Фактор интенсивности напряжения (SIF), электрический фактор интенсивности смещения (EDIF), и магнитный фактор интенсивности пролога, индукции (MIIF) уточнены и определены соответственно как
KT = lim ~2n (x-c) azv (x, 0) =T=t1Ji (l) -&, i=l, 2, 3, 4
x---+c + ~
(4.7.54)
KD = lil1l ~2n (x - c) Dy (x, 0) = ~ KT
x-> до C44
(4.7.55)
КБ = lil1l ~2n (x - c) B/x, 0) = ~KT (4.7.56)
x-> до C44
Для этой особой, частиц проблемы, усилий, электрических смещений и
магнитные индукции в трещины вершине показывают обратные особенности квадратного корня. Это ясно, что SIF, EDIF и MIIF зависят от размера геометрии
магнето-электро-эластичный, упругий уровень, механические условия загрузки и материала константы.
В случае/311 = 0 и 17, 5 = 0, результаты уменьшены точно до
решения растрескавшегося пьезоэлектрического уровня связанного с несходной половиной пробелов, данных Нарит и др. [53].
Ссылки
[1] Soh K, Луи Дж X. На учредительных уравнениях magnetoe1ectroe1astic твердых веществ. J.
Ссылки 179
Интеллектуальный Мат. Sys. Struc., 2005, 16:597 - 602.
[2J Ван Сучтелен Дж. Свойства результата: новое приложение композиционных материалов. Philips
Отчеты о научно-исследовательской работе, 1972,27:28-37.
[3J Ван ден Бумгэард Дж, Террелл D R, Перенесенная ВЛАСТЬ, и др. На месте выращенная эвтектика
магнитоэлектрический композиционный материал: партия 1, сочинение и однонаправленное отвердевание.
J. Мат. Наука, 1974,9:1705-1709.
[4J До Ли П Y. Вариационный принцип для уравнений ofpiezoelectromagnetism в упругом
диэлектрические кристаллы. J. Прикладная Физика, 1991,6:7470-7473.
[5J Он J H. Вариационная теория для линейного magnetoelectroelasticity. Интервал 1. Нет. Наука. Numer.
Моделирование, 2001, 2:309-316.
[6J Кинг Г Х, Qiu J J и Луи И Х. Измененный H-R перемешивал вариационный принцип для
тела magnetoelectroelastic и уравнение вектора состояния. Прикладной. Mathe. Механик, 2005,
26:722-728.
[7J Alshits V я, Darinskii Не - и Lothe J, На существовании поверхностных волн в полубесконечном
анизотропные упругие СМИ с пьезоэлектрическим и piezomagnetic propeliies. Движение волны,
1992, 16:265-283.
[8J До Ли П Y, Янг Дж С, Ю Дж Д, и др. чувствительность Напряжения электромагнитных резонансов в
круговые диэлектрические диски. 1. Приложение!. Физика, 1996,79:1224-1232.
[9J Литий J Y, Данн М Л Микромеханики magnetoelectroelastic композиционных материалов:
средние поля и эффективное поведение. J. Интеллектуальный Мат. Sys. Struct., 1998,9:404-416.
[Литий IOJ J мультивключение И. Мэгнетоелектроелэстика и проблемы неоднородности и их
приложения в композиционных материалах. Интервал. Дж. Энг Счи, 2000, 38: 1993 - 2011.
[IIJ Пэн Э. Эксэкт солушн для просто поддержанной и многослойной "гальванопластики магнето, упругой"
тарелки. Дж. Апп!. Механик, 2001,68: 608-613.
[12J Ми Кастрюли, Heyliger P R. Бесплатные колебания просто поддержанного и многослойный
тарелки magnetoelectroelastic. Дж. Сунд Виб., 2002, 252:429-442.
[13J Jiang X, Пэн Э. Эксэкт солушн для 2-ой многоугольной проблемы включения в анизотропном
полный magnetoelectroelastic - полу и плоскости биоматериала. Интервал. Дж. Солидс Струк., 2004,
41 :4361-4382.
[14 Ми Кастрюли J, Ен Ф. Эксэкт солушн для функционально градуируемого и слоистого магнето - электро-упругий
тарелки. Интервал 1. Наука инженера, 2005, 43:321-339.
[15J Ван X, Shen Y P. Общий раствор трехмерных проблем в
СМИ magnetoelectroelastic. Интервал. Дж. Энг Счи, 2002, 40: 1069-1080.
[16J Чен В К, Ли К И, Динг Х Дж. Общий раствор для поперек изотропического
эластичность magneto-electro-thermo-и потенциальный метод теории. Интервал 1. Наука инженера, 2004,
42: 1361-1379.
[17J Ву X Х, Shen Y P, Ван X. Сосредоточение напряжения вокруг hyperboloidal записывает под
напряженность в magnetoelectroelastic материале. ZAMM, 2004,84:818-824.
[18J Луи Дж X, Soh K, Клык D N, движущаяся дислокация в гальванопластике магнето упругое твердое вещество.
Механик Рес. Communi., 2005, 32:504-513.
180 Глав 4 проблемы Thermo-magneto-electro-elastic
[19] Ootao Y, анализ Танигоа И. Трэнсинта многослойного магнето-electro-thermo-elastic
разденьте из-за неоднородного теплоснабжения. Сложный Struc., 2005, 68:471 - 480.
[20] Soh K, Луи Дж X. Граничный debonding круговой неоднородности в
пьезоэлектрические-piezomagnetic соединения под антиплоскостью, механической и в плоскости
электромагнитная загрузка. Технология Науки соединений., 2005, 65:1347-1353.
[21] До Gao F, Тонг P, Занг Т И. Граничные первоклассные проблемы в твердых веществах магнето-electroelastic.
Интервал. Дж. Энг Счи, 2003, 41:2105-2121.
[22] До Spyropoulos P, До Соль Sih, Песня Z соединение Ф. Мэгнетоелектроелэстика с poling
найдите что-либо подобное к плоскости трещины плоскости при деформации из плоскости. Theore. Приложение!. Frac.
Механик, 2003, 40:281-289.
[23] Ван Б Л, Мэй И В. Первоклассное поле подсказки в piezoelectric/piezomagnetic СМИ. Euro. Дж. Меч.
A/Solids, 2003, 22:591-602.
[24] До Gao F, Kessler H, анализ Болка Х. Фрэктьюра электромагнитных thermoelastic твердых веществ.
Euro. Дж. Меч А/солидс, 2003, 22:433-442.
[25] Tian W Y, Гэбберт У. Пэраллель раскалывается около интерфейса magnetoelectroelastic
bi-материалы. Compu. Мат. Наука, 2005, 32:562-567.
[26] Ху К К, Соль Лития К. Констант, перемещающий трещину в magnetoelectroelastic материал под
антиплоскость стрижет загрузку. Интервал. Дж. Солидс Струк., 2005, 42:2823-2835.
[27] Tian W Y, проблема взаимодействия Гэбберта У. Микрокрэк-микрокрэка III
твердые вещества magnetoelectroelastic. Механик Мэт., 2005, 37:565-592.
[28] Литий X Ф. Динэмик анэлизиса растрескавшегося magnetoelectroelastic среднего размера под антиплоскостью
механические и inplane электрические и магнитные воздействия. Интервал 1. Твердые вещества Struc., 2005,
42:3185-3205.
[29] Tian W Y, Раджапаске Р K N анализ Д. Фрэктьюра magnetoelectroelastic твердых веществ путем
независимые интегралы. Интервал. Дж. Фрэк., 2005, 131:311-335.
[30] Zhou Z Соль, Ву Л З, поведение движущей силы Вана Б. Зэ двух коллинеарных интерфейсов раскалывается в
гальванопластика магнето упругие материалы. Euro. Дж. Меч А/солидс, 2005, 24:253 - 262.
[31] Ху К К, Соль Лития Q. Электро-магнето упругий анализ piezoelectromagnetic раздевает с a
конечная трещина под продольным стрижет. Механик Мэт., 2005,37:925-934.
[32] Чанг М И, Звон T До T. Зеленая функция для пьезоэлектрического piezomagnetic
магнето электрическая анизотропная резинка, среднего размера с овальной лункой или твердым включением. Philos.
Мэг. Послания, 1995,72:405-410.
[33] Луи Дж X, Луи X Л, Zhao Y функции Б. Грина для анизотропного magnetoelectroelastic
твердые вещества с краткой полостью или трещиной. Интервал. Дж. Энг Счи, 2001, 39: 1405 - 1418.
[34] Ми кастрюли. Функции трехмерного Зеленого цвета в анизотропной "гальванопластике магнето, упругой"
bi-материалы. ZAMP, 2002, 53:815-838.
[35] Ху П Ф, Динг Х Дж, Чен Дж И. Функция зеленого цвета для поперек изотропического
СМИ magnetoelectroelastic. Интервал. Дж. Энг Счи, 2005, 43:826-858.
[36] Литий J Y. Функции магнитоэлектрического Зеленого цвета и их приложение к включению и
проблемы неоднородности. Интервал. Дж. Солидс Струк., 2002, 39:4201-4213.
Ссылки 181
[37J Динг Х Дж, Jiang М., Ху П Ф, и др. функции Грина для двухфазового поперек
изотропическая гальванопластика магнето упругие СМИ. Анализ инженера с Граничными элементами, 2005,
29:551-56l.
[38J Qin Qinghua. Функции зеленого цвета magnetoelectroelastic твердых веществ с полуплоскостью
граница или интерфейс bimaterial. Philos. Мэг. Послания, 2004, 84:771-779.
[39J Qin Qinghua. Функции 20 Грина дефектных magnetoelectroelastic твердых веществ под
тепловая загрузка. Аналитическая Граница инженера с Элементами, 2005, 29:577 - 585.
[40J Яо В А. Обобщенные вариационные принципы трехмерных проблем в
твердые вещества magnetoelectroelastic. Чинезе Дж. Компу. Механик, 2003, 20:487 - 489.
[41J Луи Дж X, Ван X К, раствор Вана Б. Генерэла для двойных уравнений поперек
изотропические magnetoelectroelastic твердые вещества. Прикладной. Mathe. Механик, 2003, 24:684-690.
[42J До Gao F, Noda N. Тепловым образом вызванное граничное взламывание magnetoelectroelastic
материалы. Интервал. Дж. Энг Счи, 2004, 42, 1347-1360.
[43J До Gao F, Фэн В X. Функции зеленого цвета для проблемы плоскости в полубольшом количестве
пьезоэлектрический среднего размера. Механик Рес. Commun., 1998,25:69-74.
[44J Qin Qinghua, Мэй И В. Функция Зеленого цвета Thermoelectroelastic и ее приложение для
bi-материал пьезоэлектрических материалов. Дуга. Приложение. Механик, 1998,68:433-444.
[45J Qin Qinghua. Механика перелома пьезоэлектрических материалов, Саутгемптона: Нажатие ОСТРОУМИЯ,
200l.
[46J Qin Qinghua. Функции зеленого цвета magnetoelectroelastic твердых веществ и приложений к
анализ перелома//Proc. 9-ой Международной конференции по вопросам Осмотра, Оценки, Восстановлений
& Поддержка Структур, 20-21 октября, Фучжоу, Китай, 2005:93-106.
[47J Stagni Л. На упругом полевом волнении неоднородным в эластичности плоскости. ZAMP,
1982,33:313-325.
[48J ChenB J, Xiao Z М., КМ Liew. Дислокация винта в пьезоэлектрическом куске bi-материала.
Интервал. Дж. Энг Счи, 2002, 40:1665-1685.
[49J Seaborn J Си. Гипергеометрические функции и их приложения. Нью-Йорк:
Спрингер-Верлэг, 1991.
[50] Ху К К, Qin Qinghua, Канг И Л Антиплоскости стригут трещину в magnetoelectroelastic уровне
зажатый между несходной половиной пробелов. Инженер Фрэк. Механик (в нажатии)
[51] Ху К К, Соль Лития К. Констант, перемещающий трещину в magnetoelectroelastic материал под
антиплоскость стрижет загрузку. Интервал 1. Твердые вещества Struct., 2005, 42: 2823-2835.
[52] Копсон Э Т. На определенных двойных интегральных уравнениях. Proc. Математика Глазго. Помощник, 1961,
5:19-24.
[53] Нарит F, Shindo Y, Ватанабе К. Анти-плэйн стрижет трещину в пьезоэлектрическом связанном уровне
к несходной половине пробелов. Интервал JSME. Дж. Серис А, 1999,42: 66-72.
“Эта страница, оставленная преднамеренно, очищает.”