Микро макро теории гетерогенного Глава 6 проблемы

 
Глава 6 Реконструкция термо-электро-эластичной кости
6.1 Вводная часть
В Главах 3 и 4, мультиполевых теориях thermo-electro-elastic и проблемы thermomagneto-electro-elastic были представлены. Приложения теории отделить от костей реконструкции описаны в этой главе. Кость - своего рода динамически приспосабливаемый материал. Как любая другая живущая система, она имеет
механизмы для восстановления и роста или реконструкции, и механизмы, чтобы кормить составные части и убеждать, что любые материалы, необходимые для структурной работы, поставляемы к правильной площади как и когда требуется. Эти функции кости исполненны через три типа костной клетки: osteoblast косте-взрыв, osteoclast косте-гроздь, и osteocyte косте-клетка. Osteoblasts - обители, которые творят новую кость и как правило находятся, выравнивая кость поверхности, которые подвергаются обширной реконструкции. Osteoclasts являются крупными, мультиобразованными ядрами, удаляющие кость обители. Их функция должна портиться и удалить материал кости, который больше не необходим, или это было повреждено в некотором пути. Третий тип обители - osteocyte. Osteocytes, названный костью "обители датчика", ответственны за обнаружение физической среды к который скелетон подвергнут. Osteocytes характеризуются многими protoplasmic процессами, или дендритами, происходя от клеточного тела. Эти дендриты обители форма коммуникационная сеть с окружающими обителями, другим osteocytes, osteoblasts, и возможно osteoclasts, который передает сигналы от osteocytes что управляет действием osteoblasts osteoclasts. Активность этих трех обителей, клеток населения, и многочисленные другие биологические и биохимические факторы, скоординированны в непрерывном процессе в течение наших жизней, чтобы поддержать сильную,
здоровую систему скелетона.
Это должно быть примечательно что приложения мультиполевой теории отделить от костей реконструкции были сюжетом плодотворного научного внимания многих
208 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
выдающихся исследователей (например. Fukada и Yasuda [1,2], Крысзевский [3], Robiony [4], Qin и Вы [5] и другие). В начале 1950-ых, Fukada и Yasuda [1,2] нашли, что некоторая живущая кость и коллаген экспонируют пьезоэлектрическое поведение. Позже, Gjelsvik [6] представил физическое описание реконструкции кости ткань, с точки зрения очень упрощенной формы линейной теории piezoelectricity. Уильямс и Бреджер [7] исследовали применимость теории градиента напряжения для объяснения экспериментальных данных для иглодержателя  кости луча, бруска подвергнутого постоянной загрузке конца, показывая, что приблизительная теория градиента попала в хорошее
соглашение с экспериментальными данными. Guzelsu [8] представил пьезоэлектрическую модель для того, чтобы проанализировать иглодержатель сухого бруска кости, подвергнутого вертикальной загрузке конца.
Джонсон [9] и др. далее рассмотрел проблему сухого гимнастического бревна кости представлением некоторых теоретических выражений для пьезоэлектрического ответа на наклон иглодержателя гимнастического бревна. Demiray [10] предоставил некоторые теоретические описания электромеханических моделей реконструкции костей. Aschero [11]
и др. исследовали обратный пьезоэлектрический эффект свежей кости, используя чрезвычайно чувствительный дилатометр. Они далее исследовали пьезоэлектрические свойства кости  и представленный ряд повторных измерений коэффициента d23 на 25 коровы кости образцов [12]. Fotiadis [13] и др. изучил распространение волны в длинной корковой пьезоэлектрической кости с произвольным разрезом. EI-Naggar и Абд-Алла [14], и Ахмед и Абд-Алла [15] далее получили аналитические решения для распространения волны в длинных цилиндрических костях с и без полости. Сильва [16] и др. исследовал физико-химические, диэлектрические и пьезоэлектрические свойства анионного коллагена и соединений гидроксиапатита коллагена. Недавно, Qin и Вы [5], и Qin [17] и др. представили thermo-electro-elastic решение для внутренней и поверхностной реконструкции кости, соответственно. Учетные записи большинства событий в этой площади могут также быть найдены в [3, 18]. В этой главе, однако, мы ограничиваем наше обсуждение результатами, представленными в [5, 17, 18, 27].
6.2 Термо-электро-эластичная внутренняя реконструкция кости
6.2.1 Линейная теория термо-электро- эластичной кости
Рассмотрим полый круговой цилиндр составленный из линейно термо-пьезоэлектрической  кости материала, подвергнутого осесимметричной загрузке. Осевое, периферическое и
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 209
нормальное к средним поверхностным координатным параметрам длины обозначены z, ми и r, соответственно. Используя цилиндрическую систему координат, учредительное уравнения (3.6.6) могут быть переписаны в форме [5,19]
(jrr =cII&rr +CI2 &OO +cl3 &zz-e3l Ми z - Спускался
(joo =cI2 &rr +CII&OO +c13 &zz-e3l Ми z - Спускался
(jZ? = Cl3 &,.r + cl3&ee + C33&zz - ми 33 Ми z - A33T
(jzr =c44 &zr - еще., Доктор =e1S &zr +KIIE.
D z = ми 31 (&,.r + &00) + e33 &zz + K 33 Ми z - P3T
(6.2.1)
где ~ - интенсивность высокой температуры. Ассоциированные растяжения, электрические поля, и высокой температуры интенсивность соответственно связаны со смещениями U;, электрический потенциал ;, и изменение температуры T как
Ур
допустите ошибку =Ur.r '&00 = - &zz =Uz, z &zr =Uz, r +Ur, Z r
Er = - ;, r Ми z = - ;, z' W. =-T, r' Wz =-T, z
(6.2.2)
Для квазипостоянного поведения, в отсутствие источника тепла, свободного электрического заряда и массовых сил, набор уравнений для thermo-пьезоэлектрической теории кости завершен, добавляя следующие уравнения равновесия для высокой температуры потока, напряжения и электрических смещений к Eqs. (6.2.1) и (6.2.2).
(6.2.3)
6.2.2 Адаптивная упругая теория
Адаптивная теория используется, чтобы смоделировать нормальные адаптивные процессы, которые происходят в кости, реконструированной как растяжение, управляемое массовым снятием или процессами resorbtion , перепоглощения которые изменяют пористость пористого материала кости [20]. В адаптивном упругом учредительном уравнении представленом в [20], авторы вводили независимую переменную, которая является мерой фракции объема матрицы структуры. Пусть ~ обозначает фракцию объема матричного материала в
ненапряженной ссылке заявки и предполагает что плотность материала
создает матрицы  постоянными. Таким образом сохранение массы даст
уравнение, управляющее ~. Затем важное учредительное допущение было сделано [20]
210 реконструкций кости Главы 6 Thermo-e1ectro-e1astic
что, в постоянной температурной и нулевой массовой силе, там существует уникальная ссылка нулевого растяжения заявки для всех значений r;. Таким образом r; может измениться без изменения ссылки заявки для растяжения. Можно было бы вообразить блок пористого упругого материала с четырьмя очками, вершинами четырёхгранника, отмеченного на блоке с целью измерения растяжения. Когда пористость изменяется, материал добавлен или вырван из поры, но если материал является ненапряженным он остается, таким образом, и расстояние между этими четырьмя вершинами, отмеченными на квартале, блоке  не изменяется. Таким образом r; может измениться, в то время как ссылочное государство нулевого растяжения остается то же самое. Помня это, формальную четкость ми уровня реконструкции ( уровень, на котором масса за единичный объем добавлена к или удалена из пористой матричной структуры) и свободная энергия, Если' могут быть даны [20].
e = ми (r/J, F), 'P = 'P (r/J, F) (6.2.4)
где r/J - фракция объема матрицы, и трибуны F для деформации градиента. Более детальное обсуждение этой рецептуры (6.2.4) найдено в [20]. Рассматривая адаптивное свойство, обсужденное выше, традиционная эластичные отношения растяжения- напряжения становятся [20]
(Jij = (r/Jo +e) Cijkl (e) ckl' e=A * (e) +Aij (e) cij (6.2.5)
где r; o - ссылочная фракция объема материала костного матрикса, ми - изменение в фракции объема материала костного матрикса из его ссылки оценки r; o,
Ciikm (e) является матрицей чопорности, зависящей от ми изменения фракции объема, и * (e) и Au (e) являются материальными константами, также зависящими от объема ми изменения фракции. Eq. (6.2.5) выведено из массовых соображений баланса. Когда ми является очень маленькой, Eq. (6.2.5) может быть приближено простой формой
(6.2.6)
где Ко, Cp C2, Ай ~' и В является материальными константами. Когда r; o один и ми ноль, отношение растяжения напряжения (6.2.5) уменьшено до правила Хука для твердого тела упругого материала. В этой ситуации все поры костного матрикса были бы полностью заполненны материалом кости.
Уравнение реконструкции кости (6.2.5) может быть расширено, чтобы включать эффект тепловых и электрических полей, вводя некоторые новые термины как [5]
e = * (e) + A, Ми (e) Er + A; (e) Ez + A: '. (e) (crr +Cgg) + A: ~ (e) czz + A, 6 ~ (e) crz (6.2.7)
где AiE (e) и Ай;' (e) материальные коэффициенты, зависящие от объема
ми фракции. Eqs. (6.2.1) ~ (6.2.3) вместе с Eq. (6.2.7) творят основной набор
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 211
уравнения для адаптивной теории внутренней пьезоэлектрической реконструкции кости.
6.2.3 Аналитический раствор гомогенной круговой пустоты
цилиндрической кости
Мы теперь считаем прогнутый круговой цилиндр кости подвергнутой внешнему изменению температуры К, квазистатическая осевая загрузка давления P, внешнее давление p и электрический ; загрузки" (orland ;b). Граничные условия
T=O, (Jrr = (JrB = (Jrz =0, ; = ;a' в r=a
T=To, (Jrr =-p, (Младший () = (Jrz =0, ; = ;h' в r=b
(6.2.8)
и
(6.2.9)
где a и си обозначают, соответственно, внутренние и внешние радиусы кости, и S
площадь поперечного сечения. Для длинной кости предполагается что все смещения, температурный и электрический потенциал кроме осевого замещения Uz являются свободными из координаты z и что у Uz может быть линейная зависимость от z. Используя (6.2.1) и (6.2.2), дифференциальные уравнения (6.2.3) могут быть написаны как
[~ + ~~) До T=O [~ + ~~ __ I) u =A-8T
8r2 r 8r '11 8r2 r 8r r2 r II 8r
(6.2.10)
До [~ + ~~) u +e [~ + ~~) ; =O 44 8r2 r 8r z 15 8r2 r 8r
(6.2.11)
(6.2.12)
Решение к уравнению проводимости высокой температуры (6.2.10) удовлетворяющей границы условия (6.2.8) могут быть написаны как
T = В (r I a) К
В (кипа a)
(6.2.13)
Легко доказать это eqs. (6.2.1O) ~ (6.2.12) будут удовлетворены, принимаем ли мы
Си (t) г-н [ln (r I a)-1]
Ур =A (t) r +-+ (6.2.14)
r Cll
Uz = zC (t) + D (t) ln (r I a), ; = F (t) ln (r1 a) + ;a (6.2.15)
где A, Си, До, D и F - неизвестные переменные, которые будут определены, вводя
212 реконструкций кости Главы 6 Thermo-e1ectro-e1astic
граничные условия, и (ij = АЙ ITo. Замена Eqs. (6.2.14) и (6.2.15)
21n (си / a) в Eq. (6.2.2), и позже в Eq. (6.2.1), мы получаем
Си (t) - [C12 (r J r] (} реакция на облучение =A (t) (cII +cIJ - z-(CII-cI2) +c13C (t) +m - В - л-Inr
СИ a
(6.2.16)
Си (t) - [CI2 r r] (} fIfi = (t) (cII + C12) +-2-(CII-CI2) + C13C (t) + м. - В - В - л
r Cll a
(6.2.17)
(6.2.18)
(6.2.19)
Дюжина =2A (t) e31 +C (t) e33 + (ij ~ [2 дюйма (r/a)-I]-P3To В (r/a)
CII В (b/a)
(6.2.20)
Граничные условия (6.2.8) и (6.2.9) из усилий и электрического потенциала
требуют что
c44D (t) + elsF (t) = 0, Ра = F (t) В (си / a) + ;a
Си (t) CI2 _
(t) (CII +CI2) - 2-(CII-cI2) +c13C (t) - m=0
CII
(6.2.21)
(6.2.22)
(t) (cII +C Си (t) - [CI2 (си J си] IJ-
2
- (CII-cIJ+c13C (t) +m - В - л "в" =-p
си clI a
где
клюв 2 - 2) [2A (t) CI3 + До (t) C33 - F; *To] + F2* К =-P
(6.2.23)
(6.2.24)
F; * = 1 [C13AII_A33), F; =nbZ [~AII-A33) (6.2.25)
В (b/a) CII 2 CII
Неизвестные функции (t), Си (t), CCt), D (t) и F (t) с готовностью найдены от
Eqs. (6.2.21) ~ (6.2.24) как
1 {* [*] _ C33 CI2 F; К + домашнее животное) *} (t) =-* c33 fJI fJ2 К + домашнее животное) + м. - + z 2 CI3 - FI TOCI3
F3 Cll клюв-a)
Си (t) = a
2
fJ; [fJ; К + домашнее животное)]
clI - cl2
(6.2.26)
(6.2.27)
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 213
где
* 2 * си
2
F3 =C33 (CII +CI2)-2cI3,/31 = (/32*=& [5. L+1) 2 _b2)' 2 Cll
(6.2.28)
(6.2.29)
(6.2.30)
(6.2.31)
Используя выражения (6.2.26) ~ (6.2.30), смещения Un Uz и электрический потенциал даны
(6.2.32)
(6.2.33)
(6.2.34)
Растяжения и интенсивность электрического поля, появляющиеся в Eq. (6.2.7) могут быть найдены заменой Eqs. (6.2.13) и (6.2.32) ~ (6.2.34) в Eq. (6.2.2). Они,
соответственно,
1 {* [*] _ C33CI2 F; К + P (t) *}
Brr =-* c33 / 31 / 32TO + домашнее животное) + {J} - + 2 2 Cl3 - FI TOcl3 -
F3 CII n (си-a)
a2 / 3: [/3; К + домашнее животное)] mln (r/a)
2 + (6.2.35)
r (CII - cl2) Cll
1 {* [*] _ C33CI2 F; К + домашнее животное) *} Би =-* c33 / 31 / 32 К + домашнее животное) + {J} - + 2 2 Cl3 - F; TOcl3 +
F3 CII n (си-a)
a2 / 3: [/3; К + домашнее животное)] м. [ln (r / a)-1]
2 + (6.2.36)
r (cll - C12) Cll
214 реконструкций кости Главы 6 Thermo-e1ectro-e1astic
(6.2.37)
eIS (;b - ;a)
&r = -
- rc44 В (b/a)
(6.2.38)
E = (;b - ;J
r rln (b/a)
(6.2.39)
Затем подставляя решения (6.2.35) ~ (6.2.39) в Eq. (6.2.7) получаем результаты
. * 2 A,"; {* [*] _ C33CI2 F; К + Домашнее животное) *} ми = (e) + - c33 fJI fJ2TO + домашнее животное) + OJ-'-+ 2 2 C13 - F; TOC13 +
~ ~1 n0-a)
A:rw [2 дюйма (r/a)-1] A:z {[F.*T _ F; К +P (t)] () _
+ * 110 2 2 C11 +C12
ClI клюв F3-a)
(6.2.40)
Так как мы не знаем точные выражения материальных функций A* (e), AiE (e), Ай; (e), Cij, eij, Ajj, KJj и ' следующие приблизительные формы их, как предложено Коуином и Ван Баскирком [21] для маленьких значений ми, используются
здесь
A* (e) = Ко + C1e + C2e2
, A; Ми (e) = A; EO + земля; EI, ~ (e) = A~o + eA~1 (6.2.41)
и
(6.2.42)
где
p ~ и pj являются материальными константами. Используя эти приближения реконструкции уравнение уровня (6.2.40) может быть упрощено как
e=a (e2 - 2fJe+r) (6.2.43)
пренебрегая условиями e3 и более высокими заказами ми, где a, fJ и недожаренный
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 215
константы. Решение к Eq. (6.2.43) является прямым и было обсуждено
Hegedus и Cowin [22]. Для пользы читателя процесс раствора кратко описан здесь. Пусть e1, и e2 обозначают решения к e2 - 2fJe + r = 0, то есть.
(6.2.44)
Когда fJ2 <r, e1 и e2 являются парой сопряженного комплекса, решение
Eq. (6.2.43)
ми (t) = fJ + ~ (r - fJ2) загар [в ~ (r - fJ2) + arctan ~ (r - fJ2) 1
fJ - eo
где e=eo - начальное условие. Когда fJ2 = r, решение
Наконец, когда fJ2> r, мы имеем
(6.2.45)
(6.2.46)
(6.2.47)
Так как было доказано, что оба решения (6.2.45) и (6.2.46) физически вряд ли [21], мы будем использовать решение (6.2.47) в нашем числовом анализе.
6.2.4 Полуаналитический раствор для неоднородной цилиндрической кости
уровней
Решение, полученное в предыдущем разделе, является подходящим для того, чтобы проанализировать кости цилиндры, если они, как предполагается, гомогенные [21]. Это может быть полезно если требуются явные выражения и простой анализ. Это - факт, однако, та вся кости материалы экспонируют неоднородность. В частности для впалой кости цилиндра, фракция объема материалов костного матрикса изменяется от внутреннего до наружной поверхности. Чтобы решить эту проблему, мы представляем здесь полуаналитическую модель.
Рассмотрение Eqs. (6.2.1), (6.2.2) и (6.2.3) и принятие константы
продольного растяжения, следующие отличительные уравнения первого порядка могут быть полученны [5]:
216 реконструкций кости Главы 6 Thermo-e1ectro-e1astic
T (6.2.48)
где Ij/= эль - ми л22/эль' В вышеупомянутом уравнении, эффект электрического потенциала отсутствует. Это - то, потому что это - свободный Ура и О'р' Вклад электрического поля может быть вычислен отдельно как описано в предыдущем разделе и затем включен в уравнение уровня модернизации.
Предполагая, что уровень кости является достаточно тонким, мы можем заменить r имея в виду значение R, и позволить r=a+s, где 0 ~ s ~ h, a и h являются внутренним радиусом и толщиной тонкого уровня кости, соответственно. Таким образом, Eq. (6.2.48) уменьшен
к
:, [; Jl} ~~ до, ~-lJ R2 R J
r
_5l 1 r ~ • эль эля T 5 zz +
el3 (1-~ 12 / эль) (e12 / e1 ~-1), 111
Вышеупомянутое уравнение может быть написано символически как
o - [F] = [Соль] [F] + [ГЕКТОЛИТР] + [HT] рот
где [Соль], [ГЕКТОЛИТР] и [Час] - все постоянные matrices.
(6.2.49)
(6.2.50)
Уравнение (6.2.50) может быть решено аналитически, и решение [23]
[Ур ()] = ми [Соль] s [Ур (0)] + f> [Соль] (s-r) [ГЕКТОЛИТР] d r + f> [Соль] (s-r) [Час] d r (6.2.51)
О'рр (s) 0'1/. (0)
где Ур (O) и О'рр (0) является, соответственно, смещением и напряжением в
нижней поверхности уровня. Перезапись Eq. (6.2.51) как
[F (s)] = [D (s)] [F (O)] + [ДЛ] + [DT] (6.2.52)
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 217
Показательная матрица может быть вычислена следующим образом
[D (s)] = ми [Соль] s = ao (s) J + л () [Соль]
откуда ao (s) и л () могут быть решены
ao (s) +atCs) мн =efJ] S
ao (s) + л (S) p2 = efJ2s
(6.2.53)
(6.2.54)
В Eq. (6.2.54) ПИ и 132 являются двумя собственными значениями [Соль], которые дают
[ПИ] = _1 ± _1 ~5 _ 4 cl2 (6.2.55)
132 2R 2R Cll
Рассматривая теперь s=h, то есть внешняя поверхность уровня кости, мы получаем
[F (h)] = [D (h)] [F (O)] + [ДЛ] + [DT] (6.2.56)
Осевое напряжение, примененное в конце кости, может быть найдено как
[CI2) U [c2) [) l3 cl3 cl3
(} zz =cl3 1 - + C33 - &zz + - (} реакция на облучение + - Все - 1,33 T
CII R CII CII CII
(6.2.57)
Проблема напряжения может быть решена, вводя граничные условия
описанные на верхних и нижних поверхностях в Eq. (6.2.56) и
Если [[CI2) U [CI
2
3) c13
S c13 1 - + C33 - &zz + - (} реакция на облучение +
Cll R Cll Cll
[::;" - л,} 1dS =-P' (t) (6.2.58)
где P' (t) является осевая сила, исключая эффект электрического поля.
Для раздела кости с толстыми стенами или раздела с переменной фракцией объема в радиальном направлении мы можем разделить кость на многие подуровни, каждый из которых является достаточно тонким и, как предполагается, составлен из гомогенного материала. В пределах уровня мы берем скупое значение фракции объема уровня как фракция объема уровня. Как следствие, анализ, описанный выше поскольку тонкая и гомогенная кость может быть применена здесь для подуровня в прямой манере. Например, для thej-th уровня, Eq. (6.2.56) становится
[FU\hj)] = [DU\hj)] [МАРИХУАНА) (O)] j + [DiJ)] + [D} j)] (6.2.59)
где привет обозначает толщину ofthej-th подуровня.
Рассмотрение сценария смещений и поперечных усилий через
интерфейсы между этими фиктивными подуровнями, мы имеем
[F (j) (h)] = [F (J+I) (O)] (6.2.60)
После установления Eq. (6.2.59) для всех подуровней, следующее уравнение может быть
218 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
полученно при использовании Eqs. (6.2.59) и (6.2.60) рекурсивно:
[F (hN)] = [D (N) (hN)] [F (hN_I)] + [DiN)] + [D~N)]
[D (N) (hN)] {[D (N-I) (hN_I)] [F (hN_2)] + [Dt-I)] + [D~N-I)]} + [DiN)] + [D~N)]
= [D (N) (hN)] [D (N-I> ChN_I)] [F (hN_2)] +
[D (N) (hN)] {[ШУМ-I)] + [D~N-I)]} + [DiN)] + [D~N)]
= [D (N) (hN)] [D (N-I) (hN_I)] [D (N-2) (hN-J] ··· [D (N-j) (hN_ j)] [F (hN_ j_I)] +
[D (N) (hN)] [D (N-I) (hN_I)].. · [DN-j+l (hN_ j+l)] {[Dt-j)] + [D~N-j)]} +
[D (N) (hN)] [D (N-l) (hN-1
)] ··· [D N-j+2 (hN_ j+2)] {[ШУМ - j+l)] +
[D~N-j+l)]} +... + [D (N) (hN)] {[DfV-1)] + [DVV-л)]} + [DiN)] + [D~N)]
= ['P'] [F (O)] + [.Q] (6.2.61)
где
1
['P'] = I1 [D (j) (h)]
i~N
< {} (6.2.62)
[.Q] = ~ D [D (j\h)] {{[Dt-1)] + [D~N-I)]} + {[Dt)] + [Dt)]}}
Это может видеться что Eq. (6.2.61) имеет ту же самую структуру и измерение как
таковые из Eq. (6.2.56). После представления граничного условия, наложенного на
две поперечные поверхности и рассматривая Eq. (6.2.58), поверхностные смещения и/или усилия могут быть получены. Представление этих решений отступает в уравнения на уровне подуровня, смещениях, усилиях и затем напрягаются в пределах каждого подуровня может быть далее вычислено.
6.2.5 Внутреннее поверхностное давление вызвано контактом medullar середины
Протезные устройства часто используют металлические контакты, вписывался в сердцевину длинной кости как средство присоединения. Эти контакты medullar, сердцевины вызовут кость в близость контакта, чтобы изменить его внутреннюю структуру и внешнюю форму. В этом раздел мы вводим модель, представленную в [17,18,21] для внешних изменений в форме кости. Теория применена здесь к проблеме определения изменений во внешней форме кости, которые следуют из контакта сил - вписанных в сердцевину. Область diaphysial, двуфизична длинной кости смоделирована здесь как полый круговой цилиндр,
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 219
и внешние изменения в форме - изменения во внешних и внутренних радиусах
полого кругового цилиндра. Раствор этой проблемы может быть получен, анализируя проблему в две отдельных подпроблемы: проблема реконструкции пустоты кругового цилиндра адаптивного материала кости, подвергнутого внешним загрузкам, и проблема изотропического твердого упругого цилиндра, подвергнутого внешнему давлению. Эти две проблемы иллюстрированы в Рис. 6.1.
Рис.6.1. Разложение medullar, середины прикрепляет проблему в две отдельные под - проблемы
Для изотропического твердого упругого цилиндра, подвергнутого внешнему давлению p (t), смещением в радиальном направлении дает
- (2, u + A) p (t) r
u = - '-'----"-"---' - '-
2, u (3A + 2, u)
(6.2.63)
где A и, u являются константами Ламе для изотропического твердого упругого цилиндра.
В этой проблеме мы вычисляем давление взаимодействия ), которое происходит когда изотропический твердый цилиндр радиуса ao + 6 / 2 усилено в полый адаптивный цилиндр кости радиуса ao'
Пусть a, и си обозначают внутренние и внешние радиусы, соответственно, полый цилиндр кости в момент после твердого изотропического цилиндра был усилен в полый цилиндр. Хотя радиусы прогнутого цилиндра будут фактически изменять во время процесса адаптации, отклонения этих количеств от
a и си будут небольшим количеством, незначительным в маленькой теории растяжения.
В произвольный момент времени после того, как были спрессованы эти два цилиндра давления взаимодействия - ПИ (t). Радиальное смещение твердого вещества цилиндра в его поверхности
220 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
- (2f1 + A) ПИ (t) a
U---'---=-------'-"---' - '----'-
I - 2f1 (3A + 2f1)
(6.2.64)
Используя выражение (6.2.32), радиальное смещение кости в его внутренней
поверхности получена как
{* * _ C33CI2 F; К + домашнее животное) *}
U 2 =-* c33 / 31 [/32 К - ПИ (t) + домашнее животное)] + OJ - + 2 2 C\3 - F; TOc\3 +
F3 CII клюв - a)
a/3; [/3; К - ПИ (t) + домашнее животное)] OJa (6.2.65)
Так как предполагается, что у двух поверхностей есть совершенный контакт, у двух  смещений есть следующие отношения:
6
au + - + ul = ao + u2 2
(6.2.66)
Следовательно мы находим
6=2 (U2-uI) (6.2.67)
Подставляя Eqs. (6.2.64) и (6.2.65) в Eq. (6.2.66), и затем решая Eq. (6.2.66) для ПИ (t) мы получаем
1 o [си
2
p, (t) ~ - II ~ - H, си'-a' +H, си'-1a '+H, В (1 ~ л:
2 c13P (t)
H =---
2 F* 3 n
(6.2.68)
(6.2.69)
(6.2.70)
(6.2.71)
(6.2.72)
Eq. (6.2.68) решение внутреннего поверхностного давления, вызванного
вставкой medullar, середины контакты.
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 221
6.2.6 Числовые примеры
Как числовая иллюстрация предложенных аналитических и полуаналитических решений, мы рассматриваем бедро с a=25 мм и b=35 мм. Свойства материала принятые для кости
CII = 15 (1 + e) С.Б.Б., CI2 = CI3 = 6.6 (1 + e) С.Б.Б., C33 = 12 (1 + e) С.Б.Б.
C44 =4.4 (1+e) С.Б.Б., ~I =0.621 (1+e) x105NK-Im-2
.. 133 = 0.551 (1 + e) x 105 NK-Im-2, P3 = 0.0133 (1 + e) CK-Im-2 (6.2.73)
e31 =-0.435 (1 + e) C/m2
, e33 = 1.75 (1 + e) C/m2
el5 = 1.14 (1 + e) C/m2, KII =l11.5 (1+e) Ko, K33 = 126 (1+e) Ko
Ko = 8.85 X 10 - 12 C2 INm 2 = диэлектрическая постоянная, разрешение свободного пространства
Коэффициенты уровня реконструкции, как предполагается,
и
Ко = 3.09 X 10-9 S-I, CI = 2 X 10-7 S-I, C2 = 10-6 S-I
A: 'O = A:I = A:zo = A:zI = A:o = AI:I = 10-5 S-I
ArEo = AIEl = 10-15 м. / (V ртов) =10-15 До / (Номера)
Начальные внутренние и внешние радиусы, как предполагается,
ao =25 мм, филиал =35 мм
и eo=O принят. В вычислении Ур (t)« ao был принят для пользы простоты, то есть, акт), и си (t) может быть приближен ao и шиканьем
(1) Полая, гомогенная круговая цилиндрическая кость, подвергнутая различным
внешним нагрузкам.
Проанализировать поведение реконструкции, затронутое различными случаями загрузки мы отличим следующие пять загружающихся случаев:
Домашнее животное компакт-диска) = n x 2 MPa (n=1, 2, 3, 4), P (t) =1500 N, без других типов загрузка применялась.
Таблица 6.1 Перечисляет результаты в некоторых типичных случаях времени, полученных обоими аналитические и полуаналитические решениями. Полуаналитический раствор получен деля кость на N (= 1 0, 20, 40) подуровни. Это очевидно из таблицы, и также от других обширных сравнений, которые не показывают здесь, что у растворов есть превосходное соглашение по уровню изменения ми пористости. Следовательно, для числовых результатов представленных ниже, никакие ссылки не даны относительно которого
метод используется, чтобы получить раствор, если иначе не заявлено. Это также очевидно из таблицы, что числовые результаты будут постепенно сходиться к точной
222 Главы 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
оценке, поскольку уровень номера N увеличивается.
Табличное 6.1 Сравнение ми пористости полученой аналитическим и полуаналитическим решением
(P=ISOO N, p=2 Mpa)
Тайм (сухой) SOO 000 1000000 я SOO 000 2000000
N=10 7.283x и се 5 л. S33 x l0-4 2.423x и се 4 3.406x и се 4
Полуаналитический N=20 7.294x и се 5 Я S36x JO-4 2.427x и се 4 3.412x 10-4
N=40 7.297x 10-5 л. S36x l0-4 2.428x и се 4 3.413 x и се 4
Аналитичный 7.298x и се 5 1.536x l0-4 2.428x JO-4 3.414x 10-4
Расширенные результаты для этого случая загрузки показывают в Рис. 6.2
продемонстрируйте эффект внешнего давления на процесс реконструкции кости. Это очевидно, что есть критическое значение PrO' выше которой пористость бедра
будет уменьшена. Критическое значение PrO в этой проблеме приблизительно
2.95 MPa. Также очевидно, что пористость бедра увеличивается наряду с
увеличением внешнего давления p.
0.01
0.00 ~~~~~~~~ м. ==:::::::::::::::::::: = - 0.01 F-
-0. Q2
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-0.07
., - 0.08
- 0.09
-0.10
- 0.1 1
-0.12
-0.13
-0.14
-0.15
- 0.16
-0.17
__ p=2MPa
_p=4 MPa
__ p=6MPa
_p=8MPa
- 0.18 '-------' _----L_---'-_---'-_---'-_ - '-_ - '-_----'-_ -' - _.. L.----'
0.0 0.5 1.0 2.0 2.5
Рис. 6.2. Изменение  ми со временем t (tPb - tPa = К = 0 и P = IS00 N)
® P=1500 N и внутреннее давление поставлен, вставляя твердый контакт
чей радиус' больше чем a.
Значения ми как функция часто для a*-a=O.Ol мм, 0.03 мм, и 0.05 мм
показаны в Рис. 6.3. Это интересно обратить внимание на то, что для этих трех случаев, кости структура в интерфейсе кости контакта инсценируют себя первоначально, чтобы стать менее пористой и
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 223
затем в государство с даже меньшим количеством пористости. Это сопровождается быстрым отдыхом пористости, обозначенная резко уменьшенным значением ми. Как рассчитывают бесконечность подходов, структура кости стабилизирует себя в умеренно уменьшенной пористости. Хотя разительная перемена постоянной реконструкции наблюдается во время реконструкции процесс, считается, что эффект изменения на структурах кости ограничен фактом, что продолжительность изменения очень коротка по сравнению со всем реконструкции процессом. Этот результат совпадает с Коуином и Ван Баскирк [21] теоретическое соблюдение, которое показало, что структура кости могла бы склоняться к физиологически невозможной структуре кости в конечный промежуток времени. Оба из них были
наблюдаемы клинически и классифицированны как остеопороз (лишняя плотность с максимальным значением e) и osteopetrosis (лишняя пористость с минимальным значением из e), соответственно. Рис. 6.3 также показывает изменение ми против плотности подгонки. Очевидно, что плотность подгонки имеет существенные эффекты на реконструкции процесс, особенно во время периода времени, когда резкое изменение пористости происходит. Это должно быть упомянуто, вот то, что уровень реконструкции в течение этого периода может только служить признаком процесса моделирования, так как уравнение (6.2.43) только допустимо для того, чтобы предсказать низкий уровень реконструкции. Таким образом, подробный анализ уравнения не будет обеспечивать дальнейшую достоверную информацию. Более сложные и усовершенствованные модели реконструкции очевидно необходимы. Однако, предсказание действительно предполагает, что возможность существует поражения власти на контакте, или высокого уровня растяжимые усилия в уровне кости, окружающем контакт, который может вызвать трещины.
0.8
0.6
0.4
0.2
.,
- 0.2
- 0.4
-0.6
- 0.8
- 1.0
0 10 20
_ a*-a=O.O л мм
___ a*-a=0.03mID
__ *-a=0.05 СЕРЕДИНА
40
Рис.6.3. Изменение ми со временем, вызванным твердым контактом
50
224 Главы 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
® К (t) = lOoe, 20oe, 30oe, 40T.
Рис. 6.4 показывает эффекты изменения температуры на уровне реконструкции кости в r = филиал, когда rPb - rPa =p (t) =P (t) =O. Вообще, низкая температура вызывает больше пористые структуры кости, в то время как обстановка разминочного упражнения может улучшить реконструкцию процесса с менее пористой структурой кости. После рассмотрения всех других факторов, ожидается, что есть привилегированная температура под который идеал
реконструкция уровня может быть достигнут.
- To=10 'до
0.016 - To=20 'До
- To=30 'до
~ To=40 'до
0.012
., 0.008
0.004
0.0 0.5 1.0 2.0 2.5
Рис. 6.4. Изменение  ми со временем t для нескольких температур (;b - ;a = P = P = 0).
) rPb - rPa = - 60 V, - 30 V, 30 V, и 60 V, r = филиал, и To=p=P=O.
Рис. 6.5 показывает изменение ми со временем t для различных значений электрической разности потенциалов с To=p=P=O. Это может наблюдаться от Рис. 6.5 что там не существенные различия между уровнями реконструкции когда внешнее электрическая разность потенциалов rPb - rPa изменяется от - 60 V к 60 V, хотя это наблюдаемый, что повышения ставки реконструкции как электрическая разность потенциалов смерти. Однако, результат действительно предполагает, что процесс реконструкции может быть улучшенный, выставляя кость электрическому полю. Дальнейшие теоретические и экспериментальные исследования необходимы, чтобы исследовать значение этого в медицинской тренировке. rPb - rPa = - 60 V, - 30 V, 30 V, и 60 V, домашнее животное) = 2 MPa, P (t) =1500 N,
и To=O.
6.2 Thermo-electro-elastic внутренняя кость, реконструирующая 225
10
- ; 'b-<P. =-60Y
8
- ; 'b-<P. =-30Y
~ ; 'b-<P. = 30 V
- + - ; 'b-<P. = 60 Y
.... 6
'0
X.,
4
2
0
0.5 1.0 2.0 2.5
Рис.6.5. Изменение  ми со временем t для нескольких разностей потенциалов (К = p = p = 0)
Этот случай загрузки рассматривают, чтобы изучить эффект сцепления
электрические и механические загрузки на уровне реконструкции кости. Рис.6.6 показывает числовые результаты фракции объема изменения против различных значений электрических потенциальных разниц e;b - ;a, когда To=O, P (t) =1500 Не - и p (t) =2 MPa. Как наблюдаемый в Рис. 6.5, это может снова видеться от Рис. 6.6 что реконструкция кости повышения ставки наряду с уменьшением разности потенциалов, если> o-;a. сочетание электрических и механических загрузок имеет результатом существенно отличающиеся значения уровня реконструкции, когда различные электрические поля применены.
(2) Полая, неоднородная круговая цилиндрическая кость, подвергнутая внешней
загрузке.
Геометрические и материальные параметры этой проблемы - то же самое как
используемые в вышеупомянутых случаях за исключением того, что все материальные константы в Eq. (6.2.73) теперь измененные множителем [l-(л - ~ (b-r) / (b-a)], где 0 ~ ~ ~ 1 и представляет снижение процента чопорности во внутренней поверхности кости. Это стоит упоминая что при использовании полуаналитического подхода, формы чопорности изменения в радиальном направлении могут быть произвольными. Рис. 6.7 показывает, что результаты ет
у внешней поверхности кости для ~ =l, 0.8, 0.6 и 0.4 экстремальной нагрузки
p=4 MPa, P=1500 N, T=40, и ;b - =30;a V. Вообще, уровень реконструкции
снижается как начальная чопорность внутренней кости поверхности уменьшается. Когда времени бесконечность подходов, замечено что снижение чопорности в радиальном
226 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
направлении имеет незначащий эффект на уровень реконструкции внешней кости
поверхности. Это соблюдение предполагает что, игнорируя снижение чопорности в радиальном направлении может давать результат удовлетворительное предсказание процесса реконструкции, происходящего во внешнем уровне кости.
5
- (h-<p. =-60 V
4
- +-t/Jb - <p. =-30V
............... t/Jb - <P. = 30V
---+---t/Jb - <p. = 60V
"0 3
x
'" 2
0.0 0.5 1.0 2.0 2.5
Рис. 6.6 . Изменение  ми со временем t для загрузок сцепления (p=2 MPa, Не - и P=1500 To=O)
-0.05
- 0.10
'"
-0.15
-0.20
- 0.25
0 10 20
-- ~=1.0
------ ~=0.8
............... ~ =O.6
---+--- ~= 0.4
40 50
Рис.6.7. Изменение ми со временем t для неоднородной кости, подвергнутой загрузкам сцепления
(p=4 MPa, P=1500 N, To=40 и ;b - ;a = 30 V)
6.3 Thermo-electra-elastic появляются кость, реконструирующая 227
6.3 Термо-электро-эластичная поверзности кость реконструируемая
6.3.1 Уравнение для поверхностной реконструкции кости
Электроэластичная модель для реконструкции поверхности, описанной здесь, основана на работе Cowin и Buskirk [24]. Они представили гипотезу что скорость поверхности реконструкции линейно пропорциональна тензору растяжения под допущением маленького растяжения
U (n, Q, t) = Cij (n, Q) [sij (Q, t) - s ~ (Q, t)] (6.3.1)
где U (n, Q, t) обозначают скорость поверхности реконструкции, нормальной к
поверхности в поверхностном очке Q. Это принято , что скорость поверхности в любом направлении в плоскости тангенса - ноль, потому что поверхность не перемещается тангенциально относительно тела. n – нормаль к поверхности кости  в точке,  Q, s ~ (Q, t) является ссылочным значением растяжения, где никакая реконструкция не происходит, и Cij (n, Q) являются поверхностью, реконструирующей коэффициенты уровня, которые являются, вообще,
зависящими от очка Q и нормального n к поверхности в К. Ур. (6.3.1)
дает нормальную скорость поверхности в очке Q как функция существующего государства растяжения в Q. Если государство растяжения в Q. sij (Q, t), равно
ссылочному государству растяжения, s; ~ (Q, t), затем скорость поверхности - ноль и нет реконструкции происходит. Если правая сторона Eq. (6.3.1) положительна, поверхность растет снятием материала. Если, с другой стороны, правая сторона
Eq. (6.3.1) негатив, поверхность – resorbing, пересорбирует.
Eq. (6.3.l) может быть расширено, чтобы включать пьезоэлектрические эффекты, добавляя некоторые новые условия как ниже [17,18]
U = Cij (n, Q) [sij (Q, t) - s ~ (Q, t)] + До; (n, Q) [Эдж (Q, t) - EjQ (Q, t)]
(6.3.2)
До; поверхность
228 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
реконструкция коэффициентов.
6.3.2 Дифференциальное уравнение поля для уровня реконструкции поверхности
Мы теперь считаем снова полый круговой цилиндр кости используемым в Разделе 6.2. Цилиндр кости подвергнут той же самой внешней загрузке и границе
условия как те в Разделе 6.2. Замена Eqs. (6.2.35) ~ (6.2.39) в Eq. (6.3.2) дает результаты
си ми
2
ми I ми 1 ми 1 ми До
Ue = си NJ 2-a 2 + N2 - (b) + си N3 2-a 2 + N4 (b) - 0
~ - ~ -
a
U N p b2 NP' a
2
NP 1 NP 1
P = J си 2-a 2 + J си 2-a 2 + 2 - () си + 3 си 2-a 2 + В -
a
(6.3.3)
где
(6.3.4)
(6.3.5)
(6.3.6)
6.3 Thermo-electra-elastic появляются кость, реконструирующая 229
N P' -
I -
(До:' - C {~ (~-l) Ta + P (t)]
N3P-1* [(Cp Cp) () CP] домашнее животное) e\3 реакция на облучение + исключая ошибки - эль + ми l2 zz-
~ n
(6.3.9)
(6.3.10)
(6.3.11)
(6.3.12)
(6.3.13)
и приписки p и ми обращаются к periosteal, перио-перехват и endosteal , конца-перехват соответственно. Начиная с Ue и скорости нормальные на внутренние и наружные поверхности цилиндры, соответственно, они вычислены как
U = _da U =db
ми dt' P dt
(6.3.14)
где знак "минус", появляющийся в выражении для Ue, обозначает что
прямой нормали поверхности endosteal находится в отрицательном координатном направлении.
Замена Eq. (6.3.14) в Eq. (6.3.3) дает результаты
230 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electra-elastic
си неона da
2
Неон 1 ми N 1 неон 1 Ce
-d-t = 1 си 2-a 2 + 2-I (b) + 3 си 2-a 2 + 4 я (b) - 0 n -
a
(6.3.15)
N;' (b)-Ct'
багажный отсек-:z
где До {= ct-N;.
6.3.3 Приближение для небольших изменений в радиусах
Это очевидно что Eq. (6.3.15) нелинейны и не может, вообще, быть решены
аналитически. Однако, уравнения могут приблизительно линеаризоваться когда они применены, чтобы решить проблемы с небольшими изменениями в радиусах. В поверхности кости реконструируя процесс, мы можем предположить что радиусы внутренней и наружной поверхности из кости изменяются очень немного по сравнению с их оригинальными значениями. Это означает что изменения в акте) и ставка), являются маленькими. Это - разумное допущение от точка обзора физики проблемы. Вводить приближения безразмерные параметры
си
&=--1, 7]=--1
филиал ao
(6.3.16)
приняты в следующих вычислениях. В результате (t) и ставка), может быть написаны
как
(t) = [l+& (t)] ao, ставка) = [1 + 7] (t)] филиал, &, 7]« 1 (6.3.17)
Так как оба & и 7] намного меньше, чем один, их площади могут быть проигнорированы от уравнений. Следовательно, у нас могут быть следующие приближения:
b2 2
22 = ~ Л 2 ao o+2Lo-2 (&-7])
b - филиал
(6.3.18)
2 b2
~, 2,2 0 ()
2 2 =Lo + Ло-2 &-7]
b - ao
(6.3.19)
(6.3.20)
6.3 Thermo-electra-elastic появляются кость, реконструирующая 231
(6.3.21)
1 1 1 2
( )
~ - LJ (1 - [;) + - LJ
([; - 7J)
aIn-b ao ao
a
(6.3.22)
1 1 1 2
( )
~ - LJ (1 - 7J) + - LJ
([; - 7J)
багажный отсек ~ филиал филиала
a
(6.3.23)
где
(6.3.24)
(6.3.25)
(6.3.26)
(6.3.27)
Таким образом, Eq. (6.3.15) может быть приблизительно представлено с точки зрения [; и 7J, как следует
(6.3.28)
где
(6.3.29)
(6.3.30)
(6.3.31)
(6.3.32)
232 Главы 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
6.3.4 Аналитические решения поверхностной реконструкции
(6.3.33)
(6.3.34)
Аналитическое решение Eq. (6.3.28) может быть получено если намазано гомогенное свойство принятое для материала кости. В таком случае, неоднородная линейная дифференциальная система уравнений (6.3.28) может быть обращена в следующий гомогенный:
{
de' = Си &' + Си 7]'
dt) 2
-d-.! Л' = Си '&' + Си' 7]' dt) 2
(6.3.35)
вводя две новых переменные, таким образом, что
{~: :~=~: (6.3.36)
1, , 1"
&= = - (B3B2-B3B2), 7] = = - (B3B)-B3B \)
detM detM
(6.3.37)
M = [B) B2]
СИ (СИ ~
(6.3.38)
detM = B) Си ~ - Си (B2 (6.3.39)
Решение Eq. (6.3.35) согласно начальным условиям, что &(0) = 0
и 7] (0) = 0, может быть выражено в четырех возможных формах, которые выполняют физику проблемы, то есть, когда t ~ =, & и 7] должны быть ограниченные количества, <диапазон решение должно быть устойчивым. Форма решения зависит от основных тонов после квадратного уравнения
S2 - концерн г-жа + detM = 0 (6.3.40)
где
(6.3.41)
Все теоретически возможные решения показывают следующим образом:
Случай 1, Когда (B) - Си ~) 2 + 4B2B;> 0, B) + Си ~ <0 и B) Си ~ - B2B;> 0,
6.3 Thermo-electra-elastic появляются кость, реконструирующая 233
Eq. (6.3.40) имеет два различных основных тона, s] и S2', оба из которых реальны и
отличны. Затем растворы уравнений - я
'-1 [(B)-SII (B)-82
1 J &---S2&m - 3 ми + 3 -Sj&m ми
Sj-S2
17,-1-[(S217 = - B3') ми - сидят + (B3'-S] 17 =) ми-821J
S1 - S2
(6.3.42)
который может также быть написан как l& (t) = &m + _1 _ [(S2&m - B3) электронный-s1t + (B3 - Sj&m) электронный-s2tJ
s]-S2
() я [(')-I · t (')-\1 17 t =17 = + - S217 =-B3 ми 'Я + B3-s117 = ми '2 J
Sj-S2
(6.3.43)
Формула для изменения радиусов, то есть, акт), и си (t), со временем может быть получена подставновкой Ур.(6.3.43.) в Ур. (6.3.16) . Так
(6.3.44)
Заключительные радиусы цилиндра затем
{
a, n = lim (t) = ao (я + &,n)
bm =;:b (t) =bo (1+17 =)
t-> =
(6.3.45)
Случай 2. Когда (B1-си ~) 2+4B2B; =O, Bj*B ~ и Bj+B ~ <O, Eq. (6.3.40) имеет два равных основных тона, Си ~ + B1. Решения уравнения
{ [
B - СИ']} B2+BI [
&' = - &= + j 2 2 &= + B217 = t ми 2
{
[(СИ' _B) 2 СИ '-B II СИ
2
'+Blt
'-_ _ 2] & _ 2] t ми 2 17 - 17 м. 4B2 м. 2 17",
(6.3.46)
которое может быть написано как
(6.3.47)
Формула для вариации и с временем может быть получено
234 Главы 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
заменой Eq. (6.3.47) в Eq. (6.3.16) как
{ [
Си си']} B2+Bl
(t) =ao +ao&=-ao &= + j ~ 2 &= +B2'l = t e-2 -
t
{ [
(Си' _B) 2 Си '-B l} B2+Bl
ставка) = си + си 'л - си 'л - 2 j & - 2 j 'л t ми 2 t
o 0 = 0 = 4B = 2 =
2
(6.3.48)
Заключительные радиусы цилиндра затем
[
a =. =lt-i-> м. = (t) =ao (1+&=)
b = =limb (t) = филиал (1 + 'л =)
(-десять
(6.3.49)
Случай 3, Когда Bj = Си ~ <0 и B2 = 0, решения уравнений
{
&' = _& eElt
'л' = - (B;&=t + 'л =) eElt (6.3.50)
которое может также быть написано как
{
&(t) = &= - &=e
Ejt
'л (t) = 'л = - (B;& 'nt + 'л =) ми
Elt (6.3.51)
Формула для изменения (t) и ставка) со временем может быть получена
заменой Eq. (6.3.51) в Eq. (6.3.16) следующим образом:
{
(t) = ao + ao&= (1-угрей!)
ставка) = филиал + bo'l = - филиал (Си; &j + 'л =) eBl!
(6.3.52)
Заключительные радиусы цилиндра затем
{
=lima (t) =ao (1+&x,)
(-teo
b = = конечность (t) = филиал (1 + 'л =)
!-->=
(6.3.53)
Случай 4, Когда Bj = Си ~ <0 и Си; = 0, решения уравнений
{
&' = - (Си. 2'lj + &=) ми
Blt
'л' = - 'л, xeBl!
которое может также быть написано как
{
&(t) = &u.' - (B2'lmt + &w) ми
Blt
'л (t) = 'л = _ 'l=eElt
(6.3.54)
(6.3.55)
Формула для изменения радиусов со временем могут быть получена
заменой Eq. (6.3.55) в Eq. (6.3.16). Таким образом
6.3 Thermo-electro-elastic появляются кость, реконструирующая 235
{
(t) = ao + aOIi =-aO (B2 '7=t + 1i =) e811
си (t) =bo + филиал '7 = (1-eB1I
)
Заключительные радиусы цилиндра затем
{
a = =lima (t) =ao (1+Ii =)
!---teo
.
b = = конечность (t) = филиал (1 + '7 =)
1->=
(6.3.56)
(6.3.57)
Все вышеупомянутые растворы теоретически допустимы. Однако, первый наиболее вероятный раствор к проблеме, поскольку это физически возможно когда t ~ = [17, 18]. Поэтому это может использоваться, чтобы вычислить реконструкцию поверхности кости.
6.3.5 Приложение полуаналитического решения к поверхности реконструкции неоднородной кости
Полуаналитический раствор, представленный в Разделе 6.2.4, может использоваться, чтобы вычислить растяжения и усилия в любом очке на поверхности кости. Эти результаты формируют основание для поверхностного анализа реконструкции кости. Этот раздел представляет приложения
из решения (6.2.61) к анализу поведения реконструкции поверхности в
неоднородной кости.
Это примечательно, что поверхностная реконструкция кости - процесс с временной зависимостью. изменение в радиусах (Ii или '7) может поэтому быть вычислено при использовании прямоугольного алгоритма интеграла (см. Рис. 6.8). Процедура описана здесь. Во-первых, позволить быть временем начала и T быть отрезком времени, который рассмотрят, и разделят временной интервал T в м. равного антракта! 1T = T / м. В это время t, вычислить растяжение и использование электрического поля Eqs. (6.2.35) ~ (6.2.39). Результаты затем подставлены в Eq. (6.3.2), чтобы определить нормальную скорость поверхностной кости реконструкцию. Принятие этого! 1T является достаточно маленьким, мы можем заменить V его скупое значение [j каждый раз интервал [t, t +! 1T]. Изменение в радиусах (Ii или '7) во время t может таким образом быть определено, используя результаты поверхностной скорости. Соответственно, растяжение и электрическое поле скорректированы, рассматривая изменение в радиусах. Скорректированное растяжение и электрическое поле находятся в рубильнике, используемом, чтобы вычислить нормальную поверхностную скорость в следующем временном интервале. Этот процесс повторен до последнего временного интервала [К + (м.-l)! 1T, К + T]. Рис. 6.8 показывает прямоугольный алгоритм интеграла, когда мы заменяем V его первоначальным значением VI (а не его скупое значение V) в этот времени интервал [t, t +! 1T].
236 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
Иллюстрация плода инжира 6.8 прямоугольного алгоритма
6.3.6 Уравнение реконструкции поверхности изменено вставкой
контакта средины medullar
Замена Eq. (6.2.68) в Eq. (6.3. I5) дает результаты
ми da b2
ми 1 ми 1 ми 1
-d-t = си Сш 2-a 2 + N2 - 1 (b) + си N3 2-a 2 + N4 1 (b) n -
a
b2
M1Pl (t) 2 2-C ~
a - си
децибел _ си NP
2
NP' a
2
NP 1 NP 1
-dt - 1 b2-a2 + 1 b2-a 2 + 2 - (b) + 3 b2-a 2 В -
a
(6.3.58)
[
b2 2 л J'
M2 2 2 +M3 2
a
2 Мн (t) +NI () ct-b-b багажный отсек-b
a
где
(6.3.59)
(6.3.60)
6.3 Thermo-electra-elastic появляются кость, реконструирующая 237
М.
__-C$i1 C:r
3 - (6.3.61)
Это может видеться что Eq. (6.3.58) подобно Eq. (6.3.15). Это может также быть упрощено
как
где
{
de
-=1;&+:r;7] +1;
dt.
-d7 =] y, \'& + y2' 7] + y3'
dt
[
2 ~ 2 2 2 5)] H4 2LaH1 - 2 + 2L2H2aa + HJ ~ + -
ba ao
Y, ~ СИ, + М. {H, U:-H, Л, - H, Л, - H'L}
II, [2L~II:1 + 2L; II, h; + II, Л; J]
1; =B3 +M1H4 [~-H1La-H2L2-H3L1)
1;' =B1'-M2 [Hs (~ - РУБЧИКИ СЕМЕНИ-H2L2-H3L1 J+H4 X
(6.3.62)
(6.3.63)
(6.3.64)
(6.3.65)
(6.3.66)
[
2 ~ 2LaH1 си ~ + 2L22 H2ba2 + H3L21)] - M3 [H7 [-5;;; - РУБЧИКИ СЕМЕНИ - H2L2 - H3L1) -
II {2J:i11':i + 2J3, II, привет + 11,4)] (6.3.67)
238 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
y; = Си ~ + (M2H4 +M3H6) [~-HlLO-H2L2-H3Ll) (6.3.68)
1
(6.3.69)
(4, u + 2,1,) ~
Hs =, u (3,1, + 2, u) си ~
[
2 [C33 + 1) _ 2, u +, 1, [1_a ~) l2
F 3* Cll-C12, u (3,1, + 2, u) си ~
(6.3.70)
1
H6 =----------~~--------~--------~-
2, u +, 1, + [2 [C33 + 1) _ 2, u +, 1, фунт ~
, u (3,1, + 2, u) F; * Cll - C12, u (3,1, +2, u) ~
(6.3.71)
H ~; + ми" ~eJ 1' (~~:; 1') 1 ~ (6.3.72)
Eq. (6.3.62) подобно Eq. (6.3.35) и может таким образом быть решен следующим
процедура раствора, описанная в Разделе 6.3.4.
6.3.7 Числовые примеры
Считайте снова бедро используемое в Разделе 6.2.6. Геометрические и материальные коэффициенты бедра - то же самое как используемые в Разделе 6.2.6 за исключением того, что ми изменения фракции объема теперь взяты, чтобы быть нолем здесь. Кроме того, поверхность реконструирующие коэффициенты уровня, как предполагается,
До,". =-9.6 mJd, До; o =-7.2 mJd, До; z =-5.4 mJd
До;. =-8.4mJd, До, ~ =-12.6mJd, До; o =-10.8mJd
До ~ =-9.6 mJd, До:. =-12 mJd
До ~ = 0.000 837 3 mJd, сантиграмм = 0.000 158 43 mJd
и &0 = 0, 770 = 0 приняты.
В следующем, числовые результаты обеспечены, чтобы показать эффект
температуры и внешней электрической загрузке на поверхностном процессе реконструкции кости.
6.3 Thermo-electro-elastic появляются кость, реконструирующая 239
В то время как результаты для эффектов механической загрузки, вставленного контакта, и материала inhomogeneinity заоднородного на поведении реконструкции поверхности опущены здесь, они могут быть найдены в [17,18].
(1) Эффект изменения температуры на поверхностной реконструкции кости.
температура, как предполагается, изменяется между 29.5'C ~ 30.5 °C, то есть. К (t) =29.5 °C, 29.8 'До, 30 °C, 30.2 °C, 30.5 'До, в то время как другие внешние погрузки
определены как: (-=30;a V, p (t) = 1 MPa, P (t) =1500 Н. Фиг. 6.9 и рис. 6.10  показывают эффекты изменения температуры на реконструкции поверхности кости. Вообще, радиусы кости уменьшаются, когда температура увеличивается и
они увеличиваются, когда температура уменьшается. Это может также видеться из рис. 6.9 и 6.10 что & и 7J является почти тем же самым. С тех пор ao <филиал, изменение радиуса наружной поверхности обычно больше чем тот из внутреннего. Областьразреза кости уменьшается  как температура увеличивается. Это также
предполагает, что более низкая температура, вероятно, вызовет более толстые структуры кости, в то время как обстановка разминочного упражнения может улучшить процесс реконструкции с менее толстой структурой кости. Этот результат, кажется, совпадает с реальным фактом. Более толстые и более сильные кости возможно делают персонажа, живущего в России выгдядеть более сильным чем один кто живет во Вьетнаме. Нужно упомянуть здесь что, как это изменение может дать аффект процесса реконструкции кости, является все еще нерешенным вопросом. Как начальное исследование, цель этого исследования состоит в том, чтобы показать, как кость может ответить на тепловые загрузки и предоставить информацию для возможного применения наложенных внешних температурных полей в лечении и в управлении исцелением процесса травмированных костей.
0.08
0.06
0.04
0.02
'" 0.00
-0.02
- 0.04
-0.06
- 0.08
o 500 1000
л Id
1500
Рис.6.9. Изменение [; со временем t для нескольких температур
-29.5 · ДО
---29.8 · ДО
- 30 · ДО
- 30.2 · ДО
- + - 30.5 · ДО
2000
240 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
0.08
0.06
0.04
0.02
;:;- 0.00
-0.02
-0.04
- 0.06
- 0.08
o 500 1000
tid
1500 2000
Рис.6.10. Изменение  '7 со временем t для нескольких температур
-29.5 · ДО
-29.8 · ДО
---30 · ДО
-30.2 · ДО
- + - 30.5 · ДО
(2) Эффект внешнего электрического потенциала на поверхностной реконструкции кости. В этом случае, двойная загрузка принята как: (-;a = - 60 V, - 30 V, 30 V, и 60V, p (t) =IMPa, P (t) =1500N, и To=O. Рис. 6.11 и Рис. 6.12 показывают изменение Ii и '7 со временем t для различных значений электрического потенциала различие. Это может видеться, что эффект электрического потенциала только напротив той из температуры. Уменьшение в интенсивности результатов электрического поля в уменьшении радиусов внутренней и наружной поверхности кости почти той же самой величиной. Теоретически, результаты предполагают, что процесс реконструкции может быть
улучшенный, выставляя кость электрическому полю. Ясно, далее теоретический и
0.06
0.04
-30V
-60V
- OV
0.02
- 30V
- + - 60V
'" 0.00
- O.oz
- 0.04
- 0.06
0 500 1000 1500 2000
tid
Рис.6.11. Изменение  Ii со временем t для нескольких разностей потенциалов
6.4 Выпрямление к thermo-magneto-electro-elastic проблеме 241
0.04
- 30Y
-60Y
0.02 - ВНУК
---30Y
- +-60y
0.00
я':"
-0.02
- 0.04
- 0.06
0 500 1000 1500 2000
t Id
Рис.6.12. Изменение  1J со временем t для нескольких разностей потенциалов

экспериментальные исследования необходимы, чтобы исследовать значения этой м. медицинской практики.
6.4 Расширение к термо-магнето-электро-эластичной проблеме
6.4.1 Линейная теория термо-магнето-электро-эластичного твердого вещества
Для прогнутого кругового цилиндра, составленного линейно из термо-магнето-электро- упругого материала кости, подвергнутого осесимметричной загрузке, полю уравнения, описанные в предыдущих двух разделах, могут все еще использоваться, добавляя связанные магнитные условия следующим образом [25]:
u реакция на облучение =cIIBrr +C12Bee +Cl3 Bzz-e3lE z - ми 3lH z - ~IT
u f} (} =cl2Brr +CIIBee +Cl3 Bzz-e3lE z-e3lH z - ~IT
u zz = до l3 Brr + до l3 Би + C33 Bzz - ми 33E z - ми 33-ий z - ~3T
u цирконий = до 44 Bzr - эль SE. - эль гимнастический конь r
D r =el цирконий Ss + KliEr +allHr
D z = e31 (Srr + Sf} (}) + e33 s zz + K33E z + 33-ий z - P 3T
Си r = эль цирконий Ss + allEr + f.1II H r
Си z =e31 (Srr +sf} (}) +e33 s zz +a33E z +f.133H z-V3T
час = krW, ·,
(6.4.1)
242 Главы 6 реконструкция кости Thermo-electra-elastic
Ассоциированное магнитное поле связано с магнитным потенциалом Если!, как
(6.4.2)
Для квазипостоянного поведения, в отсутствие источника тепла, свободный электрический заряд, электрический ток, и массовые силы, набор уравнений для термо-магнето- электро-упругая теория костей завершена, добавляя Eqs. (6.2.2),
(6.2.3) и следующие уравнения равновесия для магнитного пролога к Eqs.
(6.4.1) и (6.4.2)
aBr + aBz + бром = ° азимут площади r (6.4.3)
6.4.2 Раствор для внутренней реконструкции кости
1. Уравнение для внутренней реконструкции кости
Расширенная адаптивная упругая теория, представленная в Разделе 6.2, используется и расширенна, чтобы включать piezomagnetic эффект следующим образом [26]:
e = A* (e) + ArE (e) Er + A; (e) Ez + Gr
Ми (e) Час + Соль; (e) Гц +
A; 'r (e) (crr + Cf) (J + A:z (e) czz +A; ~ (e) crz (6.4.4)
где Gi Ми (e) недавно введеные материальные коэффициенты, зависящие от
ми фракции объема.
2. Решение для гомогенной впалой круговой цилиндрической кости
Рассмотрим снова полый круговой цилиндр кости, подвергнутой внешнему изменению температуры К, квазистатической осевой загрузке P, внешнему давлению p, электрическому потенциалу ;a загрузки (или/и (A) и магнитной потенциальной загрузке Если! (and/orlf! h). Граничные условия
T = 0, CJrr = CJrf) = CJrz = 0, ; = ;a', Если! =, Если!' r = a
(6.4.5)
и
(6.4.6)
где a и си обозначают, соответственно, внутренние и внешние радиусы кости, и S
площадь поперечного сечения. Для длинной кости предполагается что, за исключением осевого смещения uz 'все смещения, температурный и электрический потенциал свободны координаты z и что у Uz может быть линейная зависимость от z. Используя Eqs. (6.2.2), (6.4.1), и (6.4.2), дифференциальные уравнения (6.2.3) и
6.4 Выпрямление к thermo-magneto-electro-elastic проблеме 243
(6.4.3) могут быть написаны как
[~ +! ~) T=O, or2 r или
(6.4.7)
[02 1 0) [02 1 0) _ [02 1 0) До - + - U +e - + - ; +e - + - V / = O
44 or2 r или Z 15 or2 r или 15 or2 r или
(6.4.8)
ми [~ +! ~) U-K [~ +! ~) ;-a [~ +! ~) V / = O 15 0r2 ror z 11 or2 ror 110r2 ror
(6.4.9)
ми [~ +! ~) U-a [~ +! ~) ;-J1 [~ +! ~) V / = O 15 or2 r или Z 11 or2 r или 11 or2 r или
(6.4.10)
Решение смещений Ур, uz 'и электрический потенциал ; к проблеме выше в отсутствие магнитного поля были представлены в Разделе 6.2. Этот раздел расширяет результаты в Разделе 6.2, чтобы включать piezomagnetic эффект. Найдено, что температура T, смещение Ур 'и электрический потенциал ; снова данный Eqs. (6.2.13), (6.2.32), и (6.3.24), соответственно, в то время как u_ и V/are
следующим образом [26]:
U z j [* F; 1'a + домашнее животное)] * * z =-* F; 1'a - 2 2 (C11 +C12)-2cl3 f31 [f321'a + p (t)] - F" клюв - a)
2Cl3Cllm} _ e15 (;b - ;a) ln (r/a) _ e15 (V/b-V/a) ln (r/a)
Cll c44 В (b/a) c44 В (b/a)
(6.4.11)
В (r / a)
V/= В (си / a) (си V/-V/a) + V/(6.4.12)
Растяжения, электрическое поле, и магнитное поле могут быть найдены, вводя граничные условия (6.4.5) и (6.4.6) в Eqs. (6.2.2) и (6.4.2). Они,
соответственно,
1 {* [·] _ C33 C12 F; К + домашнее животное).}
Сэр. =-. C33 f31 132 К + домашнее животное) + OJ - + 2 2 Cl3 - F; TOcl3 - F" Cll n (си - a)
a2f3: [f3; К + p (t)] mln (r/a)
2 + (6.4.13)
r (Cll-c1J Cll
1 {• [*] _ C33C12 F; К + домашнее животное).}
см. =-. c33f3l f32 К + домашнее животное) + OJ - + 2 2 Cl3 - F; TOcl3 + F" клюв Cll-a)
a2f3: [f3; К + p (t)] м. [В (r / a)-1]
2 + (6.4.14)
r (C11 - до ll) Cll
244 Главы 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
s = _e, s ((;a A-) a'S (lfIb-lfIa)
'z rc44 В (си л a) rc44 В (си л a)
E = (;a ;b-) H = _ (lfIb-lfIa)
r r В (си I a), r rln (си I a)
Замена Eqs. (6.4.13) ~ (6.4.17) в Eq. (6.4.4) дает результаты [26]
(6.4.15)
(6.4.16)
(6.4.17)
. • e=A (e) +2A-., - ". {До • [·] _ C33C12 F; К + домашнее животное).} 33 P, P2To+P (t) +0) - + 2 2 c13-F; TOC13 +
F 3 Cll n (си-a)
A.w [2ln (r I a)-1] A:z {[. F; К + домашнее животное)]
------'= ~--------= - +-. F; К - 2 2 (Cll +C' 2) -
Cll F; n (си-a)
2c13 p: [p; К + p (t) J-2C13C12w} _ ;b - ;a (A, Ми + ~A:r JCll
rln (си л a) C44
IfIb - Международная федерация библиотечных ассоциаций (Дженерал Электрик + ~AS) (6.4.18)
rln (си л a) r До
44
цирконий
Eq. (6.4.18) может быть решено в пути, подобном описанному в Разделе 6.2.
3. Числовая оценка
Поскольку числовая иллюстрация аналитического раствора представила выше, мы считайте снова бедро используемым в Подразделе 6.2.6. Материальные параметры используются вот то же самое как дано в Подразделе 6.2.6. Дополнительный материал константы для магнитного поля
ми, s = 550 (1 + e) N/Am, Соль, EO = Соль, Ми' = 1.5 X 10-8 ми (A · d)
Мы исследуем изменение фракции объема материала костного матрикса от
его ссылочного значения, которое обозначено пока в поперечном направлении в нескольких определенных временах. Мы также отличаем два загружающегося случая, чтобы исследовать влияние магнитной и сцепления загрузки на структуру кости.
(1) p (t) =0, P=1500N, К (t) =O °C, ;a ;b-=O, IfIb-lfIa=lA.
Рис. 6.13 показывает изменение ми со временем t вдоль радиусов кости когда
загружающийся случай - домашнее животное), = 0, P = 1500 N, К (t) = O°C, ;b - ;a = 0,
IfIb - Международная федерация библиотечных ассоциаций = ля.
6.4 Выпрямление к thermo-magneto-electro-elastic проблеме 245
Это может видно из Рис. 6.13, на котором магнитная загрузка имеет подобное влияние структуры кости к электрической загрузке. Магнитная загрузка может также inhomogenize заоднородной первоначально гомогенной структурой кости посредством процесса модернизации кости. Но значительно далее экспериментальные и теоретические исследования должны быть
развиты, чтобы установить точные коэффициенты уровня модернизации и обнаружить значение роли играло магнитными стимулами.
0.0004
0.0003
., 0.0002
0.0001
- Oday
_ Я день
__ 2 дня
_5 дней
---t:! r-10 дней
----v-20 дней
- + - 30 дней
- <> - 50 дней
----*-75 дней
- + - 100 дней
0.0000 ~~~~ i§ ~§i~i ~~~~~~~~ - я
0.026 0.028 0.030 0.032 0.034 0.036
r Im
Рис.6.13. Изменение  ми со временем t вдоль радиусов для магнитной загрузки
(2) p (t) =IMPa, P=1500N, К (t) =0.1 °C, (-tPa =30V,
Если/си-If/a = ля.
Рис. 6.14 показывает изменение ми со временем t в поперечном направлении
когда подвергнуто загрузкам сцепления. Вышеупомянутый случай загрузки, как полагают, учит эффект сцепления магнитоэлектрических и механических загрузок на структуре кости. Это может видеться по Рис. 6.14, что функция двойных загрузок -наложение одиночных загрузок. Однако, они не просто линейно
суперизложенны. Далее, свойства костной ткани изменяются более резко под
двойными загрузками чем тогда, когда это подвергнуто только одной загрузке. Сочетание магнитных, электрических, тепловых и механических загрузок имеют результатом существенное изменение в структуре кости и свойствах костных тканей. Это указывает на ту соединенную загрузку поля более эффективную при изменении структуры кости чем загрузка только одного сорта поля.
246 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
----0 дней
___ Я день
__ 2 дня
- 5 дней
----b-10 дней
~20days
- + - 30 дней
---; - 50 дней
---t:r-75 дней
- + - 100 дней
0.026 0.028 0.030 0.032 0.034 0.036
r Im
Изменение рис. 6.14 ми со временем t вдоль радиусов для загрузок сцепления
6.4.3 Решение для поверхностной реконструкции кости
Расширенная адаптивная упругая теория, представленная в последнем разделе, используется и расширена, чтобы включать piezomagnetic эффект как [27]
U = Cij (n, Q) [sij (Q)-sZ (Q)] + До; [Ei (Q)-EiO (Q)] + Соль; [Привет (Q)-H; O (Q)]
(6.4.19)
где Ко = Crrs ~, + Czzs~z + Cees~e + Crzs~z + CrE, o + CzE ~ + Соль.H ~ + Gz H ~, Соль; коэффициент модернизации поверхности.
Замена Eqs. (6.4.13) ~ (6.4.17) в Eq. (6.3.19) дает результаты [27]
U N ми b2 N ми 1 ми N 1 неон 1 Ce
e =' 2 2+2-() + 32 2+4 ()-O си-a си си-a си
~ - ~ -
a
a2
семечко 1
си' -' + N, В (~) + N,-b =-2 - _ =-2 +
(6.4.20)
Nt л (b) +Ni '-Ct
багажный отсек -
a
где
,
N p I--
6.4 Выпрямление к thermo-magneto-electro-elastic проблеме 247
(6.4.21)
(6.4.22)
(6.4.23)
(6.4.24)
JF." {2CI3C: ~ [P2I (CCJI2I-1) К + P (t)] - (CII + CI2) До: ~ (ПИ SCl - P3) rO} II
(6.4.25)
Nt = (C:e +C:r) PlTo
2cII
(6.4.26)
(6.4.27)
N3p-1* [Cl3 (Cprr + Белый гриб) - (До II +C12) Czp] z p-et-) F" n
(6.4.28)
(6.4.29)
248 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
и приписки p и ми обращаются к periosteal и поверхностям endosteal,
соответственно. Начиная с Ue и скорости, нормальные к внутреннему и внешнему
поверхности цилиндров, соответственно, они вычислены как
U = _da U =db
ми dt 'P dt
(6.4.30)
где минус подписывают, появление м. выражения для Ue обозначает что
прямой нормальный из поверхности endosteal находится в отрицательном координатном направлении. Таким образом уравнения (6.4.20) могут быть написаны как [27]
си неона da
2
Неон 1 неон 1 неон 1 Ce
- d-t = 1 b2 _a2 + 2 В (~) + 3 b2 _a2 + 4 aln (~) - 0
децибел _ си NP
2
NP' a
2
N P 1 NP 1
-d-t - 1 b2 _ a2 + 1 b2 _ a2 + 2 В (~) + 3 b2 _ a2 + (6.4.31)
Nt (br и
багажный отсек -
a
где До {= ct - N;.
Эти уравнения довольно подобны представленным в Разделе 6.3 кроме
для дополнительных условий, связанных с магнитным полем. Их процедура раствора подобна этому в Разделе 6.3 и мы опускаем это здесь для осмысленности.
Как числовая иллюстрация аналитических растворов выше, мы рассматриваем бедро, используемое в Подразделе 6.4.2. Материальные константы, как предполагается, то же самое как те в Разделе 6.3. Дополнительная поверхность, реконструирующая постоянный для магнитного поля
G = 10-10 середин r
Мы отличаем следующие три загружающихся случая:
(1) Ta (t) = - 0.5 °C, - 0.2 °C, O°C, 0.2°C, 0.5 °C, (-;a = 30 V,
I.f/b-I.f/a = 1 A, p (t) = 1 MPa, P (t) =1500N.
Рис. 6.15 показывает эффекты изменения температуры на поверхности кости
реконструкция. Вообще, радиусы кости уменьшаются когда температура увеличивается и они увеличиваются, когда температура уменьшается. Это может также видеться от Рис. 6.15 это [; и 7J почти то же самое. С тех пор ao <филиал, изменение радиуса наружной поверхности обычно больше чем тот из внутреннего поверхностного радиуса.
6.4 Выпрямление к thermo-magneto-electro-elastic проблеме 249
Область поперечного сечения кости уменьшается как температура увеличивается. Это также предполагает, что более низкая температура, вероятно, вызовет более толстые структуры кости, в то время как обстановка разминочного упражнения может улучшить процесс модернизации с меньше толстой структуры кости. Нужно упомянуть здесь это, как это изменение может дать аффект процесса модернизации кости является все еще нерешенным вопросом. Как начальное исследование, цель этого раздела показать, как кость может дать ответ на тепловые загрузки и предоставить информацию для возможного применения внешних наложенных
температурных полей в лечении и управлении процессом исцеления
травмированной кости.
0.08
0.06
0.04
0.02
"' 0.00
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
0.08
0.06
0.04
0.02
l::-0.00
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
o 500
0 500
1000
tid
1500
(a) liVS. рассчитывают t
\000
tid
1500
(b) 17 ПРОТИВ времени t
-----0.5 'ДО
- +-0.2 'до
- О'К
- 0.2 'до
- + - 0.5 'до
2000
-----0.5 'до
- +-0.2 'до
- O 'ДО
- 0.2'C
- + - 0.5 'до
2000
Рис. 6.15. Изменение i и 17 со временем t для нескольких изменений температуры
250 Глав 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
(2) (-rPa = - 60 V, - 30 V, 30 V, и 60 V, домашнее животное) = 1 Mpa, P (t) =1500 N,
си lj/-lj/= 1 A и К = 0.
Рис. 6.16 показывает изменение & и 17 со временем t для различных значений электрической разности потенциалов. Это может видеться что эффект электрического потенциала напротив той из температуры. Уменьшение интенсивности электрическое поле имеет результатом уменьшение радиусов внутренней и наружной поверхности кости почти той же самой величиной. Теоретически, результаты предполагают что реконструкция процесса может быть улучшена, выставляя кость электрическому полю. Это очевидно, к которому далее необходимы теоретические и экспериментальные исследования
применения этого для медицинской практики.
0.06
0.04
- 30V
- 60V
-ov
0.02
- 30V
---60V
OJ 0.00
-0.02
-0.04
- 0.06
0 500 1000 1500 2000
tid
(a) [; против времени t
0.04
- +-30V
-60V
- ov 0.02 - 30V
---60V
0.00
~
-0.02
-0.04
-0.06
0 500 1000 1500 2000
tid
(b) 77 против времени t
Рис.6.16. Изменение плода инжира [; и 77 со временем t для нескольких электрических разностей потенциалов
Ссылки 251
(3) Если/си-If/a = - 2 A, - 1 A, 1 A, и 2 A, p (t) = 1 MPa P (t) =1500 N,
(-<Pa = 30 V и К = 0.
Рис. 6.17 показывает изменение [; и 17 со временем t для различных значений магнитной разности потенциалов. Изменения во внешних и внутренних поверхностях кости из-за магнитного влияния подобна тем для электрического поля как показано в Разделе 6.2.
'"
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.10
-0.12
0.08
0. D7
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
.". -0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-0. D7
-0.08
-0.09
0 500 1000
tid
1500
(a) [; против времени t
2000
-----0.05A
- + - 0.1 A
- ПОЛНЫЙ
---0.05 A
- +-o.ia
-----0.05 A
- + - 0.1 A
- ПОЛНЫЙ
---0.05A
- +-0.1 A
-0.10 Л-----L_.... I.-_ Л------'-_... л..-_ '-------'-_ -' - _ - '--------'
o 500 1000
tid
1500
(b) 17 против времени t
2000
Рис. 6.17. Изменение  6.17 [; и 17 со временем t для нескольких магнитных разностей потенциалов
Ссылки
[1] Ми Fukada, Yasuda I. На пьезоэлектрическом эффекте кости. Физика J. Soc. Япония, 1957, 12:
252 Главы 6 реконструкция кости Thermo-electro-elastic
1158-1162.
[2] Ми Fukada, Yasuda I. пьезоэлектрические эффекты в коллагене. Японец. J. Прикладная Физика, 1964, 3:
11 7-121.
[3] Годы Крысзевского М. Фифты исследования пьезоэлектрических свойств макромолекулярных
структурированные биологические материалы. Акта Физика Полоника A, 2004, 105: 389-408.
[4] Robiony М., Polini F, Коста F, и др. Пьезоэлектрическая кость, порезавшая multioiece верхнечелюстной
osteotomies. 1. Устный Maxillofac Surg., 2004, 62:759-761.
[5] Qin Qinghua, Вы растворы К. Тэрмолектроелэстика J для внутренней модернизации кости под
осевые и поперечные загрузки. Интервал. Дж. Солидс Стракт., 2004, 41: 2447-2460.
[6] Гджелсвик А. Боун, реконструирующий и piezoelectricity-I. Дж. Байомеч., 1973,6:69-77.
[7] Уильямс В С, Бреджер Л. Анэлизис сбыта напряжения и пьезоэлектрического ответа в
наклон иглодержателя кости и сухожилия. Энн. Нью-Йорк. Acad. Наука, 1974 238: 121-130.
[8] Guzelsu N. Пьезоэлектрическая модель для сухой костной ткани. 1. Biomech., 1978, 11: 257-267.
[9] Джонсон М В. Уильямс В С, Общее количество D. Керамические модели для piezoelectricity в сухой кости.
J. Biomech., 1980, 13: 565-573.
[10] Demiray H. Электромеханическая реконструкция костей. Интервал. Дж. Энг Счи, 1983,
21:1117-1126.
[11] Соль Aschero, Gizdulich P, Манго F, и др. Беседуйте пьезоэлектрический эффект, обнаруженный в свежем
кость бедра коровы. 1. Biomech., 1996, 29: 1169-1174.
[12] Соль Aschero, Gizdulich P, Манго F. Статистическая характеристика пьезоэлектрического коэффициента
d23 в кости коровы. J. 8iomech., 1999,32:573-577.
[13] Fotiadis D I, Соль Foutsitzi, До Massalas V. Распространение волны в человеческих длинных костях
произвольный разрез. Интервал. Дж. Энг Счи, 2000, 38: 1553-1591.
[14] EI-Naggar М., Абд-Алла М., Махмуд С Р. Аналитический раствор
электромеханическое распространение волны в длинных костях. Прикладной. Mathe. Вычисление, 2001,
119: 77-98.
[15] Ахмед С М., Абд-Алла М. Электромеханическое распространение волны в цилиндрическом
poroelastic отделяют от костей с полостью. Прикладной. Mathe. Вычисление, 2002, 133: 257-286.
[16] До Сильвы К, Thomazini D, Pinheriro Соль, и др. пленки Гидроксиапатита коллагена:
пьезоэлектрические свойства. Мат. Научный Инженер, 2001, 886:210-218.
[17] Qin Qinghua, До Qu Y, Вы растворы К. Тэрмолектроелэстика J для поверхностной модернизации кости
при осевых и поперечных загрузках. Биоматериалы, 2005, 26: 6798-6810.
[18] До Qu И. Ресирч на поведении поверхности кости, реконструирующей (на китайском языке). Тяньцзинь:
Университет Тяньцзиня, 2005.
[19] Mindlin R Д. Экуэйшнс высокочастотных колебаний thermopiezoelectric кристалла
тарелки. Интервал. Дж. Солидс Стракт., 1974, 10: 625-637.
[20] Cowin S До, Hegedus D Х. Боун, реконструирующий I: теория адаптивной эластичности. 1. Эластичность,
1976, 6: 313-326.
[21] Cowin S До, До Ван Баскирка В. Внутренняя модернизация кости вызвана медуллярным контактом. J.
Biomech., 1978, 11: 269-275.
Ссылки 253
[22] Hegedus D H, Cowin S К. Боун, реконструирующий II: маленькое растяжение адаптивная эластичность. J.
Эластичность, 1976,6: 337-352.
[23] Вы J Q. Слоистые сложные тарелки и оболочки: трехмерное моделирование. Лондон: Спрингер-Верлэг,
2002.
[24] Cowin S До, Buskirk W До V. Поверхностная реконструкция кости вызвана медуллярным контактом. J.
Biomech., 1979, 12: 269-276.
[25] До Gao F, Naotake N. Тепловым образом вызванное граничное взламывание магнето-electroelastic
материалы. Интервал. Дж. Энг Счи, 2004, 42: 1347-1360.
[26] До Qu Y, Qin Q Х. Эволушн структуры кости при осевых и поперечных загрузках. Struct.
Механик инженера, 2006, 24: 19-29.
[27] До Qu Y, Qin Q H, Канг И предсказание Л. Тэрмомэгнетоелектроелэстика кости
модернизация поверхности под осевым и поперечным loadsllProc. Международных 9-ых
Конференция по Осмотру, Оценке, Восстановлениям & Поддержке Структур, октябрь
20-21, Фучжоу, Китай, 2005: 373-380.