Микро макро теории гетерогенного Глава 8 проблемы

Глава 8 Эффективные  свойства термо-пьезоэлектричества
8.1 Вводная часть
В Главах 3 и 4 мы представили линейную теорию мультиполевых материалов и решения для некоторых специальных проблем, таких как аналитические выражения 2-оо термо-пьезоэлектрической тарелки с трещиной конечной длины. Основанные на теоретических результатах, представленные в тех двух главах, модели микромеханики включая обобщенный последовательный метод, отличительный подход, и Мори-Танака метод представлены в этой главе, чтобы предсказать эффективные свойства материала дефектных мультиполевых материалов и гетерогенных материалов.
Известно, что пьезоэлектрическая керамика - хрупкие материалы. Таким образом, они могут развить различные микродефекты, такие как микротрещины, расслаивание, и микропустоты во время процесса продукции и периода службы. Этот недостаток управлял развитием соединений пьезоэлектрической объединенной керамики с пьезоэлектрическим образом бездействующими полимерами или другими податливыми материалами что выявляют
более высокая стойкость чем одна только пьезоэлектрическая керамика [1]. Точно предсказать эффекты микродефектов на материальном выполнении и отдать голевой пас механическим инженерам в развитии пьезоэлектрических соединений для электромеханических преобразователей и технических умных материальных приложений, это оценимо  развить надежные теории предсказать изменения в материальном выполнении из-за присутствия этих микродефектов и эффектов свойств материала и микроструктурной геометрии составляющих на эффективной электро-эластичном поведении соединения. В начале 1978, Newnham [1] и др. представил  теорию связи, основанную на сочетании механики материального типа
параллели и модели серии, чтобы предсказать эффективное пироэлектрическое поведение. Banno [2] обобщенная теория связи включает эффекты прерывистой
фазы укрепления для частицы укрепленных piezocomposites. Греков [3] и др.
далее представили концентрическую цилиндрическую модель для того, чтобы оценить эффективные электро-упругие свойства piezocomposites укрепленые длинными волокнами. Данн
280 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
и Тая [4] изучили полные свойства пьезоэлектрических соединений содержа взаимодействующую неоднородность, используя разведенный метод, последовательную модель, отличительный подход, и метод Мори-Танаки и полученное явное выражение в поверхностной составной форме для двойных electroelastic тензоров Eshelby. Относительно определения эффективного теплового расширения и пироэлектрических свойств, Данн [5] оценил эффективные пироэлектрические свойства из двухфазовых соединений, снова используя четыре модели микромеханики упомянутые выше. Benveniste [6] показал что эффективное тепловое- напряжение константы и пироэлектрические коэффициенты связаны с передачей изотермических electroelastic модулей в двухфазовых средах. Для многофазных сред, Benveniste [7] далее указал что эффективные константы теплового напряжения и пироэлектрические коэффициенты следуют из познания функций влияния связанного с электромеханической загрузкой сложной совокупности. Чен [8] получил некоторые составы для предсказания полного thermo-electro-elastic модулей многофазных волокнистых соединений, используя последовательные и Мори-Танаки методы . Кин и Ю [9] и Мэй [10] и др. представили эффективные свойства thermo-electro-elastic растрескавшихся пьезоэлектрических твердых веществ, используя последовательные и Мори-Танаки методы. Бенвенсайт и Дворжак [11] показали это для двухфазовой системы, точные соединения могут быть получены не только между эффективными модулями, но также и среди местных pointwise полей вызванных
однородной электромеханической загрузкой. Позже, соединения были
обобщенны, чтобы изучить пьезоэлектрические волокнистые соединения трех или четырех фаз [12,13]. Границы фаз являются цилиндрическими, но иначе
микро геометрия полностью произвольна. Qin [14-16] и др. развивал семейство
модели микромеханики для того, чтобы оценить дефектные thermo-пьезоэлектрические материалы. Levin [17,18] и др. развивал последовательные рецептуры для того, чтобы оценить эффективные свойства piezocomposites с эллипсоидальными включениями. Используя обобщенный подход eigenstrain, Хуань [19] получил объединенное явное выражение для двойных electroelastic тензоров Eshelby для пьезоэлектрического эллипсоидального включения в поперек изотропической среде. Основанный на эквивалентном методе включения и подходе Мори-Танаки, Хуань и Куо [20], и Куо и Хуань [21] исследовали эффективное материальное поведение piezocomposite, содержащий короткие волокна. Они нашли что продольное и в- плоскости сдвига модули, увеличенные с длиной волокна, в то время как другие модули, пьезоэлектрические и диэлектрические константы уменьшились. Метод в [20,21] был позже используемый, чтобы проанализировать эффективное материальное поведение, затронутое микропустотами [22] и
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 281
установить статистическую модель [23] микромеханики. Используя метод с 2 масштабами асимптотических расширений, Wojnar [24] проанализировал процесс гомогенизации пьезоэлектрического периодического соединения, в котором приняты во внимание тепловые эффекты. Эдуардо [25] и др. использовал метод с 2 масштабами, чтобы исследовать проблемы антиплоскости из thermo-пьезоэлектрических волокнистых соединений. Ори и Немэт-Нассер [26]
обобщенный вариационный принцип Hashin-Shtrikman к двойной проблеме
из piezoelectricity и представленный верхние и нижние границы для эффективных
модули гетерогенных пьезоэлектрических материалов. Основанный на понятии обители, клетки модели, Poizat и Sester [27] изучили 1-3 и 0-3 соединения, сделанные из волокна piezoceramic встроеные в мягкую непьезоэлектрическую матрицу; Beckert [28] и др. оцененные соответствующие эффективные электромеханические параметры соединения непрерывно укреплены с покрытыми пьезоэлектрическими волокнами; Ли [29] и al. исследовал влияние пустой фракции объема, пустого сбыта, пустоты формы и конфигурацию на эффективных свойствах пьезоэлектрических освобожденных керамик; Бергер [30] и др. представлял асимптотическую методику гомогенизации и его численную модель для 1-3 периодических соединений сделанных piezoceramic волокна
встроенных, погруженных в мягкую непьезоэлектрическую матрицу. Используя последовательный подход, функция сбыта ориентации, и традиционные средние числа Войт-Реусса, Ли [31] оценил эффективные electroelastic модули пьезоэлектрических текстурированных многопрозрачных совокупностей. Jiang [32] и др. представил обобщенный последовательный метод для того, чтобы проанализировать эффективное electroelastic поведение антиплоскости волокнистых piezocomposites посредством трехфазовой софокусной краткой
цилиндрической модели. Недавно, Ван [33] и др. объединял подход микромеханики с элементом граничного узла, чтобы оценить эффективные электро-упругие свойства поперек изотропических пьезоэлектрических материалов, содержащие беспорядочно распределенные пустоты. Qin [34] развивал алгоритм граничного элемента микромеханики для предсказания дефектных пьезоэлектрических материалов. Большинство событий в этом поле может также быть найдено в [35-42]. Эта глава, однако, сосредотачивается на результатах
представленный в [4,5,9, и се, 14-16,19,34].
8.2 Модель микромеханики термо-пьезоэлектричества с микротрещинами
8.2.1 Основная рецептура двухфазового термо-пьезоэлектричества
Это может видеться из обсуждения в Разделе 4.2.4 что имеющее результатом мультиполя
282 свойства Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
теория касается пьезоэлектрического аналога неспаренной теории thennoelasticity, где магнитные, электрические, и упругие поля полностью двойной, но температура вводит проблему только через учредительное уравнения. В результате этого, эффективной проводимости и эффективного electroelastic или magnetoelectroelatic константы могут быть определены независимо, в то время как оценка эффективного температурного расширения и пироэлектрические коэффициенты требуют информации о них обоих. Соответственно, наше происхождение разделено на три главных шага: Во-первых, развейте формулировки для эффективной проводимости; затем найдите выражения для эффективных electroelastic (или магнето-электро-эластичных, упругих) констант; и наконец, выведите эффективное тепловое расширение и пироэлектрические коэффициенты, основанные на результатах, полученных из первых двух шагов. Чтобы иллюстрировать этот процесс, мы рассматриваем двумерную пьезоэлектрическую тарелку ослабеленную микротрещинами. Если это - обобщенная плоскость
проблемы напряжения, ее thermo-electro-elastic учредительные отношения могут быть полученны, расширяя Eq. (3.2.31) добавляя термические термины, члены. Правление добавления основанно на Eq. (3.6.6):
0 "1 CII c13 0 0 e31 1; ~I
0 "3 Cl3 C33 0 0 e33 3; ~3
O "s 0 0 систем шифрования содежимого els 0;S 0 T (8.2.1)
ДИ 0 0 els-KI1 0-EI 0
D3 e31 e33 0 0-K33-E3 P3
[~] = [kl1
h:J kl3
kl3] [~]
k33 ~
(8.2.2)
где интенсивность высокой температуры определена
W = _ в
Я oXi
(8.2.3)
Если мы выбираем тепловой поток привет, подчеркиваем CJ; и электрическое смещение Ди как свободные переменные, учредительные уравнения (8.2.1) и (8.2.2) становятся
1; 1; 1 1; 3 0 0 P31 0 "1 все
3; I13 I33 0 0 P33 0 "3 a33
0;S 0 ПИ Iss 0 O "s + 0 T (8.2.4)
-EI 0 0 ПИ-jJl1 0 ДИ 0
-E3 P31 P33 0 0-jJ33 D3 Y3
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 283
[ПРИВЕТ] = [Pll P13] [привет]
H3 P13 P33 ~
(8.2.5)
где Pij = нагревают удельное сопротивление. Эти уравнения могут также быть написаны в матричной форме
как
с
h=kH, H=ph
II = EZ - rT, Z = FII + в
II = [(TI (T3 (Тс ДИ D3f
Z = [ZII Z22 ZI2 Z31 Z32 f = [&1 &3 &5 - EI - E3 f
(8.2.6)
(8.2.7)
(8.2.8)
(8.2.9)
(8.2.10)
Вообще, трещина может быть рассмотрена как включение с механическим нолем
чопорность. Таким образом теории микромеханики растрескавшегося пьезоэлектрического твердого тела могут быть установленны основанными на некоторых основных результатах теории двухфазовых сред. В случае двухфазовых материалов, среднее число объема физической переменной F определено
(8.2.11)
где приписки "I" и "2" обозначают матрицу и фазы включения, соответственно, VI и v2 их объем (или площадь) фракции, и сверхпанель обозначает объем (или площадь для 2-ого анализа) среднее число количества по представителю
элемента объема fl, то есть,
(e) = ~f(.) dfl
fln
(8.2.12)
Эффективные свойства представлены эффективной проводимостью высокой температуры k ~ (или эффективное Пи удельное сопротивление высокой температуры ~)' эффективная обобщенная Ми чопорность ~ (или
обобщенное согласие F;;), и эффективные обобщенные термо- напряжения коэффициенты r: (или обобщенное тепловое расширение ~) растрескавшегося
пьезоэлектрического твердого тела может быть определено понятием среднего числа объема (8.2.12)
как
q=k*H, H=p*q
ii=E*Z-r*f, Z=F*ii+a*f
(8.2.13)
(8.2.14)
Пока эффективная проводимость и эффективные electroelastic константы
могут быть определены независимо, прикладное отдаленное изменение температуры Tx,
284 свойства Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
установлено быть нолем, когда мы изучаем эффективные electroelastic константы. Следуя средней энергетической теореме [43], мы имеем
(8.2.15)
В этом случае, Eq. (8.2.14) становится
jj = E*Z, Z = F*jj (8.2.16)
Использование Eq. (8.2.11), среднее обобщенное напряжение и растяжение могут быть написаны как
(8.2.17)
Замена Eq. (8.2.17) в Eq. (8.2.16) и обращая внимание, что "я = EiZi, мы получаем
E* = Ми j + (E2 - Эдж) A2V2
F* = F; + (F2 - F;) B2V2
(8.2.18)
(8.2.19)
где симметрические тензоры A2 и B2 определены линейными отношениями [15]
- -
Z2 = A2Z =, "2 = B2" = (8.2.20)
с Z = и "= быть репортажем с места события обобщенного растяжения и напряжения полей примененных эффективного среднего размера.
Eq. (8.2.20) не может использоваться непосредственно, чтобы проанализировать проблемы с пустотами или раскалывается из-за степени трудности комбинации в оценке Z2. Обойти эту проблему, мы рассмотрим сначала случай, когда включения становятся пустотами. Это подразумевает что E2 ~ 0, F2 ~ '=. В этом случае о пустотах на рассмотрении можно думать из как являющиеся переполненным воздухом, у которого есть диэлектрическая константа приблизительно трех порядков величин, меньшие чем диэлектрические константы пьезоэлектрических материалов. Следствие этого факта то, что граничные условия на границе лунки даны ". n = 0, где n прямая нормальная к лунке границе. Это также эквивалентно установке E2 = 0, где E2 обозначает материальные константы фазы лунки. Затем, Eqs. (8.2.18) и (8.2.19) становятся E* = E\(я - AOv2) (8.2.21)
(8.2.22)
где 1 тензор униата, Ao - A2 Eq. (8.2.18) для пустот, и Филиал определен
[15]
(8.2.23)
Истолкование Z2 в Eq. (8.2.23) следует за средней теоремой растяжения [43]
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 285
(2) 2 = _1 f Zdil2 =-l-f ([1+H (i-3)] Un +Un} dil2 (8.2.24)
lj il2 D2 lj 2il2 8D2 я j j I
где ~ и ~ - общая площадь и граница пустот, n = [сш n2 O] T нормальный местный житель на пустую поверхность, U = [UI U2 U3 f = [ul u3;f 'и H (i)
ступенчатая функция Heaviside.
Трещины определены как очень единообразные пустоты исчезающей высоты и таким образом также исчезающей площади. Умножение обеих сторон Eq. (8.2.24) v2 и рассмотрением предела выравнивания в трещинах, то есть, v2 ~ 0, каждый имеет
lim [(2ij) 2 v2] =-l-f {[я + H (я - 3)]! 1Uinj +! 1Ujni} dt = Xij (8.2.25)
V2-> O 2A Л
где Л = II U l2 U... U л N' литий длина трещины ith, N число трещины в пределах представительного элемента площади ! 1(.) трибуна, установка для скачка
количества через трещины лица. Для удобства мы определяем [44]
P = lim (Ao vJ, Q = lim (Филиал v2)
V2-> 0 V2-> O
Следовательно Eqs. (8.2.21) и (8.2.22) могут быть переписаны как
E* =EI (Я-P)
F* = F; (Я +Q)
с отношением
(8.2.26)
(8.2.27)
(8.2.28)
(8.2.29)
Таким образом оценка интеграла (8.2.25) и таким образом P (или Q) является ключом  предсказать эффективные электро-упругие модули E* и F*. Приближение интеграла (8.2.25) посредством использования различных моделей микромеханики сюжет последующих разделов.
8.2.2 Эффективная проводимость
Это может видеться из обсуждения в Подразделе 8.2.1 что ключевой пункт для оценки эффективных свойств растрескавшегося пьезоэлектрического твердого вещества определить сосредоточение факторов P и Q, и таким образом вычислить интеграл (8.2.25). Для растрескавшейся пьезоэлектрической простыни, подвергнутой ряду далеких полей W;, n или hi'D' то есть,
(8.2.30)
или
286 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
(8.2.31 )
где трибуны s для координаты дуги на границе, приписка "=" представляет дальнее
поле. Используя граничные условия (8.2.30) и (8.2.31), эффективную проводимость можно определить следующим образом. Для растрескавшейся пьезоэлектрической простыни, мы имеем из четкости среднего поля и Eq. (8.2.25) [9]
(8.2.32)
(8.2.33)
где "М.' представляет количество, связанное с матрицей, и я '1T поддерживает
скачок температурного поля через трещины лица
Я '1T (x) = 1 (U) (x)-1 (L) (x) (8.2.34)
с приписками" (U)" и" (L)" обозначающими количества связанные с верхними
и более низкими поверхностями трещины, соответственно. Если все трещины, как предполагается, имеют ту же самую продолжительность и ориентацию, Eqs. (8.2.32) и (8.2.33) может быть далее написано как
(8.2.35)
(8.2.36)
где приписка "c" обозначает количество, связанное с трещиной. Сравнивая
Eq. (8.2.36) с Eq. (8.2.25), мы видим, что сосредоточения факторы P, и Q могут
будьте выражены следующим образом. - Если гм (~V2) = Л 1'1 Tndl = ПОПОЛУДНИ Qhm = PW", = X
'V2----+0
(8.2.37)
Это может видеться от Eq. (8.2.36), что раствор я '1T вдоль первоклассной трещины требуется для того, чтобы вычислить эффективное удельное сопротивление высокой температуры p ~. Для пьезоэлектрической простыни со многими трещинами, очень трудно получить аналитическое решение из я '1T, когда взаимодействия среди трещин приняты во внимание. В следующем, мы показываем, как использовать алгоритмы микромеханики, чтобы оценить  '1T, и затем определите P ~ и k ~.
(1) Разведенный метод.
На разведенном успении мы предполагаем что взаимодействие среди трещин в бесконечной тарелке может быть проигнорировано. Фактор сосредоточения P затем получен из раствора вспомогательной проблемы одиночной трещины встроеной, погруженной в бесконечную
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 287
неповрежденную тарелку (см. Рис. 8.1a). Для бесконечной тарелки с горизонтальной трещиной и подвергнутой далекому полю W2m, температурный скачок через трещины лица был получен Аткинсоном и Клементсом [45]
L1T (x) = 4kW2 м. (a2 _x2t 2
kll
(8.2.38)
где k = (kllk22 - k122) li2, и длина трещины. С тех пор с разведенным методом мы предполагаем, что нет никакого взаимодействия среди трещин, константы k и kll в Eq. (8.2.38) могут быть взяты как км и k11M. Таким образом, фактор сосредоточения pDIL может быть выражен как
p, nll - pDlL _ pDlL - 0
11 - 12 - 21 - ,
n Dll _ 2nkMc
122 -
kllM
(8.2.39)
где верхний индекс "ГОМОТЕТИЯ" обозначает количество, связанное с разведенным методом, и до = Na2 / Q - так называемый трещины параметр плотности. Замена  Eq. (8.2.39) в Eqs. (8.2.27) и (8.2.28) дает результаты
1
2nckM
k* - k2.2M-k22M k'
ij - 11M
k; jM'
поскольку я = j = 2
(8.2.40)
иначе
Когда ; «1, мы имеем
(8.2.41)
Нужно указать, что рецептура, полученная выше, приложена к проблемам, в которых все трещины имеют ту же самую длину и находятся в горизонтальном направлении.
(2) Последовательный метод.
В последовательном методе [16], для каждой трещины, эффекта трещины
взаимодействие принято во внимание приблизительно, встраивая каждую трещину
непосредственно в эффективную среду (см. Рис. 8.1 b), то есть,  среда имеет как
все же неизвестные свойства материала растрескавшейся матрицы. Очевидно, с этим методом та же самая форма используется в Eq. (8.2.39), за исключением того, что нижний "М.' заменен "*", то есть.
P SC pSc n SC 0
11 - 12 - 121 - , (8.2.42)
288 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
где верхний индекс "SC" обозначает количество, связанное с последовательным
методом.
(3) Метод Мори-Танаки.
Это может видеться из обсуждения выше этого, разведенный метод основан на решении одиночной трещины, встроенной в бесконечную матрицу, подвергнутую далекому полю Wcr, (см. Рис. S.la). В этом случае, Eq. (S.2.37) становится
(S.2.43)
Либо, последовательный, само-содержащий метод основан на решении
одиночной трещины, встроенной в бесконечный неизвестный эффективный материал, подвергнутый также  далекому полю W = (см. Рис. S.1 b). С этим методом. Eq. (S.2.37) становится
(S.2.44)
Напротив, метод Мори-Танаки [46] основан на решении для одиночной трещины, встроенной в неповрежденную матрицу, подвергнутую прикладной интенсивности высокой температуры равной пока еще неизвестному среднему полю ~ в матрице (см. Рис. S.lc), которая означает, что вводная часть трещин в матрице имеет результатом значение X данное [16]
(S.2.45)
Таким образом ключевой пункт - вычисление ~. Один метод должен использовать Eq. (S.2.l7h и перезаписать это в форме
~Vl = W = - W2V 2 (S.2.46)
Для растрескавшейся тарелки, обращая внимание, что VI ~ 1 и v2 ~ 0, мы имеем
(S.2.47)
где верхний индекс "МП" обозначает количество, связанное с Мори-Танаки
методом. Например, pMT обозначает фактор сосредоточения, связанный с
методом Мори-Танаки. Замена Eq. (S.2.47) в Eq. (S.2.45) дает результаты
Использующий Eq. (S.2.39), мы получаем
p. МП p'MT pMT 0
11 - 12 - 21 - ,
pDTL
pMT _ 22
22 - 1 pDIL + 22
Это может видеться из Eq. (S.2.49), что, когда 8 «1, Pz~T;::::; Pz~JL.
(S.2.4S)
(S.2.49)
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 289
tt t t t t t t W ~ ttt ttttt W ~ tttttttt WI
Матричный материальный k ijM Эффективный материал kif Матричный материальный k ijM
Первоклассная Первоклассная Трещина
(a) Растворите metbod (b) Последовательный метод (c) метод Мори-Танакы
Рис. 8.1 Три типичных модели микромеханики
Другой способ вычислить ~ состоит в том, чтобы использовать следствия разведенного метода [Eq. (8.2.4l)]. С этой целью примите среднюю интенсивность высокой температуры W2M в матрице как
W2M = W2 = + W2 P (8.2.50)
где W2 = и W2 P являются, соответственно, отдаленным перпендикуляром интенсивности высокой температуры к трещины строке и встревоженной интенсивности высокой температуры из-за присутствия трещины.
С допущением о методе Мори-Танаки, W "zc в Eq. (8.2.35) может быть
записано как [46]
(8.2.51)
Замена Eq. (8.2.51) в Eq. (8.2.4 7) дает результаты
(8.2.52)
Следовательно
P МП _ 2nskM / k'IM
22 -
1 + 2nskM / kllM
(8.2.53)
Это может видеться от Eq. (8.2.53), что эта процедура получает те же самые результаты как Eq. (8.2.49).
(4) Дифференциальный метод.
Как было указано в Главе 2, эссенция отличительного замысла -конструкция финала расколотой среды от неповрежденного материала до последующей замены возрастающей области потока взлома материала с той из трещин [47]. Результат, полученный ниже  вдоль  строк данных
290 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
в [44] в исследовании полных модулей изотропических упругих твердых тел с
трещиной формы пенса
lim [V2 dk
DS
) = _kDS ФУНТЫ,
V2-> O dV2
(S.2.54)
Предположим, что трещины получены, сглаживая краткие пустоты которые
имеют топоры a и ap, где p может быть сделан бесконечно маленьким. Затем площади фракция пустот
(S.2.55)
Вставка Eq. (S.2.55) в Eq. (S.2.54) и обращая внимание, что dV2 = npd6, мы имеем
(S.2.56)
с начальным условием
(S.2.57)
где верхний индекс трибуны "DS" для количества связывался с дифференциалом
схемы. Eq. (S.2.56) представляет ряд 2x2, соединенных нелинейных дежурные  дифференциальные уравнения, которые могут быть решены, используя определенные численные методы, такие как известный 4-ого порядка схема интеграции Runge-Kutta.
(5) Обобщенный само-содержащий метод.
Обобщенный последовательный метод, который рассматривают здесь, основан на эффективной растрескавшейся среды модели, показанной на Рис. S.2 [4S], трещине продолжительности 2a встроенной в краткий матричный материал, который в свою очередь встроен в  материал с пока еще неизвестным эффективным свойством микрорастрескавшегося твердого тела. Главная ось эллиптической матрицы выбрана, чтобы быть союзником вдоль трещины строки, и область окружающей матрицы выбрана, чтобы сохранить соответствующую трещины плотность в матрице. Основанный на этом понимании, главные и второстепенные топоры эллипса на Рис. S.2, как предполагается, [4S]
a* = + 8, b* = 8 (S.2.5S)
где 8 определен
6=
n (+8) 8 A
(S.2.59)
Пока невозможно найти аналитическое температурное поле для
эффективной растрескавшейся среды модель, подход, представленный в [4S], привыкла  вычислять! 1T. Метод основан на минимальном потенциальном принципе
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 291
следующего функционала:
J (T) = f СМ kijM T; 'F,/Js + f SEM k~T, это,/Js - фа IJ.Thi=nide (8.2.60)
где ft1 и sEM - соответственно, области, занятые матрицей и эффективной среды , и T кинематическое допустимое температурное поле. Среди всех кинематических допустимых температурных полей, точное температурное поле дает минимальную потенциальную энергию.
E*
Трещина
2a
Рис 8.2 Эффективная растрескавшаяся среды модель для обобщенного последовательного, само-содержащемся методе
Пусть ~ будет температурным полем для бесконечной матрицы, среднего размера содержащий трещину длины 2a и подвергнутый далекому полю ~ =, и пусть yEM будет температурное поле для бесконечной эффективной  среды имеющей пока еще неизвестные свойства материала растрескавшейся матрицы, где в среднего размера, есть трещина продолжительности 2a и это подвергнуто далекому полю h2 =. Эти температуры поля были даны [16, 45] как
В' = 4 ~ = (2 _ 2) 112
Ll, XI'
k
I=M, ИХ (8.2.61)
r ('V) =2~7 = R ми [(2-Zt2) 112 +IZ. t] =t ('Спидобарограф) 2 =' X2> 0, I=M, ИХ (8.2.62)
r ('L) =-2h72 = R ми [(2-Z-2t) 1 / 2 +I-Zt] =t (L'h) 2 =' X 2 <0, I=M, ИХ (8.2.63)
где верхние индексы "М.' и "ОНИ' представляют количество, связанное с
решением в бесконечной матрице, среды и бесконечного эффективного среды,
соответственно.
Приблизительное температурное поле T, как предполагается, является линейным наложением вышеупомянутых двух решений
T=q2 = (~ М. ТМ + ~ ИХ TEM) (8.2.64)
где T' = t (V), когда x2> 0, иначе T' = t (L), и ~M и ~ ИХ
292 свойства Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
константы, которые будут определены принципом минимальной потенциальной энергии. Определить r; М. и r; ИХ, заменяя Eq. (8.2.64) в Eq. (8.2.60) и
исчезающее изменение Eq. (8.2.60) относительно r; М. и r; ИХ дает результаты
где III = фс, "тональная частота kijMr, iMr, 7 ds + f SEM k; r,': r, 7 ds
I = f k телевидения TEM! ds + f. k~TEM ТМ ds
12 сидел 1JM, ПЛАНКА I.J '1.1.J
(8.2.65)
(8.2.66)
(8.2.67)
(8.2.68)
Таким образом, r; М. и r; ИХ могут быть определены, решая Eq. (8.2.65), и затем
заменяя решение r; М. и r; ИХ в Eq. (8.2.63) и впоследствии в Eq. (8.2.34) для того, чтобы определить I1T. Это может видеться от Eqs. (8.2.37) и (8.2.39) что
(8.2.69)
где верхний индекс "GSC" обозначает количество, связанное с обобщенным
последовательным методом.
8.2.3 Эффективные электроэластичные константы
Получить отношения между эффективными электро-упругими модулями растрескавшейся среды, следующую вспомогательную проблему рассматривают:
t (s) = IImn (8.2.70)
или
(8.2.71)
и
T (s) = 0 (8.2.72)
где x = [XI x2 t = [X y t является вектором позиции. Когда границы условия (8.2.7l) ~ (8.2.72) применены, это следует из энергетической теоремы [43]
II = II = или Z = Zcr. (8.2.73)
и
T = 0 (8.2.74)
В случае растрескавшегося тела, среднее напряжение II и растяжение Z определенное на
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 293
основание составного среднего числа [16]
- -
II=IIM, Z=ZM +Zc (8.2.75)
где Zc может быть вычислено посредством использования ofEq. (8.2.25), то есть,
Zijc = lim [(Zij) 2 V2] = _1_j {[1+H (i-3)] i1Uin +i1Uj ni} dl=Xij (8.2.76)
vr~O 212 L}
с i1Ui, являющимся скачком обобщенного поля смещения через трещину
лица. Таким образом, Eq. (8.2.75) может быть далее написано как
E*Zcn =EMZ =-EMZc (8.2.77)
(8.2.78)
Это может видеться из обсуждения выше этого, оценка Зе- ключ к предсказанию эффективных electroelastic модулей, в то время как оценка
Zc требует решения i1Ui • Для пьезоэлектрической простыни, содержащей трещину из длины 2a и подвергнутой ряду далеких полей II =, решение было
дано Eq. (3.7.115). Когда нет никакой прикладной температурной загрузки, Eq. (3.7.115) становится
(8.2.79)
где n, = [0 "31 м. 0" 33w D3u, r являются прикладными далекими полями, и матрица До определенная Eq. (3. 7.100), которое зависит от материальных констант, то есть. Ci/= Cij (E). Замена Eq. (8.2.79) в Eq. (8.2.76) дает результаты выражением
(8.2.80)
где
(8.2.81)
Когда все трещины находятся в горизонтальном направлении, обращая внимание что n1 = 0, n2 = 1
и
мы имеем
C22 (E)
Cl2 (E)
C32 (E)
o
o
(8.2.82)
(8.2.83)
ми
33M
• o (8.2.84)
-K
33M
294 свойства Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
где Cij (E) являются функциями пока еще неизвестных материальных констант. В
следующем, результаты Eqs. (S.2.76) ~ (S.2. S4), используются, чтобы установить пять теорий приближения микромеханики для того, чтобы оценить эффективные
электро-упругие модули.
(1) Разведенный метод.
Для разведенного метода у нас есть Cij = CijM = Cij (ИХ). Сосредоточения
 фактор таким образом дан
pDIL = не уточнено R (E) Ми
2 до М. М. (S.2. S5)
(2) Последовательный , само-содержащий метод.
Последовательная теория дает результаты с той же самой формой как Eq. (S.2. S5) за исключением того, что Дистанционное управление (ИХ) в Eq. (S.2. S5), заменено Дистанционным управлением (Ми *)
pSC = не уточнено R (Ми *) Ми
2 до М.
(S.2. S6)
(3) Метод Мори-Танаки.
Для теории Мори-Танаки у нас есть та же самая форма pMT как м.
Eq. (S.2.4S), то есть.
pMT = pDIL (я +pD1Lrl = n; Дистанционное управление (ИХ) ИХ [я + n; Дистанционное управление (ИХ) ИХ r л (S.2. S7)
(4) Отличительный, дифференциальный метод.
Подобный рецептуре отличительной теории в Подразделе S.2.2, мы имеем
dEDS s - = _EDS
ФУНТЫ (S.2. SS)
ds
с начальным условием
(S.2. S9)
Вообще, Eq. (S.2. SS), представляет ряд 3x3, соединенные, спаренные нелинейные дежурные отличительные уравнения, которые могут также быть решены с известной четвертью порядка схемы интеграции Runge-Kutta.
(5) Обобщенный последовательный, само-содержащий метод.
Подобно обслуживанию в Подразделе S.2.2, обобщенный само-содержащий
метод здесь также основан на эффективной растрескавшейся среды модели в Рис. S.2. Энергия функциональное соответствие electroelastic проблеме определена как
1 f ~T ~ 1 f ~T * ~ фа T J (U) = "2 suZ Ми М. Zds + "2 Ми SEMZ Zds-_a! 1U II=dc
может быть
(S.2.90)
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 295
где
(8.2.91)
и ЦИРКОНИЙ может быть оценен, заменяя Eq. (3.7.113) или Eq. (3.7.114) в
Eq. (8.2.91). Для пьезоэлектрической простыни, содержащей трещину длины 2a и подвергнутой ряду далеких полей IIm, решение U было уступлено Eqs. (3.7.113) и (3.7.114). Когда нет никакой прикладной температурной загрузки, Eqs. (3.7.113) и (3.7.114) становятся
U (I) = Ре [ЗВУКОВАЯ ЧАСТОТА (z) jj-1 Jn ~,
U (2) = Ре [ЗВУКОВАЯ ЧАСТОТА (z) B-1 J ~,
(8.2.92)
(8.2.93)
Если мы обозначаем U (u) = Ре [ЗВУКОВАЯ ЧАСТОТА (z) jj-1] и U (L) = Ре [ЗВУКОВАЯ ЧАСТОТА (z) B-1]'
Eqs. (8.2.92) и (8.2.93) может быть написано в одном уравнении как
{
Подводный! Л' X2> 0
U=U ~ =
UcdI =, x2 <0
(8.2.94)
Следовательно, с обобщенным последовательным методом, U и Z может быть принято в форме
Z = (пи! ZM +;:EM ZEM) Jl
~ R ~ R м. (8.2.95)
где;; М. и;; ИХ неизвестные константы, которые могут быть определены
взятием исчезающего изменения функционала (8.2.90) относительно;; М.
и;; ИХ. Найти решение;; М. и;; ИХ, мы рассматриваем сначала растрескавшееся
тело, подвергнутое ряду далеких полей II = = [(} 31 = 0 Или. Замена
Eq. (8.2.79) в Eqs. (8.2.97) и (8.2.95), мы получаем выражение U и
Zas
(8.2.96)
(8.2.97)
296 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
(8.2.98)
Затем, замена Eqs. (8.2.96) ~ (8.2.98) в Eq. (8.2.90) и взятие исчезающего изменения Eq. (8.2.90) относительно До; М. и До; ИХ результаты
где
q> я? = LM (U~I») T EMU~l) ds + LEkf (U~I») T E*u~l) ds
q> (I) - f (M) T Ми ИХ ds f (M) T E* ИХ ds
12 - СМ Ux (1) MUx (l) + SEM Ux (1) Ux (l)
,-n (I) - f (ИХ) ТЕ Эмдс f (ИХ) TE* EMds
'4-'22 - СМ Ux (l) М. U t (1) + SEM Ux (1) Ux (1)
(8.2.99)
(8.2.100)
(8.2.101)
(8.2.102)
Решим Eq. (8.2.99) для До; М. и До; ИХ и обозначим решение как До; (~ и До; (7 ~.
Наконец, заменяя До решение; (~ и До; (7 ~ в Eq. (8.2.96) и впоследствии в Eq. (8.2.82) получаем  три уравнения для трех компонентов
pGSC
(8.2.103)
GSC GSC 1C; М. * ИХ
P "Я!: 3M +P, 3 P33M =2 (C3IMC; (I) +C31 ДО; (1))
Точно так же примем II = = [0 0'33 = Орэнд II = = [0 0 D3 = рэнд, используя процедуру описанную выше, мы можем наконец получить следующие уравнения
для сохранения шести компонентов pGSC
(8.2.104)
8.2 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микротрещинами 297
(8.2.lO5)
GSC GSC 1 (& М. * ИХ ~ 1 P33M - ~3 fJ33M = 2 (C33M'; (3) + C33'; (3))
Таким образом фактор сосредоточения pGSC может быть определен, решая девять
уравнений выше.
8.2.4 Эффективное тепловое расширение и пироэлектрические константы
Установить отношения между тепловыми и electroelastic модулями
растрескавшейся среды, подобной обслуживанию в Подразделе 8.2.3, вспомогательно отдаленную однородную температурную проблему рассматривают в которой следующие граничные условия предписаны:
(8.2.lO6)
и
t (s) =O или U (s) = 0 (8.2.107)
Когда граничные условия (8.2.106) и (8.2.lO7) существуют,  следует
энергетическая теорема [43]
(8.2.lO8)
Для граничных условий (8.2.106) и (8.2.lO7), соответствующие поля
определены как
Z=O, T=Tm, ii =-r*Tn' IIM =EMz-rMT
где
a = [весь a33 Y3f, r = [Все ~3 P3f
Используя Eqs. (8.2.12) и (8.2.75), мы имеем
a*T = =aMT = +Zc' r*T = =rMT =-EMZc
(8.2.109)
(8.2.110)
(8.2.111)
где Зе ИС определен Eq. (8.2.76) то, в котором! 1U дан [см.
Eq. (3.7.115)]
(8.2.112)
с си, оцениваемой от Eq. (3.7.101). Замена Eq. (8.2.112) в Eq. (8.2.76) дает результаты явное выражение Зе как
298 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
Zc = я ~::. ~-; r ~ 1T <л Z32 л bJ (8.2.113)
С разведенными и последовательными методами, заменой Eq. (8.2.113) в
Eq. (8.2.1ll) дает результаты
Для сосредоточение факторов P и Q, это можно показать что [16]
r* = (J - p) r М.' * = (J + Q)
Сравнение Eq. (8.2.114) с Eq. (8.2.116) мы видим что
QDIL _ n& d · [0 b2M b3M 1---изолируют----
2 33M Y3M
какие результаты QMT теории Мори-Танакы
QMT = QDIL (я + QDlLrl
(8.2.114)
(8.2.115)
(8.2.116)
(8.2.117)
(8.2.118)
8.3 Модель микромеханики термо-пьезоэлектрричества с микропустотами
В этом разделе, эффективном electroelastic поведении 2-ых ослабленных пустотой материал изучен через разведенное, последовательное, Мори-Танаку, и дифференциал теории микромеханики. Для простоты у всех лунок, как предполагается, есть тот же самый размер и ориентация. Сначала результаты встревоженной интенсивности высокой температуры, растяжения, и
электрического поля из-за присутствия пустот представлено для двумерной
пьезоэлектрической тарелки с пустотами различных форм, и затем вышеупомянутые четыре модели микромеханики могут быть установлены основанные на результатах волнения. Эти модели применимы к широкому диапазону лунок, таких как эллипс, круг, трещина, треугольник, площадь и пятиугольник.
В случае пустот, Eqs. (8.2.21) ~ (8.2.24) все еще применимы. Это может быть
видно из Eq. (8.2.24), что оценка температуры, упругого смещения,
электрического потенциала, и их интеграция вдоль границы лунки - ключ к
8.3 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микропустотами 299
предсказанию эффективных свойств материала ослабленной пустотой пьезоэлектрической тарелки. С этой целью рассмотрим бесконечную простыню, содержащую лунку любого из различных форм, контур которых описан [49]
XI =a (потому что Ij / + TJcosmlj/), x2 =a (csinlj/-TJsinmlj/) (8.3.1)
где 0 <до:; 1, и м. является целым числом. Соответствующим выбором
 параметров, м., и TJ, мы можем получить различные формы пустот, такие как эллипс, площадь, и так далее.
8.3.1 Эффективная проводимость
Когда ряд далекого-поля курицы = [~ 'n h2n r применен на освобожденную бесконечную простыню выше, изменение температуры T в очке на пустой границе было дано в [49] как
T = - ~ [chI = cOSIj/+ h2 = sinlj/-TJ (гектолитр = cosmlj/-h2 = грешат mlj/),]
k
k* = км (1-ATOVJ, p * =p М. (л +BTov2)
где ATO и BTO определены
(8.3.2)
(8.3.3)
(8.3.4)
Замена Eq. (8.3.3) в Eq. (8.3.4) и объединение этого вдоль контура пустоты дает результаты
(8.3.5)
где RT 2x2 диагональная матрица, компоненты которой
c2 + mTJ2 R _ 1 + mTJ2
RTl2 = RT21 = 0, RTiI = 2' 22-----'-::-
k (до - mTJ) T k (до - mTJ2)
(8.3.6)
Таким образом, от Eqs. (8.3.3) ~ (8.3.5), мы находим
ATO = ATO (км, k *) = RTkM' BTO = BTo (км, k *) = kMRT (8.3.7)
8.3.2 Эффективные электроэластичные константы
Рассмотрим пьезоэлектрическую тарелку, содержащую лунку, контур которой определен Eq. (8.3.1) и подвергнут ряду далеких полей II =. Упругое смещение и электрический потенциал в очке границы лунки был дан в [15]
300 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
U = XIZh + x3Z 3, n + [aerl, потому что Ij/-a17rl cosm Ij/-aesrl грешат Ij / +
a17Sr1 грешат mlj/] телекс, - [arl СВЯТОЙ потому что Ij/+ a17r1 СВЯТОЙ потому что mlj/-
(H + srI СВЯТОЙ) (sinlj/+ 17 грехов mlj/)] t3 = (8.3.8)
где
(8.3.9)
и Z = = EMII =, Л, Песок H являются известной реальной матрицей, matrices в Stroh формализме, который определен Eq. (3.3.49), в то время как Z = andII =
Z - [-Ми - Ми] T II - [D D] T = - &11= &13= &33= 1 = 3 =' 'x, - CTllen CTnx, CT33x, 1 = 3 =
(8.3.10)
Заменяя Eq. (8.3.8) в Eq. (8.2.24) и объединение этого вдоль целого
контур лунки, мы получаем
где R 5x5 симметрическая матрица, компоненты которой
RII =fll (электронный-m172) + (rl) ll (e2 +m172)
RI2 = (электронный m17
2
) [J; 3 - (r1S T) 12]
R13 = (e2 +m172) (rl) 12 - (электронный-m172) (rIS T) 11
Rl4 = (e2 +m172) (rl) 13
Rl5 = (ми - m172) [P31 - (r1S T) 13]
R22 = (электронный-m17
2
) h3 + (l+m17
2
) [(H) 22 + (Сэр
1
S
T
)22]
R23 = (-e + m172) (Srl) 22 + (л + m172) [(H) 21 + (srIST) 21]
R24 = (-e + m172) (Srl) 23
R25 = (ми - m172) p33 + (1 + m172) [(H) 23 + (srIST) 23]
(8.3.11)
R33 = (электронный-m172 {f~4 - 2 (Sr1) 12] + (e2 +m172) (rl) 22 + (1 + m172) [(H) я 1 + (srIST) II]
R34 = (ми - m172) [pI5 - (Srl) l3] + (e2 + m172) (rl) 23
R35 = (л + m172) [(srI СВЯТОЙ) 13 + (H) 13] - (ми - m172) (rl СВЯТОЙ) 23
R44 = (e2 +m172) (rl) 33 + (электронный m17 2) {Jll
R45 = (m17 2-e) (rISTb
R55 = (электронный m17
2
) {J11 + (l+m17
2
) [(Сэр
по местному стандартному времени) 33 + (H) 33]
8.3 Модель микромеханики thermo-piezoelectricity с микропустотами 301
Таким образом, из Eqs. (8.2.20), (8.2.23) и (8.3.11), мы имеем
Ao = Ao (ИХ, Ми *) = R.E.M' Филиал = Филиал (ИХ, Ми *) = EMR (8.3.12)
В следующем, Eqs. (8.3.11) и (8.3.12) используются, чтобы установить различные модели микромеханики для эффективных thermo-electro-elastic модулей.
8.3.3 Эффективные факторы сосредоточения, основанные на различных
моделях микромеханики
1. Эффективное температурное поле
Eqs. (8.3.5) и (8.3.7) может использоваться, чтобы установить модели микромеханики для эффективной проводимости. Во-первых, мы рассматриваем разведенный метод. Начиная с взаимодействия среди пустот проигнорированом в разведенном методе, обращая внимание на Eq. (8.3.7), ATO и BTO могут быть написаны как
(8.3.l3)
Замена Eq. (8.3.l3) в Eq. (8.3.3) дает результаты
kDTL = км [я - v2RT (км) км], pDlL =P М. [я + v2kMRT (км)] (8.3.14)
A; ~ = RT (k *) км, Си; ~ = kMRT (k *)
k SC =kM [я-v2RT (k *) км J, pSc =PM [я +v2kMRT (k *)]
(8.3.15)
(8.3.16)
В методе Мори-Танаки мы предполагаем что средняя встревоженная высокой температуры интенсивность W2 связана со средней интенсивностью высокой температуры матрицы ~ [15]
- DlLW2
=RT (км) км ~ =ATO ~ (8.3.17)
Умножение обеих сторон Eq. (8.3.17) VI и затем замена этим в Eq. (8.2.46) дает результаты
W-
(Я ADlL)-IADlLW AMTw
2 = VI + V2 К К en = К = (8.3.18)
Обращая внимание, что ATO симметричен, A~T может быть написан как
МП (Я ADIL)-IADIL ADIL (Я ADIL)-I К = VI + V2 К К = К VI + V2 К (8.3.19)
Точно так же B~T фактор сосредоточения может быть получен как
BTMOT = BDTOIL (VII + V2B DTOIL)-1 (8.3.20)
Относительно отличительного метода, подобного обслуживанию в Подразделе
8.2.2, мы имеем
(8.3.21)
Подвергнутый начальному условию
k
DS IV2~O = км (8.3.22)
302 свойства Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
Eq. (8.3.21) представляет 2x2, соединые, спаренные нелинейные дифференциальные уравнения, которые имеют подобную структуру к этому Eq. (8.2. S6).
2. Эффективные электро-упругие модули
Использование Eqs. (8.3.11) и (8.3.12), факторы сосредоточения и
эффективные   электроэластичные, -упругие модули, соответствующие следующим четырем теориям микромеханики могут быть получены и перечислены:
(1) Разведенный метод.
A~IL = R (ИХ) ИХ' B~Il = EMR (ИХ) (8.3.23)
EDll =EM [I-v2R (ИХ) ИХ], FDll =FM +v2R (ИХ) (8.3.24)
(2) Последовательный метод.
Возраст = R (Ми *) ИХ' Bge = EMR (Ми *) (8.3.2S)
Ми se = ИХ [я-v2R (Ми *) ИХ], ми Фс = частотная модуляция +v2R (Ми *) (8.3.26)
(3) Метод Мори-Танаки.
A~T = A~Il (VII + V2~ILrl, B~T = B~Il (VJ + v2B~Ilrl (8.3.27)
ОБУЧЕНИЕ ИНОСТРАННЫХ ВОЕННЫХ СТАЖЕРОВ В США = ИХ {я-v2R (ИХ) ИХ [vII +v2R (ИХ) ИХ r}
(8.3.28)
FMT =FM {я +v2EMR (ИХ) [v, я +V2EMR (ИХ) r}
(4) Дифференциальная схема.
Согласно начальному условию
8.4 Модель микромеханики пьезоэлектричества с включениями
8.4.1 Тензоры Эшелби для соединения с эллипсоидальным включением
(8.3.29)
(8.3.30)
Для проблем piezoelectricity с включениями, Eqs. (8.2.1S) ~ (8.2.20) может все еще использоваться, чтобы предсказать эффективные electroelastic свойства. Оценка Z2 и связанный фактор сосредоточения - ключ к предсказанию эффективного electroelastic свойства. В этом разделе подходы представили в [4,21, ТАКИМ ОБРАЗОМ,] описаны  показать, как модели микромеханики могут быть получены. С этой целью рассмотрите пьезоэлектрическое соединение, состоящее из бесконечного домена D содержащий
8.4 Модель микромеханики piezoelectricity с включениями 303
эллипсоидальное включение Q определенное
X2 X2 X2
_2I + _22 +-.L2' <": 1, в Q (8.4.1)
al a2 a3
где ap a2, и a3 являются полутопорами эллипсоида с a3 принципом оси, совпадающей с осью X3. Допущение, что форма включение является эллипсоидальным, позволяет обслуживание сложных конфигураций укрепления
в пределах от тонкого слоя к непрерывному укреплению волокна. Предположите что у включения Q есть электро-упругие модули EI, в то время как матрица, D-Q, имеет модули electroelastic ИХ. Соединение подвергнуто ряду далеких полей Z =.
U поют эквивалентный метод включения для пьезоэлектрических соединений [4],
обобщенное напряжение в представительном включении может быть написано как
Ilj = EjZj = Эдж (Zm +Z) =EM (Z" +Z-Z *) (8.4.2)
где Z представляет волнение обобщенного растяжения во включении относительно обобщенного растяжения в матрице и Z* фиктивное eigenfield, требуемое убеждаться, что эквивалентность Eq. (8.4.2) держится. В Eq. (8.4.2), Z и Z* связаны до [4]
Z=SZ. (8.4.3)
где S - двойной электро-упругий аналог тензора Эшелби чьи компоненты
можно выразить в членах поверхности интегралов над единицы сферой
(8.4.4)
где  поверхность единицы сферы
(8.4.5)
Исполнять интеграцию в Eq. (8.4.4), сфера модуля, единицы параметризуется как
~I (1-~ i) I/2cose ~2 (1-~ 32) 1I2sine ~3
ZI = - =, Z2 = - =, Z3 = - (8.4.6)
~ ~ ~ ~ ~
Вообще, для анизотропного среднего размера интегралы в Eq. (8.4.4) не может быть оцененна аналитически. В этом случае интеграция легко исполнена
Гауссовской квадратуры.
Нужно упомянуть, что Хуань [50] представил эквивалент рецептуру к Eq. (8.4.4) следующим образом:
304 свойства Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
(S.4.7)
где
GMJin =ala2a31 ~NMJ (До;); я'; без-обозначения-даты-I (Передозировки (z) (S.4. S)
Izl~1 S
с'; я определяемый в Eq. (S.4.6), и NMj (До;) andD (до;) быть софактор и детерминант 4x4 матрицы EiM1n'; я'; n' соответственно [50]. Оценка НМ / ДО;) и D (До;) была по существу обсуждена в [50] и мы не будем повторять это здесь, поскольку это является утомительным и алгебраическим.
Обратите внимание, что S - четвертый тензор порядка, и полезно использовать обобщенный Войт два - индексирует нотацию. С двумя - индексируют понятие, electroelastic Тензор Эшелби SMnAb для эллипсоидального включения в поперек изотропические пьезоэлектрические материалы могут быть выражены в следующей форме [21]:
Sl1 S12 S13 0 0 0 0 0 SI9
o
o
[S4nah] = я ~ л S91
где
S22 S23 0
S32 S33 0
o 0 S44
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
SII =SIIII' SI2 =SI122' SI3 =SI133, SI9 =SI143' S21 =S2211' S22 =S2222
S23 = S2233, S29 = S2243, S31 =S3311. S32 = S3322, S33 =S3333' S39 =S3343
S44 =S2323 =S2332 =S3223 = S3232, S48 = S2342, S57 =S1341> S77 =S4141
S55 = S1313 = S1331 = S3113 = S3131> S66 = S1212 = S1221 = S2112 = S2121
S75 =S4113 =S4131' Sg4 =S4223 = S4232, Sgg = S4242, S91 =S4311
S92 = S4322' S93 = S4333, S99 = S4343
(S.4.9)
(S.4.10)
(S.4.11)
В частности вышеупомянутое electroelastic тензоры Eshelby для овального
цилиндра, кругового цилиндра, и включение формы пенса в поперек изотропических пьезоэлектрических твердых телах были получены Хуанем как [19]
8.4 Модель микромеханики piezoelectricity с включениями 305
(I) Овальный цилиндр (al / a2 = a, a3 ~ =).
Sl2 = [(2+a) CI2 - 1]
2 (1 + a) 2 aC11
s - C13
13 - ,
(1 + a) cll
s - e31
19 - ,
(Я + a) cll
S21 = [(1+2a) CI2 _ 1]
2 (1 + звуковая частота aCll
S - (2 3cll + c12 J 22 - 2 +,
2 (1+a) Cll
(8.4.12)
s = a
44 2 (1 + a)'
s = 1
55 2 (1 + a)'
s = [a
2
+ + 1
66 2 (1 + a) 2 a
1 a
S77 = - S88 =--
I+a I+a
(2) Круговой цилиндр (al = a2, a3 ~ =).
1
S77=S88 =-
2
(3) Включение формы пенса (al = a2 »a3, a3 ~ 0).
1 ~3
S44 =S55 =-2' S57 =S75 =S48 =S84 = - S33 =S99 =1
2cll
8.4.2 Эффективные эластоэлектрические модули
(8.4.l3)
(8.4.14)
Замена Eq. (8.4.3) в Eq. (8.4.2) дает результаты обобщенное растяжение в
включении Z2 как
Z2 =Z = +SZ. (8.4.15)
Использующий Eqs. (8.4.2) и (8.4.l5), Z2 может быть далее написан как
Z2 = [1 +SE;} (ЭДЖ - ИХ) f Дзэн (8.4.16)
Сравнивая Eq. (8.4.16) с Eq. (8.2.20), мы наблюдаем
A2 = [1 +SE;) (E1 - ИХ) f (8.4.17)
Точно так же B2 фактор сосредоточения может также быть получен как
306 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
(8.4.18)
Eqs. (8.4.17) и (8.4.18) обеспечивают результаты факторов сосредоточения
A2 и B2, игнорируя взаимодействие среди включений. Поэтому, они представляют
сосредоточения фактор A~TL и B~JL.
Для последовательного метода, обращая внимание, что каждое включение, как предполагается, встроенное в большое количество, пьезоэлектрическое среднего размера, Eqs. (8.4.17) и (8.4.18) становятся
A~c = [1 +S*E*-I (Ми [-E *) f (8.4.19)
B~c = [я + F*-I (я - S *) (F1 - F *) f (8.4.20)
Относительно метода Мори-Танакы этому можно показать что [4]
КОЛИЧЕСТВО =ADIL (vI+v ADIL)-I BMT =BDIL (vI+v BDIL)-I
2 2122' 2 2122 (8.4.21 )
Наконец, мы обсудим дифференциальную схему. Следующий Маклоулин [47], удаление инкремента объема! '.V мгновенной конфигурации
(таким образом удаление V2! '.V фазы укрепления), ведет
dV dV2 = - (1-vJ (8.4.22)
V
где V объем соединения. Обозначение E* (V2 + dv2) как эффективные electroelastic модули во фракции объема укрепления (V2 + dv2), использование Eqs. (8.2.18) и (8.4.22) ведет [4]
(8.4.23)
где
(8.4.24)
Как в последовательном замысле, SDIF - функция E* композиционного материала во фракции объема укрепления (V2 + dv2). Формально, Eq. (8.4.23) представляет ряд 9x9=81, соединенные, спаренные нелинейные обычные дифференциальные уравнения те, в которых
(8.4.25)
8.4.3 Эффективное тепловое расширение и пироэлектрические коэффициенты
Как упомянуто в Подразделе 8.2.1, оценке эффективного теплового
расширения и пироэлектрические коэффициенты запрашивают информацию об эффективных электро-упругих модулях. Получить отношения между тепловым и двойным
8.4 Модель микромеханики piezoelectricity с включениями 307
электро-упругими эффектами, Данн [5] рассматривал следующие две вспомогательных  проблемы:
(1) Прикладная униформа electroelastic далеких полей.
Рассмотрим двухфазовое соединение подвергнутое граничным условиям
(8.2.71) и (8.2.72). Для граничных условий (8.2.71) и (8.2.72), среднего числа объема поля и фазы и полные, всеобщие уравнения следуют из энергетической теоремы [43], которая является
Tl-Tl-Tl-Tl Tl-Tl Tl-*
II =IL, T = 0, Цирконий = франк ilr, ZM = частотная модуляция lIM' Z = F Il = (8.4.26)
Отличать поля, вызванные различными условиями загрузки, лево-верхний индекс" [7" используется, чтобы представить поля, связанные с прикладным
далекого-поля Il =. С граничными условиями (8.2.71) и (8.2.72), среднего числа
электро-упругие факторы сосредоточения для каждой фазы определены в подобном пути к тому в Eq. (8.2.20) как
Tl-Tl-
III = BIIl =, Il2 = B2Il = (8.4.27)
Аналогично, для граничных условий (8.2.71) и (8.2.72), соответствующие поля
"Z=Zm, zf=o, Ziij =Ej" ZI' ziiM =EM "ZM' zii=E*Zm (8.4.28)
где лево-верхний индекс "Z" обозначает поля, вызванные, загружая условия
(8.2.71) и (8.2.72). Средние электро-упругие сосредоточения факторы для каждой
фазы определены как
z-z-
ZI = Аль Зен, Z2 = AZZen (8.4.29)
(2) Прикладное однородное изменение температуры.
Рассмотрим снова двухфазовое соединение, но подвергнутое границы
условиям (8.2.106) и (8.2.107). Когда граничные условия (8.2.106)
и (8.2.107) применены, среднего числа объема поля и фаза и всеобщие
уравнения как следующие:
71 = 0, Tf = T =, TZ =a *T =
T ZI = FI T ~ +a/0, T ZM = F:11 TilM +aMT
(8.4.30)
где лево-верхний индекс "T' обозначает поля, вызванные, загружая условия
(8.2.106) и (8.2.107). Те для граничных условий (8.2.106) и
(8.2.107)
TZ = 0, Tf = Tn' Tfj =-r*Tn
T ~ = EI T ZI-rI '0, TilM = ИХ T ZM-rM~V1
(8.4.31 )
С граничными условиями (8.2.106) и (8.2.107), тепловое среднее число
308 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
факторы сосредоточения для каждой фазы определены как
T - T - T-TIl1
= BnTn, Il2 = BT2 T =, Z1 = VnTn' Z2 = VT2Tn (8.4.32)
Затем необходимо установить отношения между тепловым эффективным
свойством и электро-упругим свойством, основанным на вышеупомянутых результатах. Основанный на теореме средней энергии растяжения [43]
1 [J I JZdQ =liZQ (8.4.33)
и рассмотрение электро-упругих полей из-за граничных условий (8.2.71)
и (8.2.72), заменяя Eq. (8.4.26) в Eq. (8.4.33) и затем использование
Eqs. (8.4.26) и (8.4.30), мы получаем Л TIlIl ZdQ = Л, T ~ (FI Il ~) dQ + LM TIlM (частотная модуляция IlIlM) dQ = 0 (8.4.34)
Точно так же занимая место Eq. (8.4.30) в Eq. (8.4.33) и затем используя
Eqs. (8.4.26) и (8.4.34) ведет
1 IlIlTZdQ=I Il ~ (Международная федерация прыжков на батуте ~ + aJ ~) dQ + [J [J,
Ia \! IlIlM (частотная модуляция TII, v. +aMTM) dQ=I {na*T "Q (8.4.35)
Подобная манипуляция с количествами связывалась с загрузкой
условий (8.2.71) и (8.2.72) дает результаты
Я [J zIlT ZdQ =, Если.? T Z (E* Z Z) dQ = 0 (8.4.36)
1 ZTIldQ Z =-1 Z zr*r dQ =-zJ*r Q (8.4.37)
f.? f.? [= =
Замена Eqs. (8.4.26), (8.4.28), (8.4.27), и (8.4.29) в Eq. (8.2.l7)
приводит к отношениям
(8.4.38)
Предписание количества на правой стороне Eq. (8.4.35) к результатам
из средних интегралов ofEq. (8.4.35), мы получаем
a* =vlBla л +v2Bp2
Подобная манипуляция для Eq. (8.4.37) дает результаты
r* = ЧЕРЕЗ! '1 + v2AE2
(8.4.39)
(8.4.40)
Выражать эффективное тепловое свойство с точки зрения эффективного electroelastic свойства, мы должны найти, что отношения между сосредоточением учитывают Ая и Висмут, появляющиеся в Eqs. (8.4.39) и (8.4.40) и эффективные electroelastic модули из соединения. С этой целью, замена Eq. (8.4.26) в Eq. (8.2.l7) и использование Eq. (8.4.27) дают результаты
F* = v1F; ВИСМУТ + v2F2B2 (8.4.41)
8.4 Модель микромеханики пьезоэлектричества с включениями 309
которые подобны выражению в Eq. (S.4.39). Замена Eq. (S.4.2S) в
Eq. (S.2.17) и использование Eq. (S.4.29) дает результаты (S.4.42)
Вставка Eq. (S.4.3S) в Eq. (S.4.4I), чтобы устранить B2 в пользу BJ затем
дает результаты
(S.4.43)
Точно так же мы имеем
vA = (E*-Er) (ИХ-Err1 (S.4.44)
Наконец, замена Eqs. (S.4.43) и (S.4.44) в Eqs. (S.4.39) и (S.4.40), мы получаем
* = aj + (F * - Fj) (частотная модуляция - Fj)-1 (-aj),
r* =rj + (E* Эдж-) (ИХ-Ejr1 (комната-rj)
(S.4.45)
(S.4.46)
Это может видеться из Eqs. (S.4.45) и (S.4.46), что * и r* могут быть
легко оцененны, когда эффективные electroelastic модули F* и E*
полученные в манере, такой как результаты представлены в Подразделе S.4.2. В
следующем, Eqs. (S.4.39), (S.4.40), (S.4.45), и (S.4.46) объединены с
результатами теорий микромеханики полученным в Подразделе S.4.2, чтобы получить * и r* соединения.
Из Eqs. (S.4.3S) ~ (S.4.40), легко доказать что
a* =aM +v2B2 (j-)', r* =rM +v2A2 (rj - комната) (S.4.47)
Замена Eqs. (S.4.17) и (S.4.1S) в Eq. (S.4.4 7), разведенный метод дает результатом  эффективное тепловое расширение и пироэлектрические коэффициенты как
a* =aM +v2 [я +F;; / (я-S) (франк - частотная модуляция) f (r-) (S.4.4S)
(S.4.49)
Замена Eqs. (S.4.19) и (S.4.20) в Eq. (S.4.4 7) результаты
выражения * и r* для последовательного метода как
a* =aM +v2 [я +F*-l (я-S *) (франк - частотная модуляция) f (r-) (S.4.50)
(S.4.51)
С методом Мори-Танаки, вставкой Eq. (S.4.21) в Eq. (S.4.47) получаем
результаты
(S.4.52)
(S.4.53)
310 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
Для дифференциального метода E* может быть оценен от Eqs. (S.4.23) ~
(S.4.25), в то время как F* определен от следующих уравнений [5]:
dF = _1 _ (FJ _ F *) B~IF (S.4.54)
dV2 1-v2
подвергнутый начальным условиям
F* (V2 = 0) = ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ (S.4.55)
где
B~IF = [/+ F*-I (/-SDIF) (Er - Ми *) r
Замена Eqs. (S.4.24) и (S.4.56) в Eq. (S.4.47)дает  результаты
* [*-1 СГИБАНИЕ *]-1 =aM +V2 / +F (/-S) (Er-E) (r-),
r * = r [DIF *-1 *]-1 м. +V2 I+S Ми (E1-ми) (r1-rM)
(S.4.56)
(S.4.57)
(S.4.5S)
8.5 Микромеханики -граничного элемента смешанный подход
Это примечательно что распространенный для каждой из теорий микромеханики, описанных в этой главе - использование известного напряжения и факторов сосредоточения растяжения полученных через аналитический раствор одиночной трещины, пустоты, или включения встроенного в бесконечную среду. Однако, для проблемы со сложностью в аспектах геометрии и механической деформации, сочетания их подходы микромеханики и численные методы, такие как конечного элемента метод и метод граничных элементов (BEM) представляют сильный вычислительный аппарат для того, чтобы оценить эффективные свойства материала. Это также примечательно из Раздела S.2, что оценка интеграла (S.2.24), который содержит неизвестные переменные на границе только, ключ к предсказанию фактора сосредоточения A2 (или B2)' Поэтому, BEM является очень подходящим для того, чтобы дать представление этого типа вычисления. В этом разделе, микромеханике - БЫТЬ перемешанным алгоритмом представлен для того, чтобы проанализировать эффективное поведение пьезоэлектрических соединений.
Алгоритм основан на двух типичных моделях микромеханики (последовательный
и методы Мори-Танаки) и двухфазовая БЫТЬ рецептура. Итерации
схема названа для само-содержащего  смешанного метода.
8.5.1 Двухфазовая БЫТЬ рецептура
В этом подразделе двухфазовая БЫ ТЬ модель введена для обобщенных
8.5 Граничный элемент микромеханики перемешивал подход 311
смещений и обобщенных усилий на границе поддомена каждой фазы [34]. Эти два поддомена разделены интерфейсами между включением и матрицей (см. Рис. 8.3). Каждый домен подписчика может быть отдельно смоделирован прямым BEM. Глобальный блок БЫТЬ поддоменами затем исполнен предписанием сценария обобщенных смещений и обобщенных усилий в интерфейсе поддомена.
В двумерном пьезоэлектрическом соединении, БЫТЬ рецептурой берет
форму
[СИ] до (\~) Ui (\~) = f море) [Ui ~ (a) (x, ~) T} a) (x) - Tj: (a) (x, ~) uja) (x)] dS (x) (8. S.1)
где трибуны верхнего индекса "a" для количеств связанных с ath
фазы (= 1 являющийся матрицей и a=2, являющимся включением), T; = О'иджндж (я = 1,2),
T" = Dini и
Море) = {s+r, =1 r, если ~ Ми D (a)
a=2'
до (a) (~) = O.S, если ~ Море Ми) (s (a) гладкий) (8. S.2)
S,
0, если ~ ~ D (a) U Море) [U.11 UI*2 - ~ 'j [':' t:2 - (~j
[Ui*j] = u:* * - ;; [T;;'] = t~1 * (8. S.3) 1 u22 t22-W2
* - ;; * * U31 U32 t31 t32-W3
в котором рнде S - границы представительного элемента площади (РЕЙ)
и включения, соответственно (см. Рис. 8.3); u: ~ и t; (я, j=1,2), обозначают,
соответственно, смещение и компонент тяги в jth направлении в поля очко x из-за очка модуля сил действия в ith направлении в исходном очке;; u;; и t;; (я = 1, 2), представляют ith смещение и тягу в x из-за модуля электрического заряда в;; ;; * и Wj* (я = 1,2) обозначают электрического потенциала и поверхности зарядя x из-за очка модуля силы действующей в ith направлении в;; и ;; и w; обозначает, что электрического потенциала и поверхности заряд x из-за модуля электрического заряда в;; Эти фундаментальные решения - хорошо зарегистрированные в
литературе и может быть найдена в [СИ].
Получить слабое решение Eq. (8. S.I) как в обычном BEM, границы Море), разделен на серию граничных элементов. После исполнения дискретизация используя различные виды граничного элемента (например, постоянный элемент,
линейный элемент, элемент высшего порядка) и сбор неизвестных условий к
левой стороне и известные условия на правой руке, так же как использование
312 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
условия сценария в интерфейсе S (Плод инжира 8.3b), граничного интеграла
уравнение (8.5.1) становится рядом линейных алгебраических уравнений
AY=P (8.5.4)
где Y и P - полные неизвестные и известные векторы, соответственно, и A
известная содействующая матрица.
(a) РЕЙ с включением (b) РЕЙ с пустотой
Рис. 8.3 РЕЙ использовал в БЫТЬ анализом
Когда включение в Рис. 8.3a становится лункой, граничного интеграла уравнение (8.5.1) все еще сохраняется, если мы берем a=1 только. В этом случае граничное условие сценария заменено граничным условием лунки: Tj = 0
вдоль границы S (Плод инжира 8.3b).
8.5.2 Алгоритмы для последовательного и Мори-Танаки подходов
(1) Подход само-содержащий-BEM.
Как заявлено в Подразделе 8.2.2, в само-содержащем методе, для каждого
включения (или лунки), эффекта включения (или лунка) взаимодействие взято в
счет приблизительно, встраивая каждое включение (или лунку) в эффективном
среды, чьи свойства неизвестны. В этом случае, материальные константы
появляющиеся в рецептуре граничного элемента (8.5.1) неизвестны.
Следовательно ряд начальных испытательных значений эффективных свойств необходим и итеративный алгоритм требуется. Подробно, алгоритм:
(a) Примите первоначальные значения материальной Ми констант; o).
(b) Решите Eq. (8.5.1) для Uu) использования значений Ми; i_I)', где
приписка" (i)" трибуны для переменной связывалась с ith повторяющимся циклом.
(c)Вычислите A2 (i) в Eq. (8.2.20) посредством Eq. (8.2.24) и используя
Ссылки 313
текущие значения UCil 'и затем определяют Ми (*i) путем Eq. (S.2.1S).
(d) Если {; (i) = IIE (;) - E:i_ l) II / IIE (o) II;;; {; где {; сходящаяся переносимость,
закончим итерацию; иначе возьмем Ми (i) как первоначальное значение и пойдем в шаг (b).
(2) Подход Mori-Tanaka-BEM.
С методом Мори-Танаки матрица сосредоточения A~T дает
решение для одиночного включения (или пустоты) встроенного в неповрежденное твердое вещество подвергнутое прикладному полю растяжения, равному пока еще неизвестному среднему полю в соединении, что означает что вводная часть включений в соединении дает результаты в значении Z2, данного
(S.5.5)
где A~IL - матрица сосредоточения, связанная с разведенной моделью,
которая может быть вычислена посредством Eqs. (S.2.20), (S.2.24) и (S.5.1). Затем,
Eq. (S.4.21) используется, чтобы вычислить A~T. Это может видеться от Eq. (S.4.21), что подход Мори-Танакы обеспечивает явные выражения для эффективных констант пьезоэлектрических соединений. Поэтому, никакая итерация не требуется с методом Mori-Tanaka-BE.
Ссылки
[IJ Newnham R Ми, Скиннер D P, Перекрестный Л Э. Коннективити и пьезоэлектрический пироэлектрический
соединения. Мать. Res. Бык., 1978, 13:526-536.
[2J Banno H. Недавние события пьезоэлектрических керамических результатов и соединения
синтетические резиновые и пьезоэлектрические керамические частицы. Ferroelectrics, 1983,50:3 - 12.
[3J Греков A, Крамаров С 0, Куприенко A. Эффективные свойства поперек
изотропический пьезоэлектрический с цилиндрическим включением. Ferroelectri cs, 1989, 99: 115-126.
[4J Данн М Л, предсказания Таи М. Микромечаникс эффективных electroelastic модулей
из пьезоэлектрического соединения. Интервал. Дж. Солидс Стракт., 1993,30:161-175.
[5J Данн М Л Микромеханики двойного electroelastic соединения: эффективный тепловой
расширение и пироэлектрические коэффициенты. J. Прикладная Физика, 1993,73:5131 - 5140.
[6J Benveniste Y. Всеобщие отношения в пьезоэлектрических соединениях и полях поляризации, мне:
двойные СМИ: местные поля и эффективное поведение. J. Прикладной Механик, 1993, 60:265-269.
[7J Benveniste Y. Всеобщие отношения в пьезоэлектрических соединениях и полях поляризации, II:
314 свойств Chapter 8 Effective thermo-piezoelectricity
многофазные СМИ: эффективное поведение. J. Прикладной Механик, 1993,60:270-275.
[8J оценки Чена Т. Микромечаникэла полных thermoelectroelastic модулей
многофазные волокнистые соединения. Интервал. Дж. Солидс Стракт., 1994, 31:3099 - 3111.
[9J Qin Qinghua, Ю Шоувен. Используя метод Мори-Танакы для эффективных модулей растрескавшихся
thermopiezoelec-tric materialsllProc. 9-ой Международной Конференции по Перелому, 1-5 апреля,
Сидней, 1997: 2211-2218.
[IOJ Мэй И В, Qin Qinghua, Ю Шоувен. Эффективное тепловое расширение и пироэлектрический
константы для растрескавшегося пьезоэлектрического solidsllChien W Z. Слушания третьего
международная конференция по вопросам нелинейной механики, 17 - 20 августа, Шанхая, P.R.China.
Шанхай Нажатие Univesity, 1998: 309-314.
[II J Benveniste Y, Соль Дворжака поля Дж. Униформа и всеобщие отношения В пьезоэлектрическом
соединения, Твердые вещества Физики Дж. Меча, 1992,40:1295-1312.
[12J Benveniste Y. Точные результаты в micromechani cs волокнистых пьезоэлектрических соединений.
Proc. Р. Сок. Лондон, 1993, A441:59-81.
[13J Бенвенист И. Микромечаникс волокнистых пьезоэлектрических соединений. Мать механика.,
1994,18:183-193.
[14J Qin Qinghua. Используя теорию GSC для эффективного теплового расширения и пироэлектрический
коэффициент растрескавшихся пьезоэлектрических твердых веществ. Интервал. Дж. Фрэк., 1996, 82:R41-R46.
[15J Qin Qinghua, Ю Шоувен. Эффективные модули thermopiezoelectric материала с
микрополости. Интервал. Дж. Солидс Стмк., 1998,35:5085-5095.
[16J Qin Qinghua, Мэй И В, Ю Шоувен. Эффективные модули для thermopiezoelectric
материалы с микротрещинами. Интервал. Дж. Фрэк., 1998,91:359-371.
[l7J Levin V м. Эффективные свойства ofpiezoactive матричные композиционные материалы. J. Прикладной.
Mathe. Механик, 1996, 60:309-3l7.
[18J Levin V м., Rakovskaja М. I, Kreher W S. Эффективные thermoelectroelastic свойства
из микро неоднородных материалов. Интервал. Дж. Солидс Струк., 1999,36:2683-2705.
[19J Хуань Дж Х. Определения микромеханики thermoelectroelastic полей и эффективный
модули thermoelectroelastic пьезоэлектрических соединений. Мат. Научная Си Инженера, 1996,
39: 163-172.
[20J Хуань Дж Х, Kuo W определение С. Микромечаникса эффективных свойств
пьезоэлектрические соединения, содержащие пространственно ориентируемые короткие волокна. Мать деяний., 1996,
44: 4889-4898.
[21 J Kuo W S, Хуань Дж Х. На эффективных electroelastic свойствах пьезоэлектрических
соединения, содержащие пространственно ориентируемые включения. Интервал 1. Твердые вещества Struc., 1997, 34:
2445-2461.
[22] Ву Т Л определения Микромеханики electroelastic свойств пьезоэлектрических
Ссылки 315
материалы, содержащие пустоты. Мат. Научный Инженер, 2000, A280:320-327.
[23] Чен Дж, Ван Б, Du S Y. Статистическое образцовое предсказание эффективного e1ectroe1astic
свойства po1ycrystalline feIToe1ectric керамика с беспорядочно ориентируемыми дефектами.
Мать механика., 2002, 34:643-655.
[24] Уоджнэр Р. Хомодженизэйшн пьезоэлектрического твердого вещества и термодинамики. Сообщения относительно
Математическая Физика, 1997,40:585-598.
[25] Эдуардо Л Л, Федерико Х С, До Си Juliin, и др. Полные электромеханические свойства a
двойное соединение с 622 составляющими симметрии: антиплоскость стрижет пьезоэлектрическое государство.
Интервал. Дж. Солидс Струк., 2005, 42:5765-5777.
[26] Hori М., Немэт-Нассер С. Универсэл ограничивает для эффективных пьезоэлектрических модулей. Механик.
Мат., 1998,30:1-19.
[27] До Poizat, Sester М., Эффективный propeliies соединений с пьезоэлектрическим встроенным
волокна. Comput. Мат. Наука, 1999, 16:89-97.
[28] Beckert W, Kreher W, Braue W, и др. Эффективные свойства соединений, использующих волокна
с пьезоэлектрическим покрытием. Дж. Юро. Керамический Soc., 2001, 21: 1455-1458.
[29] Литий Z H, Ван К, Чен К И. Эффективные электромеханические свойства поперек
изотропическая пьезоэлектрическая керамика с микропустотами. Comput. Мат. Наука, 2003, 27:381-392.
[30] Бергер Х, Kari S, Gabbert U, и др. Аналитический и числовой подход для
вычисление эффективных материальных коэффициентов пьезоэлектрических соединений волокна. Интервал. J.
Твердые вещества. Struc., 2005, 42:5692-5714.
[31] Литий J Y. Эффективные electroelastic модули текстурированных, пьезоэлектрических poly прозрачный
совокупности. J Твердые вещества Механика Фи, 2000, 48:529-552.
[32] До Jiang P, Тонг Z H, Чжан И K. Обобщенный последовательный метод для
укрепленные соединения пьезоэлектрического волокна под антиплоскостью стригут. Механик Мэт., 2001,
33 :295-308.
[33] Ван Х, Коричневая Соль W, Центр S, и др. Числовое определение эффективных свойств
освобожденные пьезоэлектрические материалы, используя BNM. Анальный инженер. Граничный Элемент, 2005,
29:636-646.
[34] Qin Qinghua. Свойства материала пьезоэлектрических соединений BEM и
метод гомогенизации. Сложные Структуры, 2004, 66:295-299.
[35] Литий J Y, Данн М Л Микромеханики magnetoelectroelastic композиционных материалов:
средние поля и эффективное поведение. Дж. Интелл. Мат. Sys. Struc., 1998, 9:404 - 416.
[36] Литий J Y. Эффективные пироэлектрические и тепловые коэффициенты расширения feIToelectric
керамика. Мать механика., 2004, 36:949-958.
[37] Ли Дж, Соль Бойда Дж, Lagoudas 0 До. Эффективный propeliies трехфазовой гальванопластики-magneto316
Свойства Effective главу 8 thermo-piezoelectricity
упругие соединения. lnt. Дж. Энг Счи, 2005, 43:790-825.
[38] Занг З K, Soh K предсказаний Микромеханики эффективных модулей
композиционные материалы magnetoelectroelastic. Euro. Дж. Меч А/солидс, 2005,
24: 1054-1067.
[39] Бергер Х, Kari S, Gabbert U, и др. модели Элементарной ячейки пьезоэлектрические волокниты для
числовое и аналитическое вычисление эффективного propeliies. Умный Мат. Struc., 2006,
15:451-458.
[40] Ксу Y Л, Ло С Х, До Jiang P, и др. Поведение Electroelastic вдвойне периодического
пьезоэлектрические соединения волокна под антиплоскостью стригут. lnt. Дж. Солидс Струк., 2007, 44:
976-995.
[41] До Саа Г, Каламкаров Л, Georgiades V. Асимптотическое моделирование гомогенизации
и анализ эффективных свойств умного укрепленного соединения и оболочки сэндвича.
lnt. Дж. Меч Счи, 2007, 49 (2):138-150.
[42] Rodel J. Эффективные свойственные линейные свойства пластинчатых пьезоэлектрических соединений и
простые сегнетоэлектрические доменные структуры. Мать механика., 2007, 39 (4):302-325.
[43] Немэт-Нассер С, Ори М. Микромеканикс: полные свойства гетерогенных
материалы. Амстердам: Elsevier, 1999.
[44] Hashin Z. Отличительный замысел и его приложение к растрескавшимся материалам. J Механик Фи
Твердые вещества, 1988, 36:719-734.
[45] Аткинсон К, Клементс Д Л. На некоторых первоклассных проблемах в анизотропном thermoelasticity. lnt
J Твердые вещества Struc, 1977, 13:855-864.
[46] Mori T, напряжение Танаки К. Аверэджа в матричной и средней упругой энергии материалов с
не подхождение для включений. Деяния Metall, 1973,21:571-574.
[47] Исследование Маклоулина Р. А отличительного замысла композиционных материалов. lnt. 1. Инженер.
Наука, 1977, 15:237-244.
[48] Хуань И, Ху К K, Chandra A. Обобщенный последовательный метод механики для
микрорастрескавшиеся твердые вещества. J Твердые вещества Механика Фи, 1994,42: 1273 - 1291.
[49] Qin Qinghua, Мэй И В, Ю Шоувен. Некоторые проблемы в плоскости thermo - пьезоэлектрический
материалы с лунками. lnt J Твердые вещества Struc, 1999,36:427-439.
[50] Хуань Дж Х. Эллипсоидальное включение или трещина в orthotropic пьезоэлектрических СМИ. J. Прикладной.
Физика, 1995, 78:6491-6503.
[51] Динг Х Дж, Ван Г К, Чен В К. Граничная составная рецептура и 20 основных тонов
растворы для пьезоэлектрических СМИ. Compu. Денатурат. Прикладной Инженер Механика, 1998, 158:65 - 80.
Индексировать
A
биохимический фактор 207
биологическая ткань 184
абсолютная температура 187 костных клеток 207
приспосабливаемые материальные 207 костей, реконструирующих 207
адаптивный упругий метод граничных элементов теории 209 258
адаптивная структура 3 184 граничных первоначальных значения 99
Амон 184 186 оптовых модулей 20,29
анизотропный 46,48
антипериодичность 10
ДО
деформация антиплоскости 67
антиплоскость стрижет 87 катионов 184 186
антисимметрические 11 дендритов обители 207
искусственный мускул 183 184 келейных слоистых структуры 21
ASE 49,50 характерной продолжительности 15 264
ЗАДНИЦА 49,50 химических эффектов 3 183
принятое поле 89 химических потенциальных 187 189
асимптотическое расширение 264 265 chemo-механических 4 183
асимптотические формы 77 круговых включений 47
вспомогательное поле приспосабливания 89 глин 4 184
среднее растяжение 18,20 коллагенов 184 208
усредненные свойства 4 дополнительная энергия 30,31
фактор сосредоточения 19,24
СИ
постоянное растяжение 8,31
постоянное напряжение 8,31
Тензоры Барнетта-Лозэ 73,75 учредительных правила 185
твердое вещество bimaterial 150 условий сценария 82
318 Индексируют
механика континуума 1 соглашение 79 суммирования Эйнштейна
эффект конвекции 187 электрических полимеров активности 5
уравнение распространения конвекции 187 электрических зарядов 59
координатное преобразование 74 электрических фактора интенсивности замещения
корректирующий изотермический раствор 172 120
корковая пьезоэлектрическая кость 208 электрических энтропий функционирует 62
текущее сосредоточение 186 электрических потенциальных 60
цилиндрическая система координат 61 112 электро-упругих теорий 60
матрица элемента 86
D
endosteal появляются 229
функция энергетического разложения 99
расслаивание 279 технических констант 20
диэлектрические постоянные 62 матрицы эпоксидной смолы 48
отличительный метод 21 эквивалентный eigenstrain 24
коэффициент распространения 186 эквивалентных методов включения 21
разведенная проблема включения 29 тензоров Eshelby 24
разведенный метод eigenstrain 280 Эшелби 21
режиссируйте средний метод 5 уравнений Euler 85
энергия разложения 191
теорема расхождения 22
F
двойное интегральное уравнение 60
соединения волокна 1
МИ
нажатие волокна 61
Правило 186 Фика
эффективный осевой модуль 38 теорем инверсии Фурье 116
эффективное согласие 18 Фурье преобразовывает 60
эффективная проводимость 282 интегральных уравнения Fredholm 115
эффективные 9 бесплатных тел среднего размера 23
эффективные свойства 4
эффективная чопорность 15
СОЛЬ
эффективное напряжение 24
эффективное отношение растяжения напряжения 35 газовых постоянных 187
эффективное тепловое расширение 59 Gauss-Legendre управляет 44
Волокно электронного стакана 48 обобщенных границ шпигует 83
eigenfunction 101 обобщал последовательные 21
Индексируйте 319
обобщенное растяжение 61 интеллектуальный материал 3
обобщенное напряжение 61 сценарий межэлемента 79
Энергия Гиббса функциональные 152 внутренних кости, реконструирующие 208
глобальная жидкость антракта координаты 31 184
гранулированные СМИ 1 инверсия Фурье преобразовывают 101
Функция зеленого цвета 60 обратных пьезоэлектрических эффектов 59
Трещина Гриффита 106 ионных сосредоточений 186
ионное распространение 183
H
K
полуплоскость 104
Теорема инверсии Hankel 116 кинетических энергий 97
Hashin и вариационный Стрикмен
раствор 39
Л
теплоотдача 191
теплопередача 100 Хромых постоянных 65
Гетерогенные материалы Laplacian 67
Принцип Хилла формализм 17 Лекнитскиев 69
holomorphic 170 линейных дифференциальных операторов 43
гомогенная тяга 18 живущих систем 207
гомогенизация 4 местных координаты 31
гомогенизированные свойства 35 местная неоднородность 21
гидрогель 184 местных растяжения 20
гидроксиапатит 208 нижних границ 21
Л включений формы 48
М.
impermittivity 152
включение 7 макроскопических полей 16
теория 23 включения магнитный пролог 151
косвенная гомогенизация 21 магнитный фактор интенсивности пролога
бесконечная граница 24 178
начальное растяжение 43 магнитоэлектрических 3
в плоскости постригите режим 15 магнитоэлектрических констант 152
интеграция партией 22 магнитоэлектрический градиент
320 Индексируют
уравнение 151 osteoclast 207
"гальванопластика магнето, упругая" 5 osteocyte 207
произведенные смеси 1 67 из плоскости
массовый поток 186 прямых нормальных векторов 22
математическая гомогенизация 5
механически-химический коэффициент p
189
medullar прикрепляют укрепленные соединения 218 частиц 20
метод переменного разделения 89 первоклассных 61 формы пенса
микровзломайте 7 периодических 7
микромеханика 4 периодических обители 8
микроскопическое напряжение 16 периодических условий 9
микроструктурная деформация 53 периодичности 9
микроструктура 1 periosteal 229
микроосвободите 7 коэффициентов проницаемости 4
диэлектрическая постоянная правила 31 смеси 80
баланс импульса 183 функции волнения 170
Метод Мори-Танакы 21 замещение беспокойства 34
М. TFEM 27 растяжений беспокойства 24
мультиполе 59 пьезоэлектрических 3
мультиполевые свойства сцепления 3 пьезоэлектрический эффект 59
полифункциональные умные материальные 183 piezomagnetic постоянных 151
разнообразие 78 растяжений плоскости 49
растение 1
N
Отношение Поиссона 40
Многокристаллы 1
естественные материальные 3 полимера 3
нетривиальный раствор 88 полиномиалов функционирует 14
соединение n-фазы 19 пористости 209
вероятности n-очка 8 posi ti ve-defini te 99
потенциальная функция 59
0
несоответствия свойства 21
протезное устройство 218
orthotropic упругое тело 39 нажатий 61
osteoblast 207 пироэлектрических 59
Индексируйте 321
pyromagnetic 155 специальных элементов 90
функция особого назначения 90
Q
сферическая макрочастица 29
постоянное условие 83
четырехсторонний элемент 83 статистической однородности 8
quadriphasic 184 плотности энергии растяжения 17
подчеркните функцию 67
R
интенсивность напряжения учитывает 120
Формализм Строха 67
прямоугольная тарелка 200 поддоменов 19
прямоугольная полоса 200 поверхностных средних 22
ссылочное растяжение 18 поверхностных костей, реконструирующих 208
тензор reluctivity 152 опухоли 201
восстановление и рост 207 симметрии 202
представительный элемент объема 7
Приближение Reuss 31
T
твердое включение 48
рок 1 замещение тангенса 54
правление смеси 38 TEM 291
Интеграция Runge-Kutta 290 температурных неоднородностей 169
термохимический коэффициент 189
S
термодинамическая функция 63
thermo-magneto-electro-elastic 256
песчаник 1 thermo-пьезоэлектрический 5
второй вариационный подход 85 поперек изотропических 47
последовательный FEM 27 конечных элементов Trefftz 78
последовательный замысел 27 Trefftz функционирует 89
полуаналитическое испытание модели 215 функционирует 82
обитель датчика 207 triphasic 184
функция формы 37 два - индексирует нотацию 304
постригите модуль 40
сокращенная нотация 68
U
система скелетона 207
почвы одноосное растяжение 49
твердая сеть 184 теоремы уникальности 97
322 Индексируют
элементарные ячейки 54
W
верхняя граница 30
проблема куска 150
V
принцип энергии работы 22
вариационный метод 21 y
виртуальные замещения 35
Приближение Войт 31 Y - формирует включение 48
среднее число объема 16
фракция объема 7