Микро макро теории гетерогенного Глава 7 проблемы

Глава 7 Эффективные свойства сцепления, спаривания гетерогенных материалов.
Интеллектуальные материалы нашли увеличивающиеся приложения в инженерных структурах, особенно в адаптивных системах структуры, как обнаружение и приведение в действии устройств и компонентов. Композиционные материалы были развиты, чтобы создать умные свойства через сцепление, спаривание механических и немеханических свойств. Анализ микромеханики интеллектуальных композиционных материалов очень полезный для изучения их отношений структуры- свойства и руководства проекта и оптимизации новых материалов.
Как пример, композиционные материалы, состоящие из пьезоэлектрической фазы и piezomagnetic фаза вызвала существенный интерес в последние годы.
Такие материалы экспонируют значительные мультиполевые свойства сцепления, то есть электро-магнето механическое сцепление. Они реальность, доказательство- удивительно большой магнитоэлектрический коэффициент, коэффициент сцепления между электрическим статическим и магнитным полями, который отсутствует в любой составляющей. Магнитоэлектрическое сцепление, новое свойство результата в соединении, создается через взаимодействие между пьезоэлектрической фазой и piezomagnetic фазой. Результат свойства таких композитов несет прекрасные возможности предложения инженерам для
проекта новых материалов.
В 1974 Ван Рун [1] и др. сообщал о фабрикации и магнитоэлектрическом
эффекте соединения, состоящего из BaTi03 (пьезоэлектрическая фаза) и CoFe204
(piezomagnetic фаза). Магнитоэлектрический коэффициент - два больше заказов
чем тот из Cr203, у которого был самый высокий магнитоэлектрический коэффициент среди материалов одиночной фазы, известные тогда. Брэди и Ван Влит [2] сообщали о широкой полосе магнитоэлектрического преобразователя с единообразным использованием частотной характеристики композиционных материалов. С тех пор, большая теоретическая и экспериментальная работа для
исследования магнитоэлектрического эффекта сцепления была вынесена. A
256 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
резюме этой темы было дано в Главе 4.
Фактически, эффект сцепления существует во многих материалах. Простой пример пьезоэлектрический материал, который экспонирует электромеханические свойства сцепления [3,4]. Вообще, соединение, состоящее из составляющих со свойствами сцепления, может экспонировать эффективные свойства сцепления и создать, в некоторых ситуациях, результат свойств. Таблица 7.1 резюме эффекта сцепления нескольких соединений.
Таблица 7.1 свойства Coupling соединений
Свойства Свойств
Эффективные свойства свойств Product
матричное включение
Механический Thermo-механический Thermo-механический
Электромеханический Электромеханический Дефект
Механический Электромеханический Электромеханический
Thermo-механический Электромеханический Электромеханический Термоэлектрический
Механический магнето Механический магнето Дефект
Электромеханическая Механическая магнето "гальванопластика магнето, механическая" Магнитоэлектрический
Механический
Electro-mechanical/
механический магнето
"Гальванопластика магнето, механическая" Магнитоэлектрический
Гальванопластика магнето -
Дефект
Электромеханический магнето
механический
Thenno-магнето -
Дефект
Thermo-magnetoelectro-
механический электромеханический
Thermo-механический
Гальванопластика магнето - Thermo-магнето - Thermo-механический,
механический электромеханический thermo-магнитный
В этой главе, эффективных свойствах сцепления гетерогенных
материалов подчеркнуты. Основные методы для гомогенизации гетерогенных материалов описаны, и несколько числовых результатов представленны.
7.1 Основные уравнения для мультиполевого сцепления
Рассмотрите thermo-magneto-electro-mechanical проблему сцепления. Для
материала thermo-magneto-electro-elastic, основные уравнения могут быть получены в итоге следующим образом. Управляющие уравнения
(7.1.1 )
Учредительные уравнения
7.1 Основные уравнения для мультиполя сцепления 257
(Jij: Cijk.., Ckl - elijE, - eliiH, - AijT}
Ди - eiklckl + KitEl + aitHI - p7
Си; = eiklckl + ailEr + J.lilHI-)) 7
Уравнения градиента
1
c = - (u. + u),
1j 2 л, J J, я
q; я =0,
E = - ;, H =-lj/I, 1 я, я
(7.1.2)
(7.1.3)
(7.1.4)
Для удобства письма мы используем те же самые нотации здесь  как в предыдущих главах. Определенные векторы Z и II как
[
CII c22 c33 2c23 2c13 2cI2] Z =
-~ -~ -~ -~ -~ -~
(7.1.5)
II = [(JII (J22 (J33 (J23 (J13 (J12]
ВИСМУТ ДИ Д2 Д3 B2 B3
(7.1.6)
Таким образом учредительные уравнения (7.1.2) могут быть переписаны в компактной форме
II = EZ - rT (7.1. 7)
Где содействующая Ми - 12-ого порядка симметрическая матрица в форме
Ми J; ~: ~:1 (7.18) le-a-jl J
и
(7.1.9)
В Eq. (7.1.8), 6x 6 матрица о - 4-ый тензор чопорности порядка; 3x6 матрица ми 3-ий порядок пьезоэлектрический тензор; 6x3 матрица и транспонирование ми; 3x6 матрица ми - 3-ий piezomagnetic тензор; и транспонирование ми; 3x3
матрица K обозначает диэлектрический тензор; 3x3 матрица магнитоэлектрическая  матрица коэффициентов; 3 x 3 II являются магнитным тензором проницаемости; 6-ой размерный вектор 1 является thermo-механическим коэффициентом; 3-ий размерный вектор p является  термоэлектрическим коэффициентом; 3-ий размерный вектор ЧЖИ является thermo-магнитным коэффициентом.
Здесь мы используем новую систему нотации здесь. Повторная приписка представляет суммирование от 1 до 3. Повторная прописная буква обозначает суммирование от 1 к 5. Например, TJUJ = TjUj + ~U4 + TsUs 'Используя эту нотацию, мы имеем
258 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
{
Ui, 1 = 1,2,3
U/= армированный пластик, 1 =4
(jJ, 1 = 5
Cijmn' J, М. = 1,2,3
eijn, M=4, J=1,2,3
eijll' М. = 5, J = 1,2,3
eijn' J=4, M=I, 2,3
EjJMn = - Уничтожают' J = 4, М. = 4,
-ain, J=4, M=5
eijll' J = 5, М. = 1,2,3
-atll' J =5, М. =4
-f.1in' J = 5, М. = 5
M = 1,2,3
M=4
M=5
(7.1.10)
(7.1.11)
Их называют, для удобства, обобщенных смещений, усилий, растяжения и обобщенной чопорности и тепловых коэффициентов, соответственно. Eq. (7.1.7) может быть переписано как
(7.1.12)
В этой главе мы сосредотачиваемся на эффективных свойствах сцепления
соединение с иерархической микроструктурой. Как с ситуацией эластичного
соединение, мы суммируем методы гомогенизации, чтобы предсказать эффективное свойство сцепления соединения. Здесь прямой средний метод, косвенный средний метод и математический метод гомогенизации кратко
рассмотрены.
(1) Прямой метод основан на среднем числе местных полей, чтобы вычислить эффективные свойства сцепления. Например, к однородному растяжению относятся пьезоэлектрическое соединение и среднее число электрического смещения расчетного. Затем возможно вычислить эффективные пьезоэлектрические коэффициенты соединения. Вообще, местные поля могут быть вычислены численным методом, таким как метод граничных элементов (BEM) [5] или конечный метод элемента (FEM) [6].
(2) Косвенный метод расширяет упругую теорию включения в мультиполевые проблемы сцепления. Есть много методов вдоль этой строки  предсказать эффективное пьезоэлектрические [7-10], термоэлектрические [11,12], магнитоэлектрические [13-16] и пьезоэлектрические-piezomagnetic [17-19] свойства соединений.
(3) Математическая гомогенизация применена к мультиполевым соединениям
7.2 Прямой метод 259
с периодической микроструктурой. Смещение, электрическое поле и магнитный
поле асимптотически расширено в двух масштабах. Процедура усреднения
объем используется, чтобы вычислить эффективные свойства сцепления. Aboudi [20] имеет представленную микромеханическая модель, чтобы оценить эффективный thermo-magnetoelectro- механические свойства соединений.
7.2 Прямой метод
Пренебрегая тепловым эффектом, учредительным уравнением для проблемы сцепления
II=EZ (7.2.1)
В прямом методе, средних полях обобщенного растяжения Z и обобщенное напряжение II сначала оценено, затем эффективные свойства сцепления
могут быть получены. Подробно, для гетерогенного среднего размера, рассмотрите RVE подвергнутые определенному граничному условию и вычисляют местное поле, Z и II, численным методом, таким как BEM и FEM. Затем усреднение объема
вынесено и гомогенизированные поля, Z и Ii, могут быть получены
z=lf ZdD, ii=lf IIdD (7.2.2)
V n V n
Эффективная Ми чопорность может быть определена
- --
II=EZ
Расширение Eq. (7.2.3), мы можем получить
fli=EijZj
(7.2.3)
(7.2.4)
Применение одноосного ZI = 1 и другой Zj = 0 на векторе правой стороны Z и
вычисляя весь ITi вектора левой стороны Ii, мы можем получить эффективные коэффициенты чопорности сцепления EiJ. В том же самом методе Ei2 может быть
полученно. В конечном счете все компоненты Eij найдены. Этой процедурой вообще управляют в пределах RVE. Размышлять, отразить периодичность микроструктуры соединения, периодическое граничное условие должно быть применено к RVE. Следующее - краткое описание периодических
граничных условий для смещения, электрического поля и магнитного поля.
Обозначьте Xi как очко на границе RVE, di периодичность RVE в соответствующем направлении. Очко на противоположной границе
RVE - Xi + di. Без поражения общности, периодического граничного условия
260 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
может читать
(
U; (Xj + d) = U; (X) + OOX~U) dk
; (x +d) = (X) ; + (~) dk)}} ВОЛ
k
W (Xj + ди-джей) = w (xj) + (ОЙ) dk
oXk
(7.2. Sa)
(7.2. Сурьма)
(7.2. Sc)
где () среднее число количества. Ui '; и OJ являются смещениями,
электрический потенциальный и магнитный потенциал, соответственно.
7.3 Косвенный метод
Считайте гетерогенную  магнето-электро-эластичной- упругой среды  подвергнутый униформе ZJi и однородной температуре T. Макроскопическое учредительное уравнение соединение может быть написано как
IIiJ = EiJKIZKI - riJT
Гомогенное граничное условие приводит
- -0
ZKI = ZKI
(7.3.1)
(7.3.2)
Мы анализируем растяжение и подчеркиваем вызванные внешним ZJ; и температурой
T как
(7.3.3)
где верхние индексы I и II обозначают внешнюю загрузку и температуру,
соответственно. Очевидно, мы имеем
Затем Eq. (7.3.1) может быть написано как
II' =E Z' iJ ilMn МС
IIi ~ = EiJMnZ~n - riJT
Усреднение результатов уравнений
(7.3.4)
(7.3. Sa)
(7.3. Сурьма)
(7.3.6a)
(7.3.6b)
где EiJMn и r iJ являются эффективными свойствами сцепления, которые будут найдены.
Для двойного соединения учредительные уравнения фаз
~' = МИ, Z" ~ '= МИ 2Z 2 (7.3.7)
7.3 Косвенный метод 261
где приписка обозначает фазу. Простое правило смеси дает
1 1-
CjZj + C2Z 2 = Z
1 1-I-
CJ1, +C2 ~ =II =EZ
(7.3.8a)
(7.3.8b)
где CI и C2 обозначают фракции объема фазы. Подстановка Eq. (7.3.7) в
Eq. (7.3.8b) и использование Eq. (7.3.8a), мы можем получить
- 1 1 EZ = cjEIZI + c2E 2Z 2
- J J = Ми j (Z - C2Z 2) + c2E 2Z 2 (7.3.9)
- 1
=EjZ +c2 (E2 Эдж-) Z2
Представление сосредоточения учитывает A, который соединяет количества в
включение и эффективные количества, мы имеем
J -
Z2 =AZ
Таким образом, Eq. (7.3.9) может быть выражено фактором сосредоточения как
E = E1 +c2 (E2-EI) A
(7.3.10)
(7.3.11)
Фактор сосредоточения A может быть вычислен одиночной теорией включения
где включение встроено в бесконечную матрицу. Это
(7.3.12)
где S - тензор Eshelby в зависимости от формы включения. Некоторые
публикации уже представили вычисление тензора Eshelby [15, 21, 22].
Обратите внимание что фактор сосредоточения, определенный Eq. (7.3.12) основан на одиночной теории включения и может использоваться в ситуации разведенного соединения. Для конечной фракции объема включения, модификация вынесена
методом Мори-Танаки (см. ссылку [23] для упругой проблемы),
(7.3.l3)
Замена в Eq. (7.3.11) МП, мы можем найти эффективного сцепления
свойства. Точно так же происхождение тепловых свойств при использовании Eq. (7.3.6b) дает результаты
(7.3.14)
Очевидно из вышеупомянутого происхождения что вычисление Eshelby
тензор - ключевой шаг. Как в упругой проблеме, тензор Eshelby может быть
вычисленный только для включения эллипсоидальной формы. Это подразумевает что косвенный метод доступен для включения эллипсоидальной формы. Здесь
обсуждение тензора Eshelby в мультиполевой структуре дано.
262 Главы 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
Рассмотрите сначала упругую проблему включения. В маленьком местном домене [2 из бесконечная изотропическая матрица, есть местное растяжение <которое является неэластичной деформацией, такой как тепловое расширение, преобразование, предварительное растяжение или пластическая деформация. Такое растяжение назвал eigenstrain Mura [24]. Самосбалансированный
напряжение, вызванное eigenstrain, называют eigenstress. Включения
теория была развита, чтобы исследовать упругий раствор для включения
встроенного в бесконечную матрицу.
Для униформы eigenstrain cZ во включении [2, растяжение беспокойства
вызванный eigenstrain в матрице получен Eshelby [25]. Это
(7.3.15)
где cij - растяжение беспокойства в матрице. Sijkl - тензор Eshelby в зависимости от формы включения и свойств матрицы. Под ситуацией эллипсоидального включения, тензор Eshelby - константа. Это завершенное, что растяжение беспокойства, вызванное униформой eigenstrain, является постоянным, если форма включения является эллипсоидальной. Соответствующее напряжение в
матрица выражена правилом Хука
(7.3.16)
и напряжение во включении
CT ~ = до; ik, (ck' - до;) (7.3.17)
Теперь мы рассматриваем ситуацию мультиполевого сцепления. Обозначьте обобщенный eigenstrain во включении Z~n' у Этого есть форма
(
ДО; 1I1' М. (: 3
ZM* n * = =E, ~, М.: 4 (7.3.18)
H n, M-5
где eigenstrain без напряжения, Ми; eigen-электрическое-поле которое
электрически без смещений. H; магнитное поле, которое является магнитным
без потоков. Растяжение, электрическое поле и магнитное поле, вызванное
обобщенным eigenstrain во включении может быть выражен с точки зрения Eshelby
тензора
(7.3.19)
Напряжение, электрическое смещение и магнитный поток в матрице могут быть написаны
7.3 Косвенный метод 263
как
(7.3.20)
Соответствующие количества во включении
T * IIiJ = EiJMn (ZMn-ZMI1) (7.3.21)
Очевидно, что тензор Eshelby - ансамбль девяти тензоров, потому что
eigenstrain может вызвать деформацию, электрическое смещение и магнитный поток для гальванопластики магнето механического сцепление. Для поперек изотропического среднего размера, у этих девяти тензоров есть следующие формы:
-1
Sml14h = 811: Kib (Mm4in +Mn4im)
Sml15h = 8 ~ [ehii (Mmjil1 +Mniim)-Fi/J (Mm5il1 + Mn5inJ]
S4nah = _1_ (CiJAhM 4 iil1 + eiabM 45il1) 411:.
1
S = - K М. 4n4b 411: ib 44il1
S4115b = 4
1
11: (ebiiM4jil1 - FihM45il1)
S5nab =-4
1
11: (CiJAbM 5i.i l1 + eiabM55il1)
1
S5n4b = - 411: KibM54in
S5115h = 4
1
11: (ehiiM5jil1 - FihM55i,)
(7.3.22a)
(7.3.22b)
(7.3.22c)
(7.3.22d)
(7.3.22e)
(7.3.22f)
(7.3.22g)
(7.3.22h)
(7.3.22i)
где М. MJil1 является функциями в зависимости от свойств матрицы и
формы включения. Подробные рецептуры были изданы в литературе [14,23]. Это может быть проверено, что тензор Eshelby симметричен.
Sml14h = S111114h'
S MI1Ab = Smn5b = Snm5b'
S411ah = S4l1ha'
S5nab = S5nba'
М. (3, (3
М. (3, A=4
М. (3, =5
M=4, (3
M = 5, (3
(7.3.23)
Для поперек изотропической магнето-электро-эластичной, упругой среды, у Eshelby  тензора есть только 28 независимых компонентов отличных от нуля. Эти компоненты имеют
264 Главы 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
данные в ссылке [14].
7.4 Метод расширения с двумя масштабами
Рассматриваемый метод - обобщенная форма расширения с двумя масштабами метод как применено в упругой проблеме. Этот метод может использоваться в мультиполевых материалах сцепления с периодической микроструктурой.
7.4.1 Асимптотическое расширение полей
Рассмотрите соединение с периодической микроструктурой. Есть две координаты системы. x = (XI' X2' x3) представляет глобальную координату и Y = (И' Y2'Y3), обозначает местную координату. Они определяют периодически повторимое RVE соединения. Характерная продолжительность RVE (например, средний размер  домена), намного меньше чем характерная длина целой структуры. Глобальные и местные координаты связаны
(7.4.1)
где 0 небольшой масштабный коэффициент, характеризующий размер RVE. Это
означет, что RVE может быть рассмотрен как очко в масштабе целой структуры.
Через эти две системы координат, замещения uj 'электрический потенциал до; и магнитный потенциал '7 может быть асимптотически расширен в
условия маленького параметра. Для смещений uj, мы имеем
uj (x, Y) = UOj (x, Y) + ou1i (x, y) +...
Для периодичности Y микроструктуры, мы имеем
uj (x, Y) = uj (x, y + Y)
(7.4.2)
(7.4.3)
Из-за смены системы координат от глобального до местных систем
следующее отношение должно использоваться в оценке производной поля
количества
o 0 1 0
---+ - + - (7.4.4) вол; вол; o внук;
Смещение uo; в Eq. (7.4.2) - значение переменной u; и следовательно
свободный  Yj. Пусть
7.4 Метод расширения с двумя масштабами 265
Eq. (7.4.2) может быть переписано как
uj (x, y) = U; (x) + 5uj (x, y) +... (7.4.6)
Как в упругой ситуации, uJ x) - значение смещения, ui (x, y) беспокойство смещения, которое является неизвестной периодической функцией. Таким образом
физическое истолкование Eq. (7.4.6) то, что реальное смещение ui совершаетколебание быстрое вокруг значения смещения U; из-за неоднородности
с микроскопической точки зрения. В связи с Eq. (7.4.4), растяжение
определенное расширением смещения (7.4.2), которое является
&;j = &;j + iij (x, y) + 0 (5) (7.4.7)
где
(7.4.8a)
i =.!. [ou; + ou) 1
lJ 2 вола вола J I
(7.4.8b)
Это показывает, что компоненты растяжения могут быть представлены как сумма
среднего растяжения &;j и беспокойство растяжения iij', Этому можно легко показать что
Если &dv=lf (r: +i) dV=&: V v, Если V V lJ lJ, Если
(7.4.9)
где V объем RVE. Это происходит непосредственно от периодичности из растяжения беспокойства, подразумевая, что среднее число взятого растяжения беспокойства по RVE исчезает. Для гомогенного материала очевидно что
беспокойство смещений и растяжений исчезает тождественно. Используя Eq. (7.4.7), мы может с готовностью представить смещения в форме
ui (x, y) = &;jx) + 5u; + 0 (52) (7.4.l0a)
Точно так же асимптотическое расширение электрических и магнитных потенциалов может будьте использовано к результату
Ми; = Ми; (x) + Ми; (x, y) + 0 (5)
H; = H; (x) + я ((x, y) + 0 (5)
где средние электрические и магнитные поля дают
Ei (x) = _9.. t
вол;
(7.4.1 Оби)
(7.4.lOc)
(7.4. 11 a)
266 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
тогда как соответствующие поля беспокойства определены от
- o;
Ми; (x'Y) =-a
Xi
(704.llb)
(704.12a)
(704. 12b)
Следовательно, так же, как в Eq. (704. I0a) для смещений, электрического и
магнитного потенциалов принимают форму
; (x, y) =-Ejx} + ; + 0 (52
) (704. 13 a)
(704.13b)
Тензор коэффициентов EUKI является периодической функцией, определенной в RVE в условиях из местных координат
(704.14)
Замена Eq. (704.1O) в учредительные уравнения (7.1.1), (7.1.2) и
(7.1.3), соответственно, и дифференциация относительно местных координат Yj ведет, соответственно, к следующим трем уравнениям (принимающим изотермические условия):
o [---] - внук Сиджкл (&kl + &kl) - ekij (Ek + Ek) - ekij (H k + Hk) = 0 J
O~j [ejkl (&kl + &kl) + Kjk (Ek +Ek) +ajk (H k+Hk)] =O
O~j [ejk / (&kl + &kl) + ajk (Ek +Ek) + fljk (H k+Hk)] = 0
Определите напряжение следующим образом:
() я ~ = Cijkl&kl - ekijEk - ekijHk
(iij = Cijk1&kl - ekijEk - ekijHk
(7.4. 15a)
(704.15b)
(704.15c)
(7.4. 16a)
(704. 16b)
где Eq. (7 o4.16b), представляет напряжение беспокойства. Так же мы определяем
o - - -
Ди = elk1&kl + KkEk + aikHk (704.17a)
Ди = elk'&kl + KkEk + aikHk (704. 17b)
o -
Кипа = elk/&kl + akEk + fllkHk
Си = elk'&kl + aJik + fllJfk
Таким образом дифференциальные уравнения могут быть сформированы
(704.18a)
(704.18b)
7.4 Метод расширения с двумя масштабами 267
полный ij + o (J" ~ = 0
внук} внук}
(7.4.l9a)
передозировка; + передозировка; o = 0
внук; внук;
(7.4.19b)
oBi + Обь? =0
Внук OYi;
(7.4. 19c)
Управляющее уравнение сцепления (7.4.19) творит сильную форму
равновесия и уравнения Максвелла. Это с готовностью видится что первые условия в Eq. (7.4.19) вовлекают неизвестные тревожащие периодические смещения iii' электрический потенциал ; и магнитный потенциал ij, в то время как вторые условия в этих уравнениях ставят псевдомассовые силы.
Для данных значений среднего растяжения &kl 'среднее электрическое поле Ei и среднее магнитное поле ii; смещения беспокойства iii' ; электрическое поле
и магнитное поле ij могут быть определены Eq. (7.4.19). Периодическое
граничные условия должны быть предписаны в границах RVE.
7.4.2 Эффективные свойства сцепления
Соединить растяжения беспокойства, электрические и магнитные поля со средним числом растяжений, электрические и магнитные поля, мы определяем матрицу следующим образом:
i = (Y) Z (7.4.20)
С Eq. (7.4.1 0), мы можем переписать растяжения, электрические и магнитные поля следующим образом:
Z = Z + (Y) Z = [1 + (y) JZ = (y) Z (7.4.21)
где 1 матрица модуля. (y) был назван электро-магнето-эластичной, упругой матрицей сосредоточения Aboudi [20].
Aboudi [20] представил процедуру, чтобы получить электро-магнето-эластичные, упругие матрицы сосредоточения (y). Чтобы найти (y), серия проблем должна быть решенна следующим образом. Решим Eq. (7.4.19) в связи с периодической границей условиями с &11 = 1, и все другие компоненты Z быть равными нолю. Решение этих двойных отличительных уравнений с готовностью обеспечивает Болейте (я = 1, 2. ··, 12). Эта процедура повторена с &22 = 1 и все другие компоненты Z быть равным нолю, который обеспечивает i2 и так далее.
Как только матрица (y) была определена, возможно вычислить
268 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
эффективная матрица содействующей Ми соединения. Замена Z данный Eq. (7.4.2l) в Eq. (7.2.l) (принятие изотермических условий) дает результаты
- -II = Ми (y) (y) Z (7.4.22)
Взятие среднего числа обеими сторонами Eq. (7.4.22) по результаты RVE среднее число усилий, электрических смещений и удельных весов магнитного потока в соединении в условиях средних растяжений, электрических и магнитных полей, а именно,
- --
II = EZ (7.4.23)
где
- 1 f Ми = V Ми (y) (y) dV (7.4.24)
Структура квадратного 12-ого порядка симметрическая матрица имеет форму
E = = e*-K*-a*
r
c* e* e*T j
(7.4.25)
Где до *, e*, e-*, 1C *, a*, II* e - *-a*-II * эффективная упругая чопорность, пьезоэлектрическая, piezomagnetic, диэлектрик, магнитная проницаемость и электромагнитные коэффициенты, соответственно.
Чтобы включить тепловые эффекты в соединение, мы используем Левин [26] результат, чтобы установить эффективное тепловое напряжение ~ тензор,
пироэлектрические Pi* и pyromagnetic Vi* коэффициенты. Этот подход был также
сопровождаемый Данном [27], чтобы установить эффективные тепловые модули пьезоэлектрических соединений. С этой целью мы определяем следующий вектор тепловых усилий, пироэлектрические и pyromagnetric коэффициенты:
(7.4.26)
Соответствующий глобальный или эффективный вектор определен
(7.4.27)
Согласно результату Левина, отношение между рэндом f дано в условиях
 матрицы A.
(7.4.28)
где В транспонирование A. Вышеупомянутое отношение обеспечивает эффективный тепловой вектор напряжения). *, пироэлектрический вектор p * и pyromagnetic вектор
7.5 Вычисление FE эффективных свойств сцепления 269
v * соединения.
Наконец, мы можем собрать относительные уравнения, чтобы творить двойное учредительное уравнение electro-magneto-thermo-elastic соединения как
следует:
II=Ez-rT (7.4.29)
Коэффициенты теплового расширения ай и ассоциированные пироэлектрические
константы p; и pyromagnetic Ми составляющего материала может быть
смонтированны, чтобы творить вектор
Q =
~ ~
(7.4.30)
Этим вектором можно дать
Q=E-1r (7.4.31)
где Ми и r даны Eqs. (7.l.8) и (7.l.9), соответственно.
В той же самой манере, эффективных коэффициентах теплового расширения i* и ассоциированные пироэлектрические константы p; * и pyromagnetic константы
М. ~ I из соединения могут быть смонтированы в вектор
- [a: * * * * a;' 1 Q =
2 a3 a4 как
(7.4.32)
p.* p* p* M* M* M*
] 2 3 ] 2 3
Как только Ми и r были установлены, этот вектор может быть с готовностью определен из
(7.4.33)
Aboudi [20] дал числовые результаты для электро-магнето, механического
свойства электро-магнето-эластичной, упругой среды.
7.5 Вычисление FE эффективных свойств сцепления
Как альтернатива понятию матрицы сосредоточения сцепления Aboudi
[20] детализированному в предыдущем разделе, Янг [29] и Ван [30] представили
процедуру, чтобы вычислить эффективные свойства сцепления во фрейме
метода расширения с двумя масштабами в связи с FEM. Настоящее обсуждение сосредотачивается на свойствах сцепления пьезоэлектрических материалов.
Используя Eqs. (7.4.7) и (7.4.10), мы можем написать обобщенное напряжение как
II = IID +, если (7.5.1)
Таким образом управляющее уравнение (7.4.19) становится
270 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
где
{
(Tij, j, J = 1,2,3
V n = II]] = D., J = 4 я, 1,1
Висмут;' J=5
(7.5.2)
(7.5.3)
Чтобы решить фактор сосредоточения растяжения посредством FEM,
вариационной форме уравнения равновесия должен быть уделено предшествующее внимание. Для произвольного виртуального обобщенного замещения OU, интеграция уравнения равновесия на периодичности Y может быть написано как Л (oU) телевидение II d V + Л (oU) T V n ° d V = 0 (7.5.4)
Объединение партиями ведет
Л (УНЦИИ) T lldV + fy (УНЦИЯ) T nOdV +h.c. = O (7.5.5)
где унция является виртуальным растяжением, соответствующим oU. h.c. трибуны для граничных членов. Обратите внимание, что произвольное виртуальное обобщенное смещение равное нолю на границе, так, что границы член в Eq. (7.5.5) исчезает. Замена Eq. (7.4.20) и Eq. (7.4.23) в Eq. (7.5.5), мы получаем t (УНЦИЯ) T Ми (AZ) dV + t (УНЦИЯ) T EZdV = 0 (7.5.6)
Возьмите Z следующим образом, соответственно
Я 0
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o,
1
o
Затем вышеупомянутая интеграция может быть выражена как
o
o
o
o
t (УНЦИЯ) T EAkdV =-t (УНЦИЯ) T EkdV
(7.5.7)
(7.5.8)
где k независимо переменный, индексируют. Для проблем плоскости каждый индексирует изменения от я до 5, соответствуя режимам растяжения в Eq. (7.5.7)." A вектор, состоящий из k th столбца матрицы А. Эк, является вектором
состоя из k th столбца матрицы Ми.
Чтобы вычислить вектор", как в упругом случае, мы вводим функцию Iff", чтобы удовлетворить
(7.5.9)
7.6 Числовые примеры 271
где Л является матрицей действующей компании, которая может быть определена градиентом уравнений. Интерполяция FE функции IJfk
IJfk = Nlji (7.5.10)
где N - функция формы, Iji - значение функции IJfk в узлах.
Мы можем получить
(7.5.11)
где Си = LN является обобщенной матрицей растяжения. Дискретная форма
виртуальное растяжение ISZ взято как ISZ = BlSlji. При использовании Eq. (7.5.8), нормальная, стандартная форма FE может быть выражена как
(tBT EBdV) ljik = tBT EkdV (7.5.12)
Это уравнение обеспечивает процедуру для вычисления FE для IJfk (k = 1,2,3,4,5).
Таким образом эффективная матрица чопорности может быть вычислена
- 1 f Ми = - Ми (л + BIji) dV
Y y
(7.5.l3)
где
-4
IJf
Интеграция в Eqs. (7.5.12) и (7.5.13) может быть вычислена числовыми интеграциями в каждом элементе.
7.6 Числовые примеры
Рассмотрите проблему растяжения плоскости пьезоэлектрического твердого вещества с упругими включениями или пустотами. Предполагается, что материалы поперек изотропические в 1-3 плоскостях и поляризация вдоль 3-ьего направления. Учредительное сцепления уравнение описано в матричной форме
л CII Cl3 0 0 e31 ci
3 До [3 До 33 0 0 e33 c3
как 0 0 До ss els 0 Cs (7.6.1)
D [0 0 ми [s-K
ll 0-E [
D3 e31 e33 0 0-K
33 - E3
или в компактной форме
II=EZ (7.6.2)
piezoelectricity керамический материал BaTi03 изучен здесь. Материала
272 Главы 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
свойства перечислены в Таблице 7.2.
Таблица 7.2 BaTi03 свойства материала
Упругие КОНСТАНТЫ/С.Б.Б.
Пьезоэлектрические константы Диэлектрика констант
/ (C/m2) / (I0 · 9C2iNm2)
эль I Cl3 I e33 I эс eSl I e3l I e33 Kll I K33
150 Я 66 Я 150 Я 44 11.4 Я-4.35 Я 17.5 9.86 Я 11.15
7.6.1 Пьезоэлектрическое твердое вещество с пустотами
Эффективные свойства пьезоэлектрического материала, содержащего круговые пустоты вычислены для различных фракций объема пустот. Рис. 7.1 показывает изгибы эффективных свойств против фракций объема пустот. Здесь
числовой результат для CII / CII по сравнению с тем из прямого метода
BEM [5]. Хорошее соглашение между этими двумя методами продемонстрировано в этом рисунке.
1.1
-----До;/Cll
~ "ДО
0 МИ 0.8
<.)
- До;/Cll (BEM)
---+ - ДО;/C 13
- EssICss
. ~ 0.7" '" "ДО 0.6." ~
OJ 0.5 МИ 0 Z 0.4
0.3
0.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Пустая фракция объема
Рис. 7.1.  Эффективные упругие модули пьезоэлектрического материала с пустотами
Рис. 7.2 показывает изгибы изменения эффективных пьезоэлектрических модулей с пустыми фракциями объема для пьезоэлектрического твердого вещества, содержащего пустоты. Это может видеться, что значение e31 / e31 увеличивается как фракция объема пустот увеличивается, тогда как противоположное заключение может быть получено для ми; 3 / e33 и
e.; 1 / eSI •
Рис. 7.3 Показывает изгибы, иллюстрирующие изменение эффективного диэлектрика
7.6 Числовые примеры 273
модули с пустыми фракциями объема. Можно прийти к заключению что увеличение пустоты фракции объема приводит к улучшенному K 33 / K 33 и уменьшению Kll / Kll.
2.1
~
1.8
"0
0
Ми! 1.5 <> - eS/eS1 '.6 - e3 / эль (.), - ми;:; 3/el3
0
.N,
's,
0.9 ".0,
.!:!
<; я
.E..!. 0.6
0
Z
0.3
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Пустая фракция объема
Рис. 7.2 Эффективные пьезоэлектрические модули пьезоэлектрического твердого тела с пустотами
1.4 - KIlIK II
- K33/K33
~ 1.3
"0
0
8
<> 1.2 '';
.t.,)
;:;:a 1.1
".0..
. !:!
<; я 1.0.E..!.
0 z
0.9
0.8
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Пустая фракция объема
Рис. 7.3 Эффективные диэлектрические модули пьезоэлектрического твердого вещества, содержащего пустоты
7.6.2 Твердые включения
Рассмотрим эффективные свойства для пьезоэлектрического твердого тела, содержащего твердые включения. Твердое включение смоделировано намного большей чопорностью чем то
274 Главы 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
из матрицы. Пьезоэлектрические коэффициенты и диэлектрические коэффициенты
твердых включений исчезают. Числовые результаты для эффективных свойств
соединение иллюстрированы на Рис. 7.4~7.6. Результат получен из прямого
метода используя BEM [5] также показывают на Рис. 7.4 для сравнения. Это очевидно то, что упругая чопорность увеличивается значительно как фракция объема твердые включения увеличиваются . Эффективные пьезоэлектрические и диэлектрические свойства уменьшаются с увеличением фракции объема включения, потому что твердое включение потеряло свои пьезоэлектрические и диэлектрические свойства.
3.5
3.0 - МИ; I/CI1
:g
0 2.5
- МИ; Я/CI1 (BEM)
- +-E; / cI3
S
<.> - Cs/Css
.~
2.0.. <л
""0
.~
-;; 1.5
МИ 0
Z
1.0
0.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Фракция объема включения
Рис. 7.4 Эффективная упругая чопорность твердого соединения включения
"3
""0
0 МИ 0.9
<.>
'5
<.>
<"л' 0.8
0
.N,
'0.
""0 0.7 .~
-;;
- es1leSI
- + - 1f:J/eJ I
МИ
:5 0.6 Z
-----eJ/e33
0.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Фракция объема включения
Рис. 7.5 Эффективные пьезоэлектрические свойства твердого соединения включения
7.6 Числовые примеры 275
1.1
1.0
3 0.9
."
e0 0.8
u
'Ми 0.7 u
Q.)-.;
~ 0.6
."
Q.)
.!::! 0.5
-;;; ми 0.4
-KII/IC Il
-K)/1C33
; Z
0.3
0.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Фракция объема включения
Рис. 7.6 Эффективные диэлектрические свойства твердого соединения включения
7.6.3 Пьезоэлектрическое соединение
Соединение пьезоэлектрической матрицы, укрепленной другим пьезоэлектрическим материал принято во внимание в этом разделе. Материальные константы фаз перечислены в Таблице 7.3.
Таблица 7.3 Константы материала пьезоэлектрического соединения
Диэлектрик
Упругие КОНСТАНТЫ/С.Б.Б.
Пьезоэлектрический
константы / (C/m2)
константы
Я (1 0-9C2/Nm2)
CII C13 C33 CS5 eSI e31 e33 KII K33
Матрица 50 14.5 50 3.4 2.2 - 3 3.2 12 11.5
Включение 139 78 139 25.6 12.7 - 5.2 15.1 6.5 5.6
Эффективные вычисленные свойства показаны на Рис. 7.7~7.9, где эффективные модули нормализованы свойствами матрицы, обозначенной
верхними индексами O. Изгибы даны посредством изменений эффективного
свойства против фракций объема включения. Упругого укрепления
эффект и улучшенные пьезоэлектрические свойства могут быть определены в
данном исследовании. Однако снижение диэлектрических свойств видится
в Рис. 7.9.
276 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
2.6 - C-II/C0 II
2.4-+ - Ми; я CP3
2.2 - Es/C~s
~
"8 2.0
МИ
.~ 1.8
lii
0;
. ". "'. ~" МИ 0
Z
0.8
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Объем включения ftaction
Рис. 7.7 Эффективные упругие модули пьезоэлектрического соединения
3.0
3
"80'" 2.5
'МИ"
8
"0 2.0
0
ti
.
"0 "'8" - es, le?,
5 - e3 Z, teg,
-----e3/e~l
0.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Фракция объема включения
Рис.а 7.8 Эффективные пьезоэлектрические модули соединения
:;
"8
8 0.95
'МИ"
соль
"0 я 0.90
~
МИ
~ 0.85
--------КИ И/К?
---+ - K) lK~J
0.6
0.6
0.80 '----'-_-'----'_ - '-_ "'----'_ - '-_. L.----'-_-'-_'---'
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Объем включения fract ион
Рис. 7.9 Эффективные диэлектрические модули соединения
Ссылки 277
Ссылки
[1] Ван Рун М. J Соль, Террелл D R, Scholing J H. На месте выращенная эвтектика
магнитоэлектрическое соединение materiaLJ Наука Матери, 1974,9: 1710-1714.
[2] Bracke Л P М., Соль Ван Влита Р, широкая полоса магнитоэлектрический преобразователь, используя a
композиционный материал. Tnt J Электрон, 1981, 51: 255-262.
[3] Uchino K. Пьезоэлектрические приводы головок и сверхзвуковые движущие силы. Бостон: Kluwer, 1997.
[4] Qin Qinghua. Механика перелома пьезоэлектрических материалов. Саутгемптон: нажатие ОСТРОУМИЯ,
2001.
[5] Qin Qinghua. Свойства материала пьезоэлектрических соединений BEM и
метод гомогенизации. Структура соединений, 2004, 66: 295-299.
[6] Ли Дж, Соль Бойда Дж, Lagoudas D До. Эффективные свойства трехфазовых
электро-магнето упругие соединения. Интервал J Технические науки, 2005, 43: 790-825.
[7] Анализ Вана Б. Три дименсайонэла эллипсоидального включения в пьезоэлектрическое
материал. Интервал J Твердые вещества Struct, 1992,29: 293-308.
[8] Benveniste Y. Точные результаты относительно местных полей и эффективных свойств в
пьезоэлектрические соединения. Журнал ASME Технических Материалов и технологии,
1994,26: 260-267.
[9] Данн М Л, анализ Таи М. Ан композиционных материалов, содержащих эллипсоидальный
пьезоэлектрическая неоднородность. Прок Рой Сок Лондон А, 1993 443: 265-287.
[10] Свойства Чена Т. Пизоелектрика многофазных волокнистых соединений: некоторые теоретические
результаты. J Твердые вещества Физики Механика, 1993,41,1781-1794.
[II] Хуань Дж Х. Определения микромеханики thermoelectroelastic полей и эффективный
модули thermoelectroelastic пьезоэлектрических соединений. Наука Materals и
Си инженера, 1996, 39: 163-172.
[12] Levin V м., эффективные thermoelectroelastic свойства микронеоднородных
материалы. Интервал J Твердые вещества и Структуры, 1999,36: 2683-2705.
[13] Соль Harshe, Доэрти Дж П, Newnham R Ми. Теоретическое моделирование 3±0/0±3
магнитоэлектрические соединения. Интервал J Прикладная Мать Electromagn, 1993,4: 161-171.
[14] Рука Хуаня Дж Kuo W S. Анализ piezoelectric/piezomagnetic соединения
материалы, содержащие эллипсоидальные включения. Журнал Прикладной Физики, 1997, 81:
4889-4898.
[15] Ву Т Л, Хуань Дж Х. Растворы закрытой формы для магнитоэлектрического сцепления
коэффициенты в соединениях с пьезоэлектрическими и piezomagnetic фазами. Интервал J Твердые вещества
Strtuct, 2000, 37: 2981-3009.
[16] Benveniste Y. Магнитоэлектрический эффект в fibbrous соединениях с пьезоэлектрическим и
фазы magnetostrictive. Физическая Си Повторения, 1995,51: 16424-16427.
[17] Нэн К В. Магнитоэлектрический эффект в соединениях пьезоэлектрических и piezomagnetic
фазы. Физическая Си Повторения, 1994,50: 6082-6088.
[18] Литий J Y, Серовато-коричневый М. Л Микромеханики magnetoelectroelastric композиционных материалов:
278 Глав 7 Эффективные свойства сцепления гетерогенных материалов
среднее полевое и эффективное поведение. Inte J Матовый Систематический Struct, 1998,9: 404-416.
[19] Литий J много И. Мэгнетоеллектроелэстик - включение и inhomoogeneity проблемы и их
приложения в композиционных материалах. Интервал J Технические науки, 2000, 38: 1993-2011.
[20J Aboudi J. Микромеханический анализ полностью двойного electro-magneto-thermo-elastic
многофазные соединения. Умные Материалы и структуры, 2001, 10:867 - 877.
[21J Литий J Y, Серовато-коричневый М. Л. Анизотропное двойное полевое включение и проблемы неоднородности.
Философский Журнал A, 1998,77: 1341-1350.
[22] Хуань Дж Х, Chiu Y H, Луи Х K "гальванопластика магнето упругие" тензоры Eshelby для a
пьезоэлектрическое-piezomagnetic соединение укреплено эллипсоидальными включениями. J Прикладной
Физика, 1998,83: 5364-5370.
[23] Янг Кингшенг. Микроструктурная механика и проект композиционных материалов (в
Китайский язык). Пекин: китайское Издательство Tiedao, 2000.
[24] Мура Т. Микромечаникс поражений в твердых веществах. Дордрехт: Мартинус Ниджхофф, 1987.
[25] Eshelby J D. Определение упругого поля эллипсоидального включения и
связанные проблемы. Proc R Soc Лондон, Сер. A, 1957 241:376-396.
[26] Levin V м. На коэффициентах thennal расширения гетерогенных материалов.
Механика Твердых веществ, 1967,2: 58-61.
[27J Серовато-коричневый М. Л Микромеханики двойных electroelastic соединений: эффективный тепловой
расширение и пироэлектрические коэффициенты. J Прикладная Физика, 1993, 73: 5131-5140.
[28] Aboudi J. Микромеханическое предсказание эффективного поведения полностью двойного
electro-magneto-thermo-elastic многофазные соединения. Сообщение НАСА, CR-2000-
209787,2000.
[29J Янг Кингшенг. Мультиполевое поведение сцепления умных соединений (на китайском языке)//Y М.
Guo. Слушания ofNCCM-14, Ичан, Китай, 2006: 706-709.
[30] Ван Х М. Анализа эффективных свойств пьезоэлектрических соединений (на китайском языке).
Пекин: Пекинский Технологический университет, 2006.