Эта страница преднамеренно оставила незаполненный
ТЕОРИЯ СТРУН И М. ТЕОРИИ
СОВРЕМЕННАЯ ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Теория струн - одна из самых захватывающих и стимулирующих областей современной теоретической физики. Эта книга ведет читателя от основ строки
теории к очень недавним развитиям на фронте исследования теории струн.
Книга начинается с основ вызывающей волнение теории струн, мировой- простыни суперсимметрии, пространственно-временной суперсимметрии, конформной полевой теории и гетеротической струны, и шагов, чтобы описать современные события, включая D-branes, строковые дуальности и М. теории. Это затем покрывает строковую, струны геометрию (включая Calabi-Yau compactifications) и поток compactifications, и приложения к космологии и физике элементарных частиц. Одна глава освящена черным дырам в теории струн и М- теории, и микроскопическому происхождению энтропии черной дыры. Книга заканчивается, представляя матричную теорию, дуальность AdS/CFT и ее обобщения.
Эта книга идеальна для аспирантов изучающих современную теорию струн, и это делает превосходный учебник для 1-летнего курса о теории струн. Она будет также полезна для исследователей - историков, заинтересованных узнаванием о событиях в современной теории струн. Книга содержит приблизительно 120 решенных упражнений, так же как приблизительно 200
проблем домашней работы, решения которых доступны лекторам на пароле
защищенном веб-сайте в www.cambridge.org/9780521860697.
КАТРИН БЕККЕР - профессор физики в университете Texas A & M. Она
был награжден Рэдклиффом Феллоушипом от Гарвардского университета в 2006 и получила Альфред Слоан Феллоушип в 2003.
МЕЛАНИ БЕККЕР - профессор физики в университете Texas A & M. В 2006 она была награждена Эдвардом, Фрэнсис и Ширли Б. Дэниэлса Общением
от Института Рэдклиффа Специальных исследований в Гарвардском университете. В 2001 она приняла Альфреда Слоана Феллоушипа.
ДЖОН Х. ШВАРЦ - профессор Гарольда Брауна Теоретической Физики
в Калифорнийском Технологическом институте. Он - Макартур Феллоу и
член Национальной академии наук.
Это - первый всесторонний учебник по теории струн, который также предложит современное изображение самых важных теоретических событий прошлого десятилетия, включая корреспонденцию AdS/CFT и поток compactifications, которые играли важную роль в современных усилиях вступить в контакт с экспериментом. Превосходный ресурс для аспирантов так же как исследователей в высокоэнергетической физике и космологии.
Нима Arkani-названный, Гарвардский университет
Исключительная вводная часть к теории струн, которая содержит всестороннее обслуживание всех аспектов теории, включая недавние события. Ясный педагогический стиль и много превосходных упражнений должны обеспечить внимательному студенту или исследователю прямой путь на фронт текущего исследования.
Давид Гросс, Режиссер Института Kavli Теоретической Физики, университета
Калифорния, Санта-Барбара и победитель Нобелевской премии по Физике в 2004
Мастерски написанный первооткрывателями сюжета, всестороннего, современного и переполненный освещением проблемных наборов и их решений, Теории струн и М- теории: Современная Вводная часть обеспечивает идеальное приготовление к исследованию на текущем центре деятельности фундаментального естественного права. Это предназначено стать стандартным учебником в сюжете.
Strominger Андрю, Гарвардский университет
Эта книга - magnificient ресурс для студентов и исследователей - историков подобно в быстро развивающемся поле теории струн. Это уникально в этом, это предназначено для студентов без любого познания теории струн и в то же самое время этого включает очень последние достижения поля, все представленные в очень плавной и простой форме. Ясное описание приятно дополнено очень поучительными проблемами. Я настоятельно рекомендую эту книгу всем исследователям, заинтересовавшимися красивым полем теории струн.
Cumrun Vafa, Гарвардский университет
Эта изящно письменная книга будет ценным ресурсом для студентов, ищущих
лестничную площадку к обширной и захватывающей теме теории струн. Авторы имеют технически грамотно сделанный выбор тем, нацеленных на помогание новичку добраться до скорости. Я уверен, что она будет широко прочитана.
Эдвард Виттен, Установите для Специального исследования, Принстона,
победитель Медали Полей в 1990
ТЕОРИЯ СТРУН И М. ТЕОРИИ
Современная Вводная часть
КАТРИН БЕККЕР,
Техас A & М. университета
МЕЛАНИ БЕККЕР,
Техас A & М. университета
и
ДЖОН H. ШВАРЦ
Калифорнийский Технологический институт
Кембриджское университетское издательство
Кембридж, Нью-Йорк, Мельбурн, Мадрид, Кейптаун, Сингапур, Sгo Паулу
Издательство Кембриджского университета
Эдинбургское Здание, Кембридж cb2 2ru, Великобритания
Сначала изданный в формате печати
isbn-13 978-0-521-86069-7
isbn-13 978-0-511-25653-0
© K Беккера, М. Беккера и Дж. Х. Шварца 2007
2006
Информация об этом заголовке: www.cambridge.org/9780521860697
Эта публикация находится в авторском праве. Согласно установленному законом исключению и к предоставлению
соответствующие коллективные лицензионные соглашения, никакое воспроизведение любой партии не может иметь место
без письменного разрешения издательства Кембриджского университета.
isbn-10 0-511-25653-1
isbn-10 0-521-86069-5
Издательство Кембриджского университета не несет ответственности за стойкость или точность URL
для внешних или имеющих отношение к третьей стороне интернет-веб-сайтов, упомянутых в этой публикации, и, не делает
гарантируйте, что любой контент на таких веб-сайтах, или останется, точным или соответствующим.
Изданный в Соединенных Штатах Америки издательством Кембриджского университета, Нью-Йорк
www.cambridge.org
книга в твердом переплете
eBook (EBL)
eBook (EBL)
книга в твердом переплете
v
Нашим родителям
vi
Песнь к Единству Времени и пространства
Время, ах, время,
как Вы идете стоп как это!
Физические вещи, ах, вещи,
столь изобильны Вы!
Воды Руо три тысячи,
как у них не может быть того же самого источника?
Время и пространство - одно тело,
разум и вещи выдерживают друг друга.
Время, o время,
время не настает снова?
Небо, o небо,
сколько явлений неба!
С древних дней, постоянно сдвинутые ,
черные дыры мерцают.
Время и пространство - одно тело,
это без конца?
Большой действительно
загадка вселенной.
Красивый действительно
источник истины.
Квантовать пространство и время
самые умные являются ничем.
Измерить Большую Вселенную с длинной тонкой трубой,
изучение обширно.
Shing-тунг Yau
Содержание
Страница предисловия xi
1 Вводная часть 1
1.1 Историческое происхождение 2
1.2 Общие свойства 3
1.3 Основная теория струн 6
1.4 Современные развития в суперстроковой теории 9
2 бозонная струна 17
2.1 действия p-brane 17
2.2 Строковое, струны действие 24
2.3 Строки, струны сигма-модели действие : классическая теория 30
2.4 Каноническое квантование 36
2.5 Квантование сетки светового- конуса 48
3 Конформные старые теории и строковые, струны взаимодействия 58
3.1 Конформная поля теория 58
3.2 Квантование BRST 75
3.3 Фона поле 81
3.4 Действующие компании вершины 85
3.5 Структура строковой теории 89 волнения
3.6 Линейный-dilaton вакуум и некритические строки 98
3.7 Теория 100 старости открытой строки Виттена
4 Строки с мировой листовой суперсимметрией 109
4.1 Ramond {Neveu {Шварц струны, строки 110
4.2 Глобальная мировая листовая суперсимметрия 112
4.3 Уравнения ограничения и конформное постоянство 118
4.4 Граничные условия и расширения режима 122
vii
Содержание viii
4.5 Каноническое квантование RNS стуны, строки 124
4.6 Квантование сетки светового- конуса RNS струны, строки 130
4.7 SCFT и BRST 140
5 Строки, струны с пространственно-временной суперсимметрией 148
5.1 Действие D0-brane 149
5.2 Суперсимметрическое строковое, струны действие 155
5.3 Квантование действия GS 160
5.4 Аномалии сетки и их отмена 169
6 T-дуальности и D-branes 187
6.1 Бозонная струна и Разность-потенциалов-branes 188
6.2 D-branes в типе II супеструны теории 203
6.3 Супертеория струн типа I 220
6.4 T-дуальность в присутствии фонового поля 227
6.5 Действия мирового- объема для D-branes 229
7 гетеротическая струна 249
7.1 Nonabelian измерения, сетки симметрия в теории струн 250
7.2 Конструкция Fermionic гетеротической струны 252
7.3 Тороидальный compactication 265
7.4 Конструкция Bosonic гетеротической струны 286
М-Теория и строковая дуальность 296
8.1 Низкоэнергетические эффективные действия 300
8.2 S-дуальность 323
8.3 М- теории 329
8.4 М- дуальности теории 338
9 Строковой, струн геометрии 354
9.1 Orbifolds 358
9.2 Calabi - Yau: математические свойства 363
9.3 Примеры Calabi-Yau размножают, копии 366
9.4 Calabi -Yau compactications гетеротической струны 374
9.5 Деформации Calabi -Yau размножают 385
9.6 Специальная геометрия 391
9.7 Введите, тип IIA и введите, тип IIB на Calabi -Yau три паствы, тома 399
9.8 Невызывающий волнение эффекты в Calabi-Yau compactications 403
9.9 Симметрия Миррор 411
9.10 теорий Гетеротической струны на Calabi- Yau три паствы 415
9.11 K3 compactications и больше строковых дуальностей 418
9.12 Копий с G2 и Вращением (7) holonomy 433
10 Потоков compactications 456
10.1 Плавьте compactications и Calabi-Yau четыре паствы 460
10.2 Плавьте compactications типа теория 480 IIB
Содержание ix
10.3 Стабилизация модулей 499
10.4 Потоки, скрученность и гетеротические струны 508
10.5 Решительно двойная гетеротическая струна 518
10.6 Пейзаж 522
10.7 Потоки и космология 526
11 Черные дыры в теории струн 549
11.1 Черные дыры в Общей теории относительности 552
11.2 Термодинамика черной дыры 562
11.3 Черные дыры в теории струн 566
11.4 Статистическое происхождение энтропии 582
11.5 Механизм аттрактора 587
11.6 Небольшие черные дыры БИТА В СЕКУНДУ в четырех размерах 599
12 Сетки теории/струн теории дуальностей 610
12.1 Черные-brane растворы в теории струн и М. теории 613
12.2 Матричная теория 625
12.3 Корреспонденция 638 AdS/CFT
12.4 Дуальность сетки/строки для conifold и обобщений 669
12.5 Пространственно-временные модели плоской волны и их дуальность 677
12.6 Геометрические связующие партии, связи 684
Библиографическое обсуждение 690
Библиография 700
Индексируйте 726
Предисловие
Теория струн - одна из самых захватывающих и стимулирующих, вызывающих областей современной теоретической физики. Это было развито в конце 1960-ых с целью описания сильных ядерных сил. С проблемами столкнулись, что предотвратило эту программу от достижения полного успеха. В частности это было понято то, что спектр фундаментальной строки, струны содержит нежеланное невесомое вращать,спин-две частицы. Квантовая хромодинамика в конечном счете, оказалось, была правильная теория для того, чтобы описать существенную силу и свойства адронов. Новые двери открылись для теории струн, когда в 1974 было предложено идентифицировать невесомое вращение- две частицы в спектре строки с гравитоном, кванта тяготения. Теория струн стала затем самым многообещающим кандидатом для квантовой теории силы тяжести unied с другими силами и имеет развитие в одну из самых захватывающих теорий высокоэнергетической физике.
Понимание теории струн развилось чрезвычайно за эти годы благодаря усилият многих очень умных людей. В некотором периоде продвижение
было намного более быстрым чем в других. В частности теория испытала
две главных революции. Тот в середине 1980-ых привел к сюжету
достижения широко распространенного благожелательного отношения. В середине 1990-ых вторая суперстроки революция имела место, которое показывало открытие невызывающих волнение дуальностей
это обеспечило убедительное доказательство уникальности основной
теории. Это также привело к распознаванию одиннадцатимерного проявления,
названный М- теории. Последующие события сделали соединение
между теорией струн, феноменологией физики элементарных частиц, космологией, и чистой математикой ближе чем когда-либо прежде. В результате теория струн становится господствующим исследованием поля во многих университетах в США и в другом месте.
Из-за математически стимулирующей природы сюжета и вышеупомянутого быстрого развития поля, это часто трудно для кого-то новичка для сюжета, чтобы справиться с крупным количеством материала, которое нуждается быть изученным прежде, чем сделать фактическое исследование теории струн. Можно было потратить несколько лет, изучающих необходимую фоновую математику и физику, но к концу того времени, намного больше было бы уже развито,
xi
Предисловие xii
и все еще нельзя было бы быть современным. Альтернативный подход должен добавить жир в тесто процесса обучения так, чтобы студент мог вскочить в исследование более быстро. В этом духе цель этой книги состоит в том, чтобы вести студента через захватывающий сюжет теории струн в один учебный год. Эта книга запускается с основы теории струн в первыми немногими главами и затем вводят читателя к некоторым из основных тем современного исследования. Так как сюжет огромный, только возможно ввести выбранные темы. Однако, мы надемся, что это обеспечит стимулирующую вводную часть этому красивому сюжету и что посвященный студент будет хотеть исследовать далее.
У читателя, как предполагается, есть некоторые дружественные отношения с квантовой теорией поля и Общей теории относительности. Также очень полезно иметь широкий математический фон. Групповая теория важна, и некоторое познание дифференциальной геометрии и основ понятия топологии очень желательны. Некоторые темы в геометрии и топологии, которые требуются в более поздних главах, получены в итоге в аппендиксе.
Три основных учебника теории струн, которые предшествуют этому,
Зеленый, Шварц и Виттен (1987), Полчинским (1998) и Zwiebach
(2004). Каждый из них был также издан издательством Кембриджского университета. Эта книга несколько короче и более современная чем первые два, и это более усовершенствована чем третий. К тому же, те книги содержат много материала, который не повторен здесь, таким образом, серьезный студент будет
хотеть обратиться к ним, также. Другой отличительный признак этой книги
это то, что содержит много упражнений с тренируемыми решениями. Они предназначены быть полезными для студентов, которые хотят проблемы, которые могут привыкнуть к практике и ассимилировать материал.
Эта книга не была бы возможна без помощи многих людей. Мы получили много ценных предложений и комментариев о всей рукописи от Роба Майерса, и мы имеем очень пользы от помощи Ю-Чиха Чанга и Гуэнгю Гуо, которые работали старательно на многих из упражнениях и проблем домашней работы и должен осторожно читать целую рукопись. Кроме того мы получили чрезвычайно полезный отзыв от многих коллег включая Keshav Dasgupta, Андрей Фрэй, Давиде Гайотто, Сергей Гуков, Михаил Хээк, Аксель Крэюз, Лютеций Гонконга, Хуан Мальдасена, Любош Мотл, Hirosi Ooguri, Патриция Шварц, Эрик Шарп, Иаков Спаркс, Энди Штромингер, Иэн Свансон, Инь Xi и особенно Cumrun Vafa. Мы далее получили большие комментарии и предложения от многих аспирантов в Калифорнийском технологическом институте и Гарвардском университете. Мы благодарим Поршень Sriharsha за его помощь с некоторыми из проблем домашней работы и Ketan Vyas для того, чтобы описать решения к проблемам домашней работы, которые будут сделанны доступными для преподавателей. Мы благодарим Шарлин Картир и Кэрол SilberPreface
xiii
глиняная кружка Калифорнийского технологического института за их справки, помощь в подготовке партий рукописи, Симона Мойва Кэмбриджа У. Пресса, чья справка в координировании различных аспектах процесса публикации были обязательны, Элизабет Крэюз для справки, готовящей некоторые из рисунки и Kovid Goyal за его помощь со связанными с компьютером проблемами. Мы благодарны за то, что Стивен Оуэн преобразовывает из Китайского языка стихотворение, которое предшествует предисловию.
Во время приготовления КБ рукописи и номера в главном здании гостиницы обладали теплое гостеприимство Института Radclie Специальных исследований в Гарвардском Университет, физический факультет в Гарвардском университете и Периметре Институт теоретической физики. Они хотели бы благодарить Институт Radclie для Специального исследования в Гарвардском университете, который через его Общения программа сделала завершение этого проекта возможным. Особая благодарность дана к Декану Науки, Барбаре Гросз. Кроме того КБ также хотел бы быть благодарными за то, что университет Юты предоставляет грант учения поддержке работы над этой книгой. JHS благодарен Rutgers высокоэнергетической теории группы, Центру Аспена Физики и Институт Kavli Теоретической Физики за гостеприимство, в то время как он работал над рукописью.
КБ и номер в главном здании гостиницы хотел и бы дать их особую благодарность их матери, Ингрид Беккер, за ее поддержку и энтузиазм, которая всегда была неоценима, особенно во время долгого путешествия завершения этой рукописи. Ее художественные популярные исполнители сделали проект крышки этой книги возможным. JHS благодарит его жену Патрисию любовь и поддержка, в то время как он был озабочен этим проектом.
Катрин Беккер Мелани Беккер Джон Х. Шварц
Предисловие xiv
НОТАЦИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
Область горизонта события
AdSD D-dimensional anti-de пространство-время Плоского удара с медленным высоким отскоком
A3 потенциал с тремя формами D = 11 суперсилы тяжести
си, до fermionic мировые листовые призраки
миллиард чисел Бетти
си
r, r 2 ;; + 1=2 fermionic режимы генератора в НЕ УТОЧНЕНО секторе
B2 или Си НЕ УТОЧНЕНО {НЕ УТОЧНЕНО потенциал с двумя формами
до центральный расход CFT
c1 = [R=2] rst класс Chern
Cn R {R потенциал n-формы
d
м., м. 2 ;; fermionic режимы генератора в секторе R
D число пространственно-временных размеров
F = dA + ^ Ян {сабельность Миллза, с двумя формами (antihermitian)
F = dA + iA ^ Ян {сабельность Миллза, с двумя формами (hermitian)
F4 = dA3 старая сила с четырьмя формами D = 11 суперсилы тяжести
Из, м. 2 ;; нечетных super-Virasoro генераторов в секторе R
Fn+1 = dCn (n + 1) - творят R {R старая сила
gs = hexpi постоянное сцепление закрытой строки
Gr, r 2 ;; + 1=2 нечетные super-Virasoro генераторы в НЕ УТОЧНЕНО секторе
Ньютон GD, постоянный в размерах D
H3 = dB2 НЕ УТОЧНЕНО {НЕ УТОЧНЕНО старая сила с тремя формами
hp; q числа Ходжа
j () овальная модульная функция
J = igab dza ^ dzb Kahler форма
J = J + iB complexied Kahler форма
k уровня Kac {Капризная алгебра
K Kaluza {число возбуждения Кляйна
K потенциала Kahler
долгоиграющая пластинка = 1:6 10 ;; 33 см продолжительность Планка для D = 4
`p продолжительность Планка для D = 11
ls = p20, `s = p0 представляют шкалу расстояний в виде строки
Ln, n 2 ;; генератора алгебры Virasoro
mp = 1:2 1019GeV=c2 месса Планка для D = 4
Mp = 2:41018GeV=c2 уменьшал мессу Планка mp=p8
М.; N;::: пространственно-временные указатели для D = 11
М. пространства модулей
Предисловие xv
СШ, НОМЕР лево-и правильно движущихся чисел возбуждения
QB BRST расход
R = d! +! ^! Сабельность Риманна, с двумя формами
R = R
Тензор Ricci
R = Rabdza ^ dzb форма Ricci
S энтропия
Мировая простыня Sa fermions в световом конусе измеряет формализм GS
T мировая листовая энергия {тензор импульса
Напряженность Tp p-brane
W вьющееся число
x, = 0; 1;:::D ;; 1 пространственно-временная координата
X, = 0; 1;:::D ;; 1 функция встраивания пространства-времени строки
x = (x0 xD ;; 1), =p2 световой конус координирует в пространстве-времени
xI, я = 1; 2;:::; D ;; 2 поперечных координаты в пространстве-времени
Z центральный расход
м., м. 2 ;; bosonic режимы генератора
0 Regge-наклонных параметров
, призраки мировой простыни bosonic
Dirac matrices в четырех размерах
;; М. Dirac matrices в 11 размерах
;;
соединение ane
() функция эты Dedekind
Мировой объем Aa fermions в ковариантном формализме GS
Лево-движущаяся мировая простыня fermions гетеротической струны
10 ;; 120M4
p наблюдаемая вакуумная плотность энергии
, = 0; 1;:::; p координаты мирового объема p-brane
0 =, 1 = мировые листовые координаты строки
= световой конус координирует на мировой простыне
_
Dirac matrices в нотации спинора с двумя компонентами
старость dilaton
(M) Характеристика Euler М.
мировая простыня fermion в формализме RNS
М. gravitino старость D = 11 суперсилы тяжести
!
соединение вращения
мировое листовое преобразование четности
n holomorphic n-форма
Предисловие xvi
h = до = 1.
Подпись любой метрики `главным образом +', то есть, (;;; +;:::; +).
Пространственно-временная метрика - ds2 = gdxdx.
В соль пространства-времени Минковского =.
Мировой листовой метрический тензор - h.
У hermitian метрики есть форма ds2 = 2gab dzadzb.
Пространственно-временная алгебра Dirac в D = d+1 размеры является f ;;; соль ;; = 2g.
;; 12n = ;; [1 ;; 2 ;; n].
Мировая листовая алгебра Dirac - f; соль = 2h.
jFnj2 = 1
n! g11 gnnF1::: nF1::: n.
Левий {тензор Civita "1D полностью антисимметричен с "01d = 1.
1
Вводная часть
Было два главных прорыва, которые революционировали теоретическую физику в двадцатом веке: Общая теория относительности и квантовая механика. Общая относительность является главной в нашем текущем понимании крупномасштабного расширения Вселенной. Это дает маленькие исправления предсказаниям Ньютоновой силы тяжести для движения планет и отклонений световых лучей, и это предсказывает существование гравитационного излучения и черных дыр. Это описание гравитационных сил с точки зрения кривизны пространства-времени существенно изменило наш взгляд пространства и времени: они теперь рассматриваемы как динамичные. Квантовая механика, с другой стороны, является особым инструментом для того, чтобы понять микроскопическую физику. Реальность продолжается
создать что, это - точное свойство Природы. Конечно, его точная законность
основное предположение во всем исследовании теории струн.
Понимание фундаментального естественного права является, конечно, неполным пока Общая теория относительности и квантовая механика успешно не примирены и унифицированы. То, что это является очень стимулирующим, может видеться от многих различных точек обзора. Понятия, observables и типы вычислений что характеризуют два сюжета, поразительно различны. Кроме того, до приблизительно 1980 два поля развивались почти независимо от друг друга. Очень немного физиков были экспертами в обоих. С целью объединения обоих сюжетов, теория струн резко изменила социологию так же как науку.
В релятивистской квантовой механике, названной квантовой теорией поля, каждый требует то, что два поля, которые определены в пространственно-временных очках с пространственноподобным разделением должно добраться (или антидобраться, если они - fermionic). В гравитационном окружении, которое каждый не знает, указывают ли два пространства-времени имейте пространственноподобное разделение, пока метрика не была вычислена, который является партия динамической проблемы. Хуже все же, метрика подчинена квантум флуктуации точно так же как другая квантум полей. Ясно, они скорее оспаривание проблем. Другой набор испытаний связан с квантом
1
2 Вводных части
описание черных дыр и описание Вселенной в очень ранние стадии его истории.
Большинство прямых попыток объединить квантовую механику и
Общую теорию относительности, в структуре вызывающей волнение квантовой теории поля, столкнутые проблемы из-за не поддающегося контролю бесконечностей. Ультрафиолетовые расхождения характерный полнометражный фильм излучающих исправлений к гравитационным процессам, и они становятся хуже в каждом порядке в теории волнения. Поскольку Ньютон
постоянный пропорционально (продолжительности) 2 в четырех размерах, простого powercounting параметры показывают, что не возможно удалить эти бесконечности обычными методами перенормализации квантовой теории поля. Подробные вычисления демонстрируют, что нет никакого чуда, которое лишает законной силы этот простой размерный анализ 1
Теория струн подразумевает преодолевать эти трудности и обеспечивать
последовательную квантовую теорию силы тяжести. Как теория делает это еще не понятно в полных деталях. Поскольку мы учились снова и снова, строки
теория содержит много глубоких истин, которые должны там быть обнаружены. Постепенно последовательное изображение появляется как эта замечательная и захватывающая теория соглашается со многими испытаниями, которые нужно обратиться для успешной унификации квантовой механики и Общей теории относительности.
1.1 Историческое происхождение
Теория струн воскресала в конце 1960-ых в попытке понять сильную
ядерную силу. Эта - сила, которое ответственно за проведение протонов и
нейтронов вместе в ядре атома так же как кварка вместе в протонах и нейтронах. Теория, основанная на одномерном основном тоне расширенные объекты, названные строками, а не подобными очку частицами, может считать качественно для различных свойств сильной ядерной силы и сильно взаимодействующие частицы (или адроны).
Основная идея в строковом описании сильных взаимодействий - что
частицы специфические соответствуют специфическим режимам колебания (или квантовым состояниям) из строки. Это предложение дает очень удовлетворяющее унифицированное изображение в том что постулирует одиночный фундаментальный объект (а именно, строка), чтобы объяснить несметное число различных наблюдаемых адронов, как обозначено в Рис. 1.1.
В начале 1970-ых другая теория сильной ядерной силы {названной
квантовая хромодинамика (или QCD) {была развита. В результате этого,
так же как различные технические проблемы в подходе теории струн, строке
1 Некоторые физики полагают, что вызывающий волнение перенормализации не фундаментальное требование и попробуйте к \квантировать" чистую Общую теорию относительности несмотря на ее неперенормализуемость. Квант петли
силы тяжести - пример этого подхода. Независимо от того, что каждый думает о логике, справедливости ради стоит отметить что несмотря на значительное количество усилий такие попытки еще не были очень плодотворны.
1.2 Общие полнометражные фильмы 3
теория упала из милости. Текущая точка обзора состоит в том, что эта программа сделала здравый смысл, и таким образом, это снова стало активной областью исследования. Конкретная теория струн, которая описывает сильное взаимодействие, все еще не известна, хотя у каждого теперь есть намного лучшее понимание того, как приблизить проблему.
Теория струн, перевернулось, была хороша удовлетворимой для еще более честолюбивой цели: конструкция квантовой теории что делает одинаково описание из силы тяжести и других фундаментальных сил природы. В принципе это имеет потенциал, чтобы обеспечить полное понимание физики элементарных частиц и космологии. Даже при том, что это - все еще отдаленный сон, это ясно что в этих захватывающих неожиданностях теории воскресают много раз.
1.2 Общие свойства
Даже при том, что теория струн полностью еще не сформулирована, и мы еще не можем дать подробное описание как стандартная модель элементарных частиц должна появиться в низких энергиях, или как порожденная Вселенная, есть некоторые общие свойства теории, которые были хорошо понятны. Эти свойства, которые, кажется, являются довольно родовыми независимо от какой финал рецептуры теории струн могла бы быть.
Сила тяжести
Первое общее свойство теории струн, и возможно самое важное,
что Общая теория относительности, естественно включена в теорию. Теория
получает изменения на очень коротких расстояниях / богатых энергиях, но на обычных расстояниях и энергии это присутствует в точно форме как предложено Эйнштейном. Это значительно, потому что Общая теория относительности воскресает в пределах структуры
Рис. 1.1. Различные частицы - вибрационные режимы строки.
4 Вводная часть
последовательная квантовая теория. Обычная квантовая теория старости не позволяет силе тяжести существовать; теория струн требует этого.
Янг -Миллз теория сетки
Чтобы выполнить цель описания всей элементарной физики элементарных частиц, присутствие гравитона в строковом спектре недостаточно. Каждый также нуждается составлять стандартную модель, которая является Янгом -Миллза теория, основанная на группе сетки SU (3) SU (2) U (1). Появление Янга – Миллза сетки теории вида, которая включает стандартную модель, являются общим свойством теории струн. Кроме того содержание может казаться в комплексе chiral представления,
которое является существенной особенностью стандартной модели. Однако, это не понято уже, почему специфическая SU (3) SU (2) U (1) сетки теория с
тремя поколениями кварка и лептонов выбраны в природе.
Суперсимметрия
Третье общее свойство теории струн - то, что его надежность требует суперсимметрии, чья симметрия, которая связывает бозоны с fermions, требуется. Там существуют nonsupersymmetric теории бозонной струны (обсужденные в Главах 2 и 3), но недостающие fermions, они абсолютно нереалистичны. Математическая надежность теорий струн с fermions зависит
кардинально на местной суперсимметрии. Суперсимметрия - родовой свойство всех потенциально реалистических теорий струн. Факт, что эта симметрия еще не имеет обнаруженный признак что характерный энергетический масштаб суперсимметрии ломки и массы партнеров по суперсимметрии известных
частиц выше экспериментально решительных нижних границ.
Пространственно-временная суперсимметрия - одно из главных предсказаний суперстроки теории, которая могла быть задана экспериментально в доступных энергиях. Разновидность параметров, не специфична к теории струн, предполагает что характеристика энергетического масштаба, связанная с ломкой суперсимметрии, должна быть связана с
масштабом электрослабым electroweak, другими словами в амплитуде 100 ГэВ к некоторым ТЕВ. Если это правильно, суперпартнеры должны быть заметными в Большом CERN Коллайдере адрона (LHC), который намечен, чтобы начать работать в 2007.
Дополнительные пространственные измерения
В отличие от многих теорий в физике, супертеории струн в состоянии
предсказать измерение пространства-времени, в котором они живут. Теория
1.2 Общие полнометражные фильмы 5
только последовательно в десятимерном пространстве-времени и в некоторых случаях одиннадцатое измерение также возможно.
Вступить в контакт между теорией струн и четырехмерным миром
каждодневного опыта, самая прямая возможность - это шесть или семь
из размеров compactied, упакованных на внутренней копии, размер которой
дорстаточно маленький, чтобы избежать регистрации. В целях физики элементарных частиц, другие четыре размера должны дать наше четырехмерное пространство-время. Из блюда, в целях космологии, другие конфигурации (с временной зависимостью) могут также воскреснуть.
Рис. 1.2. От далеко двумерного цилиндра выглядит одномерным.
Идея дополнительного компактного измерения была первым обсужденным Kaluza и Кляйн в 1920-ых. Их цель состояла в том, чтобы создать унифицированное описание из электромагнетизма и силы тяжести в четырех размерах компактные пяти размерная Общая теория относительности на круге. Даже при том, что мы теперь знаем это это не то, как электромагнетизм воскресает, эссенция этого красивого подхода вновь появляется в теории струн. Kaluza -Кляйна идея, в настоящее время отнесенная к как compactication, может быть иллюстрирована с точки зрения этих двух цилиндров из Рис. 1.2. Поверхность первого цилиндра является двумерной. Однако, если радиус круга становится чрезвычайно маленьким, или эквивалентен если цилиндр рассматривается от большого расстояния, цилиндр виден эффективно одномерным. Каждый теперь предполагает, что длинное измерение цилиндра
замененное нашим четырехмерным пространством-временем и короткое измерение способным шести, или семимерной компактной копией. На больших расстояниях или низкие энергии компактное внутреннее пространство не могут видеться и мир выглядит эффективно четырехмерным. Как обсуждено в Главах 9 и 10, даже если внутренние копии невидимы, их топологические свойства определяют контент частицы и структуру четырехмерной теории. В
середине 1980-ых Calabi -Yau копии была первые, которые рассматривают для компактных шести дополнительных размеров, и они, как показывали, были феноменологически скорее обещание, даже при том, что некоторые серьезные недостатки (такие как пространство модулей проблема обсужденные в Главе 10), изложили проблему прогнозирующей силе
6 Вводных частей
из теории струн. В отличие от круга, Calabi -Yau копии не имеют
изометрии, и партия их роли должны нарушить symmetries, а не сделать
их.
Размер строк
В обычной квантовой теории старости элементарные частицы являются математическими очками, тогда как в вызывающей волнение теории струн фундаментальные объекты одномерные петли (нулевой толщины). У строк есть характеристики шкала расстояний, обозначенные ls, которые могут быть оценены размерным анализом. Так как теория струн - релятивистская квантовая теория, которая включает силу тяжести она должна вовлечь фундаментальную констант (скорость света), h (Планк постоянная разделенная на 2), и Соль (Гравитационная константа Ньютона). От их можно творить длину, известную как длина Планка
долгоиграющая пластинка =
вис
c3
1=2
= 1:6 10 ;; 33 см:
Точно так же масса Планка
mp =
hc
СОЛЬ
1=2
= 1:2 1019 GeV=c2:
Длина Планка – натуральное первое предположение для грубой оценки основного тона строковой шкалы расстояний так же как характерный размер компактных дополнительных размеров. Эксперименты в энергиях далеко ниже энергии Планка не могут расстояния решения столь же короткие как длина Планка. Таким образом, в таких энергиях, строки могут быть точно приближены частицами очка. Это объясняет почему квантовая теория старости была настолько успешна в описании нашего мира.
1.3 Основная теория струн
Поскольку строка развивается вовремя, она уносит вдаль двумерную поверхность в пространстве-времени, которую называют строковой простыней мира строки. Это – строка копия мировой строки для частицы очка. В квантовой теории поля, проанализированной в теории волнения, вклады в амплитуды связаны с диаграммами Feynman, которые изображают возможный конфигурации мировых строк. В частности взаимодействия соответствуют соединениям мировых строк. Точно так же расширения волнения в теории струн вовлекают строковые простыни мира различных топологий.
Существование взаимодействий в теории струн может быть понято как следствие из мировой листовой топологии, а не местной особенности на
1.3 Основная теория струн 7
мировая простыня. Эта разность из теорий частицы очка имеет два важных
значения. Во-первых, в теории струн структура взаимодействий уникальна
определенной свободной теорией. Нет никаких произвольных взаимодействий, которые будут выбраны. Во-вторых, так как строковые взаимодействия не связаны с коротким расстоянием особенности, у амплитуд теории струн нет никаких ультрафиолетовых расхождений. Масштаб строки 1=ls действует как ультрафиолета отрез.
Действия мирового объема и критическое измерение
Строка может быть расценена как особый случай p-brane, которая является объектом с p пространственными размерами и напряженностью (или плотность энергии) Tp. Фактически, различные p-branes действительно появляются в суперстроковой теории как невызывающие волнение возбуждения. Классическое движение p-brane extremizes, делает крайними (p+1) мерный объем V, что это уносит вдаль в пространстве-времени. Таким образом есть p-brane действие что дано Испанией = ;; TpV. В случае фундаментальной строки, которая имеет p = 1, V область строковой простыни мира, и действие называют Намбу - Goto действие.
Классически, Намбу -Goto действие эквивалентен строке sigmamodel
действие
S = ;;
T2Zp ;; hh@X@Xdd;
где h (;) вспомогательная мировая листовая метрика, h = det h, и h
инверсия h. Функции X (;) описывает пространственно-временное встраивание
из строковой простыни мира. Euler -Lagrange уравнение для h может быть
используемое, чтобы устранить это из действия и возвратить Намбу -Goto действие.
Квант механически, сюжет является более тонким. Вместо того, чтобы устранить h через его классические старые уравнения нужно исполнить интеграл по траектории Feynman, использование стандартной машины, чтобы иметь дело с местным symmetries и сетки фиксированое. Когда это сделано правильно, один находит, что есть конформная аномалия если пространственно-временное измерение не D = 26. Эти содержания исследуются в Главе 2 и 3. Аналогичный анализ для суперстрок дает критическое измерение D = 10.
Закрытые строки и открытые строки
Параметр в погруженной функции X (;) мировое листовое время
скоординирует и параметризует строку в данное мировое листовое время. Для
закрытой строки, которая является топологически кругом, нужно верстать периодичность в пространственном параметре. Выбор его амплитуды, чтобы быть одним идентифицированны оба
8 Вводных частей
конца строки X (;) = X (+;). Все теории струн содержат закрытые строки, и гравитон всегда появляются как невесомым режимом в спектр закрытой строки критических теорий струн.
Для открытой строки, которая является топологически междустрочным интервалом, может каждый конец будет обязан удовлетворять или граничные условия Ноймана или Диричлета (для каждого значения). Разновидности условия Dirichlet пространственно-временная гиперповерхность
на котором заканчивается строка. Единственным путем что имеет смысл, то, если открытая строка оканчивается на физическом объекте, который называют D-brane. (D обозначает Dirichlet.) Если все граничные условия открытой строки - Нойман, то концы строка может быть где угодно в пространстве-времени. Современное истолкование то, что это означает, что space-time-lling D-branes присутствуют.
Теория волнения
Теория волнения полезна в квантовой теории, у которой есть маленькое безразмерное постоянное сцепление, такое как квант electrodynamics (КЭД), начиная с этого позволяет вычислять физические количества как расширения в маленьком параметре. В КЭД маленький параметр есть тонкой-структура, постоянная 1=137. Для физического количества T (), каждый вычисляет (использование диаграмм Feynman) T () = T0 + T1 + 2T2 +:::
Серия волнения - обычно асимптотические расширения с нулевым радиусом
конвергенции. Однако, они могут быть полезными, если параметр расширения является маленьким, потому что первые члены в расширении обеспечивают точное приближение.
heterotic и типа II супертеории струн содержат ориентируемые закрытые
строки только. В результате единственный мир покрывает в их расширениях волнения закрытых ориентированных поверхностей Риманна. Есть уникальная мировая -простыня топологии в каждом порядке расширения волнения, и его вклад -ультрафиолетовая ночь. Факт, что есть только одна теории струн диаграмма Feynman в каждом порядке в волнения расширении находится в нанесении удара контраста по отношению к большому количеству диаграмм Feynman, которые появляются в квантовой теории старости. В случае теории струн там не особая причина ожидать сцепление постоянной gs, чтобы быть маленьким. Таким образом, маловероятно, что реалистический вакуум мог быть
проанализирован точно используя только теорию волнения. Поэтому это
важно, чтобы понять невызывающие волнение эффекты в теории струн.
Суперстроки
Первая суперстроковая революция начала в 1984 с открытия что квант
механическая надежность десятимерной теории с N = 1 super1.4
Современные события в супертеории струн 9
симметрии требует местного Янга-Миллза сетки симметрия , основанная на одной из двух возможных алгебр Ли: ТАК (32) или E8E8. Как объяснено в Главе 5, только поскольку эти два выбора делают определенную квант механическую отмену аномалий. Факт, что только эти две группы возможны, предположил, что теория струн имеет очень принужденную структуру, и поэтому это могло бы быть очень прогнозирующим. 2
Когда каждый использует суперстроковый формализм и для лево-движущихся режимов и для правильно движущихся режимов, supersymmetries связаны с лево-двигателями и у право- двигателей могут быть или противоположная рукость или та же самая рукость. Эти две возможности дают разные теории, названные типом IIA и типа IIB суперстроковые теории, соответственно. Третья возможность, названная типом I суперстроковая теория, может быть получен из типа теория IIB modding его левым -правой симметрией, процедурой, названная orientifold проектированием. Строки, которые переживают это проектирование, неориентируются. Тип I и тип II супертеорий струн описаны в Главах 4 и 5, используя формализм с мирового листа и пространственно-временной суперсимметрией, соответственно.
Более удивительная возможность состоит в том, чтобы использовать формализм 26-мерной бозонной струны для лево-двигателей и формализма 10-мерной суперстроки для правых -двигателей. Теории струн созданы в этом
пути называют \heterotic." Теория гетеротической струны обсуждена в Главе
7. Несоответствие в пространственно-временных размерах может казаться странным, но это фактически точно, что необходимо. Экстра 16 лево-движущиеся размеры должны описать торус с совершенно особыми свойствами, чтобы дать содержательную теорию. Есть точно два отличных торуса, у которых есть необходимые свойства, и они соответствуют алгебрам Ли ТАК (32) и E8 E8.
В целом есть ve отличные супертеории струн, каждый в десяти размерах.
Три из них, теории типа I и двух heterotic теорий, имеют N = 1 суперсимметрию в десятимерном смысле. Минимальный спинор в десяти размерах имеет 16 реальных компонентов, таким образом, эти теории имеют 16 сохраненных
суперзарядов. У супертеории струн типа I есть сетка группы ТАК (32), тогда как heterotic теории понимают и ТАК (32) и E8 E8. Другие две теории, типа IIA и типа IIB, имейте N = 2 суперсимметрии или эквивалентно 32 перезаряды.
1.4 Современные события в супертеории струн
Реализация, что есть различные супертеории струн, была несколько
озадачивающей. Конечно, есть только одна Вселенная, таким образом, это было бы больше всего удовлетворение, если была только одна возможная теория. В конце 1980-ых это было
2 Аномалии анализа одни только также позволяют U (1) 496 и E8 U (1) 248. Однако, нет никакой строки теории с этими сетки группами .
10 Вводных частей
реализованно, что есть свойство, известное как T-дуальность, которая связывает две теории типа II и две heterotic теории, так, чтобы они не были должны действительно расценены как отличные теории.
Продвижение понимания невызывающих волнение явлений было достигнуто в 1990-ые. Невызывающие волнение S-дуальности и открытие одной одиннадцатой измерение в сильной связи в определенных случаях привело к новому identications. Однажды все эти корреспонденции приняты во внимание, каждый заканчивает самое лучшее заключение: есть уникальная основная теория. Некоторые из них события получены в итоге ниже и обсуждены подробно в поздней главе.
T-дуальность
Теория струн экспонирует много удивительных свойств. Один из них, названный Tduality, обсужден в Главе 6. T-дуальность подразумевает что во многих случаях два разные геометрии для дополнительных размеров физически эквивалентны! В самом простом примере, круг радиуса R эквивалентен кругу радиуса `2s =R, где (как прежде) `s фундаментальная строковая шкала расстояний.
T-дуальность как правило связывает две dierent теории. Например, это сязывает два типа II и две heterotic теории. Поэтому, тип IIA и типа IIB теории (также две heterotic теории) должны быть расценены как одиночная теория. Более точно они представляют противоположные концы континуума
из конфигураций, поскольку каждый изменяет радиус кругового измерения. Этот радиус не параметр основной теории. Скорее это воскресает как вакуум
значение ожидания скалярной старости, и это определено динамически.
Есть также более необычные примеры эквивалентностей дуальности. Например, есть эквивалентность типа IIA суперструн теории упакованной на
Calabi -Yau копии и типа IIB compactied, упакованной на \mirror" Calabi -Yau копии. Это соединение зеркала топологически отличного Calabi -Yau копии обсуждено в Главе 9. Появится удивительное соединение с T-дуальностью.
S-дуальность
Другой вид дуальности -названный S-дуальностью -был обнаружен как часть второй суперструн революции в середине 1990-ых. Это обсуждено в Главе 8. S-дуальность связывает строковое сцепление постоянной gs с 1=gs таким же образом что T-дуальность связывает R с `2s =R. Два основных примера связывают тип Я супертеории струн к ТАК (32) теорией гетеротической струны и тип IIB супертеории струн к себе. Таким образом, учитывая наше познание маленького поведение gs этих теорий, данных теорией волнения, мы изучаем как
1.4 Современные события в супертеории струн 11
эти три теории ведут себя когда gs 1. Например, сильно соединенная
теория типа I эквивалентна слабо двойному ТАК (32) heterotic теории. В
типа IIB случае теория связана с собой, таким образом, каждый фактически имеет дело с симметрией. Строковое сцепление постоянной gs дано вакуумом
значения ожидания exp, где ть dilaton поле. S-дуальность, как Tduality,
фактически поля преобразование! ;;, и не только проведение темы
о вакуумных значениях ожидания.
D-branes
Когда изучено nonperturbatively, каждый обнаруживает, что суперстроковая теория содержит различный p-branes, объекты с p пространственными размерами, в дополнение к фундаментальным струнам. Все p-branes, с одиночным исключением фундаментальной строки (которая является 1-brane), станьте бесконечно тяжелой как gs! 0, и поэтому они не появляются в теории волнения. На другой руке, когда сцепление gs не является маленьким, это различие, больше не значительно. Когда это имеет место, все p-branes столь же важны как фундаментальные строки, таким образом есть p-brane демократия.
Суперстроковые теории типа I и II содержат класс p-branes под названием Dbranes, чья напряженность пропорциональна 1=gs. Как было упомянуто ранее, их определенное свойство то, что они - объекты, на которых могут фундаментальные струны окончиться. Факт, что фундаментальные строки могут закончиться на D-branes, подразумевает эти квантовые теории старости типа Янга -Миллза, как стандартная модель, находится на мировых объемах D-branes. Поля Ян Миллза воскресают как невесомые режимы открытых строк, присоединенных к D-branes. Факт у того, что теории, напоминающие стандартную модель, находятся на D-branes, есть многие интересованые значения. Например, это привело к спекуляциям что причина, что мы испытываем четыре пространственно-временные размеры то, потому что мы уточняем, жить на трехмерных D-branes (D3-branes), которые встроены в
более многомерное пространство-время. Создание- модели вдоль этих строк, иногда названны brane-мировым подходом или сценарием, обсуждены в Главе 10.
Какова М. теории?
S-дуальность объясняет, как три из пяти оригинальных суперстроковых теорий ведут себя в сильной связи. Это поднимает вопрос: Что происходит с другими двумя супертеориями струн {типа IIA и E8E8 heterotic {когда gs является большим? Ответ, который прибывал как настоящее удивление, то, что они выращивают одну одиннадцатую измерения размера gs `s. Это новое измерение - круг в типе IIA случая и междустрочный интервал в heterotic случае. Когда одиннадцатое измерение
12 Вводных частей
большое, каждый вне режима вызывающей волнение теории струн, и новых методов требуются. Что наиболее важно, новый тип квантовой теории в 11
размеры, названные М. теории, появляются. В низких энергиях это приближено
классической старой теорией названо 11-мерной суперсилой тяжести, но М- теории намного больше чем это. Отношение между М- теориями и этими двумя суперструн теориями представлены в виде, ранее упомянутыми, вместе с T и дуальностями S обсужденный выше, подразумевает, что пять суперструн теорий соединены сетью дуальностей, как изображено в Рис. 1.3. Они могут быть рассмотрены как различные углы одиночной теории.
введите тип IIA IIB
ТАК (32)
тип I
11d
SUGRA
E8XE8
Рис. 1.3. Различные теории струн соединеные через сеть дуальностей.
Есть методы для того, чтобы идентифицировать многочисленные классы суперструны и Mtheory вакуум, и описание их точно, но еще нет сжатого
и неотразимая рецептура основной теории, которая дает начало этому
вакууму. Такая рецептура должна быть абсолютно уникальной без приспосабливаемых безразмерных параметров или другой произвольности. Много вещей, что мы обычно считаем само собой разумеющимся, такие как существование пространственно-временной копии, вероятно, быть понятым как свойства на стадии становления specic, специфического вакуума, а не identiable, идентифицируемые свойства основной теории. Если это правильно, то
недостающая рецептура теории должна быть довольно непохожей на любую предыдущую теорию. Обычные подходы, основанные на квантовом поле, зависят от существования окружающей пространственно-временной копии. Это не понятно что основные градусы свободы должны быть в теории, которая не принимает пространственно-временную копию в боковик, вывод.
Есть интересное предложение по точному кванту механическому описанию descrip1.4
Современные события в супертеории струн 13
tion М. теории, применимой к определенным пространственно-временным фонам, который идет по имени Матричной теории. Матричная теория дает двойное описание Mtheory в 11-мерном пространстве-времени с точки зрения квантовой механики из N N matrices, матриц в большом пределе N. Когда n пространственных размеров compactied, упакованы на торусе, двойная Матричная теория становится квантом старая теория в n пространственных размерах (плюс время). Есть реальность что это догадка правильна, когда n не является слишком большим. Однако, это неясно как обобщить это к другим compactication, упаковки геометриям, таким образом, Матричная теория обеспечивает только предметы более полного описания М. теории.
F-теория
Как ранее обсуждено, тип IIA и heterotic E8 E8 теории могут быть
рассматриваемый как являющиеся результатом более фундаментальной одиннадцатимерной теории, Mtheory. Можно задаться вопросом, могут ли другие супертеории струн быть получены в подобной моде. Подход, названный F-теорией, описан в Главе 9. Это использует факт, что у десятимерного типа суперстроковая теория IIB есть невызывающая волнение SL (2; ;;) симметрия. Кроме того это - модульная группа из торуса и типа теория IIB содержит сложное скалярное поле что преобразовывает под SL (2; ;;) как сложная структура торуса. Поэтому, этой симметрии можно дать геометрическое истолкование если тип теория IIB рассматривается как наличие вспомогательного T с двумя торусами 2 со сложной структурой.
SL (2; ;;), у симметрии затем есть естественное истолкование как симметрии
торус.
Поток compactications, упаковки
Один вопрос, который уже обеспокоил Кэлузу и Кляйна, состоит в том, почему должно пятое измерение выкручивать? Другая проблема в те первые годы была размером с круг, и что стабилизирует это в особом значении. Эти вопросы имеют аналоги в теории струн, где они - партия того, что называют moduli-space модели-пространство проблемы. В теории струн форма и размер внутренней копии динамически определен вакуумными значениями ожидания скалярных полей. Струн теоретики недавно были в состоянии обеспечить ответы на эти вопросы в окружении ux compactications, упаковок которые является быстро развивающейся площадью современного исследования теории струн. Это обсуждено в Главе 10.
Даже при том, что основная теория (М. теории) уникальна, это признает
огромное количество различных решений (или квантовый вакуум). Один из этих решений должны состоять из четырехмерных времен пространства-времени Минковского компактная копия и точно описывает мир физики элементарных частиц.
14 Вводных частей
Одна из основных проблем современного исследования теории струн найти это решение.
Это было бы изумительно, чтобы идентифицировать правильный вакуум, и в том же самом время, чтобы понять, почему это - правильное. Выбранное некоторым специальным предложением математическое свойство, или это только экологический несчастный случай нашего особого угла Вселенной? Пути этот вопрос теряет значение, будет важное то, в определении степени, к которому наблюдаемый мир частицы физики может быть выведен из первых принципов.
Энтропия черной дыры
Это следует из Общей теории относительности, что макроскопические черные дыры ведут себя термодинамические объекты с хорошо-определенной температурой и энтропией. Энтропия дана (в гравитационных модулях) 1/4 областью горизонта события, который является Бекенштайн-Хокинга составом, формулой энтропии. В квантовой теории, энтропия S обычно подразумевает, что есть большое количество квантовых состояний (а именно, exp S их), которые способствуют микроскопической передачи описанию. Таким образом, естественный вопрос состоит в том, относится ли это правление также черной
лунки и их более многомерные обобщения, которые называют черным pbranes.
D-branes обеспечивают завязку действия, в которой может быть исследован этот вопрос.
В ранней работе над этим сюжетом, надежными методами для того, чтобы посчитать микрогосударства только существующие для совершенно особых типов черных дыр, имеющих большое количество суперсимметрии. В тех случаях одно найденное соглашение с составом энтропии. Позже, каждый изучил, как проанализировать много более многочисленный класс черных дыр и черного p-branes, и даже как вычислить исправления к составу площади. Этот сюжет описан в Главе 11. Много примеров были изучены, и никакие несоответствия не были найдены, кроме исправлений, которые ожидаются. Справедливости ради стоит отметить что эти исследования привели к намного более глубокому пониманию термодинамических свойств из черных дыр с точки зрения микрофизики теории струн, факт, который является одним из
самых поразительных успехов теории струн до сих пор.
Дуальность AdS/CFT
Замечательное открытие, сделанное в конце 1990-ых, является точной эквивалентностью (или дуальностью) конформно инвариантных квантовых теорий поля и супертеории струн или М. теории в специальных пространственно-временных конфигурациях. Набор совпадающих
p-branes ставит пространственно-временную геометрию с горизонтом, как эта черная лунка, дыра. Около горизонта эта геометрия может быть приближена
результатом anti-de Ситтер пространства и сферы. В примере, который воскресает
1.4 Современные события в супертеории струн 15
от рассмотрения N совпадающий D3-branes в типе IIB суперструн теории, каждый получает дуальность между SU (N) Янг -Миллза теория с N = 4 суперсимметрией в четырех размерах и типа суперструн теорию IIB в десятимерную геометрию, данную результатом пяти-размерную anti-de
Ситтер пространство (AdS5) и пяти-размерная сфера (S5). Есть модули N
пяти-формы ux поточной обработки пяти сферы. Есть также аналогичные М. теории дуальности.
Эти дуальности иногда упоминаются как дуальности AdS/CFT. AdS
трибуны для anti-de Ситтер пространства , максимально симметрической пространственно-временной геометрии с отрицательной скалярной кривизной. CFT обозначает конформную старую теорию, квантовой теории поля, которая является инвариантной под группой конформных преобразований. Этот тип эквивалентности - пример голографической дуальности, так как это походит на трехмерное пространство представления на двумерной эмульсии. Исследование этих дуальностей преподает нам много о теории струн и М. теории так же как двойного кванта поля теории. Глава 12 дает вводную часть этому обширному сюжету.
Строка и М. космологии теории
Поле суперстроковой космологии появляется в качестве нового и захватывающего наказания. Струн теоретики и струны-теория соображений вводят новые идеи в исследование космологии. Это могло бы быть сценой в которой предсказывает что - специальны к теории струн первым противостоящим данным.
В квантовой теории, которая содержит силу тяжести, такую как теория струн, космологическая постоянная, которая характеризует плотность энергии вакуума, (по крайней мере, в принципе) вычислимое количество. Эта энергия (иногда названная темная энергия), был недавно измерен с довольно хорошей точностью, и найденна составлять приблизительно 70 % полной массы/энергии в современной Вселенной. Эта фракция - увеличивающаяся функция времени. Наблюдаемое значение космологической постоянной / темной энергии важно для космологии, но это является чрезвычайно крошечным когда выражено в модулях Планка (приблизительно 10 ;; 120). Первые попытки составлять> 0 в пределах теории струн и М-теории, основаны на упаковке 11-мерной суперсиле тяжести на свободном художнике времени компактных копиях, были исключены \no-движением" теоремой. Однако, бесспорное невызывающие волнение эффекты позволяют этим теоремам остановки обойтись.
Точка обзора, которая извлекла пользу в популярности недавно, является той теорией струн что может разместить почти любое значение, но только решения, для которых -достаточно маленькие описывать Вселенную, которая может поддержать жизнь. Так, если это было намного больше, мы не должны были бы здесь задать вопрос. Этот тип доказательства назван человеческим. В то время как это может быть правильно, удовлетворило бы иметь
16 Вводных частей
другое объяснение того, почему является настолько маленьким, что не требует этого типа доказательство.
Другая важная проблема в космологии касается ускоренного расширения
из очень ранней Вселенной, которая упоминается как инфляция. Наблюдательный случай для инфляции довольно силен, и это - важный вопрос
понять, как это является результатом фундаментальной теории. Перед периодом
инфляции был Большой взрыв, происхождение заметной Вселенной, и много
усилий входит в понимание этого. Два радикально различные предложения-
квантовое туннелирование ни от чего и столкновения branes.
2 Бозонная струна
Эта глава вводит самую простую теорию струн, названную бозонной струной. Даже при том, что эта теория является нереалистичной и не подходящей для феноменологии, это – натуральное место, чтобы запуститься. Причина состоит в том что те же самые структуры и методы, вместе со многими дополнительными, требуются для анализа более реалистических супертеорий струн. Эта глава описывает свободную (невзаимодействующую) теорию и на классических и на квантовых уровнях. Следующая глава обсуждает различные методы для представления и анализа взаимодействия.
Строка может быть расценена как особый случай p-brane, p-dimensional
расширенный объект, перемещающийся через пространство-время. В этой нотации частица очка соответствует p = 0 случаю, другими словами к нолю-brane. Струны (или основы или solitonic), соответствуют p = 1 случай, так, чтобы они может также быть назван одним-branes. Двумерные расширенные объекты или two-branes часто называются мембранами. Фактически, имя p-brane было выбрано предложить обобщение мембраны. Даже при том, что строки совместно используют некоторые свойства с более многомерными расширенными объектами на классическом уровне, они являются совершенно особыми в том смысле, что их двумерный мировой объем квантовые теории - renormalizable, что-то дело не в этом для branes более высокого измерения. Это - важное свойство, которое позволяет базировать квантовые теории на них. В этой главе мы описываем строку как особый случай p-branes и описывает свойства, которые держатся только для особого случая p = 1.
2.1 действия p-brane
Этот раздел описывает бесплатное движение p-branes в пространстве-времени, используя принцип минимального действия. Давайте начнем с частицы очка или ноля-brane.
17
18 бозонная струна
Релятивистская частица очка
Движение релятивистской частицы массового м. в кривом D-dimensional
пространстве-времени может быть сформулировано как вариационная проблема, то есть, действия принцип. Так как классическое движение частицы очка приезжает geodesics, действие должно быть пропорциональным инвариантной продолжительности частиц траектории
S0 = ;;
Z
ds; (2.1)
где константа и h = до = 1. Эта длина – extremized , крайняя в
классической теории, как иллюстрировано на Рис. 2.1.
X
Xf X
Xf
0
0
1 1
Рис. 2.1. Классическая траектория частицы очка минимизирует длину мировой строки.
Требуя, чтобы действие было безразмерным, каждый узнает, что у этого есть размеры из обратной продолжительности, которая эквивалентна массе в наших модулях, и следовательно это должно быть пропорционально м. Как продемонстрировано в Упражнении 2.1, у действия есть правильный нерелятивистский предел, если = м., таким образом, действие становится
S0 = ;; м.
Z
ds: (2.2)
В этом составе линейный элемент дан
ds2 = ;; соль (X) dXdX: (2.3)
Здесь соль (X), с; = 0;:::; D ;; 1, описывает фоновую геометрию,
которая выбрана, чтобы иметь подпись Минковского (;; + +). Минус
знак был введен здесь так, чтобы ds был реален для подобной времени траектории. Траектория частицы X (), также названная мировой линией частицы, параметризованной реальным параметром, но действие свободно
2.1 действия p-brane 19
выбора параметризации (см. Упражнение 2.2). Действие (2.2) поэтому берет
форму
S0 = ;; м.
Z q
Соль ;; (X) _X _X d; (2.4)
где точка представляет производную относительно.
У S0 действия есть недостаток, что это содержит квадратный корень, так, что это - трудно, чтобы квантовать. Кроме того это действие, очевидно, не может использоваться описать невесомую частицу. Эти проблемы могут обойти представление действия, эквивалентного предыдущему на классическом уровне, который сформулирован с точки зрения вспомогательного поля ми ()
eS0 =
1
2
Z
d
ми ;; 1 _X 2 ;; m2e
; (2.5)
где _X 2 = соль (X) _X _X. Постоянство перепараметризации eS0 требует этого
ми () преобразовывает в соответствующую моду (см. Упражнение 2.3). Уравнение из движения ми (), данное, устанавливая вариационную производную этого действия относительно ми () равный нолю, m2e2 + _X 2 = 0. Решение для ми () и замена назад в eS0 дает S0.
Обобщение к p-brane действию
Действие (2.4) может быть обобщено к случаю уносящей вдаль строки
двумерной мировой простыни в пространстве-времени и, вообще, к p-brane
уносящей вдаль (p + 1) мерному мировому объему в пространстве-времени D-dimensional. Это необходимо, конечно, что p <D. Например, мембрана или
два-brane уползают трехмерный мировой объем, поскольку это перемещается через более многомерное пространство-время. Это иллюстрировано для строки в Рис. 2.2.
Обобщение действия (2.4) к p-brane естественно берет форму
Испания = ;; Tp
Z
разность потенциалов: (2.6)
Здесь Tp называют p-brane напряженностью, и рть (p + 1) мерный элемент объема, данный
разность потенциалов =
p
;; detG dp+1; (2.7)
где вызванная метрика дана
G = соль (X) @X@X; = 0;:::; p: (2.8)
Чтобы записать эту форму действия, каждый принял во внимание это pbrane
мировые объемы могут быть параметризованы координатами 0 =, которые
20 бозонная струна
подобно времени, и я, которые являются p пространственноподобными координатами. Так как у разности потенциалов есть модули (длины) p+1 измерение p-brane напряженности
[Tp] = (продолжительность) ;; p ;; 1 =
месса
(продолжительность) p; (2.9)
или энергия за p-объем модуля.
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЕ 2.1
Покажите что нерелятивистский предел действия (2.1) в Минковского
пространстве-времени определяет значение константы, чтобы быть массой
частицы очка.
РАСТВОР
В нерелятивистском пределе действие (2.1) становится
S0 = ;;
Z p
dt2 ;; d~x2 = ;;
Z
dt
p
1 ;; ~v2 ;;
Z
dt
1 ;;
1
2
~v2 +:::
:
Сравнение вышеупомянутого расширения с действием нерелятивистского очка
X
X
X 0
1
2
Рис. 2.2. Классическая траектория струны минимизирует область мировой простыни.
2.1 действия p-brane 21
частица, а именно,
Отношение сигнал-шум =
Z
dt
1
2
m~v2;
дает = м. В нерелятивистском пределе дополнительная константа (известное
E = термин mc2), появляется в вышеупомянутом расширении S0. Эта константа делает не способствуют классическим уравнениям движения. 2
УПРАЖНЕНИЕ 2.2
Одно важное требование для действия мировой- строки частицы- очка – что это должно быть инвариантным под перепараметризацией параметра. Показать то, что действие S0 является инвариантным под перепараметризацией мировой строки замена 0 = f ():
РЕШЕНИЕ
Действие
S0 = ;; м.
Z r
;;
дуплекс
d
дуплекс
d
d
может быть написан с точки зрения запущенных количеств, принимая во внимание
d0 =
df ()
d
d = f _ () d и
дуплекс
d
=
дуплекс
d0
d0
d
=
дуплекс
d0 f _ ():
Это дает,
S00
= ;; м.
Z r
;;
дуплекс
d0
дуплекс
d0
f _ ()
d0
f _ ()
= ;; м.
Z r
;;
дуплекс
d0
дуплекс
d0 d0;
который показывает, что действие S0 является инвариантным под перепараметризацией. 2
УПРАЖНЕНИЕ 2.3
Действие eS0 в Eq. (2.5) является также инвариантным под перепараметризацией строки мира частицы. Даже при том, что не трудно рассмотреть ночные преобразования, давайте рассматривать небесконечное изменение параметризации
! 0 = f () = ;; ():
Проверьте постоянство eS0 под innitesimal перепараметризацией.
РЕШЕНИЕ
Поле X преобразовывает как скаляр мировой- строки, X0 (0) = X (). Поэтому,
22 бозонная струна
сдвиг rst-порядка в X
X = X0 () ;; X () = () _X:
Отметим, что факт, у которого X есть пространственно-временной вектор, индексирует, не важно к этому параметру. Вспомогательное поле ми () преобразовывает в то же самое время согласно
e0 (0) d0 = ми () d:
Небесконечно, это приводит
e = e0 () ;; ми () =
d
d
(e):
Давайте проанализируем особый случай в пространственно-временной метрике соль (X) =, даже при том, что результат - истина без этого ограничения. В этом случае вектор индекс на X, может быть поднят и опускает внутренние производные. Выражение eS0 имеет изменение
eS0 =
1
2
Z
d
2 _X _X
ми ;;
_X
_X
ми e2 ;; m2e
!
:
Здесь _X дано
_X =
d
d
X = _ _X + X:
Вместе с выражением для ми, это дает результаты
eS0 =
1
2
Z
d
"
2 _X
ми
_ _X + X
;;
_X
_X
e2
_e + e_
;; m2 d (e)
d
#
:
Последний термин может быть понижен, потому что это - полная производная. Сохранения условия могут быть написаны как
eS0 =
1
2
Z
d
d
d
ми
_X
_X
:
Это - полная производная, таким образом, она также может быть понижена (для подходящей границы условий). Поэтому, eS0 является инвариантным под перепараметризацией. 2
УПРАЖНЕНИЕ 2.4
Постоянство перепараметризации, которое было проверено в предыдущем упражнении позволяет выбирать сетку в которой ми = 1. Как обычно, делая этого надо делать все возможное сохранить уравнение ми движения (оцененный для ми = 1). Что является формой и истолкованием уравнений движения для ми и X следующих eS0?
2.1 действия p-brane 23
РЕШЕНИЕ
Уравнение движения для ми, полученной из принципа действия для eS0, дано исчезновением вариационной производной
eS0
ми
= ;;
1
2
ми ;; 2 _X _X + m2
= 0:
Выбирая ми ширины кинопленки () = 1, мы получаем уравнение
_X
_X + m2 = 0:
С тех пор p = _X - импульс, сопряженный к X, что уравнение просто
условие массовой оболочки p2 +m2 = 0, так, чтобы м. был массой частицы,
как было показано в Упражнении 2.1. Изменение относительно X дает
второе уравнение движения
;;
d
d
(соль _X) +
1
2
@g _X _X
= ;; (@g) _X _X ;; соль X +
1
2
@g _X _X = 0:
Это может быть принесено к форме
X
+ ;;
_X
_X = 0; (2.10)
где
;;
=
1
2
соль (@g + @g ;; @g)
соединение Christoel (или Леви -Civita соединение). Уравнение (2.10)
геодезическое уравнение. Обратите внимание что, для в пространстве-времени, ;;исчезает в Декартовых координатах, и каждый возвращает знакомое уравнение движения для частицы очка в в пространстве. Обратите внимание также что более обычная нормализация (_X _X + 1 = 0) была бы получена, выбирая ми сетку = 1=m. 2
УПРАЖНЕНИЕ 2.5
Действие p-brane является инвариантным под перепараметризацией p + 1
координаты мирового объема. Покажите это явно, проверяя что действие
(2.6) является инвариантным под заменой переменных! (e).
РЕШЕНИЕ
Под этой заменой переменных вызванная метрика в Eq. (2.8) преобразовывано в
24 бозонная струна
следующий путь:
G =
@X
@
@X
Соль = (f ;; 1)
@X
@e (f ;; 1)
@X
Соль @e;
где
f
(e) =
@
@e:
Определя J, чтобы быть якобианом мирового объема координируют преобразование, то есть, J = det f , детерминант, появляющийся на действии, становится
det
соль
@X
@
@X
@
= J ;; 2 det
соль
@X
@e
@X
@e
:
Мера интеграла преобразовывает согласно
dp+1 = Jdp+1e;
так, чтобы якобиевская отмена факторов, и действие стали
особенно = ;; Tp
Z
dp+1e
s
;; det
соль
@X
@e
@X
@e
:
Поэтому, действие является инвариантным под перепараметризацией мировым объемом координаты. 2
2.2 Строковое действие
Этот раздел специализирует обсуждение к случаю строки (или один-brane) распространение в D-dimensional в пространстве-времени Минковского. Строковый сезонный анализ популярности телепрограмм двумерная поверхность, поскольку это перемещается через пространство-время, которое называют мировая простыня. Очки на мировой простыне параметризованы двумя координатами 0 =, который подобен времени, и 1 =, который является пространственная простыня. Если переменная является периодической, она описывает закрытую строку. Если это покрывает ночи интервал, строка открыта. Это иллюстрировано в Рис. 2.3.
Действие Намбу-Гото
Пространственно-временное встраивание строковой простыни мира описано функциями X (;), как показано в Рис. 2.4. Действие, описывающее струны размножение в в фоновой геометрии может быть получено как особый случай более общего p-brane действия предыдущего раздела. Это действие, названное Намбу -Goto действие, принимает форму
SNG = ;; T
Z
dd
q
(_X X0) 2 ;; _X 2X02; (2.11)
2.2 Строковое действие 25
где
_X
=
@X
@
и X0 =
@X
@
; (2.12)
и скалярные результаты определены в случае плоского пространства-времени АВОМ = АВ. Интеграл, появляющийся на этом действии, описывает область
мировой простыни. В результате классическое строковое движение минимизирует (или по крайней мере extremizes) мировая- листовая площадь, так же, как классическое движение частицы делает длину мировой строки, экстремальной, проходя геодезическое.
X
X
X 0
1
2
Рис. 2.3. Мировая простыня для свободного распространения открытой струны – прямоугольная поверхность, в то время как свободное распространение закрытой струны уносит, уползает вдаль цилиндр.
Рис. 2.4. Функции X (;) описывают встраивание струны простыни мира
в пространстве-времени.
26 бозонная струна
Строковое действие модели сигмы
Даже при том, что у Намбу -Goto действия есть хорошее физическое истолкование как область струны простыни мира, ее квантование является снова неуклюжим из-за присутствия квадратного корня. Действие, которое эквивалентно Намбу - Goto действию на классическом уровне, потому что это дает начало тем же самым уравнениям движения, струны действия 1 модели сигмы
Струны действие модели сигмы выражено с точки зрения вспомогательной worldsheet метрики h (;), который играет роль, аналогичную вспомогательному полю ми () введенному для частицы очка. Мы будем использовать нотацию h для мировой листовой метрики, тогда как соль обозначает пространственно-временную метрику. Кроме того,
h = det h и h = (h ;; 1); (2.13)
как является общепринятым в относительности. В этой нотации струны действие модели сигмы
S = ;;
1
2
T
Z
d2p ;; hh@X @X: (2.14)
На классическом уровне струны действие модели сигмы эквивалентно
Намбу {Goto действию. Однако, это более удобно для квантования.
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЕ 2.6
Получите уравнения движения для вспомогательной метрики h и bosonic
поля X на строковом действии модели сигмы. Покажите что классически струны образца- сигмы действие (2.14) эквивалентно Намбу -Goto действию (2.11).
РЕШЕНИЕ
Что касается случая частицы очка, обсужденного ранее, вспомогательная метрика h появления в строке действия модели сигмы может быть устранено, используя его уравнения движения. Действительно, с тех пор нет никакого кинетического термина для h, его уравнения движения подразумевают исчезновение мировой- листовой энергии -импульса тензора .
1 Это действие, традиционно названное действием Полякова, было обнаружено Краем, Ди Веччиой и Хоу и Deser и Zumino за несколько лет до Полякова технически грамотно использовавшего это для интеграла по траектории
квантования струны.
2.2 Строковое действие 27
T, то есть,
T = ;;
2
T
1
p ;; h
S
h = 0:
Чтобы оценить изменение действия, следующий состав полезен:
h = ;; hhh;
который подразумевает что
p ;; h = ;;
1
2
p ;; hhh: (2.15)
После взятия изменения действия, результата для энергии-импульса
тензор принимает форму
T = @X @X ;;
1
2
hh@X @X = 0:
Это - уравнение движения для h, который может использоваться, чтобы устранить h от строкового действия модели- сигмы. Результат - Намбу -Goto
действие. Самый легкий способ видеть это состоит в том, чтобы взять квадратный корень минус детерминант обеих сторон уравнения
@X @X =
1
2
hh@X @X:
Это дает
q
;; det (@X @X) =
1
2
p ;; h h@X @X:
Наконец, уравнение движения для X, полученный из Euler-Lagrange
условия,
X = ;;
1
p ;; h
@
p ;; hh@X
= 0:
2
УПРАЖНЕНИЕ 2.7
Вычислите нерелятивистский предел Намбу -Goto действия
SNG = ;; T
Z
dd
p
;; detG; Соль = @X@X
для струны в пространстве-времени Минковского. Используйте статическую сетку, который фиксирует продольные направления X0 =, X1 =, оставляя поперечное направление свободным Xi. Покажите, что кинетическая энергия содержит только поперечную скорость. Определите массу на единицу длины струны.
28 бозонная струна
РЕШЕНИЕ
В статической сетке
detG = det
@X@X @X@X
@X@X @X@X
= det
;; 1 + @Xi@Xi @Xi@Xi
@Xi@Xi 1 + @Xi@Xi
:
Затем,
detG ;; 1 + @Xi@Xi ;; @Xi@Xi +:::
Здесь точки указывают на условия высшего порядка, которые могут быть понижены в нерелятивистском пределе, для которого скорости являются маленькими. В этом пределе действие становится (после расширения Тэйлора)
SNG = ;; T
Z
dd
q
j ;; 1 + @Xi@Xi ;; @Xi@Xij
T
Z
dd
;;1 +
1
2
@Xi@Xi ;;
1
2
@Xi@Xi
:
Первый термин в круглых скобках дает ;; мRd, если Л является длиной интервала и м. = ЛТ. Это - покоя-масса вклад в потенциала энергию. Обратите внимание, что Л является расстоянием в пространстве из-за выбора статической
сетки. Таким образом напряженность T может интерпретироваться как масса на единицу длины, или массовую плотность, струны. Последние два условия вышеупомянутого состава кинетическая энергия и негатив потенциальной энергии нерелятивистской струны напряженности T. 2
УПРАЖНЕНИЕ 2.8
Покажите это, если космологический постоянный термин добавлен к строковой модели сигмы действия, так, чтобы
S = ;;
T
2
Z
d2p ;; hh@X@X +
Z
d2p ;; h;
это приводит к непоследовательным классическим уравнениям движения.
РЕШЕНИЕ
Уравнение движения для мировой листовой метрики
2
p ;; h
S
h = ;; T [@X@X ;;
1
2
h (h@X@X)] ;; h = 0;
2.2 Строковое действие 29
где мы использовали Eq. (2.15). Заключение контракта с h дает
гд = T (
1
2
гд ;; 1) h@X@X:
Начиная с гд = 2, исчезает правая сторона. Таким образом, принимая h 6 = 0,
надежность требует = 0. Другими словами, добавляя космологическую константу термин дает непоследовательные классические уравнения движения. 2
УПРАЖНЕНИЕ 2.9
Покажем что образцовая -сигма форма действия p-brane для p 6 = 1,
требует космологического постоянного термина.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим p-brane действие формы
S = ;;
Tp
2
Z
dp+1p ;; hh@X @X + p
Z
dp+1p ;; h: (2.16)
Уравнение движения для метрики мирового объема получено точно как
в предыдущем упражнении, с результатом
Tp [@X @X ;;
1
2
h (h@X @X)] + ph = 0:
Это уравнение не настолько легко решить непосредственно, столь вместо этого давайте заниматься расследованиями решено ли это, равняя метрику мирового объема к вызванной метрике
h = @X @X: (2.17)
Замена этим подходом в предыдущем уравнении и понижение распространенных факторов дают
Tp (1 ;;
1
2
гд) + p = 0:
Заменяя гд = p + 1, каждый изучает что
p =
1
2
(p ;; 1) Tp: (2.18)
Таким образом надежность требует этого выбора p.2 Этот использует предыдущий результат, что 1 = 0 и шоу, что p 6 = 0 для p 6 = 1. Замена
значения метрики в Eq. (2.17) и значения p в Eq. (2.18), один находит
то Eq. (2.16) эквивалентно классически Eq. (2.6). Для особого случая
2 Отличное значение t фактически эквивалентно, если Вы делаете соответствующее перемасштабирование h. Однако, это имеет результатом мультипликативный фактор в отношении (2.17).
30 бозонная струна
p = 0, это воспроизводит результат в Eq. (2.5), если Вы делаете идентификации
T0 = м. и h00 = ;; m2e2. 2
2.3 Струны образца -сигма действие: классическая теория
В этом разделе мы обсуждаем симметрии струны действия модели- сигмы в Eq. (2.14). Это полезно для того, чтобы написать струные действие в сетке в которой квантование особенно просто.
Symmetries
Строковое действие модели сигмы для бозонной струны в пространстве-времени Минковского имеет много symmetries:
Преобразования Poincare. Они - глобальные symmetries под который
мировое листовое поле преобразовывает как
X = a
X + си и h = 0: (2.19)
Здесь константы (с = ;; a), описывают небесконечные Lorentz преобразования и описывают пространственно-временные переводы.
Перепараметризация. Строковая простыня мира параметризована двумя координатами и, но изменение в параметризации не изменяет действие. Действительно, преобразования
! f () = 0 и h () =
@f
@
@f
h (0) (2.20)
оставляет инвариант действия. Эти местные symmetries также называют dieomorphisms разностноподобные. Строго говоря это подразумевает что преобразования и их инверсии -бесконечно дифференцируемые.
Преобразования Weyl. Действие является инвариантным при перемасштабировании
h! ми (;) h и X = 0; (2.21)
с тех пор p ;; h! ep ;; h и h! ми ;; h дает факторы отмены. Это
местная симметрия - причина, что энергия {тензор импульса является бесследной.
Преобразования Poincare - глобальные symmetries, тогда как перепараметризация и преобразования Weyl - местные symmetries. Местные symmetries может использоваться, чтобы выбрать сетку, такую как статическая сетка, обсужденная ранее, или еще та, в котором некоторые из компонентов мировой листовой метрики h из особой, частиц формы.
2.3 Представьте образцовое сигмой действие в виде строки: классическая теория 31
Сетки фиксированое
Сетки-фиксированая процедура, описанная ранее для частицы очка, может быть обобщенная к случаю строки. В этом случае вспомогательная старость имеет три независимые компоненты, а именно,
h =
h00 h01
h10 h11
; (2.22)
где h10 = h01. Постоянство перепараметризации позволяет нам выбирать два из
компонент h, так, чтобы только один независимый компонент остался. Но
этот оставшийся компонент может быть измерен далеко при использовании постоянства действие под Weyl rescalings. Так в случае строки есть достаточная
симметрия, чтобы измерить x h полностью. В результате вспомогательная старость h может быть выбрана как
h = =
;;1 0
0 1
: (2.23)
Фактически такой в мировой листовой метрике только возможен, если там является не топологическая преграда. Дело обстоит так, когда у мировой простыни есть исчезновения характеристика Euler. Примеры включают цилиндр и торус. Когда мировая листовая метрика - позволенный выбор сетки, строковое действие берет простую форму
S =
T
2
Z
d2 (_X 2 ;; X02): (2.24)
Строковые действия, обсуждаемые до сих пор, описывают распространение в Минковском пространстве-времени. Сохраняя это требование, можно было рассмотреть следующие два дополнительных условия, оба из которых являются renormalizable (или super-renormalizable) и совместимы с постоянством Poincare,
S1 = 1
Z
d2p ;; h и S2 = 2
Z
d2p ;; час (2) (h): (2.25)
S1 - космологический постоянный термин на мировой простыне. Этот термин не позволенный уравнениями движения (см. Упражнение 2.8). Термин S2 вовлекает R (2) (h), скалярная кривизна двумерной мировой листовой геометрии. Такие подъемы вклада, интересующие проблемы, которые исследуются в следующей главе. Пока, давайте предполагать, что это может быть проигнорировано.
Уравнения движения и граничные условия
Уравнения движения
Теперь давайте предположим, что мировая листовая топология позволяет в мировой простыне метрика, быть выбрана. Поскольку свободно распространение закрыло струну естественного выбора
32 бозонная струна
бесконечного цилиндра. Точно так же естественный выбор для открытой струны бесконечная полоса. В обоих случаях движение строки в Пространстве Минковского управляемое действием в Eq. (2.24). Это подразумевает что X уравнений движения - уравнение волны
@@ X = 0 или
@2
@2 ;;
@2
@ 2
X = 0: (2.26)
Так как метрика на мировой простыне была сеткой фиксирован, исчезновение
энергии -импульса тензора, то есть, T = 0 возникновений из уравнения
движения мировой- листовой метрики, должно теперь быть наложено как дополнительное условие ограничения. В сетке h = компоненты этого тензора
T01 = T10 = _X X0 и T00 = T11 =
1
2
(_X 2 + X02): (2.27)
Используя T00 = T11, мы видим исчезновение следа энергии -импульса
тензора TrT = T = T11 ;; T00. Это - следствие постоянства Weyl,
как было упомянуто прежде.
Граничные условия
Чтобы дать полностью определеная вариационная проблема, граничные условия требуется быть specied. Строка может быть или закрыта или открытая. Для удобства, давайте выберем координату, чтобы иметь амплитуду 0. Постоянные очки действия определены, требуя постоянство действия
при сдвигах
X! X + X: (2.28)
В дополнение к уравнениям движения есть граничный член
;; T
Z
d
X0 Xj = ;; X0 Xj=0
; (2.29)
который должен исчезнуть. Есть несколько различных путей, которыми это может быть достигнуто. Для открытой струны эти возможности иллюстрированы в Рис. 2.5.
Закрытая строка. В этом случае функции встраивания являются периодическими,
X (;) = X (+;): (2.30)
Открытая строка с граничными условиями Ноймана. В этом случае компонент импульса, нормального к границе мировой простыни
исчезает, то есть,
X0 = 0 в = 0;: (2.31)
2.3 Представьте образцовое сигмой действие в виде строки: классическая теория 33
Если этот выбор сделан для всех, эти граничные условия уважают Ddimensional Постоянство Poincare. Физически, они означают что никакой импульс должен через концы строки.
Открытая строка с граничными условиями Dirichlet. В этом случае позиции из двух строк концы - xed так, чтобы X = 0, и
Xj=0 = X
0 и Xj = = X
; (2.32)
где X
0 и X
константы и = 1;:::; D ;; p ;; 1. Нойман
граничные условия наложены для другой p + 1 координаты. Dirichlet
граничные условия нарушают постоянство Poincare, и по этой причине
их не рассмотрели много лет. Но, как обсужден в Главе 6, есть обстоятельства, при которых граничные условия Dirichlet неизбежны. Современное истолкование - это X 0 и X представляет позиции Разности-потенциалов-branes. Разность-потенциалов-brane - специальный тип p-brane на которое
фундаментальная строка может закончиться. Присутствие Разности-потенциалов-brane нарушает Poincare постоянство, если это не пространство-время lling (p = D ;; 1).
Раствор к уравнениям движения
К без обозначения даты раствору к уравнениям движения и уравнениям ограничения что удобно, чтобы ввести мировые листовые координаты светового конуса, определенные как
= : (2.33)
В этих координатах производные и двумерная метрика Lorentz примет форму
@ =
1
2
() и
++ +;;
;;+ ;;;;
= ;;
1
2
0 1
1 0
: (2.34)
s=0 s=p s=0 s=p
X (s, t) м. X (s, t) м.
Рис. 2.5. Иллюстрация Дирихлет (слева) и Нойман (справа) граничные условия.
В два разных раза сплошные и пунктирные линии представляют строковые позиции.
34 бозонная струна
В координатах светового конуса уравнение волны для X
+ ;; X = 0: (2.35)
Исчезновение энергии {импульса тензор становится
T ++ = +X + X = 0; (2.36)
T ;;;; = ;; X ;; X = 0; (2.37)
в то время как T + ;; = T ;; + = 0 выражает исчезновение следа, который является автоматическим. Общее решение уравнения волны (2.35) дано
X (;) = X
R (;;) + X
Л (+); (2.38)
который является суммой правых- двигателей и лево-двигателей. Найти выраженную явную форму XR и XL нужно потребовать X (;) быть реальным и верстать ограничения
(;; XR) 2 = (+XL) 2 = 0: (2.39)
Квантовая версия этих ограничений будет обсуждена в следующем разделе.
Расширение режима закрытой строки
Самое общее решение уравнения волны, удовлетворяющее закрытую строку граничным условием дает
X
R =
1
2
x +
1
2
l2
s p (;;) +
я
2
ls
X
n6=0
1
n
ne ;; 2 дюйма (;;); (2.40)
X
L =
1
2
x +
1
2
l2
s p (+) +
я
2
ls
X
n6=0
1
n
ми en ;; 2 дюйма (+); (2.41)
где x - позиция центра массы, и p - полный строковый импульс,
описание бесплатного движения строкового центра массы. Показательные
условия представляют строковые режимы возбуждения. Здесь мы ввели новый
параметр, строковую шкалу расстояний ls, которая связана с натяжением струн
T и открытая строка параметр склона Regge 0
T =
1
20
и
1
2
l2
s = 0: (2.42)
Требование что XR и X Л являются реальными функциями, подразумевает что x и p реальны, в то время как положительные и отрицательные режимы сопряжены друг другу
;; n = (n)? и ми
;; n = (en)?: (2.43)
2.3 Представьте образцовое сигмой действие в виде строки: классическая теория 35
Условия, линейные в отмене от суммы X R + X Л, так, чтобы закрытой- строки
граничные условия действительно удовлетворены. Обратите внимание что производные расширения принимают форму
;; X
R = ls
X+1
m = ;; 1
я ;; 2im (;;) (2.44)
+X
L = ls
X+1
m = ;; 1
их ми ;; 2im (+); (2.45)
где
0 = ми
0 =
1
2
lsp: (2.46)
Эти выражения полезны позже. Чтобы квантовать теорию, позвольте нам
rst ввести канонический импульс, сопряженный X. Это дает
P (;) =
S
_X
= T _X: (2.47)
С этим определением канонического импульса, классических квадратных скобок Пуассона
h
P (;); P (0;)
я
P:B:
=
h
X (;); X (0;)
я
P:B:
= 0; (2.48)
h
P (;); X (0;)
я
P:B:
= ( ;; 0): (2.49)
В членах _X
h
_X
(;); X (0;)
я
P:B:
= T ;; 1 (;; 0): (2.50)
Вставка расширения режима для X и _X в эти уравнения дает квадратные скобки Пуассона удовлетворенные режимами modes3
h
м.; n
я
P:B:
=
h
их; en
я
P:B:
= imm+n; 0 (2.51)
и
м.; en
P:B: = 0: (2.52)
3 Происхождение отношений коммутации для режимов использует расширение Фурье дельты функции Dirac
( ;; 0) =
1
+X1
n = ;; 1
e2in (;; 0):
36 бозонная струна
2.4 Каноническое квантование
Мировая листовая теория может теперь квантоваться, заменяя квадратные скобки Пуассона коммутаторами
[:::] P:B:! я [:::]: (2.53)
Это дает
[м.; n] = [их; en] = mm+n; 0; [м.; en] = 0: (2.54)
Определяя
a
m =
1
пополудни
м. и да м. =
1
пополудни
;; м. для m> 0; (2.55)
алгебра удовлетворена режимами является по существу алгеброй подъема и
понижением действующих компаний для механических квантум гармонических генераторов
[a
м.; да n] = [земля
м.; eay n] = м.; n для м.; n> 0: (2.56)
Есть только одно необычное свойство: коммутаторы компонентов времени
имеют знак минус, то есть,
h
a0
м.; a0y м.
я
= ;;1: (2.57)
Это имеет результатом отрицательные государства нормы, которые будут обсуждены через мгновение. Спектр создан, применяя подъем действующих компаний на основе государства, которое обозначено j0i. Определением стандартное состояние уничтожено понижающимися действующими компаниями:
a
mj0i = 0 для m> 0: (2.58)
Можно также определить импульс k переносимый государством ji,
ji = a1y m1 a2y m2 любой МС j0; ki; (2.59)
который является собственным значением действующей компании импульса p,
pji = kji: (2.60)
Нужно подчеркнуть, что это - первое квантование, и все эти государства
(включая стандартное состояние), государства с одной частицей. Второе квантование требует строковой теории старости, которая обсуждена кратко в конце Главы 3.
Государства с четным числом составляющих временем действующих компаний имеют положительную норму, в то время как те, которые созданы с нечетным, чудным числом time2.4
Каноническое квантование 37
раз, время- составляющие действующие компании имеют отрицательную норму 4 простой пример отрицательная норма государства дана
a0y mj0i с нормой h0ja0
ma0y mj0i = ;; 1; (2.61)
где стандартное состояние нормализовано как h0j0i = 1. Для теории
чтобы быть физически благоразумным, важно, что все физические состояния имели положительную норму. Отрицательная норма заявляет в физическом спектре взаимодействующей теории привела бы к нарушениям причинной связи и унитарности. Путь тот, в котором государства отрицательной нормы устранены из физического спектра, объяснен позже в этой главе.
Открыто-строковое расширение режима
Общее решение струн уравнений движения для открытой струны
с Нойманом граничными условиями дано
X (;) = x + l2
s p + ils
X
m6=0
1
м.
м. ми ;; im, потому что (m): (2.62)
Расширения режима для другого типа граничных условий даны как домашней работы проблем. Обратите внимание что, для открытой струны, только один набор режимов м появляется, тогда как для закрытой струны есть два независимых набора режима м. и ми m. Граничные условия открытой- струны усиливают лево-и право- движущиеся режимы, чтобы объединиться в стоячие волны. Для открытой струны
2@X = _X X0 = ls
1X
m = ;; 1
м. ми ;; im (); (2.63)
где,
0 = lsp.
Гамильтониан и энергии -импульса тензор
Как обсуждено выше, струны действие модели- сигмы является инвариантным под различными symmetries.
Потоки Noether
Вспомните, что есть стандартный метод, из-за Noether, для того, чтобы создать сохраненный поток J связанный с глобальным преобразованием симметрии
! + "; (2.64)
4 Государства, у которых есть отрицательная норма, иногда называют призраками, но мы резервируем то слово для призрака поля, которые являются результатом ковариантного квантования BRST в следующей главе.
38 бозонная струна
где любая старость теории, и бесконечный параметр. Такое преобразование - симметрия теории, если это оставляет уравнения инварианта движения. Дело обстоит так, если действие изменяется самое большее поверхности
термином, что означает, что лагранжевая плотность изменяется самое большее общим количеством производной. Поток Noether затем определен от изменения в действие при вышеупомянутом преобразовании
Л! Л + "@J: (2.65)
Когда "константа, это изменение - полная производная, которая отражает
факт, что есть глобальная симметрия. Затем уравнения движения подразумевают то, что поток сохранен, @J = 0. Преобразования Poincare
X = a X + си; (2.66)
глобальные symmetries струн теории мировой- простыни. Поэтому, они дают
воскреснуть до сохраненных потоков Noether. Применение метода Noether, чтобы произойти сохраненные потоки связывались с преобразованием Poincare X, каждый получает
P
= T@X; (2.67)
J
= T (X@X ;; X@X); (2.68)
где первый поток связан с симметрией перевода, и второй происходит из постоянства при преобразованиях Lorentz.
Гамильтониан
Мировое листовое развитие времени произведено гамильтонианом
H =Z 0_XP0 ;; Лd =T2Z 0_X2 + X02d; (2.69)
где
P
0 =
S
_X
= T _X; (2.70)
был ранее назван P (;). Вставляя расширения режима, результат
для закрытой- струны гамильтониана
H =
X+1
n = ;; 1
(;; n n + ми ;; n en); (2.71)
в то время как для открытой строки соответствующее выражение
H =
1
2
X+1
n = ;; 1
;; n n: (2.72)
2.4 Каноническое квантование 39
Эти результаты держатся для классической теории. В квантовой теории есть упорядочивание двусмысленностей, которые должны быть решены.
Энергетический тензор импульса
Теперь давайте считать расширения режима энергии -импульса тензора.
Вставка расширений режима закрытой- струны для XL и XR в энергии-импульса тензоре Eqs (2.36), (2.37), каждый получает
T ;;;; = 2 l2sX+1m = ;; 1Lme ;; 2im (;;) и T ++ = 2 l2
s
X+1
m = ;; 1
эль
я ;; 2im (+);
(2.73)
где Фурье коэффициенты являются генераторами Virasoro
Lm =
1
2
X+1
n = ;; 1
м. ;; n n и эль
m =
1
2
X+1
n = ;; 1
их ;; n en: (2.74)
Таким же образом можно получить результат для режимов энергии-импульса тензора открытой строки. Сравнивая с гамильтонианом, получим результаты в выражении
1
2
H = L0 + эль
0 =
1
2
X+1
n = ;; 1
(;; n n + ми ;; n en); (2.75)
для закрытой струны, в то время как для открытой струны
H = L0 =
1
2
X+1
n = ;; 1
;; n n: (2.76)
Вышеупомянутые результаты держатся для классической теории. Снова, в квантовой теории нужно решить двусмысленности упорядочивания.
Массовый состав для струны
Классически исчезновение энергии -тензор импульса преобразовывает в
исчезновение всех режимов Фурье
Lm = 0 для м. = 0; 1; 2;::: (2.77)
Классическое ограничение
L0 = эль
0 = 0; (2.78)
может использоваться, чтобы получить выражение для массы струны. Релятивистское условие массовой оболочки
M2 = ;; стр; (2.79)
40 бозонная струна
где p - полный импульс струны. Этот полный импульс данный
p = T
Z
0
d _X (); (2.80)
так, чтобы только нулевой режим в расширении режима _X (;) способствует.
Для открытой строки исчезновение L0 затем становится
L0 =
1X
n=1
;; n n +
1
2
2
0 =
1X
n=1
;; n n + 0p2 = 0; (2.81)
который дает отношение между мессой строки и генератором
режимы. Для открытой строки каждый получает отношение
M2 =
1
0
1X
n=1
;; n n: (2.82)
Для закрытой строки нужно взять лево-перемещение и право-движущиеся режимы во внимание, и затем каждый получает
M2 =
2
0
1X
n=1
(;; n n + ми ;; n en): (2.83)
Они - условия массовой оболочки для струны, которые определяют массу
из данного струны государства. В квантовой теории эти отношения добираются немного измененными.
Алгебра Virasoro
Классическая теория
В классической теории генераторы Virasoro удовлетворяют алгебру
[Lm; Ln] P:B: = я (м. ;; n) Lm+n: (2.84)
Появление алгебры Virasoro следствие того факта, что сетки выбор Eq. (2.23) не имеет полностью сетки фиквированную симметрию перепараметризации.
Позвольте быть бесконечным параметром для перепараметризации и позволить быть бесконечным параметром для перемасштабирования Weyl. Затем остаточная перепараметризация удовлетворяет symmetries
@ + @ = ; (2.85)
все еще остается. Они - перепараметризация, которая является также Weyl rescalings. Если долины сочетания = 0 1 и = 0 1, то один
2.4 Каноническое квантование 41
находит то Eq. (2.85) решеное
+ = + (+) и ;; = ;; (;;): (2.86)
Бесконечные генераторы для преобразований = даны
V =
1
2
()
@
@
; (2.87)
и полное основание для этих преобразований дано
n () = e2in n 2 ;;: (2.88)
Соответствующие генераторы V n дают две копии алгебры Virasoro.
В случае открытых строк есть только одна алгебра Virasoro, и бесконечные
генераторы
Vn = ein +
+ + ein ;;
@;;
n 2 ;;: (2.89)
В классической теории уравнение движения для метрики подразумевает
исчезновение энергии - импульса тензор, то есть, T ++ = T ;;;; = 0, который
с точки зрения компонентов Фурье Eq. (2.73)
Lm =
1
2
X+1
n = ;; 1
м. ;; n n = 0 для м. 2 ;;: (2.90)
В случае закрытых строк, есть также соответствующие эльм. условия.
Квантовая теория
В квантовой теории эти действующие компании определенные быть нормально упорядочены, то есть,
Lm =
1
2
1X
n = ;; 1
: м. ;; n n:: (2.91)
Согласно нормально упорядочивающему предписанию понижающиеся действующие компании всегда появятся направо от действующих компаний подъема. В частности L0 становится
L0 =
1
2
2
0 +
1X
n=1
;; n n: (2.92)
Фактически, это - единственная действующая компания Virasoro, для которой имеет значение нормальное упорядочивание. Так как произвольная постоянная, возможно, появилась в этом выражении, нужно ожидать, что константа будет добавлена к L0 во всех составах в особенности алгебра Virasoro.
42 бозонная струна
Используя коммутаторы для режимов м., можно показать что в кванте
теории генераторов Virasoro удовлетворяет отношение
[Lm; Ln] = (м. ;; n) Lm+n +
до
12
м. (m2 ;; 1) m+n; 0; (2.93)
где до = D является пространственно-временным измерением. Термин, пропорциональный до, является квант эффект. Это означает, что появляется после квантования и отсутствует в классической теории. Этот термин называют центральным выпрямлением, и до называют центральный заряд, так как это может быть расценено как умножение действующей компании модуля,
который когда примкнуто к алгебре находится в центре расширенной алгебры.
SL (2;) подалгебра
Алгебра Virasoro содержит SL (2;) подалгебру, которая произведена
L0, L1 и Л ;; 1. Это - некомпактная форма знакомой SU (2) алгебры.
Так же, как у SU (2) и ТАК (3) есть та же самая алгебра Ли, так что сделать SL (2;) и ТАК (2; 1). Таким образом, в случае закрытых струн, полная алгебра Virasoro и лево-двигателей и право-двигателей содержит подалгебру SL (2;)
SL (2;) = ТАК (2; 2). Это - некомпактная версия алгебры Ли личности SU (2) SU (2) = ТАК (4). Значение этой подалгебры будет ясно в следующей главе.
Физические состояния
Как было упомянут выше, в квантовой теории, константа, возможно, должна быть добавленна к L0, чтобы параметризовать произвольность в предписании упорядочивания. Поэтому, верстая ограничение, что нулевой режим энергии - импульса тензор должен исчезнуть, единственное требование в случае открытой струны - то, что там существует некоторая константа таким образом что
(L0 ;; a) ji = 0: (2.94)
Здесь ji - любое физическое государство на оболочке в теории, и константа будет определена позже. Точно так же для закрытой струны
(L0 ;; a) ji = (эль
0 ;; a) ji = 0: (2.95)
Массовая действующая компания
Константа вносить в массовую действующую компанию. Действительно, в кванте теории Eq. (2.94) соответствует условию массовой оболочки для открытой струны
0M2 =
1X
n=1
;; n n ;; = N ;; a; (2.96)
2.4 Каноническое квантование 43
где
N =
1X
n=1
;; n n =
1X
n=1
nayn; (2.97)
назван действующей компанией числа, так как у нее есть собственные значения целого числа. Для основы государство, у которого есть N = 0, это дает 0M2 = ;; a, в то время как для взволнованных государств
0M2 = 1 ;; a; 2 ;; a;:::
Для закрытой струны
1
4
0M2 =
1X
n=1
;; n n ;; =
1X
n=1
ми ;; n en ;; = N ;; = ми N ;; a: (2.98)
Сопоставление уровня
Нормально упорядочивающая константа отмены из разности
(L0 ;; эль
0) ji = 0; (2.99)
которая подразумевает N = ми N. Это - так называемое условие согласования уровня бозонной струны. Это - единственное ограничение, которое связывает лево-и rightmoving режимы.
Генераторы Virasoro и физические состояния
В квантовой теории нельзя требовать, чтобы действующая компания Lm уничтожила все физические состояния, для всего м. 6 = 0, так как это является несовместимым с Алгеброй Virasoro. Скорее физическое состояние может только быть уничтожено наполовину из генераторов Virasoro, specically
Lmji = 0 m> 0: (2.100)
Вместе с условием массовой оболочки
(L0 ;; a) ji = 0; (2.101)
это характеризует физическое состояние ji. Это -достаточно, чтобы дать исчезновение матричных элементов Ln ;;; 0, между физическими состояниями, для всего n. С тех пор
Л ;; м. = Lym; (2.102)
hermitian, сопряженный из Eq. (2.100) убеждается что отрицательный режим Virasoro действующие компании уничтожают физические состояния с левой стороны от них
hjLm = 0 м. <0: (2.103)
44 бозонная струна
Нет никаких нормально упорядочивающих двусмысленностей в Lorentz generators5
J = xp ;; xp ;; i
1X
n=1
1
n
;;
;; nn ;; ;; nn
; (2.104)
и поэтому они могут интерпретироваться как квантовые действующие компании без квантовых исправлений. Используя это выражение, возможно проверить что
[Lm; J] = 0; (2.105)
который подразумевает, что условие физического состояния является инвариантным под Lorentz преобразованиями. Поэтому, физические состояния должны появиться в полном Lorentz мультиплетах. Это следует из факта что, обсуждаемый формализм вот явно ковариантный Lorentz.
Отсутствие государств отрицательной нормы
Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать что спектр свободный от отрицательной нормы государства только возможен для определенных значений a и пространственно-временного измерения D. Чтобы вынести анализ в ковариантной манере, важном ингредиенте алгебры Virasoro в Eq. (2.93).
В квантовой теории значения a и D не произвольны. Для некоторых государств отрицательной нормы значений появляются и для других значений физического Гильбертово пространства – положительно определенное. В границе, где положительная норма государства превращаются в государства отрицательной нормы, увеличенное число нулевой нормы государства появляются. Поэтому, чтобы определить позволенные значения для a и
D, эффективная стратегия состоит в том, чтобы искать государства нулевой нормы, которые удовлетворяют условиям физического состояния.
Поддельные государства
Государство j меня называют поддельным, если это удовлетворяет условие массовой оболочки и ортогонально ко всем физическим состояниям
(L0 ;; a) j i = 0 и hj i = 0; (2.106)
где ji представляет любое физическое состояние в теории. Пример a
поддельное государство
j i =
1X
n=1
Л ;; njni с (L0 ;; + n) jni = 0: (2.107)
5 Jij производят ротации, и Ji0 производит стимулы.
2.4 Каноническое квантование 45
Фактически, любое такое государство может сменить состав исполнителей в форме
j i = Л ;; 1j1i + Л ;; 2j2i (2.108)
как следствие алгебры Virasoro (например, Л ;; 3 = [Л ;; 1; Л ;; 2]). Кроме того,
любое поддельное государство может быть помещено в эту форму. Поддельные государства j i определяют этот путь является ортогональным к каждому физическому состоянию с тех пор
hj i =
1X
n=1
hjL ;; njni =
1X
n=1
hnjLnji? = 0: (2.109)
Если государство j я являюсь поддельным и физическим, то это ортогонально ко всем физическим государствам включая себя
h j i =
1X
n=1
hnjLnj i = 0: (2.110)
В результате у такого государства есть нулевая норма.
Определение a
Когда константа соответственно выбрана, класс нулевой нормы поддельные государства имеет форму
j i = Л ;; 1j1i (2.111)
с
(L0 ;; + 1) j1i = 0 и Lmj1i = 0 m> 0: (2.112)
Требование, чтобы j я был физическим, подразумевает
Lmj i = (L0 ;; a) j i = 0 для м. = 1; 2;::: (2.113)
Алгебра Virasoro подразумевает личность
L1L ;; 1 = 2L0 + Л ;; 1L1; (2.114)
которая приводит
L1j i = L1L ;; 1j1i = (2L0 + Л ;; 1L1) j1i = 2 (;; 1) j1i = 0; (2.115)
и следовательно = 1. Таким образом = 1 партия specication границы
между положительной нормой и физическими состояниями отрицательной нормы.
46 бозонная струна
Определение пространственно-временного измерения
Число нулевой нормы поддельных государств увеличивается резко если, кроме того к = 1, пространственно-временное измерение выбрано соответственно. Видеть это, давайте создадим нулевую норму поддельных государств формы
j i =
;;
Л ;; 2 + L2
;;1
jei: (2.116)
У этого есть нулевая норма для определенного, которое определено ниже. Здесь j я поддельный, если jei - государство что удовлетворяет
(L0 + 1) jei = Lmjei = 0 для м. = 1; 2;::: (2.117)
Теперь верстайте условие, что j я - физическое состояние, то есть, L1j i = 0 и
L2j i = 0, начиная с остальной части ограничений Lmj i = 0 для м. 3 затем
также удовлетворяет как следствие алгебры Virasoro. Позвольте нам, сперва оценить условие L1j i = 0 использований отношения
L1; Л ;; 2 + L2
;;1
= 3L ;; 1 + 2L0L ;; 1 + 2L ;; 1L0
= (3 ;; 2) Л ;; 1 + 4L0L ;; 1: (2.118)
Это приводит
L1j i = L1
;;
Л ;; 2 + L2
;;1
jei = [(3 ;; 2) Л ;; 1 + 4L0L ;; 1] jei: (2.119)
Термин rst исчезает для = 3=2, в то время как второй исчезает вообще,
потому что
L0L ;; 1jei = Л ;; 1 (L0 + 1) jei = 0: (2.120)
Поэтому, результат оценки L1j i = 0 ограничений = 3=2: Позволить
нас затем рассматривают L2j i = 0 условие. Используя
L2; Л ;; 2 +
3
2
L2
;;1
= 13L0 + 9L ;; 1L1 +
D
2
(2.121)
дает
L2j i = L2
Л ;; 2 +
3
2
L2
;;1
jei =
;;13 +
D
2
jei: (2.122)
Таким образом пространственно-временное измерение D = 26 дает дополнительную поддельную нулевую норму
государства.
2.4 Каноническое квантование 47
Критическая bosonic теория
Нулевой нормы поддельные государства являются нефизическими. Факт, что они являются поддельными убеждается, что они расцепляют от всех физических процессов. Фактически, все государства отрицательной нормы расцепляют, и у всех физических состояний есть положительная норма.
Таким образом полный физический спектр является свободным от государств отрицательной нормы когда эти два условия = 1 и D = 26 являются удовлетворены, как доказано в следующем разделе. = 1, D = 26 теория бозонной струны называется критическими, и каждый говорит, что критическое измерение 26. Спектр является также бесплатным от отрицательная норма заявляет для 1 и D 25. В этих случаях теория названна некритической. Некритическая теория струн обсуждена кратко в следующей
главе.
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЕ 2.10
Найдите расширение режима для генераторов момента инерции J открытой бозонной струны.
РЕШЕНИЕ
Используя поток в Eq. (2.68),
J =
Z
0
J
0 d = T
Z
0
(X _X ;; X _X) d:
Теперь
X (;) = x + l2
s p + ils
X
m6=0
1
м.
м. ми ;; im, потому что (m);
_X
(;) = l2
s p + ls
X
m6=0
я ;; im, потому что (m);
и T = 1 = (l2
s). Короткое вычисление дает
J = xp ;; xp ;; i
1X
m=1
1
м.
Мм ;; ;; ;; мм
:
2
48 бозонная струна
2.5 Светового конуса сетки квантование
Как обсуждено ранее, у бозонной струны есть авторский гонорар с каждого повторного исполнения дифференцирования symmetries,
даже после выбора сетки h =; которые состоят из всего конформного
преобразования. Поэтому, есть все еще возможность создания
дополнительного выбора сетки. Делая особый нековариантный выбор сетки, возможно описать пространство Fock, которое является явно свободным от отрицательной нормы государства и решить явно все условия Virasoro вместо наложения их как ограничения.
Давайте вводить координаты светового конуса для пространства-времени6
X =
1
p2
(X0 XD ;; 1): (2.123)
Затем пространство-время D координирует X, состоят из нулевых координат X и D ;; 2 поперечных координаты Xi. В этой нотации, внутреннем результате из двух произвольных векторов принимает форму
v w = vw = ;; v+w ;; ;; v ;; w + +
X
я
viwi: (2.124)
Указатели подняты и опущены правлениями
v ;; = ;; v +; v + = ;; v ;;; и vi = vi: (2.125)
Так как две координаты обработаны различно от других, постоянства Lorentz
больше не декларация, когда координаты светового конуса используются.
Какая симплификация может быть достигнута при использовании остаточной симметрии ширины кинопленки? С точки зрения остаточной симметрии соответствует перепараметризации в Eq. (2.86) из каждой из нулевых мировых- листовых координат
! (): (2.126)
Эти преобразования соответствуют
e =
1
2
+(+) + ;;(;;)
; (2.127)
e =
1
2
+(+) ;; ;;(;;)
: (2.128)
Это означает, что ми может быть произвольным раствором к бесплатной невесомой волне уравнения
@2
@2 ;;
@2
@ 2
e = 0: (2.129)
6 удобно включать фактор p2 в определении пространственно-временных координат светового конуса опуская это в определении мировых листовых координат светового конуса.
2.5 Квантование ширины кинопленки светового конуса 49
Как только ми определена, ми - специфична до константы.
В сетке h =, пространство-время координирует X (;) также удовлетворит
двумерному уравнению волны. Светового- конуса сетка использует авторский гонорар с каждого повторного исполнения свободы, описанной выше, чтобы сделать выбор
X + (ми; e) = x + + l2
s p+e: (2.130)
Это соответствует установке
+
n = 0 для n 6 = 0: (2.131)
В следующем тильды опущены от ми параметров и ми.
Когда этот нековариантный выбор ширины кинопленки сделан, есть риск что механическая квантом аномалия могла привести к разбивке сценария постоянства Lorentz. Таким образом, это должно быть проверено. Фактически, конформное постоянство важно для того, чтобы сделал этот выбор сетки, таким образом, это не должно быть удивительно что Аномалия Lorentz в подходе сетки светового- конуса соответствует конформной аномалии в ковариантной сетке, что соблюдает проявление постоянства Lorentz.
Светового- конуса сетка устранила режимы генератора X +. Это
возможный определить режимы генератора X ;;, также, решая ограничения Virasoro (_X X0) 2 = 0. В световом конусе измеряют эти ограничения
стать
_X
;; X ;; 0 =
1
2p+l2
s
(_Xi Xi0) 2: (2.132)
Эта пара уравнений может использоваться, чтобы решить для X ;; с точки зрения Xi. В условиях из расширения режима для X ;;, которое для открытой струны является
X ;; = x ;; + l2
s p ;; + ils
X
n6=0
1
n
;; n ми ;;, в потому что n; (2.133)
раствор
;; n =
1
p+ls
1
2
ДУПЛЕКС ;; 2
i=1
X+1
m = ;; 1
: я
n ;; ми
m: ;;; 0
!
: (2.134)
Поэтому, в ширине кинопленки светового конуса возможно устранить и X + и
X ;; (за исключением их нулевых режимов) и выражает теорию с точки зрения
поперечных генераторов. Таким образом у критической строки только есть поперечные возбуждения, так же, как у невесомой частицы только есть поперечные виды поляризации. Удобное свойство светового- конуса сетки в Eq. (2.130) то, что это переворачивает ограничения Virasoro в линейные уравнения для режимов X ;;.
50 бозонная струна
Условие массовой оболочки
В светового- конуса сетки условие массовой оболочки открытой струны
M2 = ;; стр = 2p+p ;; ;;
ДУПЛЕКС ;; 2
i=1
p2i
= 2 (N ;; a) =l2
s; (2.135)
где
N =
ДУПЛЕКС ;; 2
i=1
1X
n=1
я
;; nin
: (2.136)
Теперь давайте создадим физический спектр бозонной струны в светового- конуса сетке.
В ширине кинопленки светового конуса все возбуждения произведены, действуя с поперечными режимами в .Первое вдохновленное государство, данное мной ;; 1j0; пи, принадлежит (D ;; 2) - составляющим векторного представление группы ротации ТАК (D ;; 2) в поперечном пространстве. Как правило постоянство Lorentz подразумевает что физические состояния творят представления ТАК (D ;; 1) для массивных государств и ТАК (D ;; 2) для невесомых государств. Поэтому, теория бозонной струны в светового- конуса сетке может только быть инвариантом Lorentz, если вектор заявляет i;; 1j0; пи
невесомо. Это немедленно подразумевает что = 1.
Имея фиксированое значение a, следующая цель состоит в том, чтобы определить пространство-время измерения D. Эвристический подход должен вычислить нормальное упорядочивание постоянного появления в определении L0 непосредственно. Эта константа может быть определена от
1
2
ДУПЛЕКС ;; 2
i=1
X+1
n = ;; 1
я
;; nin
=
1
2
ДУПЛЕКС ;; 2
i=1
X+1
n = ;; 1
: я
;; nin
: +
1
2
(D ;; 2)
1X
n=1
n: (2.137)
Вторая сумма на правой стороне является расходящейся и должна быть упорядочена. Это может быть достигнуто, используя - функциональную регуляризацию. Во-первых, один рассматривает общую сумму
(s) =
1X
n=1
n ;; s; (2.138)
которая является определенная для любого комплексного числа s. Для Ре (s)> 1, сходится эта сумма к функции (ям) дзэты Риманна. У этой функции дзэты есть уникальное аналитическое продолжение к s = ;; 1, где это берет значение (;; 1) = ;; 1=12. Поэтому, после вставки значения (;; 1) в Eq. (2.137), результат для
дополнительного условия
1
2
(D ;; 2)
1X
n=1
n = ;;
D ;; 2
24
: (2.139)
2.5 Квантование ширины кинопленки светового конуса 51
Используя более ранний результат, что нормально упорядочивающая константа должный быть равным к 1, каждый получает условие
D ;; 2
24
= 1; (2.140)
который подразумевает D = 26. Хотя это не очень строго, это является самым быстрым путем к решительному значению a и D. Более ранний анализ nonegative- норма заявляет, что теорема также выбрала D = 26. Другой подход
должен проверить, что генераторы Lorentz удовлетворяют алгебру Lorentz, которая является не декларацией в светового- конуса сетке. Нетривиальное требование
[Чжи ;;; Джей-Джей ;;] = 0: (2.141)
Как только ;; n генераторы устранены, Чжи ;; становится кубическим в поперечных генераторах. Алгебра является скорее сложной, но нижняя строка – это коммутатор только исчезает для = 1 и D = 26. Другие происхождения
критического измерения представлены в следующей главе. Анализ спектра
Определив привилегированные значения = 1 и D = 26, каждый может теперь
определит спектр бозонной струны.
Открытая строка
В первых немного массовых уровнях физические состояния открытой струны как следует:
Для N = 0 есть тахион j0; ki, масса которого дана 0M2 = ;; 1.
Для N = 1 есть векторный бозон I ;; 1j0; ki. Как был объяснено в предыдущем разделе, постоянство Lorentz требует, чтобы это было невесомо. Это
государство дает векторное представление ТАК (24).
N = 2 дает первые государства с положительной (массой) 2. Они я
;; 2j0; ki и я
;; 1j
;; 1j0; ki; (2.142)
с 0M2 = 1. Они имеют 24 и 24 25=2 государства, соответственно.
общее количество государств 324, которые является размерностью симметрического бесследного представление тензора второго ранга ТАК (25), с тех пор 2526=2 ;; 1 = 324. Так, в этом смысле спектр состоит из одиночного массивного вращения два государство на этом массовом уровне.
У всех этих государств есть положительная норма, так как они созданы полностью из поперечных режимов, которые описывают положительное-определение Гильбертова пространства. В световой конус измеряет факт, что государства отрицательной нормы расцепления
52 бозонная струна
делается явным. Все массивные представления могут быть перестроены в
завершении ТАК (25) мультиплетов, как был только продемонстрирован для первого массивного уровеня. Постоянство Lorentz спектра гарантируется, потому что Lorentz алгебра понята на Гильбертовом пространстве поперечных генераторов.
Число государств
Общее количество физических состояний данной массы легко вычислено. Для пример, в случае открытых строк, это следует из Eqs (2.135) и (2.136)
с = 1, что число физических состояний dn, чья массой дана
0M2 = n ;; 1 является коэффициентом wn в расширении серии силы
trwN =1Y
n=1
Y24
i=1
trwi
;; ni
n =
1Y
n=1
(1 ;; wn) ;; 24: (2.143)
Это число может быть написано в форме
dn =
1
2i
Я
trwN
собственный вес wn+1: (2.144)
Число физических состояний dn может быть оценено для большого n saddlepoint, седла точки оценка. Так как седловая точка происходит близко к w = 1, можно использовать приближение
trwN =
1Y
n=1
(1 ;; wn) ;; 24 exp
42
1 ;; w
: (2.145)
Это - приближение к модульному составу преобразования
(;; 1 =) = (;; i) 1=2 () (2.146)
для функции эта Dedekind
() = ei=12 1Y
n=1
;;
1 ;; e2in
; (2.147)
поскольку каждый видит установкой w = e2i. Затем один находит, что, для большого n,
константа dn: n ;; 27=4 exp (4pn): (2.148)
Показательный фактор может быть переписан в форме exp (M=M0) с
M0 = (4p0) ;; 1: (2.149)
Количество M0 называют температурой Hagedorn. В зависимости от деталей
то движение вне существующих соображений, это - либо возможного максимума температура или иначе температура связующей партии фазы.
Проблемы домашней работы 53
Закрытая строка
Для случая закрытой строки есть два набора режимов (лево-двигатели и
право- двигатели), и условие согласования уровня должен быть принят во внимание. Спектр легко выведен из той из открытой строки, с тех пор closedstring государства - результаты тензора лево-двигателей и право-двигателей, каждого из у которого есть та же самая структура как государства открытой строки. Масса государств в спектра закрытой строки дана
0M2 = 4 (N ;; 1) = 4 (ми N ;; 1): (2.150)
Физические состояния закрытой строки в первые два массовых уровня как
следует:
Стандартное состояние j0; ki - снова тахион, на сей раз с
0M2 = ;; 4: (2.151)
Для N = 1 уровень там - ряд 242 = 576 государств формы
jiji = я
;; 1ej
;; 1j0; ki; (2.152)
соответствуя результату тензора двух невесомых векторов, одного left-moving
и одно правильное перемещение. Партия jiji, которая симметрична и
бесследна в я и j преобразовываем под ТАК (24) как невесомое вращение две частицы, гравитон. Термин следа ij jiji является невесомым скаляром, который является названный dilaton. Антисимметрическая партия jiji ;; jj ii преобразовывает под ТАК (24) как антисимметрический тензор второго ранга. Каждый из этих трех у невесомых государств есть копия в супертеориях струн, где они играют фундаментальные роли, которые обсуждены в более поздних главах.
ПРОБЛЕМЫ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
ПРОБЛЕМА 2.1
Рассмотрите следующую классическую траекторию открытой строки
X0 = СИ;
X1 = Си, потому что (), потому что ();
X2 = грех Си (), потому что ();
Xi = 0; i> 2;
и примите конформное условие ширины кинопленки.
54 бозонная струна
(i) Покажите, что этот conguration описывает решение к уравнениям
движения для старости X соответствий открытой строке с Нойманом
граничных условий. Покажите, что концы этой строки перемещение со скоростью света.
(ii) Вычислите энергетическую Ми = P0 и момент инерции J строки.
Используйте свой результат, чтобы показать что
E2
jJj
= 2T =
1
0
:
(iii) Покажите, что уравнение ограничения T = 0 может быть написано как
(@X) 2 + (@X) 2 = 0; @X@X = 0;
и что это ограничение – удовлетворяет вышеупомянутым раствором.
ПРОБЛЕМА 2.2
Рассмотрите следующую классическую траекторию открытой строки
X0 = 3A;
X1 =, потому что (3), потому что (3);
X2 = грех (a), потому что (b);
и примите конформную ширину кинопленки.
(i) Определите значения a и си так, чтобы вышеупомянутые уравнения описали
открытую строку, которая решает ограничение T = 0. Выразите решение
в форме
X = X
Л (;;) + X
R (+):
Определите граничные условия удовлетворяющие этой старостью conguration.
(ii) Графически изобразите решение в (X1; X2) - плоскость как функция в шагах
=12.
(iii) Вычислите импульс центра массы и момент инерции и
покажите, что они сохранены. Что делаете Вы получить для отношения
между энергией и моментом инерции этой строки? Комментарий
на Вашем результате.
ПРОБЛЕМА 2.3
Вычислите расширение режима открытой строки с границей Ноймана
условия для координат X0;:::; X24, в то время как оставшаяся координата
X25 удовлетворяет следующие граничные условия:
Проблемы домашней работы 55
(i) Граничные условия Dirichlet в обоих концах
X25 (0;) = X25
0 и X25 (;) = X25
:
Каково истолкование такого раствора? Вычислите сопряженный
импульс P25. Этот импульс сохранен?
(ii) Граничные условия Dirichlet на одном конце и границе Ноймана
условия в другом конце
X25 (0;) = X25
0 и @X25 (;) = 0:
Каково истолкование этого решения?
ПРОБЛЕМА 2.4
Рассмотрите бозонную струну в светового- конуса сетке.
(i) Сочтите массу согласованной следующих государств открытой струны на оболочке:
j1i = я
;; 1j0; ki; j2i = я
;; 1j
;; 1j0; ki;
j3i = я
;; 3j0; ki; j4i = я
;; 1j
;; 1 k
;; 2j0; ki:
(ii) Найдите массу согласованной следующих государств закрытой струны на оболочке:
j1i = я
;; 1 ~j
;; 1j0; ki; j2i = я
;; 1j
;; 1 ~k
;; 2j0; ki:
(iii) Что Вы можете сказать о следующем государстве закрытой струны?
j3i = я
;; 1 ~j
;; 2j0; ki
ПРОБЛЕМА 2.5
Используйте расширение режима открытой струны с граничными условиями Ноймана в Eq. (2.62) и отношения коммутации для режимов в Eq. (2.54)
проверять явно равно-разовые коммутаторы
[X (;); X (0;)] = [P (;); P (0;)] = 0;
в то время как
[X (;); P (0;)] = я (;; 0):
Подсказка: представление (;; 0) = 1n2потому что (n), потому что (n0) мог бы быть полезный.
56 бозонная струна
ПРОБЛЕМА 2.6
Упражнение 2.10 показало что генераторы Lorentz мира открытой струны
простыни даны
J = xp ;; xp ;; i
1X
n=1
1
n
;;
;; nn ;; ;; nn
:
Используйте канонические отношения коммутации, чтобы проверить алгебру Poincare
[p; p] = 0;
[p; J] = ;; ip + ip;
[J; J] = ;; iJ + iJ + iJ ;; iJ:
ПРОБЛЕМА 2.7
Упражнение 2.10 получило генераторы момента инерции J для открытой
бозонной струны. Получите их для закрытой бозонной струны.
ПРОБЛЕМА 2.8
Генераторы момента инерции открытой струны в Упражнении 2.10 являются соответствующими для ковариантного квантования. Что является составами в случае квантования светового- конуса сетки.
ПРОБЛЕМА 2.9
Покажите, что генераторы Lorentz добираются со всеми генераторами Virasoro,
[Lm; J] = 0:
Объясните, почему это подразумевает, что условие физического состояния является инвариантным под Преобразованием Lorentz, и государства струны спектра появляются в завершении мультиплетов Lorentz.
ПРОБЛЕМА 2.10
Рассмотрите государство открытой строки на оболочке формы
ji =
;;
;; 1 ;; 1 + B0 ;; 2 + ДО (0 ;; 1) 2
j0; ki;
где A, Си и До - константы. Определите условия на коэффициентах A, Си и До так, чтобы ji удовлетворило условия физического состояния для = 1
и произвольного D. Вычислите норму ji. Что заключения могут Вы привлекать
от результата?
Проблемы домашней работы 57
ПРОБЛЕМА 2.11
Государства открытой строки в N = 2 уровня показали в Разделе 2.5, чтобы формировать определенное представление ТАК (25). Что делает этот результат, подразумевают для спектра закрытой бозонной струны в СШ = НОМЕР = 2 уровня?
ПРОБЛЕМА 2.12
Создайте спектр открытых и закрытых строк в ширине кинопленки светового конуса для уровня N = 3. Сколько государств находится там в каждом случае? Без фактически делая это (если Вы не хотите к), опишите стратегию монтажа кинопленки этих государств в непреодолимых ТАК (25) мультиплетах.
ПРОБЛЕМА 2.13
Мы ожидаем, что центральное выпрямление алгебры Virasoro будет иметь форму
[Lm; Ln] = (м. ;; n) Lm+n + (m) m+n; 0;
потому что нормально упорядочивающие двусмысленности только воскресают для м. + n = 0.
(i) Покажите это, если (1) 6 = 0 возможно изменить определение L0,
добавление константы, так, чтобы (1) = 0.
(ii) Для (1) = 0 показано, что генераторы L0 и L1 творят закрытую подалгебру.
ПРОБЛЕМА 2.14
Получите уравнение для коэффициентов (m) определенных в предыдущей проблеме что следует из личности Jacobi
[[Lm; Ln]; долгоиграющая пластинка] + [[долгоиграющая пластинка; Lm]; Ln] + [[Ln; долгоиграющая пластинка]; Lm] = 0:
Принимая (1) = 0, докажите, что (m) = (m3 ;; m) (2) =6 уникальное
решение, и следовательно что центральный заряд - до = 2A (2).
ПРОБЛЕМА 2.15
Проверьте что генераторы Virasoro в Eq. (2.91) удовлетворяют алгебру Virasoro.
Это - трудно, чтобы проверить термин центрального расхода непосредственно от коммутатора. Поэтому, хорошая стратегия состоит в том, чтобы проверить, что (1) и (2) имеют правильные значения. Они могут быть определены, вычисляя матрицу стандартного состояния элемента Eq. (2.93) для случаев м. = ;; n = 1 и м. = ;; n = 2.
3
Теория струн и м. теории 1-2 катрин беккер мелани
© Copyright: Джон Темплтон, 2013
Свидетельство о публикации №213020601339
Свидетельство о публикации №213020601339
Рецензии