Страсти по Архимеду

Архимед впервые объяснил, почему одни тела тонут, а другие — плавают на поверхности жидкости или под ней: "если тело впёрто в воду, не теряет веса сроду; тело рвётся из воды с силой выпертой воды."  Этого вполне было нам достаточно в детстве, чтобы отбросить недоумения на счёт того, почему стальные тяжёлые пароходы не тонут в зыбком море, а подводные лодки делают то, что хотят. В данной не очень-то серьёзной формулировке ключевым словом является "вес" — вес тела, погружённого в воду, и вес вытесненной им воды. Вслед за Ньютоном под весом мы понимаем силу тяжести, равную произведению массы на ускорение свободного падения: mg. Тогда плавание тяжёлого тела в жидкости объясняют тем, что на тело действует, кроме вездесущей силы тяжести, направленной ко дну, ещё и Архимедова сила, равная весу вытесненной жидкости, но направленная в противоположную сторону. Введение в обиход понятия силы вроде бы доходчиво объясняет схему поведения тела в жидкости и легко приводит к простой формуле, описывающей, при каких условиях тело будет частично высовываться из жидкости, держаться на какой-либо глубине, или тонуть, то есть опускаться ко дну. Однако не трудно заметить, что в этой окончательной формуле нет никаких сил, поскольку нет никаких ускорений. В ней фигурируют только  плотности и объемы жидкости и погруженного в неё тела, а произведение плотности на объем есть, как известно, масса. Хотя на практике массу и измеряют через силу тяжести или как меру сопротивления изменению движения (покоя), её исходное понятие несколько иное — мера количества вещества.  Иначе говоря, понятие массы существовало до Ньютона и не совпадало в точности с тем, что укоренилось после него. Впрочем, это осознавал и сам Ньютон. Мы до сих пор не знаем, что такое мера количества вещества, но, как ни странно, наш разум допускает, что это не вполне то, что понимается под силой притяжения. Даже в условиях гравитации, если признать её вездесущность, наблюдается не только свободное падение, но и свободный взлёт. Я  отдаю себе отчёт в том, что в классической динамике для объяснения любой странности требуется найти соответствующую силу, которую по тем или иным причинам мы просто упустили из виду. Если в обычной жизни мы говорим, что на всё есть своя причина, то в механике мы ту же мысль выражаем так же, но с заменой слова "причина" на слово "сила".

Далее, мне не нравится в традиционной схеме то, что сила Архимеда определяется как вес, направленный в  сторону, противоположную направлению к центру притяжения, как это должно быть для "обычного" веса. Поэтому я попытался построить другую схему статики эффекта Архимеда, не опирающуюся на понятие силы, а заодно рассмотреть и более общий случай положения тела вблизи границы между двумя средами.

Пусть  две однородные среды А и В, имеющие общую границу, распространяются от последней сколь угодно далеко. На рисунке среда А расположена выше среды В, но в нашей схеме отношение выше-ниже или какая либо иная ориентация сред не имеет принципиального значения. Важно лишь направление относительно границы: в сторону среды А или в сторону среды В. В такую двухкомпонентную среду помещён некий объект. Как только он там оказался, далее мы допускаем три варианта: объект движется к границе двух сред, от неё, или же покоится.  Состояние покоя объекта мы будем ещё называть равновесным. Среды А и В, а также погружённый в них объект будем характеризовать плотностями pA, pB и p0.

Начнём с особого равновесного состояния, в котором объект частично погружён одновременно в обе, примыкающие друг к другу, среды. Для этого случая сформулируем принцип особого равновесного состояния объекта, а условия других равновесных состояний получатся у нас как следствия.
 
Принцип особого равновесного состояния:  объект, пересекающий границу раздела двух сред, находится в равновесном состоянии, если его масса равна сумме масс вытесненных им сред.

Этот принцип очевидным образом представляется простыми формулами, в которых масса понимается как произведение плотности на объем. Для упрощения дальнейшего анализа допустим, что тело имеет правильную форму, например, прямого цилиндра или призмы. Тогда объём части, погруженной в ту или иную среду, будет прямо пропорционален линейному размеру этой части. На рисунке показана ось координат, перпендикулярная границе между средами; пересечению данной оси с границей соответствует начало отсчета; координаты точек, расположенных выше границы, имеют положительные значения, а координаты точек ниже границы — отрицательные.

Заметим, что приведённое на рисунке уравнение равновесия,  переходит в обычное (традиционное), если положить плотность одной из сред равной нулю. Так, при рассмотрении закона Архимеда оперируют объектом в жидкости, не принимая во внимание атмосферу над жидкостью, что практически допустимо в виду пренебрежимо малого отношения плотностей первой ко второй.

Итак, объект пересекает границу между средами и покоится, если ha/h=(pB-p0)/(pB-pA)<1, где h=hA-hB.

Дальнейший анализ заключается в рассмотрении для уравнения равновесного состояния возможных отношений между величинами плотностей двух сред и объекта:
    1. Плотность объекта равна плотности среды B (p0=pB). В данном случае условие равновесия выполняется при hA=0 (или при –hB=h), то есть когда объект целиком погружён в среду B, но своей верхней частью примыкает к границе (состояние "под границей").
    2. Плотность объекта равна плотности среды A (p0=pA). В данном случае условие равновесия выполняется при hA=h (или при hB=0), то есть когда объект целиком погружён в среду А, но своей нижней частью примыкает к границе (состояние "над границей").
    3. Плотности двух сред равны (pA=pB). Это, по существу, случай погружения объекта в одну и ту же среду, неограниченно распространяющуюся в обе стороны, при этом понятие границы теряет смысл, или, иначе, граница может проведена где угодно. Здесь возможны следующие основные случаи:
      а) pB=p0 (при этом pB=pA), тогда hA/h=0/0 — неопределённость, то есть объект  покоится там, где его поместили;
      б) pB>p0 (при этом pB=pA), тогда ha/h= +бесконечность — объект обретает покой на бесконечном удалении вверх от границы, где бы она ни была проведена (объект всплывает);
      в) pB<p0 (при этом pB=pA), тогда ha/h= - бесконечность — объект обретает покой на бесконечном удалении вниз от границы, где бы она ни была проведена (объект тонет).

На этом я закончу краткое рассмотрение слегка обобщённой архимедовой схемы, чтобы подвести некоторые итоги и взглянуть в возможное будущее дальнейших исследований. Прежде всего, заметим, что данная схема относится к статике, а хотелось бы получить хотя бы кинематику, если не динамику. Мне представляется, что объект движется в системе сред с различной плотностью туда, чтобы достичь равновесия: плотное тело в разряжённой среде стремится покинуть её в сторону с более высокой плотностью, и наоборот.  Картина похожа на то, как с помощью центрифуги вещество разделяется на фракции. Не трудно заметить, что для объекта с конечной плотностью недоступной является не только среда с очень большой (бесконечной) плотностью, но и среда с очень малой (нулевой) плотностью, как у вакуума. Я имею в виду, что сам по себе, без помощи особых сил (или механизмов), объект не может проникнуть в такие среды. А проникнув туда (как, например, космический аппарат в вакуум) и будучи оставлен там свободным, начинает перемещаться в соответствующую своей плотности среду (например, падать на Землю). Возможно, данный общий принцип может как-то воплотиться в каких-то задачах механики в обычной форме, где участвует ньютонова сила тяготения. Важно, что в рассмотренной схеме тяготение, понимаемое как стремление занять место в более плотной среде, и левитация, как стремление к менее плотной среде, оказываются симметричными явлениями, подчинёнными одинаковым правилам, но с разными параметрами.

Что дальше? Можно рассмотреть схему трёх сред. Мне интересны две среды с примерно одинаковыми плотностями, между которыми находится третья среда с меньшей плотностью. Я надеюсь, что анализ такой схемы позволит просто объяснить, почему туча летит, а капли из неё падают дождём. Но уже теперь для меня как будто немного прояснился смысл слов из Библии: Господь создал твердь для отделения воды от воды и назвал её небом.  Есть и другие темы, например, поверхностное натяжение жидкости как эффект взаимодействия двух сред.