Единая теория поля

Я предполагаю, что единое поле может описываться связностью на некотором абстрактном (т.е. не ассоциированном с касательным и т.п.) расслоении с некоторой структурной группой G над 4-мерным пространством-временем. Лагранжиан должен быть инвариантен относительно расширения группы диффеоморфизмов пространства-времени с помощью группы автоморфизмов расслоения (которая есть более-менее группа G-значных функций на пространстве-времени).

Такие лагранжианы можно строить следующим образом: возведем в квадрат кривизну связности как элемент тензорного произведения S(G) (симметрической алгебры алгебры Ли G) и внешней алгебры кокасательного расслоения - алгебры деРама; получим 4-форму со значением в симметрическом квадрате алгебры Ли G; и возьмем некоторую G-инвариантную норму этого квадрата кривизны - получим скалярную 4-форму; это и есть наш лагранжиан. G-инвариантных норм на симметрическом квадрате G очень немного. Таким образом нам надо выбрать алгебру Ли G и инвариантную норму на ее симметрическом квадрате. (Конструкцию можно обобщить, беря вместо нормы однородную степени 1 G-инвариантную функцию, не обязательно удовлетворяющую неравенству треугольника. Отмечу, что подобная конструкция есть для пространства-времени любой размерности.)

Я предполагаю, что по решению соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа можно естественным образом построить риманову псевдометрику на пространстве-времени и связность в некотором абстрактном расслоении с меньшей структурной группой (это может быть проекция исходной связности на некоторое подрасслоение некоторого ассоциированного расслоения, отвечающего некоторому представлению группы G). Причем окажется, что эта последняя связность удовлетворяет уравнению Янга-Милса, а псевдометрика - уравнению Эйнштейна с тензором энергии-импульса, отвечающим полю Янга-Милса.

Хорошо бы, чтобы кроме псевдометрики и поля Янга-Милса, решению нашего уравнения отвечали бы и еще какие-нибудь объекты, описывающие по возможности все существующие элементарные частицы (т.е. группа G должна быть довольно большой).

Пока мне удалось в случае G=Sl(2,C) (группа Лоренца) по решению нашего уравнения построить псевдометрику (с лоренцевой сигнатурой) на пространстве-времени, удовлетворяющую уравнению немного более слабому чем вакуумное уравнение Эйнштейна.

- - -

Сознаю, что за последние полвека физика ушла вперед,
сейчас поиски в основном связаны с более сложными объектами - струнами, суперструнами.
Да и лагранжиан не совсем хороший: плотность лагранжиана не дифференцируема в 0.
Главное же, я не знаю физики, так что вряд ли могу угадать правильную теорию.
Но с математической точки зрения предложенное уравнение несомненно имеет некоторый интерес,
его исследование проливает некоторый свет на геометрию связностей и т.п.

(Опубликовано в Живом Журнале 23 декабря, 2012)