Толерантность имеет онтологическое обоснование

Аннотация

Математическим выражением гипотезы о врожденной толерантности (внутренней неопределенности) как общем свойстве физических систем  является представление о числовой оси с числами-пятнами вместо чисел-точек. Это представление может быть выведено как следствие из надежного методологического принципа науки – принципа «бритвы Оккама»: essentialia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (т.е.: понятия не должны вводиться произвольно, без достаточного на то основания). А это значит, что принцип толерантности применительно к числовой оси может считаться научным положением, а не гипотезой.

Современная математика перебралась за онтологический барьер

Не подлежит сомнению, что идеальные объекты математики, во всякому случае т.наз. аппаратной ее части, должны по возможности полно учитывать главные закономерности реального мира – с тем, чтобы   их «приложение» к объектам (и субъектам --если иметь в виду познание человеком себя) этого мира было эффективным.

Удивительно, что математики и логики, изучавшие и опровергавшие парадоксы в основаниях математики с точки зрения их внутренней противоречивости, прошли мимо этого «внешнего» аргумента для их опровержения.

Вот несколько примеров нарушения принципа Оккама в математике, которому в современной системе образности больше подходило бы название принцип онтологического барьера (ПОБ).
В математике неявно принимается, что из существования любого множества А, в т.ч. и бесконечного, всегда следует существование множества всех его подмножеств, а из существования множеств А и В -- существование множества всех пар из их элементов. Пусть для примера А и В состоят каждое из 10 цифр от 0 до 9. Тогда в 1-м случае 10-элементное множество А превратилось в супер-множество, в котором 1024 элемента из единичных цифр, их пар, их трое и т.д, а во втором -- а из двух 10-элементных множеств сотворилось  одно 100-элементное. Откуда взялись дополнительно 1014 элементов в 1-м случае и 90 -- во втором? В обоих случаях существование их математиками «домысливается», т.е. ПОБ игнорируется.

Особого рассмотрения с точки зрения ПОБ заслуживает случай бесконечного множества А. Представим его в виде последовательности элементов. Эта последовательность бесконечна, т.е. множество А без конца пополняется. Т.е. А в следующий момент времени уже не есть то же, что А в момент предществующий. Значит, считая бесконечное множество А самотождественным себе, математики нарушают диалектический закон тождества, по которому А не есть не-А.

Замечание ad hoc. Бесконечное множество, актуальная бесконечность, потенциальная бесконечность – это естественная реакция конечного мозга человека на очень большое, необъятное, несчетное. Лет 150 назад на Земле были племена, где счет был таким: раз, два, три, много. Все, что больше трех, считалось «много». У современного человека, располагающего компьютерной техникой, в расчетах могут фигурировать десятки тысяч в показателях степени при основании 10 (при  поисках наибольшего простого числа), но дальше все равно «много», называемое бесконечностью.

С толкованием «реакция на очень большое» согласуется то, что совсем не обязательно представлять себе бесконечное множество, если речь идет о  свойстве «быть несчетным». Вот несколько очевидных примеров несчетных (поэлементно однозначно не пересчитываемых) объектов: множество всех круглых предметов, множество лиц женского (мужского пола), множество всех детей, множество молодых людей, множество всех деревьев в конкретном лесу. Т.е. математика реального мира должна быть индефинитно-финитной, т.е. допускать существование неопределенно-больших чисел. И это было бы вполне в духе принципа толерантности.

Итак, математика в связи с понятием существования математических объектов не может по-прежнему игнорировать уровни существования – онтостатусы (ОС). Приведу еще одно соображение в защиту этого тезиса. Что такое множество всех подмножеств какого-то множества? Это по сути множество отношений между различными комбинациями его элементов. Но отношение между элементами – это в большей степени то, что привносится самим исследователем, выделяется, оценивается им, не говоря уже о том, что  для полной онтологической «обеспеченности» n-членного отношения на множестве А требуется n копий множества А. Т.е. логика построения здания математики, в большей степени соответствующей реальности, требует понятий онтологизуемых и неонтологизуемых математических объектов, возможно, выделения даже более чем двух уровней онтологизуемости.

Использование ПОБ освободило бы математику не только от лишних сущностей, но не позволило бы даже появиться парадоксу Рассела о множестве всех множеств, являющихся собственными элементами, и парадоксу Кантора о множестве всех подмножеств, парадоксу Бурали-Форти о наибольшем ординале.

Из ПОБ следует существование ВТ

Отношение толерантности (т.е. «равенства с допуском» или «равенства без транзитивности») имело бы право занять в математике центральное место (даже если бы не было проблемы загадочной неэффективности математики в науках о живом), поскольку его введение означало бы отказ от неоправданных идеализаций -- актуальной бесконечности, предела бесконечной последовательности, точного числа и чисел-точек. Увы, о каком-то повышенном интересе математиков к толерантности можно было говорить лишь в 1960-70-х гг. 

Чтобы этому требованию больше соответствовать, следовало бы начать сооружение здания новой математики с учетом обобщенного принципа толерантности (ОПТ), который можно сформулировать так:  природа – живая и неживая – толерантна к различиям.

Для объектов и систем неживой природы ОПТ может быть сформулирован так: состояние и поведение любой физической системы определяется не «точными», а не вполне определенными («размазанными») величинами. Т.е. всякая физическая система имеет внутреннюю неопределенность, или врожденную толерантность (ВТ).

Обратим внимание, что отношение толерантности уже присутствует – неявно! -- в самих основах математики. В самом деле, только благодаря тому, что органы распознавания познающего субъекта – человека -- имеют  некий интервал отождествления, т.е. обладают толерантностью к различиям, могли появиться понятие множества, процедура счета «одинаковых» элементов и натуральные числа – на уровне обобщения понятия равномощности классов. Другое неявное использование ВТ:  всякая запись чисел с конечным числом цифр после запятой означает, что существует интервал отождествления, сравнимый с единицей последнего разряда.

Можно предполагать, что и явное включение толерантности в основные понятия математики не будет ей противопоказано.

Приведем доводы в пользу введения ВТ в науки о неживой природе:
1) экспериментальное и перцептивное равенства являются отношениями толерантности;
2) вклад в ВТ-допуск любой физической величины априори вносит квантовомеханическая неопределенность;
3) … а также неопределенность, вызываемая переменным воздействием на изучаемую физическую систему (объект) всего остального внешнего мира, которое в принципе не может быть учтено;
4) Всякая физическая система может рассматриваться как прибор без индикации ее состояния;  всякий же прибор характеризуется чувствительностью, т.е. интервалом ВТ, в пределах которого изменение внешних воздействий не изменяет его показаний. 

Таким образом, для отказа от излишней (вообще говоря,  не оправданной) идеализации -- отношения равенства -- в пользу «равенства с допуском», т.е. отношения ВТ, имеются веские основания.

По существующим представлениям статические и динамические параметры физических систем являются точными («точечными») числами в соответствии с тем, что законы, ответственные за поведение и состояние физических систем, представляют собой функциональные зависимости, т.е. поточечные отображения.   

Физический закон, в котором связаны воедино не только сами физические величины, но и их численные меры неопределенности, принял бы тогда форму обобщенного толерантного отображения. Это означало бы, что законы, описывающие поведение физических систем, связывают не только значения самих параметров этих систем, но и их численные меры неопределенности. Такое, приближенное к действительности, понимание физических законов открыло бы перед экспериментальной и теоретической физикой принципиально новые возможности поиска и обнаружения новых физических результатов. При этом наряду с внутренней толерантностью физикам-теоретикам при анализе пришлось бы иметь дело и с внешней толерантностью, определяемой точностью («допусками») экспериментально измеряемых величин.