Заметки о математике

Математика - предельно общая, отвлечённая наука - она не связана никакими внешними материальными ограничениями.

Казалось бы, все выводы такой науки должны быть очевидными - естественным, очевидным образом следовать из предельно простых основных положений.
Удивительно, что в математике столько смутного, сомнительного и неожиданного.

Удивительна сама необходимость доказывать истинность утверждения.
Казалось бы, истинные утверждения при правильной формулировке сами должны быть собственными доказательствами.

Можно согласиться с тем, что истинное утверждение трудно получить; но если оно уже получено - оно должно быть очевидным.

Не существует никакого общего способа доказывать истинность утверждения.
Более того, даже когда доказательство найдено, сам автор доказательства не может объяснить, почему нужно было доказывать именно так и существуют ли другие (более простые) способы доказательства.
Откуда этот элемент ремесла в такой абстрактной науке, как математика?

Возможно, дело в том, что ещё не найден естественный язык математики - тот язык, на котором истинные утверждения действительно будут очевидными?


Наибольший интерес вызывают первичные основания любой науки.
В математике это - основания логики, первичные логические понятия.

Начать, видимо, нужно с понятия "понятие" (хотя это звучит парадоксально и может показаться смешным).
Действительно, "понятие" - это тоже понятие, одно из понятий.
Стало быть, "понятие" является частью самого себя, включает само себя.

Таким образом, самое первое понятие математики в каком-то смысле противоречиво.

Можно сказать, что понятие "понятие" должно появиться раньше самого себя.

Затем необходимо ввести понятие о возможности качественного различия между понятиями: ввести понятие "другой" - постулировать существование разных (отличных друг от друга) понятий.
Но понятие "другой" - это УЖЕ ДРУГОЕ понятие (отличное от первого понятия "понятие").
Таким образом, понятие "другой" тоже появляется раньше самого себя.


Количественные понятия нужно вводить, начиная с понятия дискретной последовательности: ввести понятие "следовать за": "понятие А следует за понятием В".


Что касается непрерывной последовательности, это понятие вряд ли возможно с нужной точностью исследовать при помощи логики, поскольку сама логика дискретна.
Дискретны и человеческие ощущения (и результаты измерений физических приборов): в них нет сколь угодно малых величин.
Исходя из сказанного, видимо, дискретны по природе все физические величины.

Мне кажется, что непрерывная последовательность - это чистая абстракция, удобный математический приём для решения определённого класса задач.
Причём решение этих задач при помощи непрерывной последовательности не будет точным - именно потому, что точные решения дискретны.

За пределами конкретных решений конкретных задач непрерывная последовательность вряд ли имеет физический смысл (а, возможно, не имеет и математического смысла).
Стремление придать непрерывной последовательности объективный смысл неизбежно приводит к парадоксам (наподобие апорий Зенона).