Немного Русского языка
Предлагаю в словари Русского языка включить новое слово.
Фотосера – фотографирование самого себя. Впервые показано в мультфильме «Ну погоди!» (Спортивная серия). Волк фотографирует сам себя. Отсюда и название – от серого волка. И по аналогии со словом «фотожаба».
Да знаю я про ваше селфи!
Далее:
Приложение
для
"Неизвестные подвиги
первоклассника Ильи"
Чернильный Монстр
В одной школе учился мальчик по имени Илья. Учился он в первом классе уже 3 года и 3 месяца. Бывало, сидит он на уроке учительница Елена Евгеньевна диктует пример по арифметике – все пишут и решать начинают. Илья тоже пишет. Но вдруг у него лопается гелиевый стержень – ручка протекает, и все руки у него в чернилах. Тянет на уроке такую руку:
– Еленавгеньевна, можно выйти? У меня ручка потекла, – и показывает свои синие ладони.
Конечно, учительница отпускает его. А он в туалете отмывается до самого звонка, а то и до конца всех уроков. А на переменах выходит, бегает вместе со всеми, отдыхает, и невзначай кого-нибудь запятнает. Так у всех одежда и пачкалась, даже у учительниц. И стены тоже в синих пятнах все оказывались. Уборщица еле оттирали.
Так и учился Илья в первом классе уже три года и три месяца. Никому это не нравилось, особенно, директору Дмитрий Санычу. И как-то взялся он за дверную ручку, не заметил, что она в чернилах, потом и весь он сам перемазался.
Прибегает к нему завхоз Денис Михалыч, тоже перемазанный, и слёзно просит:
– Не могу больше работать. Хотите – увольняйте.
– В чём дело?
– Все средства моющие, все губки, все тряпки кончились. Нечем чернила оттирать.
– Изыщем резервы, – подбодрил его Дмитрий Саныч. – А ты ещё пригодишься. Однако, терпение директора лопнуло. И прибегнул он к решительным мерам. Вызвал он того, кто кляксы наводил, к себе в кабинет.
– Вот что, Илья, – промакивал директор пятна на щеке, – с завтрашнего дня тебя в школе не будет.
– Опять выгоняете?
– Теперь окончательно. Надеюсь, ты меня понимаешь.
– Понимаю – чай, с вами не первый год.
В отсутствие Ильи в школе навели чистоту. Учителя спокойны. Завхоз сияет. Но через неделю стены, потолки вдруг стали кровоточить, и на полу появлялись кровавые пятна. Ученики забоялись школы. Экспертиза показала, что это не кровь, а чернила. Учеников это не убедило. Подумали на Илью, что он тайно проникает в школу и безобразит. Но нет – проверили все видеокамеры. Меж тем с каждым днём всё меньше и меньше учеников приходило в школу. А какая ж это школа, в которую никто не ходит. Школа оказалась под угрозой закрытия.
Прибежал к директору завхоз.
– Всё – не могу больше работать. Тряпки, губки, порошки кончаются. Увольняюсь.
– Не спеши – найди причину появления пятен.
– Может, это Илья в шапке-невидимке орудует?
– Проверим.
Дмитрий Саныч решил напрямую спросить у Ильи, он ли взялся за своё. Завхозу дал команду доставить Илью в школу. Денис Михалыч долго уговаривал заслуженного первоклассника: наконец тот согласился. Привёз его в школу. Но ручки машины пришлось оттирать.
Меж тем директор спросил Илью:
– Красные кляксы – твоя работа?
– Нет, это не я. Почерк совсем не мой.
– А чей?
– Есть у меня соображения.
– Я знал, что ты хорошо соображаешь. Кто это?
– Чернильный Монстр.
– Да, ну?! – перепугался директор. – Это ты его прикормил?
– Нет, мой был бы синим.
– Да, этот красный. А откуда про него узнал?
– У нас во дворе бабушки на скамейке вычислили: сбежал с Чернильного завода.
– Да, нам с таким чудовищем не справиться. Придётся школу закрывать.
– Я могу победить Монстра.
Директор засомневался.
– Почему я должен тебе верить? Вы с ним на пару тут всё чернилами зальёте.
Илья достал бутылку клюквенного морса.
– Как хотите, - отхлебнул он напитка.
Директор вздрогнул при виде красного цвета. Поёжился.
– Ну, хорошо, – вымолвил он, понимая масштабы бедствия. – Какой план?
– Завтра я выйду против Монстра один на один.
– Береги школу: лампочки, окна – и всё такое.
– Только мне нужны: тысяча стержней и бочонок с синими чернилами. И ещё спецодежда и ковёр, шитый из красного тростника.
– Одежда, стержни, бочка – не проблема. А где взять красный ковёр?
– Его делают на Маврикии.
– Откуда ты знаешь?
– Бабушки во дворе.
Директор позвонил завхозу. Передал приказ. Тот сделал заказы. И на следующий день всё было доставлено.
Илья, вооружённый стержнями, бочонком и ковром, зашёл в школу. Пятен там стало ещё больше. Сделав обход, Илья крикнул:
– Выходи, Монстр Чернильный!
В ответ что-то забулькало – на стене расплылось красное пятно.
Достал Илья творожный сырок – он ему сил придавал – съел его и ринулся в бой. Сломал один стержень. Метнул в свежее пятно - появилась на нём синяя клякса. Метнул ещё. Ещё и ещё. Красное пятно всё посинело. Рядом на стене новое красное появилось, а Илья почувствовал удар – и по нему растеклись красные чернила. Битва походила на пейнтбол с невидимкой. Не видя врага, Илья точно бросал сломанные стержни в красные пятна. А Монстр бил прицельно – на Илье расплывалось пятно за пятном.
Борьба перемещалась из столовой в спортзал, из подвала на чердак. Всю тысячу стержней Илья истратил. С чердака отступать начал: на третий этаж уходить. И всё больше он краснел от чернил. А, как весь он красным станет, тогда и победит его Монстр. Но на третьем этаже Илья заранее раскатал во весь коридор маврикийский ковёр. У чудовища этот настил не вызвал опасений. Илья пропустил пару выстрелов, а потом драпанул, будто отступая. Злодей – следом. На пятки наступает. Вот-вот запятнает, а то и вовсе накроет – и победа за ним. Но с каждым своим шагом Монстр уменьшался, впитываясь в ковёр. Так к концу коридора весь и впитался. Илья был с головы до пят красный, только горели голубые глаза. Но это ещё не победа. Илья схватил край ковра и стал скатывать. Монстр и опомниться не успел, а был уже весь в рулоне. Но и это была не победа. Илья схватил бочонок – вылил синие чернила на рулон. Он тут же пропитался насквозь. Вот так и не стало больше Красного Чернильного Монстра.
Вышел Илья из школы и объявил о победе.
Тут завхоз с директором обниматься к нему. Они тоже были в рабочей одежде. Так что все стали одинаково сине-красные после объятий. Какой пустяк – главное, что школа устояла.
А назавтра и ещё два следующих дня, короче, три дня и три ночи тщательно отмывали и оттирали школу и боевой бочонок. Наконец, заблестели они пуще прежнего.
В честь чистой школы директор устроил праздник. А на торжественной линейке он всех поздравил и объявил:
– А за подвиг, что совершил Илья, который одолел Монстра Красного, я перевожу его из первого класса сразу в пятый.
– Ура!!! – закричали ученики и учителя.
- Ура!!! - закричала и делегация "Чернильного завода". Начальник цеха за избавление от Чернильного Монстра вручил герою набор разноцветных ручек и Сертификат на получение новых ручек по мере исписания старых.
Пришли поздравить и порадоваться и бабушки со двора Ильи. Они до этого распустили чернильный ковёр, сделали из ниток фитиль и сейчас подпалили его. Пламя змейкой побежало, подобралось к огромной петарде - и та с грохотом взмыла в небо. Взорвалась вышине и рассыпалась, но не тысячью огнями, а кусками верёвок, которые, падая, змеились и скручивались в «двойки». А, поравнявшись со школьной крышей, они вспыхнули и сгорели дотла. Их пепел тут же подхватил ветер и развеял безо всякого следа.
– Ура! – ещё раз прокричала школа. И все потянулись к бочонку, в котором плескались не чернила, а клюквенный морс. Его любезно разливала Елена Евгеньевна. И первую чарку она преподнесла Илье.
Из цикла
"Козявка Глаша и её друзья"
Серебряная подковка
Сидели как-то на лужайке козявка Глаша и муха-журчалка Луша. Бабочки знакомые летают, стрекозки. Всё как обычно, но чего-то не хватает.
- Хорошо сегодня на лугу. Солнышко, тишина.
- Да, замечательный денёк. Тишина.
Журчалка прислушалась и растревожилась:
- А с чего бы это – тишина. Обычно кузнечик Петя песни поёт.
- Да что-то его стрёкота не слыхать.
- Голос пропал?
- Он вообще-то ногами трещит.
- Значит, что-то с ногами.
- Может, в гипсе?
Больше подругам не сиделось на лугу.
- Пойдём поищем кузнечика.
- Петя, ты где? – позвала Глаша.
Вместо Пети прилетел божий бычок Боря.
- А чего вы его ищете?
- Да вот что-то песен не поёт – тишина.
- Давайте я спою. – И он, не дожидаясь согласи запел:
- И спиною и бочком
Я летаю над лужком.
В другой бы раз подружки бы подхватили песню или поаплодировали. Но не сейчас.
- Слышишь, - сказала журчалка, - опять тишина.
- Тут цветочки и листы,
Травы сочны и густы,
- опять нарушил тишину Боря.
- Браво! – прилетел жук-пожарник Паша.
- Тихо вы!
Все замерли.
- А что случилось? – после паузы спросил Паша.
- Кузнечик не поёт.
- Может, охрип?
- Да ногами он стрекочет!
- С утра дождь был. Может, прыгал по лужам – ноги промочил и простудил.
- Не узнаем, что с ним, пока не найдём. Где он может быть?
- Кузнечик на месте не сидит, - сказал Боря. – Но чаще всего его под васильком видели.
Все как один полетели к синему васильку. Цветочек был пуст.
- А ещё он под ромашкой бывал.
Ринулись к белой ромашке. Но и там Петю не нашли.
- А ещё он на люпине сидел.
Полетели на люпин. Потом на лопух. Наконец, нашли его под иван-чаем.
- Петя, что с тобой? – увидела его опечаленного Глаша.
- Ты совсем понурился, - заметил Боря.
- Ноги простудил?
- Да вот, - отвечает Петя, - потерял я подковку.
- Ну, с кем не бывает. Ты и так звонко скачешь.
- Подковка не простая.
- Золотая?
- Нет - обыкновенная серебряная. Но мне её подарила кобылка Люба. На счастье. А счастье моё –это она сама. Вот и выходит, что я её потерял.
- А ты искал?
- Искал: всю дорогу от неё по своему следу туда-сюда прошарил – нигде подковки нет.
- А где кобылка живёт?
- Так она зареченская.
- Понятно – за рекой, значит: не так далеко.
- Тут близко.
- Теперь она и моё счастье бесконечно от меня далеки. Если она увидит меня без подковки, повернётся и ускачет обратно.
Все затихли, не зная, как утешить несчастного Петю.
- Надо ещё поискать.
- Я уже от горя ничего не вижу. Везде искал.
- А ты речку, помнишь, где перепрыгивал?
- По бревну скакал.
- Так, может, в речку уронил?
- Там я ещё не искал. Нет, я уж не надеюсь,
- Тогда мы пойдём поищем. А то без твоего стрёкота, от тишины оглохнуть можно.
И все четверо, не уговаривая кузнечика, полетели к брёвнышку на речку.
Тут плавал жук-плавунец Влад.
- Влад, не попадалась ли тебе подковка? Кузнечик Петя потерял.
- Не попадалась. Но сейчас ещё поищу.
- Приплыл жук водолюб. За ним - жуки вертячки. Потом - водяной клоп. Как только узнавали про подковку ныряли на глубину.
- Нет, ничего, - всплыли все водные жуки. – Нигде нет.
- Значит, рыба какая-нибудь проглотила. Хоть окунь, хоть щука – теперь не достанем подковку.
- Эх, уплыло счастье от нашего Пети, - вздохнул Паша.
При дуновении ветра река шла рябью - и от неё шли блики. Ветер стихал – они исчезали. Но вдруг Глаша заметила, что один блик метрах в пяти не исчез, а также светился. Глаша зажмурилась, потрясла головой, открыла глаза, но блик не исчез.
- Влад, посмотри, там возле коряги что-то блестит, - и она взлетела с бревна и зависла над водой над огоньком.
Плавунец нырнул в том месте – долго не возвращался. Огонёк погас. Жук всплыл.
- Я нашёл подковку!
- А что не поднял – тяжёлая? – спросил водолюб.
- Мы поможем! – отозвались вертячки.
- Подковку при строительстве домика ручейник Тиша приспособил. Он не отдаёт.
- Ну и жадный же шитик Тиша.
- Бесчувственный!
- Он не жадный: просто если подковку вынуть, весь его дом развалится.
Все приумолкли.
- Ладно, - сказал Паша и достал из потайного кармана медаль «За тушение пожара» вот взамен пусть возьмёт.
- И тебе не жалко?
- Жалко. Но Петю - больше.
Все зааплодировали отважному пожарниику.
Плавунец взял медальку. Спустился на дно. Пришлось подождать. Со дна мелькали два огонька. Наконец, жук всплыл.
- Вот она! – протянул он Глаше подковку.
- А тебе, Паша, отдельное от шитика Тиши спасибо. Выходит, ты и тут отличился: не только на пожаре.
- Да ладно, - отмахнулся от похвал Паша. – Летим скорее на иван-чай.
Попрощались с отзывчивыми водолазами - и с бесценной находкой полетели к Кузнечику.
Как он обрадовался при виде подковки - засиял, заскакал, зацвиркал. Нет, он не прибил её к «копытцу», а то бы хромал на остальные пять ног, он её повесил на шею.
- Теперь я вновь обрёл своё счастье, - прострекотал Петя.
- Мы рады за тебя.
Тут как раз появилась кобылка Люба.
Воспрянувший Петя подскочил к ней.
- Я тебе тоже приготовил подарок. Вот - возьми, - сказал он и набросил на плечи кобылки шёлковый платок, что заказал у лучших шелкопрядов. И они с ней крепко обнялись.
- Ну, вот и славно, - заключила Глаша. - А мы не будем засиживаться – где-нибудь пристроимся слушать ваши песни.
- Хоть подслушивать нехорошо, но без этого лужок не лужок, - добавила журчалка - и все засмеялись.
Боря, Паша, Луша, Глаша снялись с иван-чая и полетели на серёдку луга, где они любили собираться. А над травами и цветами летело счастливое стрекотание кобылки и кузнечика.
Всё дело в аппетите
Как-то сидят козявка Глаша и муха-журчалка Луша на чертополохе. Час назад прошёл дождь. И пока капли не везде высохли. Подружки взяли по листику подорожника – нет не ранки закрыть, у них ни царапины не было, – а сделали в листиках по дырочке, закатили туда по капельке воды – получилось увеличительное стекло. И теперь они летали с цветка на цветок: считали тычинки, рассматривали пыльцу и колючки у лопуха. А теперь вот чертополох изучают. Вдруг слышат звон колокольчиков. Сначала заслушались.
– Кто это так раззвонился?
– Будто бы из леса звон. Да что-то он не музыкальный.
– Это же тревога! – догадалась Глаша. – Где-то пожар!
И они, побросав самодельные лупы, полетели на звон.
Прилетают в лес. На первой же иве шум, гам. И осы летают роем. Прилетел божий бычок Боря.
– Что здесь такое? – спрашивает.
– Пожарная тревога.
– Ученья?
Колокольный звон затих. Подлетела к ним оса Жанка.
– У нас тут пожар. Гнездо наше загорелось. Хорошо, жук-пожарник Паша услышал – прилетел и потушил быстро. Без него бы не справились.
– Да, у него всегда помпа с собой за пазухой, – сказал Боря.
Тут они увидели уставшего жука-огнеборца и подлетели к нему.
– Как ты, Паша? – забеспокоились.
– Со мной порядок. Вот гнездо загорелось. Хорошо, ещё только с боку занялось – я успел потушить. Осы могли не все вылететь из гнезда.
– Молодец!
– Бумага ведь так быстро горит.
– Герой!
– Да, ладно. – Осы меж тем залатывали пострадавший свой дом. – Потушить-то потушил, а вот как стенка вспыхнул? Осы с огнём не играли: у них на это запрет.
– Кто-то поджог?!
– Не исключено.
– Надо найти поджигателя! Вдруг он ещё пожары готовит.
– Мы, когда сюда летели, я кострище видела, – вспомнила Луша. – Летим туда – поджигатель там.
И все четверо живо сорвались с ветки.
Приземлились рядом с кострищем.
– Чей это костёр?
Боря принюхался.
– Гарью пахнет.
– А ещё – картошкой.
– Значит, это колорадский жук. Джон Полосатый! Он картошку пёк!
Все, не сговариваясь, помчались на картофельное поле. Джон тут ползал по ботве.
– Это ты там пикник устроил: картошку жарил?
– Я, – сознался тот.
– Значит, ты поджёг осиное гнездо?!
– Да вы что?! Я не ем ни ос, ни гнёзд. А жарил на хворосте.
– Не отпирайся.
– Тебе за пожар, по лесному закону, три осиных укуса полагается.
– Нет, только не это! – взмолился жук. – Не надо укусов! – забегал он.
– Можешь не улетать – осы всё равно догонят.
– Это не я – меня там вообще не было. А картошку я пёк вчера. Сегодня целый день в поле – сырую ем.
– А чем докажешь?
– Вон шелуха сырая лежит.
– Да, – согласился Паша, – у тебя алиби. Ты настоящий картофельный вредитель.
– Может, и вредитель, но не поджигатель. Люблю паслёновые. Осам – привет! А мне пора в поле, – и жук скрылся в ботве.
Все четверо, огорчённые промахом – чуть невиновного не наказали – снова полетели к осиному гнезду найти следы поджигателя.
Осиное гнездо было исправно залатано и серело как новенькое. Осы занимались своими повседневными делами.
– Нашли поджигателя? – подлетела к ним Жанка.
– Думали, что это Джон Полосатый – не он.
– Эх, укусить его мало – он дымил вчера.
– Но сегодня он целый день в поле. Мы найдём поджигателя, – успокоила её Глаша.
Жанка улетела.
Друзья стали осматривать место вокруг. Никаких следов: ни фитилей, ни спичек горелых, ни бутылок с зажигательной смесью.
Глаша поднялась выше и заметила листок с небольшой дыркой. Сквозь него сочился солнечный свет. И падал он куда-то вниз мимо осиного гнезда. Обыкновенный такой.
– Никаких следов – чистая работа.
– Опытный преступник.
– Но мы так и не раскроем преступление.
– Придётся сказать осам – зря пообещали.
– Полечу – извинюсь.
Лететь никуда не пришлось. Прилетела Жанка.
– Ну, что нашли?
– Ты извини, Жанна, ничего не нашли.
– Эх, жаль. Но мы пожарную охрану усилим, – сказала оса и улетела.
Все проводили её виноватым взглядом.
– Тогда и мы полетели на чертополох: сосчитаем колючки, лепестки, тычинки, – позвала всех журчалка. – У нас там увеличилки есть – и вам сделаем.
– Полетели, – кивнули Паша и Боря.
Но только они собрались сняться с ветки.
– Погодите, – остановила их Глаша. Отыскала взглядом дырявый лист – и подлетела к нему. Все – за ней.
– Ты чего? – удивилась Луша.
Глаша не отвечала, переводя взгляд с листа на гнездо, с гнезда – на солнце.
– Кажется, я нашла поджигателя, – ответила она.
– Где? Кто это?
– Это солнце.
– Что? – не поняли друзья и, жмурясь, посмотрели на светило. – Вот это?
– С утра был дождь, стала объяснять Глаша, – капли по листьям раскатились. А одна капля застряла в дырке листа – получилась лупа. Она поймала пучок света – и подожгла гнездо.
– Не может быть! – сказал Боря. – Свет мимо гнезда падает.
– Это сейчас мимо. А два часа назад сквозь лист как раз на гнездо: оно и загорелось. Солнце-то в другом месте было.
– А-а, – понимая, протянули друзья. – Молодец Глаша.
– Так и доложим, – заключил Боря, – виновники – солнце и листок.
– Нет, – возразил Паша. – Виновник тот, кто дырку сделал. Специально так – и никаких следов.
– Так это же следы от зубов.
Все внимательно изучили листок.
– Точно – это следы гусеницы гарпии. Это она подожгла гнездо!
– Не могла далеко уползти. Ловите её!
– Я сниму листок, а то завтра он опять гнездо воспламенит, – сказал Боря и, откусив от ветки, взял его за черенок.
Все опять начали обшаривать крону ивы.
– Сюда! – крикнула Глаша.
Все слетелись на нижний ярус под дырявым листком. Там толстая гарпия Рипа плела кокон.
– Это ты в листке дырку сделала?
– Я, – не переставая вертеться, ответила гусеница.
– Значит, ты подожгла гнездо осиное?!
– Ничего я не поджигала. Вы тут шумите с утра, а мне спать пора. Ну и соседи мне достались – с такими не поспишь.
– Зубы не заговаривай! Зачем ты ос подожгла?
– Делать мне нечего.
– Все улики против тебя, – показал Боря листок.
– Ты прогрызла дырку, закатила туда капельку, – продолжил Паша. – Получилась лупа – и от неё гнездо занялось. На листе следы твоих зубов.
– Ах, это.
– Сознавайся во всём! Отпираться бесполезно!
– Да, это я грызла. Но я собиралась весь листок съесть. Я уж тут не один слопала.
– По тебе видно.
– Откусила я самую серёдку. Проглотила. Потянулась, рот открыла – вдруг аппетит у меня и пропал: наелась я. И упала с листика. Вот сюда приземлилась. И до того мне спасть захотелось. Вот плету кокон – залечь. А вы мне мешаете. Ещё, не ровён час, усну я без кокона. А соседям скажите, чтоб не галдели. – Тут гусеница волчком провернулась с десяток раз – и после этого за шёлковыми нитями её стало не разглядеть. Из кокона послышалось сладкое сопение.
Все четверо только лапы развели.
- С природы какой спрос – ей надо следовать, - заметил Боря.
– Баю-бай, куколка, – прожурчала Луша.
Прилетела Жанка.
– Нашли поджигателя?
– Вот он, – показал Паша на свежий кокон.
– Ох, и закусаю!
– Не надо, – остановила её Глаша, – просила не шуметь.
– Не шуметь!? Кто просил?
– Это гарпия Рипа. Она не виновата.
– А кто?
И Глаша рассказала всё, как было с самого утра: про лист, про луч, про дождь.
– Значит, виноват аппетит, – заключила Глаша. – Взял и пропал.
– А против природы не попрёшь, – добавил жук-пожарник.
– Да, – согласилась оса. – Аппетит всем на свете движет. Нами повелевает. Не поспоришь.
– Без него всё останавливается.
– Аппетит – основа жизни, – важно произнёс Боря. – Фундамент всего сущего.
– Ну, коль так, пусть гарпия спит. Хорошо – всё выяснилось: никого искать больше не надо. Аппетит, понимаешь ли, – буркнула Жанка и улетела.
Все проводили осу взглядом.
– Ну, что, – повертел дырявым листочком бычок Боря, – На чертополох: тычинки считать?
– И колючки, – добавила козявка Глаша.
И друзья, довольные, что всё прояснилось, поднялись с зелёной ивы и полетели на цветущий луг.
Козявка и Лось
Однажды Козявка летала и села отдохнуть на рога Лосю. А Лось в этот момент сбросил рога. И они у него упали. Узнали про то жуки-олени. И при появлении Козявки стали прятаться. А некоторые стали летать задом-наперёд. Но Козявки им подарила книгу воспоминаний Лося, где тот написал, что сам сбросил рога. И тогда жуки-олени перестали бояться Козявки. И наоборот стали с ней дружить и кататься на каруселях. И все бабочки ей завидовали.
Звёздная ночь
Однажды ночью Козявка летала над полянкой. И у неё выпал молочный зуб. Внизу в траве сидел Майский Жук. Он подумал, что это звезда из Млечного Пути, и загадал желание. А «звезда» упала прямо перед ним, и он её подобрал.
А на утро насекомый народ потянулся на полянку. Там Майский Жук хвастался, что у него сбылось желание, которое он загадал, и показывал всем волшебную «звезду».
- Так это ж мой молочный зуб! – увидела Козявка.
Ей никто не поверил. Но она улыбнулась белозубой улыбкой: где не хватало одного зуба. И тогда все поняли, что у Козявки волшебные зубы, исполняющие желания. И многие жуки её стали приглашать полетать над полянкой звёздной ночью – и ничего, что тот молочный зуб у Козявки был последний.
Олимпийский чемпион
Говорят. Что пауки только мухам опасны. А вот и нет.
Один олимпийский чемпион по бегу на длинные дистанции тренировался в лесу. Ведь не всегда соревнования проводятся на стадионе. Звали бегуна Лонг Раннэр. Однажды он бежал и между деревьями, на пути были две небольшие ёлочки. Он направился между ними, только сравнялся с ним пробежать не мог: попал в паутину, растянутую между этими ёлками. Запутался, дыхание сбилось, и он повис на этой паутинке. Дёргался, крутился, в конце концов, оторвался от ёлок, но весь окутанный паутиной упал на траву. Так его и нашли потом. Но это было уже через долгие дни. Он уж к этому моменту мумией стал. И не понятно, сам он высох или пауки постарались. Египтяне ещё приехали на экспертизу, не сбежавшая ли это мумия из пирамиды. Но нет не их, местная, дали они заключение. Так что будь ты начинающий бегун или олимпийский чемпион, по лесу не бегай. А уж если и побежал, впереди держи швабру и проверяй между деревьями, не висит ли паутина. Если нет, то беги дальше. Вот так становятся чемпионами. Путь к чемпионским званиям и олимпийским медалям очень труден, сложен и опасен.
Воздушный шарик
Я жвачку надуваю,
Словно шарик к первомаю.
Ты неси меня, неси
До Парижу - гран мерси.
Однажды один мальчик купил жвачку. Пожевал и стал её надувать. Шарик большой надувается и надувается. Мальчик радуется. Но вдруг он надулся такой большой, что оторвал мальчика и понёс его в небо. Не успел он открыть рот, чтоб отпустить его - жвачка к зубам прилипла. Хотел он его лопнуть: ногтями проткнуть, но уже высоко был, так что мог разбиться упав. И унесло его в небо. Так он до сих пор и летает. В небе иногда видят летающий скелет на шарике. Так это от того мальчика. Не надувайте жвачку, а то улетите и в скелет превратитесь.
Утка и хозяин реки
Суровым зимним днём сидела в засаде лиса. Она знала, что у воды собираются водоплавающие. Она увидела, что утка летит на реку с прозрачным льдом. Садится, думает, что на воду. Бьётся об лёд, но воды нет. Лиса неслась к ней во весь опор. Вот-вот схватит. А утка отбила крылья об лёд и не могла взлететь. Лиса уже оскалила зубы. Остался один прыжок. И лакомая добыча будет схвачена: Утка не улетит, такая беспомощная, такая вкусная.
Но вдруг лёд затрещал и взломался изнутри. Пошли волны. Лису отбросило на заснеженный берег. Она оглянулась и увидела Водяного. Он, мокрый, быстро покрывался сосульками, грозно смотря на лису. Та в страхе тут же пустилась в лес и больше к водоёму не приближалась. А утка плавала в реке и благодарила Водяного за спасение. Так она и оставалась на реке под его присмотром. А Водяной очищал ото льда полынью до самого весеннего солнца.
Немного арифметических расчётов
Только для владеющих арифметикой и алгеброй
Предисловие. Числовой ребус: ABCD + ABC + AB + A = d1d2d3d4
Введение. Разность натурального числа и суммы цифр
Часть 1
1. Частное от деления разности натурального числа n и суммы цифр S(n) на 9
2. Расчёт суммы L(n) = M(n) – n
3. Расчёт второго слагаемого n2, или P(n), суммы M(n), или же первого слагаемого суммы L(n), если известно натуральное число n = d1d2d3 ….....di-1di
4. Расчёт цифры di разряда единиц числа n, если известно число 9L(n), или R(n)
5. Примеры нахождения суммы L(n), если известно число n
6. Пример нахождения P(n) и PP(n), если известна сумма L(n)
7. Диапазон числа n, при котором сумма L(n) остаётся неизменной. График L(n) как функции f(n)
8. Дискретность сумм M(n) и L(n) как функций
9. Свойства одноцифровых натуральных чисел
Часть 2
10. Числовой ребус: ПАРК = ПАРФ
11. Обкатка новых формул при решении числового ребуса
Выводы и заключения, результаты и перспективы
Ссылки и литература
Предисловие. Числовой ребус: ABCD + ABC + AB + A = d1d2d3d4
Дана задача.
Решить числовой ребус, где цифры заменены буквами. А одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры. В ребусе, представленном в виде суммы чисел, известна только сумма. Найти какая цифра соответствует каждой букве.
ПАРК
ПАР
ПА
П
___________
2 0 2 4
В разряде сотен А + П = 10, либо А + П = 9, либо А + П = 8, т. к. максимальная сумма не больше 8 + 9 = 17. И из разряда десятков може перенестись в сумму либо 1, либо 2.
Значит, цифра разряда тысяч П = 1, т. к. чтобы получить 2, нужно 1 от разряда сотен прибавить неизвестное число. Которое вычисляется как 2 -- 1 = 1.
Ребус приобретает вид:
1 АРК
1 АР
1А
1
___________
2 0 2 4
Чтобы получился 0 в разряде сотен, цифра А должна быть равна 9 либо 8.
Предположим, что А = 9. Тогда в разряде десятков получим 9 + 1 + Р ; 10.
И 1 из разряда десятков перейдёт в сумму разряда сотен. Получим при А = 9: 9 + 1 +1 = 11. А должно быть рано 10, т.к в разряде сотен стоит 0. Значит, А ; 9. Следовательно А = 8. Заменим цифрой 8 букву А. Получим ребус следующего вида:
1 8 Р К
1 8 Р
1 8
1
___________
2 0 2 4
Ищем цифру, обозначенную буквой Р.
В разряде десятков Р + 8 + 1 ; 22, т. к. максимальное значение Р не может быть больше 9. И общая сумма не превысит 9 + 8 + 1 = 18. Следовательно, Р + 8 + 1 + х = 12. Где х = 1 или х = 2, в зависимости от того, что в разряде единиц получается в сумме: 14 или 24.
Предположим К + Р + 8 + 1 = 24. Тогда 2 добавляется в сумму разряда десятков. То есть 2 = х.
Подставляем цифру 2 в сумму разряда десятков: Р + 8 + 1 + 2 = 12. Отсюда Р = 12 — 8 — 1 — 2 = 1. Но Р не может бы равно 1, т. к. 1 = П, а П ; Р. Следовательно х = 1, и Р = 12 — 8 — 1 — 1 = 2.
Р = 2.
И ребус принимает следующий вид:
1 8 2 К
1 8 2
1 8
1
___________
2 0 2 4
И теперь значение К легко найти. Из предыдущих рассуждений мы выяснили, что сумма цифр разряда единиц не равна 24. А значит рана 14. То есть К = 14 — 1 — 8 — 2.
К = 3. Все цифры найдены. Повторим их значения:
П = 1, А = 8, Р = 2, К = 3.
Ребус приобрёл окончательный вид:
1 8 2 3
1 8 2
1 8
1
___________
2 0 2 4
Проверяем, складывая цифры в должном порядке, и убеждаемся, что всё верно: в сумме получается 2024.
Таким образом, задача решена: числовой ребус разгадан.
Ура!
Введение
Из средней школы известно, если сумма цифр числа делится на 3 или на 9, то и само число делится на 3 и 9 соответственно. Менее известно свойство чисел такое, как:
Разность натурального числа n и суммы цифр S(n) делится на 9. Это свойство тоже известно из древности.
Обозначим эту разность как R(n):
R(n) = n – S(n), (1)
n – натуральное число,
S(n) – сумма цифр n.
Частное от деления разности натурального числа и суммы цифр на 9 обозначим как L(n).
L(n) = (n – S(n)) / 9 (2)
или
L(n) = R(n) / 9 (3)
Из формулы (2) можно получить формулу для суммы цифр:
S(n) = n – 9L(n) (4)
Пример:
n = 67.
R(67) = (67 – (6 + 7)) = 54;
54 – делится 9.
L(n) = R(n) / 9 = 54 /9 = 6
На данном этапе рассуждений имеем следующие обозначения: n, S(n), R(n), L(n).
Натуральное число n выражается как:
k
n = ; di 10i -1 (5)
i = 0
Сумма цифр S(n):
k
S(n) = ; di , (6)
i = 0
где
di – порядковая цифра числа,
i – порядковый номер цифры числа,
k – количество цифр в числе.
Подставляем обозначения в формулу R(n) = n – S(n) (1):
Выражение (n – S(n)) распишем через сумму слагаемых:
k k
; di 10i -1 -- ; di = di10i – 1 + di – 1 10i – 2 + … di – k -- 1 101 + di – k 100 -- ( di + di – 1 + … di – k --1 + di – k ) =
i = 0 i = 0
Вынесем за скобки одноимённые числа. Получим:
R(n) = di (10i – 1 – 1) + di – 1 (10i – 2 – 1) + … di – k -- 1 (101 -- 1) + di – k (100 -- 1) =
= di (99...9) + di – 1 (10i – 2 – 1) + … di – k -- 1 (9) + di – k (100 -- 1) =
= 999...9 di + 99...9di – 1 + … 9di – k -- 1 + 0
Отсюда, видно, что R(n) делится на 9, т. к. каждое слагаемое делится на 9, и частное от деления L(n) равно:
L(n) = 111...1 di + 11...1 di – 1 + … + di – k -- 1
Получаем:
L(n) = (n – S(n)) / 9, (7)
где
n – натуральное число,
S(n) – сумма цифр,
L(n) – всегда целое число, частное от деления R(n) на 9.
Умножаем на 9 обе части уравнения (9) и получаем альтернативную формулу разности натурального числа и суммы цифр Ra(n).
n – S(n) = 9L(n), (8)
где 9L(n) = Ra(n)
Отметим:
Ra(n) = R(n)
Отсюда, можно записать альтернативную формулу натурального числа na:
na = 9L(n) + S(n) (9)
Отметим: na = n
Часть 1
1. Частное от деления разности натурального числа n и суммы цифр S(n) на 9
L(n) = (n – S(n)) / 9, (7)
где
n – натуральное число,
S(n) – сумма цифр,
L(n) – частное от деления R(n) на 9.
Подставляем в формулу (7) формулы n (5) и S(n) (6)
k k
L(n) = ( ; di 10i -1 -- ; di ) / 9 (9)
i = 0 i = 0
Запишем натуральное число n более наглядно:
n = d1d2d3 … di , (10)
где
di -- цифра в числе
k – количество цифр в числе, или порядок числа
i – порядковый номер цифры d
Составим ряд уравнений для n следующим образом:
d1d2d3 …….. di = di10i – 1 + di – 1 10i – 2 + …. + di – k + 2 102 + di – k + 1 101 + di – k 100
d1d2d3 .….. di-1 = di10i – 2 + di – 1 10i – 3 + …. + di – k + 1 101 + di – k 100
d1d2d3 … di-2 = di10i – 3 + di – 1 10i – 4 + … + di – k 100
………………………………….
d1d2 = di101 + di – 1 100
d1 = di100
Просуммируем
M(n) = Сумма ; (вычисляем)
После сложения чисел в левой части уравнений получим сумму M(n):
M(n) = M(d1d2d3 …….. di), где di Є M(n)
Распишем подробно.
Просуммируем сложные слагаемые в правой части:
di10i – 1 + di – 1 10i – 2 + …. + di – k + 2 102 + di – k + 1 101 + di – k 100
di10i – 2 + di – 1 10i – 3 + …. + di – k + 1 101 + di – k 100
di10i – 3 + di – 1 10i – 4 + … + di – k 100
………………………………….
di101 + di – 1 100
di100
k -- 1 k -- 3 3 2 1
d1 ; 10i -- 1 + d2 ; 10i -- 2 + …….. + dk--2 ; 102 + dk--1 ; 101 + dk ; 100
I = 0 I = 0 I = 0 I = 0 I = 0
Теперь сложим компоненты этой суммы. Получим сумму сумм M(n):
k k
M(n) = ; di ; 10i (11)
I = 0 I = 0
Если в математике не существовало в обиходе такого вида суммы, суммы M(n), то для конкретизации, о чём идёт речь, обозначим эту сумму как «двойная сумма Парфёнова», или просто «сумма Парфёнова» (the Porfik’s double sum or the Porfik’s sum).
Пример.
Вычислим сумму M(n) на примере натурального числа n = 83758.
Записываем три суммы в виде Таблицы 1.
Таблица 1
M(n) n S(n)
M(83758) 83758 (8 + 3 + 7 + 5 + 8)
83758 80000 8
8375 3000 3
837 700 7
83 50 5
8 8 8
_________ ____________ ______
93061 83758 31
M(83758) = 93061, n = 83758, S(n) = 31
Из Таблицы 1 сформируем Таблицу 2, где в левой части нет первого слагаемого, равного n.
То есть создадим сумму E(n):
E(n) = M(n) – n (12)
Таблица 2
E(n) = M(n) – n n S(n)
E(83758) 83758 (8 + 3 + 7 + 5 + 8)
80000 8
8375 3000 3
837 700 7
83 50 5
8 8 8
_________ ____________ ______
9303 83758 31
E(83758) = 9303, n = 83758, S(n) = 31
Проанализируем полученные суммы в обеих таблицах. Заметим, что:
93061 = 10^9303 + 31 = 93030 + 31
То есть:
M(n) = 10E(n) + S(n), (13)
где
n = 83758,
M(n) = 93061,
E(n) = 9303,
S(n) = 31
Значит, сумма цифр S(n) будет равна:
S(n) = M(n) – 10E(n) (14)
Проверяем:
S(n) = 93061 – 10^9303 = 93061 – 93030 = 31
Значит:
E(n) = (M(n) – S(n)) / 10 (15)
Проверяем:
E(n) = (93061 – (8+3+7+5+8)) / 10 = 9303
Результат совпадает.
Из левой части Таблицы 2 видно, что E(n), равное (M(n) – n), совпадает со значением R(n)/9, или L(n).
Поэтому E(n) так же обозначим как L(n):
E(n) = L(n)
Вспомним формулу (7):
L(n) = (n – S(n)) / 9
Из чего следует, что E(n) также равно:
E(n) = (n – S(n)) / 9 = R(n) / 9
Из Таблицы 2 расписываем сумму L(n) = 8375 + 837 + 83 + 8 = 9303 как:
8375 = 8*103 + 3*102 + 7*101 + 5*100
837 = 8*102 + 3*101 + 7*100
83 = 8*101 + 3*100
8 = 8*100
__________________________________________________________
L(n) = Сумма, которую вычисляем
В левой части системы уравнений получим L(n) = 9303. В правой части складываем сложные слагаемые. Получим:
9303 = 8*(103 + 102 + 101 + 100) + 3*(102 + 101 + 100) + 7*(101 + 100) + 5*100
4 3 2 1
9303 = d1 ; 103 + d2 ; 102 + d3 ; 101 + d4 ; 100
I = 0 I = 0 I = 0 I = 0
5 – 1 5 - 1
9303 = ; di ; 10i
I = 0 I = 0
k – количество цифр в числе, или порядок n. В данном случае k(83758) = 5.
i – порядковое число в n
То есть при n = 83758:
5 – 1 5 - 1
L(83758) = ; di ; 10i = 9303
I = 0 I = 0
На основании этих вычислений запишем некоторые формулы для любого натурального числа n.
Общая формула для суммы L(n) будет следующего вида:
k – 1 k - 1
L(n) = ; di ; 10i (16)
I = 0 I = 0
Назовём её как «малая сумма Парфёнова».
Подставляем это выражение в формулу (7): 9L(n) = n – S(n).
Получим расширенную запись для 9L(n), или R(n), разности натурального числа и суммы цифр:
k – 1 k – 1 k k
9 ; di ; 10i = ; di 10k – I – ; di , (17)
I = 0 i = 0 i = 0 i = 0
где
di – порядковая цифра числа n,
i – порядковый номер цифры числа n,
k – количество цифр в числе n.
Общепринятая формула разности натурального числа и суммы цифр R(n):
k k
R(n) = ; di 10k – i – ; di (18)
i = 0 i = 0
Альтернативная формула разности натурального числа и суммы цифр Ra(n):
Ra(n) = 9L(n)
Или:
k – 1 k – 1
Ra(n) = 9 ; di ; 10i (19)
I = 0 i = 0
Назовём её «первой формулой Парфёнова».
Общепринятая формула суммы цифр S(n) (6):
k
S(n) = ; di
I = 0
Альтернативная формула суммы цифр Sa(n): следует из формулы (15) E(n) = (M(n) – S(n)) / 10 , при E(n) = L(n):
Sa(n) = M(n) – 10L(n) (20)
Или, заменяя M(n) и L(n) на их выражения в соответствующих суммах, получим альтернативную сумму цифр Sa(n):
k k k – 1 k - 1
Sa(n) = ; di ; 10i -- 10 ; di ; 10i (21)
i = 0 i = 0 i = 0 i = 0
2. Расчёт суммы L(n) = M(n) – n
Распишем суммы M(n) и L(n) на примере натурального числа n = d1d2d3,,,,,di -1di
M(n) = d1d2d3,,,,di-1di + d1d2d3,,,,,di-1 + d1d2d3,,,,,di-2 + d1d2d3,,,,di-3 +….+ d1d2d3 + d1d2 + d1 ,
где d1 Є n
L(n) = d1d2d3,,,,,di-1 + d1d2d3,,,,,di-2 + d1d2d3,,,,di-3 +….+ d1d2d3 + d1d2 + d1 , где d1 Є n
Для наглядности составим из слагаемых этих сумм таблицу. Из неё хорошо будет видно, что к чему относится и что из чего вытекает.
Таблица 3
ni ni (i Є n) n (i Є n) ni
n1 = n d1d2d3,,,,,,,,,,,,di-1di ------------- d1d2d3,,,,,,,di-1di
n2 = d1d2d3,,,,di-1 (n -- di)^10-1 (n -- di)^10-1 d1d2d3,,,,,,,..di-1
n3 = d1d2d3,,,di-2 (n – di-1di)^10-2 (9L(n) – di-1di)^10-2 d1d2d3,,,,,,,di-2
n4 = d1d2d3,,,,di-3 (n – di-2di-1di)^10-3 (9L(n) – di-2di-1di)^10-3 d1d2d3,,,,di-3
…... ….………. ………….. ……...
ni-2 = di-2di-1di (n – d4d5 ….di-1di)^10-(i-1) (9L(n) – d4d5 ….di-1di)^10-(i-1) d1d2d3
ni-1 = di-1di (n – d3d4 ….di-1di)^10-(i-1) (9L(n) – d3d4 ….di-1di)^10-(i-1) d1d2
ni = d1 (n – d2d3 ….di-1di)^10-(i-1) (9L(n) – d2d3 ….di-1di)^10-(i-1) d1
------------------------ ____________________ ___________________________________ _______________
M(n) M(n) L(n) = M(n) – n M(n)
Для дальнейших вычислений скорректируем записи значений и составим Таблицу 4
Условимся:
n1 = n;
ni+1 = 0. Введено для удобства написания формулы при вычислении ni.
В сумме M(n) ключевую, особую, роль играют первые три слагаемых: n1, n2, n3.
Обозначим их по-особому:
n1 = F(n)
n2 = P(n)
n3 = PP(n)
Это необходимо сделать, так как одно и то же слагаемое, равное по величине, имеет разную нумерацию суммах M(n) и L(n). В сумме M(n) слагаемое n2 – второе по по порядку. А в сумме L(n) – оно первое по порядку. Поэтому обозначим n2 = P(n).
Слагаемое n3 в сумме M(n) — третье по по порядку. А в сумме L(n) – оно второе по порядку. Поэтому обозначим его как n3 = PP(n).
А слагаемое n1 = n в сумме M(n) – первое слагаемое. А в сумме L(n) его вообще нет: такое вот фантомное число. Поэтому его обозначим как F(n). И запишем: n1 = F(n).
Таблица 4
ni ni ni (i Є n) n (i Є n) ni
n1 = F(n) 10n2 + di d1d2d3,,,,,,,,,,,,di-1di ------------- d1d2d3,,,..,di-1di
n2 = P(n) 10n3 + di-1 (n -- di)^10-1 (n -- di)^10-1 d1d2d3,,,,...di-1
n3 = PP(n) 10n4 + di-2 (n – di-1di)^10-2 (9L(n) – di-1di)^10-2 d1d2d3,,..,di-2
n4 10n5 + di-3 (n – di-2di-1di)^10-3 (9L(n) – di-2di-1di)^10-3 d1d2d3,.,di-3
…. ………... ….………. ……………………... ……...
ni-2 10ni-1 + d3 (n – d4d5 ….di-1di)^10-(i-3) (9L(n) – d4d5 ….di-1di)^10-(i-3) d1d2d3
ni-1 10ni + d2 (n – d3d4 ….di-1di)^10-(i-2) (9L(n) – d3d4 ….di-1di)^10-(i-2) d1d2
ni 10ni+1 + d1 (n – d2d3 ….di-1di)^10-(i-1) (9L(n) – d2d3 ….di-1di)^10-(i-1) d1
ni+1 0
----------- ------------- ____________________ ___________________________________ _______________
M(n) M(n) M(n) L(n) = M(n) – n M(n)
Посмотрим, что получилось.
Для канонической записи сумм выпишем из таблицы значения n2 и n3:
n2 = (n -- di)^10-1
n2 = (9L(n) -- di)^10-1
n3 = (n – di-1di)^10-2 , где di Є n
n3 = (9L(n) -- di-1di) ^10-2 , где di Є 9L(n), или R(n)
Запишем приведённые в таблице значения сумм M(n) и L(n).
M(n) = n1 + n2 + n3 + n4 +…...+ ni-1 + ni , где n1 = n
Или:
M(n) = d1d2d3,,,,di-1di + d1d2d3,,,,,di-1 + d1d2d3,,,,,di-2 + d1d2d3,,,,di-3 +….+ d1d2d3 + d1d2 + d1 ,
где d1 Є n
Или:
M(n) = n + (n – di)^10-1 + (n – di-1di)^10-2 + (n – di-2di-1di)^10-3 + (n – di-3di-2di-1di)^10-4 + ….
…. + (n – d3d4 ….di-1di)^10-(i-2) + (n – d2d3 ….di-1di)^10-(i-1),
где n = d1d2d3,,,,,,,,,,,,di-1di , где di Є n
Как видно из Таблицы 4, в сумму L(n) не включено число n. То есть:
L(n) = M(n) – n
Или:
L(n) = n2 + n3 + n4 + …. + ni-1 + ni
Или:
L(n) = d1d2d3,,,,,di-1 + d1d2d3,,,,,di-2 + d1d2d3,,,,di-3 +….+ d1d2d3 + d1d2 + d1 , где d1 Є n
Или:
L(n) = (n – di)^10-1 + (n – di-1di)^10-2 + (n – di-2di-1di)^10-3 + (n – di-2di-1di)^10-3 +
+ (n – di-3di-2di-1di)^10-4 + …. + (n – d3d4 ….di-1di)^10-(i-2) + (n – d2d3 ….di-1di)^10-(i-1),
где di Є n
k k
M(n) = ; di ; 10i (11)
i = 0 i = 0
k k k
L(n) = M(n) – n = ; di ; 10i -- ; di 10i -i (22)
i – 1 i – 1 i -- 1
Чтобы не было разночтений и было понятно, о какой сумме идёт речь, сумму L(n) = M(n) -- n назовём малой суммой Парфёнова (the Porfik’s small sum).
3. Расчёт второго слагаемого n2, или P(n), суммы M(n), или же первого слагаемого суммы L(n), если известно натуральное число n = d1d2d3 ….....di-1di
Возьмём натуральное число n:
n = d1d2d3 ….....di-1di ,
Разложим его на слагаемые:
n = (n -- .di-1di ,) + .di-1di ,
n = d1d2d3 ….....di-1di -- di-1di , + di-1di..
Получим:
n = d1d2d3 ……di-2.00 + di-1di
n = d1d2d3 …….di-2 00 + 10di-1 + di
n = d1d2d3 …….di-2 00 + 9di-1 + di-1 + di (23)
n = 102d1d2d3 …….di-2 + 9di-1 + di-1 + di
Вспомним, чему равна сумма цифр S(n):
S(n) = d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 + di-1 + di
Отсюда, сумма двух последних цифр числа n будет равна:
di-1 + di = S(n) – (d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 ),
Заменяем (di-1 + di) в формуле (23):
n = d1d2d3 …….di-2 00 + 9di-1 + S(n) – (d1 + d2 + d3 +…..+ di-2)
Заменяем S(n) из формулы (4) S(n) = n – 9L(n):
n = d1 d2 d3 ….. di-200 + 9di-1 + n – 9L(n) – (d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 )
Число n в левой и в правой части взаимоуничтожаются -- и получаем уравнение:
d1 d2 d3 ….. di-200 = 9L(n) -- 9di-1 + (d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 )
Для удобства расчётов обозначим сумму из известных цифр числа n как m:
d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 = m
Запишем:
d1d2d3 ……..di-200 = 9L(n) -- 9d4 + m (24)
Вспомним цифровую запись числа n:
n = d1d2d3 …….di-2 di-1di, где di-1 и di Є n,
9L(n) = R(n) = d1d2d3 …….di-2 di-1di , где di-1 и di Є 9L(n), или R(n),
Подставим 9L(n) в формулу (24). Получим:
d1d2d3 ……..di-200 = d1d2d3 …….di-2 di-1di -- 9di-1 + m
Поменяем местами левую и правую части. Получим:
d1d2d3 …….di-2 di-1di -- 9di-1 + m = d1d2d3 ……..di-200
d1d2d3 …….di-2 di-1di -- d1d2d3 ……..di-200 + m = 9di-1
9di-1 = d1d2d3 …….di-2 di-1di -- d1d2d3 ……..di-200 + m
9di-1 = di-1di + m
Раскроем сумму m. Получим:
9di-1 = di-1di + d1 + d2 + d3 +…..+ di-2
Или:
9di-1 = d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 + di-1di
Отсюда получаем красивое уравнение для числа разряда десятков di-1 числа n.
di-1 = (d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 + di-1di ) / 9 (25)
Отметим, что di-1 по этой формуле может быть больше или равно 10. И это допустимо.
Теперь можно найти слагаемые суммы M(n).
Например, найдём слагаемое n3. Из Таблицы 4 возьмём формулу для n3:
n3 = (9L(n) -- di-1di)^10-2 , где i Є 9L(n), или R(n)
9L(n) = d1d2 …..di-2di-1di , где i Є 9L(n), или R(n)
n3 = (d1d2 …..di-2di-1di -- di-1di)^10-2
n3 = (d1d2 …..di-200 + di-1di -- di-1di)^10-2
n3 = (102d1d2 …..di-2 )^10-2
n3 = d1d2 …..di-2
Зная n3, можно найти n2 и все другие слагаемые ni.
n2 = 10n3 + di-1
n2 = 10d1d2 …..di-2 + di-1
Подставляем значение di. Получаем n2:
n2 = 10d1d2 …..di-2 + (d1 + d2 +…..+ di-2 + di-1di ) / 9 (26)
Или, при особом обозначении n2 = P(n), получим:
P(n) = 10d1d2 …..di-2 + (d1 + d2 +…..+ di-2 + di-1di ) / 9, (27)
где di Є 9L(n), или R(n)
Это вторая формула Парфёнова-Порфика.
Заметим, что:
di Є 9L(n) = di-1 Є n
Или:
di(P(n)) = di-1(F(n)
4. Расчёт цифры di разряда единиц числа n, если известно число 9L(n), или R(n)
Дано:
n = d1d2d3 ….di-1di
Или:
n = d1d2d3 ….di-10 + di
Тогда сумма цифр S(n) равна:
S(n) = d1 + d2 + d3 +….. + di-1 + di
Отсюда выразим di:
di = S(n) -- (d1 + d2 + d3 +….. + di-1 )
Воспользуемся формулой S(n) = n – 9L(n), получим:
di = n – 9L(n) -- (d1 + d2 + d3 +….. + di-1 ),
Подставляем в уравнение n = 10d1d2d3 ….di-1 + di. Получаем:
di = 10d1d2d3 ….di-1 + di – 9L(n) -- (d1 + d2 + d3 +….. + di-1 )
Число разряда единиц di в левой и правой части уравнения взаимоуничтожаются. Следовательно, значение di может быть любым от 0 до 9.
То есть:
0 ; di ; 9
Это согласуется с тем, что сумма L(n) = const при n = d1d2d3 … di , где 0 ; di ; 9.
И с тем, что для суммы L(n) цифра di разряда единиц числа n не имеет значения.
5. Примеры нахождения суммы L(n), если известно число n
Для простоты восприятия вычислений суммы L(n) рассмотрим пару примеров. Значения суммы M(n) здесь тоже укажем.
а) Пример для двухзначного числа n:
n = 46
M(n) = 46 + 4 = 50
S(n) = 4 + 6 = 10
R(n) = 46 – 10 = 36
L(n) = R(n) / 9 = 4
б) Пример для трёхзначного числа n:
n = 349
M(n) = 349 + 34 + 3 = 386
S(n) = 3 + 4 + 9 = 16
R(n) = n – S(n) = 349 – 16 = 333
L(n) = R(n) / 9 = 37
И т. д.
6. Пример нахождения P(n) и PP(n), если известна сумма L(n)
Исследуем число n = 83758, с которым мы уже хорошо знакомы:
n = 83758
S(n) = 31
L(n) = 9303
Подготовим для решения необходимые формулы:
n = 9L(n) +S(n)
n = d1d2d3d4d5
S(n) = d1 + d2 + d3 + d4 + d5
L(n) = (n – S(n)) / 9
n – S(n) = 9L(n)
Ra(n) =9L(n)
P(n) = n2
PP(n) = n3
di-1 = (d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 + di-1di ) / 9
P(n) = 10d1d2 …..di-2 + (d1 + d2 +…..+ di-2 + di-1di ) / 9
PP(n) = (9L(n) -- di-1di)^10-2 , где i Є 9L(n), или R(n)
9L(n) = d1d2 …..di-2di-1di , где i Є 9L(n), или R(n)
PP(n) = d1d2 …..di-2 , где i Є 9L(n), или R(n)
Найдём разность натурально числа и суммы цифр Ra(n) по альтернативной формуле:
Ra(n) = 9L(n) = 83727
В числах n = 83758 и 9L(n) = 83727 первые три цифры совпадают.
Обозначим числа как:
n = 837d4d5 , где d4 = 5, d5 = 8 Є n
9L(n) = Ra(n) = 837d4d5 , где d4 = 2, d5 = 7, и они Є 9L(n), или Ra(n).
Отсюда видно, что PP(n) равно:
PP(n) = 837, это d1d2d3
Теперь находим P(n):
P(n) = 10PP(n) + di-1 (28)
di-1 = (d1 + d2 + d3 +…..+ di-2 + di-1di ) / 9
d4d5 = 27
Подставляем цифры в формулу для di-1:
di-1 = (8+3+7 + 27 ) / 9 = 45 / 9 = 5
Следовательно:
P(n) = 8370 + 5
P(n) = 8375
Далее ищем число n. Для этого нужно найти di, принадлежащее числу n. Здесь число пятизначное, значит i = 5.
Но значение di. для любого i, находится в диапазоне от 0 до 9: 0 ; di ; 9. Следовательно и искомое число n = 83758 будет находиться в диапазоне от 83750 до 83759 и иметь соответствующие десять значений, d том числе и число n, равное 83758:
83750 ; n = 83758 ; 83759
На этом, задача решена.
7. Диапазон числа n, при котором сумма L(n) остаётся неизменной. График L(n) как функции f(n)
При n, оканчивающемся на di от 0 до 9, L(n) = const.
k – 1 k – 1 k – 1 k - 1
; di ; 10i ; L(n) = const ; ; di ; 10i + 9 (29)
I = 0 I = 0 I = 0 I = 0
Нарисуем график зависимости L(n) от n.
График 1
L((n) | ……….
5 | ……….
4 | ……….
3 | ……….
2 | ……….
1 |______9_____19_____29_____39_____49__________________
0 10 20 30 40 50 n
На графике шаг по оси n от точки до точки равен 1.
k
di при n = ; di10i будет иметь значение в промежутке:
I = 0
0 ; di ; 9
Например:
Если 10 ; n ; 19 , где 0 ; di ; 9, то, согласно формуле (7) L(n) = (n – S(n)) / 9, L(n) = 1
Если 20 ; n ; 29 , то L(n) = 2
………………………………….
Если 130 ; n ; 139, то L(n) = (139 – (1 + 3 + 9)) / 9 = 16
И т. д.
Малая сумма Парфёнова L(n) будет находится в диапазоне:
k – 1 k – 1 k – 1 k - 1
; di ; 10i ; L(n) ; ; di ; 10i + 9
i = 0 i = 0 i = 0 i = 0
8. Дискретность сумм M(n) и L(n) как функций
Дискретность сумм M(n) и L(n) означает, что они не могут принимать некоторые значения.
Разберём это на примере суммы M(n), что будет правомерно и для суммы L(n)/
По определению, сумма M(n) зависит от n. Разберём подробно.
Из вычислений следует, что при n = 9i и n =10i, где i = 1, 2, 3...,
M(n) на числовой оси имеет разрыв. То есть M(n) как функция имеет дискретное значение. Для наглядности составим таблицу с некоторыми значениями n и M(n).
Заметим, что для L(n) точно такое же правило.
Вспомним, чему равна сумм M(n):
M(n) = n1 + n2 +... + ni = d1d2 ...di + d1d2 ...di-1 + + di , где i Є n
И:
L(n) = n1 + n2 +... + ni = d1d2 ...di + d1d2 ...di-1 + + d1 , где i Є L(n), или R(n)/9
Составим Таблицу 5, данные для которой найдены экспериментально.
Таблица 5
Если n = ... , то M(n) = …. Следовательно,
не существует M(n) = ...
9 9 10
10 11
99 108 109, 110
100 111
999 1107 1108, 1109,
1000 1111 1110
9999 11106 11107, 11108,
10000 11111 11109, 11110
……….. ………. ……………...
и т. д и т. д. и т. д.
То есть сумма M(n) и L(n) не могут иметь значения в диапазоне:
n n
9 ^;(n – i)10i + n + 1 – i < M(n) или L(n) < 9^;(n – i)10i + n + 1
i= 0 i = 0
Это из последовательности следующего вида:
1 = 9^1 +1, 11 = 9^1 + 2, 111 = 9^12 + 3, 1111 = 9^123 + 4, 11111 = 9^1234 + 5
9n + 1, 9n + 2, 9(n
ni = ni-1^10i + 10, где i = 0, 1, 2, 3...
n n
; 10i = 9 ^;(n – i)10i + n + 1
i = 0 i = 0
9. Свойства одноцифровых натуральных чисел
а) Одноцифровые числа, по определению, состоят из одного и того же набора цифр.
б) Разность одноцифровых чисел делится на 9.
Берём два любых натуральных числа с одним и тем же набором цифр. Для чистоты эксперимента их сумма цифр не делится на 9. Числа n1 и n2. Обозначим их разность как Q:
n1 -- n2 = Q
Из альтернативной формулы натурального числа n (8) следует:
n1 = 9L(n1) + S(n1)
n2 = 9L(n2) + S(n2)
Следовательно разность натуральных чисел равна:
Q = n1 – n2 = 9L(n1) + S(n1) -- (9L(n2) + S(n2))
Раскрываем скобки:
Q = n1 – n2 = 9L(n1) + S(n1) -- 9L(n2) -- S(n2)
Т. к. набор цифр у чисел n1 и n2 одинаков, то их суммы цифр будут равны:
S(n1) = S(n2)
В уравнении эти слагаемые взаимоуничтожаются. Получаем:
Q = 9L(n1) -- 9L(n2) = 9(L(n1) -- L(n2))
Q = 9(L(n1) -- L(n2))
Отсюда:
Q / 9 = L(n1) -- L(n2) (30)
Или, если у нас Q = n1 – n2, то:
(n1 – n2 ) / 9 = L(n1) -- L(n2) (31)
Обозначим: L(n1) -- L(n2) = G
G – частное от деления разности одноцифровых чисел на 9:
G = Q / 9 (32)
Пример.
Для чистоты эксперимента возьмём два натуральных числа, некратных 9.
n1 = 326
n2 = 263
Найдём число G – частное от деления разности одноцифровых чисел на 9:
G =Q / 9
Q = n1 -- n2 = 326 – 263 = 63
Число 63 делится на 9.
G = Q / 9 = 63 / 9 = 7
G = 7
Вывод:
Формула верна. Разность одноцифровых чисел делится на 9.
Часть 2
10. Решение числового ребуса: ПАРК = ПАРФ
Вернёмся к предисловию. То есть к числовому ребусу: ABCD + ABC + AB + A = d1d2d3d4. Для наглядности заменим одну из букв: Вместо К напишем букву Ф. Получим ребус следующего вида:
ПАРФ
ПАР
ПА
П
_____________
2 0 2 4
Задача. Найти для каждой буквы соответствующую цифру.
Взглянув на ребус под новым углом, мы увидим, что это ни что иное, как сумма L(n) и четыре её слагаемых. Вспомним сумму M(n) и для наглядности составим таблицу слагаемых сумм M(n) и L(n), Таблицу 6.
Таблица 6
n1 = n ПАРФЁ 0 ; Ё = di ; 9
ПАРФ n2 = (n -- di)/10-1 ПАРФ di Є n
ПАР n3 = (n — di-1di)/10--2 ПАР i = 5
ПА n4 ПА
П n5 П
________ ________________ ________
L(n) M(n) M(n)
Запишем необходимые значения:
L(n) = 2024
ПАРФ = n2 = (n -- di)/10-1
ПАР = n3 = (n — di-1di)/10--2
ПАРФЁ = n, где Ё = di, где i Є n, и 0 ; Ё ; 9
Вспомним формулу (11) для суммы M(n):
k k
M(n) = ; di ; 10i
I = 0 I = 0
Исходя из новых данных, числовой ребус можно решить двумя способами.
Два способа решения данного числового ребуса
1-й способ
ПАРФ
ПАР
ПА
П
_____________
2 0 2 4
Для наглядности напротив буквенных обозначений поставим математические обозначения.
P(n) ПАРФ
PP(n) ПАР
n4 ПА
n5 П
___________ ____________
L(n) 2 0 2 4
1-е действие.
Находим разность натурального числа 9L(n) = Ra(n)
Подставляя значения, получим:
9^2024 = 18216
Отсюда сразу находим число PP(n), или n3. Это первые три цифры полученного произведения, а точнее, все первые цифры без двух последних, выражающихся как di-1di , где i Є 9L(n):
PP(n) = 182
Отсюда находим P(n), или n2 = 10n3 + Ф. Получим:
P(n) = 182Ф,
где 1 = П, 8 = А, 2 = Р.
Неизвестным остаётся Ф. Обозначим как: Ф = di-1.
Запишем ребус:
1 8 2 di-1
1 8 2
1 8
1
______________
2 0 2 4
2-е действие.
Цифра 4 в разряде единиц числа L(n) = 2024 относится либо к 24, либо к 14. Т. к. вся сумма слагаемых в разряде единиц не может быть больше 20, то искомое число будет равно 14.
Теперь легко находим di-1:
di-1 = 14 -- (1+8+2) = 3
То есть Ф = 3. Подставляем это значение в числовой ребус:
1 8 2 3
1 8 2
1 8
1
______________
2 0 2 4
Проверяем. Всё сходится. Задача решена.
То есть для решения числового ребуса данного вида достаточно:
1) Сумму L(n) умножить на 9.
2) Взять первые три цифры (точнее, все цифры, кроме двух последних) получившегося числа.
3) Затем из числа разряда единиц суммы L(n) вычесть сумму этих трёх первых цифр.
4) Проверить числовой ребус, сложив слагаемые суммы L(n).
2-й способ
Ребус будет решён, если найдём число P(n), оно же n2, второе число (ПАРФ) в сумме M(n).
Число P(n) можно найти по формуле:
P(n) = (n -- di) / 10
Но di-1 (i Є n) по этой формуле нельзя не найти, т. к. неизвестны ни n, ни di. Поэтому воспользуемся другой формулой, второй формулой Порфика-Парфёнова (27):
P(n) = 10d1d2 …. di-2 + (d1 + d2 + … + di –2 + di - 1di ) / 9,
где di Є 9L(n), или R(n)
Исходя из того, что:
n – S(n) = R(n) = 9L(n),
здесь:
n – S(n) = 18216
Подставляя соответствующие цифры di, получим:
P(n) = 10^182 + (1 +8 + 2 + 16) / 9 = 1820 + 27/9 = 1820 + 3 = 1823
ПАРФ = 1823, то есть:
П = 1, А = 8, Р = 2, Ф = 3
Хоть для решения не пригодилось фантомное число Ё, но всё же отметим, что:
Ё = di, где i Є n, и его значение в диапазоне: 0 ; Ё ; 9.
Подставляя вместо ПАРФ число 1823:
1 8 2 3
1 8 2
1 8
1
___________
2 0 2 4
Проверяем сумму. Всё сходится.
Ура! Задача решена. Ребус разгадан.
Отсюда следует, что с применением альтернативной формулы разности натурального числа и суммы цифр числовой ребус данного вида решается гораздо быстрей, чем обычным способом.
Примечание.
С использованием новых способов решения, подобные числовые ребусы в олимпиадные задачи включать будет не солидно. Юрий Парфёнов — Разрушитель Числовых Ребусов.
Поклон. Аплодисменты.
11. Обкатка новых формул при решении числового ребуса
Мы уже знаем, чтобы решить числовой ребус вида ABCD + ABC + AB + A = d1d2d3d4 важно вычислить значения P(n) или PP(n).
Для примера, возьмём ребус, где натуральное число n, оно же фантомное число F(n), будет восьмого порядка.
n = ПАРФЁНОВ (фантомное число F(n))
Цифру в числе n, соответствующую букве „В“ как di (i Є n), находим сразу: 0 ; В ; 9.
Теперь для наглядности составим числовой ребус:
ПАРФЁНО
ПАРФЁН
ПАРФЁ
ПАРФ
ПАР
ПА
П
______________
3 7 9 8 6 1 4
Здесь:
3798614 = L(n); L(n) = R(n) / 9.
Ищем число P(n) = P(ПАРФЁНОВ).
R(n) = 9L(n) = n – S(n) = 9^3798614 = 34 187 526
1-й способ
Находим число PP(n)
Напомним равноправные обозначения первых трёх слагаемых суммы M(n):
F(n) = n = n1
P(n) = n2
PP(n) = n3
Отметим, что PP(n) будет числом шестого порядка.
PP(n) = d1d2 …..di-2, где di Є 9L(n), или R(n)
Находим Ra(n) = 9L(n):
PP(n) = (9L(n) -- di –1di)^10-2, где di Є 9L(n), или R(n)
Подставляем значения:
PP(n) = (9^3798614 — di –1di)10-2
PP(n) = (34 187 526 – 26) 10-2
PP(n) = 341875
n = ПАРФЁНОВ (фантомное число F(n))
Цифру в числе n, соответствующую букве „В“ как di (i Є n), находим сразу: 0 ; В ; 9.
Теперь для наглядности составим числовой ребус:
ПАРФЁНО
ПАРФЁН
ПАРФЁ
ПАРФ
ПАР
ПА
П
______________
3 7 9 8 6 1 4
Здесь:
3798614 = L(n); L(n) = R(n) / 9.
Ищем число PP(n) = P(ПАРФЁНОВ),
или:
PP(n) = ПАРФЁН
В цифрах:
PP(n) = 341875
Вставляем PP(n) в ребус. Получаем все значения, кроме одной буквы „О“.
341875О
341875
34187
3418
341
34
3
________
3798614
Вычисляем букву „O”.
Последняя цифра суммы L(n) в разряде единиц равна 4. Она является составной часть следующих чисел: 14, 24, 34. Чтобы найти „О“, нужно от одного из этих чисел отнять 4. Сумма цифр слагаемых разряда единиц больше, чем 24. Значит, искомое число равно 34. Отнимаем от 34 сумму цифр разряда единиц: она равна 30. То есть S(P(n)) = 3+4+1+8+7+5 = 30).
34 -- 30 = 4
То есть:
О = 4
Подставляем значение „О“ в ребус. И проверяем решение.
3418754
341875
34187
3418
341
34
3
________
3798614
Сумма L(n) совпадает с изначальной суммой. Следовательно, PP(n) найдено верно. Числовой ребус решён.
2-й способ
Ищем сразу значение P(n), или n2, по формуле Порфика-Парфёнова (27):
P(n) = 10d1d2 …..di-2 + (d1 + d2 + … + di – 3 + di - 1di ) / 9,
где di Є 9L(n), или R(n)
Отметим, что P(n) будет числом седьмого порядка.
Повторим:
n = ПАРФЁНОВ (фантомное число F(n))
Цифру в числе n, соответствующую букве „В“ как di (i Є n), находим сразу: 0 ; В ; 9.
Теперь для наглядности составим числовой ребус:
ПАРФЁНО
ПАРФЁН
ПАРФЁ
ПАРФ
ПАР
ПА
П
______________
3 7 9 8 6 1 4
Здесь:
3798614 = L(n); L(n) = R(n) / 9.
Ищем число P(n) = P(ПАРФЁНОВ).
R(n) = 9L(n) = n – S(n) = 9^3798614 = 34 187 526
R(n) = d1d2 …. di-200 + di - 1di = 34 187 500 + 26, где di Є 9L(n), или R(n)
P(n) = 10d1d2 …. di-2 + (d1 + d2 + … + di –2 + di - 1di ) / 9,
где di Є 9L(n), или R(n)
P(n) = 10^34 187 5 + (3 + 4 + 1 + 8 + 7 + 5 + 26) / 9
= 3418750 + 6 = 3418756
Получаем:
P(n) = n2 = P(ПАРФЁНОВ) = 3418756
Вставляем значение P(n) в числовой ребус и проверяем решение.
3418756
341875
34187
3418
341
34
3
____________
3798614
Сумма L(n) совпадает с изначально заданной суммой. Следовательно, P(n) найдено верно. Числовой ребус решён.
Ура!
Выводы и заключения, результаты и перспективы
1. Введено понятие суммы M(n), “двойной суммы Парфёнова-Порфика”. Которая равна:
k k
M(n) = ; di ; 10i
I = 0 I = 0
2. Введено понятие L(n), «малой двойной суммы Парфёнова-Порфика»:
L(n) = M(n) -- n
3. Найдена альтернативная формула разности натурального числа и суммы цифр Ra(n). Названа как «первая формула Парфёнова»:
R(n) = n – S(n) – каноническая формула
Ra(n) = n – S(n) = 9L(n) -- альтернативная формула,
где 9L(n) = 0,1(n – di), где n = did2d3 … di-1di, где i Є n.
Или, Ra(n) в расширенной записи:
k – 1 k – 1
Ra(n) = 9 ; di ; 10i ,
I = 0 i = 0
где
di – порядковая цифра числа
i – порядковый номер цифры числа
k – количество цифр в числе
4. Найдена альтернативная формула натурального числа n:
na = n
na = 9L(n) + S(n) , где L(n) = M(n) – n,
где по формуле (22):
k k k
L(n) = M(n) – n = ; di ; 10i -- ; di 10i -1
i = 0 i = 0 i = 0
5. Новая, частная, запись натурального числа n:
na = 9L(n) + S(n)
Или, при расширенной записи натуральное число n запишем так:
k k k k
na = 9 (; di ; 10i -- ; di 10i -1) + ; di
i = 0 i = 0 i = 0 I = 0
6. Новая, частная, запись суммы цифр Sa(n):
Sa(n) = M(n) – 10L(n)
Или, расширенная запись Sa(n):
k k k – 1 k - 1
Sa(n) = ; di ; 10i -- 10 ; di ; 10i
i = 0 i = 0 i = 0 i = 0
7. Найдена формула для расчёта второго слагаемого n2, или P(n), в сумме M(n), сумме Парфёнова. Названа как «вторая формула Парфёнова» (27):
P(n) = 10d1d2 …. di-2 + (d1 + d2 + … + di –2 + di - 1di ) / 9,
где di Є 9L(n), или R(n)
8. Сумма M(n) и L(n), двойная сумма Парфёнова и малая сумма Парфёнова, как функции имеют дискретные значения.
9. Разность одноцифровых чисел делится на 9.
10. Найдено новое решение числового ребуса вида: ABCD + ABC + AB + A = d1d2d3d4 и ребусов, ему подобных.
11. Юрий Парфёнов — Разрушитель Числовых Ребусов, или Сокрушитель, или Гроза
12. Возможно есть ещё области науки и жизни, где возникает необходимо применения альтернативной формулы разности натурального числа и суммы цифр Ra(n):
n – S(n) = 9L(n)
Ссылки и литература
Все данные взяты из открытых источников и программ по математике школьного курса старших классов и первых курсов университетов.
Фотосера
© Copyright: Юрий Парфенов-Невский, 2014
Свидетельство о публикации №214053001577
Свидетельство о публикации №214053001577
Рецензии