Отечественная война 1812 года, математические моде

Парадокс! Книгу смотрело несколько тысяч человек, но никто не обратился за полным вариантом. Полный вариант книги с картами, схемами и формулами можно получить у автора бесплатно.Необходимо дать свою почту в отзывах на книгу на сайте Проза.ру.
Ляхов А. Ф.


ОТЕЧЕСТВЕННАЯ  ВОЙНА
1812  ГОДА,
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ










Нижний Новгород 2004 г.






Ляхов А. Ф.



ОТЕЧЕСТВЕННАЯ  ВОЙНА  1812  ГОДА,
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ


Обращение к кадетам Сухопутного кадетского корпуса.
«Надеюсь, что не погубят они в праздности  драгоценного времени в классах, но приобретут знания, нужные благородному человеку во всяком состоянии; особливо в математике, теорию к военной практике относительной».
М.И. Кутузов Сборник документов, т.I,М.1954г. с.358



















Нижний Новгород 2004 г.





Оглавление

Предисловие …………………………………………………………….………….…3
Глава 1. Фальсификации истории Отечественной войны 1812 года …………..….6
Глава 2. Распределение сил перед компанией 1812 года …………………………12
Глава 3. Бородинское сражение………………………………………………….….19
Глава 4. Поиск и математическое исследование оптимального
расположения резерва русской армии на Бородинском поле…………..37
Глава 5. Ланчестерская модель описания боя больших группировок….………..50
Глава 6. Анализ соотношения русских и французских потерь в
Бородинском сражении с помощью ланчестерской модели боя………..57
Глава 7. Математическая формализация вопросов
военной тактики и стратегии……………………………………………....61
Глава 8. Рефлексивное управление в Бородинском сражении……………….…....74
Заключение …………………………………………………………………………...83
Приложение 1. Элементарные основы теории игр………………………………....84
Приложение 2. Программа численного анализа баллистики пушечного ядра …..98
Литература ………………………………………………………………………........99




































Посвящается памяти моего отца
Ляхова Федора Артемьевича.

24 июня 1941 году, он командир взвода 45 мм орудий принял  первый бой под Новой Вилейкой, с боями отступал на Оршу, Лиду, Борисов, Ельню.
Его рассказы о тяжелейших боях, маршрутах отступления под постоянным давлением превосходящих фашистских сил, о первых проблесках будущей победы, наполнили для меня историю первой Отечественной войны живым, современным содержанием.





































Предисловие

Негативные процессы, развивающиеся в мире, позволяют говорить о глобальном кризисе, переживаемым всем человечеством. Мир сотрясается в очередной кровавой борьбе за передел сфер влияния, за сырье. Сворачиваются научные программы: освоения космоса, атома, уже утрачено много передовых технологий в машиностроении, в химии ... . Вновь астрономии противопоставляется астрология, химии ; алхимия, математике ; нумерология, накатывают мутные волны суеверий и мистицизма. Возродились различные античеловеческие теории об избранности народов и отдельных лиц. В искусстве, литературе превозносится антигуманные, низменные идеалы.
Этот кризис особенно резко и ярко проявляется в России. Разрушаются государственные институты: армия, система образования, здравоохранение…. Разрушаются нравственные, экономические, политические основы существования общества.
Все это сопровождается очередным исправлением истории. Вместо осмысления и анализа происходящего вновь выдвинут ложный, сотни раз опровергнутый жизнью тезис: «Тот, кто владеет настоящим, владеет прошлым, а кто владеет прошлым, тот владеет будущим». Создавая и развивая различные пропагандистские мифы, правящая элита сама попадает по их влияние, и чем больше масс разделяют мифологические заблуждения, тем труднее элите вырваться из мира иллюзий.
Россия проиграла «холодную войну» и фактически платит контрибуцию за поражение. Множество различных деструктивных сил стремится её уничтожить, надеясь на реванш за всю тысячелетнюю историю. Они полагают, что новые технологии борьбы помогут им сломить духовную силу русского народа и победить. Уничтожается память о героических военных и трудовых подвигах. Высокие нравственные поступки осмеиваются и оплевываются, предательство оправдывается и превозносится. Примером может служить кампания по проталкиванию преступных книг Суворова (Резуна), Бунича, оправдание Власова, белогвардейского движения т.д. Пытаясь решать свои сиюминутные проблемы, не думая о будущем своей страны и своего народа, правящая элита активно включилась в этот процесс. На это брошены большие финансовые средства, именно здесь одна из главных точек приложения новых информационных технологий.
В ответ на эти процессы фальсификации, в России родился новый нестандартный подход к истории, который состоит в том, что на основе современных математических методов создаются новые более объективные подходы и методы исследования исторических проблем1.
Широкое внедрение количественного анализа в исторические исследования приведет к тому, что субъективные описания событий перестанут быть предметом  истории, превратятся в некоторую политическую, общефилософскую и мемуарную литературу.
Предлагаемая работа посвящена  проблемам Отечественной войны 1812 года. Искажение причин начала этой войны, ее хода и итогов, важная компонента современного искажения истории России.
Изучая литературу, относящуюся к Отечественной войне 1812 года можно легко найти много материалов о том, что кто-то что-то сказал, кто носил какой мундир, кто с кем интриговал. Зато нет данных о возможных скоростях перемещения, например, пехотного полка, дивизии, корпуса, хотя очевидно, что скорость перемещения у них разная. Перемещение по полю войсковых подразделений сопровождается наименованием частей и именами генералов, но не их количественным составом. В исторической литературе двести лет продолжается идеологический спор о потерях в кампании 1812 года, но автору не удалось найти данных о материальных потерях в Бородинском сражении (потери артиллерии, транспорта, инженерного, санитарного оборудования). В настоящее время собрано большое количество внешней поверхностной вторичной информации, не затрагивающей сущности явления. Дальнейшая обработка этой информации затруднена ее разнородностью и хаотичностью.
Для того, чтобы применить современные информационные технологии к обработке исторической информации, необходимо пересмотреть сами задачи и цели исторического поиска. На первый план должны выдвинуться задачи поиска и построения математических моделей исторических явлений, содержательный анализ которых позволит получить качественно новую, скрытую в исходных данных историческую информацию.
Предложенная работа носит пионерский характер, поэтому автор ставил перед собой цель показать возможность применения как можно большего числа различных математических теорий для решения конкретных исторических проблем. Каждая из рассмотренных задач может быть усложнена за счет усложнения модели и уточнении количественных параметров, но автор сознательно отказался от этого пути. Хотелось бы, чтобы историки, имеющие, как правило, небольшую математическую подготовку, при определенном желании и усилиях, сумели бы разобраться в предлагаемых математических моделях и подходах.
Данная книга будет полезна для лиц, интересующихся и изучающих теорию военного дела. Современная подготовка  офицеров к будущей деятельности сводится, как правило, к  изучению боевой техники2. Однако опыт всех войн показывает, что даже технические тыловые подразделения могут стать участниками боевых столкновений с пехотными подразделениями противника3.   

















Глава 1. Фальсификации истории Отечественной войны 1812 года

Со времени Бородинского сражения прошло почти двести лет, но  его значение и результаты обсуждаются историками и широкой общественностью. Причина этого кроется в том, что Бородинское сражение является одним из поворотных пунктов в истории Западной Европы. Именно это сражение является точкой отсчета начала краха Наполеоновской империи и общеевропейского похода на Россию. После уничтожения "Великой армии" в 1812 году Россия заявила о себе как о европейской сверхдержаве. В течение почти полувека все основные политические вопросы внутри европейской жизни решались с учетом мнения России.
Войну 1812 года по полному праву можно считать первой «мировой войной». Она отличалась от предыдущих войн гигантской концентрацией людских и технических средств. В войне приняли участие практически все европейские страны. Впервые в войне «между государями»  приняли активное участие народные массы. Подобные явления стали доминирующими только в 20 веке.
Победа в войне 1812 года отразила превосходство не только вооруженных сил России, но и техническое, и культурное превосходство над объединенными силами Европы. Русская промышленность, сельское хозяйство сумели обеспечить армию всем необходимым для борьбы. Количественно это выражалось во многих фактах: по насыщенности артиллерией русская армия превосходила французскую армию, тыловые службы были лучше организованы и оснащены. Нравственная победа русского народа над полчищами захватчиков не вызывает сомнения.
Попытки исказить эти факты начались с наполеоновских победных реляций, которые в союзных государствах принимались как абсолютная истина. Ложь достигала абсурдных размеров: русская армия вышла к границам Литвы и Пруссии, а в Вильно праздновали победу наполеоновской армии4.
Процесс фальсификации и искажения хода событий войны 1812 года продолжал развиваться и в послевоенные годы: это труды А. Коленкура, К. Клаузевица, Г. Дельбрука [2,3,4,5] и т.д. В основу своих умозаключений они кладут субъективную выборку воспоминаний отдельных участников событий, причем, как правило, из французской армии, или пытаются вообще игнорировать поражение Наполеона в России. Так, Г. Дельбрук в своем фундаментальном четырехтомном труде «История военного искусства» походу Наполеона в Россию отводит полстраницы (т.4,стр.320 [4]). В его трактовке Наполеон выиграл все сражения в России, занял Москву. На вопрос: куда исчезла «Великая армия»? Он дает абсурдный ответ ; большинство солдат дезертировало и вернулось в Европу. Разгром и практическое уничтожение французской армии на Березине в западной историографии преподносится как стратегическая победа Наполеона5. Следует заметить, что и один из последних классиков военной мысли Б. Лиддел Гарт придерживается такой же тактики при описании Наполеоновских войн, т.е. минимум информации о походе Наполеона в Россию [48]. Предвзятость этих исследований подчеркивает и такой факт: они полностью замалчивают роль русской армии в разгроме Наполеона в 1813, 1814 году и взятие русской армией Парижа.
В России в это время наряду с прозападным направлением развивалось другое направление изображения хода событий, основанное на документах российской армии и свидетельствах русских участников [7,8]. Трудами ученых этого направления вводились в оборот документы из государственных архивов и архивов русской армии.
После революции 1917 года в силу государственной политики, направленной на зачеркивание всех достижений дореволюционной России, развивалось и получало поддержку именно прозападное направление. Только в тридцатых годах были сделаны шаги к пересмотру такого подхода и к выработке истинной картины событий.
 Последними крупными работами прозападного направления того времени в отечественной историографии можно считать труды Е.В. Тарле с неуемным восхищением «военным гением» Наполеона6 [9,10]. Следует заметить, что его взгляды колебались вместе с идеологическими установками руководства страны.
Труды историков патриотического направления начали воссоздание картины Отечественной войны 1812 года ; это труды Л.Г. Бескровного, П. А. Жилина [12,13] и т.д. В 1954 году было введено в активный оборот большое количество документов ( Вышел четырех томный сборник документов посвященный М.И. Кутузову [14,15,16]), которые, казалось бы, однозначно ответили на ряд спорных вопросов и показали полную несостоятельность фальсификаторов7.
 К сожалению, историки, занимавшиеся разработкой этих документов, вынуждены были находиться в позиции стороны, оспаривающей фальсифицированные положения, которые получили распространение в исторической литературе на западе и в средствах массовой информации. Западные историки просто игнорируют русскую документальную базу. В большинстве их работ полностью отсутствуют ссылки не только на русские архивы, но даже и на опубликованные документы.
В настоящее время наблюдается ситуация, подобная периоду 20-х годов. С изменением политических установок изменился и подход большинства «советских» историков к проблемам Отечественной войны 1812 года. Критикуя идеологические установки недалекого прошлого нашей страны, историки практически зачеркивают все исследования предыдущих поколений. Вновь вытащены на свет и приняты как истинные старые прозападные теории. Это нашло отражение и в школьных учебниках, и во многих популярных историко-публицистических изданиях [17-24], во множественном переиздании старых работ соответствующего содержания. Так, в 1992, а затем 2002 году вышли специальные номера журнала «Родина» [17,18] посвященные созданию новой «старой» картины изображения войны 1812 года.
Вышедшая многотомная «Всемирная история» [22] и уже неоднократно переизданная,  в которой также предвзято изображается период войны 1812 года. Войне, которая явилась переломной гранью целой эпохи, отводится три страницы. Полностью отрицается роль русского народа, русской армии, русских полководцев. Кутузов представлен в сатирическом виде. Все лавры победы отданы прусскому патриоту Штейну8 и английскому дипломату, а по совместительству шпиону Вильсону.
Интересно отметить, что существует большое число «исследователей», которые представляют фактическую базу истории в виде некоторого неполного набора пазлов, из которых можно сложить одну картинку, а если попросят, то и другую. Причем в запасе всегда можно найти небольшой штришок, позволяющий построить обывательскую сенсацию. Так, в работе [21]; автор, известный историк, коренным образом пересматривает свои взгляды на деятельность М.И.Кутузова, которые были отражены в работе [20]. Если ранее М.И. Кутузов главный творец победы России в Отечественной войне 1812 года, то в работе [21, стр.199,200] приводится «уничтожающая» критика действий полководца.
Для настоящего времени характерно то, что на западе работы в направлении  фальсификации истории активно продолжаются [6,25;28]. Примером может служить монография английского ученого Чарльза Дж. Исдейла «Наполеоновские войны»[28]. Работа представляет довольно объемный труд ; 544 страницы. Походу Наполеона в Россию отводится 12 страниц (378-390 стр.). Автор отрицает  народный характер войны 1812 года. Повторяет за наполеоновской пропагандой, что русская армия сама уничтожала русские города и деревни. Но далее автор не объясняет, почему крестьянские партизанские отряды, существование которых он все-таки признает, нападали на французскую армию, а не на русскую. Заметим, что в Англии эта книга вышла в 1995 году, а у нас в 1997 году.
Качественно новый элемент в распространении искаженных исторических знаний возник с появлением современных электронных средств распространения информации: телевидения, компьютеров, международных коммуникационных сетей типа «Интернет».
В 1997 году была создана компьютерная игра "Наполеон в России" [30]. Эта игра позволяет моделировать различные варианты Бородинского сражения. Не вдаваясь в подробности описания игры, отметим гигантскую работу ее составителей9.
К созданию игры привлекался, по-видимому, целый штат профессиональных историков. В игре приводится расположение русских и французских войск на Бородинском поле, причем указывается расположение даже отдельных рот и батарей. Указывается наименование частей, их списочный состав и командиры соответствующих подразделений. Помимо обычных атрибутов таких игр, в комплект игры входит обширная историческая справка, включающая в себя статьи о родах войск и ходе событий. В справке прилагается библиография, содержащая 44 названия только западных историков.
Содержание игры, как и прилагаемая историческая справка, носит тенденциозный прозападный характер. К особенностям этой работы можно отнести то, что в своих «глубокомысленных» построениях она охватывает даже предыдущие периоды истории России, причем упор делают на эпизодах, когда русская армия терпела поражение. Так, при описании русской артиллерии и говоря о ее создании, авторы напоминают о том, что Петр I после поражения под Нарвой приказал изъять часть медных колоколов у монастырей. Отсюда ими делается вывод, что героизм русских солдат при защите артиллерии связан с ее сакральным значением.
Одна из основных причин фальсификации истории связана с тем, что история очень тесно связана с политикой и всегда служила инструментом управления обществом. Надо заметить, что фальсификации способствуют «современные» морально устаревшие методы исторических исследований. Эти методы возникли и развивались в девятнадцатом веке и носят, в основном, описательный характер. Получаемые с их помощью знания совершенно не удовлетворительны с точки зрения их объективности и достоверности.
Исторические события, как правило, многогранны, и создание полного исчерпывающего интегрального описания возможно только большим разносторонним коллективом историков, специализирующихся по самым различным аспектам человеческой жизнедеятельности: по истории нравов, религии, экономике, технике и т. д. 
Примером такого фундаментального труда может служить история «История Великой отечественной войны Советского Союза 1941-1945» в шести томах  или академическое издание «Всемирная история» в 13 томах.
Но до настоящего времени существуют представления о том, что история может быть изложена в одной книге, что любое историческое явление можно объяснить простым языком общения.
Практически во всех областях человеческой деятельности произошла глубокая специализация. Вы не найдете ни одной книги, кроме популярной литературы, где бы объяснялось как устроен и летает самолет, но существуют сотни, если не тысячи томов по аэродинамике, по прочности крыла, фюзеляжа, сотни томов по двигателям. Достижения современной медицины во многом оказались возможными благодаря узкой специализации. В современной экономике так же произошла специализация по видам деятельности: банковская деятельность, страхование и т.д. Для того чтобы только освоить язык, на котором изложены основные положения этих теорий, требуется специальная подготовка.
По-видимому, и в истории должен произойти подобный переход. Квалифицированно изучать какие-то исторические экономические закономерности может человек, обладающий наряду с исторической подготовкой соответствующей экономической подготовкой.
Историк, проводящий сравнение танков Т-34 и «Пантеры», должен иметь техническое образование и не только восторгаться качеством техники, но дать исчерпывающее, квалифицированное объяснение, с чем связано то или иное конструктивное изменение. Так, отсутствие качественной брони толкало немецких конструкторов на увеличение ее толщины, что приводило, соответственно, к изменению всей конструкции танков и было одним из факторов, превративших немецкие танки из наступательного оружия в оружие обороны.
В настоящее время один из самых распространенных методов исследования сводится к анализу и сравнению различных документальных источников: свидетельств очевидцев, воспоминаний, документов и т.д. При сравнительном анализе указывается на противоречие одних документов другим. Проводятся попытки обвинить кого-то в фальсификациях, недобросовестности, даются моральные, этические оценки лицам. Все это действо очень напоминает уголовный процесс. По-видимому, это и есть «суд Истории».
 Однако следует заметить, что в настоящем уголовном процессе всегда присутствует несколько заинтересованных сторон, некоторый свод законов и норм, обвинитель, обвиняемый, защита, и, наконец, группа людей компетентных принимать решение о наличии состава преступления или его отсутствии.  Историки же пытаются выступать сразу в лице либо обвинителя, либо защитника и обязательно в лице судьи.
Естественно, такой подход малопродуктивен и порой приводит к самым абсурдным результатам.
Одна из основных задач истории, как не парадоксально это прозвучит ; это предсказание будущего.
Историк, отбирая те или иные факты из множества исторических фактов, строит некоторую теорию, объясняющую связь этих фактов, а затем экстраполирует полученную  зависимость в будущее или прошлое10.
Очевидно, что если он выберет другой набор фактов, то получит другие зависимости и соответственно, другую историческую картину, что мы и наблюдаем при описании одних и тех же событий историками, принадлежащим разным идеологическим направлениям.
Но, если оставаться на естественнонаучных позициях, то есть верить в то, что произошедшее событие не меняется из-за того, что мы о нем знаем и говорим, то надо признать существование некоторого объективного исторического процесса.
Если вчера был дождь, а мы убедим всех и сами поверим в то, что была ясная погода, то мы не сможем предсказать появления большого количества луж на дороге, и, что еще хуже, будем мчаться со скоростью, допустимой только на сухом асфальте.
Наличие и величина погрешности экстраполяции, (т.е. отклонение предсказываемого развития событий от наблюдаемых) позволяет объективно судить о качестве предложенного описания, сравнивать различные теоретические модели и реальные процессы. Величина допустимой погрешности определяется, как правило, соответствующей научной культурой и в обычных оценках должна быть мала11. В качестве меры такой погрешности должны использоваться не качественные, а  количественные характеристики процессов.
В работах Ковальченко А.Д. [30,31] сформулированы основные принципы и методы исторического исследования, но до настоящего времени в истории не введена классификация имеющихся документов на предмет их качества и приоритетности. Например, нельзя основываться как на абсолютно истинном документальном описании  Бородинского сражения на свидетельствах человека, принявшего участие в этом бою. Помимо того, что этот человек находился в психологическом стрессе, связанным с угрозами для жизни, гибелью близко расположенных людей, он мог видеть события и как-то фиксировать их только вблизи от себя. Воспоминания  он пишет спустя достаточно большой промежуток времени. В них он  включает свое видение событий в момент написания своих мемуаров. Следует заметить также, что, начиная записывать свои воспоминания, человек преследует уже сформулированные им некоторые цели. В то же время историческая ценность, например, документа под № 179, опубликованного в [15] на странице 147, «1812г. августа 25. ; Рапорт о числе войск 1-й западной армии» не подлежит сомнению. Документы такого рода являлись секретными в свое время и были предназначены для внутреннего пользования. Искажение каких-то данных грозила соответствующим наказанием.
Историки считают возможным, основываясь на субъективных свидетельствах, создавать свои теоретические построения, спорить о достоверности тех или иных свидетельств, на основании их делать далеко идущие выводы. Примеры таких споров можно найти практически в любой достаточно объемной исторической работе. В одной из статей специального номера журнала Родина [17] обсуждается время первой атаки на батарею Раевского, а затем эта же работа повторена в номере, вышедшем через десять лет [18] и в книге [19]. Авторы цитируют свидетельства многих участников сражения с обеих сторон, приводят время с точностью до минут. В этом случае остается только выяснить вопрос, как участники сражения с русской и французской стороны сверяли часы перед боем.
Однако цель этих исследований выявляется в последней фразе, повторенной, во всех работах: «У Кутузова были веские основания к тому, чтобы разместить войска на позиции так, как он их разместил. Проверить правильность своих расчетов он смог только в ходе сражения. Те, кто упрекал Кутузова после битвы, забывали о том, что полководец, как и любой человек, имеет право на ошибку». Ради этой антикутузовской, антирусской фразы и проводится все псевдоисторическое исследование.
В нашей работе показывается, что решение М.И.Кутузова о размещении войск на позиции было близко к оптимальному решению при условии, что в качестве критерия оптимальности выбраны условия минимальности потерь при отражении атак Наполеона. И этот вывод ни как не связан с тем, кто что сказал и что подумал.
Столь же надуманная проблема, вызывающая ожесточенные споры, связана с учетом количества сил участвовавших в сражении.
 Один историк приводит одни цифры, другой приводит другие, причем оба могут ссылаться на один и тот же документ. Просто один не учитывает нестроевых солдат, другой не учитывает больных, и т.д. В работе [32]  показывается, что до 10% списочного состава армии может находиться вне ее, например, в различных командировках, т.е. погрешность измерения количественного состава достаточно большой армии может достигать 10%.
Стремление историков получить абсолютно точные количественные соотношения связано с перенесением бытовых представлений о том,  что два человека сильнее, чем один, на большие массы людей. Они полагают, что 110 или 120 человек сильнее и победят 100 человек, но это уже далеко не так. Поэтому все многочисленные споры о том была ли французская армия 135 тыс. чел. (строевые солдаты) или 145 тыс. человек, а русская армия 120 тыс. человек или 135 тыс. человек, с точки зрения анализа хода Бородинского сражения не имеют ни какого значения. Все эти расхождения лежат в области погрешности измерения и не превышают 10%. 
Само исследование Бородинского сражения сводится историками, как правило, к выработке некоторого своего взгляда на прошедшее событие и к выборочному цитированию документов, воспоминаний свидетелей, подтверждающих этот взгляд.  Причем, поскольку в этом событии участвовало очень много людей с той и другой стороны, и они оставили очень много своих личных воспоминаний, то историки всегда могут найти подкрепление своих самых фантастических теорий.
Выход из этой тупиковой ситуации видится в создании новых методов исследования исторических явлений с привлечением современных информационных технологий.
Потребность в новых исторических методах возникла давно и подготовка к их освоению так же велась историками: так, в [30] сформулированы основные требования к математическим моделям в истории: «Математическая модель должна давать возможность получить новую, т.е. непосредственно не выраженную в исходных данных информацию об исследуемых явлениях и процессах. Содержательный анализ этой информации основанный на сущностно-содержательном подходе и будет давать новые знания об исследуемых явлениях и процессах.»
До последнего времени не удавалось формализовать и математизировать проблемы истории. В связи с появлением новой вычислительной техники академиком Моисеевым Н.Н. в семидесятых годах были предприняты попытки моделировать исторические процессы [33], которые с интересом были встречены специалистами-историками [34].
Появление в последние годы качественно новых быстродействующих компьютеров, способных обрабатывать большие информационные массивы, позволило по-новому ставить и решать некоторые проблемы истории.
Группой математиков под руководством Фоменко А.Т. был проведен анализ даты создания звездного каталога Птолемея, содержащего описание более тысячи звезд [35,36]. Эта работа расколола историческую общественность на два непримиримых лагеря. Не вдаваясь в содержательный спор, следует признать, что выводы из работ А.Т. Фоменко не могут быть опровергнуты старыми историческими методами. По-видимому, даже противники Фоменко согласятся с тем, что предлагаемые им математические методы анализа имеют право на существование и могут быть очень полезны.
Предпринимаются успешные попытки, анализа достоверности и значимости исторических документов с помощью методов формальной логики [37].
Другая возможность получения объективных оценок связана с использованием возможностей моделирования исторических событий на компьютере и использование математической теории игр.
Заметим, что в военном деле всегда широко применялись различные способы моделирования. Первыми примерами натурного военного моделирования могут служить «потешные баталии» Петра I-го, подготовка штурма Измаила великим русским полководцем А. В. Суворовым. Как перед Первой мировой войной, так и перед Второй мировой войной, во всех генеральных штабах будущих участников этих войн прошли командно-штабные учения [38]. Причем в штабной игре перед началом Великой Отечественной войны был достаточно точно смоделирован ее начальный этап.
В настоящее время все проводимые и планируемые военные операции неоднократно проигрываются на компьютерных моделях. Это связано с тем, что компьютерные модели позволяют рассмотреть много различных сценариев развития боевых действий и выбрать наиболее приемлемый оптимальный вариант действий.
Компьютерное и математическое моделирование позволяет прогнозировать развитие боевой ситуации, оценивать эффективность различных образцов вооружения, правильность действия командования, проводить  обучение и подготовку командных кадров [39-42].
Возникает вполне естественный вопрос, а нельзя ли использовать моделирование для поиска оптимального поведения противоборствующих сторон в исторических событиях,   а затем при оценке управления теми или иными историческими лицами исходить из близости их действий и результатов к оптимальным.

Глава 2. Распределение сил перед компанией 1812 года

«Мы долго молча отступали,
Досадно было, боя ждали…»
М.Ю. Лермонтов «Бородино».

Историки, описывая начало войны 1812 года, как правило, перечисляют состав «Великой армии» и обсуждают стратегический план Наполеона выиграть войну, дав одно генеральное сражение. О целях войны говорится гораздо меньше, хотя именно они определяли выбор стратегии. Наполеон предполагал провести ограниченную военную компанию, которая ослабила бы Россию, позволила бы ужесточить блокаду Англии, укрепила бы созданные им европейские союзы. Для этого, как ему казалось, было достаточно разгромить русскую армию в одном, двух сражениях вблизи западных границ России, на территории Польши и Литвы.
Возникает вопрос, зачем для решения ограниченной задачи, русская армия не превышала 250 тысяч человек,  надо было создавать «Великую Армию»?
Наполеон чувствовал политическую неустойчивость созданных им союзов. Австрия, Пруссия в любой момент могли вновь стать его противниками. В Европе были мобилизованы и подготовлены к боевым действиям большие армии. Необходимо было найти им применение, указать  общего врага.
Несоответствие начальной цели и сил, привлекаемых для ее достижения, заставило увеличить количество направлений наступления (Наступление велось по трем направлениям). При этом Наполеон оставался под гипнозом своих стратегических представлений связанных с командованием одной армией.
Управление гигантской армий на больших пространствах требовало с одной стороны большой самостоятельности в решениях командующих отдельных армий, с другой стороны высокой степени согласованности их действий. Как показала война 1812 года и последующие наполеоновские войны, Наполеон и его маршалы оказались неспособны, решить эту задачу. Постоянная запаздывания в информации, несогласованность действий, отсутствие должной дисциплины,  неумение добывать и использовать информацию о противнике,  ; все это ярко проявилось в войне 1812 года. Только, после Смоленска Наполеон перешел к знакомым ему методам руководства, но даже существенно уменьшившаяся его армия была  вытянута в одну плохо управляемую колонну.
Если у Наполеона и существовал какой-то детальный план развития наступления в России, то он был полностью оставлен впервые же недели войны.
Французское командование не имело верного представления о силах русской армии и ее расположении. Это привело к тому, что на южном фланге сил было совершенно недостаточно и корпус Шварценберга, потерпел поражение от армии Тормасова. Не предполагалась встреча с русскими укрепленными крепостями, в «Великой армии» отсутствовали осадные орудия и снаряжение. Крепость Бобруйск постоянно угрожала основной коммуникации наполеоновской армии и выдержала четырехмесячную осаду французских войск12
 Отсутствие информации об армии Багратиона и ее передвижениях, не согласованность действий маршалов Наполеона не позволили французам осуществить разгром русской армии по частям.
 На северо-западном направлении выделенных сил также было недостаточно для решения поставленных задач. Войска маршала Удино в первых же сражениях потерпели поражение и отказались от активных действий.
Показателем несостоятельности принятого плана является то, что Наполеон был вынужден принимать кардинальные решения по изменению плана компании при остром временном дефиците и недостатке информации: это неопределенная задержка в Вильно, в  Витебске, задержка в Смоленске, стояние в Москве. Войска в это время находились в состоянии полной неопределенности, даже генералитет не представлял, как будут развиваться события, куда будет двигаться армия, где главные силы русских.
Интересным показателем непонимания характера начавшейся компании является самое первое воззвание Наполеона, в котором он и его штаб, не представляя того, что началась  война за Россию, заявляют: «Солдаты! Вторая Польская война началась...»(Наполеоновский бюллетень, Среда 24 июня 1812г.).
При планировании и подготовке вторжения были допущены ряд фатальных ошибок  связанных с боевым обеспечением и продовольственным снабжением армии. Одна из главных ошибок Наполеона состояла в том, что он, опираясь на свой предыдущий опыт, полагал,  что его армию должно кормить население побежденной страны. Так, в оккупированных российских губерниях предполагалось реквизировать 600000 ц. зерна, 60000 голов скота, 1248000 овец и т.д. (стр.127 [12]). Этот принцип достаточно хорошо действовал в Европе, но в России он не сработал. Наполеон не учел несколько фактов.
Первое, свободолюбие и независимость Русского народа. Население отказывалось от любого сотрудничества с оккупантами. Коленкур [2] в своих мемуарах постоянно жалуется на отсутствие проводников, на невозможность организовать какие-то правильные реквизиционные мероприятия. Добыча провианта сводилась к разбойным налетам на деревни, с вытекающими отсюда эксцессами, убийствами, насилием, поджогами, грабежами. Крестьяне платили захватчикам тем же. Пленных в этой народной войне не было. Все соболезнования наполеоновским разбойничьим бандам звучат кощунственно по отношению к их жертвам.
Второе, мобилизационные возможности Русского правительства, сумевшего организовать народное ополчение и массовые эвакуации населения городов. Ярким примером может служить Смоленск, Москва [46] (из Москвы было эвакуировано около 260 тыс. человек стр.180 [10]), когда практически все население этих городов было эвакуировано. У большинства читателей, под влиянием разных пропагандистских теорий, существует представление о том, что это был стихийный исход населения. Это грубое искажение фактов. Высокая мобилизационная готовность русского народа оказывать врагу всяческое сопротивление позволило организовать и провести эвакуацию. Существует огромное множество документов, говорящих о планировании эвакуации раненых и населения. Примерами таких документов служат документы №162, 165, 205 и т.д., приведенные в [15]13.
Заметим, что примером гибельности стихийного отхода больших масс может служить отход Наполеоновской армии. На французских складах в Смоленске, Минске, в Вильно имелись достаточные запасы продовольствия [2,6]. Неорганизованная первая волна отступающей армии громила эти склады, и когда подходили основные силы, ни о каком правильном снабжении не могло быть и речи.      
Третье, плотность населения России даже в западных областях значительно меньше плотности населения в Европе. Следовательно, даже громадные по площади захваченные  территории в принципе не могли обеспечить продовольствием «Великую армию».
Четвертая принципиальная ошибка планирования связана, с тем, что количественное изменение армии привело к необходимости качественно нового подхода к ее снабжению. Требовалось создание новой структуры и организации снабжения армии продовольствием. До этого армии, которыми командовал  Наполеон в Европе, были не более 150 ; 200 тыс. человек и действовали они, не удаляясь от баз снабжения. Попытка решения проблемы транспорта с помощью создания сверхтяжелых транспортных фур, выглядит анекдотично. Эти фуры требовали специальных дорог, которых конечно в России не было14.
Продвигаясь в глубь России, Наполеон вынужден был распылять свои силы, обеспечивая прикрытие флангов. Французская армия несла боевые потери, сражаясь с русскими отступающими войсками и так называемые небоевые потери (больные, дезертиры и т.д.). В течение нескольких месяцев почти ежедневно приходилось проходить несколько десятков километров с полной выкладкой. Даже в мирное время такие походы приводят к тому, что потери больными и отставшими могут достигать  десятков процентов от начального числа вышедших в поход соединений. Этот факт хорошо известен всем военным, и при правильном планировании должен был учитываться командованием.
Заметим, что аналогичные небоевые потери имели место и в Русской армии. Так, за все время войны небоевые потери составили около 170 тыс. человек и превысили боевые потери ; 129 тыс. человек [32].
Россия начала подготовку к оборонительной войне в 1810 году. На юго-западном направлении были восстановлены и построены новые оборонительные сооружения вокруг Киева, построена крепость в Бобруйске, на западном направлении были возведены укрепления возле Борисова, заложен Дрисский лагерь, на северо-западном направлении восстановлены оборонительные сооружения Риги, крепости Динамида и Динабург ( стр.103 [43]).
Перед войной были созданы армейские базы снабжения. В западных губерниях были сосредоточенны гигантские запасы продовольствия 625855 четвертей муки, 58446 четвертей крупы, 774080 четвертей овса. (Управление генерала интенданта Канкарина. Генеральный сокращенный отчет по армии. Варшава, 1815, стр.48 [44]). Конечно, в стратегических планах русского командования не предполагалось отступления до Москвы, поэтому часть складов была утеряна при отступлении. Мобилизация промышленности и сельского хозяйства позволили обеспечить армию необходимым вооружением и продовольствием. (Русская промышленность произвела 163тыс. тонн чугуна и 176 тыс. ружей, французская промышленность - 99тыс. тонн и 120 тыс. ружей [44] стр.295-296).
Начальное расположение русских армий естественно определялось географией России. Каждая из армий прикрывала одно из стратегических направлений [44]. На юге России наиболее вероятным противником являлась турецкая армия. Это направление прикрывала Дунайская армия (54,5 тыс. человек). На возможном направлении нападения войск Австрийской империи была расположена 3 западная армия (45,8тыс.). Киевское направление и юго-западное направление прикрывала армия Багратиона (2-я западная армия 52тыс.). Наиболее опасное северо-западное направление прикрывала самая сильная 1-я западная армия под командованием Барклая де Толли (127,8тыс.) (схема 1.).



Схема 1.
Во втором эшелоне, позади линии развертывания западных армий, были расположены 1-й и 2-й резервные корпуса, которые в совокупности с гарнизонами крепостей составляли около 100 тыс. человек. Такое расположение армий позволяло сдержать удар вероятного противника на любом направлении и, маневрируя основными силами в глубине территории, перебросить их в необходимый пункт.
Любое военное планирование носит вероятностный характер, т.е. не известно точное распределение сил противника, нет достоверного знания о направлении главного удара, времени нападения.
В русском генштабе было разработано несколько различных вариантов действия войск на начальном этапе войны. В большинстве этих планов предполагался отход русской армии перед превосходящими силами французов, соединение 1-й и 2-й западных армий и переход в контрнаступление. За основу действий был принят план, разработанный Фулем, который предполагал отход 1-й армии Барклая де Толля в Дрисский лагерь и накопление там сил, а затем в сочетании с фланговым маневром второй армии ; разгром противника [44]. Заметим, что в отечественной историографии этот план подвергается жесткой критике.
По-видимому, совершенно некорректно сравнивать стратегический план обороны русской армии с гипотетическими планами, построенными после войны.
Как показал реальный ход событий, «план Фуля», вообще говоря, верно отразил начальный характер войны и позволил русской армии осуществить планомерный отход из под удара превосходящих сил противника15. Проявив гибкость, русское командование сумело учесть складывающуюся  обстановку, и приняло решение отойти от первоночального плана и оставить лагерь на Дриссе.
Заметим, что «план Фуля» создавался с учетом того, что действующая на основном операционном направлении французская армия будет не превышать 150 - 250 тысяч человек, ; размер, характерный для действующих армий того периода. «Великая армия» значительно превосходила эту величину.
Вопрос о правильности распределения сил русской армии перед началом войны широко обсуждается в исторических кругах. Большинство историков, находясь под впечатлением трагического развития событий начала войны, трактуют отступление русской армии, как поражение и пытаются объяснить это различными причинами, связанными с управлением армиями и их начальным расположением. Однако как показал ход войны, что отступление Русской армии, являлось одной из составляющей победной стратегии, которая привела к полному уничтожению  армии захватчиков.
Проведем поиск и анализ оптимального расположения русской армии перед началом войны 1812 года.
Математическое исследование любой содержательной задачи начинается с создания математической модели [48]. Основываясь на исторических данных, рассмотрим количественные значения, характеризующие русскую и французскую армии на первом этапе войны.
Русская армия, прикрывающая западную границу распределялась следующим образом [12,44]( схема 1):
1-я Западная армия по различным источникам оценивается как 110;127 тыс. чел. (558 оруд.) Главная квартира г.Вильно, командующий М.Б. Барклай-де-Толли.
2-я Западная армия 45;52 тыс.чел. (216 оруд.). Главная квартира г. Волковыск, командующий П.И. Багратион.
3-я Обсервационная армия 43;46 тыс.чел. (168 оруд.). Главная квартира г. Луцк, командующий А.П. Тормасов.
Кроме того, из запасных батальонов и эскадронов были сформированы два резервных корпуса со штаб-квартирами в Торопце и в Мозыре.
Французское массированное наступление началось вдоль всей западной границы. Корпус маршала Макдонольда 32,5 тыс. человек наступал в северо-западном направлении на города Ригу и Петербург. Он был остановлен корпусом Витгенштейна.
Против первой западной армии наступали главные силы французской армии под командованием Наполеона 220 тыс. человек. Непосредственно против второй армии наступала группировка французских корпусов численностью до 75 тыс. человек и в пространстве между первой и второй армиями наступало 85тыс. человек.
На юго-западном направлении против третьей армии наступал австрийский корпус Шварценберга 34 тыс. человек. 
Отступающие первая и вторая русские армии соединились под Смоленском, причем первая армия прошла около 500 километров, а вторая 750 километров. Заметим, что объединение стало возможным, только благодаря правильным действиям главнокомандующих обеих армий.
Реализованный исторический процесс позволяет сформулировать следующую гипотетическую задачу.
Каково должно быть начальное распределение сил между первой и второй армией, чтобы пройдя соответствующими путями отступления, они встретились в Смоленске и объединенная армия была наибольшей.
Обозначим начальную величину первой армии за x, а ; второй армии за у, тогда можно записать первое уравнение
,   (1)
здесь Р ; величина всей русской армии. Первая армия прошла путь ; S1, а вторая армия путь ; S2.
При отступлении состав русская армия постоянно изменялся. Она несла боевые и небоевые потери, получала пополнение, из армии откомандировывалась часть войск на фланги и для формирования новых частей16.
Можно сделать естественные предположения:
1. Небоевые потери пропорциональны пройденному расстоянию и количеству отступающих войск. Следовательно, можно ввести некоторый коэффициент учитывающий небоевые потери.
2. Боевые потери зависят от интенсивности воздействия противника, количества участвующих в бою сторон и количества боев за время отступления17. Просуммировав боевые потери за время отступления  и разделив на пройденное расстояние можно получить коэффициент, учитывающий боевые потери.
3. В силу линейности строящейся модели можно ввести некоторые обобщенные коэффициенты, характеризующие одновременно как боевые, так и не боевые потери.
Изменением состава армий за счет пополнений и командировок частей на данном этапе исследования будем пренебрегать.
Введем следующие обозначения ;коэффициент, характеризующий потери при слабом воздействии французских войск;  ; при интенсивном воздействии.
Рассмотрим два варианта наступления французской армии. Первый вариант ; Наполеон свой основной удар наносится по первой армии. Суммарные ожидаемые потери русской армии запишутся в виде
.   (2)
Второй вариант ; французы наносят основной удар по второй армии. Ожидаемые потери запишутся в виде
.    (3)
Задача о распределении сил между первой и второй армией будет формулироваться следующим образом. Какими должны быть значения x и y для того чтобы ожидаемые потери были меньше некоторого минимального значения V.

Полученная задача является задачей линейного программирования. Заменим соответствующие неравенства равенствами

Решая эту систему, получим
(4)
Трудность определения значения коэффициентов  и связано с отсутствием подробных статистических данных о процессе отступления. Однако вид полученного решения позволяет найти значения x, y. Действительно, из (4) следует  и, учитывая (1), получим
  (5)
 Полагая общий состав двух армий (Р) равным 160;150 тысяч человек, получим, что оптимальная величина первой армии х; 96;90 тысяч человек, для второй у ; 64;60 тысяч.
Можно видеть, что полученное распределение сил отличается от того, которое имело место в действительности.
Приведенный выше анализ может быть перенесена на французскую армию, которая также соединилась под Смоленском.
Принимая общий состав французской армии, наступающей на главном направлении тысяч человек, для первой части армии, возглавляемой Наполеоном, получим х= 228 тысяч, а для второй части армии ; у = 152 тысячи человек.
В приведенных вычислениях погрешность определения исходных данных не превышает 10%, следовательно, и погрешность результатов соответствует этой погрешности. Можно считать, что распределение сил во французской армии было более близко к оптимальному с точки зрения рассматриваемой модели.
Проведенные исследования позволяют указать на существенный недостаток гипотетических теорий о необходимости близкого начального расположения русских армий. Если бы русские армии были расположены рядом, то и французская армия могла наступать на одном направлении, осуществлять жесткое преследование и глубокие обходные движения. В известной книге «Стратегия непрямых действий» Лиддел Гарта [5] прямо указывается на необходимость рассредоточенного расположения обороняющихся сил, для того чтобы, распылить, ослабить удар наступающего противника
Другое важное преимущество, получаемое русской армией при имевшем место расположении связанно с проблемой управления армиями на больших расстояниях. Командование обоих русских армий было носителем единой военной доктрины присущей всей русской армии в целом, и в рамках этой доктрины осуществляли естественный маневр по отходу от превосходящих сил противника.
Французской армии, что бы победить, необходимо было координировать взаимодействие своих частей, а имеющиеся тогда средства связи не позволяли осуществить это18. Эта проблема усугублялась тем, что воинские подразделения и командование различных стран по-разному понимали и реализовывали цели и задачи преследования русской армии.
Приведенная модель описывает произошедшие события по их факту, оставляя вне рассмотрения все рассуждения о намерении сторон. Конечно, цель Наполеона была разгромить русскую армию, а не дойти до Смоленска, и ни один из планов русского командования проведения компании 1812 года не предполагал столь глубокого отхода.
В заключение заметим, что полученное решение отражает глубокие закономерности нашего мира. Один из фундаментальных принципов современного естествознания принципы наименьшего действия, который утверждает, что истинные движения происходят с минимальными изменениями некоторых энергетических функций (вариационный принцип Гамильтона ; Остроградского). По-видимому, соединение русских армий под Смоленском соответствует принципу минимизации потерь при отходе. Более раннее соединение армий требовало интенсивных боевых действий против превосходящих сил противника, при более позднем соединении ; возрастали небоевые потери.
Командование русской армии сумело выбрать и осуществить правильную естественную стратегию, подчиниться обстоятельствам, и не допустило грубых ошибок, связанных с применение различных «теоретических» представлений о войне.

Глава 3. Бородинское сражение


Вам не видать таких сражений!..
Носились знамена, как тени,
В дыму огонь блестел,
Звучал булат, картечь, визжала,
Рука бойцов колоть устала,
И ядрам пролетать мешала
Гора кровавых тел.
М.Ю. Лермонтов «Бородино».

Бородинское сражение было переломным пунктом всей истории Наполеоновских войн. Во всей военной истории человечества не было столь интенсивных и мощных по плотности сражений. На сравнительно небольшой площади в течение нескольких часов сражалось, и погибли десятки тысяч людей. Все последующие гигантские сражения по интенсивности боя уступают Бородинскому сражению, они разворачивались на больших площадях и были растянутыми по времени.
Рассмотрим основные спорные моменты, связанные с описанием этого сражения.
Первый  фундаментальный идеологический спор, при описании Бородинской битвой связан с выбором места и времени сражения. Поскольку оспорить факт выбора времени и места сражения М.И. Кутузовым не удается, то выдвигается масса псевдо-исторических версий, причин такого выбора [10,17,21,22].
Ряд современников в своих мемуарах и историки утверждают, что время выбора сражения определялось не только военными соображениями, но и некоторыми политическими дворцовыми интригами. Этим самым бросается тень на М. И. Кутузова, человека высоконравственного, патриота России, профессионального военного19. Причем они не замечают, что другое еще более радикальное сверхответственное решение о сдаче Москвы без сражения было принято им практически единолично. Это решение было продиктовано сложившейся военной обстановкой, выбранной и проводимой им стратегии. Царь и двор были поставлены перед свершившимся фактом, и только критичность всей ситуации не позволила провести судебное разбирательство со всеми вытекающими последствиями.
М.И.Кутузову отказывается в главном, что выбор времени сражения был сделан после всестороннего анализа складывающейся военно-стратегической обстановки.
Русская войсковая разведка, которая постоянно отслеживала французскую армию, показывала, что французская армия хотя и превосходит русскую, но это превосходство уже не носит качественного характера (численность французской армии по показаниям разведки была около 190 тыс. и около 1000 орудий [56,57]). К моменту сражения полностью определилось стратегическое положение на флангах «Великой армии». Третья западная армия остановила австрийские корпуса Шварценберга и, объединившись с Дунайской армией, начала выдвигаться к стратегическим коммуникациям наполеоновской армии. Аналогичная ситуация была на северо-западном  фланге, где корпус Витгенштейна так же остановил продвижение корпусов маршала Удино и Сен-Сира.
Накануне сражения русская армия получила значительное пополнение: генерал Милорадович привел 15589 рекрутов и прибыло 11 полков Московского ополчения (7000 человек). М.И. Кутузов в начале войны возглавил оборону Петербурга и приложил много сил к формированию и развертыванию резервов русской армии, к созданию петербуржского ополчения [13]. Он хорошо знал состояние и готовность резервов и понимал, что в ближайшее время пополнений не будет. Действительно после Бородинского сражения, вплоть до самой Москвы Русская армия не получила каких-то значительных подкреплений20.
С момента вступления в должность главнокомандующего  армией М.И. Кутузов провел гигантскую работу по повышению боеготовности русской армии. Им были приняты радикальные меры по улучшению транспортных возможностей армии, по улучшению санитарной системы, по борьбе с дезертирами и мародерами (док.№109, 113, 128, 133, 135 и т.д. [15]).
Можно рассмотреть и такой вариант действий: не давать сражение, а продолжить отступление к Москве и за Москву, ослабляя французскую армию  частными оборонительными сражениями. Такая стратегия привела бы к затягиванию войны, к дополнительным разрушениям и потерям со стороны русской армии и населения. После взятия Москвы  Наполеона сохранил бы стратегическую инициативу и  мог бы выбирать направление дальнейших ударов. Осуществленное им  реальное взятие Москвы это движение по инерции большой массы войск уже утративших возможность активного наступления.
С этой точки зрения, сражение было необходимо, причем такое сражение, в котором военная машина французской армии была бы разрушена. В этом сражении Наполеон полностью утратил стратегическую инициативу: цель его наступления достигнута, генеральное сражение дано, а победы нет, и война продолжается, и конец ее для участников похода отодвинут в темное страшное будущее.
Рассмотрим вопрос о соотношении сил на Бородинском поле. Историки приводят самые различные значения. Французскую армию оценивают от 135 до 145 тысяч человек21, Русскую армию от 120 тыс. до 150 тыс. человек. Как это не парадоксально звучит, все они правы. Просто каждый историк использует различные источники и применяет различные методы подсчета. Например, проводит учет по штатному составу частей, включает или не включает нестроевых солдат, ополченцев, казаков. С точки зрения статистики назвать точное число солдат, участвующих в сражении, просто не возможно. Состав армии ; это величина нестационарная, изменяющаяся во времени очень динамично. Постоянно подходят новые подразделения, какие-то подразделения уходят для выполнения отдельных задач, каждое подразделение командирует своих фуражиров и солдат для хозяйственных и прочих работ и т.д. Обычно до десяти процентов действующей армии находится в движении, поэтому можно утверждать, что в пределах погрешности определения численного состава, армии были практически равны.
Отметим только количественное и качественное превосходство русской артиллерии (в русской армии имелось 640-654 орудий, во французской ; 556-587). Русская артиллерия превосходила французскую как по калибру, так и по дальности стрельбы. Французская артиллерия на 90% состояла из легких трех- и четырех- фунтовых пушек, их прицельная дальность не превосходила 700;800 метров. Русская артиллерия на 25% состояла из батарейных 12 фунтовых пушек, которые могли стрелять прицельным огнем на 1200 метров [7] (стр.162-163). Русская артиллерия могла вести огонь с закрытых позиций, т.е. обстреливать обратные скаты холмов, на которых укрывалась пехота противника [44,51,52].
Структура артиллерии Наполеоновской армии отличалась большой разнородностью. В различных национальных формированиях «Великой армии» были качественно различные артиллерийские системы, различной была степень насыщенности частей, отличалась подготовка артиллеристов и тактика использования артиллерии (стр.205,256,[51]). Разнородность артиллерийских систем создавала дополнительные трудности их снабжения. Все эти недостатки проявились на Бородинском поле.
Выбор места сражения широко обсуждается в исторических исследованиях. Большинство прозападных и западных историков [17,22], начиная с Клаузевица [2]22, говорят о непригодности поля и оборонительных сооружений. Цель таких заявлений, очевидно, связана с тем, чтобы далее можно было оправдать утверждения о том, что потери русской армии превосходили потери атакующей французской армии. Надо отметить, что при техническом превосходстве русских сил, которое имело место в Бородинском сражении и учитывая то, что русская армия не была разгромлена в его ходе, потери наступающей стороны должны быть выше потерь обороняющейся стороны23.
Отечественные историки, соглашаясь с тем, что Русская армия занимала выгодное стратегическое положение, прикрывая две главные дороги на Москву, также критикуют,  как им кажется, его недостатки. Критикуют оборонительные сооружения, вспоминают Ермоловский анекдот про нехватку лопат24. Однако, следует заметить, что упоминаемый транспорт с шанцевым инструментом прибыл из Москвы через три дня после подачи требования ;док. №152 [15]. Заметим, что расстояние от Москвы до Бородинского поля 120 верст.
В то же время практически никто не хочет согласиться с мнением русского генштаба и  М. И. Кутузова, которое нашло отражение в официальном донесении: «Позицию, в которой я остановился при деревне Бородине, в 12-ти верстах вперед Можайска, одна из наилучших, которую только на плоских местах найти можно. Слабое место сей позиции, которое находится с левого фланга, постараюсь я исправить искусством. Желательно, чтобы неприятель атаковал нас в сей позиции, тогда я имею большую надежду к победе. Но ежели он, найдя мою позицию крепкою, маневрировать станет по другим дорогам, ведущим к Москве, тогда не ручаюсь, что, может быть, должен идти и стать позади Можайска, где все сии дороги сходятся, и как бы то ни было, Москву защищать должно» (стр.129-130 [15]).
Уникальность Бородинского поля состоит не только в том, что на нем практически сближаются две стратегические дороги на Москву, но и в том, что на этом поле имеется уклон с востока на запад. Практически все реки в европейской части России текут с севера на юг и в силу законов физики подмывают западный берег. Особенность ландшафта Бородинского поля состоит в том, что реки и ручьи на поле текут в северном направлении и подмывают восточный берег, поэтому на Бородинском поле восточные берега реки Колочи и других небольших рек и оврагов выше западных, и они составляли естественные препятствия для французской армии25.
Рисуемая большинством историков картина выбора Бородинского поля просто не соответствует реальным военным технологиям выбора и принятия решений. Перед выбором места сражения штабом проводится большая предварительная рекогносцировка местности. На основе этого и имеющихся данных о своих войсках и силах противника разрабатывается идея плана сражения, которая принимается или нет главнокомандующим. Затем проводится детальная проработка плана, на котором предлагается размещение войск, строительство оборонительных сооружений, транспортных путей, разрабатываются вопросы тылового обеспечения. Окончательный план утверждается командующим, и только после этого начинается его реализация.
Работа по выбору поля и его подготовка была фактически начата задолго до сражения. Восемнадцатого августа группа штабных офицеров была командирована для выбора поля предстоящего сражения26. Как следует из документов, к выбору поля привлекались соответствующие земские землемерные службы (№132.[15]). Инженерные войска в русской армии достигали 14 тыс. человек, к строительным работам широко привлекалось ополчение и даже строевые солдаты27. Кутузов прибыл на Бородинское поле 22 августа (3 сентября) и активно включился в работу по подготовке поля боя. Он лично провел рекогносцировку, и как следует из многих мемуаров русских генералов, участвовал в дискуссиях о расположении русской армии  на позиции, и его слово было решающим [19].
Шевардинский редут был возведен на господствующей высоте и входил по первоначальному плану в оборонительную позицию, но он был вынесен слишком далеко вперед от основной линии обороны. М.И. Кутузов 23 августа (4 сентября) отдал приказ о возведении флешей вблизи д. Семеновка и изменении оборонительных сооружений на господствующей высоте между реками Стонец и Семеновка. Это укрепление получило название батареи Раевского, или Курганной батареи. Заметим, что строительство оборонительных рубежей велось не менее трех дней.
После возведения флешей и подготовки оборонительной позиции левого фланга около 14 часов 24 августа (5 сентября) был отдан приказ об отходе войск с Шевардинского редута.
Но появившийся на поле авангард французских войск, не имея представления о расположении русской армии, попытался сходу овладеть редутом. Приготовившиеся к отходу русские подразделения дали бой. Французский авангард понес существенные потери, бесполезные с военной точки зрения, и потерял время, необходимое для разведки  русских войск.
Интересно отметить такой факт, который остается за рассмотрением историков. Русская армия неоднократно останавливалась в готовности дать генеральное сражение: это и Дрисский лагерь, и Смоленск, и Царево-Займище и в каждом пункте и под каждым городом на пути наполеоновской армии строились полевые укрепления. Такие же укрепления строились на всевозможных направлениях движения армии Наполеона после взятия Москвы28.
Диспозиция русских войск в сражении была объявлена 24 августа (5 сентября).
М. И. Кутузов хорошо понимал, что имеющихся у него сил не достаточно для разгрома армии Наполеона. Основываясь на докладах русской разведки, он полагал, что французская армия по количественному составу превосходит русскую армию и состоит из 180-190 тысяч человек, а артиллерия достигает порядка тысячи орудий [44, 55-57]. Основную цель сражения М.И. Кутузову видел в том, чтобы, нанеся максимальный урон французской армии, сломить ее наступательный порыв.
 Это решение возникло не случайно. Оно было продиктовано всем предыдущим военным опытом М.И. Кутузова. Примером такого опыта является Русско-турецкая война 1811 года, победоносно проведенная М.И. Кутузовым. Можно отметить ее поразительное сходство с войной 1812 года [12,44,58]29.
Выбранное Бородинское поле в наибольшей степени соответствовало замыслу Кутузова. С одной стороны, находясь на этом поле, русская армия одновременно прикрывала две стратегические дороги, по которым двигался Наполеон, тем самым лишала его возможности маневра сил на разных направлениях; с другой стороны, рельеф местности позволял организовать эффективную оборону и скрытно перебрасывать войска в глубине обороны30.
Все построение Русской армии и структура ее оборонительных рубежей соответствует современным представлениям о глубоко эшелонированной обороне31. К этому выводу можно прийти, взглянув на карту-схему расположения войск на Бородинском поле (схема.1).
В первой линии обороны были развернуты цепи егерей. Эта цепь тянулась через все поле, прикрывая основные пункты обороны. Задача этой линии ; не позволить противнику нанести неожиданный удар по основной линии обороны и не позволить ему провести разведку оборонительной линии и местности, прилегающей к укреплениям.
Вторую основную линию обороны образует на левом фланге32, в современной терминологии, Утицкий укрепленный  район, прикрывающий старую Смоленскую дорогу и не позволяющий осуществить противнику глубокий охват оборонительной позиции. Правее Утицкого укрепленного района были расположены кустарники и мелкий лес, который был непроходим для воинских частей. Далее были построены земляные укрепления, так называемые Семеновские флеши, они прикрывались окопами с расположенными в них пехотными частями. Флеши представляли три земляных укрепления, открытые с восточной стороны. Внутри укреплений были расположены 36 орудий. Перед флешами на расстоянии около полверсты (;500 м), т.е. на расстоянии картечного выстрела был расположен лес. Все открытое пространство перед флешами и между ними простреливалось. Была организована система огневой поддержки флешей с батареи  Раевского33.
Флеши полностью скрывали личный состав батарей за укрепленными земляными стенами, в которых были проделаны открытые амбразуры для орудий. Артиллерия того периода могла вести эффективный огонь только по настильным траекториям. Отсюда и необходимость огня сотен французских орудий, которые не столько поражали батареи на флешах, сколько мешали вести прицельный огонь по наступающим колоннам.
Ряд историков говорит о боевой непригодности флешей и оборонительных сооружений на батарее Раевского. Инженеры, которые их строили, говорят об обратном [59]. Если же не вдаваться в спор, а взглянуть только на факты, то можно сказать, что эти флеши выдержали шесть (по некоторым свидетельствам восемь) атак превосходящих сил противника и подвергались артиллерийскому огню сотен французских орудий.
Правее Семеновских флешей ближе к центру, но с левой стороны от дороги, на господствующей высоте (210 м, по некоторым источникам 235 м. Средняя высота местности 205 м) был построен люнет на 12 батарейных орудий. Шесть орудий были расположены вне люнета. Это укрепление получило название батареи Раевского или Курганной батареи34.
У подножия кургана были отрыты траншеи для пехоты прикрытия. Курганная батарея (18 орудий) была мощным полевым укреплением ; 10 тяжелых двенадцатифунтовых орудий стреляло сквозь амбразуры, имеющие перекрытие, т.е. они, были полностью защищены от ответного огня французских  батарей. Отметим и такой факт: высота кургана и длина его склона не позволяла достигнуть вершины за один бросок, т.е. за время, пока французские колонны поднимались по склону, орудия могли выстрелить несколько раз. Как и Семеновские флеши, люнет был открыт с восточной стороны.
Тяжелые орудия батареи Раевского простреливали все поле перед батареей до деревни Бородино, влево до Семеновских флешей, вправо ; через Новую Смоленскую дорогу до батарей на Горецком кургане.
Важнейшим опорным пунктом обороны являлся Горецкий курган, который располагался справа от Новой Смоленской дороги. На гребне этого кургана были установлены две батареи, всего 13 орудий. Основание Горецкого  кургана также опоясывали сплошные пехотные траншеи.
Батарея Раевского и батарея Горецкого кургана полностью прикрывали Новую Смоленскую дорогу, которая являлась наиболее удобным местом для наступления французских колонн. Ширина дороги и околодорожного пространства позволяла двигаться сразу нескольким колоннам35. Ширина равнинной местности вокруг дороги в самом узком месте ; 500 м, а на большей части дороги превышает 1000м. (схема.2). Эти данные получены со схемы №1 из работы [15], которая  является картой местности и плана Бородинского боя, выполненная в 1814 году под руководством Барклая де Толля в масштабе 1:25000. На карте показано, что Новая смоленская дорога была перерыта траншеей, в которой располагалась пехота.
Правее Горецкого кургана до деревни Маслова, на крутом берегу реки Колочи были возведены так называемые «цепные укрепления», которые представляли цепь редутов и люнетов, находящихся в огневой связи и прикрывавшие правый фланг русской армии.
Заметим так же, что развертыванию и перемещению пехотных колонн на предпольном пространстве препятствовали рогатки,  «волчьи ямы» в кустах и в лесах перед позицией были устроены засеки. 
В глубине обороны для улучшения возможности маневра резервами через овраги были построены 4 моста и оборудованы 15 спусков. Вдоль всей линии  обороны были развернуты перевязочные пункты и склады.
Если взглянуть на карту Бородинского поля, приведенную в [15], то можно увидеть, что вдоль всего левого фланга позади линии обороны тянется проселочная дорога, связывающая деревню Семеновскую с Новой Смоленской дорогой восточнее села Бородино и позволяющая осуществлять свободный маневр войск вдоль фронта. К деревне Семеновская подходят дороги из деревень Князьково и Псарево, где были расположены главные резервы русской армии.
Позади русских оборонительных линий был предусмотрен еще один оборонительный рубеж, который проходил по берегу Семеновского оврага и по оврагу позади батареи Раевского.
 На этом рубеже были развернуты пехотные подразделения и артиллерийские батареи резерва (за деревней Семеновской 2-я гренадерская дивизия, а за оврагом позади батареи Раевского части 6-го пехотного корпуса). Тяжелые батареи были расположены таким образом, что могли простреливать все пространство вплоть до оборонительных сооружений первой линии, не позволяя противнику использовать их для подготовки атак и обороны36.
За полевыми укреплениями русские пехотные подразделения располагались в две линии в батальонных колоннах. Пехотные корпуса строились так, что одна из дивизий составляла правое крыло, а другая ; левое. Пехотные полки строились в батальонные колонны в две линии, дистанция между линиями была в 200 шагов. Заметим, что глубина боевого порядка корпуса равнялась 3 ; 4 км. За пехотными корпусами были расположены кавалерийские корпуса, развернутые в две линии. Позади кавалерийских корпусов располагались резервы соответственно первой и второй армий. Правее центра был расположен главный резерв русской армии, состоящий из 5-го гвардейского корпуса, 1-й кирасирской дивизии и артиллерийского резерва ; около 300 орудий (стр.350,[44]).
Общая глубина построения русской армии достигала 5 километров. Основная группировка армии сосредоточилась на правом фланге. Около 70% всех сил было сконцентрировано у Новой Смоленской дороги.
В последующих главах с помощью математических методов будут исследованы некоторые особенности русской оборонительной позиции и отдельные элементы сражения (см. главы 4,7,8).
Среди личного состава армии проводилась большая патриотическая работа. Солдатам было объяснен смысл и значение сражения. Позади ; сердце России ; Москва. Был совершен общевойсковой молебен, позиции русской армии освящены чудотворной иконой Смоленской Божьей матери. Большая часть солдат и офицеров перед сражением причастилась.
План сражения, разработанный в штабе русской армии, предусматривал несколько вариантов развития сражения и его результатов. Первое, была проведена подготовка по организации преследования французской армии, если она будет разгромлена (док.№165 [15]). Второе, в случае неудачного сражения предусматривалось организованное отступление с поля боя. Рассматривался и третий вариант ; планомерный отход к Можайску при отражении атак Наполеона.
Главный резерв прикрывал основное стратегическое направление ; Новую Смоленскую дорогу.
Предполагалось, что в случае нанесения удара по правому флангу войска левого фланга будут сдвигаться к Новой Смоленской дороге. При ударе по левому флангу М.И. Кутузов предполагал: «Если неприятель главными силами будет иметь движение на левый наш фланг, где армия князя Багратиона и атакует, то 2-й и 4-й корпуса идут к левому флангу армии, составя резерв оной»([15] стр.96). Сосредоточенные на правом фланге казацкие полки и кавалерийский корпус Уварова предназначались для нанесения флангового удара по наступающей французской армии. Аналогичная роль на левом фланге предназначалась корпусу Тучкова и казакам Карпова.
Заметим, что рельеф местности на правом фланге позволял использовать кавалерию, требовалось только прорвать заслоны французов на берегу р. Колочь. 
В приказе перед сражением М.И. Кутузов предоставлял своим командирам большую самостоятельность:  «Не в состоянии будучи находиться во время действия на всех пунктах, полагаюсь на известную опытность г.г. главнокомандующих армиями, и потому представляю им делать соображения действий на поражение неприятеля. Возлагая все упования на помощь всесильного и на храбрость, и неустрашимость русских воинов, при счастливом отпоре неприятельских сил дам собственное повеление на преследование его, для чего и буду ожидать беспрестанных рапортов о действиях, находясь за 6-м корпусом....
На случае неудачного дела генералом Вистицким несколько дорог открыто, которые сообщены будут г.г. главнокомандующим и по коим армии должны будут отступать....».  (Док.№173,[15]).
Один из основных спорных моментов при описании сражения связан с критикой расположения резерва русской армии. Большинство участников сражения и историков выдвигали обвинение М.И.Кутузову в том, что он не сумел предугадать направление основного удара Наполеона.
Насколько справедливы данные упреки?
Сторонники этой теории полагают, что необходимо было усилить левый фланг, т.е. расположить резервы на левом фланге. Делая такие выводы после битвы, они не учитывают, что Наполеон мог нанести главный удар вдоль Новой Смоленской дороги или на правом  фланге. Известно, что основная перегруппировка французских войск проводилась в ночь перед сражением; например, в мемуарах русского офицера Н.И.Андреева [63] говорится о том, что главная французская батарея на левом фланге устанавливалась ночью.
Объективно ответить на вопрос правильности расположения резерва и степени неопределенности выбора этого решения можно, проведя анализ стратегий Кутузова и Наполеона с позиции математической теории игр (см. Глава 4) и с привлечением элементов рефлексивного анализа.
Проведенный анализ показал, что выбор Кутузовым места расположения резерва соответствует оптимальной стратегии. В этом случае русская армия имела наименьшие возможные (вероятностные) потери  при отражении удара. Этот же анализ показывает, что для Наполеона наиболее оптимальным было наносить удар через деревню Бородино  вдоль Новой Смоленской дороги. Однако его реальные действия отличались от оптимальных. В ходе сражения он все же вынужден был перенести основной удар к центру, но к этому времени французская армия понесла большие потери и в своей массе утратила наступательный порыв.
Наполеоновские войска вступили на Бородинское поле 23 августа (5 сентября) и почти полдня сражались за Шевардинский редут. Весь следующий день Наполеон посвятил подготовке к сражению37. При всех своих громких заявлениях о будущей победе он был далеко не уверен в своем успехе. В центре французской позиции и на правом фланге были возведены оборонительные полевые сооружения прикрывающие ставку Наполеона. В течение всего дня 24-го августа (6-го сентября) Наполеон проводил мероприятия по сплочению своих войск, повышению их дисциплинированности и управляемости. Как сообщают очевидцы, французские войска несколько раз строились, подолгу находились в построенном виде, совершали маневры на поле. Проводилась психологическая подготовка войск. Наполеон обещал своим войскам после победы в сражении взять Москву и победоносно закончить войну. «Солдаты! Вот битва, которой вы так желали! Изобилие, отдых, все выгоды жизни, скорое примирение и слава ожидают вас в столице русской….» (стр.50, [56]38).
На Западе, основываясь на мемуарах участников сражения, обсуждают, как им кажется, более правильные варианты действий Наполеона. Так, из мемуаров Сегюра следует, что маршал Даву предлагал Наполеону отправить в обход по Старой Смоленской дороге его корпус вместе с корпусом Понятовского (35 тыс. человек). Это предложение было отвергнуто Наполеоном, но некоторые историки рассматривают его как альтернативный план Бородинского сражения. Однако, если взглянуть на схему №1[15], то можно видеть, что Старая Смоленская дорога проходит через лес. Войска могли перемещаться только узкой колонной. Расширяющийся участок полей имелся в районе деревни Утица, но сразу же после деревни дорога вновь шла через лес. Двигаясь по этой дороге, корпус Понятовского опоздал к началу сражения на два часа. Действия Понятовского происходили в отдалении от основного поля боя и практически мало влияли на ход основного сражения. Авантюра с посылкой корпуса (около 10% всех войск) с поля решительного сражения, не имея  достаточных данных о силах противника и впереди лежащей местности, выглядит очень сомнительно.
Надо заметить, что за целый день перед сражением французы не сумели выявить ни расположение русской армии, ни ее оборонительную позицию. Начиная атаку против левого фланга русской армии, Наполеон полагал, что наносит удар по центру, батарею Раевского он воспринимал как правый фланг русской армии. Наполеон полагал, что взятие Шевардинского редута значительно ослабило русскую позицию.
Бородинское сражение началось с отвлекающего удара по селу Бородино. Этот маневр Наполеону удался только частично. По плану сражения принятого М.И. Кутузовым, оборона села не предполагалась. Заслоны егерей оставили д. Бородино и сожгли мост через реку Колочь. При этом ни один батальон не сдвинулось со своего места, предназначенного по диспозиции. Но эта атака задержала решение М.И. Кутузова о передвижении войск к Семеновским флешам. Он ждал, когда определится направление и место основного удара армии Наполеона
Первая атака Багратионовых флешей началась в 5 часов 30 минут. В этой атаке участвовали две дивизии противника (16 тыс. чел. и около 120 орудий). Эта атака была отбита практически без потерь со стороны русской армии, поскольку наступающие колонны были рассеяны артиллерийским огнем, не дойдя до флешей. Заметим, что французские войска, пройдя через лес, вынуждены были строиться в колонны под артиллерийским огнем. Французское командование, слабо представляя расположение русских оборонительных рубежей, развернуло свои батареи на таком расстоянии, что они не могли вести прицельный огонь по флешам (1000м.). В первой фазе боя французская артиллерия могла обстреливать только окопы передового охранения (стр.226.[50]).
Перед второй атакой французы передвинули свои батареи, но она развивалась по тому же сценарию. Французские колонны строились под убийственным огнем русских батарей, шли вперед, и остатки отражались в контратаках боевым охранением.
Отбитые атаки приводили к возникновению и развитию хаоса и беспорядка в тылу французской армии. Так, Ф.Н. Глинка [52] сообщает о том, что в тылу французской армии часто возникала беспорядочная стрельба, когда подразделения одной нации открывали огонь по бегущим войскам другой; так, вестфальцы приняли рассеянные отступающие французские колонны за наступающие русские войска.
Свидетельства очевидцев о том, что резервы русской армии подвергались интенсивному артиллерийскому обстрелу, скорее всего, сильно преувеличены, поскольку основные артиллерийские силы были связаны борьбой с флешами, а резервы находились на расстоянии, превышающем дальность действенного огня французской артиллерии. Заметим, что, с одной стороны, все свидетели сражения испытывали мощный психологический шок, связанный со смертельной опасностью, со множеством смертей окружающих людей, с другой стороны, у любого человека есть стремление героизировать свое поведение в сложной экстремальной обстановке.
Третья атака началась около 9 часов утра. В ней участвовало 38 тыс. человек и 155 орудий. Русские обороняющиеся войска состояли примерно из 18 тыс. человек и 100 орудий. Французские колонны прорвали линии охранения и устремились в проходы между флешами. Невозможно представить тот ад, в который они попали. Они были практически все уничтожены картечным огнем с флешей, а остальные были отброшены контратакой русских войск.  Лобовые атаки французской армии  продолжались, Ней и Даву, израсходовав свои резервы, обратились к Наполеону с просьбой дать резервных войск.
Историки разных направлений называют разное число атак, предпринятых на флеши, ; шесть или восемь. Причем те и другие ссылаются на свидетельства очевидцев. Уличать кого-то в неточности просто не имеет смысла. В бою участвовали большие массы людей, много подразделений, которые предпринимали самостоятельные действия. Активному участнику боя практически невозможно  определить, имеет место общая атака или самостоятельные действия какого-то командира.
Рассмотрим соотношение сил перед последней атакой. Последнюю атаку французских войск поддерживало 400 артиллерийских орудий, с русской стороны им отвечало около трехсот орудий. Когда французские войска ворвались на флеши, князь Багратион, вопреки начальной диспозиции, которая цитировалась выше, попытался предпринять контратаку всем левым флангом.
Надо заметить, что, по-видимому, эта атака носила все-таки локальный, местный характер. Трудно представить, что в хаосе непрерывных французских атак можно было организовать всеобщую контратаку войск, ведущих бой. Например, Наполеону для того, чтобы перенести атаку с флешей на батарею Раевского, потребовалась пауза в несколько часов.
Заметим также, что французские свидетели, отмечая ожесточенные рукопашные схватки, имевшие место при штурме флешей, не выделяют какой-то особый момент времени в этой борьбе.
Французские войска ценой неимоверных усилий и жертв заняли флеши. По представлению Наполеона, они должны были преследовать отступающие разгромленные части. Наполеону казалось, что в открытом поле он сумеет использовать численное превосходство своей армии. Но французские наступающие колонны наткнулись на вторую линию обороны.
В итоге, позиция русских войск была отодвинута на несколько сот метров за Семеновский овраг. Русские батареи вновь оказались на господствующих высотах, прикрытые этим оврагом. Они простреливали всю долину лежащую впереди. Занятые флеши не могли служить укрытием для французской артиллерии, поскольку они были открыты с восточной стороны. Заметим, что пространство перед оврагом также простреливалось тяжелыми пушками с батареи Раевского.
Согласно начальной диспозиции плана М.И. Кутузова, после того, как определилось направление главного удара французской армии, войска правого фланга начали смещаться влево и выполняли роль резерва для Второй армии.
Если следовать начальному плану Наполеона, то необходимо было продолжить атаку на левом фланге. Но Наполеон понимает, что вряд ли пехота, которая понесла значительные потери, сможет лобовой атакой прорваться за овраг. Тем более, что не известно расположение русских сил за оврагом и  рельеф местности, т.е. неизвестны возможности прохода кавалерии через овраг.
Сражение практически проиграно, потери огромны, но основная цель не достигнута. Наполеон колебался, не решаясь закончить бой. Он вынужден смещать направление удара к центру, поскольку, с одной стороны, только вдоль Новой Смоленской дороги можно попытаться использовать тяжелую кавалерию, с другой стороны, после взятия флешей, один из пунктов русской оборонительной линии, Курганная батарея, оказался выдвинутым вперед и теперь подвергался обстрелу с трех сторон.
Наполеон начинает организовывать новый удар, отдает приказ двинуть вперед часть своих основных резервов ; «молодую гвардию». В это время конный корпус Уварова и казаки Палатова наносят удар по правому флангу французской армии. Наполеон разворачивает «молодую гвардию» и посылает ее на правый фланг. Дезорганизация и хаос в тылу французской армии достигают критического значения. Даже в мирной обстановке не так просто совершать перемещения больших масс, а в данном случае имело место перемещение частей по полю, забитому войсками, над  частью которых было утрачено управление. Войска маршировали то в одну, то в другую сторону, совершая ненужные переходы. Нарушилось движение всего тылового транспорта, снабжение артиллерии, санитарных служб и т.д.
Атака  корпуса Уварова, по замыслу М.И. Кутузова, должна была привести к разгрому тылов французской армии. К сожалению, Уваров не справился с возложенной на него задачей. Он не сумел организовать правильную атаку своего корпуса. Конная артиллерия, приданная его корпусу, вступила в бой после того, как первые конные атаки были отбиты и, хотя после артподготовки конница смяла французские заслоны, элемент внезапности был утрачен.
 Заметим, что практически все высшие офицеры, участвовавшие в сражении, были награждены, но имеется беспрецедентный документ, в котором М.И. Кутузов ходатайствует перед царем о невозможности наградить командира 1-го кавалерийского корпуса Ф.П.Уварова. (Док. №249 [15 ])39. 
 Атака на Курганную батарею откладывается на два часа. В течение этого времени Наполеону удалось навести относительный порядок в тылу.
Наконец, все готово: 400 орудий ведут огонь по центральному кургану, пытаясь подавить батарею Раевского. В это время русская артиллерия, около трехсот орудий, ведет огонь по французским  войскам и по батареям, обстреливающим курган. Французская армия несет ужасающие потери, она расположена в открытом поле, артиллерия, которая должна ее прикрывать, занята подготовкой к атаке.
Начинается общий штурм. Французские колонны с трех сторон рвутся к вершине кургана. Тяжелая французская кавалерия под губительным огнем русских батарей обходит курган и с тылу врывается на курган.
Следует заметить, что батарея Раевского была взята только после того, как был расстрелян весь боезапас. Весь двухметровый ров у подножия кургана забит телами погибших и раненых  французов, склон кургана покрыт погибшими, мемуары говорят о завалах из тел в шесть, восемь рядов.
Казалось, тяжелая французская и прусская кавалерия вырвалась, наконец, на оперативный простор и, развивая свое наступление вдоль Новой Смоленской дороги, сможет разъединить  русскую армию на две части.
Навстречу наполеоновской кавалерии из глубины построения русских войск ударили кирасирские дивизии главного резерва М. И. Кутузова, остановили, смяли и отбросили их к кургану40.
Французы заняли батарею Раевского, но они вновь оказались перед новым оборонительным рубежом русской армии. Русские войска, отойдя на несколько сот метров за Горецкий овраг, вновь заняли жесткую оборону [44,60]. Тяжелые русские орудия простреливали весь склон кургана. Французы для спасения своих войск вынуждены были разместить пехоту на обратных склонах кургана.
Таким образом, штурм батареи Раевского принес дополнительные потери, ничего не изменив в положении сторон. Наполеон впервые столкнулся с ситуацией, когда он сам должен был закончить сражение, в котором не достиг намеченных целей. Это требовало от него мужества и умения. Он понимал, что прекращение активных наступательных действий послужит Кутузову сигналом начала общей контратаки.
Поэтому в течение нескольких часов французская артиллерия, вела, казалось бы, бессмысленный огонь, вступив в борьбу с русской артиллерией, расположенной на господствующих высотах, имеющей больший калибр и большую дальность стрельбы.
Много вопросов и споров о том, почему Наполеон не ввел в бой гвардию. Если отбросить эмоциональные высказывания участников событий, затем повторенные много раз прозападными историками, то с очевидностью становиться ясно, что численность старой гвардии совершенно недостаточна для разгрома всей русской армии. При самом благоприятном для себя варианте развития событий, прорыве русских оборонительных рубежей на каком-то участке, у Наполеона не было резервов для развития прорыва и организации разгрома  и преследования русской армии. Наполеон понимал, что сражение, вообще говоря, может быть продолжено на следующий день.
С наступлением темноты французские войска, ожидая контрудара русской армии, отошли на свои подготовленные рубежи обороны. Этот маневр вполне очевиден с позиций военной теории. Надо провести перегруппировку сил, убрать раненых с поля и т.д. Сохранившиеся военные доклады русской армии говорят также об этом. Казацкие разъезды ночью отслеживали передвижение французов. Но западные историки, связывая понятия победы с занятием каких-то пунктов на поле сражения, не замечают этих документов. Вопреки логике и даже свидетельствам Коленкура (стр.129, [2]) они утверждают, что французская армия осталась ночевать на поле, покрытом десятками тысяч убитых и раненых.
С военной точки зрения, Бородинское поле по окончании сражения полностью утратило свое боевое значение. Для того, чтобы продолжить битву, необходимо было как минимум убрать тела погибших. Кроме того, как, например, отмечалось в докладе М.И. Кутузова, понесенные в сражении потери, привели к тому, что количество войск было явно не достаточно для обороны такой обширной позиции.
Историки, описывая роль Наполеона и М.И. Кутузова в управлении войсками, как правило, говорят об активной роли Наполеона, хотя и отмечают его некоторую нерешительность, которую связывают с его болезненным состоянием. Однако в гораздо большей степени эта нерешительность была вызвана слабостью разработанной диспозиции сражения, неумением Наполеона, оценить динамично поступающую противоречивую информацию, связанную с неясностью обстановки на поле боя41.
Об истеричности и утрате Наполеоном контроля над собой говорит и его фраза, с которой он требовал продолжения бессмысленной бойни « …Усильте огонь, им значит, еще хочется, дайте им ещё…»(стр.144,[11]).
О полном моральном разложении Наполеона и о лично им совершенном уголовном преступлении на Бородинском поле говорит факт, приводимый в воспоминаниях одного из его адъютантов Ф. де Сегюра (стр.245,[55]). Наполеон, переживая чувство публичного унижения из-за проигранного сражения, демонстрирует свою жестокость, перед подчиненными: объезжая Бородинское поле на следующий день после сражения, он растоптал своим конем тяжело раненного русского солдата. Попытки де Сегюр смягчить это преступление случайностью происшествия не выдерживают никакой критики. Лошадь никогда не наступит на тело человека или любого лежащего животного, это грозит ей переломом ног. Только в страшной панике или хорошо выезженная лошадь по жесткой команде всадника может наступить на человека.
М.И. Кутузова эти же историки изображают как пассивного наблюдателя сражения, хотя приводимые факты говорят об обратном. М.И. Кутузов, опираясь на свой боевой опыт, умел выделить все существенное из поступавших донесений. Он, в отличие от Наполеона не поддавался панике при ложных сообщениях о потерях и отступлении русских войск и не впадал в неоправданно радостный экстаз при сообщении об успехах (сообщение о пленении Мюрата). М.И. Кутузов лично отдавал распоряжения о перемещении войск правого фланга на левый фланг. Клаузевиц при всей своей неприязни к М.И.Кутузову вынужден признать, что приказ осуществить фланговый удар кавалерии Уварова был отдан лично М.И. Кутузовым. После ранения Багратиона Кутузов последовательно сменил двух командующих левым флангом русской армии.
В соответствии со сложившейся обстановкой, сразу после ранения Багратиона в командование 2-й армии вступил П.П. Коновницын, который отвел войска к деревне Семеновской, и запросил у М.И. Кутузова подкрепления из главного резерва. М.И. Кутузов не только отказал ему, но и назначил нового командующего Евгений Вюртембергского. Евгений Вюртембергский так же запросил подкреплений. М.И. Кутузов немедленно заменил его Д.С. Дохтуровым. (стр.43, [7]). При назначении ему был передан приказ, написанный М.И. Кутузовым «…Держаться до последней крайности.» (Стр.100, [52]). После сражения М.И. Кутузов очень душевно благодарил Д.С. Дохтурова за его стойкость в сражении42.
Важнейшей составляющей оценки сражения, хотя далеко не главной, являются потери. Существует несколько документально заверенных цифр, но историки разных направлений выводят самые различные потери, не считаясь ни с документами, ни с очевидными фактами.
К таким фактам можно отнести следующее. В ходе Бородинского сражения при примерном равенстве сил французская армия атаковала русские войска, находящиеся на заранее подготовленных рубежах обороны, предпринимала штурмы оборонительных сооружений, русская артиллерия превосходила французскую артиллерию по калибру и дальности стрельбы. При этом русская армия не была разгромлена. Следовательно, по всем законам войны потери атакующей стороны должны были превышать потери обороняющейся стороны.
К бесспорным документом можно отнести «Ведомость о потерях 1-й западной армии в сражении при Бородине» и «Ведомость нижним воинским чинам бывшей 2-й западной армии убитым, раненым и без вести пропавшим в сражении 26 августа 1812 г. при селениях Бородине и Семеновке» (док. №247, 248 [14 ]). В этих документах приводятся количественные данные потерь по всем полкам и отдельным подразделениям русской армии. Суммируя эти данные, можно сказать, что в Бородинском сражении погибло около 15 тыс. человек и ранено около 30 тысяч43, потерь пленными практически не было.
Заметим, что в русской армии санитарная служба была поставлена на высоком уровне. Невооруженные ополченцы выполняли роль санитаров, и по свидетельству всех очевидцев убитые и раненые выносились с поля боя прямо под огнем. Был издан приказ, запрещающий солдатом покидать строй для сопровождения раненых. Для эвакуации раненых было предназначено 12000 подвод [56]. Раненые эвакуировались в Москву и далее в центральные губернии России. Высокая степень организации санитарной службы подтверждается следующими документами №154,164,165 [14].  В этих документах регламентируется порядок эвакуация раненых и убитых с поля боя. Описывается транспортировка раненных до Москвы, с указанием промежуточных станций и развернутых медицинских пунктов44.
Это же подтверждается и в мемуарах А. Коленкура «…Он (Наполеон) много раз спрашивал, где пленные, которых должны были взять. … Эти успехи без пленных, без трофеев не удовлетворяли его….. Неприятель унес подавляющее большинство своих раненых, и нам достались только те пленные (При взятии Большого редута в плен взято всего 15 человек), о которых я уже говорил, 12 орудий редута, взятого моим несчастным братом, и три или четыре других взятых при первых атаках.» и далее «Неприятель не оставил ни одной повозки.»(стр.130, [2])
Французские потери определяются по пропагандистским заявлениям Наполеона, причем, беря эти цифры как основные, историки оговариваются, что, скорее всего, они неверны45. Историки также не хотят замечать разность между безвозвратными потерями и санитарными. Потери французской армии практически полностью являются безвозвратными потерями, т.к. помощь раненным и их эвакуация не осуществлялась (стр.133, [2]). Цинизм Наполеона и его захватнической армии проявился в том, что Наполеон бросил своих раненых солдат и не захоронил погибших.
Здесь возникает еще одна спорная цифра, ; 58 тыс. трупов было сожжено на Бородинском поле46. В журнале «Родина» [17] опубликована статья [50], в которой пытаются оспорить эту цифру, говоря о том, что она возникла из сообщений какого-то авантюриста. Трудно поверить, что автору неизвестны работы [7,44,56]. Кстати, в этом же номере приводятся цифры захоронения погибших французов по некоторым губерниям, а информация о Бородинском поле заменена многоточием (стр.176, [17]).
Наполеоновская армия потеряла 1 тыс.800 офицеров, 47(49) генералов; в русской армии погибло 23 генерала и 851 офицеров. Западные историки оправдывают это тем, что в русской армии было меньше генералов и офицеров, чем во «французской»47, но не в два же раза. Стараясь как-то оправдать свои заниженные цифры потерь французской армии, противоречащие русским документам, для оценки потерь привлекаются сомнительные аналогии с битвой под Ваграмом. Причем основанием для введения такой аналогии служит то, что в битве под Ваграмом французская армия по численности была близка к армии, которая была на Бородинском поле и потеряла 38 генералов [31].
Более подробный анализ потерь с помощью ланчестерской математической модели боя проводится в главе 5.
Главный спорный вопрос, связанный с Бородинским сражением, кто же одержал победу.
Перед тем как высказать свою точку зрения, хотелось бы определиться с самим понятием «победа». Естественно, что это понятие должно быть связано с целью, которая ставится перед сражением.
Чего хотел добиться Наполеон, давая сражение на Бородинском поле?
Эту цель Наполеон декларировал с первого дня войны. Разгромить русскую армию в генеральном сражении и победоносно закончить войну.
В результате Бородинского сражения французская армия, хотя и нанесла тяжелые потери русской армии, сама понесла также огромные потери. При этом цель разгрома русской армии стала еще более далекой.
После сражения Наполеон ожидал контрудара русской армии, но он не последовал. Перед ним было два варианта действий: продолжить бессмысленное наступление вглубь России, теша себя самообманом, что, взяв Москву, можно закончить войну. Хотя очевидно, что пока русская армия не уничтожена, никакого мира не будет.
Это же подсказывал Наполеону его личный опыт войны с Австрией в 1809 году. Война 1809 года закончилась после разгрома австрийской армии под Ваграмом, а не после взятия столицы Вены48.
Другой вариант ; начать стратегическое отступление. С точки зрения военной теории оно позволяло провести реорганизацию войск, сократить коммуникации и провести зиму в обустроенных местах и лагерях. Но это решение казалось Наполеону неприемлемым по ряду экономических и политических причин.
Французская армия двинулась за отступающей русской армией, но она уже не могла осуществлять жесткое преследование. Русская армия отходила, эвакуируя раненых, население, все военное имущество [2]. Средняя скорость отступления не превышала 20 верст в день49.
Теперь попытаемся оценить итоги сражения с точки зрения Кутузова. Цель, которую ставил Кутузов, давая это сражение, была достигнута. Французская армия была обескровлена, ей был нанесен смертельный удар. «Русская армия и полководец Кутузов вырвали из рук Наполеона «спасительную силу» решающего генерального сражения, в которую верила его «двунадесятичная» армия и которое являлось для нее одним из важнейших в известной степени цементирующих средств [63].
В ходе Бородинской битвы была практически, как боевая сила, уничтожена французская кавалерия, артиллерия понесла большие потери, проявилась полная несостоятельность санитарных [2] и тыловых служб. Была разрушена психологическая связь между войсковыми частями разных стран. Для большинства участников похода стала совершенно ясна его авантюрность. Пытаясь внести какой-то логический смысл в свое личное участие в этом походе, солдаты и офицеры вынуждены были формулировать эгоистические цели, что привело к массовому мародерству и полному распаду «Великой армии»50.
Историки спорят, был приказ М.И. Кутузова о наступлении на следующий день или нет. Резерв, который остался у Кутузова, вообще говоря, позволял осуществить такой удар и он испытывал большое искушение атаковать французскую армию51.
В русской армии в бою не участвовала часть войск правого фланга, часть артиллерии (96 орудий), сохранилась гвардия ; Семеновский и Преображенский полки, полки Московского и Смоленского ополчения, значительная часть кавалерии. Краткий рейд кавалерийского корпуса Уварова и казаков Платова носил демонстрационный  характер, поэтому их потери были минимальными.
Но что могла дать атака русской армии?
Для полного уничтожения французской армии сил было явно недостаточно. Победа в частном сражении заставила бы французскую армию отойти на запад, но вряд ли они оставили Россию. Наполеон сократил бы свои коммуникационные линии, к нему присоединились бы войска, обеспечивающие тылы французской армии. Так, в районе Орша ; Смоленск были расположены войска маршала Виктора (45 тыс. человек), между Вислой и Неманом были расположены корпуса маршала Ожеро ( 41 тыс. человек). На подходе к армии Наполеона были дивизии Дюрютта и Лаузона (27 тыс. человек). Наполеон произвел бы перегруппировку войск и вновь двинулся бы в наступление, а как отмечалось выше, русская армия не могла рассчитывать на значительное пополнение в ближайшее время. Война приобрела бы затяжной характер и принесла бы дополнительные потери и разрушения.
Учитывая все это, Кутузов принял решение об отступлении.
Наполеон, вопреки военно-стратегической обстановке, двинул свою армию в гибельное наступление на Москву.


Глава 4. Поиск и математическое исследование оптимального
 расположения резерва русской армии на Бородинском поле

«… резервы должны быть сберегаемы сколь можно долее,
ибо тот генерал, который сохранит ещё резерв, не побежден».
М.И.Кутузов, т.IV,ч1.,стр.143

Исследование исторических описаний войн и сражений показывает, что  многие их этапы носят внешне схожий, повторяющийся характер. Изучение их позволило найти и исследовать закономерности  развития военных операций, выработать ряд приемов, позволяющих заранее планировать управление войсками, оценивать качество управления. Все эти исследования легли в основу современной военной стратегической науки.
В настоящее время в связи с созданием мощной вычислительной техники появились широкие возможности для использования математических методов анализа и моделирования боевой обстановки.
Эти же методы могут быть использованы для анализа исторических сражений.
 Например, если раньше оценки правильности действий полководца во время сражения или при его подготовке носили, как правило, субъективный характер, который во многом определялся целевыми установками исследователя, то в настоящее время более объективные оценки этой деятельности могут быть получены из исследования математической модели сражения с помощью теории игр. Методами этой теории можно определить оптимальный вариант действий полководца в данной ситуации. Степень близости реально имевших место действий к оптимальной стратегии позволяют судить о качестве управления.
В качестве примера такого анализа проведем исследование вопроса расположения стратегического резерва русской армии в Бородинском сражении.
Как известно [44], в этом сражении  около двух третей русских войск было сосредоточенно на правом фланге. Стратегический резерв Кутузова был также расположен ближе к правому флангу. Наполеон основной свой удар нанес по левому флангу русской армии. Подавляющее большинство историков, комментируя расположение русской армии, указывают, как на недостаток на такое расположение резерва. Они отмечают, что Кутузов не сумел предугадать действия Наполеона, а если бы резерв был расположен правильно, то  русская армия могла бы более эффективно отразить удар французской  армии.
Попытаемся ответить на вопрос, при каком расположении резерва величина ожидаемых потерь будет минимальна.
Определим некоторые количественные параметры, основываясь на данных приведенных в работе [60] (стр.204). Будем полагать, что численность регулярной армии была 119 тыс. чел. при 654 орудиях. Распределение сил русской армии на позиции было следующим:



Район д.Утица


левый фланг

центр

правый фланг

3-й корпус
Тучкова
( 1-я гренад. див,
3-я пех.див. )
8000  чел.
 72 оруд.
казаки
Карпова
 ( 6 полков)
2400 чел.

7-й корпус
Раевского
( 12, 26 пех.див.)
10800 чел.
24 оруд.
4-й кав.корпус
Сиверса
3800 чел.
12 оруд.
Резерв:
8-й корпус
Бороздина
( 2-я гренад., див.,27- пех див., сводно-гренад. батальоны Воронцова)
13300 чел.
24 оруд.
6-корпус
Дохтурова
( 7, 24
пех.див. )
9900 чел.
24 оруд.
3-й кав.корпус
Крейца
3700 чел.
12 оруд.

2, 4 корпус
( 4 ,17, 11, 23
пех. див. )
19800 чел.
48 оруд.
2-й кав.корпус
Корфа
3500 чел.
12 оруд.
Резерв:
1-й кав.корпус
Уварова
2500 чел.
12 оруд.
казаки
Платова
( 14 полков )
5500 чел.
24 оруд.

всего


10400 чел.
72 оруд.

27900 чел.
60 оруд.

14600 чел.
36 оруд.

31300 чел.
96 оруд.

Главный резерв Кутузова состоял из 5-го гвардейского пехотного корпуса (13000 чел.), 1-й и 2-й кирасирской дивизии (4700 чел.), главный артиллерийский резерв из 26 батарей ; 390 орудий (8400 чел.).
Принятое в историографии Бородинского сражения распределение сил между правым и левым флангом достаточно условно и связано с имевшим место разделением русских сил на две армии. Если разделение позиции проводить по линии обороны, а не по формальному разделению армий, то центр позиции находится на Новой Смоленской дороге. Следовательно, расположение батареи Раевского скорее относится к центру позиции, а не к левому флангу. Схема расположения русской армии с указанием основных расстояний показана на схеме 2.





Все расстояния, приведенные на схеме, взяты с карты Бородинского сражения составленной Барклаем-де-Толи в 1814 году на местности сражения с указанием масштаба [14].
Для того чтобы выяснить эффективность расположения резерва, необходимо определить, какие потери могли бы иметь место при его различном расположении. Для этого построим на компьютере простейшую имитационную модель Бородинского сражения, которая будет отражать пропорциональность расположения сил русской армии по фронту, расстояния между опорными пунктами оборонительной линии и расстояние до главного резерва (схема 3).

 Пункт А соответствует центру и правому флангу русской армии, пункт В ; левому флангу (Семеновские флеши). Перед пунктом В в соответствии с реальным рельефом местности созданы препятствия, затрудняющие подход армии противника.
При построении схемы учитывались расстояния, имевшие место на Бородинском поле. Так, расстояние между пунктами А и В ; 4единицы (;1200 м), а от передовой линии до резерва - ;9 единиц (;2800 м). При этом погрешность измерения расстояний и их представления на схеме не превышают 10%.
При моделировании будем оперировать только с целыми подразделениями. Для этого разделим всю русскую армию на 11 равных частей. Будем полагать, что Утицкий  район обороняет 1 подразделение (;10000 чел.)52, левый фланг ;3 (;30000 чел.), правый и центр ; 5 (;50000 чел.) и резерв составляет 2 (;20000 чел.) подразделения резерва принявшие участие в бою.
Относительная погрешность такого распределения сил для левого и правого фланга не превышает 9%. При моделировании весь резерв участвовал в сражении, поэтому он взят несколько меньше реального резерва.
Французская армия по численному составу была близка к русской армии, поэтому при создании имитационной модели игры представим её в виде 11 подразделений. Поскольку нас интересуют качественный вопрос о расположении резерва, а не конкретные потери сторон, то более точные соответствия количественных параметров атакующей и обороняющейся армий не имеют принципиального значения.
Задача поиска оптимального расположения резерва будет формулироваться следующим образом. При заданном соотношении сил требуется выбрать такое расположение резерва (либо за пунктом А, либо за пунктом В), чтобы потери при атаке противника были минимальны.
Отвечая заранее на возражения возможных оппонентов, отметим, что данная модель действительно приближенно отражает реальное сражение. В модели не учитывается характер местности, по которой перемещаются войска, степень их мобильности, т.е. то, что ввод резервов в бой осуществлялся в течение всего сражения, а не единичным актом и т.д. Однако, несмотря на это модель позволяет в первом приближении ответить на вопрос об оптимальном расположении резерва русской армии, т.е. при каком расположении резерва ; на левом или на правом фланге ожидаемые потери будут наименьшими, и насколько решение М. И. Кутузова о расположении резерва близко к оптимальному.
Приведем некоторые основные положения и требования теории игр, которые необходимы при построении модели и ее анализе.
Теория игр ; это математическая теория, которая позволяет моделировать конфликтные ситуации, и на основе математического анализа модели вырабатывать рекомендации по правильному поведению игроков [41,48,65-67] (В приложении 1 приведены некоторые основные положения теории игр).
Одно из основных предположений теории игр состоит в том, что каждый из игроков, участвующих в игре, стремится к выигрышу.
Развитие игры во времени представляет последовательность ходов участников. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление.
Ходы могут быть сознательно выбраны игроком после анализа ситуации, либо случайно. При случайном ходе выбор осуществляется каким-то механизмом случайного выбора.
Теория игр занимается оптимизацией  поведения игрока в игре, где наряду со случайными ходами есть и ходы, выбранные сознательно. Такие игры называются стратегическими.
В нашем случае ходом является выбор расположения резерва. В зависимости от этого выбора будут получаться различные варианты игры. Мы хотим оценить влияние этого выбора на всю игру.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации.
Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая обеспечивает максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно и кроме  сознательно выбранных ходов содержит случайные ходы, то оптимальная стратегия обеспечивает максимальный средний выигрыш.
Оптимальные стратегии ищутся в предположении, что противник, по меньшей мере, так же разумен, как и сам игрок, и стремится добиться победы.
Заметим, что Кутузов относился с большим уважением к военному таланту Наполеона. Все свои стратегические планы он строил, исходя из того, что Наполеон предпримет наилучшие шаги.
Наполеону было свойственно обратное. В своих заявлениях он всегда относился к своим противникам и соратникам с пренебрежением и цинизмом.   
Предположение одинаковой разумности игроков было реализовано следующим образом. Задав начальное расположение сил в имитационной модели сражения, созданной в редакторе Map Editor стратегической игры Warcraft II, управление обороняющимися и атакующими силами передадим компьютеру. При столкновении управление нападающими и атакующими будет осуществляться по одной и той же программе, с одной и той же скоростью и глубиной проработки вариантов действий.
Ввод в действие резервов осуществлялся в соответствии с реальным сражением, после того как полностью определилось направление удара наступающих войск, т.е. после гибели одной из боевых единиц на направлении главного удара.
Составим математическую модель игры. Для этого рассмотрим различные случаи расположения резерва и направления атак.
1.  Рассмотрим случай расположения резерва за пунктом А.
Предположим, что противник атакует пункт А. Реализуем эту атаку на нашей позиции, а когда бой закончится, подсчитаем потери обороняющихся, которые составят, например, 7 единиц. Если мы вторично загрузим исходную позицию и повторим атаку, то, вообще говоря, потери будут другими. Проведем атаку в третий раз и получим новые потери. Естественно в качестве ожидаемых потерь при атаке пункта  А взять некоторую среднюю величину, получаемую при нескольких атаках. Обозначим эту величину как а11. Аналогично при нападении на пункт В обороняющиеся потеряют а12 единиц.
2. Рассмотрим случай расположения резерва за пунктом В.
Атака пункта А приведёт к потере а21 единиц, а атака пункта В приведет к потере а22 .
Запишем эти значение в следующую таблицу, которая называется матрицей игры.

Напад.                Защит.
А
В
А
а11
а12
В
а21
а22

Заметим, что в случае реального моделирования боевых столкновений для определения вероятностных характеристик потерь обороняющихся и наступающих проводятся маневры. Например, танковый батальон должен преодолеть некоторую оборону, т.е. выявить и поразить средства обороны. Первый батальон поразил часть целей n1, потом другой батальон наступает на эту же восстановленную линию обороны и поражает n2  целей, затем третий; n3, и т.д. Тогда ожидаемое число пораженных целей находится как  среднеарифметическое число пораженных целей . При каждой атаке на танковый батальон будут действовать множество случайных внешних факторов, например, погода, износ техники, готовность экипажей, разные командиры будут выбирать различные пути подхода к обороне и очередность целей и т.д.
В нашем случае компьютер позволяет многократно смоделировать атаку, которая также будет содержать в себе случайные элементы. Компьютер с помощью программы, содержащей вероятностные элементы, обнаруживает противника, по программе, содержащей вероятностные элементы, выбирает стратегию и в процессе столкновения урон, который несут противоборствующие стороны, так же определяется по программе, содержащей вероятностные элементы. Поэтому при каждой реализации сражение протекает различным образом.
Например, при некоторых реализациях имитационной модели Бородинского сражения атака французских войск проводилась сразу по двум направлениям, удар основными силами и отвлекающий удар. В некоторых экспериментах компьютером предпринимались попытки осуществить глубокий охват левого фланга русской армии, иногда часть атакующих сил оставалась в резерве. Обороняющиеся русские войска  в различных экспериментах реализовывали различные действия, перебрасывали войска с фланга на фланг, предпринимали контратаки, пытались нанести фланговый  удар. Все эти действия в той или иное мере имели место в реальном сражении.
Ниже приведена таблица, в которой приводятся потери обороняющихся при различном расположении резерва и различных направлениях атаки. Каждая атака повторялась семь раз. Причем учитывались только безвозвратные потери, т.е. полностью уничтоженные боевые единицы. Среднеквадратичная погрешность вычислялась по формуле .





















ТАБЛИЦА  ПОТЕРЬ В ОБОРОНЕ
Номер атаки
Резерв расположен за пунктом А
Резерв расположен за пунктом В

атака на А
атака на В
атака на А
атака на В
1
7
7
7
5
2
5
7
9
5
3
5
5
7
5
4
6
7
9
4
5
6
7
8
6
6
6
6
9
5
7
5
5
8
5
средние потери
5,7
6,3
8,1
5,0
Средне квадратичная. погрешность
0,70
0,89
0,83
0,53

а11
a12
a21
a22

Соответствующие элементы матрицы игры определялись как среднее арифметическое значение за семь проведенных опытов. Заметим, что увеличение числа опытов и учет дробных составляющих потерь существенно увеличивает трудоемкость эксперимента, причем сами средние значения меняются мало. Величина доверительной вероятности Р; 77% для интервала измерений,  равного (х-1, х+1). 
Матрица игры примет вид:


Напад.                Защит.
А
В
 
А


5,7

6,3

В


8,1

5,0

В процессе реального планирования сражения, вообще говоря, неизвестно, какой пункт позиции будет атакован и где должен быть расположен резерв. Поэтому предположим, что нужно использовать не один план расположения   резерва, а оба, с неизвестными вероятностями p1 и p2. Вероятность p1 будет соответствовать случаю расположения резерва за пунктом А, а вероятность p2 будет соответствовать расположению резерва за пунктом В. Например, если p1=0,2, а  p2=0,8, то это будет означать, что в двух случаях из десяти  резерв необходимо расположить за  пунктом А, а  в восьми из десяти ; резерв расположен за пунктом В. Поскольку полное событие  состоит в том, что резерв будет расположен либо за пунктом А либо за пунктом В, то  p1+ p2=1. 
Если нападение произведено на пункт А, то ожидаемые потери можно представить в виде суммы вероятностных потерь при обороне пункта  А (а11;;p1) и В (a21;p2): а11;;p1+a21;p2. Если нападение произведено на пункт В, то ожидаемые потери будут равны а12;p1+a22;p2. Потребуем, чтобы эти потери при нападении противника на каждый из пунктов не превышали некоторой величины V (а11;p1+a21;p2<V и а12;p1+a22;p2<V). Введем новые переменные    Система условий, описывающих нашу задачу, примет вид:

или, используя полученные значения коэффициентов, запишем
    (1)
Среди множества решений этой системы будем искать такое решение, которое соответствует минимальным потерям, т.е. L в этом случае должно быть максимально.
Полученная задача (1) является задачей линейного программирования, и она может быть решена графически. Каждому неравенству на плоскости x1Ox2 соответствует  полуплоскость. Пересечение этих полуплоскостей образует четырехугольник.


Уравнение L=х1+х2 описывает прямую, пересекающую оси координат в точках х1= L, х2= L. Изменяя L, получим целое семейство прямых. L принимает максимальное значение при прохождении через точку пересечения прямых, определяющих неравенства. Координаты точки пересечения находим из решения системы уравнений

х1=0,1375, х2=0,026631 при этом L=0,1642. Возвращаясь к исходным переменным, получим V=6,09,  p1=0,84, p2=0,16.
Поскольку при решении данной задачи мы получили, что p1>>p2, то можно однозначно утверждать, что наиболее оптимальное расположение резерва русской армии за пунктом  А. Напомним, что пункт А в исследуемой модели соответствует батарее Раевского. Ожидаемые потери составят около 6 единиц.
Заметим, что построенная имитационная модель, математическая модель и найденное решение устойчивы при малых изменениях начального расположения сил и их изменении.
Формулировка задачи поиска оптимальной стратегии, вообще говоря, может быть изменена. Допустим, мы совершили ошибку при выборе стратегии, т.е. резерв расположили за одним пунктом, а нападение было произведено на другой пункт. Естественно поставить вопрос, где должен быть расположен резерв для того, чтобы добиться наименьшего ущерба от этих ошибок.
 Пусть резерв расположен за пунктом А, и противник нападает на этот пункт; потери при этом ; а11, и лишних потерь нет. Если резерв расположен за пунктом В, то лишние потери составят   а21-а11.
Если противник нападает на пункт В, и резерв в пункте В, то потери будут равны а22, и снова нет лишних потерь. Если в этом случае резерв расположен за пунктом А, то лишние потери а12-а22.
Для предложенной стратегии минимизации ущерба от ошибочного решения матрица игры будет иметь вид



Напад.                Защит.
А
В
А
0
а12- а22
В
а21- а11
0
или

Напад.                Защит.
А
В
А
0
1,3
В
2,4
0

Вновь составим задачу линейного программирования. Пусть U;лишние потери, вызванные ошибочным решением, тогда 2,4;р1;U, 1,3;p2;U ,  p1+ p2=1. Введем переменные z1= р1/U, z2= р2/U, K=1/U. Получим следующую систему

Решение будем искать при условии, что величина U (лишние потери) принимает наименьшее значение, т.е. K  максимально. Рассмотрев эту систему, как и в предыдущем случае, на плоскости z1Oz2, получим, что наибольшее значение K=1,19 будет иметь место при z1=0,42, z2=0,77. Возвращаясь к исходным переменным, получим U=0,84, p1=0,35, p2=0,65. Можно видеть, что вероятности изменились на противоположные, т.е. лучший вариант, минимизации погрешности ошибки выбора решения соответствует расположению резерва за пунктом В.
Данная модель позволяет поставить вопрос следующим образом, где должна наносить удар французская армия для того, чтобы потери обороняющейся русской армии были максимальными.
Следует заметить, что Наполеон ставил перед собой задачу разгромить русскую армию. Однако разгромить армию и нанести ей максимальный урон ; это хотя и близкие, но качественно разные задачи, которые, вообще говоря, могут и не пересекаться. Для того, чтобы использовать данную модель для определения оптимальной стратегии Наполеона, необходимо сделать ряд важных, исторически слабо обоснованных, предположений.
 Предположим, что в ходе разведки, атакуя оборонительную позицию несколько раз, противник выявил величины ожидаемых потерь обороняющихся, т.е. ему известна матрица 1, которая введена ранее. Предположим также, что противник стремится нанести максимальный урон обороняющимся  W. Вероятность нападения на пункт А обозначим через q1, а вероятность нападения на пункт В ; через q2, причём q1+q2=1. Для ожидаемых потерь при обороне пункта А получим а11;q1+a12;q2 ;W или , а при обороне пункта В (а21;q1+a22;q2;W) ; . Введем новые неизвестные y1=q1/W, y2=q2/W, M=1/W. Запишем задачу линейного программирования

Эту систему можно решить графически и аналитически. Вновь неравенства выделяют на плоскости y1Oy2 область, в которой они выполняются, а  уравнение M(y1,y2)=y1+y2 описывает семейство прямых.
Будем искать такие значения q1, q2, при которых М принимает минимальное значение (W; максимальное). Это будет иметь место при

Решение этой системы имеет вид  y1=0,0577,  y2=0,1065, (M=0,164225). Возвращаясь к исходным переменным, получим: W=6,09, q1=0,35, q2=0,65. Отсюда следует, что для атакующих предпочтительней атаковать  пункт В, но это решение уже не столь очевидно, как в первом случае53.
Приведенный подход позволяет поставить вопрос об оптимальности построения оборонительной позиции русской армии. Например, насколько правильно было выбрано расстояние по фронту между главными оборонительными пунктами А и В (; измеряется в единицах редактора карты игры, 1 ед.; 300 м.). Очевидно, что потери зависят от расстояния между этими пунктами.
 Для исследования зависимости потерь от расстояния на компьютерной модели, было, проделано пять опытов, результаты которых приведены в таблице. Потери обоих игроков значительно менялись при изменении расстояния.
Заметим, что если расстояние между оборонительными пунктами взять в две масштабные единицы модели, то оборонительные пункты на таком расстоянии сливаются в один пункт и вопрос об оптимальном расположении резерва в получаемой модели утрачивает смысл.
Результаты проведённых экспериментальных исследований для русской армии приведены в таблице №1:
Таблица №1.

ТАБЛИЦА ПОТЕРЬ ПРИ ОБОРОНЕ
S=4
нападение на А
нападение на В
S=10
нападение на А
нападение на В
№ опыта
Защ. А
Защ. В
Защ. А
Защ. В
№ опыта
Защ. А
Защ.. В
Защ. А
Защ. В
1
10
8
10
7
1
4
7
10
7
2
5
6
10
5
2
5
6
10
4
3
4
8
2
10
3
6
8
5
5
4
10
6
6
3
4
7
5
6
3
5
5
9
7
6
5
5
7
7
6
6
5
5
10
10
6
4
5
10
10
7
4
7
3
5
7
4
7
4
5
8
4
6
6
6
8
7
6
6
4
9
5
7
7
7
9
3
7
7
7
10
10
8
6
2
10
2
10
6
6
Средн. потери
6,2
7
6,7
6,1
Средн. потери
4,7
6,8
7,1
5,7
;
0,77
0,988
0,73
0,77
;
0,94
0,964
0,87
0,89
S=6
Нападение на А
Нападение на В
S=12
Нападение на А
Нападение на В
№ опыта
Защ. А
Защ. В
Защ. А
Защ. В
№ опыта
Защ. А
Защ. В
Защ. А
Защ. В
1
6
7
10
5
1
8
10
3
9
2
6
10
10
8
2
10
10
10
5
3
6
7
9
6
3
7
7
7
10
4
6
6
8
3
4
5
6
10
4
5
10
10
10
7
5
7
5
9
6
6
3
7
2
6
6
5
7
10
6
7
8
10
4
6
7
7
8
5
8
8
4
7
5
10
8
7
8
10
10
9
7
7
9
8
9
7
10
10
10
10
3
7
6
4
10
7
5
10
6
Ср. потери
5,9
7,8
7,5
6,3
Ср. потери
7
7,6
8,4
7,4
;
0,87
0,95
0,73
0,87
;
0,972
0,89
0,77
0,84
S=8
Нападение на А
Нападение на В
S=14
Нападение на А
Нападение на В
№ опыта
Защ. А
Защ. В
Защ. А
Защ. В
№ опыта
Защ. А
Защ. В
Защ. А
Защ. В
1
8
8
5
8
1
10
10
10
7
2
10
10
4
10
2
7
10
10
6
3
6
8
10
6
3
8
10
10
6
4
10
7
10
10
4
10
10
10
10
5
6
5
7
6
5
8
10
7
6
6
7
4
10
7
6
8
10
10
8
7
8
10
10
8
7
10
10
4
10
8
10
5
10
10
8
10
10
10
10
9
10
7
7
10
9
6
10
10
8
10
8
2
10
8
10
10
9
10
10
Средн. потери
8
6,6
8,3
8,3
Средн. потери
8,7
9,9
9,1
7,5
;
0,94
0,77
0,8
0,94
;
0,964
0,99999
0,89
0,91


В таблице 2 содержатся результаты обработки данных таблицы №1.

Таблица №2

Стратегии игрока 1.
S
V
p1
p2
4
6,5
0,64
0,36
6
6,8
0,48
0,52
8
8,3
0,8
0,2
10
6,2
0,3
0,7
12
7,5
0,2
0,8
14
8,9
0,85
0,15

где р1 ; вероятность защиты пункта А, р2 ; вероятность защиты пункта В, V ; максимальные потери при выборе оптимальной стратегии.
Учитывая введенный выше масштаб 4 клетки1200м., укажем весь диапазон исследуемых расстояний в реальном масштабе м.
Построенная таблица позволяет провести исследование функции , т.е. найти ее максимум и минимум в зависимости от S. Определим значения функции потерь между экспериментальными точками с помощью интерполянты Лагранжа [69]. Интерполянта Лагранжа имеет следующий вид
.
Используя данные из таблицы 2, с помощью пакета Excel получим вид интерполянты и ее график:

.



Из полученного графика видно, что минимум значения потерь будет при . Проведенный анализ выявил ещё один замечательный факт, расстояние между основными опорными пунктами оборонительной позиции (между Семеновскими флешами и Батарей Раевского) близко к оптимальному.
Аналогичным образом можно аппроксимировать зависимость выбора вероятности обороны Семеновских флешей и Батареи Раевского от расстояния.
 .
Вид зависимостей показан на рисунке ( р1 соответствует график с треугольными маркерами, а р2 ; график, отмеченный круглыми маркерами).



Полученные зависимости показывают, что выбор вероятности обороны того или иного пункта существенно зависит от расстояния между пунктами.
Проведенный анализ позволяет оценить степень неопределенности принимаемого решения. В теории информаций в качестве меры такой неопределенности выступает энтропия [70,71]54.
Энтропией опыта имеющего k исходов называется величина  , где ; вероятность i исхода опыта .
Заметим, что если опыт имеет однозначный исход, то его энтропия равна нулю. Максимальное значение энтропии (наибольшая степень неопределенности исхода опыта) достигается при равновероятных исходах.
При принятии решения о расположении резерва М.И. Кутузов должен был учитывать множество факторов, с одной стороны ; рельеф местности благоприятствовал нанесению главного удара вдоль Новой Смоленской дороги, с другой стороны Наполеон обладая численным преимуществом, мог наносить удары в нескольких  местах. Используя ранее найденные вероятности расположения резерва, найдем энтропию, т.е. степень неопределенности оптимального решения для М.И. Кутузова .
Для Наполеона ситуация была более неопределенна, он не имел точного представления ни о местности на которой развернулось сражение, ни о расположении и количественном составе русской армии. Соответственно энтропия принятия решения гораздо больше
.
Наполеону для уменьшения степени неопределенности необходимо было провести разведку русских позиций, т.е. получить дополнительную информацию.
В заключение заметим, что, создавая оборонительную позицию на Бородинском поле и определяя место расположения главного резерва русской армии, М.И.Кутузов исходил из своего предыдущего боевого опыта и предвидения хода сражения. Проведенный анализ показывает, что принятое им решение было близко к оптимальному.
Анализировать действия Наполеона с позиции данной модели не представляется возможным. Сражение развивалось по сценарию, во многом неожиданному для него. Во время сражения Наполеон постоянно импровизировал, менял свои решения, осуществлял перемещения войск, не связанные непосредственно с ходом сражения и основными ударами.

Глава 5. Ланчестерская модель описания боя большой группировки

«По склону вверх король повел
Полки своих стрелков.
По склону вниз король сошел,
Но только без полков».

Старинная английская песенка

Бородинское сражение при невиданной ожесточенности и гигантских людских потерях является в некотором роде предвестником будущих позиционных битв. В течение сражения позиция русской армии практически не изменилась. Французы сумели потеснить русскую армию на незначительное расстояние, но в результате обе армии оказались обескровленными.
Стационарность позиции, массированное использование артиллерии в ходе сражения позволяют построить динамическую математическую модель изменения численного состава армий.
Известно, что для описания боя многочисленных группировок, могут быть использованы статистические подходы [41]. Если группы боевых средств, участвующих в бою, достаточно многочисленны, то случайности, связанные с состоянием каждой отдельной единицы (поражена ; не поражена; выстрелила ; не выстрелила), мало сказываются на состоянии всей группы в целом. Согласно закону больших чисел относительное число сохранившихся боевых единиц с той и другой стороны будет близко к некоторому среднему значению, т.е. к его математическому ожиданию. Для таких групп могут быть созданы сравнительно простые методы учета противодействия, в которых можно отказаться от рассмотрения подробностей, связанных с состоянием каждой отдельной боевой единицы, а изучать изменение состава всей группой в целом.
Рассматривая динамику боя многочисленных группировок, естественно нельзя зафиксировать моменты отдельных выстрелов и соответственно поражения боевых единиц. Поэтому будем полагать, что моменты выстрелов отдельных боевых единиц будут случайными. Последовательность выстрелов во времени будем рассматривать как некоторый поток событий.
В теории вероятности потоком событий называется последовательность однородных событий, осуществляющихся одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
Поток событий можно изобразить как последовательность моментов их появления на оси времени.
Предположим, что события  появляются в моменты времени поодиночке, т.е. невозможно совпадение двух событий в один и тот же момент времени. Выделим на оси времени отрезок длинны ;, начинающийся в точке t, и заканчивающийся в точке t+;. Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания точек на участок ;, не зависит от того, как расположились точки, попавшие на другие участки.
Поток событий без последействия возникает везде, где появление последовательных событий обусловлены различными не связанными друг с другом причинами.
Если поток событий ординарный и не имеет последействия, то число событий, попадающих на заданный участок ;, распределяется по закону Пуассона. Вероятность попадания m точек на участок ; равна
,
где  ; среднее число точек, попадающих на участок ;, ; плотность потока событий (среднее число событий, приходящееся на единицу времени). Как правило, такой поток называют пуассоновским потоком.
При исследовании динамики боевых действий последовательность выстрелов (или обобщенных выстрелов), осуществляемых каждой единицей, участвующей в бою, можно представить как пуассоновский поток событий.
Заметим, что моменты последовательных выстрелов из одного орудия не образуют пуассоновский поток событий, так как выстрелы разделены некоторыми постоянными интервалами времени, нужными для заряжения орудия. Однако, если одна и та же цель обстреливается несколькими орудиями, то суммарный поток выстрелов будет близок к пуассоновскому потоку.
При описании боя более удобным является рассмотрение потока успешных выстрелов, т.е. выстрелов, поразивших цель. Поскольку каждый из выстрелов поражает цель с некоторой вероятностью, то плотность потока успешных выстрелов может быть записана в виде .
Рассмотрим простейшую модель боя. Пусть в бою участвуют две группировки. В составе группировки ; имеется однородных боевых единиц (пушек, танков, кораблей, самолетов и т.д.). Во второй группировке ; боевых единиц, однородных между собой, но необязательно однородных с боевыми единицами первой группировки.
Примем следующие допущения:
1. Каждая боевая единица любой стороны, пока не поражена, производит случайный пуассоновский поток выстрелов.
2. Каждая боевая единица первой группировки может стрелять по любой боевой единице второй группировки и наоборот. Огонь является прицельным. Одним выстрелом нельзя поразить более одной боевой единицы.
3. Если боевая единица поражена, то огонь мгновенно переносится на другую боевую единицу. Пораженная единица выбывает из боя.
4. Временем полета снаряда до цели можно пренебречь по сравнению с общей длительностью боя.
5. В любой момент времени боевая суммарная мощь каждой группировки  пропорциональна не самому случайному числу сохранившихся боевых единиц, а его среднему значению (математическому ожиданию).
Последнее допущение справедливо для многочисленных группировок, когда случайности, связанные с поражением или не поражением отдельной боевой единицы мало сказываются не суммарной огневой мощи группировки.
Обозначим через ; среднее число боевых единиц первой группировки, сохранившихся непораженными к моменту , ; среднюю скорострельность (число выстрелов в единицу времени) для одной боевой единицы, ; вероятность, с которой каждый выстрел поражает единицу второй группировки; аналогично введем , , ; для второй группировки. В принятых обозначениях каждая боевая единица первой группировки будет осуществлять пуассоновский поток успешных выстрелов , а второй группировки ; .
Зафиксируем некоторый момент времени  и запишем, как изменится средняя численность сторон ,  за малый промежуток
,
Деля оба уравнения на и устремляя к нулю (), получим систему линейных дифференциальных уравнений, описывающих изменение численности противоборствующих сторон

Очевидно, что в начале боя () можно положить, что
, (3)
 где ; количество боевых единиц перед боем.
Уравнения (2) описывающие изменения численности сторон в процессе боя, называются уравнениями динамики боя или уравнениями Ланчестера 2-го рода.
Если предположить, что ,  остаются постоянными в течение боя, то систему (2),(3) удается проинтегрировать. Выразив из первого уравнения системы (2) и подставив его во второе уравнение, получим
.
Решение этого уравнения имеет вид
,
или, переходя к гиперболическим функциям и определяя константы интегрирования, получим
.
Для второй группировки получим
.
Вид решения можно упростить, если перейти от абсолютной численности боевых единиц к относительной 
.
Система уравнений (2) примет вид

Начальные условия для системы запишутся в виде
.
Вводя обозначения  , получим

В числителе выражения  стоит среднее число успешных выстрелов производимых в единицу времени в начальный момент времени боевыми единицами первой группировки. Следовательно, величина характеризует среднее число успешных выстрелов первой группировки на боевую единицу второй группировки и называется характеристикой интенсивности воздействия первой группировки на вторую. Аналогичный смысл имеет величина .
Решение системы (4) запишем в виде

где,  ; коэффициент преимущества ; определяется по следующей формуле

Если коэффициент преимущества , то первая группировка сильнее второй группировки и бой закончится ее победой. Если , то сильнее вторая группировка. При  решение запишется в виде . Вид решения при различных значениях  показан на рис. 1.






















Заметим, что приведенная модель справедлива при достаточно больших значениях, , т.е. если бой идет на истощение, то модель применима пока  (Рис.1).
Из (6) можно видеть, что коэффициент преимущества в большей мере зависит от начального соотношения сил , чем от соотношения эффективных скорострельностей . Действительно, увеличение эффективной скорострельности в два раза приводит к увеличению коэффициента преимущества только в раза.
Это позволяет сделать некоторые нетривиальные выводы. Одна боевая единица с удвоенной скорострельностью требует для своего поражения меньшего расхода выстрелов, чем две установки с нормальной скорострельностью. Поэтому повышение скорострельности менее выгодно, чем пропорциональное увеличение числа боевых единиц. То же относится к повышению эффективной скорострельности за счет увеличения вероятности поражения. Выгоднее увеличивать число стреляющих единиц, чем в такое же число раз повышать вероятность поражения каждым выстрелом.
Запишем связь между  и в течение боя. Из (5)

или учитывая, что , получим
.
Отсюда для связи  с  получим
.   (7)
Заметим, что приведенная модель боя может быть уточнена, если учесть дополнительный фактор, связанный с подходом резервов. Пусть ,  ; количество резервов, вводимых в бой в единицу времени, тогда система (1) преобразуется к виду

Отсюда, устремляя  , получим систему дифференциальных уравнений

Вновь вводя обозначения   и , получим

С помощью уравнений динамики боя можно учесть упреждающий удар, темпы мобилизации, истощение ресурсов (боеприпасов) и их восстановление и т.д. Для учета этих факторов достаточно полагать коэффициенты , в (8) или в (4) не постоянными, а изменяющимися во времени по определенному закону.
Построенная модель представляет модель высокоорганизованного боя с полной и незапаздывающей информацией о состоянии противника и мгновенным учетом этой информации.
Можно рассмотреть противоположный крайний случай плохо организованного боя, где информация о  состоянии противника не поступает и перенос огня не производится.
Примем следующие допущения
1. Каждая боевая единица любой стороны, пока не поражена, производит случайный пуассоновский поток выстрелов.
2. Огонь каждой стороны распределяется статистически равномерно по всем боевым единицам противника.
3. Каждая боевая единица первой группировки может стрелять по любой боевой единице второй группировки и наоборот. Огонь является прицельным. Одним выстрелом нельзя поразить более одной боевой единицы.
4. Информация о поражении целей не поступает, и перераспределение огня не производится.
5. Временем полета снаряда до цели можно пренебречь по сравнению с общей длительностью боя.
6. В любой момент времени боевая суммарная мощь каждой группировки  пропорциональна не самому случайному числу сохранившихся боевых единиц, а его среднему значению (математическому ожиданию).
Запишем, как изменится средняя численность сторон ,  за малый промежуток с учетом того, что вероятность успешного выстрела второй группировки по непораженной боевой единицы первой группировки  равна , а для успешного выстрела первой группировки соответствующая вероятность равна ;


Соответствующие дифференциальные уравнения будут иметь вид

Переходя к относительной численности , получим систему уравнений

при начальных условиях .
Данная система дифференциальных уравнений (9) при постоянных параметрах может быть проинтегрирована в аналитическом виде. Решение имеет вид

Переходя к «приведенному времени» и вводя параметр, характеризующий преимущество одной стороны над другой , запишем
(10)
Заметим, что 
или
.    (11)
Из уравнения (10) можно записать связь между  и в течении боя
. (12)
Изменение сторон в этом случае происходит более медленными темпами по сравнению с хорошо организованным боем.


Глава 6. Анализ соотношения русских и французских потерь в
Бородинском сражении с помощью ланчестерской модели боя

«Взять штурмом не подавленную батарею ; химера.»
Наполеон. Избранные произведения [72].
 
Бородинское сражение отличалось очень большой кон­центрацией артиллерии. Ни до этого сражения, ни после него никогда не наблюдалось такого количества артиллерийских орудий на таком небольшом по размерам поле. В русской армии было около 640 орудий во французской армии ; 590.
Приведем некоторые характеристики артиллерийских парков сторон и их командования.
Представление о количестве артиллерии в «Великой армии» дают трофеи, взятые рус­ской армией. Французская армия оставила в России 1372 орудия. В Кремль было привезено 874 орудия, из них: 365 французских, 188 австрийских, 169 немецких (прусские, боварские, саксонские), 110 итальянских (неаполитанских и т.д.)55 (стр.205,256,[51]).
Однако надо заметить, что за время наполеоновских войн в французской армии наблюдалось постоянное снижение количества артиллерии на 1000 солдат. Например, если в 18-ом веке во французской армии приходи­лось 6-7 орудий на 1000 человек, то в массовых армиях Наполеона их количество снизилось до 1-2 орудия на 1000 человек.
Непосредственно на Бородинском поле концентрация артиллерии в «Великой армии» была значительно выше и достигала 4,5 орудия на 1000 человек.
Основной парк наполеоновской артиллерии составляли 6-, 4- и 3-фунтовые пушки, 12-фун­товые пушки составляли около 10% (;60) от общего количества. Это определялось началь­ной установкой армии на быстрое преследование русской армии.
Наполеон, будучи артиллерийским офицером, хорошо понимал роль и значение артилле­рии на поле боя. Ему принадлежит множество высказываний по этому поводу. В своей воен­ной практике он впервые ввел массированное использование артиллерии на направлении главного удара. Во многих сражениях он концентрировал свою артиллерию в одну гигант­скую батарею, которая пробивала брешь в обороне противника. Но в силу ряда причин он вынужден был постепенно отказываться на практике от своих теоретических положений.
 «Великую армию» образовывали войска разных стран, их подготовка, техническое оснаще­ние, управление очень сильно отличались. Все это создавало дополнительные проблемы при   планировании и управлении армией.
Начало сражения и весь его ход показывает, что проведенная французским штабом подготовка была на очень низком уровне. Как и во всей компании 1812 года практически полностью отсутствовала разведка. Наполеон не имел достоверных данных ни о численности русской армии, ни о ее составе, ни о расположении, ни о местности, на которой будет происходить сражение. По ходу сражения Наполеон вынужден был последовательно вскрывать русские оборонительные линии.
Главная французская батарея, созданная для взятия Семеновских флешей, была расположена на расстоянии, превышающем дальность ее стрельбы.  О ее создании так пишет участник сражения офицер дивизии  Неверского Н. И. Андреев «С 25-го на 26-е в ночь, близко нас, у неприятеля пели песни, били барабаны, музыка гремела, и на рассвете увидели мы вырублен лес и против нас, где был лес, явилась огромная батарея»[73]. Уже в ходе боя под огнем русской артиллерии батарея была передвинута вперед. Для Наполеона было полной неожиданностью, что есть вторая линия обороны по Семеновскому оврагу и захват флешей можно считать достаточно условно успехом, так как все занятое пространство простреливается тяжелой русской артиллерией. После взятия батареи Раевского открылась ключевая роль Горецкого кургана. Все это приводило к импровизациям в управлении и к неоправданным потерям.
На Бородинском поле Наполеон постоянно нарушал один из своих неоспоримых тезисов «…Если противник имеет 50-60 орудий, выгодно расположенных, тщетно было бы атаковать его, даже располагая превосходством в 8 тыс. пехоты и 4 тыс. кавалерии. Нужна батарея равной силы. Надежда ворваться на батарею и овладеть ею холодным оружием или при помощи стрелков перебить прислугу ; это просто химера…. Пехота не может безнаказанно пройти 500 ; 600 туазов (975-1175м) под выстрелами выгодно расположенной и успешно действующей артиллерии противника: она будет разгромлена» [72]. 
В русской армии концентрация артиллерии была выше, чем во французской армии (5,5 орудий на 1000 солдат). Заметим так же, что эта артиллерия была более крупного калибра, чем французская артиллерия: так 12-фунтовые пушки составляли 25% (;160).
Рассматривая артиллерийские  позиции русской армии нельзя не прийти в восхищение от глубины продуманности их расположения. Насколько гармонично они расположены, прикрывая друг друга и все предпольное пространство огнем. Открытые с восточной стороны флеши не представляли ни какой ценности для защиты захвативших их французских войск. Для того, чтобы удержать флеши надо было взять батарею Раевского и батареи за Семеновским оврагом, которая в свою очередь прикрывалась батарей на Горецком кургане. Для того, чтобы дать представление о батареи Раевского приведем вторично ее описание.
«… Батарея была совершенно окончена и орудия стояли на местах…вся местность лежавшая перед нею, защищалась сильным перекрестным огнем» с открытой батареи в 60 орудий, поставленных у деревни Семеновской, и двумя батареями: с одной поставленной у деревни Горки, и другой, принадлежавшей артиллерии 6-го корпуса….».
Осмотрев батарею, Богданов нашел, что она имела 19 орудий, протяжение ее кривой линии было до 60 сажен, ширина рва 3,5 сажени, глубина у контрэскарпа до 1,5 сажени. По флангам были насыпаны брустверы со рвами высотой один 8 футов другой 6,5 футов56. Около двух тысяч человек было введено в укрепление. « … неприятель, выстроившись к атаке, должен был двигаться по ровной открытой площадке до 400-т саженей в густых массах; попасть под прицельный огонь сомкнутого люнета и потом войти в сферу картечного огня более 200 пушек…»[59].
Описывая состояние русской армии нельзя не остановиться на приказе командующего русской артиллерии генерал-майора графа А.И. Кутайсова.
«Подтвердить от меня во всех ротах, чтобы они с позиций не снимались, пока неприятель не сядет верхом на пушку. Сказать командирам и всем гг. офицерам, что, отважно держась на самом близком картечном выстреле, можно достигнуть того, чтобы неприятелю не уступить ни шагу позиции. Артиллерия должна жертвовать собою: пусть возьмут Вас с ору­диями, но последний картечный выстрел выпустить в упор, и батарея, которая таким образом будет взята, нанесет неприятелю вред, вполне искупающий потерю орудий»57 [75].
Бородинская битва по своей сути представляла артиллерийский бой на истощение. В те­чении всего боя основным поражающим фактом была артиллерия, это отмечают как русские, так и французские источники58. В подтверждение приведем всего одну цитату из донесения М.И. Кутузова «Артиллерия наша, нанося ужасный вред неприятелю цельными выстрелами своими, принудила неприятельские бата­реи замолчать, после чего вся неприятельская пехота и кавалерия отступили» (стр.168,[15]).
Предлагаемая математическая модель боя строится на описании артилле­рийского противостояния и позволяет ответить на вопрос, каково было соотношение потерь сторон в конце сражения.
Бородинское сражение началось с артиллерийского огня и закончилось артиллерийским боем вечером. В русской армии расход артиллерийских снарядов составил около 60000 выстрелов59(стр.233, [51]). Если считать что в бою активно участвовало ;500 орудий, то это приводит к тому, что эти орудия сделали по ;120 выстрелов. С учетом реальной скорострельности, т.е. с учетом убыли личного состава, перемещений орудий и зарядных ящиков по полю боя, переносом огня с цели на цель, это означает, что каждое орудие вело огонь 6-8 часов.
Приведем основные параметры артиллерийских систем используемых в войне 1812 года [51,76].

Калибр
Вес ядра
Предельная дальность
(практическая стрельба)
Скорострельность
12 фунтов(121мм.)
5,88 кг
Ядро 2700м (1200м)
Картечь 500-600 м.
1 выстр. в 1 мин.
2 выстр. в 1 мин
8 фунтов(106мм.)
3,92кг
1000-800м
Картечь 500-600м.
1 выстр.в 1мин.
6 фунтов (96мм.)
2,94кг
Ядро 2100м (1000-800м)
Картечь 500-600 м.
1 выстр. в 1 мин.
2 выстр. в 1 мин.
4 фунтов (84мм.)
1,96кг
;
;
3 фунтов (71мм.)
1,47кг
;
;
Ружья 19,5мм-17,8мм
23-25г
200м (эффективн. огонь 75-50м)
1выстр. 1 мин.
Штуцер 13,5-16мм
20-17г
700м
1выстр. 4-5мин.

Русская армия имела 640 орудий из них 160 орудий 12 фунтовых. Французская армия имела 590 орудий, из них 60 орудий 12 фунтовых.
Для построения математической модели определим некоторые величины и сделаем не­сколько вполне естественных предположений.
Весом обобщенного залпа будем называть вес снарядов, которые могла бы выстрелить вся артиллерия одной из стороны за один выстрел.
Вес русского залпа Рр=160*5,88+480*2,94=2352кг.
Вес французского залпа60 Рф=60*5,88+530*2,94=1911кг.
1. Предположим, что вероятность успешного выстрела для русской и французской армии равны.
2. Предположим, что скорострельность артиллерии обоих армий была одинакова.
Эти два предположения вполне обоснованны, так как обе армии к началу войны имели большой боевой опыт.
3. При построении модели не учитывается поражающий фактор ружейного огня. Это свя­зано с его малой эффективностью по сравнению с артиллерийским огнем (малая дистанция эффективного огня, огонь велся, как правило, залпами из положения стоя, небольшая скорострельность, и т.д. см. таблицу 1)61.
4. При построении модели не учитывался поражающий фактор рукопашных пехотных и кавалерийских столкновений. Действительно, во время боя непрерывно происходили ожесто­ченные рукопашные бои, но потери в этих столкновениях были примерно равными, так как отсутствовали фазы разгрома и панического отступления одной из сторон. Эти потери были несравненно меньше потерь от артиллерийского огня.
В основу расчетной модели положим вес залпа. Вес выстрела одного усредненного  русского орудия , это орудие возьмем за эталонное орудие. Следовательно число эталонных орудий французской стороны . При сделанных предположениях превосходство русской артиллерии, в соответствии с моделью хорошо управляемого боя, описанной в главе 5 определится следующим коэффициентом (см.формулу (6))
,
, .
Для определения потерь французской армии возьмем за основу потери русской армии, подтвержденные документами. Эти потери составили около 15 тысяч убитых и 30 тысяч раненых. Потери артиллерии, вообще говоря, неизвестны62. Русская армия имела 654 орудия, т. е. на каждую тысячу солдат приходилось 5,5 орудий. Полагая, что потери артиллерии пропорциональны безвозвратным потерям в личном составе (; 15 тысяч), полу­чим, что из строя было выведено и потеряно около 82 орудий. Следовательно, на момент окончания боя оставалось 568 орудий или . Из (7) можно записать

или , т.е. в французской армии осталось около  эталонных орудий. Пересчитаем полученные орудия в реальные орудия французской армии. Реальным 590 французским орудиям соответствует 528 эталонных орудий, следовательно, 423 эталонным орудиям будет соответствовать . Потери французской армии по артиллерии составили 119 орудий. Если учесть, что в армии Наполеона на тысячу человек приходилось 4,5 орудия, то, пересчитывая артиллерийские потери на потери личного состава, получим 119;4,5;26,4 тыс. чел.
Проведем расчеты по второй модели плохо организованного боя. В обозначениях, принятых в главе 5, из (11) имеем  или . Из (12) следует  или . Следовательно, на момент окончания боя во французской армии осталось  орудий или . Французские потери по артиллерии 94 орудия и пересчитывая их на потери личного состава получим 94;4,5;21 тыс. человек. Полученные потери несколько меньше, чем потери, рассчитанные по первой модели.
Можно видеть, что безвозвратные потери атакующей французской армии при расчете по модели артиллерийского боя в ;1,4;1,8 раза превышают потери русской армии. Потери французской армии раненными, по-видимому, составляли не менее 40 тысяч человек.
Заметим, что полученные значения потерь пропорциональны документально известным потерям офицерского состава. Наполеоновская армия потеряла 1 тыс.800 офицеров, 47(49) генералов в русской армии погибло 23 генерала и 851 человек офицеров. Утверждение о том, что французская армия имела большее число офицеров [17], подтверждается тем, что при равном количестве офицеров на тысячу солдат французские потери должны были составлять 1450 офицеров.
В заключение заметим, что с Бородинского поля по некоторым источникам было убрано 58 тысяч тел погибших в сражении [7,44,56].

Глава 7. Математическая формализация
вопросов военной тактики и стратегии

Любое сражение это сложное многоплановое явление. Для того, чтобы провести его корректное исследование и получить объективные оценки его результатов, необходимо выявить и изучить простейшие составляющие сражения: оценить позиции с точки зрения атаки и обороны, возможности проведение маневра сил, ожидаемых потерь и т.д.. Еще более сложная проблема связана с оценкой планов и решений главнокомандующих в ходе сражения. Качественные исследования этих вопросов, как правило,  допускают многозначное толкование.
В данной главе приводятся математические модели и количественный анализ элементарных составляющих сражения. Все численные значения, используемые в  главе, взяты из [44, 52, 60].

1.  Коэффициенты преимущества сторон, определяемые характером местности и    возведенными укреплениями.

При анализе боевых столкновений разнородных сил обычно эти силы сравнивают по некоторым значимым для исследования параметрам и приводят к боевым единицам одного вида. Этим самым качественные различия преобразуются в количественные. Примером такого преобразования может служить проведенный в шестой главе сравнительный количественный анализ русской и французской артиллерии.
Из практики боевых действий известно, что участвующие в бою стороны используют рельеф местности и создают специальные оборонительные сооружения, для того чтобы получить преимущество перед противником. Эти преимущества могут быть так же учтены количественно. Боевые единицы, расположенные на высоте или в защитных сооружениях, при анализе могут быть заменены на большее количество единиц, но расположенных на открытой местности. Следовательно, на первом этапе анализа оборонительной линии необходимо все боевые средства и условия местности пересчитать на некоторые эквивалентные им силы, расположенные на открытом ровном пространстве.
При военном планировании и исследовании современных боевых операций оценки коэффициентов превосходства, связанных с оборонительными сооружениями и качеством боевой техники, проводятся с помощью анализа экспериментальных данных, полученных при проведении военных учений и маневров. Очевидно, что такой подход требует больших затрат и совершенно не применим в исторических исследованиях. Однако эти коэффициенты могут быть оценены либо с помощью физического и технического анализа, либо по самим фактам прошедших событий.
Покажем, как преимущества, связанные с оборонительными сооружениями, можно оценить количественно.
Различные естественные препятствия (подъемы по склонам высот, овраги, заболоченная местность) и искусственные препятствия ( «волчьи ямы», рогатки и т.д.) снижают скорость атаки. Атакующие, преодолевая эти препятствия, находятся большее время под артиллерийским и ружейным огнем, по сравнению со временем атаки на то же расстояние, но по открытой удобной местности.
Пусть атакующие войска должны под огнем артиллерийской батареи (n; орудий) пройти расстояние, равное S. Если местность открыта и количество препятствий минимально, то скорость движения . Время, которое атакующие находятся под огнем, . За это время батарея успеет сделать  выстрелов, где ; скорострельность одного орудия. Если на местности есть естественные и искусственные препятствия, которые приводят к снижению скорости перемещения на величину , то время перемещения под огнем увеличится: . Следовательно, батарея успеет сделать большее число выстрелов . Отсюда можно сделать вывод, что атака по пересеченной местности эквивалентна атаке по ровной местности при условии, что число орудий у обороняющейся батареи больше (). Коэффициент преимущества, связывающий эти количества определится следующим выражением
.
Отсюда следует .
На рисунке 1 показана зависимость коэффициента от относительного изменения скорости перемещения атакующих

Рис.1
Можно видеть, что с уменьшением скорости перемещения атакующих войск, т.е. увеличением количества препятствий, коэффициент превосходства резко возрастает. 
Рассмотрим следующую позицию: пусть артиллерийская батарея расположена на высоте. Очевидно, что она стреляет дальше, чем батарея, расположенная на равнине или у подножия высоты. Изменением скорости атаки на данном этапе исследования будем пренебрегать.
Рассматриваемая батарея может быть заменена эквивалентной батареей, стоящей на плоскости, но с большим числом орудий.
Пусть атакующим солдатам требуется пройти под огнем расстояние S, скорость перемещения V. Время, которое они будут находиться под огнем, вновь определится по формуле . Если они атакуют батарею, стреляющую на большее расстояние, с прежней скоростью, то время атаки . Батарея при атаке сделает большее число выстрелов и коэффициент превосходства может быть записан в следующем виде  .
Для того, чтобы оценить величину этого коэффициента превосходства, необходимо определить .
Рассмотрим следующую задачу.
Как изменится дальность стрельбы артиллерийского орудия, находящегося на высоте (Рис.2)?

Рис. 2

Из теоретической механики известно, что закон движения  снаряда в среде с учетом аэродинамического сопротивления определяется уравнениями

где ;ускорение свободного падения, ; коэффициент сопротивления среды. Начальные условия имеют вид , где  ; составляющие начальной скорости снаряда,  ; высота, с которой произведен выстрел.
Данная задача хорошо изучена в теоретической механике [77]. Не останавливаясь на всех деталях решения, приведем результаты численного решения задачи при следующих параметрах63. Составляющие начальной скорости снаряда , выстрел производится под углом в .




h(м)
S(м)

S(м)

- 10
1000
0,93
680
0,94
0
1080
1
720
1
10
1125
1,04
760
1,06
где h ; высота расположения орудия. Отрицательные значения соответствуют выстрелу вверх по склону, очевидно, что дальность при этом убывает (Рис. 3).

Рис. 3
Если сравнивать коэффициент превосходства орудий, стоящих на высоте, по отношению к орудиям, стоящим у подножия и стреляющим вверх, то значение коэффициентов будут больше: для среды без сопротивления , для среды с сопротивлением .
Определим коэффициент превосходства батареи, расположенной на высоте, с учетом уменьшения скорости атаки. Полное время атаки может быть определено по следующей формуле . Коэффициент преимущества в этом случае имеет вид
.
Аналогичным образом можно вычислить коэффициент превосходства при наличии укрепления. На рисунке 4 показано, что поражение цели за оборонительной стеной связано с необходимостью использовать гаубицы, которые должны быть расположены ближе к цели.


Рис. 4
Если высота защитных фашин и бруствера h; 2 м, то от прямого воздействия артиллерийского огня будет закрыто около 13 м. Данная оценка получена с помощью предыдущего баллистического анализа.
Защитные сооружения, кроме того, повышают живучесть укрытых орудий и личного состава батарей. Причем считается, что укрытие снижает потери в 3 ; 4 раза, т.е. вероятность поражения укрытого орудия снижается. Следовательно, одно укрытое орудие при массовом применении артиллерии эквивалентно трем ; четырем орудиям на открытой местности. При атаке орудия пехотными подразделениями это преимущество уменьшается, т.к. в этом случае орудие поражается не огнем, а захватывается.
Коэффициенты преимущества зависят и от других параметров, например от числа орудий сосредоточенных в одну батарею. С одной стороны, концентрированный огонь шести орудий, по-видимому, эффективней огня одного орудия более чем в шесть раз, но с другой стороны, начиная с некоторого, достаточно большого числа орудий в батарее эффективность огня начинает падать, т.е. она не увеличивается в кратное число раз с ростом числа орудий.
В заключение заметим, что коэффициент преимущества зависит также от морального состояния подразделений и солдат, участвующих в сражении. Этот моральный фактор является наиболее трудно учитываемым фактором при боевом прогнозировании.
Полный анализ коэффициентов материального преимущества русской оборонительной линии и линии расположения французских войск является отдельной большой исторической задачей. В этом случае необходимо определить не только состав отдельных батарей, но и местность, на которой они расположены, учесть сектора обстрела и т.д. Однако интегральную оценку значение суммарного коэффициента материального и морального преимущества в первом приближении можно получить, рассмотрев соотношение сил во время сражения.
По разным источникам Семеновские флеши выдержали шесть ; восемь атак. Для первой  атаки Семеновских флешей Наполеон сконцентрировал 16 тысяч человек при 51 орудии. Флеши обороняли около 10 тысяч человек и 36 орудий. Первая атака была отбита без непосредственного рукопашного боя. Третью атаку осуществляло около 38 тысяч человек при 155 орудиях, а отражали ее 18 тысяч человек при 100 орудиях.
В последней атаке французов на флеши участвовало около 45 тысяч человек и 400 орудий, отражали атаку около 20 тысяч и 300 орудий. Из этих данных можно сделать вывод, что коэффициент преимущества связанный с оборонительными сооружениями и моральной стойкостью русской армии лежал в следующем интервале: .
После отхода русских частей за Семеновский овраг соотношение сил русской и французской армий было следующим. Русские войска (3-я пехотная дивизия и 3 гвардейских полка), не более 10 тысяч человек, успешно отбили атаки корпусов Даву, Нея и кавалерийских корпусов Нансути и Латур-Мобура, около 25 тысяч человек, т.е. коэффициент превосходства .
Коэффициент превосходства батареи Раевского оценить гораздо труднее, поскольку она подвергалась артиллерийскому огню с трех сторон, а атаке даже с четырех. В этом штурме были задействованы 1, 3 и 4 корпуса, 2 и 4 кавалерийские корпуса Наполеона. Отражали атаку 7, 6 пехотные корпуса, 2-й и 3-й кавалерийские корпуса, гвардейские полки (Преображенский и Семеновский полк). Следует заметить, что как французские, так и русские корпуса к моменту боя за батарею Раевского понесли серьезные потери и  учесть их реальный состав не представляется возможным. Можно сделать предположение, что коэффициент превосходства батареи Раевского был близок к коэффициенту превосходства Шевардинского редута. Шевардинский редут успешно обороняли 12 тысяч человек и 36 орудий против 40 тысяч французов при 186 орудиях, т.е. коэффициент превосходства .

2. Влияние местности и оборонительных сооружений на распределение обороняющихся сил.

Анализ построения линии обороны, командующим армии начнем с введения некоторых основных понятий и построения простейших моделей обороны. Предположим, что все подразделения, которые располагаются в обороне, обладают одинаковой физической и моральной подготовкой. В этом случае стойкость обороны, ее прочность на каждом участке определяется количеством расположенных на этом участке боевых сил. Очевидно, что сила обороняющихся войск увеличивается за счет оборонительных сооружений и препятствий на местности. Коэффициенты материального превосходства позволяют пересчитать это превосходство на боевые единицы, расположенные на открытой местности.
Сформулируем следующую задачу: как должны быть распределены силы, чтобы  оборона была «равнопрочной».
Пусть позиция представляет линию, разделенную на две части с различными коэффициентами превосходства, определяемыми местностью и оборонительными сооружениями: . Количественный состав армии, предназначенный для занятия оборонительной линии ;S .
Пусть на первом участке обороняется x боевых единиц, а на втором участке ; y, тогда можно записать следующее уравнение . Условие равной «прочности» имеет вид
. Отсюда следует  или, окончательно, имеем
, .
Для создания равнопрочной обороны необходимо расположить силы в соответствии с полученными выражениями.
В Бородинском сражении основная оборонительная линия русской армии состояла из трех участков64.
Пусть левому флангу, укрепленному флешами и опирающемуся на Семеновский овраг, соответствует коэффициент превосходства . Центральному участку, укрепленному двумя мощными батареями (батарея Раевского и батарея на Горецком кургане), соответствует коэффициент . Правому флангу русской армии, размещенному на высоком берегу реки Колочь соответствует коэффициент . Из описаний сражения следует, что наибольший коэффициент превосходства был на правом фланге. Французы после разведки боем, проведенной 25 августа, не пытались атаковать этот фланг.  На левом фланге русская армия успешно отражала удары французских войск, которые в два раза превосходили количественно русские войска на этом участке. Центральный участок обороны был наиболее открыт для атаки и имел наименьший коэффициент превосходства, т.е. для введенных коэффициентов имеет место соотношение 65.
Пусть имеет место следующее распределение сил русской армии (S ), выделенных для обороны первой линии: на левом фланге размещено ; x, в центре ; y, и на правом фланге ; z . Равнопрочная оборона будет описываться следующей системой уравнений

Из неё следует

Найденные значения находятся в следующем отношении .
Рассмотрим распределение пехотных корпусов, которые приняли первый удар, в Бородинском сражении. Правое крыло: 2-й пехотный корпус Багговута66 (10300 чел., 24 оруд.), 4 корпус Остермана (9500 чел., 24 оруд.). Центр ;от д. Горки до Батареи Раевского 6-й корпус Дохтурова (9900 чел., 24 оруд.), батарея Раевского: 7-й корпус Раевского (10800 чел., 24 оруд.). Левое крыло: 8-й пехотный корпус Бороздина (13300 чел., 24 оруд.). Фактически в бою было следующее распределение сил,: левый фланг ; 13300 чел., центр ; 20700 чел., правый фланг ; 9500 чел.
Данное распределение качественно совпадает с распределением, полученным из рассмотрения коэффициентов превосходства. Это говорит о том, что Кутузов и русский штаб правильно оценивали возможности оборонительных сооружений и всей оборонительной линии.
В заключение заметим, что расположение больших сил на правом фланге (4-й пехотного корпуса Остермана) связано не только с необходимостью удерживать линию обороны, но и с готовностью отразить возможный обход русской позиции с правого фланга.

3. Распределение сил при атаке.

Осуществляя атаку, нападающая сторона должна выбрать то или иное распределение своих сил. Пусть для прорыва обороны в каком-то месте требуется m (m>1)-кратное превосходство сил. Рассмотрим возможность удара в двух местах и сформулируем следующий вопрос: как надо распределить силы перед атакой, чтобы осуществить прорыв и не потерпеть поражение при контрударе противника. Обороняющиеся распределили свои силы следующим образом: на левом фланге x, а на правом ; y, причем . Для успешной атаки на левом фланге необходимы следующие силы: группа прорыв ;, и группа, которая могла бы отбить контратаку обороняющихся, ; . Для этих группировок должно выполнятся следующее соотношение
,
где ; полная группировка атакующих. При атаке на правом фланге, аналогично можно записать
.
или

и, учитывая, что  получим
(1)
окончательно получим

. (2)
При найденном количественном превосходстве атакующая группировка может организовать атаку, не опасаясь ответного удара. В противном случае обороняющиеся могут нанести успешный контрудар.
Графическое решение системы (1) позволяет выделить области безопасного удара и область, в которой обороняющиеся правильно распределив силы, могут нанести контрудар. Если  , то, выбирая х из интервала  можно обеспечить успешный удар на направлении у ().







Рис.5
На графике показана область безопасной атаки (заштрихована), и область распределения сил, обеспечивающих успешную контратаку (выделенный участок прямой ).
В Бородинском сражении Наполеон распределил силы следующим образом. Для обхода русской позиции на левом фланге он выделил 5-й корпус Понятовского (10000 чел., 50 орудий). Атаку на Семеновские флеши должны были осуществлять 1-й корпус Даву (37590 чел. 122 оруд.), 3-й корпус Нея (11467 чел., 44 оруд.), 8-й корпус Жюно (8868 чел., 30 оруд.). Отвлекающий удар на правом фланге по деревне Бородино наносил 4-й корпус Евгения Богарне (22284 чел., 88 оруд.) и две дивизии из 1-го корпуса. Эти же войска обеспечивают прикрытие левого фланга армии Наполеона (около 10000 чел.).
Если выделить два возможных направления атаки, то на направлении главного удара по Семеновским флешам Наполеон сосредоточил около 60 тыс. чел. при 200 орудиях, а на вспомогательном направлении 40 тыс. чел. при 88 орудиях. Наполеон неправильно рассчитал силу первого удара. В первой атаке участвовало 16 тысяч человек и только в ходе сражения, непрерывно наращивая ударную группировку, Наполеон смог взять флеши. В последней атаке участвовало около 45 тыс. человек, которых поддерживало 400 орудий. Смоленское сражение, бой за Шевардинский редут, за Семеновские флеши показали, что для того, чтобы сбить русскую армию с обороняемой позиции, необходимо 3-х кратное превосходство сил. Заметим, что вначале кампании Наполеон мечтал привести на поле генерального сражения 400-тысячную армию, но при Бородино у него было всего 135 тысяч.
Из выше приведенных вычислений следует, что русская армия также не могла нанести успешный контрудар. Действительно, для того, чтобы опрокинуть 10000 заслон Евгения Богарне, необходимо было нанести удар силами, в три раза большими. Как отмечалось выше, в кавалерийском рейде Уварова и казаков Платова участвовало около 8000 человек. Болезненная реакция Наполеона на этот рейд говорит о его неуверенности в исходе сражения.
Полученное условие (2) дает гарантированный успех атакующим. Однако на практике часто осуществлялись прорывы на узком участке без подавляющего преимущества наступающих. При этом обороняющиеся, введенные противником в заблуждение о месте удара, совершают ошибку в распределении своих сил.
Воздействия на противника посредством передачи ему неверной информации о расположении сил и о своих намерениях может быть исследовано с помощью рефлексивного анализа.

4. Выбор направления атаки

Выбор направления главного удара связан с оценкой расположения сил противника. Покажем, как методы теории вероятности позволяют оценить правильность выбора направления атаки.
Начальное представление наступающих об атакуемой позиции состоит в том, что вся оборона равнопрочна. Атакующий предполагает нанести удар по одному из флангов обороны. Пока у него нет никаких данных, можно сказать, что вероятность нанесения удара по любому участку равна . Степень неопределенности решения будет определятся энтропией , которая в данном случае равна =1.
Рассмотрев позицию противника, атакующий может заметить неоднородность обороняемой местности и различные укрепления. На основании своего опыта он может сделать вывод о величине коэффициентов преимущества на каждом участке обороны. Пусть по его оценке . Появление этой информации порождает неоднородность в выборе направления удара, т.е. подталкивает атакующего выбрать направление удара по участку обороны с меньшим коэффициентом. Как показано выше в разделе 2 данной главы на этом участке будут сосредоточено больше сил обороняющихся, а, значит, при атаке этого участка, обороняющиеся будут нести большие потери.
Однако противник применяет различные маскировочные действия, поэтому достоверность информации о коэффициентах превосходства ограничена, т. е. достоверность информации того, что  равна , вероятность того, что эта информация ложна . Будем полагать, что атакующая сторона для атаки всегда выбирает место с наименьшим значением коэффициента превосходства, следовательно, вероятность выбора решения атаки на первом участке равна вероятности . Энтропия выбора решения  будет меньше исходной энтропии . Разность энтропий количественно определяет информацию, полученную при первой рекогносцировке .
Проведя разведку, атакующие могут изменить степень неопределенности выбора решения, т.е. получить подтверждение начальной информации с вероятностью  и новую информацию по отношению к начальному состоянию.
Заметим, что чем больше сил затрачено на разведку, тем больше будет получено информации. Перед командующим атакующими силами встает проблема оптимизации средств, затрачиваемых на разведку.
Полученные разведкой данные могут, как подтверждать, так и опровергать информацию, полученную при рекогносцировке. Поэтому после анализа всех данных степень неопределенности может, как уменьшиться, так и возрастиь.
Пусть есть вероятностные состояния (гипотезы) () и  (). Будем полагать, что начальная вероятность того или иного состояния . Произошло событие А, состоящее в том, что рекогносцировка и разведка показали, что имеет место событие , какова вероятность того, что действительно имеет место событие .
Условная вероятность того, что имеет место событие А при двух позитивных сообщениях и состоянии :. Условная вероятность сообщения А при условии, что рекогносцировка и разведка ошиблись  . По формуле Бейеса можно записать вероятность первого состояния

или

окончательно получим

Вероятность противоположного события
.
Используя найденные значения, можно записать новую энтропию выбора решения , которая будет меньше, чем , и, соответственно, меньше, чем , т.е. степень неопределенности в принятии решения убывает.
Заметим, что оценка вероятностей  проводится экспертно.
Перед Бородинским сражением у Наполеона сложилось впечатление, что левый фланг русской позиции ; наиболее слабое место в оборонительной линии русской армии. Он полагал, что потеря Шевардинского редута значительно ослабила левый фланг позиции, и даже ожидал, что М.И.Кутузов предпримет контратаку с целью вернуть редут [2]. Наполеон недооценивал противника, полностью занятый подготовкой к сражению, он даже не задавался вопросом, как к сражению готовится русская армия. Большинство сражений, в которых он участвовал, носили характер маневренного кратковременного боя-столкновения, в которых оборонительные позиции играли вспомогательную роль и легко оставлялись.  Наполеон не мог представить, что за прошедшие сутки перед сражением русская оборонительная позиция будет качественно изменена.
Проведя рекогносцировку, он не смог обнаружить замаскированные оборонительные сооружения на левом фланге и сложный профиль местности. Проведенная разведка небольшими подразделениями егерей, также не сумела выявить оборонительные сооружения, и русские подразделения на Старой Смоленской дороге [19]. Необходимо было провести глубокую разведку оборонительной линии русской армии, т.е. требовался новый вид тактический разведки ; разведка боем67.
Таким образом, имеющаяся у Наполеона информация подталкивала его к решению нанести удар по левому флангу. 





5.  Анализ процесса принятия решения дать бой.

Принимая решение дать бой, каждая из сторон пытается оценить успешность своих действий. Эти оценки могут быть как истинные, так и ложные, но, опираясь на них, стороны принимают решения давать бой или уклониться от него.
Рассмотрим простейший вариант боя: одна сторона атакует, а вторая пытается отразить наступление. Пусть атакующая сторона имеет силы , а обороняющаяся ; .
Рассмотрим атакующую сторону. При атаке возможно развитие действий по трем сценариям.
1. Атака отбита.
2. Противник выбит с позиции и медленно отступает.
3. Противник разбит и в панике отступает.
Потери атакующих на разных фазах сражения складываются из следующих составляющих:
1. ; потери при атаке.
2. ; потери при медленном преследовании.
3. ; потери при быстром преследовании.
Потери обороняющееся стороны будут складываться из следующих составляющих:
1.  ; потери при условии, что атака отбита. Заметим, что , т.е. потери обороняющихся меньше, чем потери атакующих.
2.  ; потери при медленном отступлении. В этом случае можно полагать, что .
3.  ; потери при быстром отступлении. Потери отступающей стороны больше потерь наступающих .
Пусть вероятность того, что атака будет отбита ;, вероятность прорыва обороны и медленного преследования ;,  вероятность разгрома и быстрого отступления ;. Математическое ожидание потерь атакующей стороны
.
Математическое ожидание потерь обороняющейся стороны

 или

На практике вероятности того или иного исхода сражения каждая из сторон оцениваются экспертно (; оценки вероятностей атакующей стороной, ; оценка вероятностей обороняющейся стороны). Причем даются оценки не только вероятностей, но и ожидаемых потерь, своих и противника. Примеры таких оценок можно найти практически в любом плане сражения или операции.68. Очевидно, что атакующая сторона всегда полагает, что , а обороняющаяся ; , в противном случае одна из сторон отказалась бы от сражения.
Степень неопределенности исхода сражения будет определяться соответствующей энтропией события . Поскольку каждая из сторон имеет свой набор оценок вероятностей и потерь, то степень неопределенности, с которой работает каждая из сторон, будет различной.
Заметим, что если степень неопределенности для одной из сторон будет высока, то она откажется от сражения (максимально возможное значение энтропии в рассматриваемом примере).
Важным показателем успешности боя является количественное изменение сил в ходе сражения. Рассмотрим коэффициент соотношения сил в начале боя (; количественная характеристика атакующей армии перед боем, ; количественная характеристика обороняющейся армии) и после боя .
Бой можно считать успешным для атакующей стороны, если
,
где ; математические ожидания потерь, вычисленные с экспертно определенными оценками вероятностей.
 Для обороняющейся стороны критерий успешности боя имеет, соответственно, обратное соотношение
.
Поскольку каждая из сторон оценивает ожидаемые потери, то бой возможен, если , где  ; получено при оценке атакующей стороной, а  ; обороняющейся.
Заметим, что полученные оценки принятия решения сторонами дать сражение не учитывают стратегические цели компании. Эти глобальные цели могут заставить стороны решится на сражение даже при негативных оценках его количественных исходов. Примером могут служить все арьергардные бои отступающей армии. Действительно, в этом случае небольшое подразделение вступает в бой с превосходящими силами противника, выигрывая время для маневра основных сил. Непосредственно примером такого сражения может служить бой за Шевардинский редут.
Рассмотрим возможные оценки вероятностей успешности Бородинского сражения для противостоящих сторон.
Кампании 1807 года и ход кампании 1812 года показывал, что ни в одном сражении французам не удавалось обратить русскую армию к бегству и к массовым сдачам в плен. Бой под Салтановкой, Смоленское сражение, бой за Шевардинский редут протекали по одному сценарию. Несмотря на большое численное преимущество французской армии, русские подразделения принимают бой и под давлением медленно отходят, не оставляя пленных. Следовательно, можно было ожидать, что в предстоящем сражении с наибольшей вероятностью будет реализоваться сценарий медленного отступления русской армии под давлением французских превосходящих сил или полное отражение наступления, если силы почти равны. Можно записать . При этом ожидаемые потери атакующей стороны  будут превосходить потери обороняющейся стороны   т.е. будет иметь место  и следовательно бой успешен для обороняющихся.
Найденные объективные оценки математических ожиданий потерь могут служить основой для принятия решения командующему армией. Но само принятие решения зависит во многом от субъективных качеств лица, принимающего решения. Учет этих субъективных качеств можно осуществить с помощью теории Неймана-Моргенштейна [66].
В этой теории для каждого лица, принимающего решение, вводится некоторая функция, которая называется функцией полезности. Полезность ; это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу.
В этом случае ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов.
Наиболее естественно строить функцию полезности в денежном эквиваленте. Например командующий оценивает каждый из исходов сражения как разность стоимости своих затрат и затрат противника. Затем присваивается, вообще говоря, произвольное значение полезности для лучшего и худшего исходов. После этого лицо, принимающее решение определяет стоимость каждого из возможных исходов. По этим точкам строится функция полезности (, odo ; ожидаемая денежная оценка исхода, т.е. математическое ожидание исхода в денежном эквиваленте). Приведем три основных вида функций полезности


Рис.6
Первая  функция (а, Рис.6) , соответствует лицу, принимающему решение на основании объективных данных. Вторая функция (b, Рис.6) ; лицу, принимающему решение, несклонному к риску. Третья функция (с. Рис.6)  ; соответствует лицу, склонному к риску.
Изучив риски принятия решения во множестве сражений, проведенных Наполеоном до 1812 года, можно построить функцию полезности, которая позволяла бы с высокой степенью вероятности предсказать его поведение. Аналогичная работа может быть проделана и для Кутузова.
Наполеон с начала своей военной карьеры участвовал во многих кампаниях и сражениях с высоким уровнем риска. По-видимому, ему соответствует функция третьего вида. Принимая решение дать сражение под Бородином с неопределенным исходом, он во многом полагался на удачу и свою «счастливую» военную судьбу.
М.И.Кутузов в противоположность Наполеону был очень осторожен. Это он продемонстрировал и в войне 1805 года, и в русско-турецкой войне в компании 1811 года. Можно высказать предположение о том, что М.И.Кутузов относился к лицам, функция полезности которых имеет второй вид. Принимая решение дать сражение на Бородинском поле, он был готов отказаться от него при неблагоприятной обстановке. Сама позиция была очень уравновешена (равнопрочная), диспозиция учитывала все возможные варианты развития событий, в диспозиции отсутствовали глубокие рискованные маневры войсками на поле боя.



Глава 8. Рефлексивный анализ Бородинского сражения

Большинство историков, пытаясь качественно оценить те или иные действия полководцев и принятые ими решения, строят различные слабо обоснованные теории и заключения, которые могут опровергаться теми же самыми рассуждениями. Примеры таких рассуждений можно найти даже в трудах классиков теории военной мысли Клаузевица, Дельбрюка, Лиддел-Гарта. Для подтверждения своих теоретических построений они приводят множества специально подобранных примеров из военной истории, трактуют их в удобном для себя виде.
Как пример такого построения можно привести цитату из работы Лиделл-Гарта, основного идеолога и горячего сторонника созданной им теории «стратегии непрямых действий» о поражении французов в 1812 году: «Деморализация [французских войск] была вызвана превосходством русской стратегии уклонения от боя над французской стратегией прямых действий» (стр.152, [5]). Сделав такое утверждение, автор отбрасывает все множество факторов, которые, скорее всего, играли не меньшую роль в деморализации французской армии. Гигантские пространственные масштабы России, массовое сопротивление народа и даже сопротивление всей природы оказались неожиданны для европейцев. Чтобы покорить эти земли, нужен созидательный труд многих поколений, а не разбойничий набег даже Великой армии69. Другим примером, опровергающим теорию Лиддел-Гарта могут служить приводимые им рассуждения о возможных успешных непрямых действий Наполеона при защите Парижа, который был взят, надо заметить, в результате прямых действий русской армии (стр.155, [5])70.
Слабость используемых военными теоретиками и историками методов состоит и в том, что одно и тоже действие можно трактовать как с одной, так и с другой стороны. Например, в работе Л. Ивченко [19], не раз цитируемой ранее, в упрек Кутузову ставятся почти все распоряжения по изменению расположения русских войск. Якобы Кутузов и русский штаб забыли прикрыть Старую Смоленскую дорогу и только «спохватившись», направили туда 3-пехотный корпус Н.А. Тучкова 1-го (стр.33, [19]). Причем далее автор говорит, что о размещении этих войск Наполеон узнал с большим опозданием. У автора даже не возникает мысли о том, что, может, Кутузов и хотел, чтобы Наполеон не нашел русских войск на Старой Смоленской дороге. В книге проводится мысль, что Кутузов недооценил возможность главного удара по левому флангу (стр.45,[19]) и только в последний момент сдвинул туда часть резервов, но эти же самые действия можно трактовать по другому: Кутузов сумел до последнего момента держать французов в неведении об истинном расположении русской армии. Поэтому Наполеон предпринял первую атаку на левом фланге силами, которые были недостаточны. Таких примеров в описании любого исторического сражения можно приводить бесконечно много.
При анализе боевых действий конфликтующих сторон историки пытаются проникнуть в планы и мысли полководцев, используя для этого документы штабов, мемуарную литературу, свои теоретические представления о стратегии. При этом они, как правило, становятся подобны писателям художественной литературы, которые создают героев в своем воображении и заставляют их действовать в соответствии с замыслом автора71.
Действительно продуктивный анализ мотивов и действий личности может быть проведен либо личностью, интеллект и опыт которой превосходят опыт и интеллект анализируемой личности, либо с привлечением современных научных методов. Для всех, например, очевидно, что разбор шахматной партии гроссмейстеров человеком, ни разу не сыгравшим с реальным сильным противником, просто бесполезен и состоит из тривиальных заключений из учебников по теории шахмат. Анализ шахматной партии с точки зрения теории игр для выявления оптимальных стратегий и игровых алгоритмов позволил создать совершенные игровые компьютерные программы72.
Боевые действия носят качественно более сложный характер, полководец командует людьми, которые неоднозначно воспринимают его приказы и которые сами принимают решения по их выполнению. Поэтому полководец, принимая решение, должен хорошо представлять все этапы прохождения приказов от генералов до последнего солдата, и именно с этим связана необходимость прохождения генералом всех ступеней военной карьеры73.
При принятии решений полководец использует большое количество самой разнородной информации о состоянии своей армии, армии противника, о соответствующей местности и т.д., он пытается представить замыслы и планы противника. В этом аналитическом анализе обстановки ему помогает соответствующий штаб, который представляет различные варианты действий как самого полководца, так и противника. Основываясь на всех этих данных, своем личном опыте и интуиции командующий как ответственный эксперт принимает решение.
Смоделировать, упростить процесс принятия решения личностью в состоянии неопределенности и получить объективные оценки правильности принятого решения позволяет сделать рефлексивный анализ.
1. Элементы рефлексивного анализа.
В любом сражении стороны пытаются ввести друг друга в заблуждение. Для этого используется множество приемов: маскировка, скрытые и ложные маневры своими силами, передача противнику неверной информации о своих планах и мотивах и т.д. Каждая из сторон пытается представить себя на месте противника, оценить информацию, которая у него имеется, оценить его планы и повлиять на них своими непрямыми действиями. Для описания и изучения действий по непрямому управлению противником в любой конфликтной ситуации создан рефлексивный анализ [78].
Для описания логики рефлексивного анализа конфликтующих сторон воспользуемся тем основным фактом, что конфликтующие стороны воспроизводят рассуждения друг друга.
Обозначим командующих сторон через N и K . Пусть сражение разворачивается на некоторой местности, причем на ней расположены силы N и силы K. Начиная сражение, командующий N ставит перед собою некоторую цель ЦN, у него есть представление о местности, на которой разворачивается сражение, и о соотношении сил, т.е. у него имеется некоторый планшет ПN. Имеющаяся цель соотносится с имеющимся планшетом, можно сказать, что цель переносится на планшет (ЦN/ПN). Для достижения цели могут применяться те или иные методы, т.е. формулируется некоторые теоретические положения (доктрины) ДN, позволяющие достигать цели. На основании анализа имеющейся информации вырабатывается решение РN, которое отнесено к планшету ПN:
(ЦN/ПN) ДN;РN/ПN .    (1)
Аналогичным образом может быть записана процедура принятия решения вторым командующим К:
(ЦK/ПK) ДK ;РK/ПK  ,   (2)
где ЦK ,ПK, ДK – соответственно цель, планшет и доктрина командующего К, РK- решение командующего К.
В рассмотренной ситуации командующие принимают решение, не пытаясь имитировать рассуждения противоположной стороны. В этом случае говорят, что ранг рефлексии равен нулю.
Покажем, как можно построить рефлексии первого ранга. Пусть командующий N пытается  учесть неизвестные ему решения командующего К. Командующий N предполагает, что цель командующего К; ЦKN , эта цель отнесена к планшету командующего К, который видится ему как ПKN (ПKN; ПK), и он полагает, что, принимая решение, командующий К будет следовать некоторой доктрине ДKN. Следовательно, с точки зрения командующего N  командующий К примет решение РKN/ПKN , которое необходимо перенести на планшет ПN, т.е. РKN/ПKN; РKN/ПN. Теперь командующий N должен нанести на свой планшет свою цель, свою доктрину и выработать решение
РKN/ПN; (РKN/ПN) (ЦN/ПN)  ДN; РN/ПN.
Полная цепочка последовательного процесса имитации имеет вид
(ЦKN/ПKN) ДKN; РKN/ПKN ;РKN/ПN ;(РKN/ПN) (ЦN/ПN)  ДN; РN/ПN.
Аналогичная цепочка может быть записана и для второго командующего. В этом случае имеет место рефлексия первого ранга. Очевидно, что можно построить рефлексии более высокого ранга.
Заметим, что при построении рефлексий предполагалось, что цель не зависит от планшета. На практике местность и расположение войск часто диктуют цель сражения.
Командующие, принимая решение, оперируют не только с действительностью, но и с теми представлениями, которые отражаются в их внутреннем мире. Благодаря этому они имеют возможность как бы проникнуть в виртуальный мир друг друга и изменять этот мир выгодным для себя образом. Построенная рефлексия позволяет поставить задачу управления процессом принятия решения противоположной стороны. Управление решением противника, навязывание ему определенной стратегии поведения при рефлексивном взаимодействии осуществляется не прямо, не грубым принуждением,  а путем передачи ему оснований, из которых тот может вывести свое, но предопределенное другой стороной решение.
Процесс передачи оснований для принятия решений одним из противников другому называется рефлексивным управлением.
Любые обманные движения (провокации, интриги, маскировки, розыгрыши и вообще ложь в любом контексте) представляют собой реализацию рефлексивного управления. Если один из участников конфликтной ситуации обладает нулевым рангом рефлексии, а второй участник – первым рангом, то второй участник обладает потенциальной возможностью рефлексивно управлять противником. Это управление может осуществляться различными способами. Например, посредством передачи ложной информации об исходном плацдарме, т.е. формированием ложного планшета, посредством формирования ложной цели противника, посредством формирования выгодной доктрины и т.д.
Заметим, что профессиональное обучение офицеров тактическим приемам включает в себя как необходимый элемент умение маскироваться, вести разведку, умение создавать ложные позиции и т.д. Все эти элементы становятся внутренней, даже часто не осознаваемой основой поведения профессиональных военных [54].
В качестве одного из основных параметров входящих в оценку своего состояния и состояния противника может быть взята степень неопределенности принятия решения, т.е. энтропия. Действия по получению дополнительной информации, передача ложной информации противнику приводит к изменению первоначальной энтропии, т.е. в качестве меры эффективности рефлексивного управления можно взять изменение энтропии, т.е. информацию.
Например, степень неопределенности принятия решения одной из сторон характеризуется некоторой энтропией, после получения дополнительной информации переданной противником эта степень неопределенности при правильном управлении должна уменьшится, т.е. её действия становятся более предсказуемыми. Степень неопределенности стороны осуществляющей управление так же будет уменьшаться, так как, зная более точно предполагаемые действия противника, она может принять более уверенно адекватное решение.
2. Рефлексивное управление в Бородинском сражении.
 Покажем, как при подготовке Бородинского сражения, осуществлялось рефлексивное управление сторон.
Начнем анализ с рассмотрения составляющих рефлексивного описания принятия решения для Наполеона (ЦN, ПN, ДN, РN) и для М.И. Кутузова (ЦK, ПK, ДK, РK).  Поскольку прямых указания на те или иные компоненты построения отсутствуют, то в основу приводимых рассуждений как главные опорные пункты кладутся документы и  факты, находящие подтверждения в мемуарной литературе.
Цель Наполеона ; ЦN: Одной из догм военной мысли начала 19 века было представление о возможности в одном генеральном сражении, разгромив армию противника, выиграть кампанию.
Этих же представлений придерживался Наполеон74. С первого дня войны он стремился к генеральному сражению, в котором намеревался, используя свое превосходство, разгромить русскую армию. Этим неоднократно пользовалось русское командование, имитируя готовность дать сражение и заставляя наполеоновскую армию останавливаться и разворачиваться в боевые порядки. Жажда сражения любой ценой толкнуло Наполеона на битву, к которой он был не готов. Боязнь того, что русская армия вновь уклонится от решительного сражения, толкнула Наполеона начать атаку, не дожидаясь подхода итальянского корпуса, и ограничила его в выборе маневра ; он принципиально отказался от возможности глубоких охватывающих маневров.
Доктрина Наполеона ; ДN: Доктрина Наполеона в сражении, т.е. сценарий, по которому должно было разворачиваться сражение, предопределен военной теорией того времени и военной практикой Наполеона. Как правило, применялся массированный удар по одному из флангов армии противника в сочетании с отвлекающим ударом и обходом с фланга. Применение этого приема связано с тем, что противник, не зная направления удара, вынужден распылять свои силы по фронту. В начале сражения часть сил обороняющегося противника не участвует в бою. Фронтальные атаки на центр допустимы при подавляющем преимуществе атакующей стороны.
Общепризнанное новшество, внесенное Наполеоном в данную доктрину, состояло в том, что на направлении главного удара он создавал максимально большую артиллерийскую батарею и бросал в атаку сразу десятки тысяч солдат. 
Принятая военная доктрина допускала вариацию только в выборе места основного и отвлекающего ударов.
Планшет Наполеона ; ПN: Рассмотрим планшет, с которым оперировал Наполеон.
Наполеон имел искаженные и неполные представления о рельефе местности, на которой разворачивалось сражение. Изучение местности даже с господствующих высот, с Шевардинского редута не позволяют обнаружить и оценить овраги и топкие места возле небольших речек и ручьев. Наполеон не имел представления о трудности перемещения войск по старой Смоленской дороге. Надо заметить, что явно обнаруживались только крутые обрывистые берега реки Колочь на правом фланге75. Для оценки величины русской армии у Наполеона было очень мало исходной информации. Практически все участники похода на Москву указывают на то, что в течение всего наступления число пленных было минимально, и возникали постоянные трудности с поиском проводников [2]. Эти факты должны были насторожить Наполеона, они говорили о высокой степени боевой готовности русской армии. Разведка собственными кавалерийскими силами была затруднена противодействием казацких разъездов и тем, что арьергард русской армии, как правило, сдерживал французскую армию на расстоянии не менее одного перехода от основных сил. Русская армия 22 августа заняла позиции на Бородинском поле, а арьергард под командованием генерала Коновницына  24 августа дал бой под Колоцким монастырем, вынуждая противника разворачиваться и совершать охватывающие маневры большими силами.
Выйдя  на Бородинское поле, французы сходу атаковали Шевардинский редут. Ожесточенный бой за него продолжался до поздней ночи. Редут трижды переходил из рук в руки. Как русское командование, так и французское постоянно вводили в бой все новые и новые силы.
На следующий день Наполеон, вместо того, чтобы вести активную разведку боем, русской позиции, ожидал, что русская армия вновь попытается отбить Шевардинский редут, который, как казалось ему, был необходимой составляющей обороны русской армии (стр.125, [2]). Разведка малыми егерскими группами была неэффективна и успешно отбивалась русскими егерями. Основная позиция русской армии оставалась скрытой. Наполеон сумел выявить неприступность позиции на правом фланге. Разведка Старой Смоленской дороги показала трудность ее проходимости и отсутствие крупных войсковых подразделений русской армии. Центральный участок обороны изучался прямым визуальным наблюдением.
Решение Наполеона ; РN: Наполеоном было принято решение: нанести основной удар по левому флангу русской армии, отвлекающий удар по центру и совершить обход левого фланга русской армии.
Рассмотрим теперь составляющие рефлексивного анализа для русской армии (ЦK, ПK, ДK, РK).
Цель М.И.Кутузова ; ЦK: Давая сражение, М.И. Кутузов рассматривал его как один из необходимых этапов войны. Любой исход сражения не приводил к окончанию войны, а изменял ее некоторые составляющие. Это привело к тому, что цели сражения определялись через стратегические цели всей компании. Необходимо было деморализовать противника, показать ему его стратегическое бессилие. Сражение дано, а война продолжается и приобретает тотальный характер. Поскольку после сражения ожидалась долгая борьба с захватчиками, то появляется дополнительное условие отразить атаки в предстоящем сражении с минимальными потерями.
Доктрина М.И. Кутузова ; ДK: При определении доктрины сражения М.И. Кутузов обладал некоторой свободой выбора, которая определялась информацией о силе французской армии. Русская военная разведка оценивала французскую армию в 190 тысяч человек при 1000 орудий [56,57]. Некоторые исследователи полагают, что Кутузов относился к этим данным скептически, он полагал, что они завышены [19].
Учитывая это соотношение, М.И. Кутузов мог выбрать либо пассивную оборону, либо попытаться, встречая удары превосходящих сил противника, наносить контрудары по флангам французов.
Планшет М.И. Кутузова ; ПК: Местность, на которой давалось сражение была хорошо изучена и подготовлена к будущей битве (см.главу 3). Была создана равнопрочная глубоко эшелонированная оборона, прикрывающая основное стратегическое направление, Новую Смоленскую дорогу. Оборонительные сооружения находились в огневой артиллерийской связи. Оборудованные в глубине обороны дороги позволяли осуществлять маневр сил.
Решение М.И. Кутузова ; РК: Кутузовым было принято решение дать оборонительное сражение, причем был выбран вариант активной обороны. На правом и левом фланге русской оборонительной линии были созданы группировки для контратак (на левом фланге 3-й корпус Тучкова и казаки Карпова, на правом фланге 1-й кавалерийский корпус Уварова и казаки Платова). В центре позиции был сосредоточен основной резерв русской армии, который также мог быть использован для контрудара.
Рефлексивное управление в Бородинском сражении пытались осуществлять обе стороны.
Возможность рефлексивного управления оценивается степенью предсказуемости поведения противника, т.е. оценкой величины энтропии принятия решения одной из сторон с точки зрения другой стороны.
Наполеон в сложившейся ситуацией был поставлен в жесткие рамки и практически не имел возможности для искажения информации о своем решении. Цель сражения была жестко зафиксирована и не оставляла свободы выбора, т.е. оценка энтропии выбора цели  с точки зрения М.И. Кутузова была практически равна нулю76.
Информация о местности и величине французской армии была почти полная, следовательно, энтропия , связанная с планшетом, была минимальной. Свободу выбора оставляла принятая доктрина ДN.. Основной удар можно было нанести по одному из трех направлений, но рельеф местности диктовал всего два возможных направления удара, т.е. энтропия  выбора основного удара  была близка к единице.
Степень неопределенности выбора решения Наполеоном с точки зрения М.И. Кутузова определялась суммой77
.
Приведем возможную оценку энтропии принятия решения М.И. Кутузовым с точки зрения Наполеона.
В своих военно-теоретических трудах Наполеон говорил много общих правильных слов о том, что надо учитывать силы и намерения противника, как правильно атаковать, но все его рассуждения носят качественный характер и поэтому их конкретное практическое применение связано с большими трудностями [72]. Изучая подготовку и ход Бородинского сражения можно видеть, что на каждом его этапе он отказывался от своих принципов.
Объясняя решение Кутузова дать сражение, Наполеон мог предположить ряд различных вариантов мотивов даваемого сражения. Необходимость защиты столицы, усталость общества от постоянного отступления и, как следствие, приказ царя дать сражение и т.д. Наполеон даже не рассматривал военно-стратегические последствия сражения. Только по мере развития событий на поле боя он начал понимать, что доктрина одного сражения ошибочна.
Имея представления о цели сражения, Наполеон мог бы попытаться оказывать влияние на М.И.Кутузова путем подмена этой цели и т.д. Но, как показывает предыдущий анализ информация, которой обладал Наполеон, была слишком мала и оценка энтропии выбора цели М.И.Кутузова  была очень велика (>>).
Информация о местности и величине русской армии почти полностью отсутствовала, следовательно, энтропия , связанная с планшетом, была максимальна (>>).
Доктрина М.И. Кутузова Наполеону представлялась достаточно расплывчатой. Русская армия могла контратаковать, Наполеон 25 августа ждал атаки на Шевардинский редут, могла совершать маневры и передвижения по полю боя, как это было под Смоленском,  а могла занять жесткую оборону, как в сражении под Прейсиш-Эйлау.   Следовательно, энтропия выбора доктрины сражения М.И. Кутузовым с точки зрения Наполеона была достаточно высока  и, по-видимому, >>.
Полная энтропия выбора решения М.И. Кутузовым с точки зрения Наполеона запишется в виде
.
Приведенный анализ показывает, что . Степень неопределенности действий русской армии с точки зрения Наполеона была очень высока, это должно было заставить Наполеона тщательно готовиться к предстоящему сражению, приложить дополнительные усилия по разведке и подготовке диспозиции сражения.  Но слишком велико было желание дать генеральное сражение и вера в свой «военный гений».
Наполеон практически не использовал возможности рефлексивного управления командованием русской армии, с одной стороны, как показано выше, у него было мало возможностей для этого, с другой стороны он продемонстрировал не умение организовать взаимодействие войск на поле боя.
Пытаясь ввести М.И.Кутузова в заблуждение, Наполеон основные перемещения войск и концентрацию артиллерии на левом фланге, осуществил в ночь перед сражением. Распределение атакующих сил, время выбора ударов основного и вспомогательного, обходной маневр Понятовского были задуманы и выполнены совершенно неудачно:
1. Сражение началось на направлении отвлекающего удара в центре, которое, вообще говоря, могло быть выбрано в качестве основного направления. Наполеон мог бы увеличить степень неопределенности выбора основного удара, но для этого ему необходимо было нанести отвлекающий удар по правому флангу русской позиции. Отказ от этого был вызван преувеличением опасности атаки крутых берегов реки Колочь.  При нанесении удара по правому флангу энтропия значительно возросла бы. М.И. Кутузов из-за атаки в центре задержал переброску сил правого фланга на левый до тех пор, пока не определилось направление основного удара. При отвлекающем ударе по правому флангу эта задержка увеличилась бы.
2. Отвлекающий удар носил слишком открытый демонстрационный характер, т.е. для его нанесения было выделено слишком мало сил, причем большая часть сил французской армии не участвовала в первой атаке на Семеновские флеши.
3. Основной удар по левому флангу и отвлекающий удар были нанесены практически одновременно, т.е. это не дало  возможности русскому командованию оценить степень опасности отвлекающего удара и перебросить часть сил для его отражения с направления главного удара.
4. Понятовский, совершая обходной маневр, опоздал к началу сражения. Это дало возможность Тучкову отправить 3-ю пехотную дивизию Коновницына на помощь Багратиону.
5. В заключительной фазе сражения французская артиллерия пытаясь предотвратить возможное контрнаступление русской армии, вступила в неравную дуэль с русской артиллерией.
Рефлексивное управление со стороны русской армии было более успешно. М.И. Кутузов хорошо представлял цель Наполеона ; разгром русской армии. Во время сражения он сумел подменить эту цель, втянуть Наполеона в позиционное сражение на истощение. Цель такого сражения ; нанести максимальный урон армии противника. Заметим, что для реализации этой цели, вообще говоря, нужна была другая тактика сражения. Наполеону необходимо было построить защищенные артиллерийские батареи и осуществлять медленное вытеснение русской армии78.
М.И. Кутузов хорошо представлял доктрину Наполеона, т.е. вероятность того, что Наполеон будет действовать по известной схеме, была очень высока.
Некоторые предпосылки местности говорили в пользу того, что удар будет нанесен по левому флангу. Для русской армии, имевшей равнопрочную оборону, это был наиболее выгодный вариант. Вероятность выбора Наполеоном правого фланга была мала, т.к. внешне атака высокого берега реки Колочь казалась очень трудной задачей79. Оставалось попробовать «подсказать» Наполеону, что левый фланг более слабый.
Основным мероприятием по введению Наполеона в заблуждение было то, что войска на левом фланге расположились в долине рядом с деревней Семеновской, скрыв тем самым от Наполеона, основной рубеж обороны по Семеновскому оврагу80. Если бы Наполеон перед сражением или даже в первой его фазе обнаружил Семеновский овраг, то с большой степенью вероятности основной удар был бы нанесен по центру русской позиции.
Для того, чтобы втянуть Наполеона  в затяжной тяжелый штурм поля перед Семеновским оврагом на  левом фланге были возведены флеши, которые французы обнаружили только при атаке, возведена мощная артиллерийская позиция [19]. В ночь перед боем батарея на курганной высоте была превращена в мощное оборонительное сооружение (батарея Раевского). На левом фланге размещались лучшие боевые части русской армии не раз доказавшие свою стойкость и мужество. Семеновские флеши обороняла 27-ая пехотная дивизия81. Курганная батарея получила название батареи Раевского по имени командира 7-го корпуса генерал-лейтенанта Н.Н. Раевского. Этот корпус продемонстрировал свою стойкость в бою с корпусом Даву под Салтановкой. К левому флангу были сдвинуты лейб-гвардейские  Измайловский,  Литовский и Финляндский полки82.
Наполеон не сумел обнаружить и оценить русскую оборонительную позицию и поэтому принял решение, наиболее благоприятное для русской армии.
Как показано выше, на первой фазе сражения была легко отражена неумелая попытка рефлексивного управления со стороны Наполеона. Созданная М.И. Кутузовым симметричная позиция была готова к отражению атаки на любом направлении. Поэтому атака на Бородино не вызвала мгновенной реакции М.И. Кутузова, он выждал  и, получив достоверную информацию о направлении главного удара Наполеона, согласно диспозиции сражения, начал перемещение войск правого фланга и резервов к Семеновским флешам.
В момент максимального успеха французских войск на левом фланге был нанесен отвлекающий удар казаками Платова и конницей Уварова. Этот удар приостановил атаку, Наполеона, он фактически вновь подчинился русскому командованию, и, хотя кавалерийская атака на момент получения им информации уже была отбита, он двинул на её отражение молодую гвардию, которая должна была развивать намечавшийся успех на Семеновских флешах.
Взятие батареи Раевского провоцировало Наполеона на массированную кавалерийскую атаку на неразведанной местности и против неизвестного противника, и он вновь совершил авантюрный шаг83. Атакующая конница проходила под огнем русской артиллерии и была с большими потерями отбита русской тяжелой кавалерией. За подобную неподготовленную атаку кавалерийским корпусом Уварову М.И. Кутузовым было отказано в награждении. Получив сведения о действиях Уварова, М.И. Кутузов с горечью произнес «Бог ему судья».
Артиллерийская дуэль в конечной фазе сражения соответствовала желанию М.И. Кутузова навязать Наполеону бой на истощение.
В заключение заметим, что чувство несвободы принимаемых решений, неуверенности в своих действиях демонстрировалось Наполеоном в течение всего сражения. Атакуя левый фланг, он все время ожидал контратаки на правом фланге84 [2, 19]. Многочисленные перегруппировки на поле боя, удары в пустое пространство, истерическая конечная фаза сражения все это показывает, что одним из основных итогов сражения была не только деморализация французской армии, но и самого Наполеона. Глубина этой деморализации нашла отражение в преступном поведение Наполеона на поле боя и после сражения (см. Ф. де Сегюра (стр.245,[55])).
Как финал этого распада бегство и дезертирство Наполеона из разгромленной армии.
М.И. Кутузов в течении всего сражения демонстрировал совершенно противоположное Наполеону уверенное поведение. Получаемые им сообщения с поля боя, как правило, подтверждали его ожидания, а отклонения имевшие место от его представления о ходе сражения носили частный характер. Он был абсолютно уверен в правоте своего дела и в конечной победе над агрессором.













Заключение

Одна из основных целей любой науки состоит в предсказании поведения исследуемого объекта. В этом смысле, история, изучая процесс развития человечества, пытается предсказать его будущее. Выбирая те или иные модели прошлого, мы, экстраполируя их в будущее, и в соответствии с ними строим это будущее. Насколько эти модели адекватны окружающему миру, показывают успехи и поражения человечества. Имея информацию о событиях в прошлом, мы уменьшаем степень неопределенности информации о будущих событиях.
Данная работа посвящена  математическому описанию некоторых проблемам Отечественной войны 1812 года, которые до последнего времени рассматривались только качественно. Эта работа показывает, что применение математических методов позволяет выявить глубинные причины происходящих событий и значительно сужает основы для фальсификаций.
В книге проведено исследование математическими методами следующих проблем:
1. Проведен анализ расположения русской и французской армий перед войной 1812 года. При некоторых предположениях найдено оптимальное распределение сил по оперативным направлениям. Найденное решение позволяет говорить о степени правильности действий генеральных штабов армий.
2. Проведен анализ расположения резерва русской армии в Бородинском сражении. Методами математической теории игр выявлена оптимальная стратегия русской армии в этом сражении. Как следует из рассмотрения реальных событий, стратегия Кутузова была близка к оптимальной. Эти же исследования показывают, что действия Наполеона носили импровизационный, хаотический характер.
3. Построена Ланчестерская модель Бородинского боя и получены количественные оценки потерь. Эти оценки показывают, что имеющаяся русская историческая документальная база в целом правильно отражает действительность. Тем самым отвергаются разные теории, построенные на замалчивание и фальсификации документов не удовлетворяющих «исследователей».
4. Методами рефлексивного анализ показано, что Наполеон, при подготовке и в ходе  Бородинского сражения находилась под рефлексивным управлением М.И. Кутузова
5. Созданы некоторые подходы и методы количественного анализа составляющих описания сражения: оценка позиции, распределение сил на оборонительной позиции и при атаке, выбор направления атаки, оценки результатов сражения и ожидаемых потерь, роль и значение разведки.
В заключении, вновь повторив предисловие, заметим, что предлагаемая работа носит пионерский характер. Она больше ставит и открывает проблем, чем решает. Создание корректной математической модели на основе исторических архивных данных требует, нового подхода к формулировке задачи поиска, классификации найденных документов.












Приложение 1.Элементарные основы теории игр

Классификация игр.
Классификацию игр можно проводить по различным параметрам, например: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д. В зависимости от количества игроков различают игры двух и  n  игроков. Первые из них наиболее изучены.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на:
1)  бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;
2)   коалиционные (кооперативные) : игроки могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции определены.
По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий «капитал» всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш  игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.
В дальнейшем мы будем рассматривать только матричные игры.
Пример содержательной матричной игры.
Рассмотрим упрощенный вариант хорошо известной игры морской бой [84,85]. Пусть игрок А стремится расставить два одноклеточных корабля на игровом поле таким образом, чтобы вероятность обнаружения кораблей игроком В, при выборе им некоторой эвристической стратегии поиска, за k выстрелов была минимальной. Игрок В ищет эвристические стратегии, позволяющую с наибольшей вероятностью обнаружить корабли за k выстрелов.
Игрок А может расставить два корабля различными способами он может поставить один корабль в угол, а один у стенки или оба корабля вдали от стенок. Количество всевозможных расстановок определяется правилом расположения кораблей, т.е. если первый корабль может быть поставлен на любую клетку игрового поля, то второй корабль нельзя ставить в соседние клетки. Число различных стратегий игрока А для поля любой сложной конфигурации будет оцениваться следующим интервалом , где n количество клеток поля. Игрок В также имеет множество стратегий поиска: он может в начале обстрелять углы, а затем обстрелять клетки у стенок или наоборот и т.д. Всего игрок В имеет  стратегий поиска.
Пусть игрок А выбрал свою i-ую стратегию , а игрок В ; j-ую стратегию . Обозначим вероятность уничтожения кораблей за k выстрелов при этих стратегиях . Рассматривая все стратегии игроков, получим следующую матрицу игры:


В1
В2
В3
.......
Вb
А1
p11
p12
p13
.......
p1b
А2
p21
p22
p23
.......
p2b
А3
p31
p23
p33
.......
p3b
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Аа
pa1
pa2
pa3
.......
pab

Решение матричных игр в чистых стратегиях.
Приведем элементы общетеоретического анализа абстрактной матричной игры двух игроков с нулевой суммой.
Пусть первый игрок имеет  m  стратегий  i = 1,2,...,m, а второй имеет  n  стратегий  j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий  (i,j)  поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.
Каждый из игроков делает один ход: первый игрок выбирает свою i-ю стратегию (i=),второй игрок – свою j-ю стратегию (j=), после чего первый игрок получает выигрыш аij за счёт второго игрока (если аij< 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму  | аij | ). На этом игра заканчивается.
Каждая стратегия игрока  i=;  j =  часто называется чистой стратегией.
Если рассмотреть матрицу

А = ,
то проведение каждой партии матричной игры с матрицей  А  сводится к выбору первым игроком  i-й строки, а вторым игроком  j-го столбца и получения первым игроком (за счёт второго игрока) выигрыша аij.
Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. Стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, первый игрок исследует матрицу выигрышей  А следующим образом: для каждого значения  i  (i =) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий вторым игроком
аij(i = )
т.е. определяется минимальный выигрыш для первого игрока при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = iо, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится
аij = = (1).
Определение. Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе первый игрок, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях второго игрока.
Второй игрок при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш первого игрока. Поэтому для второго игрока отыскивается
аij
т.е. определяется max выигрыш первого игрока, при условии, что второй игрок применит свою j-ю чистую стратегию, затем второй игрок отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой первый игрок получит минимальный выигрыш, т.е. находит
aij = = (2).
Определение. Число , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать первый игрок.
Применяя свои чистые стратегии, первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше , а второй игрок за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш первого игрока больше, чем .
Определение. Если в игре с матрицей А  =, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры
= =.
Седловая точка – это пара чистых стратегий  (iо,jо)  соответственно первого и второго игроков, при которых достигается равенство   = .
В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, то же соответствующей седловой точке. Математически это можно записать так

где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку.
Таким образом, исходя из (3), седловой элемент  является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.










Пример 1. Найти седловую точку для матрицы А

Седловой точкой является пара (iо = 3; jо = 1), при которой  === 2.
Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (;) также равен 2, эта точка не является седловой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.
Пример 2. Найти седловую точку для матрицы H



Из анализа матрицы выигрышей видно, что , т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если первый игрок выбирает свою чистую максиминную стратегию  i = 2, то второй игрок, выбрав свою минимаксную  j = 2, проиграет только 20. В этом случае первому игроку выгодно выбрать стратегию  i = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Но тогда второму игроку будет выгодно выбрать стратегию  j= 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь первый игрок должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а второй игрок ответит выбором 2-й стратегии и т.д.
Ответ на вопрос как выбрать оптимальную стратегию в этом случае может решаться с помощью поиска смешанных стратегий или с помощью рефлексивного анализа поведения противника.
Решение матричной игры в смешанных стратегиях
Исследование в матричных играх начинается с нахождения её седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой седловой точки заканчивается исследование игры. Если же в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.
Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.
Таким образом, если игрок 1 имеет  m  чистых стратегий  1,2,...,m, то его смешанная стратегия  x – это набор чисел  x = (x1, ..., xm) удовлетворяющих соотношениям
xi ; 0     (i = 1,m),     = 1,
где xi ;  можно рассматривать как вероятность выбора i чистой стратегии.
Аналогично для игрока 2, который имеет  n  чистых стратегий, смешанная стратегия  y – это набор чисел
y = (y1, ..., yn),     yj ; 0,   (j = 1,n),     = 1.
где yj ;  можно рассматривать как вероятность выбора j чистой стратеги.
Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями.
Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я  чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта  i-я  чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.
Определение. Средний выигрыш игрока 1 в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей
М(A, x, y) == x A yT
Первый игрок имеет целью за счёт изменения своих смешанных стратегий  х  максимально увеличить свой средний выигрыш М(А, х, y), а второй – за счёт своих смешанных стратегий стремится сделать М(А, х, y) минимальным, т.е. для решения игры необходимо найти такие  х  и  y, при которых достигается верхняя цена игры
 М(А, х, y).
Аналогичной должна быть ситуация и для игрока 2, т.е. нижняя цена игры должна быть
 М(А, х, y).
Подобно  играм, имеющим седловые точки  в чистых стратегиях, вводится следующее определение: оптимальными смешанными стратегиями  игроков 1 и 2 называются такие наборы  хо, уо  соответственно, которые удовлетворяют равенству
 М(А, х, y) = М(А, х, y) = М(А, хо, уо).
Величина  М(А, хо ,уо) называется при этом ценой игры и обозначается через ;.
Имеется и другое определение оптимальных смешанных стратегий: хо, уо называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно игроков 1 и 2, если они образуют седловую точку:
М(А, х, уо) ; М(А, хо, уо) ; М(А, хо, у)
Оптимальные смешанные стратегии и цена игры называются решением матричной игры.
Основная теорема матричных игр имеет вид :
Теорема (о минимаксе). Для матричной игры с любой матрицей А величины
 М(А, х, y)  и   М(А, х, y)
существуют и равны между собой.
Свойства решений матричных игр
Обозначим через G (Х,Y,А) игру двух лиц с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает стратегию  х ; Х, игрок 2 –  y ; ;, после чего игрок 1 получает выигрыш А = А (х, y) за счёт  игрока 2.
Определение. Стратегия х1 игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией  х2, если
А (х1, y) ; А (х2, y)     (А (х1, y) > А (х2, y)), y ; ;.
Стратегия y1 игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией y2, если
А (х, y1) ; А (х, y2)   (А (х, y1) < А (х, y2)), х ; Х.
При этом стратегии х2 и y2 называются доминируемыми (строго доминируемыми).
Другими словами доминирование означает то, что все элементы одного из столбцов больше всех элементов другого столбца, т.е. первый игрок ни при каких условиях не будет пользоваться стратегиями из второго столбца. Аналогично второй игрок не будет использовать стратегиями из доминируемой строки. Следовательно, при анализе эти столбцы и строки могут быть отброшены.
Спектром смешанной стратегии игрока в конечной антагонистической игре называется множество всех его чистых стратегий, вероятность которых согласно этой стратегии положительна.
Свойство 1. Если чистая стратегия одного из игроков содержится в спектре некоторой его оптимальной стратегии, то выигрыш этого игрока в ситуации, образованной данной чистой стратегией и любой оптимальной стратегией другого игрока, равен значению конечной антагонистической игры.
Свойство 2. Ни одна строго доминируемая чистая стратегия игрока не содержится в спектре его оптимальной стратегии.
Игра G; = (Х;,Y;,А;) называется подыгрой игры G (Х,Y,А), если Х;; Х, ;;; ;, а матрица А; является подматрицей матрицы А. Матрица А; при этом строится следующим образом. В матрице А остаются строки и столбцы, соответствующие стратегиям Х; и ;;, а остальные “вычеркиваются”. Всё то что “останется” после этого в матрице А и будет матрицей А;.
Свойство 3. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G; = (Х \ х;,Y,А) – подыгра игры G, а х; – чистая стратегия первого игрока в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит х;. Тогда всякое решение (хо, yо, ;) игры G; является решением игры G.
Свойство 4. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G; = (Х,Y \ y;,А) – подыгра игры G, а y; – чистая стратегия второго игрока в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит y;.Тогда всякое решение игры G; является решением G.
Свойство 5. Если для чистой стратегии х; первого игрока выполнены условия свойства 3, а для чистой стратегии y; второго игрока выполнены условия свойства 4, то всякое решение игры G; = (Х \ х;,Y \ y;,А) является решением игры G = (Х,Y,А).
Свойство 6. Тройка (хо, yо, ;) является решением игры G = (Х,Y,А) тогда и только тогда, когда (хо, yо, к; +а) является решением игры G(Х,Y,кА+а), где  а  – любое вещественное число, к > 0.
Это свойство означает, что игра не меняется если все элементы матрицы А умножить на константу или прибавить к ним одну и ту же константу.
Свойство 7. Для того, чтобы  хо = () была оптимальной смешанной стратегией матричной игры с матрицей А и ценой игры ;, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств
      (j = ) (4)
Аналогично для второго игрока: чтобы  yо = (, ...,, ...,) была оптимальной смешанной стратегией второго игрока необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:
     (i = ) (5)
Из последнего свойства вытекает: чтобы установить, является ли предполагаемые (х, y) и ; решением матричной игры, достаточно проверить, удовлетворяют ли они неравенствам (4) и (5). С другой стороны, найдя неотрицательные решения неравенств (4) и (5) совместно со следующими уравнениями
, (6)
получим решение матричной игры.
Таким образом, решение матричной игры сводится к нахождению неотрицательных параметров решений линейных неравенств (4) (5) и линейных уравнений (6). Однако это требует большого объёма вычислений, которое растёт с увеличением числа чистых стратегий игроков. (Например, для матрицы  33  имеем систему из 6 неравенств и 2 уравнений). Поэтому в первую очередь следует, по возможности используя свойства 2 и 3, уменьшить число чистых стратегий игроков. Затем следует во всех случаях проверить выполнение неравенства
 = .
Если оно выполняется, то игроки имеют чистые оптимальные стратегии (игрок 1 – чистую максиминная, а игрок 2 – чистую минимаксная). В противном случае хотя бы у одного игрока оптимальные стратегии будут смешанные. Для матричных игр небольшого размера эти решения можно найти, применяя свойства  1 – 5.

Замечание. Отметим, что исключение доминируемых (не строго) стратегий может привести к потере некоторых решений. Если же исключаются только строго доминируемые стратегии, то множество решений игры не изменится.

Пример 3. Пусть G = (Х,Y,А), где Х = {1, 2, 3, 4}; Y = {1, 2, 3, 4}, а функция выигрыша А задана следующим образом :

где С > 0.
Решение. Прежде всего заметим, что по свойству 6 достаточно решить игру G1 = (Х,Y,А), где А1 =А . В матричной форме игра G1 определяется матрицей выигрышей

Элементы четвёртой строки этой матрицы  “ ; ”  соответствующих элементов третьей строки и поэтому третья стратегия игрока 1 доминирует над четвёртой. Кроме того, элементы первого столбца матрицы  А1  “ ; ” соответствующих элементов второго столбца, Следовательно, вторая стратегия игрока 2 доминирует над его первой стратегией.
Далее, из свойства 5 следует, что всякое решение игры G2 = (Х \ {4}, Y \ {1}, А1) является решением игры G1. В матричной форме игру G2 можно представить матрицей
.
Очевидно, что элементы второй строки  “ ;”  полусуммы соответствующих элементов первой и третьей строк. Кроме того, элементы третьего столбца матрицы  А2  “ ;“  соответствующих элементов второго столбца. Применяя свойство 5 получим, что всякое решение игры G3 = (Х \ {4,2}, Y \ {1,4}, А2) является решением игры G2, а следовательно и игры G1. Игра G3 определяется матрицей
.
Матрица А3 не имеет седловой точки, т.к. не выполнено равенство
 = ,
а игра G3 не имеет решения в чистых стратегиях, т.е. оптимальные стратегии игроков являются смешанными. Эти стратегии (в данном случае) легко найти из анализа структуры матрицы А3. Поскольку матрица А3 симметрична, можно предположить, что игроки в оптимальной стратегии используют свои чистые стратегии с равными вероятностями.
Действительно, если игрок 1 выбирает с равными вероятностями стратегии 1 и 3, то при применении любой из двух чистых стратегий игроком 2 математическое ожидание выигрыша игрока 1 будет равным либо
,
либо
.

Аналогично, если игрок 2 использует свои чистые стратегии 2 и 3 с равными вероятностями, то математическое ожидание его проигрыша будет равно . Следовательно, указанные стратегии являются оптимальными в игре G3, а величины  – значением игры G3. Из предыдущего следует, что эти стратегии оптимальны и в G1.
Таким образом, стратегия Х = (, 0,, 0) является оптимальной стратегией первого игрока, стратегия Y = (0,,, 0) – оптимальной стратегией второго игрока в игре G1, а значение игры G1 равно . В силу свойства 4 решением игры G будет тройка  (Х,Y,).
Игры порядка 2;2
В общем случае игра  22  определяется матрицей

На первом этапе исследования необходимо проверить имеет данная игра решение в чистых стратегиях или нет. Если матрица А имеет седловую точку, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями первого и второго игроков соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет Седловой точки, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с некоторыми положительными вероятностями. В противном случае один из игроков (например первый игрок) имеет чистую оптимальную стратегию, а другой – только смешанные. Не ограничивая общности, можно считать, что оптимальной стратегией первого игрока является выбор с вероятностью 1 первой строки. Далее,  по свойству  1  следует, что а11 = а12 = ;  и матрица имеет вид
.
Легко видеть, что для матриц такого вида одна из стратегий второго игрока является доминируемой. Следовательно, по свойству 4 второй игрок имеет чистую стратегию, что противоречит предположению.
Пусть Х = (;, 1 ; ;) – оптимальная стратегия первого игрока. Так как второй игрок имеет смешанную оптимальную стратегию, из свойства 1 получим, что (см. также свойство 7)

Отсюда следует, что при  ; ; 0  столбцы матрицы А не могут быть пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, отличным от единицы. Если же коэффициент пропорциональности равен единице, то матрица А принимает вид

и первый игрок имеет чистую оптимальную стратегию (он выбирает с вероятностью единица ту из строк, элементы которой не меньше соответствующих элементов другой), что противоречит предположению. Следовательно, если ; ; 0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы А отличен от нуля. Из этого следует, что последняя система уравнений имеет единственное решение. Решая её, находим
;
.
Аналогичные рассуждения приводят нас  к  тому,  что  оптимальная  стратегия  второго игрока Y = (;, 1 - ;)  удовлетворяет системе уравнений

откуда
.

Поясним метод на примерах.

Пример 1.
Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.

На плоскости  хОy  введём систему координат и на оси  Ох  отложим отрезок единичной длины А1, А2, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (х, 1 ; х). В частности, точке А1 (0;0) отвечает стратегия А1, точке А2 (1;0) – стратегия А2 и т.д.


           y


         11




                7

                М                N                5
               
           3
           2                ;                2

                x

В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии  А1, а на втором – при стратегии А2. Если игрок 1 применит стратегию А1, то выиграет при стратегии В1 игрока 2 – 2, при стратегии В2 – 3, а при стратегии В3 – 11. Числам 2, 3, 11 на оси 0х соответствуют точки В1, В2 и В3.
Если же игрок 1 применит стратегию А2, то его выигрыш при стратегии В1 равен 7, при В2 – 5, а при В3 – 2. Эти числа определяют точки В;1, В2;, В3; на перпендикуляре, восстановленном в точке А2.Соединяя между собой точки В1 и В;1, В2 и В;2, В3 и В;3 получим три прямые, расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В1В;1 до оси 0х определяет средний выигрыш  ;1  при любом сочетании стратегий А1 А2 (с частотами  х  и  1–х) и стратегией  В1 игрока 2. Это расстояние равно
2х1 + 6(1 ; х2) = ;1
(Вспомните планиметрию и рассмотрите трапецию А1 B1 B;1 A2). Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломанной  В1 M ; В;3  определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке  ;; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* = (х, 1;х), а её ордината равна цене игры  ;. Координаты точки ; находим как точку пересечения прямых В2 B;2  и  В3 B;3.
Соответствующие два уравнения имеют вид
.
Следовательно Х = (; ), при цене игры  ; = . Таким образом мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы

Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы

и, следовательно, Y = (0; ; ). (Из рисунка видно, что стратегия B1 не войдёт в оптимальную стратегию.

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей




               x                8

                7

                6                К                6
 
                5

                4


                ;

                2

                1

                y


Решение. Матрица имеет размерность  2 х 4. Строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1. Ломанная  А1 K А;4  соответствует верхней границе выигрыша игрока 1, а отрезок ; ; –цене игры. Решение игры таково
; = (; );     Х = (; 0; 0; );     ; = .
Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
Предположим, что цена игры положительна (; > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число  с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.
Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х1, ..., хm), y = (y1, ..., yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры ; должны удовлетворять соотношениям.
                (7)
                (8)
Разделим все уравнения и неравенства в (1) и (2) на ; (это можно сделать, т.к. по предположению ; > 0) и введём обозначения :
     ,          ,
Тогда (1) и (2) перепишется в виде :
,     ,     ,     ,
,     ,     ,     .
Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi , чтобы цена игры ; была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  pi  , при которых
,   .                (9)
Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры ; была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  qj,  , при которых
,   .                (10)
Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи  линейного программирования (ЛП).
Решив эти задачи, получим значения  pi  ,  qj   и ;.Тогда смешанные стратегии, т.е. xi и yj получаются по формулам :
                (11)
Приведем пример содержательной матричной игры.
Рассмотрим одну из позиций в хорошо известной игре морской бой. Пусть игрок А стремится расставить два одноклеточных корабля таким образом, чтобы вероятность обнаружения кораблей игроком В, при выборе им некоторой эвристической стратегии поиска, за k выстрелов была минимальной. Игрок В ищет эвристические стратегии, позволяющую с наибольшей вероятностью обнаружить корабли за k выстрелов.
Игрок А может расставить два корабля различными способами, он может поставить один корабль в угол, а один у стенки или оба корабля вдали от стенок. Количество всевозможных расстановок определяется правилом расположения кораблей, т.е. если первый корабль может быть поставлен на любую клетку игрового поля, то второй корабль нельзя ставить  в соседние клетки. Число различных стратегий игрока А для поля любой сложной конфигурации будет оцениваться следующим интервалом , где n клеток поля. Игрок В также имеет множество стратегий поиска: он может в начале обстрелять углы, а затем обстрелять клетки у стенок или наоборот и т.д. Всего игрок В имеет стратегий поиска.
Пусть игрок А выбрал свою i-ую стратегию , а игрок В ; j-ую стратегию . Обозначим вероятность уничтожения кораблей за k выстрелов при этих стратегиях . Рассматривая все стратегии игроков, получим матрицу игры:


В1
В2
В3
.......
Вb
А1
p11
p12
p13
.......
p1b
А2
p21
p22
p23
.......
p2b
А3
p31
p23
p33
.......
p3b
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Аа
pa1
pa2
pa3
.......
pab

Введем вероятность ri выбора i-ой стратегии игрока А и вероятность qj выбора j-ой стратегии игрока В. Оптимальной стратегией игрока А будем считать ту, которая имеет наибольшую вероятность ri при минимальном математическом ожидании уничтожения кораблей за k выстрелов . Оптимальной стратегией игрока В будем считать ту,  которая имеет наибольшую вероятность qj  при максимальном значении М.
Можно видеть, что часть эвристических стратегий расположения кораблей и поиска являются неразличимыми. Действительно, рассмотрим квадратное поле n;n клеток и множество стратегий, когда один корабль расположен в угловой клетке, а второй вдали от него и от боковых стенок поля. Количество различных стратегий N=4;(n-2)2, но вероятность обнаружения кораблей при случайном поиске для всех этих стратегий будет одна и та же. Следовательно, в данной игре, все они могут быть представлены одной стратегией.
Определим наиболее предпочтительную стратегию среди следующих эвристических стратегий игроков А и В.
Стратегии игрока А:
 А1 ; постановка кораблей в клетки в дали от углов, стенок и друг от друга (т.е. нет пересечения граничных клеток);
А2 ; постановка кораблей в углы поля.
Стратегии игрока В:
В1 ; обстрел поля случайным образом;
В2 ; обстрел угловых клеток, а затем обстрел оставшегося поля случайным образом.
Матрица игры имеет вид:







В1
В2
А1
p11
p12
А2
p21
p22
Предположим, что игрок A выбрал первую стратегию с вероятностью , а вторую стратегию ; с вероятностью (+=1). Если игрок B выберет свою первую стратегию, то математическое ожидание для вероятности выигрыша за k выстрелов запишется в виде , при выборе второй стратегии   . Потребуем, чтобы записанные математические ожидания были меньше некоторого максимального значения M0 (цены игры).
Для нахождения вероятностей r1, r2 получим систему линейных алгебраических неравенств
   (8)
Задача (8) является задачей линейного программирования. Введя новые переменные , запишем

Решение этой системы ищем при условии, что L0 принимает максимальное значение.
Окончательно получим
.
Очевидно, что расположение кораблей существенно влияет на игру, если n и k малы. Приведем конкретное решение при следующих значениях параметров. Величина поля n=20, количество выстрелов k=15. Значения вероятностей попадания в корабли получены  с помощью многократного проигрывания имитационной модели данной игры на компьютере (10000), . Если игрок А расположил корабли в углах игрового поля, то вероятность попадания в них при обстреле углов равна единице . Если корабли расположены в центре поля, а игрок В вначале обстреливает углы, а затем ведет поиск случайным образом, то вероятность может быть получена с помощью имитационной модели при n=16, k=11, .
Игрок А должен использовать первую стратегию с вероятностью , а вторую стратегию с вероятностью .
Аналогичным образом можно провести исследование вероятности выбора стратегии игрока В .
Выбор стратегии игроком А в реальной игре, в соответствии с теорией игр, может быть осуществлен с помощью некоторого генератора случайных чисел, генерирующих, например, нуль и единицу с вероятностями   . Игрок В выбирает стратегию, используя другой генератор с вероятностями .

Приложение 2. Программа численного анализа
баллистики пушечного ядра

Программа реализована в пакете Maple.
Уравнения движения пушечного ядра в среде с сопротивлением

g ; ускорение свободного падения, ; - коэффициент сопротивления среды. Начальные условия имеют вид ,     ; составляющие начальной скорости снаряда, h ; высота с которой произведен выстрел.
Программа написана на языке MAPLE.
> restart:with(plots):
> a:=0.0001:g:=10:# a - коэффициент сопротивления среды, g - ускорение свободного падения,
>  уравнения движения
> fcns:={x(t),y(t),u(t),v(t)}:# неизвестные координаты и проекции скорости ядра
> решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с начальными условиями
График траектории ядра
odeplot(p,[x(t),y(t)],0..6.3);



Литература

1.  Пуанкаре А. О науке. ; М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. Литерат., 1983г.;560 с.
2.  Коленкур А. Мемуары. Поход Наполеона в Россию.;  Смоленское изд. «Смядынь»,1991.; 368 с.
3.  Клаузевиц 1812 г. ;  М.,1937г. http//miltera/lib/ru (проект «Военная литература»).
4.  Ганс Дельбрюк  История военного искусства ; С.-Петербург, Наука-Ювента, т.4,1997г.; 368c.
5.  Лиддел-Гарт Б.Стратегия непрямых действий (Энциклопедия военного искусства) ; М.:,АСТ, 1999г. ; 656с.
6.  Дельфдерфилд Р.Ф. Наполеон. Изгнание из Москвы. ; М.:ЗАО Центрполиграф, 2002.; 381 с.
7.  Богданович М.И. История Отечественной войны 1812 по достоверным источникам, т. 1-3.СПб.,1859-1860.
8.  Михайловский-Данилевский А.И. Описание Отечественной войны 1812 года, ч.1-4, изд. 2-е. СПб.,1840.
9.  Тарле Е.В. Наполеон. М.,1997.
10.  Тарле Е.В. Нашествие Наполеона на Россию.1812 год.; М.:Воениздат,1992.;304с.
11.  Тарле Е.В. Бородино ; М.:Изд.АН.СССР ; 1962г.; 96с.
12.  П.А.Жилин Гибель Наполеоновской армии в России ; М.:Наука,1974г.; 541 с.
13.  П.А.Жилин Фельдмаршал М.И. Кутузов ; М.:Воен.изд., 1987г.; 368 с.
14.   Полководец Кутузов ; сб.статей под. ред. Л.Г. Бескровного, М. АН СССР, ГИПЛ.,1955г.; 495 с.
15.  «М.И.Кутузов». Сборник документов, т.IV,ч.1,М.1955г.; 552 с.
16.  «М.И.Кутузов». Сборник документов, т.IV,ч.2,М.1955г.
17.  «Родина»; 6-7,1992г. (Специальный выпуск посвященный новой картине Отечественной войны 1812 года).c.129.
18.  «Родина» (Россия и Наполеон) ; 8, 2002г.; 145 с.
19.  Ивченко Л.Л. Бородино. Легенда и действительность.;М. Экспринт, 2002, ; 88с.
20.  Троицкий Н.А. 1812.Великий год России ; М.:    1988г. ; 350с.
21.  Троицкий Н.А. Фельдмаршал Кутузов. Мифы и факты.; М.: Центрполиграф, 2002г. ; 367с.
22.  Всемирная история т.16. «Европа под влиянием Франции. ; М.:, АСТ, 2000г. ; 560с.
23.  Емельянов И.В. Когда совершаются подвиги.;Знак вопроса, №1, 1995г.,стр.109-124.
24.  Кардашев Ю.П., Емельянов И.В. Еще одна тайна 1812г.? ; Знак вопроса, №3,1997,с.112-124.
25.  The Life of Barclay de Tolly ;  M.Johnson, D.Josselson London & New York, 1980.
26.  The Fox of the North ;  R.Parkinson, New York, 1976.
27.  Borodino and the War of 1812. ; Christopher Duffy, London & New York, 1973.
28.  Чарльз Дж. Исдейл Наполеоновские войн. ; «Феникс», 1997г. ; 544с.
29.  «Napoleon in Russia». Version 0.1, Talon Soft, Inc.
30.  Ковальченко И.Д. Методы исторического исследования  ; М. Наука 1987. ; 440с.
31.  Ковальченко И. Д., Бородкин Л.И. Современные методы изучения исторических источников с использованием ЭВМ. ; М. МГУ, 1987. ; 86с., библ.523.
32.  Шведов С.В. Комплектование, численность и потери русской армии в 1812 году. ; История СССР, 1987г. №4,с.120-139.
33.  Моисеев Н.Н. Математик ставит эксперимент. М.1979г. Наука.
34.  В.А.Устинов и др. Опыт имитационного моделирования историко-социального процесса. ; «Вопросы истории», 1976, №11.
35.  Калашников В.В., Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Статистический анализ звездного каталога «Альмагеста» ; Докл. АН СССР 1989.313, №6, с.1315-1327.
36.  Калашников В.В., Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Датировка звездного каталога «Альмагеста». Статистический и геометрический анализ.; М.:изд-во «Факториал», 1995г. ; 286 с.
37.  Хвостова К.В., Финн В.К. Проблемы исторического познания в свете современных междисциплинарных исследований ; М.: Российский гос.гум.универ., ;256с.
38.  Бобылев П.Н. Репетиция катастрофы ; Военно-исторический журнал 1993г, №6,7.
39.  Танки и танковые войска. ; М.: Воениздат,1980, ; 432с.
40.  П.Н.Ткаченко, Л.Н. Куцаев и др. Математические модели боевых действий. ; М.: Сов.рад. 1969г. ; 240с.
41.  Е.С. Вентцель Введение в исследование операций. ; М.: Сов.Радио. 1964г.; 388с.
42.  Айзекс Р. Дифференциальные игры. ; М.: Мир.,1967г.; 479 с.
43.  Яковлев В.В. История крепостей ; Полигон, С.-Петербург, 1995г.; 312с.
44.  Строков А.А. История военного искусства ; «Полигон», С.-Петербург, т.4,1994.; 679с.
45.  А.А.Свечин Эволюция военного искусства ; т.1, Сайт:militera.lib.ru;science;svechin2a;index.html
46.  Г.Гудериан Воспоминания солдата.; Рост.н/Д.Ж «Феникс»,1998. ;544с.
47.  М.В. Горнастаев Генерал-губернатор Москвы Ф.В. Растопчин: Страницы истории 1812 года. Интернет-проект «1812 год». Сайт:museum.ru;museum;1812;library;Gornostaev;index.html.
48.  Е.С. Вентцель Исследование операций ; М.: Наука, 1988. ; 208с.
49.  М.И. Кутузов. Сборник документов, т.III, М.1955г. ; 481с.
50.  Васильев А. Лукавая цифирь авантюриста - «Родина» № 6-7 1992, стр.68-71.
51.  Прочко И.С. История развития артиллерии ; Полигон, С-Петербург,1994г. ; 495с.
52.  Александр Берназ. Техническое оснащение русской артиллерии начала XIX в. Интернет-проект «1812 год».
53.  Ермолов А.П. Записки А.П. Ермолова 1798-1826 ; М.: Высшая школа 1991г. ; 464с.
54.  Военно-инженерное дело ;  М.: Гос. Воен. Изд. Наркомат обороны Союза ССР, 1931г.
55.  Бородино в воспоминаниях современников ; СПб.: Изд. «Скарабей», 2001г.; 368 с.
56.  Ф.Н. Глинка Письма русского офицера ; М.: Моск. рабочий, 1985г. ;366с.
57.  1812 год в воспоминаниях современников ; М.: Наука,1995г. ; 202с. И.Ф. Паскевич стр.104.
58.  Н.И. Казаков Полководческая деятельность М.И.Кутузова в период русско-турецкой войны 1806-1812гг. (Кампания 1811г.) ; в сборнике «Полководец Кутузов», М.1955г.,стр.86-140.
59.  ЦГАОР,ф.Зимнего дворца. 728,д.900,лл56 об-57 Бородино. Из войны 1812 года. Рассказ очевидца. Подпись Военный инженер генерал-лейтенант Богданов2-й.
60.  Н.Ф. Гарнич Бородинское сражение ; сб.статей «Полководец Кутузов» под. ред. Л.Г. Бескровного, М. АН СССР, ГИПЛ.,1955г.; 495с.
61.  Роковые решения вермахта. Московская битва генерал Гюнтер Блюментрит ; Ростов н/Д: изд.-во «Феникс», 1999г. ; 384с.
62.  В. В. Кожинов Великое творчество. Великая победа. ; М.: Военидат, 1999. ; 328с. (стр. 282).
63.  С.Б.Окунь Очерки истории СССР. Л., 1956г. ; стр220.
64.  Тартаковский А.Г. «Военная публицистика 1812 года.»; Изд. «Мысль», М. 1967г. ;222с.
65.  Г. Оуэн Теория игр ; М.: Мир, 1971г. ; 230с.
66.  Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе ; М.: Финансы и статистика, 1999г. ; 176с.
67.  Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семин Е.А. Теория игр ; М.: Высш.шк., 1998г. ; 304с.
68.  М.А.Гареев О критериях объективности в трудах военных историков ; Новая и новейшая история, 1992, № 1 Проект "Военная литература": militera.lib.ru, Техобработка: Hoaxer (hoaxer@mail.ru).
69.  Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы ; М.: Наука, 1989г. ; 432с.
70.  К.Шенон Работы по теории информации и кибернетики ; М.: Иност. литер., 1963г. ; 829с.
71.  Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация ; М.: Гос.изд.физ.-мат.лит.,1960г.; 315с.
72.  Наполеон Избранные произведения ; М.:, 1956г. ; 668с.
73.  Из воспоминаний Н.И. Андреева. ; Русский архив, 1879г., №10, стр. 191-193.
74.  Битва под Москвой ; М.: Воен.издат.,1989г. ; 320с.
75.  Четков В.М. Бородино ; Артиллерийский журнал, 1942г., №4, стр.35-42.
76.  Безотосный В.М., Васильев Н.А., Горшман А.М. Русская армия 1812-1814 г. ; М.: Гуманит. Изд.ВЛАДОС, 1999г. ; 160с.
77.  Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики (ч2) ; М.: Просвящение, 1966г. ; 399 с.
78.  Лефевр В. А. Конфликтующие структуры. ;  М.:Изд.Сов.радио, 1973г.;158с.
79.  Б.Ц, Урланис История военных потерь ; С.-Петербург: Полигон, 1998г. ; 558с.
80.  Федоров О.В., Ушаков В.К. Поле русской славы ; М.: Московский рабочий, 1979 г.; 200с.
81.  Военно-инженерное дело ; М.: ГВИ Наркомат обороны СССР, 1931г.

Труды автора относящиеся к тематике монографии

82.  Ляхов А.Ф. Компьютерный моделирование и анализ исторических событий / Модели и Анализ систем/; Н.Новгород: Изд.ВВАГС, 2001г., с. 23-36.
83.  Ляхов А.Ф. Математика и компьютерные игры.; С.-Петербург, Компьютерные инструменты в образовании, №1, 2002г. ; 62;70с.
84.  Ляхов А.Ф. Как правильно играть в морской бой. ; С.-Петербург, Компьютерные инструменты в образовании, №1, 2002г., с. 73;80.
85.  Ляхов А.Ф. Анализ динамики боевых действий в стратегических компьютерных играх. ; С.-Петербург, Компьютерные инструменты в образовании, №5, 2003г., с. 76;83.
86.  Ляхов А.Ф. Поиск и анализ оптимальной стратегии в игре «морской бой».; М.:Фонд мат.обр. и просвящ., Математическое образование №1, 2003г., с.2-19.
87.  Ляхов А.Ф. Компьютерное и математическое моделирование исторических процессов ; Н.Новгород, Ученые записки Волго-Вятского отделения Международной Славянской академии наук, образования, искусств и культуры, Вып.№6, 2000г.,с.58-64.