Литературные образы и математические модели

Использование литературных образов для
иллюстрации математических моделей


Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев делать
его немного занимательным.
Б. Паскаль

 «…Нельзя быть математиком, не будучи в тоже время и поэтом в душе.»
 С.Ковалевская.

Чтение естественно научных курсов требует от преподавателя определённой строгости и последовательности изложения материала. В одной лекции, как правило, затрагивается не более двух трёх задач или проблем. В процессе чтения лекции в соответствии с насыщенностью и важностью излагаемого материала преподаватель меняет эмоциональную окраску и темп изложения. Возникают естественные переходы от одной проблемы к другой.

 Следует заметить, что студенты не могут в течение всей лекции находиться в состояния высокой концентрации внимания. Поэтому большинство преподавателей во время лекции вводят элементы юмора или приводят интересные факты из истории науки и техники, касающиеся темы лекции, которые позволяют студентам, расслабится, на некоторое время, чтобы затем снова сосредоточится на изучаемой теме.

Материалом сообщений для снижения уровня напряжения внимания в аудитории могут служить примеры из новостных о научных и технических достижениях, из анализа аварий и т.д.

Лекторы для внесения разрядки часто используют шутки, анекдоты, описание юмористических ситуаций. Эти шутки могут возникать экспромтом,  но, как известно, хороший экспромт готовится заранее. Интернет предоставляет большие возможности для этого. Существует множество сайтов содержащие афоризмы и анекдоты по тематикам естественно научных дисциплин. Приведём адреса нескольких сайтов содержащих анекдоты и шутки: http://mat-mex.ru/humor/mathematic-anecdots/html,    http://physics03.narod.ru.

Источником для возможных пауз, снижающих напряжение и одновременно стимулирующих интерес к предмету лекции, может служить образы и идеи, взятые из художественная литература.

При чтении лекций по математическим дисциплинам, при введении абстрактных понятий и доказательств, преподаватели, как правило, апеллируют к простым геометрическим и механическим моделям и их характеристикам. Например, изучая производную функции, обращаются к понятию скорости точки, при изучении интегралов - рассматриваются задачи о вычисления площади тела или его объема. Это  позволяет студенту лучше понять и запомнить изучаемые абстрактные математические теории.

Большое количество образных моделей позволяющих проводить качественное   математическое описание можно получить из художественная литература. Каждое  художественное произведение в той или иной мере моделирует некоторые явления, события из реальной жизни. Эти модели могут быть описаны  на языке естественно научных дисциплин.

Необычность описание явлений и процессов литературных произведений с помощью математических образов, вызывает удивление и эмоциональный подъём студентов. Оно показывает глубину и широкие возможности применения математических абстракций,
Заметим, что очень большое количество примеров для иллюстрации физических и математических образов можно найти в научно-популярной и научно-фантастической литературе. Это рассказы фантастов с мировыми именами Жюль Верна, Станислава Лема  Роберта Шекли, Генри Катнера. Из отечественной литературы следует отметить книгу братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу».
Метод работы этих писателей состоял в том, что они брали какой-нибудь физический эффект или математическое утверждение и строили вокруг него сюжет своего произведения.

К сожалению, надо отметить, что современные студенты практически не знакомы с этой литературой.

Молодёжь читает книги, написанные в стили «фентези».
Мир фэнтези — это виртуальный мир, в котором пространство и время искажены, в котором не действуют физические законы, нарушаются причинно-следственные связи, нет естественной логики действий. Погружению в этот мир начинается с детских мультфильмов с искажёнными виртуальными героями и действиями.

Для того чтобы у студентов возникало узнавание предлагаемых для анализа литературных сюжетов или героев рекомендуется использовать литературные произведения из школьной программы.

Существует неверное представление о русских писателях 18-19 веков, как людях, которые слабо разбирались и не интересовались достижениями в естественных науках и технике, то есть являлись «гуманитариями» в чистом виде. Высшее образование, которое они получали, включала в себя и знания по естественнонаучным  дисциплинам: математике, механике, физике и химии. На пример, в журнале А.С. Пушкина «Современник» печатались научно-популярные статьи: обзор французских академических математических журналов, обзор по теории вероятностей. В последнем номере журнала, который редактировал А.С. Пушкин, был опубликован обзор по тепловым машинам.

Рассмотрим хорошо известное стихотворение А.С. Пушкина.

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

Это стихотворение показывает, что поэт был хорошо знаком с парадоксами Зенона, с механикой Галилея. По-видимому, эти знания были общедоступными и обсуждались в образованном обществе. Это стихотворение вполне уместно процитировать на лекциях по теоретической механике.

Примеры  интересного прямого цитирования можно привести из пьесы Д.И. Фонвизина «Недоросль». На урок по математике Митрофан пытается выполнять арифметические действия оставаясь в рамках  двоичной системе исчислений.

«Цыфиркин. Пиши, ваше благородие. За ученье жалуете мне в год десять рублев.
Митрофан. Десять.
…..
Цыфиркин. Сколько ж бы на год?
Митрофан (вычисляя, шепчет). Нуль да нуль — нуль. Один да один... (Задумался.)»

Другое использование литературных произведений в лекциях по естественно научным дисциплинам связано с тем, что для описания развития сюжета произведения и характеристик героев   можно использовать математическую терминалогию, математические  модели и соответствующий анализ.  Приведем несколько примеров такого описания.

При численном решении задач имеющих прикладное значение вводится сложное понятие обусловленности задачи. Это понятие сводится к следующему. Пусть исходная задача имеет решение и имеется алгоритм его нахождения. Однако при численном решении задачи, с учетом погрешностей измерения исходных параметров и погрешности вычислений, решение определяется с  большой погрешностью, то есть оно оказывается практически бесполезным. О таких задачах говорят, что они плохо обусловлены.

Понятие обусловленности может быть применено для оценки качества личности.
Например, Евгений Онегин, герой пушкинского романа хорошо обусловленная личность. Он действует и живёт в рамках принятых в обществе. Никакие внешние воздействия: письмо Татьяны, дуэль с  В. Ленским не изменяют его поведение.

Примером плохо обусловленной личности может служить герой романа М.Ю. Лермонтова Г.А. Печорин, поведение которого сильно зависит от малозначимых фактов. В каждой новелле составляющей роман, Печорин совершает неоправданные радикальные поступки, причины которых малы и практически несущественны. Так весь сюжет новеллы «Белла» построен на неоправданной реакции Печорина на жест гостеприимства на свадьбе горцев.

Приведём ещё один пример. В курсах теории вероятностей и информатике вводится понятие энтропии, характеризующее структурную сложность системы.

Рассмотрим роман Л.Н. Толстого «Война и мир». В начале романа присутствует большое множество действующих лиц, которые ведут себя достаточно сложно. Всё это создаёт ощущение не предсказуемости развития ситуации, то есть степень неопределённости развития сюжета высока и соответственно энтропия тоже велика.

В конце романа большая часть героев уходит из жизни, часть героев завершает свое духовное развитие и выходят на спокойный устойчивый образ жизни. Некоторая динамичность и непредсказуемость остаётся  у двух героев: Пьера Безухова и сына Андрея Болконского.
Энтропия описания общества практически равна нулю. Информация, полученная читателем при прочтении романа количественно равна начальной энтропии романа.

Приведенный анализ позволяет по-новому оценить качество романа. В реальной жизни степень неопределённости общества слабо меняется с течением времени, то есть на смену ушедших поколений приходят новые люди. Этот процесс не отражён в романе.

В третьем томе романа «Война и мир» Л.Н. Толстой рассуждает причинах начала войны. Он высказывает предположение, что если бы большое количество солдат отказалось идти на войну, то войны бы не было.

Сама постановка вопроса подсказывает возможность использовать теорию вероятностей для получения оценки вероятности начала войны.

Предположим, что солдат отказывается от участия в войне с вероятностью p, количество солдат в армии N , война не начнется, если откажется воевать большое количество солдат K.
Какова вероятность того, что война не начнётся?

Для анализа этой задачи можно использовать локальную формулу Муавра – Лапласа для оценки вероятности отказа K  солдат участвовать в войне
 (к сожалению формулы не отражаются)
где  ,  ; плотность стандартного нормального распределения.

Если предположить, что вероятность отказа солдата идти на войну р=0,5, то есть каждый второй солдат отказывается воевать. Количество солдат в армия Наполеона N=600000. Предположим, что война не начнётся, если откажется воевать K=100000 солдат , то для вероятности отказа такого количества солдат получим P=0,17.
Вероятность начала войны это противоположное событие.
P=0,83.
Можно видеть, что эта вероятность достаточно велика.

Заметим, что данный математический формализм позволяет оценивать апосториорно стойкость и моральные качества реальных армий после сражения. Зная количество дезертиров, пленных, отставших от частей после сражения, в соответствии с формулами (1, 2) можно оценить правильность решения командывания армии дать сражение.
В Бородинском сражении русская армия имела численность около 120000 солдат. Русская армия проявила очень высокую моральную стойкость. Французы взяли в плен менее тысячи человек. Решение М.И. Кутузова дать сражение было абсалютно правильным.

Новый взгляд на хорошо известные сюжеты и героев вызывает эмоциональное удивление и радость познания новых граней действительности. Возникает живая связь математических абстракций с реальной жизнью.

«Суха теория, мой друг, а древо жизни вечно зеленеет.»
Фауст         И.В.Гёте