Гармония звуков

статья перенесена с сайта Стихи.ру ( опубликована 19.01.2015 )

           настройка по обертонам, схемы музыкальной настройки, гармоничность интервалов,
           12-ти и 19-ти полутоновой звукоряд - сравнение.


                "Пифагор отдавал столь явное предпочтение струнным
                инструментам, что предупреждал своих учеников против
                дозволения ушам прислушиваться к звукам флейты и
                цимбал. Он далее утверждал, что душа должна быть
                очищена от иррациональных влияний торжественным пением,
                которому следует аккомпанировать на лире."
                ссылка ниже

   Дорогие читатели. Речь у нас с вами пойдёт о гармонии. Сочинение стихов, как и пение, или декламирование их нараспев - исключительно гармоническое занятие. Поэтому в этой статье - немного о гармонии в музыке.
   Какие строки стиха, какие звуки мы называем гармоничными? Известно какие - те которые услаждают наш слух. А если приглядеться повнимательнее - имеющие некую симметрию. Ритмику и рифмы в стихосложении, ритмику и согласие обертонов - в музыке. Об обертонах и пойдёт наша речь.
   Взгляните на рисунок. Представьте, что верхний и нижний длинные отрезки - струны, одинаковой длины, и натянутые таким образом, что они издают звук До первой октавы при нормальном своём звучании. То есть, при колебаниях вверх и вниз серединок этих струн, как целого.
   Но они могут звучать и по-другому - совершая колебания, показанные на рисунке. Звук этих колебаний выше, это - звук обертонов, третьего и четвёртого (считаем по числу пучностей). Натянутые с такой же силой, но более короткие струны со звуками Фа и Соль могут создавать точно так же звучащие обертоны. И потому одновременное звучание нот До и Соль, или До и Фа мы воспринимаем, как гармоничное.

   Если гармония звучания струн была замечена очень давно, то её детальную разработку связывают с именем Пифагора.  Ему, как считают, принадлежит создание диатонического ряда - последовательности семи звуков октавы, расположенных в гармонии отношений чисел 1 2 3 и 4.
Красочное (хоть не совсем правильное с точки зрения физика) описание опытов Пифагора вы можете найти тут:
Пифагорейская теория музыки и цвета.

   Прочтите и насладитесь. Поскольку мы с Вами приступим сейчас к достаточно скучному занятию - к настройке пианино. Поясню, почему я вообще взялся за это дело.
   Я сделал пианино на клавишах компьютера. Со звучанием клавиш, мнемонической записью полученного звучания, с возможностью редактирования, прослушивания и хранения нот этой записи в обычном текстовом файле. Поскольку в записи использованы привычные музыкантам обозначения нот, как то - C D E F G A B для нот первой октавы и те же буквы, только строчные, для нот во второй октаве, то чтение нот и правка музыкального текста вполне может происходить и в текстовом файле. Если раскрыть его, например, с помощью программы Блокнотик. Получилось, на мой взгляд, удобно и интересно. Специально об этой программе я расскажу в следующей статье.
   Передо мной встала задача настроить компьютерное пианино. Взять частоты равномерно темперированного ряда, мне показалось слишком простым делом. И я стал разбираться в схемах настройки.
Подробности настройки Вы можете посмотреть по этой ссылке -
www.настройка-пианино-харьков.com

   Не будем создавать равномерно темперированный строй, а первым делом обратимся к классической схеме настройки 2/3 или "по квинтам вниз". Обычно делают именно такую настройку. Объясню, почему.
   Квинта - интервал 5-ти тонов, верхняя ступень которого, называемая доминантой, известна ощущением к разрешению в тонику - в нижнюю ступень квинты. От Ля к Ре.
   С этого и начинается настройка. Частота ноты Ля первой октавы взята за эталон, она равна 440 Гц.
Эту частоту мы умножаем на 2 и делим на 3  (по схеме 2/3), находим Ре - "квинту вниз" от звука Ля.
   И дальше продолжаем в том же духе. Если частота, полученная нами, окажется ниже частоты Ля/2, то умножаем частоту на 2, возвращая её поближе к исходному Ля. Делаем это мы математически, а настройщик делает всё это, ориентируясь на свой слух.
   И вот - чудо. После 12-ти циклов мы возвращается к звуку Ля. Почти точно, да не совсем. Мы получаем не 440 Гц, а 434.078 Гц. Разница частот (в нашем случае - около 6 Гц) называется Пифагорейской коммой.
  Примерно так же, но несколько по-другому поступал и Пифагор в своих вычислениях. О пифагоровом строе см. тут - http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/1.html
 
    Мелочь или не мелочь - пифагорейская комма, можно ли ею пренебречь?
6 Гц от частоты 440 Гц составляет 6/440=0.002348 то есть, округляя, 0.23%. Тогда как частота поднимается от ноты Ля к следующему полутону (Ля диез), увеличиваясь на 5.35% (таблицу с частотами я привожу ниже).
5.35/0.23=23.3 и, казалось бы, комой пренебречь можно.
    Но давайте посмотрим на интервалы, чуть забегая вперёд, к таблице частот. Вычисления показывают, что интервал между Ля и Ля# составляет, как уже было сказано, 5.53%. Но так не везде, таблица также часто демонстрирует интервалы между полутонами в 6.79%, например, для того же интервала Ля-Ля#, но для настройки по квартам. При движении по хроматической гамме частота уходит то вверх, то вниз от средней линии. 
    От этой "расстройки" уходят, дополнительно чуть подтягивая каждую струну при настройке, и получая равномерно темперированный звукоряд. В этом ряде звук повышается не на 5.35% и не на 6.79% на полутон, а  на 5.94%.
   Почему я заключил слово "расстройка" в кавычки? Потому, что именно эти меняющиеся интервалы, входя составной частью в другие интервалы разных тональностей, придают своеобразие звучанию этих тональностей. Отошлю к замечательному описанию красот тональностей, вот сюда -
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=90809
  Образное восприятие "светлых" и "темных" тональностей в 17-20 веках

   Процитирую некоторые описания, относящиеся к тональностям с совершенной доминантой и субдоминантой (например, до мажор) и к тональностям с нарушенной субдоминантой (ми мажор), и с нарушенной доминантой, а заодно и со многими другими интервалами, при идеальной субдоминанте (ля мажор).

C-dur “Совершенно чистый. Невинность, чистота, наивность, голос ребенка”
“Веселый и воинственный”
“Радостный и чистый”
“Состояние природы, девственная чистота и целомудрие, очаровательная невинность молодости”
“Непринужденность и благородство”
“Радостный и чистый; невинность и простота”
“Простой, неприукрашенный”
“Совершенно чистый”
“Чистый, уверенный, решительный; выражающий невинность, твердое намерение, мужественную серьезность и глубокое религиозное чувство”
“Смелый, энергичный, повелительный, подходит для отражения войны или предпринимательства”
“Чистый, уверенный, решительный, полон невинности, серьезности, глубоких религиозных чувств”; “Простой, наивный, откровенный” “Белый”
“Красный” (Скрябин)

 E-dur “Яркие радостные возгласы, радостный смех, и вместе с тем незавершенное, неполное удовольствие звучат в Ми-мажоре”
“Поднимающий настроение”; “Яркий”; “Излучающий свет, теплый, радостный”
“Восторг, великолепие, блеск; самая яркая и мощная тональность”
“Яркий и чистый, подходит для всего блестящего”
“С несравненной полнотой выражает отчаяние или смертельную печаль; он особенно годен в тех крайних любовных делах, где уже ничем нельзя помочь и не на что надеяться, и при определенных обстоятельствах имеет в себе нечто столь пронзительно-прощально-печально-проникновенное, что может быть сравним разве что с фатальным расставанием души и тела” (И.Маттезон)
“Сочный зеленый, весна в самом расцвете. Колышущиеся ветви, украшенные свежей листвой” (Риман, ХТК) “Сине-белесоватый”
“Синий, сапфировый, блестящий, ночной, темно-лазурный”
“Ночное, очень звездное небо, очень глубокое, перспективное”
=== обратите внимание на "незавершённое, неполное" - не это ли отзвук несовершенства субдоминанты? Д.М.
 
A-dur “Эта тональность – невинное признание в любви, удовлетворенность положением дел; надежда увидеть возлюбленную снова после разлуки; юношеская живость и вера в Бога”
“Радостный и пасторальный”; “Золотой, теплый и солнечный”;
“Должен обладать очень сильным воздействием; он блестящ, но более склонен к выражению печальных и скорбных чувств, чем к увеселению”
“Самая красивая, скромная, добрая, мягкая, деликатная, нежная, лишенная диезной дерзости Ля. Каждый автор замечал обаяние этой тональности, приберегая её для самых искренних чувств”
“Наполнена верой и надеждой, излучает любовь и простую неподдельную радость, превосходит все остальные тональности в выражении искренних чувств”
“Свежая и здоровая, жизненная”; “Искренняя, звучная” “Зеленый”
“Ясный, весенний, розовый; это цвет вечной юности, вечной молодости”
“Скорее радостное, пьянящее настроение, чем световое ощущение, но как таковое приближается к Ре мажору”
=== конец цитирования Д.М.

   Так что, вот эти "погрешности" гармонии и нарушения интервалов оказываются в итоге необычайно выразительными в музыке. А не так ли и в поэзии, где отступления от нормы создают своеобразные смысловые и эмоциональные акценты.
   Равномерно темперированную настройку называют пресной и бездушной. А не так ли обстоят дела и в поэзии, в которой совершенно гладкий по ритмике стих оказывается иногда столь же противен, как стих корявый.

  Теперь я хочу продемонстрировать компьютерный расчёт настройки 2/3 в том виде, в котором я его получил от компьютера:
 1  A lja 1  440               
 2  D re .6666666865348816  293.3333435058594
 3  G sol .8888888955116272  391.1111145019531
 4  C do  .5925925970077515  260.7407531738281
 5  F fa .790123462677002  347.6543273925781
 6  - lja# .5267489552497864  231.7695465087891
 7  - re# .7023319602012634  309.0260620117188
 8  - sol# .9364426136016846  412.0347595214844
 9  - do# .6242950558662415  274.6898498535156
 10  - fa# .8323934078216553  366.2531433105469
 11  B si .5549289584159851  244.1687622070312
 12  E mi .7399052977561951  325.558349609375
 13  A lja .9865403771400452  434.0777893066406
                \ в этом столбце относительные высоты частот, в следующем - частоты

Точно такой же расчет может быть проведён по схеме 3/4 - умножаем на 3, делим на 4
Разница в порядке следования тонов - вместо ADGCF и т.д. - AEB и т.д. только не 434.077 для Ля на выходе, а 446.003 - то есть та же комма, но уже положительная. Такая настройка называется "по квартам вниз", или "по квинтам вверх", что то же самое:

 1  A lja      1             440
 2  E mi       .75           330
 3  B si       .5625         247.5
 4  - fa#      .84375        371.25
 5  - do#      .6328125      278.4375
 6  - sol#     .94921875     417.65625
 7  - re#      .7119140625   313.2421875
 8  - lja#     .533935546875               234.931640625
 9  F fa       .8009033203125              352.3974609375
 10  C do      .600677490234375            264.298095703125
 11  G sol     .9010162353515625           396.4471435546875
 12  D re      .6757621765136719           297.3353576660156
 13  A lja     1.013643264770508           446.0030517578125

  Можно было бы эту картину и не демонстрировать, но уж очень она красиво выгибается на десятичных числах. Это потому, что делим мы не на 3 (что не очень согласуется с 10-тичной системой счёта) а на 4.

  Пойдем далее, 2/3, 3/4 - ясно, что числа эти означают соотношения числа обертонов на выгибающихся струнах, и почему бы не пойти дальше, и попробовать другие обертоны в виде простых дробей и другие схемы настройки? А вдруг сойдётся? Это я в отношении коммы))
Дополним пифагорийский ряд числом 5.

   Расчёт показывает, что для отношения 4/5 ничего в смысле сходимости в разумном числе циклов не светит. Также, как и для числа 7, если его попытаться включить пифагорийский ряд. Но зато для 3/5 и для 5/6 получается вполне приличная настройка на 19 полутонов. И её, вместе с другими настройками я хочу обсудить.
А также и свои впечатления от реализации всех пяти настроек на клавишах компа.
Эти 5 настроек следующие - р-т (равномерно темперированный звукоряд) и схемы 2/3, 3/4, 3/5, 5/6.

ТАБЛИЦА 1
Все частоты разных настроек, Гц  (первая октава)

равн.т.       2/3        3/4        3/5      5/6                3/5-рт. 2/3-рт.   Пифагоров          гармоничные
                разность              строй         интервалы для  3/5
                частот, Гц                обертоны,отклонение
    -1-         -2-         -3-         -4-         -5-                -6-      -7-            -8-                -9-
 261.63   260.74   264.29   264.00   264.42        до  2.37  -0.89       260.74 (2/3)
 277.17   274.68   278.43   273.71   274.16  ==#                32/31 0.438%
 277.17   274.68   278.43   283.78   284.24  ==b                274.69 (2/3)фр.
 293.66   293.33   297.33   294.23   294.71        ре   0.57  -0.33      293.33 (2/3)        10/9  0.31%
 311.13   309.02   313.24   305.05   305.55  ==#               
 311.13   309.02   313.24   316.80   317.31  ==b                309.03 (2/3)фр.        6/5   0%
 329.63   325.55   330.00   328.45   328.99        ми  -1.18  -4.08       330 (3/4)             5/4  -0.47%
 329.63   325.55   330.00   340.54   341.09   фа b               
 349.23   347.65   352.39   353.07   353.65        фа    3.84   -1.58      347.65 (2/3)      4/3   0.30%
 369.98   366.25   371.25   366.07   366.66  ==#      
 369.98   366.25   371.25   380.16   380.77  ==b
 392.00   391.11   396.44   394.14   394.79         соль 2.14  -0.89      391.11 (2/3)        3/2  -0.47%
 415.29   412.03   417.65   408.65   409.31   ==#
 415.29   412.03   417.65   423.69   424.38   ==b                412.03 (2/3)фр.        8/5   0.31%
 440.00   440.00   440.00  440.00   440.00          ля    0       0           440                5/3   0%
 466.16   463.53   469.86   456.19   456.93   ==#               
 466.16   463.53   469.86   472.98   473.74   ==b                463.54 (2/3)фр.        9/5  -0.47%
 493.88   488.33   495.00   490.38   491.18          си   -3.5    -5.55      495 (3/4)
 493.88   488.33   495.00   508.43   509.25    до b                31/16 -0.60%
                фр. - фригийская гамма
=======================================

Пифагоров строй - диатоническая гамма  до - ре - ми - фа - соль - ля - си - до
                фригийская гамма     до - реb - миb - фа - соль - ляb - сиb - до
  вычисления частот этих гамм проводились по материалам статьи
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/1.html

    Во первых, хочу поздравить вас и себя, настройка по схемам 3/5 и 5/6 сошлась и продемонстрировала на 19-м шаге комму даже не 6 Гц, а только 0.7 Гц, вполне соревнуюсь с равномерной темперацией. И хотя при такой равномерности настройки не ожидается различия в звучании тональностей, но зато прибавляются тонкости мелодики, из-за появившихся новых звуков - 7 бемолей от каждой ступени диатонического ряда, в дополнение к уже существующим 5-ти диезам. Энгармонизм звуков на диезах и бемолях разошёлся. Теперь звук Фа диез отличен от нового звука Соль бемоль.

   Хочу обратить Ваше внимание на то, что Пифагоров строй вместе с фригийской гаммой совершенно точно вписался в классическую настройку 2/3, за исключением двух звуков Ми и Си, которые могут быть отнесены к настройке 3/4.
   Почему же пифагорийцы так поступили именно с этими звуками?
   Для ответа на этот вопрос, давайте, обратимся к 7-му столбцу таблицы. В нём приведена разность частот в настройке по схеме 2/3 и в настройке равномерно темперированной. Видим, что именно для Ми и Си различие в герцах заметное. А настройка 3/4  этих нот ближе к равн.темперации. Потому греки и взяли для Ми и Си частоты схемы 3/4. Они стремились не только к гармонии, но и к равномерности звукового ряда.

   А как же обстоят дела с равномерностью диатонической гаммы в 19-полутоновой настройке? Не будем отличать настройки 3/5 и 5/6, поскольку разница частот для них мизерная, не та, что между 2/3 и 3/4.
***  Кстати!   Если настроить пианино не классически - "по квинтам вниз"  а по квартам, то всё то великолепное описание образности музыкальных тональностей, которое Вы могли прочесть выше, сдвинется 2.5 тона ниже - приписываемое C-dur надо будет приписать G-dur.  Тональность C-dur будет окрашена в цвета F-dur.

схема демонстрирует чередование полутоновых интервалов в октаве, обозначено  _ 5.35%  - 6.79% Гц/полутон
              Ля
                |                ?                ? - это Ми 
|_-_ _-_-_ -_ _-|     |_-_ _-_-_-_ _-_-_ _-_-_-_ _-|      2/3   настройка от Ми по квинтам
|_-_ _-_-_ _- _-|                |_-_ _-_-_ _-_-|               3/4   эквивалентна настройке от Ля по квартам
                |                |             

  Из схемы видно, что если проследить чередование интервалов в настройке 2/3 в 2-х октавах, то найдётся место, совпадающее по чередованию интервалов с октавой настройки 3/4               

   Вернёмся к диатонической гамме в 19-ти полутоновой настройке и посмотрим на столбец 6 таблицы. Выпирают До, Соль, Си и, особенно - Фа.
Звучание гаммы необычно, хотя разрешение в тонику отчётливо чувствуется.
О гаммах можно прочесть в Википедии, в частности о целотоновой гамме, которая может быть реализована в виде  лада в 12-ти полутоновой настройке. Настройка в 19, имея нечётное число полутонов, этого не допускает. Но можно попробовать другие гаммы-лады.

Диатоническая гамма в обычной настройке, показано количество шагов по полутонам (сумма=12)
| 2 2 1 2 2 2 1 | если от До, то это  обычное "до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до"

Диатонические гаммы в настройке 3/5 (19). Приемлемых гаммы я нашёл две.
| 3 3 1 4 3 3 2 | - "до-мажор по белым клавишам" с заменой Фа на Фаb для улучшения гармоничности, я попробовал, звучит почти привычно.
 и от Ре бемоль - не всё по бемолям, а с залезанием в диезы, я попробовал,  тоже хорошо звучит.

 | 3 3 2 3 3 3 2 | - от ре#, звучит более равномерно в середине гаммы, но с худшим разрешением в тонику.
эта же гамма от До - по исполнению "обычный до-мажор по белым клавишам"

Тут надо сделать одно существенное замечание. Диатоническая гамма в классической настройке оказывается гармонически единой. То есть, звуки, входящие в неё, следуют последовательности настройки. Этому соответствует тот факт, что мажорная диатоническая гамма занимает на квартово-квинтовом круге сплошной сектор.
Для 19-ти полутоновой настройки тоже можно построить подобный круг, отражающий взаимную гармонию соседей по нему. Однако это будет уже гармония не по квартам и квинтам, а по малым терциям и секстам. Семь близких соседей на этом круге тоже могут быть выделены, и среди них находятся те, что образуют доминанту и тонику (с отношением частот 3/2), однако субдоминанта от этого сплошного сектора находится далеко. Звучат ноты этого сплошного сектора в виде лада очень интересно, с восточным мотивом, и в тонику благополучно разрешаются.
  Схема этого лада такова - | 1 4 1 4 1 4 4 |
  В той статье, на которую я чуть ниже ссылаюсь, шесть ступеней этого лада располагаются в консонансных минимумах (рис. 14а) парами, в то время как последняя ступень приходится на диссонанс и сильно тяготеет к первой ступени.
  Ступени неравномерно распределены по октаве - три близкие пары и одна, отстоящая от этих пар нота. А вот те равномерные диатонические гаммы, примеры которых приводились выше, оказываются разорванными по кругу настройки 3/5, хотя содержат интервалы классической настройки.
   Всё это составляет очень интересный объект для исследования гармонии.
   Надо сказать, что народ подобными исследованиями занимается. В практической сфере, (можно по поисковику посмотреть) - кто настраивает гитару по терциям, кто обсуждает темперацию по терциям (не так глубоко, как мы, а в виде потенциальной попытки), кто настраивает по терциям фортепьяно, подтягивая струны и слушая число биений (для получения равномерно темперированного ряда, но мы-то с вами делаем наоборот - так, чтобы биений на терциях не было). Обсуждение возможностей построения звукоряда, иного, чем звукоряд с 12-ю полутонами ведётся и в интернете - http://forum.buza.su/viewtopic.php?f=54&t=2165

   Уже после написания этой статьи я нашёл то, что советую прочитать, интересующимся этой проблемой серьёзно, там и о 19-ти тоновом звукоряде тоже есть - http://unism.narod.ru/arc/2006gs/gs.pdf со многими рисунками, формулами и пояснениями.
 Но предлагаемая клавиатура мне кажется неудачной и неудобной. А вот клавиатура компьютера оказалась очень подходящей для этой цели. Кроме того и предлагаемые знаки альтерации, может быть и более правильные с точки зрения музыкальной теории, на мой взгляд совершенно неудобны в практическом плане - два диезных знака (повышение на 1 полутон и повышение на 2 полутона) и два бемольных знака. Кто же будет их разглядывать? ))

  Продолжим. После описанных опытов интересно обратиться к следующей теме - как обстоят дела с гармоничностью интервалов, в 12-ти полутоновой и 19-ти полутоновой настройках? Для сравнения возьмём настройки р-темпер. и 3/5 - обе равномерные, и потому будем сравнивать именно их. В силу равномерности настроек достаточно провести сравнение интервалов в одной тональности - до мажор. Причём все интервалы для сравнения можно брать в отношении единственной ноты - До. В силу равномерности настроек, любой интервал, сдвинутый по полутонам на любое число полутонов не изменит своего гармонического качества.

   Поиск гармоничных интервалов и оценку их качества будем проводить следующим образом.
   Берём два простых числа, начиная с небольших, и образуем из них простую дробь, большую единицы, но меньшую двух. Первая подобная дробь 3/2=1.5, умножаем это число на частоту нижнего звука До.
Для настройки 3/5 это 264 Гц.   264 х 1.5 = 396 Гц  Ищем в таблице наиболее близкую к этом значению частоту. Находим 394.14 Гц нота Соль.  Это и есть примерная доминанта. Оценим её качество.
  Делим 394.14/264 = 1.49295, а должно быть 1.5.  Каково различие в процентах?
  Делим 1.49295/1.5=0.995303 вычитаем единицу и умножаем на 100. Получаем -0.4697 округляем => -0.47%
  Итак, в настройке 3/5 несовершенство доминанты, выражаемой дробью 3/2 составляет -0.47%

  Подбираем следующие подходящие простые числа. См. таблицу.
Мы видим, что в настройке 5/3 субдоминанта 4/3 на Фа не вполне совершенна.
Продолжим процесс.  Заметим, что дроби с числом 7 гармоничных интервалов не дают, тогда как дроби 5/3 и 6/5 дают идеальные по гармонии интервалы. Что и ожидалось в настройке с числом 5.
 
 При 19-ти полутоновой настройке доминанта и субдоминанта выглядят хуже, но зато гармоничность других интервалов улучшается. Проследим это по таблице:

ТАБЛИЦА 2   Отклонения гармонических интервалов от идеального значения
для равномерно темперированной настройки и настройки 3/5 на 19 полутонов
                р-темп.                3/5
до-ре        мал.целый тон 10/9  1.02%      мал.целый тон 10/9  0.31%
до-миb       малая терция  6/5   0.90%      малая терция  6/5   0%
до-ми        больш. терция 5/4  0.79%      больш. терция 5/4  -0.47%
до-фа                кварта 4/3   0.11%                кварта 4/3   0.30%        субдоминанта               
до-соль                квинта 3/2  -0.11%                квинта 3/2  -0.47%     доминанта
до-ляb        малая секста  8/5   -0.79%      малая секста  8/5   0.31%
до-ля                секста     5/3   0.91%               секста     5/3   0%
до-сиb      малая септима  9/5  -1.01%     малая септима  9/5  -0.47%

среднее по абс.величине         0.705%                0.291%  то есть в 2.4 раза меньше

    Да, мы увидели, что несмотря на относительно меньшее совершенство доминанты и субдоминанты, в целом интервалы в 19-ти полутоновой настройке оказываются почти в 2.5 раза совершеннее интервалов равномерно темперированной гаммы в отношении гармонического созвучия. Но будут ли имеющиеся несовершенства восприниматься на тонкий слух. Дадим некоторые разъяснения по этому поводу.

    Восприятие частоты на слух зависит от длительности звучания предъявляемого звука.
В соответствии с формулой
cos(x)+cos(y) = 2·cos((x+y)/2)·cos((x-y)/2) - звучание двух близких частот воспринимается как звучание средней частоты, сопровождаемое биениями амплитуды. Частота биений составляет полуразность частот, а длительность одного биения - период в течении которого звук нарастает от нуля, а затем спадает. Этот период равен 1/(x-y) в секундах, если x и y - частоты в Гц. Таким образом, отличие частоты от идеальной при расстройке в 2 Гц воспринимается только при игре четвертными нотами ( длительность звучания 0.5 секунды) или при игре в более медленном темпе.
Расстройка в 0.5 Гц и меньше может считаться ничтожной, поскольку заметить её можно только при звучании нот целой длительности.
  Пифагорейская комма для классической настройки ф-но составляет 6 Гц на ноте ля первой октавы, это - 13.6% от эталонной частоты (и она вполне слышна). И ещё более она будет слышна во второй октаве, где на ноте ля она составит 12 Гц. Потому фальшивость настройки, или её несовершенство более слышимы на верхних октавах.
  2 Гц в отношении 440 Гц составляет 0.45%.  Несовершенства настройки такой величины будут заметны при звучании нот в первой октаве в темпе 2 ноты в секунду (1/4-е ноты) и медленнее.
    Да, несовершенство звучания доминанты и субдоминанты в 0.47% при настройке 3/5 будет ощутимо в первой октаве при игре четвертными нотами, но давайте взглянем на тональность ля мажор в классической настройке. Что там про неё говорилось?  "Каждый автор замечал обаяние этой тональности, приберегая её для самых искренних чувств”. А доминанта в ней нарушена - 1.35%

  Не в гармонии дело. А дело в том, как композиторы сумеют извлечь божественные звуки и придать им выразительность, используя те особенности гармонии музыкальных инструментов, которая у этих инструментов имеется.
   То же относится и к поэзии.

Спасибо за внимание.
======================== 17.01.2015

Выражаю благодарность Никите Скиба, студенту 3-го курса Московской консерватории по классу альта, за интерес, проявленный им к звуку, идущему от компьютера, который вдохновил меня на всю эту деятельность, включающую и создание программы, удобства и особенности работы которой мы вместе обсуждали.
автор: Дмитрий Маштаков.

статью можно скачать отсюда - https://yadi.sk/i/umsaM6J-e6Sbp   формат Word
========

P.S.   Дорогой читатель, если Ты не понимаешь, почему я с таким энтузиазмом отнёсся к этой работе и выложил в статье массу чисел, м.б. и скучных, я объясню. Со времён Пифагора мы используем для настройки своих музыкальных инструментов 12-ти полутоновой звукоряд, или в "чистом" виде, или в виде подправленном равномерной темперацией. Однако, как выяснилось, существует другой звукоряд, с 19-ю звуками.
Он вполне гармоничен, и на порядок равномернее традиционного. Кроме того, как выяснилось, других подобных звукорядов (кроме как 12 и 19) с разумным количеством тонов, в природе не существует.

 Ты можешь возразить, что со времён Пифагора многие упражнялись в гармониях, и если бы в 19-ти звуках заключалось бы что-нибудь стоящее, то этот гармонический ряд непременно обнаружили бы.
 Но возражу и я. Со времён Пифагора музыканты настраивали свои инструменты не абы как, на слух, а, спасибо Пифагору, по его системе. А имея в виду достаточную схоластику Средних веков, трудно предположить, чтобы что-нибудь могло измениться, да и музыкальный материал уже был наработан в 12-ти тонах значительный. Зачем было от него уходить? О 19-ти тоновом звуковом ряде в настоящее время, по видимому, известно лишь теоретически -  http://unism.narod.ru/arc/2006gs/gs.pdf и сведения эти появились сравнительно недавно.