Математические задачи

Геометрия сферы
1. Сферические треугольники и треугольники в плоскости.
2. Геодезические.
3. Кривизна.
4. Поля Якоби.

Геометрия пространства Лобачевского
5. Двумерное пространство Лобачевского. Две модели.
6. Трехмерное (n-мерное) пространство Лобачевского.
7. Геодезические.
8. Треугольники. Многоугольники (многогранники). Склейка.
9. Пространство Тейхмюллера.
10. Проблема Нильсена.

Афинная и проективная геометрия
11. Афинные теоремы Фалеса, Паппа, Дезарга.
12. Проективные теоремы Паппа, Дезарга.
13. Формула Лаггера.

Выпуклые множества
14. Теорема Крейна-Мильмана.
15. Теорема Хелли.
16. Многогранники в трехмерном пространстве.
17. Многогранники в более высоких размерностях.

Дифференциальная геометрия в трехмерном пространстве
18. Первая и вторая форма.
19. Точки и линии.
20. Теорема Гаусса-Бонне.

Риманова геометрия
21. Тензор кривизны.
22. Уравнение геодезических.
23. Секционная кривизна. Поля Якоби.
24. Теорема Морса об индексе.
25. Теоремы сравнения.
26. Теорема Картана-Адамара.
27. Теорема Топоногова.
28. Формула для кривизны симметрического пространства.
29. Тензор кривизны для пространств с исключительной голономией.
30. Разложение тензора кривизны в размерности четыре.
31. Метрика Шварцшильда.
32. Гипотеза Калаби.
33. Орбифолды с G2-голономией.

Поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве
34. Эллипс нормальной кривизны.
35. Гауссово отображение.

Внешние алгебры и вещественные ориентированные грассманианы
36. Ортогональное разложение бивекторов.
37. Плюккерово вложение. Шар массы и шар комассы. Калибровки.
38. Разложение    грассманиана    двумерных     ориентированных     плоскостей в  четырехмерном  евклидовом  пространстве  в  произведение  двух  сфер.
39. Геодезические.
40. Секционная кривизна.
41. Кольцо когомологий (в некоторых случаях).
42. Кольцо когомологий группы G2.
43. Клеточное разбиение.
44. Фундаментальная группа.
45. Классификация Петрова.
46. Потоки.

Теория функций
47. Мера Лебега канторового множества.
48. Мера Хаусдорфа ковра Серпинского.
49. Кривая Пеано.
50. Фракталы.
51. Пример функции, неинтегрируемой по Лебегу.
52. Гипергеометрическая функция.
53. Эргодическая теория.

Обыкновенные дифференциальные уравнения
54. Автономные системы на плоскости. Сфера Пуанкаре.
55. Рациональная и иррациональная обмотки тора.

Функциональный анализ
56. Интегральное уравнение.
57. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система.
58. Двойственность Понтрягина.

Теория особенностей
59. Отображения из плоскости в плоскость.
60. Семь элементарных катастроф.
 
Дифференциальная топология
61. Теорема Сарда.
62. Классификация двумерных компактных многообразий.
63. Триангулируемость гладких многообразий.
64. Каждое трехмерное многообразие есть край четырехмерного.
65. Теорема о сигнатуре.
66. Экзотические R4.

Алгебраическая топология
67. Гомотопические группы сфер.
68. Кольцо когомологий вещественных проективных пространств.
69. Кольцо когомологий комплексных проективных пространств.
70. Двойственность Пуанкаре.
71. Классы Штифеля-Уитни вещественных проективных пространств.
72. Классы Чженя комплексных проективных пространств.
73. Класс Эйлера.
74. Характеристические классы Понтрягина.
75. Примеры вычислений со спектральными последовательностями.
76. Примеры вычислений с квадратами Стинрода.
77. Спектральная последовательность Адамса.
78. Периодичность Ботта.
79. Результаты вычислений групп кобордизмов.
80. Категория Люстерника-Шнирельмана.

Группы Ли и решетки
81. Корневые системы для простых алгебр Ли.
82. Супералгебры Ли.
83. Решетки. Решетка Лича.
84. Группа Монстр. Представления.

Алгебраическая геометрия
85. Раздутия плоских кривых.
86. Двадцать семь прямых на кубической гиперповерхности.
87. Базисы Гребнера.
88. Многообразия секущих.
89. Эллиптические кривые.
90. Поверхность Веронзе.
91. Вложения Сегре.
92. Флипы и флопы. Классификация трехмерных многооборазий.
93. Формулы Пьери. Циклы Шуберта для G(2,4).

Теория узлов
94. Полином Александера.
95. Полином Джонса.
95. Задача о хордовых диаграммах.
96. Группы кос.
97. Задачи из книги Кроуэла-Фокса.

Геометрия и физика
98. Инстантоны.
99. Монополи.
100. Уравнения Зейберга-Виттена.
101. Уравнения Шипова-Эйнштейна.
102. Интегральные формулы для характеристических классов.
103. Уравнения Богомольного.
104. Уравнения Дирака-Максвелла.

Кэлерова геометрия
105. Разложение Ходжа для кэлерова многообразия.
106. Пучки, дивизоры, линейные расслоения.
107. Теорема Римана-Роха для кривой.
108. Формула для рода кривой на поверхности.
109. Форма пересечения для К3-поверхности.
110. Зацепление для К3-поверхности.

Представления групп
111. Соотношения ортогональности для характеров.
112. Представления конечных групп.
113. Представления групп Ли.
114. Представления групп SO(3) и SU(2).
115. Представления групп и специальные функции.
116. Тождество для янгианов.
117. Вершинные операторные алгебры.

Квантовые группы
118. Квантовые группы для SL(2,C).
119. Квантовый дубль Дринфельда.
120. Квантовые группы. Нерешенные задачи из книги Манина.

Теория струн
121. Амплитуда Венциано.
122. Действие Намбу-Гото.
123. Действие NS-R.
124. Гетерогическая струна.
125. Задачи из книги М.Каку.
126. Конечно, интегралы по траекториям.

Алгебра и теория чисел
127. Квадратичный закон взаимности.
128. Гипотезы Вейля.
129. Теорема Морделла-Вейля.
130. Последняя теорема Ферма.
131. Группа Тейта-Шафаревича.
132. Разложение при помощи дивизоров.
133. Принцип Минковского-Хассе.
134. Группа K3(Z).
135. Функторы Tor и Ext.
136. Радикал Джекобсона. Цоколь.
137. Модуль QZ.
138. Группа Брауэра.
139. Кольцо Витта.
140. Формула Хопфа для когомологий групп.
141. Когомологии Галуа.
142. Группа Стейнберга.
143. Числа Тамагавы.
144. Группы Шевалле.
145. Фундаментальная область для SL(2,Z).
146. Гипотеза Римана.
147. Основной морфизм теории Шимуры.

Разные задачи
148. Схемы Гильберта.
149. Многообразия флагов.
150. Пространства модулей.
151. Многочлены Пуанкаре для Калаби-Яу.
152. 16-ая проблема Гильберта.
153. Рациональные нормальные свитки.
154. Фуксовский коцикл.
155. Подгруппы в кватернионах. Факторы.
156. Дискретные подгруппы в числах Кэли.
157. Гипотеза о якобиане.
158. Преобразования Кремоны.
159. Задачи профессора Бовиля.
160. Группа диффеоморфизмов окружности.
161. Возможно ли найти новый функтор?
162. Неравенство Виртингера.
163. Монодромия. Скручивание Дена.
164. Задача о пучках Лефшеца.
165. Задача о дополнении к алгебраической кривой.
166. Что нарешано в современной теории категорий?
167. Вообще, есть ли хорошие результаты в некоммутативной геометрии?
168. «Задачи и теоремы из анализа».
169. Теорема Панина из К-теории.
170. Что есть в геометрической теории инвариантов?
171. Зеркальная симметрия. Квинтики.
172. Зеркальная симметрия для гиперкэлеровых многообразий.
173. Зеркальная симметрия для торических многообразий.
174. Тропическая геометрия.
175. Слоение Риба.
176. Гипотеза Пуанкаре. Доказательство Перельмана.
177. М-теория. Тождество Фирца.
178. Каргаполов, Мерзляков «Основы теории групп».
179. Мотивы по Манину-Панчишкину.
180. Связь между вещественной и комплексной алгебраической геометрией.
181. Что есть кристаллические когомологии?
182. Лемма Ионеды.
183. Эквивалентность различных функторов в алгебраической К-теории.
184. Уравнения Эйлера для твердого тела. Интегралы.
185. Огромная таблица из книги «Симплектическая геометрия».
186. P-адический анализ.
187. Открыт новый тор.
188. Открыты новые специальные функции.
189. Квантовые когомологии. Примеры вычислений.
190. Пенлеве.
191. Солитоны.
192. Обратная задача рассеяния.
193. Дифференциальное уравнение из книги Атьи-Хиччина.
194. Что есть в симплектической геометрии?
195. Что есть в интегральной геометрии?
196. Задачи из приложении к книге Ф.Клейна «Лекции об икосаэдре».
197. Задачи, связанные с алгебрами Клиффорда.
198. Алгебры с делением.
199. Задачи исчислительной геометрии.
200. Оставшиеся задачи тысячелетия.

Предлагаю еще четыре задачи
1. Длинные списки элементарных частиц, открытых при помощи ручки.
2. Длинные таблицы групп и представлений.
3. Продолжение вычислений гомотопических групп.
4. В поисках единой теории.

Список книг
1. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел
2. Аминов Ю.А. Геометрия подмногообразий
3. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом»
4. Берже М. Геометрия
5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна
6. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел.
7. Браун К.С. Когомологии групп
8. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы
9. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию
10. В поисках утраченной топологии
11. Гриффитс Ф., Харрис Д., Принципы алгебраической геометрии
12. Грин М.Б., Шварц Д., Виттен Э., Теория суперструн
13 Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом
14. Демидов Е.Е. Квантовые группы
15. Долгачев И. Классическая алгебраическая геометрия
16. Канторович Л.В. Акилов Г.И. Функциональный анализ
17. Желобенко Д.И. Компактные группы Ли и их представления
18. Каш Ф. Модули и кольца
19. Клеменс Г. Мозаика теории комплексных кривых
20.  Клеменс Х., Коллар Я., Мори С. Многомерная комплексная геометрия
21. Кнэпп Э. Эллиптические кривые
22. Кэртис Ч.,  Райнер М. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр
23. Козлов С.Е. Геометрия вещественных грассмановых многообразий. Статьи
24. Кокс Д., Литтл Дж., О`Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы
25. Кокс Д.А, Катц Ш. Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия
26. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы
27. Лейхтвейс К. Выпуклые множества
28. Маклейн С. Гомология
29. Маклейн С. Категории для работающего математика
30. Мантуров О.В. Теория узлов
31. МилнорДж., Сташеф Д. Характеристические классы
32. Натансон И.П. Теория функций вещественного переменного
33. Пирс Р. Асоциативные алгебры
34. Рид М., Алгебраическая геометрия для всех
35. Семинар по суперсимметриям
36. Стейнберг Р.  Лекции о группах Шевалле
37. Тахтаджнян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов поход в теории солитонов
38. Федерер Г. Геометрическая теория меры
39. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии
40. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории
41. Хамфри Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений
42. Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия
43. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства
44. Цишанг Х., Фогт Э., Колдевай Х.Д. Поверхности и разрывные группы
45. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии

                2015