Хаос

Хаос

Господи, дай надышаться простором Твоим, вольностью дай надышаться!   Бачурин

Бог создал Космос (мировой порядок) из Хаоса (мирового беспорядка). Он знает всё наперёд. Он имеет абсолютное знание. Для Него нет ничего случайного или не в порядке.               

Но у нас нет абсолютного знания. Наше знание всегда неполно, ограничено или искажено. Имеется огромное число явлений, причин которых мы не знаем. Для нас они являются случайными, и мы изучаем их с помощью статистики.

Имеется также много явлений, причины которых мы знаем (они динамически определены), но изучение которых весьма затруднительно из-за сильной зависимости от начальных условий (я объясню вам, что это значит). В этом случае мы имеем дело с динамическим хаосом. Мы изучаем его с помощью теории хаоса.

Динамический хаос – очень частое явление.

Обычно мы видим хаос как беспорядок, как неожиданные и непредсказуемые события.

Очень трудно делать долговременный прогноз погоды – из-за хаотического поведения атмосферных явлений.

Очень трудно делать надёжный прогноз распространения инфекционных болезней или индивидуального течения болезни.

Очень трудно делать надёжный прогноз в финансах и в экономике из-за хаотического поведения многих существенных переменных.

Цены на рынке меняются хаотически, даже если они регулируются. 

Мы можем видеть хаос в бизнесе и в продажах, даже если мы пытаемся регулировать их.

Траффик на хайвэе хаотичен, хотя он регулируется. Капли дождя или ливня падают хаотически.

Хаос окружает нас. Хаотические явления наблюдаются в нашем собственном теле и даже в мозгу.

Хаотические явления существуют даже в физическом вакууме (нет частиц).

Сейчас я попытаюсь объяснить вам, что такое сильная зависимость от начальных условий, с математической точки зрения. Рассмотрим пример линейного уравнения, описывающего цепную реакцию y’(t) = ky(t), с начальным условием y(0)=yo. Здесь производная y’(t) – скорость изменения y, приблизительно delta y/delta t.

Это уравнение имеет решение y = yo exp(kt), где exp – показательная функция: exp(x)=ex,  e=2.718…- постоянная Эйлера.

Достаточно k>0, чтобы решение росло очень быстро («экспоненциально»). Это и имеет место в цепной реакции. Разность решений с различными значениями k сначала мала, но затем тоже растёт экспоненциально. Наше решение экспоненциально зависит от начальных условий.

Локальный экспоненциальный рост недостаточен для хаоса. Даже движение по кругу с экспоненциально растущей скоростью – ещё не хаос. Для хаоса нужно, чтобы траектории движения запутывались в фазовом пространстве.

Хаос не всегда плох. Часто он полезен. Любое равновесие достигается хаотическими микро-движениями. “Случайные числа” получаются из хаотических состояний. Компьютерные диски чистятся хаотическими состояниями. Расслабление наших мускулов и нашего мозга связано с хаотическими состояниями. Мозг человека, страдающего от эпилепсии, часто «циклит» вокруг одних и тех же событий и не может освежить себя. Части мозга, вовлечённые в это кружение, очень устают (“перегреваются”), что может вызвать припадки. Хаотические состояния могут помочь против  “перегрева” этих частей мозга. На этом основаны шоковые методы лечения эпилепсии.

В экономике самые заметные проявления хаоса – это рыночные цены и конкуренция. Рыночные цены устанавливаются и меняются неконтролируемо. Благодаря этому работает конкуренция: продаётся более дешёвая или лучшего качества продукция. Это действует в пользу потребителя, тогда как вводимый порядок, например, стандартные или монопольные цены, действует не в пользу потребителя.
               
В технике локальный или глобальный перегрев часто мешает работе сложных машин, и лучший способ преодолеть перегрев – это хаотический режим: каждая траектория распространяется на всё фазовое пространство и проявляется со временем почти всюду. Любое регулирование может разрушить этот хаос.
 
Широко известен пример, когда Серпуховский ускоритель частиц (он получал в то время самую высокую энергию частиц в мире) не мог достичь проектной мощности из-за локального перегрева. Хаотический режим позволил утроить проектную мощность. Это было одно из первых применений теории хаоса.
 
Рынок также может быть перегрет: слишком высокие цены делают его неустойчивым и могут вызвать кризис рынка. Любой порядок, любое регулирование в этом случае бесполезно.
 
Хотя в хаосе близкие траектории разбегаются экспоненциально, существуют статистические методы, допускающие прогнозирование в хаосе. Например, рассмотрим прогноз погоды. В большой базе данных мы находим подобные истории поведения погоды, происшедшие ранее. На основе этих историй мы производим моделирование по методу Монте Карло, позволяющее построить прогноз погоды в данном случае. Ошибка растёт не экспоненциально со временем, а как квадратный корень от интервала времени, то-есть гораздо медленнее, что обеспечивает возможность долговременного прогноза погоды.

Я не против порядка. Порядок и хаос должны быть в правильном сочетании, оба они нужны.
 
Законы хаоса, а также законы, специфические для очень малых или очень больших расстояний или очень больших скоростей, доказывают нам, что будущее не предопределено, хотя иногда мы можем предсказать его довольно точно.
 
Мы знаем, как работать с порядком. Мы должны научиться, как работать с хаосом, так, чтобы мы не боялись его, а использовали его с пользой, когда это возможно.

CHAOS
   
 Lord, let me breath    With  thy space,     With thy freedom!     Tennyson

God made Cosmos (world order) from Chaos (world disorder). He knows everything beforehand. He has absolute knowledge. For Him, there is nothing random or not in order.

But we don’t have absolute knowledge. Our knowledge is always not full, restricted, or biased. There is a lot of events, reason of which we don’t know. They are random for us, and we study them with help of statistics.

There are also many phenomena, reason of which we know (they are dynamically defined), but study of which is very difficult, because of their strong dependence on initial conditions. (I’ll explain you below what this means.) In this case, we deal with dynamic chaos. We study it with help of  chaos theory. A dynamic chaos is a very common phenomenon.

Usually we see chaos as disorder, as unexpected and unpredictable events.

It is very difficult to make a long term weather forecast. It is because of chaotic behavior of atmospheric phenomena.

It is very difficult to make a reliable prediction in finance or in economy, because of chaotic behavior of many important variables.

Prices in a market change chaotically, even if they are regulated.

We can see chaos in business and in sales, even if we try to regulate them.

Traffic on a highway is chaotic, even though it is regulated. Drops in rain or in shower fall chaotically.

Chaos surrounds us. There are chaotic phenomena in our own body and mind.

Chaotic phenomena exist even in physical vacuum (no particles).

Now I’ll try to explain you, what is strong dependence on initial conditions, from mathematical point of view. Let us consider an example of a linear equation, describing a developing chain process y’(t) = ky(t) with initial condition y(0)=yo. Here derivative y’(t) is the rate of change for y, approximately delta y/delta t.
 
This equation has solution y = yo exp(kt), where exp is exponential function: exp(x)=ex,  e being Euler’s constant e=2.718…

It is enough k>0, so that the solution would grow very quickly (“exponentially”). Difference of solutions with different k values will be first small, but then also grows exponentially. Our solution depends exponentially on initial conditions.

Local exponential growth is not enough for chaos. Even circular movement with exponentially growing speed is not chaos yet. For chaos, it is needed that trajectories of movement in phase space were entangled.

Chaos is not always bad; often it is useful. Every equilibrium is attained by chaotic micromotions. “Random numbers” are got from chaotic states. Computer discs are cleared with chaotic states. Relaxation of our muscles and our brain is connected with chaotic states. The brain of a person, suffering from epilepsy, is often cycling around the same items and can’t refresh itself. The parts of the brain, involved into the cycling, become very tired (“overheated”), which can provoke seizures. Chaotic states can help against “overheat” of local parts of the brain.

In economy, the most noticeable manifestations of chaos are market prices and competition. Market prices are established and changed uncontrolled. This ensures that competition works: production is being sold having better quality or cheaper price. This works in favor of consumer, while all order introduced, like monopoly or oligopoly prices, works against consumer. 
               
In technique, a local or global overheat often interferes with work of complex machines, and the best way to defeat overheat is a chaotic regime: every trajectory is globalized in phase space and occurs with time almost everywhere. Any regulation can destroy this chaos.

There is world known example, when Serpukhov particle accelerator (that time, made the highest particle energy in the world) couldn’t attain project capacity because of local overheat. Chaotic regime allowed to triple the project capacity.               

The market also can be overheated: too high prices make the market unstable that leads to great crisis. Any order, any regulation is useless here.

Though close trajectories divert exponentially, statistical methods exist, allowing prediction in chaos. For example, consider weather forecast. In a big database, we find similar weather histories, occurred earlier. On base of these histories, we use Monte Carlo simulation, allowing to make the current forecast. Error grows not exponentially with interval of time, but as square root from the interval.

I’m not against the order. Order and chaos must be in right combination; they both are needed.

Laws of chaos and also laws that are specific for very small or very large distances or very big speed – they prove that future is not predefined, though sometime we can predict it rather exactly.

We know, how to work with order. We have to learn, how to work with chaos, so that we would not be afraid of it, but use it with advantage, when it is possible.