Факториал

Адрес этой статьи на сайте автора:
akotlin.com/index.php?sec=3&lnk=5_02

СОДЕРЖАНИЕ
•  Факториал в оригинале
•  Факториал а-ля Николя
•  Факториал в наши дни
•  Выводы
•  Литература
•  Post Scriptum


Мир реальный без границ
Состоит из единиц.
Пустота, что всюду мнится, –
Это гиперединицы*.
Для нуля от Николя
Нету места, вуаля. ©


ФАКТОРИАЛ В ОРИГИНАЛЕ

Термин «факториал» (фр. factorielle) впервые ввёл Луи Франсуа Антуан Арбогаст (Louis Francois Antoine Arbogast) в 1800 году.

Современное название factorial происходит от английского слова factor – «множитель».

В 1808 году Кристиан Крамп (Christian Kramp) предложил общепринятое теперь обозначение n! для факториала. Однако в начале своей работы по этой теме Крамп вместо термина «факториал» использовал термин faculty – «факультет».

До середины прошлого столетия термин «ФАКТОРИАЛ n» по определению означал произведение всех натуральных чисел от единицы до данного числа включительно [1]:

                n! = 1·2·3· ... ·n,
например:
                5! = 1·2·3·4·5 = 120.

Так продолжалось до тех пор, пока в математике не начали использоваться одновременно ДВА НАТУРАЛЬНЫХ РЯДА: первый – от Бога, второй – от группы «чистых» (от реалий Природы) математиков, известных под псевдонимом Николя Бурбаки [2].


ФАКТОРИАЛ А-ЛЯ НИКОЛЯ

Классическое определение факториала борцами за математическую «строгость» было отвергнуто, как ошибочное, по трём причинам [3]:

    1. Классический натуральный ряд N = 1, 2, 3, ..., составляющий сомножители факториала, не содержит главного сомножителя – «натурального» нуля;
    2. Не определён символ многоточия;
    3. Классическое определение факториала не годится для n = 1.

В результате, вместо якобы ошибочной классики Бурбаки ввели «строгое» определение факториала:

                N = 0, 1, 2, 3, ... ;
                0! = 1;
                (n + 1)! = (n + 1)·n!,

с помощью которого, по меткому замечанию академика В. И. Арнольда, «ни одного факториала невозможно ни определить, ни понять, ни вычислить» [3].

Из сопоставления бурбакистского и классического определений факториала легко увидеть главную причину, по которой классическое определение было отвергнуто и предано забвению в трудах бурбакистов.

Так, если в классическом определении факториала устранить указанные бурбакистами «ошибки», добавив 1! = 1, то тогда становится предельно понятно, что любой бурбакистский факториал (кроме двух первых) всегда будет равен нулю, потому что бурбакистский «натуральный» ряд начинается с нуля, а факториал (по определению) представляет собой произведение ВСЕХ членов натурального ряда от начального до заданного:

                n! = 0·1·2·3· ... ·n = 0.


ФАКТОРИАЛ В НАШИ ДНИ

Несмотря на самозахоронение бурбакистами самих себя в 1968 году, факториал их, по-прежнему, жив, причём не только на Западе, но и в России, где, как известно, натуральный ряд начинается с единицы [4]. Разумеется, такая живучесть иноземных заблуждений в местных условиях не просто странна, но и необъяснима в принципе. Однако у части (чистых) математиков, наверное, свои принципы, своя логика и свой здравый смысл...

Справедливости ради, надо отметить, что у большинства из них здравый смысл находится всё же в здравом состоянии. По крайней мере, это можно наглядно продемонстрировать на примере безупречных определений факториала, например в [5, 6]:

                1! = 1;   n! = 1·2·3· ... ·n.

А вот другой пример, от которого веет прахом бурбакизма [7]:

                0! = 1;   1! = 1;   n! = 1·2·3· ... ·n.

Ещё шире распространено дважды некорректное определение факториала [8, 9]:

                0! = 1;   n! = 1·2·3· ... ·n.


ВЫВОДЫ

    1. Бурбакизм умер, но факториал его живёт.

    2. Надо помогать школьникам преодолевать последствия «натурализма» бурбакистов.

    3. В частности, надо объяснять, что в природе (фр. nature) отсутствует нуль, потому что нуль – это условный символ для обозначения отсутствия чего-либо. Следовательно, нуль имеет не природное (ненатуральное, искусственное) происхождение, а выражение 0! = 1 противоречит понятию натурального числа, определению факториала и здравому смыслу.


ЛИТЕРАТУРА

    1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Гостехиздат, 1948. – 556 с.
    2. Александр Котлин. Натуральные числа. – http://www.proza.ru/2015/08/18/1526
    3. Арнольд В. И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН. – 2002. – Том 72, № 3, с. 245-250. – http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI.HTM
    4. Натуральный ряд: Значение слова в Большой Советской Энциклопедии. – http://bse.sci-lib.com/article080391.html
    5. Вебер Г., Вельштейн И. Энциклопедия элементарной математики. В трёх томах. // Том 1. Элементарная алгебра и анализ / Авт. Г. Вебер. – Одесса: Матезис, 1906. – 640 с. –
    6. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.
    7. Факториал: Школьная математика. – http://math-prosto.ru/?page=pages/factorial/factorial.php
    8. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. М.: Рус. яз., 1989. – 244 с.
    9. Online Encyclopaedia of Mathematics. / Edited by Michiel Hazewinkel. – Springer-Verlag. – https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Factorial


10 сентября 2015 года
________
* Александр Котлин. Ноль равен гиперединице. – http://www.proza.ru/2015/04/02/85


POSTSCRIPTUM

P.S. Абсурдность натурального нуля и основанного на нём факториала от Бурбаки доказана автором этой статьи математически строго в более поздней публикации: см. «Натуральный ноль равен единице» – http://www.proza.ru/2019/08/11/1306

                Рис. 1. Доказательство абсурдности натурального нуля.