Ферма. Теория Вероятностей

Продолжение серии "О математике и математиках"


Теория вероятностей зародилась в ходе переписки  Паскаля с Ферма.
Блез Паскаль в 1653 го¬ду путешествовал со своими друзьями, среди них был шевалье (кавалер) де Мере. Во время этого путешествия де Мере задал Паскалю два вопроса об азартных играх.
 Настоящее имя шевалье де Мере было Антуан Гомбо (фр. Antoine Gombaud 1607,  1684, Франция), Он был писателем и в  своих произведениях выступал от имени персонажа “шевалье де Мере”. Поэтому в своей переписке с Ферма Паскаль использовал это имя.
Шевалье де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть при помощи игры и для этого придумывал разные усложненные правила, которые, как ему казалось, приведут его к цели. В то время стремление разбогатеть при помощи азартных игр охватывало, как болезнь, многих людей.
ПЕРВЫЙ ВОПРОС Шевалье де Мере  касался азартной игры в кости.
 Де Мере придумал, в частности, такие правила игры. Он предлагал бросить одну кость четыре раза подряд и бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6; если же этого не случалось, — ни разу не выпадало 6 очков,— то выигрывал его противник. Де Мере предполагал, что он будет чаще выигрывать, чем проигрывать, но все же обратился к Блезу Паскалю с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в придуманной им игре.
   Паскаль направил это вопрос Ферма  и сам начал решать эту задачу. Решение этой задачи у них “изумительно” совпало. Оно заключается в следующем.
 При каждом отдельном бросании вероятность выпадения 6 равняется 1/6. Вероятность же того, что не выпадет 6 очков, равна 5/6. Далее, пусть мы бросим кость дважды. Повторим опыт, состоящий в двукратном бросании кости. Тогда наша вероятность в 5/6 увеличится в квадрате и будет составлять 25/36. Точно так же показывается, что вероятность того, что ни разу не выпадет 6 при трехкратном бросании кости, равна 125/216 (уже в кубе). Наконец, вероятность того, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет 6, равна 625/1296 (в четвертой степени). Таким образом, для рыцаря де Мере вероятность проигрыша была равна 625/1296 , то есть меньше 1/2.   
Следовательно, вероятность выигрыша была больше половины. Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что шевалье выиграет; при многократном же повторении игры он почти, наверное, оказывался в выигрыше.
ВТОРОЙ ВОПРОС, был “о разделении ставки”.
Два игрока играют и они договорились, что то, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, то на самом деле игра остановилась, до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл 5 партий, второй - 3). Как справедливо следует разделить приз? Большинство математиков (16-17в) считали, что в отношении 5:3, один из них - Тарталья считал, что 2:1.
 Паскаль и Ферма установили, что 7:1

Для того, чтобы выиграл игрок с меньшим количеством очков максимально нужно будет сыграть 3 партии.  У каждой партии есть два исхода ( выиграл  первый игрок выиграл второй), таким образом из 8 вариантов только один приводит к выигрышу второго игрока
В последовавшем обмене письмами Паскаль и Ферма заложили основы теории вероятностей..
Первое письмо Паскаля датируется 29 июля 1654 года, второе — 24 августа и третье (всего не¬сколько строк)—27 октября 1654 года. Как уже говорилось выше, письма посвящены, двум вопросам шевалье де Мере.
Мы приведем здесь несколько начальных строк первого письма, из которых читатель сможет сам составить представление о содержании и стиле писем.
«Дорогой г-н Ферма! Мной овладело нетерпение, и, хотя я еще нахожусь в постели, мне трудно удер¬жаться от того, чтобы не взять перо и не сообщить Вам, что вчера вечером мне передали  Ваше письмо о справедливом разделе ставки, кото¬рое привело меня в неописуемый восторг. Не стану растягивать вступления и скажу сразу: Вы вполне правильно решили задачу о костях и задачу, о спра¬ведливом разделе ставки. Для меня это большая ра-дость, поскольку  теперь, когда мы получили столь изумительно совпадающий результат, я больше не сомневаюсь в собственной, правоте.
Метод, к которому Вы прибегли, решая проблему разделения, восхитил меня еще больше, чем решение задачи об игре в кости. Многие, и среди них сам шевалье де Мере, удачно ответили на последний заданный вопрос. Но де Мере не смог правильно решить задачу о разделе ставки, он даже не смог подступиться к этому вопросу, так что до сих пор я был единственным, кто знал правильное соотношение раздела.
Ваш метод вполне надежен; в свое время, когда, я сам начал размышлять над  указанным вопросом, я тоже шел подобным путем. Однако подсчет различ¬ных встречающихся комбинаций утомителен, и по¬этому позднее мне удалось найти другой, более про¬стой и изящный метод, о котором мне и хотелось бы Вам рассказать. Я и впредь хотел бы по мере возможности делиться с Вами своими мыслями. Я более не сомневаюсь в правильности полученного мной результата, так как он удивительным образом совпадает с найденным Вами. Как я вижу, истина едина и для Тулузы, и для Парижа».
Эти письма посвящены только двум задачам де Мере, общие же проблемы теории вероятностей в них не затрагиваются, не упоминается даже само слово «вероятность».
Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.