Теорема Геделя

Гёделем была доказана скрытая в метатеории непредикативность арифметики. Именно в том, что цифрами можно закодировать логические символы в высказываниях о цифрах, а рекурсивными функциями,— логические отношения между этими символами,— и заключается основное содержание теоремы о неполноте. Но содержание это относится уже к металогике. То, что такое кодирование позволяет сформулировать парадокс лжеца (логический вариант парадокса Рассела),— является уже следствием доказанной Гёделем непредикативности.
Итак, арифметика непредикативна в том смысле, что высказывания о цифрах выразимы самими цифрами, а метавысказывания,— высказываниями. Как видим, это более тонкий случай, чем тот, который рассматривал Рассел. Более того, непредикативность Рассела является его следствием. Однако сам характер "вывода" этого следствия выходит за рамки того формализма, в котором мы строим арифметику, и заставляет нас рассматривать целый класс других формализмов.
Какие высказывания неразрешимы в арифметике? Те, и только те, для которых существует такая система гёделевой нумерации, при которой они превращаются в парадокс лжеца (делаясь при этом непредикативными по Расселу).
Этот класс нумераций по сути является классом формальных языков, изоморфных тому исходному языку, на котором строится арифметика. Доказательство этого изоморфизма является ключевым пунктом у Гёделя. Тогда, если в одном из языков данное высказывание интерпретируется как парадокс лжеца, то оно неразрешимо. Создаётся впечатление, что в рамках классической математики Гёдель применяет методы, в корне отличные от формальных или конструктивистских. Высказывание тут рассматривается не как нечто жёстко сформулированное в единственном формальном языке,— а как схема высказываний, функция класса изоморфных языков. В итоге доказывается, что эта функция имеет некие свойства, инвариантные по всему классу. Следствием этого и является неразрешимость высказываний, имеющих непредикативную интерпретацию в одном из языков. Более того, этот класс языков обязательно содержит элементы, непредикативные в том смысле, что строятся они как раз из "букв" той индивидной области, которая и моделирует теорию. Тот факт, что это свойство выполняется для любой теории, в рамках которой можно смоделировать арифметику (а это свойство любой достаточно богатой теории),— явно указывает на следующие обобщения.
Во-первых, теоремы Гёделя описывают взаимосвязи "понятия" и его материального воплощения согласно философии Гегеля. Именно, идеальная структура (формальная теория) отражается в той материальной структуре, которую она же сама описывает (цифры, индивидная область),— и за счёт этого отражает самое себя. Здесь налицо самоотрицательная, авторефлексивная природа "понятия". Таким образом, бесконечное множество вместе с принципами индукции и рекурсии,— является формальной моделью "понятия". Она, как показал Гёдель, неполна и непополнима. Непротиворечивость её практически неустановима. Что касается дальнейшего уточнения этой модели, то глобальный характер "понятия" требует снятия всяких ограничений по мощности; кроме того, как уже отмечалось, более предпочтительным выглядит нестандартный вариант её формализма. Поэтому наиболее полной современной формализацией "понятия" следует считать собственный класс всех ординалов нестандартной теории множеств с аксиомой ограничения. Аксиома ограничения равносильна тому, что всякое множество получено из ';' посредством взятия булеана и объединения некоторое трансфинитное число раз. Это соответствует центральному положению "понятия" в философии Гегеля. Мы сейчас не говорили об истинности этой философии, речь шла об адекватной формализации "понятия". И эта формализация, как показано выше, ещё далека от совершенства.
Во-вторых, в современной логике теорема Гёделя возникает как некий фокус, неожиданно и случайно. Ибо в самой арифметике её неполнота не заложена явно. Эта неполнота ставит гораздо больше проблем, чем решает. Поэтому теорема Гёделя показывает, что современная логика в чём-то исчерпала себя, нуждается в пересмотре. И в способе доказательства теоремы уже дано направление дальнейшего развития. Процесс построения формального языка (а также логики и теорий в этом языке) нельзя отделять от процесса его моделирования. Необходимо строить структуру, объединяющую в себе две ипостаси: предикат и индивид. Основной аппарат должен охватывать некий класс изоморфных языков и моделей. Взяв тот или иной аспект этой структуры,— мы бы получили модель формализма или формализацию модели.
Сейчас трудно сказать более конкретно об этой будущей логике. Однако подтверждением именно такого направления развития может служить и уже отмечавшийся факт: индивиды математика различает и фиксирует только через выполнимость некоторых предикатов. В то же время сами предикаты также определяются, в конечном итоге, лишь как функции из индивидной области в булеву (или гейтингову) алгебру, т.е. — лишь через собственные модели. Поэтому и нельзя рассматривать предикат отдельно от индивида. Нельзя считать проблему их соотнесения а priori решённой,— как это делает современная логика. Все трудности возникают именно при этом соотнесении. Булева (и интуиционистская) алгебра "чистых" высказываний полна, разрешима и непротиворечива. Проблемы возникают именно в исчислении предикатов, при моделировании теорий первого порядка. Да и сама природа, как было показано для теории квантов,— не соотносит индивиды и предикаты тривиально внешним образом. Поэтому непредикативные методы приобретают особое значение. И несмотря на невозможность их прямого использования, именно они и послужат основой для развития логики и ключом для понимания диалектики Гегеля.