Обмен световыми сигналами на диаграмме Минковского

В докладе «Пространство и время» в 1908 году Герман Минковский предложил способ наглядного изображения физической реальности в виде четырехмерного пространства событий, в котором каждая точка представляет собой некоторое событие, определяемое тремя пространственными и одной временной координатами (Минковский Г. Пространство и время /в кн.: Принцип относительности. – М.: Атомиздат, 1973).

Эти точки четырехмерного пространства-времени Минковского являются математическими абстракциями, которые не обладают ни пространственным объемом ни временной длительностью. В дальнейшем эти изображения получили название «диаграммы Минковского» и считаются наглядным способом демонстрации сущности специальной относительности и используются для доказательства её истинности.

Воспользуемся такой диаграммой и рассмотрим мысленный эксперимент с обменом световыми сигналами между двумя движущимися ИСО – А и В с относительной скоростью 0,866с. Традиционно далее мы будем использовать систему единиц, в которой скорость света с=1. В этом случае относительная скорость ИСО будет записываться как 0,866. Это значение мы задаём произвольно. Процесс будем рассматривать на диаграмме Минковского с точки зрения средней ИСО – С.

Средняя ИСО – это система отсчёта, имеющая среднюю скорость, при которой каждая из двух подвижных систем удаляется от неё в противоположные стороны с одинаковыми скоростями, равными в нашем случае 0,577. Движение началось из общей точки, но мы будем рассматривать его через 120 секунд от начала, когда все участники удалились друг от друга на некоторое расстояние. Эта диаграмма приведена в начале статьи.

Этот момент времени изображен на диаграмме оранжевой линией «настоящего времени в неподвижной системе отсчета (покоя)» или кратко «настоящее покоя». Тонкие штриховые линии, исходящие из начала координат и имеющие угол наклона к оси времени, равный 45 градусам,   это мировые линии света. Все мировые линии движущихся систем отсчета имеют иметь угол наклона к оси времени только меньше 45 градусов.

Также на диаграммы для удобства последующих рассуждений добавлены традиционные вспомогательные линии (калибровочные кривые, «семейство гипербол»). В литературе у них нет общепризнанного названия, поэтому для определенности назовём их изохронами. Такое название вполне допустимо, оно точно отражает смысл этих линий.

Изохрона отсекает на всех без исключения мировых линиях ИСО, движущихся из начала координат, отрезки равного времени, прошедшего от начала движения. Понятно, что изохрон на диаграмме Минковского может быть бесчисленное множество - по величине времени, отсекаемого на мировых линиях ИСО, все они в нашем случае описываются уравнениями гипербол t^2=x^2+ti^2 (двойки – знаки квадрата). Изохрона 120, изображенная на приведённой диаграмме желтой штриховой линией, показывает, что во всех ИСО, мировые линии которых дошли до неё, прошло ровно 120 секунд от начала движения по их собственным часам.

Все изохроны на диаграммах Минковского располагаются «вдоль» вертикальной оси ветвями вверх (движение в будущее) или вниз (движение из прошлого). Мы будем рассматривать только верхнюю часть диаграмм, для времени от нуля и выше. К изохронам «ортогонально» располагаются соответствующие гиперболы, которые можно назвать «изотрасами» (или изотрассами) - ветвями вправо (удаление от неподвижной ИСО вправо) или влево (удаление от ИСО влево).

Изотрасы - это линии, отсекающие на мировых линиях расстояний отрезки равных дистанций (трасс), то есть, показывающие одинаковое расстояние от начала координат во всех движущихся ИСО. Уравнения изотрас – x^2=t^2+xi^2 (двойки – знаки квадрата). На рисунке красными линиями показан «комплект» изохроны 80 и соотвествующей ей изотрасы 80.

Изохроны и изотрасы на бесконечности сколь угодно близко приближаются к мировым линиям света, но никогда не коснутся их. С помощью изохрон и изотрас на диаграмме можно наглядно продемонстрировать некоторые кинематические эффекты преобразований Лоренца. Например, точка «a» обозначает на диаграмме момент времени ИСО А, когда её часы будут показывать время 120 секунд, поскольку эта точка лежит на соответствующей изохроне. Но в «настоящем» системы С часы системы А показывают другое время, ведь они идут с её точки зрения замедленно.

Это замедление можно определить по диаграмме (с учетом пропорций, поскольку диаграмма на рисунке слегка вытянута по горизонтали). Замедление G равно:

G = A0 / a0 = 60 / 75 ~ 0,8

Поскольку скорость системы А равна 0,577, то этот же коэффициент, вычисленный по уравнениям Лоренца, равен:

G = Корень(1 – v^2 / c^2) = Корень(1 - v^2) = Корень(1 - 0,577^2) ~ 0,817

Соответственно, с точки зрения неподвижной системы С система В удалилась от начала координат за 80 секунд движения на расстояние 80 световых секунд. Но с точки зрения системы В она прошла путь, который также короче за счёт лоренцева сокращения отрезков. Это сокращение по измерениям на рисунке равно той же величине:

G = b0 / c0 = 41 / 51 ~ 0,8

Ещё нагляднее на диаграмме демонстрируется знаменитая «относительность одновременности». Два события – «b» и «c» – в системе отсчета В находятся на линии одновременности – оси x'. Все события, находящиеся на линии, параллельной оси расстояний – одновременные, они произошли в один и тот же момент времени. Но с точки зрения неподвижной системы С эти два события имеют разное время свершения. Событие «b», например, произошло приблизительной в 45 секунды. Событие «с» – приблизительно в 57 секунд.

В данной работе мы будем использовать на всех последующих диаграммах изменяющийся масштаб, то есть, значения возле меток на осях координат будут постоянно возрастать вместе с течением времени. В этом случае линия настоящего и начало координат будут неподвижны.

Напротив, если использовать фиксированный масштаб, то в рассматриваемом нами эксперименте квадрат 80х80 пространственно-временных координат в начале движения, преобразуется в конце движения в квадрат 1000х1000, то есть исходную диаграмму к этому моменту необходимо увеличить в 12,5 раз. Динамическое масштабирование даёт один и тот же размер диаграммы в обоих случаях, изменяется только цена делений осей.

Другим следствием такого масштабирования будет то, что движущиеся во времени события и неподвижная (лабораторная) ИСО с линией «настоящее покоя» окажутся «замороженными» в своих определенных, начальных точках диаграммы. Наоборот, события, имеющие определённое, фиксированное время свершения, на диаграмме будут двигаться по своим мировым линии к началу координат (то есть, как бы в обратном направлении), оставаясь при этом в фиксированной точке пространства-времени.

Такая диаграмма будет напоминать картину удаляющегося ландшафта: так выглядят деревья, дома, люди, если смотреть на них через заднее стекло уезжающего автомобиля. Все пропорции сохраняются, уменьшаются только размеры.

В динамике движение рассмотренных систем можно увидеть в полной версии заметки по адресу URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/ddm-light.shtml
или на зеркале по адресу URL:
https://cloud.mail.ru/public/Hq7e/jZ9YZGJW9

При  изучении диаграмм у читателя может возникнуть резонный вопрос: почему все системы отсчета А, В и С изображены на одной горизонтали – линии «настоящего системы покоя»? Это их правильное изображение, хотя в литературе часто можно встретить их смещённое по вертикали расположение.

Действительно, все события как на диаграмме Минковского, так и в реальности могут происходить только в настоящем времени. Ни одно событие не может происходить ни в будущем, ни в прошлом. События будущего – это, так сказать, предсказанные события, которые, разумеется, ещё не произошли и не происходят. Но время «настоящего», в котором они когда-то произойдут, нам уже известно.

И только в это время, когда оно станет настоящим, совместится с линией «настоящее покоя» (на нашей диаграмме), только в это время эти события могут произойти. Но тогда это будет уже не будущее, а настоящее. Понятно, что у каждой системы отсчёта собственное «настоящее покоя», поэтому с их точки зрения рассмотренная диаграмма будет иметь совершенно иной вид.

Напротив, события прошлого уже свершились. То есть, они точно так же, как и события будущего, не происходят, не свершаются. Время их происхождения – это уже навсегда однозначно определённое, неизменное время. На нашей диаграмме такие события в самом наглядном виде «уходят в прошлое», двигаясь вниз по шкале времени, становясь достоянием истории.