Механика по порядку-1. Одно тело, одна сила

Механика по порядку

Предпринимаю эту попытку последовательного изложения механики (от простого к сложного, и ни в коме случае не иначе), дабы в итоге получить практическую механику жидкостей (и гидродинамика тут не в счёт, в виду не способности её описать движения (и деформации) жидких тел, а вовсе и не сред.)

Часть 1. Одно тело, одна сила

Глава 1. Материальная точка

И тут всё просто: если тело – материальная точка (что значит, что мы полностью пренебрегаем каким-то размерами тела), то всё, что на него может действовать – это только силы. А результат же действия которых - определяется просто: ускорение тела – прямо пропорционально векторной сумме этих сил.(и это называется 2-ой закон Ньютона)
И больше нам тут нечего добавить.
(а в школьной физике (в основном) – решаются задачи именно с материальными точками.
Хотя и тут встречаются иные типы тел. К которым мы теперь и переходим)

Глава 2. Материальный отрезок

Примеры тел такого типа: нить, пружина или трос (но только лишь прямые)
Вот тут уже и появляется 1-ая «заноза» – точка приложения силы. Ведь точек много тут становится (на теле) для приложенья силы.(тело же большое, хоть и всего одно в нём измеренье. Но всё ж уже не материальная точка) А практика показывает нам, что результат воздействия силы – от точки приложения её зависит.
Но, правда, есть один простейший случай: а именно, что если сила эта приложена точно к некоторой точке (и это будет ситуация П), то производит в этом случае она лишь поступательный эффект (а значит, телу (в целом) придаёт – лишь поступательное ускоренье). И назовём мы эту точку – точкой С.
И тут бы нам подробно остановиться на вопросе, как найти нам эту точку. Но мы пока подробное разбирательство сего вопроса – временно пропустим. И запомним лишь такое: фактически определение этого понятья – мы дали уже выше. И дальнейшем нам предстоит тут доказать, что имено такая точка существует (и притом одна), а также и найти её расположенье.

Перейдём к разбору следующей ситуации теперь. А именно, сместим от точки С мы точку приложения силы, а направим силу – точно перпендикулярно тому отрезку, что соединяет центр  масс нашего тела с точкой приложенья нашей силы.(и это будет ситуация В) Что же тогда в итоге мы получим?
Опять же поступательную силу, а также новый фактор силовой - вращательный момент. А именно такой момент, которого действие приводит к вращательному движенью тела. Но только не в относительно оси вращенья произвольной, а именно - относительно точки приложенья этого момента. И здесь нам для рассчётов нужен будет уж 2-ой закон Ньютона, но только для вращательного движения
Но где же точка приложения этого момента? Пока нам неизвестно.

Но если мы сместим от центра масс точку приложения силы, а направим силу – точно к точке С (иль от точки этой)(и это будет ситуация Д), то что такая сила (с этой точкой приложения)? Она создаст нам поступательное тоже ускоренье в целом тела, но создаст еще и новый фактор силовой – такую пару сил, в которой обе силы – направлены противоположно тут друг другу. И что сказать тут? Обычно этот новый фактор и не замечают, но мы его заметим и даже назовём: момент, но только деформационный. А всё тут почему? Да потому что этот новый фактор силовой – создаёт нам новый тип движения, а именно - деформацию сжатия-растяженья. Конечно, можем мы его и проигнорировать. Но только если постулируем, что тело наше – абсолютно несжимаемо (а также и нерастяжимо) (За счёт чего мы и получим ослабление рассчётного режима.) Но, если с этим мы вдруг не согласны, то нам на помощь надо призывать – тот закон, который физик Роберт Гук однаждый сформулировал.(а мы здесь сформулируем его опять) А именно, что деформация тела – обратно пропорциональна жёсткости его, и прямо пропорционально – деформационному моменту (а не всего одной лишь силе, как раньше в физике считалось)
 А также есть тут и еще один нюанс: а как же быть-то с точкой приложенья деформационного момента? Ведь где она? и это очень важно! Но давайте мы пока весь тот нюанс – и на потом оставим.

Глава 3. Величина вращательного момента, центр вращенья

Итак, возьмём опять мы материальный наш отрезок в ситуации В. Интуитивно нам понятно, что действующая сила (приложенная, скажем, к точке А) – действует не только именно на эту точку тела, но и опосредованно на все другие его точки. Тогда и зададимся мы вопросом: а как найти нам тут такую силу, которая будучи приложена уже не к точке А, а к точке В (причём не совпадающей с точкой С) – действие 1-ой силы скомпенсирует и приведет то тело к состоянью вращательного равновесья? И опыт нам покажет, что точка В  2-ой той силы приложенья – должна размещена быть на отрезке, соединяющем точку А с некоторой точкой О, а также следует выполнить нам вот это соотношенье:

F(B)=-F(A)*OA/OB (1)

То есть по модулю сила F(B) должна быть во столько больше силы F(A), во сколько расстояние OB меньше расстояния OA и направлена противоположно силе F(A) (но только в случае, в котором точка В – находится по сторону одну от точки О, как и точка А) или в ту же сторону, что и сила F(A) (в случае, в котором точка В – от точки О находится по сторону другую, чем точка А)
Преобразуя данное выше соотношенье (1) к виду:

F(B)*OB =-F(A)*OA (2)

Легко понять, что:
 1)выраженье вида F(A)*OA – характеризует величину вращательного момента, а данное соотношение есть утвержденье о равенства величин вращательных моментов сил (по модулю) и противоположности их направлений. (И в самом деле сила F(B) – вращает против стрелки часовой, а сила F(A) – по этой стрелке)
2)точка О – есть такая точка, что если сила приложена именно к ней, то создаёт такая сила вращательный момент нам с нулевой величиной, а значит тело под действием этой силы – приобретает только поступательное движение. А значит, эта сила, согласно данному выше определенью, и есть та самая точка СВ. И назовём мы эту точку центр вращенья. (хотя и вроде бы она должна с центром деформации тела совпадать, но это предстоит еще нам доказать)
3)а значит, центр вращенья и есть та точка тела, к которой и приложен вращательный момент, который создаёт любая сила, приложенная к телу, за исключеньем центра масс. И в ситуации такой приходит тело (дополнительно к поступательному движенью) во вращательное движенье относительно оси, прошедшей через центр вращенья (перпендикулярно плоскости чертежа)

Глава 4. Вращенья центра расположенье

Для нахождения этого расположенья возьмём сначала тело, которое состоит … всего из точек двух материальных. (А и В) Которые, однако, чтоб быть рассмотренными как единое тело, каким-то стержнем (пусть и абсолютно жестким, а также невесомым – так будет проще для рассчётов) меж собою скреплены. В противном случае это две (и совершенно независимых) материальных точки.
Представим далее, что перпендикулярно этому стержню, на каждую точку действует по силе (и в одном и том же направленьи). Какому же условию должны те силы удовлетворять, чтобы каждая точка тела - одно и то же получила ускоренье? То есть выполняется условье:
а(А)=а(В)=а(С)=а (1а)
(а значит, и всё тело вовлечено лишь в поступательное движенье)
Поскольку, исходя из (2), получим:

F(B)*СB +F(A)*СA=0 (3),
 
То это есть как раз условие вращательного равновесья тела, состоящего из 2-х материальных точке. А так как F(C)*CC=0, то из (3) получим мы такое:

F(B)*СB +F(A)*СA+ F(C)*CC =0 (4)

Чтобы исключить СС=0, перейдём к другому началу отсчёта координат, например, точке D (расположенной на той же прямой, на которой расположены точки А и В):

F(B)*(DB-DC) +F(A)*(DA-DC)+ F(C)*(DC-DC) =0 (5) =>

F(B)*DB +F(A)*DA+ F(C)*DC = F(B)*DC +F(A)*DC+ F(C)*DC = (F(B) +F(A) + F(C))*DC =>

DC = (F(B)*DB +F(A)*DA+ F(C)*DC)/(F(B) +F(A) + F(C)) (6)

А, т.к. согласно требованию поступательности движения (1а) и 2-ому закону Ньютона:

F(B) =m(B)*a; F(A)=m(A)*a;  F(C)=m(C)*a (7),

То:

DC = (m(B)*a *DB + m(A)*a *DA+ m(C)*a *DC)/( m(B)*a + m(A)*a + m(C)*a) =>

DC = (m(B)* DB + m(A)*DA+ m(C) *DC)/( m(B) + m(A) + m(C)) (8)

Это и есть формула для определения координаты центра вращения тела (но, правда для тела из 3-х точек (я добавил точку С, как тоже имеющую массу), а также в 1-мерной системе отсчёта координат) Но её можно легко распространить на любое количество точек тела (и в том числе – бесконечное (тогда вместо суммы будет интеграл), а также на материальные тела с любым количеством измерений. Но последнее – еще впереди.)
Формулу можно истолковать как средневзвешенную (по массам точек) координату тела.
Из неё следует, что центр вращения любого тела существует и единственен. Но, что интересно, не всегда находится на этом теле. Простейший пример: центр вращения кольца – находится в центре окружности кольца.

Глава 5. Величина деформационного момента, центр растяжения-сжатия

Итак, возьмём опять мы материальный наш отрезок в ситуации В. Интуитивно нам понятно, что действующая сила (приложенная, скажем, к точке А) – действует не только именно на эту точку тела, но и опосредованно на все другие его точки. Тогда и зададимся мы вопросом: а как найти нам тут такую силу, которая будучи приложена уже не к точке А, а к точке В (причём не совпадающей с точкой С) – действие 1-ой силы скомпенсирует и приведет то тело к состоянию деформационного равновесья? (не обязательно поступательного)
Поскольку, в отличие от вращения, в процессе действия деформационного момента – в теле возникают внутренние силы упругости, противодействующие деформационному моменту, то по прошествии некоторого переходного процесса эти силы уравниваются (по модулю) с силами упругости, то (переходный) процесс деформации – прекращается, то эту ситуацию (в которой  возникает равновесная величина деформации) и можно трактовать как деформационное равновесие. Но мы будем трактовать деформационное равновесие иначе: как ситуацию, в которой переходный процесс деформации вообще не начнётся. Как же такую ситуацию получить? Поскольку результат деформационного процесса – это деформация тела, то эта ситуация удовлетворяет требованию: dl=dl(A)+dl(B)=0 (то есть суммарная деформация равна 0)

В соответствии с законом Гука:

dl=F*l/(E*S),

где dl – деформация (то есть удлинение или укорочение, относительного свободной длины, то есть при отсутствии деформационного момента) материального отрезка,
F – внешняя сила, эксцентрично приложенная к телу,
l – расстояние от точки приложенья силы до некоторой точки С (при приложении сил к которой движенье деформации не возникает)
(а вовсе не длина материального отрезка, как сказано в законе Гука. Ведь он по умолчанию к телу приложил не силу, а сразу пару сил.
(ведь он же знал, что, по идее, всего одна-то сила – не может тело деформировать никак. Скажу вам по секрету: да, всё это так, но только если тело – не имеет (вовсе) массы. Ведь там, где масса – там и инерция, однако. А там, где массы нет, то нет и инерции, всяко.
А в случае же абсолютной жесткости, однако – там нет и деформации всяко.
Но, случаи вырожденности тел – это приближение, однако. А значит, (временное) отстраненье от реальной ситуации всяко. Ведь есть (и возникают иногда) задачи, когда нас (принятые) параметры вырожденных тел – в сторону ведут от понимания реальной ситуации, однако.)
А именно, пришплив противоположный конец материального отрезка (пускай нам это будет точка В) намертво к «пространству»
(и это в современной теор.механике и называется связью, что кинематически, так это dl(В)=0.
Но как же трактовать сию нам связь лишь с точки зрения динамики? А легко: m(B)=infinity (бесконечности, вестимо))
E – модуль Юнга материала материального отрезка,
S –площадь поперечного сечения материального отрезка (а поскольку для вырожденного тела (каким являтеся материальный отрезок) S=0, то для него имеет смысл говорить только о величине F2= E*S, то есть о некоторой силе, при которой деформация мат.отрезка dl=l, как о характеристике жесткости вообще материального отрезка),
То получаем, что условие отсутствия деформации (в данном случае) таково:

F(A)*CA/(E*S) + F(B)*CB/(E*S)=0 => F(A)*CA+ F(B)*CB=0,

Откуда компенсирующая деформацию сила:

F(B)*СB =-F(A)*СA

Что совершенно аналогично формуле для случая вращенья.
Отсюда выводы:
1)как не прискорбно, выражение вида F(A)*CA – оказывается всё-таки величиной момента, а именно деформационного (который всяко существует, поскольку именно его величина – характерирует нам его величье – равновесную величину деформации тела (а вовсе не вращательное ускоренье для вращенья)
2)существует точка С – такая,что будучи приложена к которой любая сила момент такой деформационный создаёт, что величина его равна 0, а значит тело под действием этой силы приобретает только поступательное движение. А значит, эта точка, согласно данному выше определенью, и есть та самая точка СД. И назовём мы эту точку деформации центр.
3)а значит, деформации центр и есть та точка тела, к которой и приложен деформационный тот момент, который создаёт любая сила, приложенная к телу, за исключеньем этого центра. И в ситуации такой приходит тело (дополнительно к поступательному движенью) в деформационное движенье, но при этом – лишь относительно центра деформации (а не относительно произвольного центра деформации, как раньше полагалось)
Здесь дам я дополнительные поясненья: центр деформации тела – это точка та, смещение которой (в результате действия деформационного момента) – всегда равно 0 (как и угловое ускорение вращенья центра)

Глава 6. Деформации центра расположенье

Поскольку формула условия для равновесья деформаций – аналогична формуле условия для равновесия вращенья, то и формула для центра деформации расположенья нахожденья – такая же, как формула для нахожденья вращенья центра расположенья.(см. главу 4)
Отсюда важный вывод: центр вращенья деформации центру равен, а значит, можно дать и общее им названье – центр масс.

Глава 7. Произвольное расположение действующей на тело силы.

А что ж мы скажем, если сила, приложенная к материальному отрезку – действует в произвольном направленьи?
А то, что силу эту – мы легко на составляющие силы можем разложить. А именно такие, что их векторная сумма – исходную силу даст. А к этому плюс пусть 1-ая (составляющая) сила – направлена пусть будет вдоль отрезка, соединяющего точку приложенья силы с центром масс, а 2-ая составляющая (действующей силы) – направлена пусть будет перпендикулярна этому отрезку.
Ведь в результате этого разложенья – сразу станет нам понятно, что эффект той силы – будет композитным (для этого тела) здесь эффектом. Ведь, кроме поступательного движенья – такая сила (в общем случае) сотворит нам как вращательное, так и деформационное движенье тела.

Но как нам проще выделить (указанные выше) составляющие данной силы? А очень просто: деформационную составляющую силы мы вычислим вот так:

Ft= r(F)*F /|r(F)| => Mt= r(F)*F

где F * r(F) - скалярное произведение силы на радиус-вектор точки её приложения r(F),
Mt - деформационный момент. (и он приводит к растяженью, если >0 и к сжатию, если <0)
Ну а нормальную (то есть вращательную) составляющую силы - вот так:

Fn= r(F)хF /|r(F)| => Mn= r(F)х F

где F х r(F) - векторное произведенье силы и радиус-вектора её тут точки приложенья,
Mn – вращательный момент. (направление Mn – совпадает с осью вращения тела под действием данного момента. И причем против часовой стрелки, если взгляд направлен против этого направления)

Далее:
Часть 2. Одно тело, две силы
Часть 3: Два контактирующих тела, одна сила

вперёд http://www.proza.ru/2016/02/15/1902
связанная тема http://www.proza.ru/2016/02/17/9