Итак, парадокса близнецов больше нет!

В качестве названия предлагаемой статьи я взял фразу из книги Лесли Мардера «Парадокс близнецов» (с.199).  В английском оригинале фраза звучит так: The paradox no longer exists. Распространено мнение, что в общей теории относительности парадокс близнецов не является парадоксом, а имеет четко обоснованное решение. В статье анализируется один из вариантов такого решения с использованием динамических диаграмм Минковского.

Как известно, парадокс близнецов берёт своё начало в основополагающей работе по теории относительности – работе Эйнштейна 1905 года «К электродинамике движущихся тел». В данной работе мы не рассматриваем предысторию парадокса, его формулировки и многочисленные варианты его решений. Также мы не подвергаем критике или сомнению утверждение о том, что в общей теории относительности, действительно, «парадокса больше нет». Мы лишь рассмотрим в общих чертах выкладки, которые можно отнести к релятивистскому решению парадокса.

Следует особо отметить, что парадокс имеет решение только в общей теории относительности. Напротив, специальная теория относительности не позволяет его разрешить, парадокс не является задачей специальной относительности. Эту позицию четко сформулировал Розман:

«При изучении СТО указывается, что «парадокс близнецов» не может быть объяснен в рамках этой теории. … Этот парадокс не может быть разрешен в рамках СТО, так как рассматриваемые СО не равноправны (как это требуется в СТО): космический корабль не может рассматриваться ИСО, так как движется на отдельных участках траектории неравномерно.
Только в рамках ОТО мы можем понять и объяснить «парадокс близнецов» естественным образом, опираясь на положения OТО» [Розман, 2005, c.220].

Опуская промежуточные выкладки, приведу заключительное уравнение, с помощью которого и выводится это решение:

T = t(1 + ф/с^2)    при ф < 0,

«из которой ясно видно, что темп хода часов замедляется в гравитационном поле с потенциалом ф (то же справедливо и для эквивалентной ускоренно движущейся СO, каковой в нашей задаче является космический корабль с «близнецом» «В»).
Таким образом, часы на Земле покажут больший промежуток времени, чем часы на космическом корабле при его возвращении на Землю» [Розман, 2005, с.220].

К сожалению, Розман не приводит развёрнутых выкладок, делая лишь риторическое, но весьма показательное заключение:

«Повторим еще раз, что «парадокс близнецов» не имеет никакого объяснения в специальной теории относительности, в которой используются только равноправные инерциальные CO. Пo СТО «близнец» «В» должен вечно равномерно и прямолинейно удаляться от наблюдателя «А» (по сути дела, он не должен взлетать с Земли, именно поэтому мы берем слово «близнец» в кавычки).

В популярной литературе часто обходят «острый» момент в объяснении этого парадокса, заменяя физически длящийся разворот космического корабля «назад к Земле» его мгновенным разворотом, что невозможно. Этим «обманным маневром» в рассуждениях устраняют ускоренное движение корабля на развороте и тогда обе СО («Земля» и «Корабль») оказываются равноправными и инерциальными, в которых можно применять положения CTO. Но такой прием нельзя считать научным» [Розман, 2005, c.220].

Можно ли сказать лучше? Вряд ли. Эту очевидную, по сути, мысль следовало бы принять к сведению не только всем противникам специальной теории относительности, антиСТО, но и её убеждённым сторонникам, поскольку и первые, да и многие из вторых по-прежнему пытаются решать «парадокс близнецов» средствами специальной относительности. Здесь же, у цитированного автора мы видим основное направление решения парадокса:

«В заключение следует отметить, что «парадокс близнецов» является, по сути дела, разновидностью того эффекта, который был разобран … и назывался изменением частоты излучения в гравитационном поле» [Розман, 2005].

Должен сказать, что мои попытки найти собственно решение парадокса часов в рамках общей теории относительности принесли достаточно скромный результат. Из многих десятков просмотренных мною учебников, статей и рефератов лишь одна содержала подробное решение этого парадокса – книга Скобельцына «Парадокс близнецов в теории относительности» [Скобельцын, 1966].

С выкладками в книге следовало бы ознакомиться, а лучше тщательно проанализировать и изучить всем, кто ищет решение парадокса близнецов и, особенно, ищет в парадоксе признаки ошибочности теории относительности. Однако, решение Скобельцына относится к довольно фантастическому варианту парадокса с нефизическими значениями параметров: мгновенным разворотом и бесконечно большим ускорением при развороте.

Тем не менее, решение следует признать достаточно корректным. В предлагаемой работе, тем не менее, мы попробуем получить такое же решение, но уже с реально достижимыми значениями ускорений и времени разворота.

Сначала обратим внимание на очевидное обстоятельство в процессе движения сравниваемых часов (в системах отсчета близнецов):

«… если рассматривать ситуацию, возникающую при осуществлении цикла движений с «путешествующим» в космосе В и остающимся «неподвижным» на Земле его близнецом А, то имеет место следующее: когда в середине путешествия В направление скорости его (В) изменяется на противоположное и в некоторый момент времени он начинает сближаться с А, то в течение того времени, когда он, находясь на большом расстоянии от А, движется в направлении к А ускоренно, ему (B), считающему себя неподвижным, представляется, что течение процессов в системе А убыстряется». [Скобельцын, 1966, с.167]

Это убыстрение времени совершенно очевидно, поскольку, если по итогам совместного движения одни часы отстали, то нет и не быть может другого заключения: вторые из этих часов шли быстрее! При выводе своего решения автор делает ссылку на предшественника:

«нижеследующие выкладки в значительной части представляют собой «парафразу» в упрощенном виде выводов, содержащихся в книге Меллера [Мёллер, 1975], рассмотревшего впервые … в достаточно общем виде вопрос о «парадоксе часов» с точки зрения общей теории относительности» [Скобельцын, 1966].

Хочу отметить, что выкладки Скобельцына являются более конкретными и последовательными, чем у Меллера, который в работе по указанной ссылке приводит лишь основные, хотя и важные, тезисы для решения парадокса, а самого развернутого решения, собственно говоря, я не увидел. В том или ином виде решение парадокса близнецов в общей теории относительности, как сказано выше, опирается на так называемое «гравитационное красное смещение» и принцип эквивалентности. Мардер описывает эту картину следующим образом:

«Всякий раз, когда действовало ускорение, вызванное работой двигателей, М мог считать, что двигатели удерживают его в состоянии покоя в однородном гравитационном поле — это соответствует принципу эквивалентности. Так как у наблюдателя R двигателей нет, он свободно падает в этом гравитационном поле. … Но часы, помещенные в область с повышенным значением гравитационного потенциала, должны спешить…» [Мардер, 1974, c.199].

Здесь наблюдателей М и R можно назвать двумя близнецами рассматриваемого парадокса. Описанная картина означает, что второй из близнецов, улетавший на корабле в космос, в момент разворота оказывается в эквивалентном гравитационном поле. То есть, хотя на самом деле он и не находится вблизи какого-либо массивного гравитирующего тела, но согласно принципу эквивалентности теории относительности мы можем с полным правом рассматривать его находящемся именно вблизи такого тела.

Условно говоря, космический корабль является как бы массивной планетой, создающей гравитационное поле такой напряжённости, что ускорение свободного падения на ней в точности равно ускорению, создаваемому двигателями корабля при его развороте. Напомню, что самым высоким гравитационным потенциалом, а точнее, нулевым обладает область полностью свободная от массивных, гравитирующих тел. В нём часы идут с наибольшей скоростью (темпом). Поскольку ко второму близнецу, находящемуся на Земле, не приложены никакие силы, он тоже может рассматриваться как находящийся в гравитационном поле корабля.

Однако, здесь следует сделать оговорку. Второй близнец, землянин находится в гравитационном поле Земли. Для простоты мы считаем, что в рассматриваемом случае масса Земли равна нулю, то есть влиянием её гравитационного поля мы пренебрегаем. Это вполне допустимо, поскольку второй близнец мог находиться вовсе и не на Земле, а на небольшой космической станции с пренебрежимо малой массой.

Таким образом, этот второй близнец находится в эквивалентном гравитационном поле космического корабля и под его действием совершает «свободное падение» на корабль. Согласно общей теории относительности и в соответствии с релятивистским явлением «гравитационного красного смещения» все часы, удалённые от центра корабля идут в более быстром темпе, спешат. Изменение этого темпа хода часов и даёт уравнение общей теории относительности [Скобельцын, 1966].

Мы не будем рассматривать ни само уравнение, ни выкладки, на основании которых оно получено. Его приводят разные авторы как основное уравнение, являющегося как описанием гравитационного красного смещения, так и решения парадокса близнецов. В этом уравнении можно увидеть, в чем, собственно, и состоит сущность решения парадокса близнецов в общей теории относительности.

С одной стороны, в процессе сближения братьев и увеличения их относительной скорости часы земного брата замедляются. Это соответствует специальной теории относительности и является причиной возникновения парадокса. Однако, с другой стороны, эквивалентный «гравитационный» потенциал корабля приводит к противоположному эффекту: он вызывает ускорение хода земных часов.

В сумме оба эффекта должны привести к тому, что показания часов земного брата в момент встречи будут больше показаний часов улетавшего брата, как того и требует корректное решение парадокса близнецов. Получается, вопреки специальной теории относительности, что движущиеся часы (часы земного брата) идут быстрее, чем неподвижные (часы на корабле).

Эти обобщенные рассуждения были воплощены в анимации, приведённой в начале статьи. На этой диаграмме Минковского (и других в полном варианте статьи) я поменял местами ось времени ct и ось расстояний x. Это не новый приём, им пользуются и другие авторы. В данном случае такое расположение осей удобно, поскольку делает картину более естественной и наглядной. В этом случае корабль взлетает строго вертикально вверх и затем опускается так же сверху на Землю.

Систему отсчёта земного брата обозначим буквой А, а систему отсчета корабля – буквой В. Штриховой параболической  линией ветвями вниз изображена мировая линия космического корабля. Точкой и короткими осями t'-x' изображена система координат, связанная с кораблем: здесь хорошо видна основная особенность диаграмм Минковского - косоугольные оси координат движущихся объектов. Оси t-x относятся к системе отсчета Земли.

Вертикальная линия, соединяющая корабль и Землю – это линия «настоящего» (время) в системе отсчета Земли. Эта диаграмма является базовой, исходной. На ней мы видим исходные, заданные нами параметры движения. Угол наклона мировой линии корабля в начале и конце пути имеет тангенс, равный скорости корабля при отлёте от Земли и при его возвращении. Мировая линия корабля пересекает мировую линию Земли в двух точках – нулевой и 240 месяцев, являющихся временами начала и окончания полёта корабля.

Приведённая диаграмма относится к системе покоя условно неподвижного близнеца – на Земле. Однако, в парадоксе близнецов нас в первую очередь должна интересовать картина, какую наблюдает улетавший брат. Действительно, с точки зрения земного, неподвижного брата ситуация предельно ясна. Она полностью и корректно описывается математикой специальной относительности и даёт исходные данные для последующих расчетов. Для удобства этих последующих расчетов мы приняли:

1. Начальная скорость корабля 0,866с или 259 628 км/сек;
2. Интервал времени, на котором исследуется парадокс, равен 240 месяцам;
3. Величина ускорения разворота неизменна на всём протяжении полёта.

Этих трёх условий достаточно, чтобы вычислить все остальные параметры. Действительно, начальная скорость означает, что в момент начала удаления близнецов корабль уже имеет начальную скорость, тормозные двигатели включены и корабль движется с фиксированным ускорением разворота. Мы постулируем, что корабль приобрёл эти параметры движения до первой встречи близнецов и нам нет необходимости учитывать переходные процессы. В момент их второй встречи при возвращении через 240 месяцев, корабль будет иметь точно такую же скорость, поскольку ускорение неизменно.

Время полёта, равное 20 годам, мы взяли произвольно просто из соображений «круглости» и учета, что это наглядный возраст близнецов. По начальной скорости и времени полёта можно легко вычислить ускорение разворота (торможения). Замечу, что особенностью построения диаграмм является их интервальность, то есть все графики являются на самом деле не сплошными кривыми, а ломаными. В точности с формулировкой Эйнштейна.

Таким образом, в нулевой точке начала отсчета скорость корабля равна 0,866 и далее она снижается. В конечной точке, в момент встречи близнецов, скорость корабля также достигает этой скорости (со знаком минус).

Таким образом, по истечении 240 месяцев, корабль, движущийся с отрицательным ускорением и начальной скоростью 0,866, вернётся на Землю, имея скорость минус 0,866. Эти условия, как указано выше, позволяют нам исключить из рассмотрения не только начальный этап разгона и конечный этап торможения, но и моменты изменения ускорения при развороте. Действительно, ускорение связано с приложением к кораблю некоей силы. Эта сила не может быть приложена и снята мгновенно, поэтому следовало бы учитывать и этапы нарастания и уменьшения не только скорости корабля, но и его ускорения. Кроме того, в дальнейшем нам будет проще учитывать эффект гравитационного красного смещения, поскольку постоянное ускорение означает и постоянное эквивалентное гравитационное поле корабля – его «гравитационный» потенциал.

Опуская все промежуточные аналитические выкладки, посмотрим на диаграмму в начале статьи. Картина с точки зрения близнеца В на космическом корабле.

На диаграмме система отчета космического корабля изображена зелёной лужайкой или футбольным полем. На поле даже видна белая разметка. Нет никаких принципиальных препятствий считать, что космический корабль достаточно большой и на нём есть такое полноразмерное футбольное поле.

На этом поле кто-то из игроков подбросил высоко вверх мяч. Обычный резиновый детский мяч, с двухцветной полоской по экватору. Задача, как видим, очень напоминает задачу из классической физики с подбрасыванием вертикально вверх камня. Ну, или можно с не меньшими основаниями считать, что мяч брошен под углом к горизонту. Или это был выстрел из пушки. Всё это эквивалентные картины.

Но наша диаграмма ещё более условна. Мяч на самом деле, вовсе и не мяч. На самом деле это планета. Земля. И эта планета, как мяч, находится в свободном падении в «гравитационном» поле корабля. И здесь мы можем использовать всю мощь общей теории относительности.

Поскольку «мяч» - Земля находится на некоторой высоте в «гравитационном» поле корабля, то часы на ней идут быстрее, чем на лужайке. Общая теория относительности предлагает конкретные уравнения для вычисления этого «ускорения» хода часов. На числовой шкале вдоль горизонтальной разметки «футбольного поля» движутся три метки:

-- квадрат с буквой L внутри,
-- полупрозрачный круг и
-- квадрат с буквой g.

Буква L обозначает традиционный, лоренцев «парадокс близнецов». Это темп хода часов, без учета гравитации. Это «неправильные» часы.

Полупрозрачный кружок – это, как нетрудно догадаться, тень от «мяча» - Земли, показывающая равномерный ход часов на корабле – время «настоящего».. В момент «падения» Земли-мяча на лужайку, она сливается с собственной тенью.

И, наконец, «правильные» гравитационные часы g, которые движутся по оси времени t, отмечая на ней время, которое соответствует расчетам по правилам общей теории относительности.

В связи с тем, что в расчетах использовалась не точное уравнение ОТО, а его приближенное выражение, показания этих часов всё-таки несколько отклоняются от ожидаемых показаний, необходимых для точного решения парадокса. Отклонение в показаниях часов Земли от ожидаемых 240 месяцев составило  (240-231)/240 ~ 0,0375, то есть, чуть меньше четырех процентов. С учетом приближенности вычислений, этот результат является достаточно точным.



Литература
1. Мардер Л., «Парадокс часов», Пер. с англ. А.А.Бейлинсона, с предисловием Н.В.Мицкевича, Изд. «МИР», Москва, 1974.
2. Мёллер К., Теория относительности, Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко. М.: Атомиздат, 1975, 400 с., URL:
http://bib.convdocs.org/v25205/?download=1  (дата обращения 05.12.2015)
3. Розман Г.А. Теория относительности, ч.2 - Псков: ПГПУ, 2005. - 256 с., URL:
http://rozman2.narod.ru/oto.html (дата обращения 05.12.2015)
http://rozman2.narod.ru/otopdf/oto04.pdf (дата обращения 05.12.2015)
4. Скобельцын Д.В., «Парадокс близнецов в теории относительности», АН СССР, М.- «Наука», 1966

29.03.2014

Адрес полного текста статьи в интернете:
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/ddm4-oto.shtml

Иллюстрации к статье (зеркала)
http://fileload.info/users/putenikhin/41/Twin_GR
https://cloud.mail.ru/public/AmRZ/nZu8g3nTQ
https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz
https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk
https://drive.google.com/open?id=0B0uM56-EnG4ZaUFJb0YzY3YtcVU
https://cloud.mail.ru/public/K5GK/QidmkTF35