Не-белловские квантовые запутанные состояния

Аннотация
Данная работа посвящена исследованию состояний квантовой запутанности общего вида (не-белловских состояний запутанности) и их созданию с помощью квантового гейта CNOT. Рассмотрены переходы друг в друга при повороте запутанных состояний Белла и логическая сущность нелокальности на примере мысленного эксперимента с квантовым «нелокальным кубиком».

В квантовой механике известны состояния квантовых частиц с уникальными нелокальными свойствами – так называемые состояния полной запутанности – состояния Белла – рис.1.
 
Два из этих состояний в литературе известны под собственными именами: «ЭПР-состояние» и «состояние шредингеровского кота». Частицы в состоянии запутанности ведут себя как единое целое независимо от расстояния между ними, демонстрируя полную и мгновенную взаимосвязь. Однако, приведённые четыре состояния Белла – это лишь часть всех возможных состояний запутанности, их частный случай. В общем виде состояния запутанности могут быть представлены следующими уравнениями – рис.2.
 
Исследованию этих состояний посвящена данная работа.

Содержание
Как создаются запутанные состояния. Гейт CNOT
Почему 00+11? Взаимные превращения запутанных состояний Белла
Математическое исследование не-белловского состояния в общем виде
Логика и философия нелокальности


* * * * * * * * * * * *
Чтобы увидеть удивительно согласованное поведение запутанных частиц, а также некоторые отличия в поведении частиц в не-белловских состояниях от поведения частиц в чистых состояниях Белла, проведём математическое исследование не-белловских состояний на мысленной экспериментальной установке рис.3.
 
На изображенной установке частицы v1 и v2 от источника запутанных фотонов S поступают двум исследователям: A - Алисе и B - Бобу. Алиса, вращая свой двухканальный (расщепляющий) поляризатор, изменяет состояния квантовых частиц на стороне Боба вследствие их запутанности. Не используя классические каналы связи, Боб попробует определить направление поляризатора Алисы. Ещё до проведения математического анализа можно сделать очевидное предсказание: никакие действия Алисы не могут создать на стороне Боба состояния, по которым Боб смог бы узнать о действиях Алисы.

Как создаются запутанные состояния. Гейт CNOT

Явление запутанности непосредственно следует из математического формализма квантовой механики. В соответствии с первым постулатом квантовой механики состояние квантовой частицы полностью описывается её волновой функцией. Однако, в некоторых случаях квантовым частицам не удаётся приписать собственные волновые функции, а только одну на всех. Такое состояние частиц названо запутанностью. Это состояние удалось получить на реальных частицах, например, в так называемых процессах параметрического распада, преобразования с понижением частоты (down conversion) на специальных кристаллах.
Помимо параметрического распада для получения состояния запутанности используются квантовые гейты CNOT. Математическое описание этого процесса очень наглядно и просто. Рассмотрим его. Схематично гейт CNOT можно изобразить следующим образом – рис.4.
 
В литературе гейт CNOT описывается помимо уравнений также таблицей истинности, в которой, однако, не отражено это свойство гейта – создавать запутанные состояния. То есть, традиционная таблица истинности гейта CNOT неполна и в неё должны быть добавлены строки, отражающие создание запутанных состояний. Полная таблица состояний гейта CNOT должна иметь вид рис.5.
 
В конец таблицы добавлены две строки, показывающие, что при определённых комбинациях входных сигналов на выходе образуется запутанное состояние, которое не является логическим сложением по модулю 2. Запутанные состояния приведены в общем виде, частным случаем которых являются запутанные состояния Белла.

Почему 00+11? Взаимные превращения запутанных состояний Белла

Как видим, существует, по меньшей мере, четыре разновидности запутанного состояния, в общем равноценные. В их дальнейшем анализе мы будем использовать только одно из них - a|00> + b|11>. Во-первых, это состояние отличается от соответствующего состояния Белла («состояние шредингеровского кота»), что позволяет надеяться на некоторые дополнительные результаты. Во-вторых, три других состояния обладают специфическими свойствами: взаимным превращением друг в друга или инверсией. Это означает, что при повороте в пространстве состояния «шредингеровского кота» вид его волновой функции остаётся неизменным.

То есть, при повороте фотонов в ЭПР-состоянии мы получили инверсное «ЭПР-состояние». Но знак минус перед волновой функцией является фазовым множителем, не влияет на результаты измерений и может быть отброшен.
Совершенно иная картина будет наблюдаться при повороте двух оставшихся состояний Белла. Одно из них напоминает состояние «шредингеровского кота».

Как и фотоны в состоянии шредингеровского кота, фотоны в этом состоянии при измерении поляризаторами в измерительном базисе будут давать одинаковые результаты. Если один из фотонов каждой из пар будет зарегистрирован в состоянии |0>, то и второй также будет зарегистрирован в состоянии |0>. Если один из фотонов пар будет зарегистрирован в состоянии |1>, то и второй фотон пары тоже будет зарегистрирован в этом же состоянии. То есть базисные поляризаторы всегда будут давать коллинеарный результат измерений. Однако, если повернуть поляризаторы на 45 градусов или, что то же самое, повернуть на этот угол оба фотона пары, мы получим иной результат. После поворота фотонов они будут описываться другой волновой функцией.

После поворота коллинеарное состояние фотонов превращается в синглетное состояние, то есть взаимно перпендикулярные направления поляризации. Если один из фотонов пары будет измерен поляризатором и обнаружен в состоянии |0>, то второй фотон пары будет обнаружен в состоянии |1>. И наоборот. Фотоны после поворота окажутся в ортогональном состоянии запутанности.

Теперь посмотрим, что будет с этой запутанной парой, если её повернуть ещё на 45 градусов. Это также означает: что будет с оставшимся состоянием Белла, если его повернуть на этот угол.

После прохождения фотонов пары через гейт Адамара, они будут описываться новой волновой функцией (исходной, если считать это двойным поворотом пары): если до поворота запутанные фотоны находились в ортогональном (синглетном) состоянии запутанности, то после поворота они (вновь) оказались в коллинеарном состоянии. В первом случае измерение фотонов давало ортогональные поляризации фотонов, во втором (после поворота) - измерения будут давать коллинеарные результаты. Можно предположить, что существует промежуточное положение (угол поворота поляризаторов), в котором запутанные фотоны будут демонстрировать вообще отсутствие корреляции!

Для того, чтобы избежать возможной необходимости внесения корректив в результаты анализа, мы выбираем самое устойчивое к поворотам состояние запутанности – состояние «шредингеровского кота» в его расширенном не-белловском варианте: ф^a+ = a|00> + b|11>.

Математическое исследование не-белловского состояния в общем виде

Рассмотрим волновую функцию не-белловского состояния запутанности, имеющую вид:

Psi =a|00> + b|11>

Назовём это состояние «поляризованной запутанностью», поскольку она внешне напоминает поток фотонов, описываемых вектором, наклоненным под углом с проекциями (а) и (b). Если исследовать математически процесс измерения этих фотонов Алисой с помощью расщепляющего поляризатора, наклоненным под углом с ортогональными проекционными выходами (c) и (d), то мы получим весьма примечательный результат:

ортогонально-коллинеарное поведение запутанных фотонов является фундаментальной причиной невозможности передачи информации чисто математическими средствами: при любом измерении фотонов на одной стороне, на другой образуются два ортогональных потока, причём любой дисбаланс одного из этих потоков всегда компенсируется вторым. То есть, уменьшение прохождения фотонов одного потока через данный поляризатор будет тождественно восполнено (компенсировано) увеличением прохождения через него же фотонов из ортогонального потока.

Логика и философия нелокальности

Вопрос о полноте квантовой механики, поднятый в 1935 году Эйнштейном, Подольским и Розеном, был решён в пользу квантовой механики. Само явление «пугающего дальнодействия» или вероятностной корреляции, превосходящей классические, получило название нелокальности. Суть её простыми словами можно описать так: «частицы не передают друг другу информацию, но ведут себя так, будто они эту информацию передают».

К такому противоречивому выводу квантовая теория пришла неизбежно, поскольку стремилась сохранить приверженность теории относительности. Но это не совсем корректная позиция. И действительно, теория относительности – это совершенно другая теория, не являющаяся разделом квантовой теории. Мгновенная передача информации самой квантовой механике не противоречит, не приводит внутри неё ни к каким парадоксам.

Мгновенная передача противоречит теории относительности. Но причём здесь квантовая механика? Это проблема не квантовой механики, это проблема теории относительности! И решить этот антагонизм двух теорий может только независимый арбитр, стоящий над этими теориями.

Формальная логика не допускает истинности высказываний типа «связь есть, но её нет». В квантовой теории, казалось бы, нашли выход из этого тупика: между частицами передаётся так называемая «квантовая информация», которая отличается от информации классической. Но сама фраза «передаётся нечто» уже требует наличия этого «нечто». Неважно, как его называть «квантовая информация» или как-либо иначе, вопрос сразу же переходит в философскую плоскость материальности этого «нечто».

Можно закрыть глаза на это, не вдаваться в эти философские тонкости, но они никуда не исчезают. При любых достаточно глубоких рассуждениях материальность носителя «квантовой информации» неизбежно выходит на передний план. От ответа на этот вопрос о материальности носителя «квантовой информации» уйти невозможно.

Можно привести немало примеров противоречивости нелокальной формулы. Например, предположим, что две монеты всегда выпадают одной и той же стороной. Это нелокальность. Без признания наличия связи между ними невозможно дать логически разумное объяснение такому поведению, только мистическая нелокальность. Или игральные кубики, которые всегда выпадают одинаковым числом вверх. Разумеется, все числа на кубиках выпадают равновероятно, но при этом всегда одинаковые. Можно смело заявить, что не существует разумного логического объяснения этому явлению, если отрицать передачу сигналов от одного объекта к другому.

Рассмотрим подробнее ещё одну очень наглядную мысленную демонстрацию, которая отчетливо показывает антилогичность, мистическую сущность нелокальности. Мысленный эксперимент проведём на следующей установке – рис.6.
 
Источник запутанных фотонов S испускает в двух противоположных направлениях одновременно 8 пар запутанных фотонов v1…v8, которые поступают на 8 соответствующих вращаемых поляризаторов П1…П8. На выходах поляризаторов установлены, соответственно, по 8 регистраторов, преобразующих прошедшие через поляризаторы фотоны в 8 электрических импульса на каждой стороне установки. Эти импульсы поступают на двоичный дешифратор полученного двоичного кода в десятичный и индикатор, на который выводится полученное число. Каналы на 8 бит позволяют высветить на индикаторах числа от 0 до 255.

Поляризаторы вращаются строго синхронно, в любой момент времени располагаясь под одинаковыми углами к горизонту. Это вращение необходимо для того, чтобы гарантированно отличить запутанные фотонные пары от пар просто имеющих одинаковые поляризации. При неподвижных поляризаторах корреляции коллинеарных фотонов могут оказаться такими же, как и для запутанных.

Поскольку все поляризаторы коллинеарны, то независимо от угла их поворота и вследствие попарной запутанности фотонов через одноименные поляризаторы всегда будут парные прохождения: либо оба фотона пары пройдут через свои поляризаторы, либо оба будут ими поглощены. Это означает, что показания двух десятичных индикаторов всегда будут одинаковыми. Все пары независимы друг от друга, между разными парами нет никакой зависимости, поэтому числа на индикаторах всегда будут случайными.

Другими словами, мы имеем два удалённых друг от друга числовых табло, на которых появляются случайные числа, но всегда одинаковые на обоих табло, своеобразные цифровые игральные кубики с 256 гранями. Эта установка позволяет имитировать действительно «нелокальный кубик», в отличие от обычных кубиков или монет, нелокальную связь между которыми установить фактически невозможно. Эти квантовые «нелокальные кубики» могут быть разнесены на сотни километров и будут демонстрировать мгновенную корреляцию.

Теперь попробуем объяснить, почему два удаленных друг от друга индикатора в любой момент времени и на любом расстоянии показывают одно и то же случайное число? Логика, здравый смысл и материалистическая философия не допускают никакой мистики – такое совпадение возможно только, если между индикаторами есть связь. Всегда, без исключений, когда на одном индикаторе, например, 15, то на втором – обязательно 15. Если на первом – 63, то и на втором – тоже 63. И так для любого числа от 0 до 255.

Все эти числа случайны, нет никаких закономерностей их появления, кроме одной: всегда оба индикатора показывают одинаковые числа. Логически можно предположить два объяснения. Первое: это совершенно удивительное совпадение, но, как говорится, так не бывает. Второе: это зависимость одного индикатора от другого, то есть между ними есть связь, передача информации от одного индикатора (поляризатора, дешифратора, фотонов) к другому, на другой стороне.

Но мы пытаемся найти объяснение без сигналов, которыми обмениваются фотоны или индикаторы. Тогда всё-таки потрясающее совпадение? Все фотоны имеют абсолютно случайные состояния. Вращение поляризаторов приводит к тому, что фотоны достигают их каждый раз в случайном положении. Это должно быть очень сильным совпадением: каждый раз одно и то же число на двух не связанных друг с другом индикаторах.

Но теория вероятности отрицает такое совпадение. При увеличении числа измерений вероятность случайных совпадений уменьшается и стремится при наших условиях к близкой нулю величине (2^-16). В нашем же случае – всегда полное совпадение показаний индикаторов: на них всегда без исключения высвечиваются одинаковые числа. Следовательно, случайность тоже исключена.

Тогда, может быть, фотоны при генерации всего лишь запоминают свои состояния и при измерении просто их демонстрируют? Такое решение предлагают квантовые теории дополнительных переменных. По сути, это вариация на тему передачи информации. Но в своей знаменитой статье Белл (Bell J.S., «On the Einstein Podolsky Rosen paradox») пришёл к выводу для подобных экспериментов ЭПР-типа, что для сохранения статистических (то есть, случайных) результатов индивидуальных измерений необходим сверхсветовой механизм влияния друг на друга удалённых измерителей. То есть, если не фотоны обмениваются друг с другом сигналами, то ими должны обмениваться измерители.

Но в чём тогда разница? Что позволено измерителям, должно быть позволено и фотонам! Результат индивидуального измерения одного фотона, несомненно, статистический, случайный. Поэтому на соответствующем индикаторе нашей экспериментальной установки высветится непредсказуемое, абсолютно случайное число. Этот результат передаётся второму фотону, у которого свой результат измерения безусловно коррелирует с первым фотоном, на втором индикаторе высвечивается это же самое число, что и на первом индикаторе, но при этом автоматически этот результат становится точно таким же статистическим, вероятностным, случайным. Если мы, вопреки логике, отказываемся от информационной связи между фотонами, то вывод остаётся только один – мистическая нелокальность.

Квантовая механика не предлагает никакого объяснения явлению такой высокой корреляции (нелокальности), только описывает её проявления. В сущности, нелокальность не является частью квантовой теории, она за пределами этой теории. Поэтому квантовой механике нет никакого дела до того, мистика это или за ней скрываются какие-либо реальные физические процессы.

Между запутанными частицами явно просматривается информационная связь, которая в принципе не может существовать без физического носителя. Квантово-механическое, математическое описание этой связи верное, но НИКАКАЯ ИНФОРМАЦИЯ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ПЕРЕДАНА БЕЗ ФИЗИЧЕСКОГО НОСИТЕЛЯ, будь то частица, поле, волна или почтовые голуби. Только выявление этого носителя и создание способов его регистрации может позволить использовать запутанность для передачи информации и дать возможность Бобу без использования классических (досветовых) каналов связи определить, какие действия со своим поляризатором совершала Алиса.

09.11.2013

Адрес полного текста статьи в интернете URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/non-bell.shtml

Иллюстрации и уравнения к статье (зеркала)
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/
https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz
https://cloud.mail.ru/public/Hq7e/jZ9YZGJW9
https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk
http://fileload.info/users/putenikhin/