Ревизия логики, соч. 10

"УСТРОЙСТВО" ЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (Ч. 2)

3. СУТЬ ФОРМАЛЬНОГО ПОДХОДА

Первая часть данной статьи была посвящена разъяснению того, что собой представляют простейшие модели логики высказываний (классов). Теперь, следовательно, осталось понять, как из соединения этих "атомов" образуются более сложные логические модели реальности и как они работают. Но для этого вначале надо четко осознать, что сила логических моделей заключается в их ФОРМАЛЬНОСТИ. И здесь будет уместно обратиться к весьма близкой математической аналогии; близкой настолько, что логики подчас даже не могут отличить математические по своей сути задачи от "узко" логических. Так, А. Уёмов привел в своем учебнике следующий пример, доказывающий, по его мнению, ограниченность классического подхода к логике:

«Есть в Шотландии гора Бен-Невис. Это самая высокая гора во всей Великобритании. Однако, она ниже Монблана. А сам Монблан, как выяснилось, ниже Эвереста. Спрашивается, в каком отношении находится Бен-Невис к Эвересту? Нужны ли для ответа на этот вопрос какие-либо дополнительные измерения? Конечно, нет, ибо, как полагали некоторые шотландские логики середины XIX в., ответ необходимо следует из данных посылок:

Бен-Невис ниже Монблана
Монблан ниже Эвереста
[Следовательно,] Бен-Невис ниже Эвереста.

Вряд ли у кого из наших читателей возникнет сомнение в правомерности полученного вывода. Однако, рассматриваемое в качестве силлогизма, это умозаключение содержит ошибку – учетверение терминов».

И потому, дескать, для решения такого рода задач необходима некая особая, не «атрибутивная» логика, названная «логикой отношений». Что, в сущности, справедливо, но только с одним уточнением: эта специфическая "логика отношений" издавна называется… МАТЕМАТИКОЙ.
Пусть h1 – высота горы Бен-Невис, h2 – высота Монблана и h3 – высота Эвереста. "Переведя" две посылки вышеуказанного псевдосиллогизма, «Бен-Невис ниже Монблана» и «Монблан ниже Эвереста» на "язык" математики, получим, соответственно, следующие два равенства:

h1 = h2 – x; x > 0               
h2 = h3 – y; y > 0               

где x – разность высот Монблана и Бен-Невис, а y – разность высот Эвереста и Монблана. Из этих двух равенств по общеизвестным правилам алгебраических преобразований элементарно выводится следующее выражение

h1 = h3 – (x + y)               

т.е., Бен-Невис (h1) ниже Эвереста (h3) на величину x + y, что и требовалось доказать.

Безапелляционная убедительность данного результата обусловлена тем, что он получен с помощью общепринятых ФОРМАЛЬНЫХ правил математического вывода. Причем именно формальность этих правил обеспечивает их универсальность, т.е. их приложимость к самым разным областям, лишь бы ответ на поставленный в задаче вопрос предполагал, хотя бы неявно, обращение к некоей КОЛИЧЕСТВЕННОЙ мере. На этом основании практическую, прикладную математику, решающую, помимо всего прочего, и задачи т.н. логики отношений, можно назвать ЛОГИКОЙ ЧИСЕЛ, в отличие от "обычной" логики МНОЖЕСТВ (классов). Общим у этих двух логик как раз и является ФОРМАЛЬНЫЙ подход к решению прикладных задач, состоящий в том, что процесс их решения всегда разбивается на три этапа:

1)  Формализация задачи, т.е. "перевод" ее условий и вопроса, на который надлежит дать ответ, с естественного языка на "язык" формул математики или теории множеств.
2) Решение формализованной задачи путем последовательного выполнения неких стандартных процедур, однозначно диктуемых соответствующими формальными правилами.
3) Интерпретация полученного результата на естественном языке.


Выше, на "горном" примере из учебника А. Уёмова, было показано, как эти три этапа выглядят на практике для случая математических задач. Теперь же, для сравнения, найдем по той же самой схеме ответ на следующий простой вопрос из области традиционной логики: что можно сказать о некоем Сократе, если известно лишь то, что он – человек, а все люди смертны?

Первым делом введем обозначения логических переменных и классов, образующих в данной задаче «дихотомии» предметной области. Всего таких «дихотомий» здесь три:

Сократ (классА, значение «и» переменной А) / все остальные предметы (класс не-А, значение «л» переменной А);
люди (классВ, значение «и» переменной В) / не-люди (класс не-В, значение «л» переменной В);
смертные (класс С, значение «и» переменной С) / все остальные предметы (класс не-С, значение «л» переменной С).

Далее, представим условия задачи в виде "двумерных" таблиц истинности:

А   В    А4В                В   С    В4С                (10.1)
и   и      И                и    и      И
и   л      Л                и    л       Л
л   и      И                л    и      И
л   л      И                л    л       И

Цифра 4 в заголовках последних столбцов обеих этих таблиц указывает на порядковый номер данной логической связки (импликации) в табл. 9.1 (см. Соч. 9). С помощью первой таблицы (10.1) напомним, в чем заключается смысл импликации. Первая строка этой таблицы говорит о том, что Сократ МОЖЕТ быть человеком, а вторая – что Сократ НЕ МОЖЕТ быть НЕ-человеком. Согласно же последним двум строкам, тот или иной не-Сократ может оказаться как человеком, так и не-человеком (но, разумеется, не тем и другим одновременно). Вторая таблица (10.1) фиксирует ТОЧНО ТАКУЮ ЖЕ связь между переменными В и С.

И закончим первый этап решения нашей задачи о Сократе формализацией ее вопроса, который теперь будет звучать так: какие структурные элементы со значением «и» переменной А "разрешены" условиями данной задачи?

Чтобы получить ответ на этот вопрос, надо собрать в одной "трехмерной" таблице всю интересующую нас информацию из двух приведенных выше "двумерных" таблиц (10.1). Логики часто сетуют на то, что с увеличением "размерности", т.е. числа переменных, таблицы истинности становятся чрезвычайно громоздкими. Действительно, каждая новая переменная увеличивает вдвое число строк таблицы истинности, а значит, и число структурных элементов предметной области. Одновременно растет, хотя и не столь стремительно, число столбцов исходных данных. Но, с другой стороны, для решения какой-либо локальной задачи совсем не обязательно обращаться КО ВСЕЙ соответствующей таблице истинности. Так, для ответа на вопрос нашей задачи о Сократе достаточно знать содержимое лишь одной из четырех строк первой таблицы (10.1). А конкретно, только первой строки этой таблицы, так как ее вторая строка со значением «и» переменной А описывает не интересную нам сейчас "запрещенную" ситуацию. Единственно же важная для нас первая строка после увеличения ее "размерности" на единицу и "удвоения" за счет информации из второй таблицы (10.1) примет следующий вид:

А   В   С      А4В    В4С    А4В+В4С
и    и    и        И         И             И
и    и    л        И         Л             Л

"Ложность" второй строки этой "усеченной" таблицы истинности для трех переменных (знак «+» в заголовке ее последнего столбца символизирует конъюнкцию содержимого двух предыдущих столбцов) непосредственно вытекает из второй таблицы (10.1), а точнее, из "ложности" ее второй строки. Откуда следует, что условиями задачи "разрешен" всего лишь один из четырех структурных элементов со значением «и» переменной А. Конкретно, элемент «иии». 

На этом завершается второй этап решения данной задачи и начинается третий и последний, состоящий в "обратном переводе" на естественный язык обозначения «иии»: СОКРАТ – ЧЕЛОВЕК и СМЕРТНЫЙ.

Но далеко не всегда логические задачи имеют ОДНОЗНАЧНОЕ решение, как в рассмотренном выше случае. Примером задачи, имеющей ДВУЗНАЧНОЕ решение, может служить проверка справедливости упоминавшегося в Соч. 1 умозаключения небезызвестного американского политика времен «холодной войны» Джозефа Маккарти: «Все коммунисты нападают на меня. Такой-то нападает на меня. Следовательно, такой-то – коммунист». Снова, как в предыдущем случае, введем три переменные и составим для них две "двумерные" таблицы истинности:

Такой-то (переменная А, «и») / все остальные предметы («л»);
коммунисты (переменная В, «и») / все остальные предметы («л»);
нападающие на Маккарти (переменная С, «и») / не нападающие на Маккарти («л»).


А   С    А4С                В   С     В4С                (10.2)
и    и      И                и    и       И
и    л      Л                и    л       Л
л    и      И                л    и       И
л    л      И                л     л       И

Формализованный вопрос этой задачи всё тот же: какие структурные элементы со значением «и» переменной А "разрешены" заданными условиями? Как и в предыдущем случае, из четырех строк первой таблицы (10.2) часть ответа на этот вопрос содержит только первая строка, которая после включения в нее данных второй таблицы (10.2) примет такой вид:

А   В   С      А4С    В4С    А4С+В4С
и    и    и        И         И             И
и    л    и        И         И             И

Вторая строка этой "усеченной" таблицы получена на основании третьей строки второй таблицы (10.2). Как видим, условиям данной задачи удовлетворяют ДВА структурных элемента, «иии» и «или». Откуда следует, что «Такой-то», нападающий на Маккарти, может быть, соответственно, как коммунистом, так и не-коммунистом. То есть, умозаключение Маккарти, ОДНОЗНАЧНО отождествлявшего с коммунистами всех нападавших на него,  оказалось ошибочным.

Бывает и так, причем весьма часто, что скрытая ошибка заключена уже в условиях задачи. В качестве примера сошлемся на знаменитый древний парадокс «Лжец», известный в нескольких вариантах. Исторически первый и самый "незамысловатый" из них, автором которого считается древнегреческий философ Евбулид из Милета, в его собственном изложении выглядит примерно так:

Критянин Евбулид сказал: «все критяне лжецы»;
Эпименид сам критянин;
Следовательно, он лжец;
Но если он лжец, то сказанное им – ложь; значит, критяне не лжецы;
Эпименид сам критянин;
Следовательно, он не лжец, и то, что «все критяне лжецы», – истина.

На первый взгляд, обнаружить ошибку в приведенных выше рассуждениях достаточно просто: из того, что утверждение «все критяне лжецы» – ложь, НЕ СЛЕДУЕТ, что «противное» ему утверждение «ВСЕ критяне не лжецы» – истина. На самом деле из ложности первого утверждения следует лишь то, что НЕ ВСЕ критяне являются лжецами. При этом ничто не "запрещает" быть лжецами НЕКОТОРЫМ из них, в том числе и Эпимениду. Именно таким способом "опровергает" Евбулида, в частности, А. Уёмов:

«Пусть утверждение «Все критяне лгуны» – ложно. Это общеутвердительное суждение А. Однако, в соответствии с законом исключенного третьего, из ложности А никоим образом не следует, что критяне говорят правду, т. е. истинность Е (Ни один критянин не лгун). Может быть, какие-то критяне не лгуны, и тогда парадокс исчезает».

Однако при таком поверхностном объяснении парадокса «Лжец» остается не раскрытой другая ошибка Евбулида, позволяющая дать иную, причем более "сильную" формулировку «Лжеца», которую, наряду с первой, приводит в своем словаре-справочнике Н. Кондаков (правда, назвав ее при этом «не вполне корректной»):

«Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун».

Действительно, предположим, что тот же Эпименид просто сказал: «Я лжец». Это правда или ложь? Ниже будет показано, что справедливо второе. Дело в том, что понятия «лжец» и «правдивец» (т.е. тот, кто всегда говорит только правду) НЕ ЯВЛЯЮТСЯ двумя "физическими" значениями истинности ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ переменной, как их часто трактуют, а относятся к двум РАЗНЫМ «дихотомиям». Первая из них (обозначим ее буквой В) делит всю предметную область на класс лжецов («и»), лгущих ВСЕГДА, и класс всех тех, которые не лгут всегда («л»). Причем в этот последний "мегакласс" входят и те, которые лгут только иногда, и упомянутые выше правдивцы, и даже, наконец, каждый, кто (или что) НИЧЕГО НЕ ГОВОРИТ ВООБЩЕ. Точно так же вторая «дихотомия» (С) делит предметную область на классы правдивцев («и») и всех остальных («л»), включая, разумеется, и лжецов, но далеко не только их одних. Соответственно, отношение между переменными В и С, характеризующими одноименные «дихотомии», можно представить с помощью такой таблицы истинности:

В   С   В5С                (10.3)
и    и     Л               
и    л     И               
л    и     И               
л    л     И               

Смысл первой строки данной таблицы заключается в утверждении, что нельзя быть лжецом и правдивцем одновременно. Две следующие строки "разрешают" существование лжецов и правдивцев "по отдельности". И, наконец, последняя строка данной таблицы допускает, в частности, существование тех, кого нельзя отнести ни к лжецам, ни к правдивцам, так как они в своих утверждениях "чередуют" правду с ложью. На самом деле именно к этой категории относится подавляющее большинство людей, но Евбулид упустил ее из виду в своих рассуждениях, что, собственно, и привело к возникновению парадокса. Чтобы это доказать, произведем еще одну «дихотомию» (А) предметной области на классы «Эпименид» (значение «и» переменной А) и «не Эпименид» (т.е. все остальные предметы, кроме Эпименида, значение «л» той же переменной). Тогда утверждение Эпименида «Я лжец» можно представить в виде такой "полутаблицы":

А   В   А4В                (10.4)               
и    и     И
и    л     Л

Далее будем рассуждать так. Допустим, Эпименид сказал правду, т.е. структурный элемент «ии» в "полутаблице" (10.4) действительно принадлежит «универсуму», а элемент «ил» – «антиуниверсуму». Тогда, по определению, Эпименид – НЕ лжец, поскольку лжецы лгут ВСЕГДА. Однако сказанное им прямо ПРОТИВОРЕЧИТ данному выводу, откуда следует, что приведшее к этому противоречию предположение об истинности сказанного Эпименидом ЛОЖНО. И, следовательно, Эпименид НЕ ПРАВДИВЕЦ, так как правдивцы, по определению, не лгут НИКОГДА.

Идем дальше. Из ложности "полутаблицы" (10.4) вытекает, что истиной является какой-то один из оставшихся трех ее альтернативных вариантов:

А   В      1     2       3                (10.5)               
и    и     И     Л      Л
и    л     И     Л      И

Но первый вариант нереален, поскольку Эпименид, как ЕДИНСТВЕННЫЙ элемент "своего" класса, не может быть лжецом и не лжецом одновременно. Нереален также и второй вариант, поскольку классы «лжецы» и «не лжецы» вместе охватывают ВСЮ предметную область, и потому Эпименид просто НЕ МОЖЕТ НЕ БЫТЬ элементом какого-то ОДНОГО из них. Так что остается лишь последний, третий вариант, из которого (вместе с установленным выше фактом, что что Эпименид – НЕ правдивец) вытекает, что в «универсуме» находится только один из четырех структурных элементов со значением «и» переменной А – элемент «илл». То есть, мы пришли к выводу, что Эпименид – не только не правдивец, но и не лжец. О том, что данный элемент "разрешен" условиями задачи, свидетельствует последняя строчка таблицы (10.3). Вообще же, повторим, "наш" Эпименид подобен в этом отношении подавляющему большинству человечества. И только "благодаря" существованию таких как он кто-то может (хотя бы в шутку) сказать о себе: «Я лжец!». Ибо ни "чистый" лжец, ни "чистый" правдивец просто "физически" не может это сделать, так как первый тем самым сказал бы правду, а второй солгал бы.

4. "ФИЛОСОФСКОЕ" ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, источник парадокса «Лжец» – слишком далекая от реальности "модель человека", положенная в основу его посылок. Вообще за большинством логических парадоксов скрывается то или иное отклонение теории от реальности; поэтому лучшее средство "борьбы" с парадоксами – совершенствование теории. Хотя в некоторых "парадоксальных" случаях отрыв от реальности настолько велик, что возврат к ней уже вряд ли возможен. И, представляется, как раз к такому безнадежному случаю относится еще одна, самая "крутая" версия «Лжеца», с которой в основном и носятся логики. В изложении Хавьера Фресана, автора книги «Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы», эта версия выглядит так:

«…вложив в уста Эпименида слова «эта фраза ложна», мы получим настоящий парадокс. В самом деле, предположим, что эта фраза истинна – в этом случае она должна выполняться, то есть быть ложной. Но если эта фраза ложна, то она должна быть истинной, так как она относится к себе самой. Если она истинна, то она ложна, если она ложна, то истинна. Это нарушает закон исключенного третьего, согласно которому любая фраза является истинной или ложной, и принцип непротиворечивости, который гласит, что обе эти ситуации не могут происходить одновременно».

Но если «Лжец» в данном его варианте и впрямь угрожает разрушить самые основы логики, то, очевидно, это касается совсем не той ПРИКЛАДНОЙ логики, о которой здесь идет речь, предназначенной для формального представления и непротиворечивой классификации КОНКРЕТНЫХ свойств конкретных вещей. Для этой последней логики закон исключенного третьего сводится к утверждению, что КАЖДАЯ мыслимая ситуация с "участием", подчеркнем еще раз, КОНКРЕТНЫХ вещей может и ДОЛЖНА быть классифицирована либо как "физически" ВОЗМОЖНАЯ ("истинная", принадлежащая «универсуму»), либо как "физически" НЕВОЗМОЖНАЯ ("ложная", принадлежащая «антиуниверсуму»), «третьего не дано». Для ТАКОЙ логики относящееся к самому себе утверждение «эта фраза ложна» (равно как и "опровергающее" его утверждение «эта фраза истинна») совершенно БЕССОДЕРЖАТЕЛЬНО и потому просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ как объект логического анализа.

Словом, ПРИКЛАДНАЯ логика трактует свои фундаментальные законы как ПРЯМОЕ отражение в нашем сознании и ПОДсознании фундаментальных законов "физической" реальности. Даже если речь идет о таких не существующих в реальности "объектах" как кентавры и русалки, коль скоро они МЫСЛЯТСЯ существующими в "нашем" пространстве и времени (а мыслить их как-то иначе мы попросту неспособны). Разумеется, это отражение весьма несовершенно с точки зрения его подобия "оригиналу", будучи ограниченным тесными рамками пресловутого здравого смысла. Но, во-первых, сами эти рамки постепенно раздвигаются под влиянием перемен в обыденном сознании, обусловленных внедрением в нашу повседневную практику плодов научно-технического прогресса. А во-вторых, для отражения и осмысления определенного "сегмента" объективной реальности никакого иного средства кроме логики всё равно не существует. Поэтому ее "альтернативой" в этом "сегменте" могут быть лишь предрассудки, домыслы и эмоции, зачастую толкающие людей на неразумные, иррациональные, вредящие им самим поступки. Причем нередко это происходит не спонтанно, а под целенаправленным психологическим воздействием извне. Особенно разительные примеры такого рода преподносит политика. Так, у истоков практически всех современных религиозных, межэтнических, идеологических конфликтов стоят зацикленные на жажде власти мерзавцы, единственным "талантом" которых является способность демагогией, лестью и грязной клеветой доводить массы людей до состояния невменяемости. При том, что уже одной лишь их нарочито-истерической "адреналиновой" риторики вполне достаточно, чтобы любой мало-мальски вдумчивый наблюдатель понял, с кем он имеет дело. Поэтому их легко можно было бы нейтрализовать еще на ранней стадии их "политической деятельности", если бы система народного образования была "настроена" на воспитание культуры КРИТИЧЕСКОГО мышления, предполагающего способность индивидуума оценивать степень ЛОГИЧНОСТИ адресованных ему призывов. В одном из своих докладов, посвященных переходу к НЭПу, Ленин, рассуждая о перспективах советской демократии, назвал в числе главных ее врагов безграмотность:

«…пока у нас есть в стране такое явление, как безграмотность, о политическом просвещении слишком трудно говорить. Это не есть политическая задача, это есть условие, без которого о политике говорить нельзя. Безграмотный человек стоит вне политики, его сначала надо научить азбуке. Без этого не может быть политики, без этого есть только слухи, сплетни, сказки, предрассудки, но не политика».

Но, как всем хорошо известно, «слухи, сплетни, сказки, предрассудки», а также просто откровенная ложь вполне успешно распространяются и с помощью прессы. Поэтому знание азбуки – лишь необходимое ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ условие преодоления ЛОГИЧЕСКОЙ безграмотности, лишающей людей способности отличить домыслы и демагогию (хоть в устной, хоть в печатной форме) от объективной информации. Однако воспитание такой способности – не в интересах «сильных мира сего», власть которых над людьми испокон веков и по сегодняшний день зиждется на тотальном контроле над их сознанием. То есть, по сути, на СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛЖИ.

Это было ясно, кстати, и общепризнанному «отцу» логики Аристотелю, который и взялся-то за ее разработку всё из-за той же… политики. Тот факт, что она уже тогда была «грязным делом», Аристотель запечатлел в следующем анекдоте. Мать просила сына не заниматься политикой. Если ты будешь говорить правду, объясняла она ему, тебя возненавидят люди, а если будешь лгать, тебя возненавидят боги. На что сын возразил: если я буду говорить правду, меня будут любить боги, а если буду лгать, меня будут любить люди. А так как успех политика и в Древней Греции зависел не столько от "любви" богов, сколько от "любви" людей, тогдашними "политтехнологамии" была разработана целая "наука" завоевания этой "любви" ложью – т.н. софистика. Против нее и были направлены логические исследования Аристотеля, вознамерившегося, говоря высокопарно, сделать людей подобными богам в их неприятии лжи.

Правда, особых успехов на этом благородном поприще Аристотель, увы, не добился, а его главное достижение – силлогистика – на определенном историческом этапе даже сделалось, по выражению Гегеля, «предметом презрения». Что, конечно же, несправедливо. Хотя аналитические возможности собственно Аристотелевой силлогистики весьма ограниченны, она, по крайней мере, свободна от тех "теоретических" глупостей (кстати, непосредственно связанных с обсуждавшимся ранее «парадоксом материальной импликации»), на "основании" которых из числа правильных логиками были исключены четыре ее модуса: Bramantip, Darapti, Felapton и Fesapo. Неоспоримое достоинство Аристотелевой силлогистики заключается в том, что она построена на прочном фундаменте "классового подхода", способном нести на себе и гораздо более сложные и содержательные логические "конструкции". Вся силлогистика Аристотеля не выходит за рамки "трехмерных" таблиц истинности, далеко не исчерпывая при этом даже их, скажем так, небогатое содержание. Тогда как для моделирования реальных ситуаций, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО требующих скрупулезного логического анализа, нужны, как правило, таблицы значительно более высоких "размерностей". Но их использование для выяснения тех или иных конкретных вопросов, в том числе из области политики, – тема уже других работ. А «Ревизия логики» на этом заканчивается.