Механика по порядку-3. Два тела, одна сила

назад http://www.proza.ru/2016/02/15/78

Механика по порядку. Часть 3.
Два тела, одна сила.

Взаимодействие тел – происходит от того, что на них действуют 3-ьи (или 4-ые) тела.
Как, например, в пределах поля гравитации Земли на все тела действует сила тяжести, производимая Землёй.
Что же получается в итоге?

Глава1. Материальные точки. Нормальная связь.

Пусть тела Т1 и Т2, являющиеся материальными точками, контактируют друг с другом и на тело Т1 действует сила Fт(T1) (со стороны некоторого 3-ьего тела), направленная так, что вектор её проходит через тело Т2. Тогда, если Т2 имеет массу, то оно  создаёт связь для движения Т1, поэтому возникнет еще одна сила, действующая на Т1 – сила реакции опоры N(Т1,Т2), направленная противоположно Fт(T1). А вслед за этой силой, согласно 3-ему закону Ньютона, возникнет и сила, действующая на Т2 – вес тела Т1 P(Т2,Т1), который:

P(Т2,Т1)=- N(Т1,Т2) => |P(Т2,Т1)|=|N(Т1,Т2)|=N (ввели обозначение общего значения |P(Т2,Т1)| и |N(Т1,Т2)|) (1)

Т.к. в результате такого направления силы Fт(T1) , Т2 создаёт связь для движения Т1, то не может возникнуть ситуации dl(Т1)>dl(Т2).  А, поскольку к Т2 не приложена никакая сила со стороны 3-его тела, то не может возникнуть ситуации dl(Т2)>dl(Т1). Поэтому перемещения Т1 и Т2 на любом интервале времени равны:

dl(Т1)=dl(Т2) => a(Т1)=a(Т2), (2) =a (ввели обозначение общего значения a(Т1) и a(Т2)) (2)

где a(Т1), a(Т2) - соответственно ускорения тел Т1 и Т2
Применив теперь 2-ой закон Ньютона к каждом телу и учтя (2), получим:

a(Т1)=( Fт(T1)+ N(Т1,Т2))/m(Т1)
a(Т2)= P(Т2,Т1))/m(Т2)
( Fт(T1)+ N(Т1,Т2))/m(Т1)= P(Т2,Т1))/m(Т2) (3)

Направим ось координат мы y противоположно силе Fт(T1), тогда в проекциях (3) на эту ось мы получаем:

( -|Fт(T1)|+ N)/m(Т1)= -N/m(Т2) (3)

Решив же уравнение сиё относительно N, получим:

N=|Fт(T1)|/(m(T1)/m(T2)+1), (4)
 
Откуда общее значенье ускоренья тел:

a=-|Fт(T1)|/(m(T1)+m(T2)) (5)

Глава2. Материальные точки. Касательная связь.

Пусть тела Т1 и Т2, являющиеся материальными точками, контактируют друг с другом и на тело Т1 действует сила Fт(T1) (со стороны некоторого 3-ьего тела), направленная так, что вектор её проходит касательно поверхности соприкосновения точек.
(понятно, что это с точки зрения геометрии – нонсенс, но не с точки зрения физики, господа. Ибо в физике точка, хоть и касается другой, всегда находится с какой от 1-ой точки стороны.)
Тогда, если Т2 имеет массу, то оно  создаёт связь для движения Т1, поэтому возникнет еще одна сила, действующая на Т1 – сила трения Fтр(Т1,Т2), направленная противоположно Fт(T1). А вслед за этой силой, согласно 3-ему закону Ньютона, возникнет и другая сила тренья, действующая уже на Т2 от Т1 - Fтр (Т2,Т1), которая:

Fтр (Т2,Т1))=- Fтр (Т1,Т2) => |Fтр (Т2,Т1))|=|Fтр (Т1,Т2)| =T (ввели обозначение общего значения |P(Т2,Т1)| и |N(Т1,Т2)|) (1)

Т.к. в результате такого направления силы Fт(T1) , Т2 создаёт связь для движения Т1, то не может возникнуть ситуации dl(Т1)>dl(Т2).  А, поскольку к Т2 не приложена никакая сила со стороны 3-его тела, то не может возникнуть ситуации dl(Т2)>dl(Т1). Поэтому перемещения Т1 и Т2 на любом интервале времени равны:

dl(Т1)=dl(Т2) => a(Т1)=a(Т2), (2) =a (ввели обозначение общего значения a(Т1) и a(Т2)) (2)

где a(Т1), a(Т2) - соответственно ускорения тел Т1 и Т2
Применив теперь 2-ой закон Ньютона к каждом телу и учтя (2), получим:

a(Т1)=( Fт(T1)+ Fтр (Т1,Т2))/m(Т1)
a(Т2)= Fтр (Т2,Т1))/m(Т2)
( Fт(T1)+ Fтр (Т1,Т2))/m(Т1)= Fтр (Т2,Т1))/m(Т2) (3)

Направим ось координат мы y противоположно силе Fт(T1), тогда в проекциях (3) на эту ось мы получаем:

( -|Fт(T1)|+ T)/m(Т1)= -T/m(Т2) (3)

Решив же уравнение сиё относительно T, получим:

T=|Fт(T1)|/(m(T1)/m(T2)+1), (4)
 
Откуда общее значенье ускоренья тел:

a=-|Fт(T1)|/(m(T1)+m(T2)) (5)

Как видим, тот же самый результат, как и для нормальной связи тел.
Но всё-таки по природе сил есть тут отличие. Ведь сила тренья возникает, только если есть еще и нормальная сила, прижимающая тела друг в другу.
Но и это – далеко еще не всё. Ведь сила тренья еще и предел имеет. А именно, если

|Fтр(Т1, Т2)|=< mu*|N(T1,T2)| => |Fт(Т1)|=< mu*|N(T1,T2)|

то мы получим отсутствие проскальзывания тел по отношению друг к другу:

dl(T2)=dl(T1) => v(T2)=v(T1) => a(T2)=a(T1)

Но если же

|Fт(Т1)|> mu*|N(T1,T2)|,

то Т1 всяко получает ускоренье относительно Т2.

Глава 3. Материальные точки, предварительная скорость одного тела

Пускай также тело Т1 касается тела Т2, но у Т1 есть скорость (вместо силы) относительно Т2, а также и направленная туда, с какой тут стороны Т2 находится от Т1.
Тогда что же будет тут происходить?
Ведь в этом случае тоже, Т1, едва коснувшись Т2, получит отрицательное ускоренье ввиду возникновения реакции опоры силы, действующей на Т1 от Т2 - N(T1,T2) А эта сила по своей природе – упругости сила, которая и возникает ввиду его тут сжатия деформации Т2 возникновенья. Которая будет увеличиваться, в процессе торможенья Т1. (А значит, больше станет и реакции опоры сила, а также модуль отрицательного ускорения тела Т1. Но главное, что скорость Т1 тут в итоге будет падать, и притом ускоренно падать.
Ну а поскольку при этом также и разгон Т2 тут параллельно происходит. Ведь и на него, со стороны Т1, обратная (по закону 3-ему Ньютона) действует реакции опоры сила N(T2,T1) и причём вначале увеличивающаяся (по модулю) тоже. Но направленная также, как и скорость Т2, а поэтому эта будет создавать для Т2 положительное уже тут ускоренье. А это значит, что v (Т2) – будет увеличиваться ускоренно.
Так что ж произойдёт в итоге?
Поскольку v(Т1) (модуль скорости Т1) -  в процессе этом убывает от некоторого положительного значенья до 0, а v (Т2) (модуль скорости Т2)  – от 0 до положительного значенья возрастает, то в итоге в некоторый момент здесь наступит равенство этих скоростей по модулю.(и некоторому ненулевому их значенью) Ну а дальше что?

Тела не остановятся тут, понятно. Но прекратится тут дальнейшее нарастанье деформации их. И не только это, а деформации их начнут тут падать (то есть Т1 и Т2 начнут тут расжиматься, тогда как до этого они сжимались) Поэтому и опор реакции силы, а также ускорения обоих тел (по модулю) пойдут на спад
(Ведь кинетической энергии тут прекратилось сообщенье, и часть её в итоге – в (потенциальную) энергию упругости ушла. Вот тут и начинает энергия упругости высвобождаться. За счёт упругости силы (обе) по модулю будут уменьшаться и понятно, постепенно уменьшатся до 0.)
А поэтому теперь скорость Т1 начинает уменьшаться замедленно, а скорость Т2 – увеличиваться замедленно. Но главное модуль ускорения обоих тел тут убывает, и причём пропорционально силам N(T1,T2) и N(T2,T1), которые по модулю (в любой момент) равны. А это значит, что в некоторый момент эти ускорения, и сразу  оба, станут по модулю равны 0.

А это значит что? Что переходный тут процесс, наконец-то завершился, и тела – пришли тут к состоянию равновесья. И оба состоянья нам сопоставить возможно лишь с помощью законов сохраненья, а именно:
1)суммарного импульса системы сил (в ситуации начала переходного процесса (в которой еще было равновесье) и в его конце, то есть при достижении следующего состоянья равновесья.
Но этого закона нам ту недостаточно, т.к. он нам информации не даёт, как распределилась между телами их суммарная кинетическая энергия. Поэтому добавим:
2)закон сохраненья суммарной кинетической энергии системы тел (ведь непотенциальные силы (например, силы трения или сопротивленья воздуха) на тела системы по условию задачи не действуют совсем)

Что ж в итоге получаем?
Из решения системы уравнений следует такое:
V(Т2, S2)=v(T1,S1)/(v(T1,S1)/(1+sqrt(1+R(m)))*v(T1,S1)
V(T1,S2)=v(T2,S2)*(1+sqrt(1+R(m))
Где R(m)=m(T2)/m(T1)

(продолжение следует:
Далее разберём:
1.Мат. точка и мат. отрезок (разные случаи)
2.мат. отрезок и мат.отрезок. (разные случаи))