Апология неформальной логики, ч. 1

О ПОЛЬЗЕ АРИФМЕТИКИ

1. СУЩЕСТВУЕТ ЛИ НЕФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА?

Как будет показано во второй части данной статьи, одной из серьезнейших проблем современного общества является неумение и нежелание людей «включать логику», в частности, при определении своих политических симпатий и антипатий. Усугубляет ситуацию то обстоятельство, что сегодня нет даже сколько-нибудь подходящего "букваря" для преодоления повальной логической безграмотности. Существующие учебники логики для этой цели не годятся, поскольку их предмет ограничивается одной только ФОРМАЛЬНОЙ логикой, назначение которой, как ни парадоксально это звучит, ПРЯМО ПРОТИВОПОЛОЖНО вышеназванной цели. Формальная логика стремится ЗАМЕНИТЬ "живые" логические рассуждения «механическим», как справедливо заметил еще Гегель, выведением заключений из заданных посылок по формальным правилам логического вывода. Что же касается НЕФОРМАЛЬНОЙ логики, действительно неотделимой от "живого" логического мышления, то ее, по мнению большинства логиков, вообще… нет и быть не может. Например, один из них, А. Уёмов, прямо заявляет в своем учебнике «практической логики»:

«Термин “формальная логика” является плеоназмом, таким как “масляное масло”. Всякая логика формальна; если она претендует на то, чтобы не быть формальной, то она и не логика. Так, не является логикой так называемая “диалектическая логика” немецкого философа Гегеля и его последователей».

Но во всем согласиться с приведенной выше сентенцией не позволяет хотя бы то очевидное обстоятельство, что ПРАВИЛА тех же формальных логических преобразований могли быть выработаны только в результате обобщения практического опыта ЛОГИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ, накопленного, разумеется, еще ДО создания ФОРМАЛЬНОЙ логики. Поэтому можно даже сказать, что неформальная логика по отношению к логике формальной "вынужденно" выполняет функцию МЕТАЛОГИКИ, т.е. является ее содержательной, не формальной "теорией". Словом, если бы не существовало неформальной логики, то и формальная логика никогда не возникла бы, поскольку она сама – результат логического МЫШЛЕНИЯ. Которое, в свою очередь, ФОРМАЛЬНОЙ логике ничем не обязано, так как «механическое» манипулирование ее абстрактными объектами «НЕ ЕСТЬ МЫСЛЬ», по выражению того же Гегеля. Вот что он говорит об этом в своей «Науке логики»:

«Дедукция так называемых правил и законов, в особенности правил и законов умозаключения, немногим лучше, чем перебирание палочек разной длины для сортирования их по величине или чем детская игра, состоящая в подборе подгоняемых друг к другу частей различным образом разрезанных картинок. Поэтому не без основания приравнивали это мышление к счету и в свою очередь счет – к этому мышлению. В арифметике числа берутся… как нечто такое, что ни само по себе, ни в своих отношениях не есть мысль. Когда мы механически вычисляем, что три четверти, помноженные на две трети, дают половину, то это действие содержит примерно столь же много или столь же мало мыслей, как и соображение о том, возможен ли в данной фигуре тот или иной вид умозаключения».

Впрочем, здесь есть за что упрекнуть и Гегеля. Сравнением Аристотелевой силлогистики с арифметикой он, очевидно, хотел подчеркнуть "ничтожество" современной ему формальной логики. Но вышло это у него смешно, так как на самом деле арифметика является, по любым меркам, гораздо более значительным достижением «духа» (пользуясь терминологией самого Гегеля), чем вся гегелевская философия. То же самое можно сказать и о формальном методе вообще, независимо от конкретной области его применения. Изобретение способа находить верные ответы на огромную массу жизненно важных вопросов без излишних затрат умственных сил (тем самым сберегая их для решения "нестандартных" задач), путем одних только «механических вычислений», является, бесспорно, одним из самых замечательных достижений человечества.

Однако, повторим, необходимой предпосылкой этого и всех остальных достижений «духа» было, есть и будет умение хотя бы некоторых людей МЫСЛИТЬ логически правильно. Тем более странным и нелепым представляется тот факт, что сколько-нибудь систематическая выработка навыков логического мышления для большинства из нас начинается и… заканчивается в начальной школе, на уроках всё той же недооцененной Гегелем арифметики. После чего эти навыки подвергаются "эрозии" на уроках алгебры, где ученики впервые предметно знакомятся с формальным методом. И нередко, к сожалению, в итоге теряют способность логически мыслить.

2. ВСПОМНИМ АРИФМЕТИКУ

Занятно, что этот хронический дефект школьного образования нашел свое отражение в юмористическом рассказе А. П. Чехова «Репетитор». Его главному герою, гимназисту-старшекласснику Егору Зиберову, однажды случилось изрядно оконфузиться перед своим учеником Петей Удодовым и его отцом. Вот как этот эпизод описан в «Репетиторе»:

«…Учитель берет задачник и диктует:
– «Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?» Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.
– Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так… продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
«Странно… – думает он, ероша волосы и краснея – Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая…»
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
«Гм!.. странно… Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то»
– Решайте же! – говорит он Пете.
– Ну, чего думаешь? Задачка-то ведь пустяковая! – говорит Удодов Пете. – Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, – говорит он. – Ее с иксом и игреком решить можно…
– И без алгебры решить можно, – говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. – Вот, извольте видеть…
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было…» 

Причиной этого неприятного для  «Егора Алексеича» эпизода послужило то, что алгебра отучила его думать о СМЫСЛЕ производимых калькуляций. В результате он не удосужился спросить своего ученика и себя самого о смысле деления 540 рублей на 138 аршин, состоящем, очевидно, в определении СРЕДНЕЙ цены одного аршина купленного купцом сукна. Если бы он это понял, то не удивлялся бы, что результат деления получился с «остатком».

Скажем больше: вычислив этот «остаток» (равный 63/69), Егор Зиберов, быть может, и нашел бы путь к решению задачи. Он мог бы рассуждать, например, так. Если бы купец купил 138 арш. одного только ЧЕРНОГО сукна, то "средняя" цена одного аршина составила бы, естественно, ровно 3 рубля. Но каждый аршин синего сукна, купленный "вместо" черного, увеличивает цену всей покупки на 2 руб., а СРЕДНЮЮ цену одного купленного аршина – на 2/138 = 1/69 (руб./арш.). Достаточно сравнить этот результат с величиной «остатка», чтобы понять, что синего сукна было куплено ровно 63 аршина.

Однако мы решим эту задачу другим, еще более "примитивным" способом: не только без «икса и игрека», но и без «дробей». И сделаем это, разумеется, не ради чистого удовольствия, а для того, чтобы на данном элементарном примере наглядно показать, в чем состоит СУТЬ логического мышления, и чем оно принципиально отличается от ФОРМАЛЬНЫХ «механических вычислений». Поэтому мы, в отличие от Егора Зиберова, будем по ходу решения постоянно обращать внимание на смысл совершаемых арифметических «действий», т.е. будем указывать (как и принято в начальной школе), на какие вопросы отвечают результаты всех этих «действий». Вопрос нашего первого «действия» будет следующим:

1) Сколько денег потратил бы купец, если бы он купил все 138 аршин ТОЛЬКО ЧЕРНОГО сукна?
     3 руб./арш.*138 арш.= 414 руб.

Ответ на данный вопрос может, на первый взгляд, показаться никак не связанным с поиском ответа на вопрос задачи. Но на самом деле полученный здесь результат позволяет уже во втором «действии» найти то, что сделает совершенно прозрачными все последующие шаги решения. А именно, определить,

2) Сколько денег СЭКОНОМИЛ бы купец, если бы он купил все 138 аршин только черного сукна?
    540 руб. – 414 руб. = 126 руб.

Теперь, чтобы подойти вплотную к искомому решению, осталось лишь зафиксировать в третьем «действии» еще один факт, служащий ответом на совсем уже "детский" вопрос:

3) На сколько рублей один аршин черного сукна дешевле одного аршина синего?
    5 руб./арш. –  3 руб./арш. = 2 руб./арш.

Итак, мы имеем сумму 126 руб., на которую ВСЁ купленное купцом синее сукно дороже ТАКОГО ЖЕ КОЛИЧЕСТВА черного сукна, и знаем, что ОДИН аршин синего сукна дороже одного аршина черного сукна на 2 руб. Этих двух фактов достаточно, чтобы уже в четвертом «действии» ответить на половину вопроса нашей задачи:

4) Сколько аршин синего сукна купил купец?
    126 руб. : 2 руб./арш. = 63 арш.

Наконец, чтобы в пятом «действии» ответить на вторую половину вопроса задачи, осталось только вспомнить, что всего было куплено 138 аршин сукна. И, как нам уже известно, из них 63 аршина – синее сукно. Откуда вытекает ответ на последний интересующий нас вопрос:

5) Сколько аршин черного сукна купил купец?
    138 арш. – 63 арш. = 75 арш.

А теперь, для сравнения, решим эту же задачу алгебраическим методом, «с иксом и игреком». Пусть x – количество аршин купленного купцом синего сукна, а y – черного. Тогда все условия задачи могут быть представлены в виде следующей системы двух уравнений:

x + y = 138               
5x + 3y = 540

Обратим внимание на то, что при таком представлении условий задачи ее количественные параметры "теряют" (в отличие от арифметического подхода) свою размерность: теперь это уже не количество аршин сукна и рублей, а ПРОСТО ЧИСЛА. Благодаря чему ОДНИ И ТЕ ЖЕ алгебраические уравнения могут описывать самые разные "физические" обстоятельства: и расходы купца на покупку двух сортов сукна, и движение двух поездов между пунктами А и Б, и наполнение водой бассейна с двумя трубами, и т.д., в чем и заключается ФОРМАЛЬНЫЙ характер алгебраического метода.

Приступим к преобразованиям исходных уравнений. Вначале получим из первого уравнения выражение для у и подставим его во второе уравнение, чтобы преобразовать данную систему двух уравнений с двумя неизвестными в одно уравнение с одним неизвестным:

1) y = 138 – x
2) 5x +3(138 – x) = 540

Теперь займемся "поэтапным" решением полученного уравнения:

3) 5x + 414 – 3x = 540
4) 5x – 3x = 540 – 414
5) 2x = 126
6) x = 63
7) y = 138 – 63 = 75

Как видим, начиная с операции «раскрытия скобок», результат которой содержит, в частности, ответ на вопрос «первого действия» арифметического решения, процесс алгебраического решения в точности повторяет и все остальные «действия» арифметического решения. Но, в отличие от последнего, процесс алгебраического решения не требует сопутствующих рассуждений, чем, собственно, алгебраический подход и привлекателен.

3. НЕФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА КАК ЛОГИКА МЕХАНИЗМОВ

Отсюда может возникнуть "каверзный" вопрос: кому вообще нужны все эти логические рассуждения, если без них решать задачи намного проще? На что, однако, есть простой ответ: при всех неоспоримых достоинствах формального метода, область его применения небезгранична. Возьмем хотя бы ту же задачу о купце. Чтобы узнать, насколько она по тем или иным признакам "близка" или "далека" от других школьных задач, можно обратиться к формальной логике классов. Чтобы ее РЕШИТЬ с максимальной экономией умственных усилий, целесообразно воспользоваться ФОРМАЛЬНОЙ логикой чисел (алгеброй). Но, как показал А. П. Чехов на примере Егора Зиберова, при этом понимание "внутренней логики", или МЕХАНИЗМА ее решения будет искусственно затруднено. Тогда как уже сам процесс арифметического решения этой задачи "попутно" выявляет свой собственный механизм и "принцип действия", состоящий, как было показано выше, в следующем.

Общая цель всех арифметических вычислений по ходу решения задачи заключается в том, чтобы сделать ОЧЕВИДНЫМ ответ на поставленный в задаче вопрос, "скрытно" присутствующий уже в ее условиях. Процесс решения задачи состоит из нескольких последовательных шагов («действий»), на каждом из которых, начиная с первого, вычисляется и фиксируется в памяти некая новая информация, вытекающая С ОЧЕВИДНОЙ НЕОБХОДИМОСТЬЮ из условий задачи и результатов предыдущих «действий». И так вплоть до предпоследнего шага, результат которого позволяет на последнем шаге вычислений с такой же очевидной необходимостью получить в законченном виде искомый ответ на вопрос задачи.

Отметим в этой связи, что многие нестандартные, ТВОРЧЕСКИЕ задачи состоят именно в уяснении «внутреннего устройства и принципа действия» того или иного исследуемого либо проектируемого МЕХАНИЗМА любой природы, будь то, например, механизм передачи генетической информации от родителей к потомкам, устройство адронного коллайдера или механизм функционирования национальной экономики. И для решения ТАКИХ задач органичен как раз "арифметический", т.е. неформально-логический подход. Правда, в задачах "для взрослых", в отличие от школьных задач, обычно заранее НЕ ИЗВЕСТНО, вся ли информация, необходимая для ответа на все поставленные вопросы, содержится в исходных данных. Поэтому бывает так, что по ходу решения возникает потребность в той или иной дополнительной информации. Если, например, задача касается исследования некоего природного объекта, то это могут быть дополнительные экспериментальные данные, проливающие свет на тот или иной неясный вопрос его внутренней организации. Если же объектом анализа является некий технический или социальный проект, то тогда дополнительная информация может касаться, например, свойств дополнительного элемента проектируемой конструкции, не предусмотренного в первоначальном варианте проекта, но, как впоследствии выяснилось, необходимого для нормальной работы всей конструкции. Однако все эти "нюансы" не отменяют тот факт, что ЕДИНСТВЕННО продуктивным способом проектирования или исследования того или иного МЕХАНИЗМА является скрупулезное и последовательное, шаг за шагом, выяснение условий, характера и результатов отдельных актов взаимодействия между его составными элементами.

Интересно, между прочим, что условия и результаты таких актов взаимодействия могут быть выражены суждениями типа «если А, то В», неотличимыми по своей "грамматической" ФОРМЕ от т.н. УСЛОВНЫХ суждений, но при этом существенно отличающимися от последних по своему СОДЕРЖАНИЮ. Условное суждение фактически эквивалентно по своему "формально-логическому" содержанию т.н. ОБЩЕУТВЕРДИТЕЛЬНОМУ суждению, т.е. оно выражает отношение Ж1 или Ж2 между КЛАССАМИ А и В (об этом см. в «Ревизии логики», Соч. 1). В рамках же неформальной логики "грамматическая" форма «если А, то В» подразумевает под А некое СОБЫТИЕ, необходимым результатом которого является событие В. То есть, речь идет о т.н. ПРИЧИННЫХ СВЯЗЯХ между событиями.

Логики всегда признавали причинность "своей" темой, хотя все их попытки формализации причинных связей вплоть до сравнительно недавнего времени не приносили удовлетворительного результата. Именно такими попытками были, например, «индуктивная логика» Милля, «логика отношений» Поварнина и даже упомянутая в учебнике А. Уёмова «диалектическая логика» Гегеля. Но реальный прорыв на данном направлении "экспансии" формальной логики состоялся лишь с появлением КИБЕРНЕТИКИ, рассматривающей ЛЮБОЕ взаимодействие между составными элементами единого механизма как ОБМЕН ИНФОРМАЦИЕЙ между этими элементами. Впрочем, всё равно трудно поверить, что логику механизмов когда-нибудь удастся формализовать ПОЛНОСТЬЮ. Ведь это означало бы принципиальную возможность полной «роботизации» труда ученого, конструктора, изобретателя. Во всяком случае, сегодня до этого еще далеко; особенно – для такого специфического раздела логики механизмов как неформальная логика ПОЛИТИКО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА ОБЩЕСТВА, о которой и пойдет речь во второй части статьи.