Десятый вопрос. Как мечтать?

Сергей сидит за нашим круглым кухонным столом и сосредоточенно перемещает скатерть: то, сморщив ее поверхность, сдвигает руки, то поворачивает в разные стороны, то возвращает обратно. Мама спрашивает:
– Что это ты делаешь, сын?
– Да вот видишь, мама, – отвечает ей Сергей, – как скатерть ни крути, а хоть одна точка на ней останется неподвижной, то есть будет на том же самом месте, что и была. Даже если я буду на скатерти делать складки...
– А если ты скатерть совсем со стола снимешь?
– Вот именно! Если сниму, то таких точек не будет, а если она останется на столе, даже во много раз сложенная, но все-таки целиком стол покрывающая, все равно какая-то точка останется на прежнем месте – ну, если, конечно, толщиной скатерти пренебречь.
– Что-то я не пойму: что значит, что точка неподвижная?
– Ну вот представь, лежит себе скатерть ровненько в своем первоначальном положении. А ее края по периметру стола намертво закреплены, например, прочным обручем, они двигаться не могут. А сама скатерть будто резиновая, может бесконечно растягиваться, сжиматься и складываться. И если я возьму булавку и проколю какую-то точку на скатерти в ее первоначальном состоянии так, что на столе тоже останется след от булавки...
– Еще чего! – возмущается мама. – Зачем и стол и скатерть портить?
– Да нет, мысленно проколю! Так вот, как бы я потом скатерть ни крутил, обязательно найдется хотя бы одна такая точка, которая совпадет со своим первоначальным положением.
– Еще бы! Все точки под обручем останутся неподвижными!
– Они не считаются, только те, что внутри стола.
– Погоди-ка, погоди... – и мама тоже начинает крутить и мять скатерть.
За этим занятием я их и застаю.
– Динамические системы изучаете? – спрашиваю я.
– При чем тут системы? – спрашивает Сергей. – Мы тут занимаемся преобразованием замкнутой плоской области с неподвижной границей.
– Однократным преобразованием? – спрашиваю я.
– Да уж сто раз туда-сюда крутили! – отвечает мама.
– А значит, это вы изучаете динамическую систему. Именно ими я и занимался в университете, когда наконец-то понял, что же такое математика на самом деле.
– А что это такое: динамическая система? – спрашивает Сергей.
– Динамическая система – это математическая модель какого-то реального процесса, обладающая двумя свойствами. Во-первых, должен быть известен набор величин, который однозначно задает состояние системы. Во-вторых, должен быть известен закон, по которому можно однозначно определить состояние системы в любой момент времени, если известно ее начальное состояние.
– Первое свойство налицо, – говорит Сергей. – Вот стол конкретной формы и площади, на котором лежит скатерть, граница которой неподвижна. И скатерть эта целая, дырок нет. А вот второе свойство не выполняется, ни по какому закону мы ее не крутим, а просто как захочется.
– А был бы закон – была бы классическая динамическая система. Вот вам пример из книги "Катя и крокодил", когда крокодилу вкус скатерти понравился.
И я начинаю равномерно двигать всю скатерть к себе, потянув за ее свисающий около меня край.
– Остановись, пока не упала, – говорит мама. – Но ведь края-то тоже поехали! Значит, неподвижных точек уже нет!
– Это я для простоты. Края могут быть неподвижны, а могут двигаться. Так я наглядно показал непрерывную динамическую систему, когда координаты точек плоскости зависят от времени линейно и непрерывно. И такая динамическая система называется потоком. А пространство, в котором происходит перемещение всех ее точек, в нашем случае поверхность стола, называется фазовым пространством.
– Поток – это уже по-нашему! А если скатерть перемещается не непрерывно, а как у нас с мамой, раз за разом, шаг за шагом?
– То есть моменты времени дискретны? Тогда эти шаги называются итерациями и, если все перемещения подчиняются одному закону, то такая динамическая система называется каскадом. Вот смотрите: я нашу "резиновую скатерть" сжимаю по вертикали и одновременно растягиваю по горизонтали: раз, другой, третий...
– Ну, нашу скатерть ты не очень-то растянешь... А смысл в этом какой?
– О, тут целый мир смыслов! Когда я учился на кафедре динамических систем на механико-математическом факультете  МГУ, только еще зарождались целые направления в математике: теория хаоса, теория катастроф, теория бифуркаций... А руководил нашей кафедрой удивительный человек, мой Учитель Владимир Игоревич Арнольд. И благодаря ему я и осознал по-настоящему, что же такое математика на самом деле.
– И что же?
– Это – самый поэтический изо всех видов человеческой деятельности, всех видов творчества.
– Ну, ты скажешь! Что же в ней поэтического?
– Хотите, покажу, что? На примере нашей скатерти и простейшего каскада. Итак, если на ней начертить оси координат, то сжатие по вертикали и растяжение по горизонтали будут описываться формулами:
x`=2*x
y`=1/2*y,
то есть каждая новая точка приближается к горизонтальному центру скатерти и одновременно вдвое удаляется от ее вертикального центра. И если мы проследим шаг за шагом траекторию любой точки, то получим что-то вроде такой картинки:

 

– Ну и что это значит? – спрашивает мама, заскучав.
– А то, что одна точка: нулевая, центр координат, остается всегда неподвижной. Никуда не перемещается.
– Как будто мы ее иголкой закрепили, – говорит Сергей.
– Точно! Но красота начинается дальше. Сейчас мы чуть изменим движение нашей скатерти. Вначале движение каждой точки описывалось простыми формулами или, как говорят в математике, преобразование плоскости было линейным. А теперь я с каждым шагом буду скатерть не только сжимать и растягивать, но и немного поворачивать каждую точку. Например, по такому закону:

x`=2*x–c*(x;+y;)
y`=1/2*y+ c*(x;–y;).

Вблизи к центру скатерти эта добавка очень мала, поэтому она называется "малым возмущением". И вот примерно какая картинка получится для той же самой нашей ненулевой точки:

 

– Не математика, а каляка-маляка какая-то! – возмущается мама. Это все нам зачем? Где поэзия-то?
– Сейчас будет и поэзия, – не сдаюсь я. – Итак, был простой закон преобразования, но вмешалось возмущение, и движение стало сложным. А если еще "пошевелить" коэффициент C в формуле, то могут произойти удивительные события! Оказывается, поведение динамической системы, в частности, установившиеся с течением времени режимы, может качественно измениться даже при медленном изменении их параметров. Такие качественные изменения при микроскопических изменениях параметров в динамических системах как раз и изучает теория бифуркаций.
– А что это такое – бифуркация? – спрашивает Сергей.
– «Бифуркация», как ее определял Арнольд, означает «раздвоение» и употребляется как название любого резкого изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе: динамической, экологической, социальной...
– Наверное, наш "Финансовый Олимп" – это как раз и есть такая бифуркация. Только два дня на нем побыл человек, а параметры его жизни могут качественно поменяться! Путь человека с этого момента "раздвоился": налево – мир нищеты, направо – мир изобилия!
– Замечательное замечание! Да, так вот зачем я все это рассказываю, – продолжаю я. – Оказывается, при изучении бифуркаций можно найти такие объекты, которые никакое воображение представить не может! Точка не просто может описывать на фазовой плоскости сложную красивую траекторию, но эта траектория еще и может обладать особыми свойствами: притягивать к себе другие траектории. Такие объекты даже породили науку, не существовавшую еще во время моего студенчества: фрактальную геометрию.
– Про фракталы я слышал! Они описывают форму раковины или границы листа...
– О, не просто раковины или листа, а чего-то, что человеческий мозг сам создать не в состоянии! Вот определение: фрактал – это математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Этот термин ввел математик Бенуа Мандельброт в 1975 году, то есть как раз в тот год, когда я заканчивал учебу в Университете. Вот его слова: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря... природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности..."
– Вы меня утомили своими фракталами! Красота-то где? Где поэзия? – не выдерживает мама.
– Да вся твоя музыка фрактальна! – неожиданно поддерживает меня Сережа. – Музыкальные фразы повторяются в секвенциях – это самоподобие. Гармоничная мелодия – тоже самоподобие повторяющихся нот.
– Все, подвожу итог, – я вижу, что все мои заумные определения слушателей утомили. – Я делал свой диплом, пытаясь найти такой объект, который в динамических системах теоретически описывается, а практически увидеть его можно только с помощью компьютерных вычислений. У нас в то время была одна-единственная вычислительная машина на весь университет ЕС-1060, данные в которую вводились с перфокарт, а для того, чтобы получить полчаса времени работы на ней, записывались за две недели. Я знал свойства моего объекта и даже наконец-то смог представить его после долгих ночей ручных вычислений. На замкнутой области фазового пространства должен был получиться удивительно красивый рисунок невообразимой кривой. Но для этого надо было вручную перебрать огромное количество значений параметра. Программу-то я сделал и пятерку за диплом получил, а объект мой так и не нашел... А в том же 1975 году французский математик Бенуа Мандельброт точно таким же методом, какой я применил в дипломе, открыл совершенно потрясающее фрактальное множество. Его так и назвали: множество Мандельброта. Вот как оно выглядит:
 
– Как какой-то космический корабль, – уважительно говорит Сергей.
– И это –  одна из форм моей мечты в юности. Я мечтал открыть в математике такой объект, который никто не видел и не представлял. И так сильно мечтал, что в результате в нашем мире стал проявленным целый класс похожих объектов – фракталов. Для меня множество Мандельброта и сейчас остается самым прекрасным математическим объектом!
– Значит, мечта – нечто качественно новое, невиданное? – спрашивает Сергей. – В конечном счете – не проявленное?
– Конечно! – соглашается, наконец, и мама. – А если это нечто уже проявлено и на него можно полюбоваться, как на множество Мандельброта, то это уже не мечта, а цель. Например, ты себе можешь поставить цель разработать на компьютере программу и это множество построить.
– А как же о таких объектах мечтать, которые без математики или чего-нибудь другого и увидеть невозможно?
– Операционную часть ответа (то есть, что делать надо) мы уже давным-давно получили: почаще летать на крыльях воображения там, где ты еще никогда не летал и искать то, что тебе понравится. И в результате может родиться что-то вроде "математической теории закатов".
– Да как же я прикажу воображению отличить новое от того, что кто-то уже сделал в нашем мире проявленным? Как я сам отличу проявленное от не проявленного?
– Сам подумай. То, что в жизни так или иначе проявлено, чем характеризуется?
– Сейчас подумаю... Проявленное – значит, то, что уже входит в старый опыт, мой или чей-то еще... А значит, меня к этому уже проявленному будет подталкивать мое эго!
– А как подталкивать?
– Оно будет меня оберегать от не проявленного! Когда появится новая игра или угроза нового осознания, говорить что-то вроде: "Я это уже знаю, и это мне не интересно!". То есть, будет проявлять гордыню!
– Вот тебе и ответ на вопрос, как мечтать о не проявленном...
– Значит, перед полетом на крыльях воображения к моей мечте мне надо задать себе программу смирения! Надо сказать полю чистого изобилия: прими меня в игру!
И на этом ответ на самый "взрослый" вопрос на сегодняшний день уже можно считать полученным для того, чтобы записать его в Ответную тетрадь.


Десятый вопрос:
КАК МЕЧТАТЬ?

Ответ:
ПОЧАЩЕ ЛЕТАТЬ НА КРЫЛЬЯХ ВООБРАЖЕНИЯ ТАМ, ГДЕ Я ЕЩЕ НИКОГДА НЕ ЛЕТАЛ И ИСКАТЬ ТО, ЧТО МНЕ ПОНРАВИТСЯ.

А как я отличу проявленное от не проявленного?
ПЕРЕД ПОЛЕТОМ НА КРЫЛЬЯХ ВООБРАЖЕНИЯ К МОЕЙ МЕЧТЕ МНЕ НАДО ЗАДАТЬ СЕБЕ ПРОГРАММУ СМИРЕНИЯ.


;
Новая игра. Как мечтать?

Сергей, конечно, у нас практик. И он привык все теоретические наши результаты сразу апробировать в новой игре. Но, раз мы привыкли новые игры начинать вместе, то поначалу он снова прибегает к помощи папы как третьей силы.
– Людям будет трудно объяснить, что мечты – это не квартиры и автомобили, а то, чего еще никто никогда не видел, – говорит он. – Но это на будущее. А пока я хочу тебе, папа, помочь. Поиграем в игру, как будто мечта у нас общая!
– Ну что же, поиграем, – соглашаюсь я, заинтригованный.
– Ты сказал, что свой дипломный объект ты так и не нашел. Понятно, что тогда ты жил в мире нищеты: все ресурсы, в том числе и компьютерное время, были тогда ограничены. Но сейчас-то другое время! У каждого из нас по ноутбуку, мощность у них будь здоров... Короче! Игра будет такая: ты для меня будешь поле чистого изобилия со своим не проявленным дипломным объектом. А я смиряю свою гордыню и поищу этот объект на крыльях своего воображения!
– "Вот так номер, – сказала бабушка," – цитирую я Зощенко. – Ну что же, класс! В такую игру мы еще не играли!
– Что мне от тебя понадобится: – говорит деловым тоном Сергей, – название твоего диплома, название объекта и те параметры, которые его определяют.
– Отвечаю по пунктам, – говорю, – диплом назывался "Численное исследование поведения гомоклинической точки пересечения устойчивых многообразий на плоскости". Объект, который я искал: геометрическая форма выходящей из неподвижной точки с координатами (0;0) сепаратрисы (устойчивого многообразия) динамической системы. А система эта как раз и описывалась тем преобразованием точек плоскости, которое я уже показывал вам с мамой:
x`=2*x–c*(x;+y;)
y`=1/2*y+ c*(x;–y;).

Услышав такие непривычные слова, как сепаратриса и гомоклиническая точка, Сергей, похоже, дрогнул, но не отступил.
– Класс! В такую игру я еще не играл! – говорит он, проглотив комок. – Ну-ка, папа, прими меня в эту игру и объясни все по-человечески!
– Ну хорошо, смотри. Когда преобразование было линейным, без возмущений, все точки на оси Y стремились притянуться к неподвижной точке (0;0), а все точки на оси X, наоборот, стремились от этой точки убежать. Эти оси и были при линейном преобразовании сепаратрисами, устойчивыми многообразиями: входящей и выходящей.
– Это пока понятно, – говорит Сергей.
– А когда мы применили к преобразованию возмущение, наши сепаратрисы изогнулись: ось X вверх, а ось Y – вправо. Помнишь, как на картинке ось X превратилась в спираль?
– Если так, тогда они могли бы где-то в северо-восточном квадранте пересечься! – высказывает догадку Сергей.
– Вот! Это и была тема моего диплома. Найти такой параметр возмущения C, чтобы сепаратрисы пересеклись, и исследовать, что с ними будет после пересечения. А точка этого пересечения, кстати, как раз и называется гомоклинической.
 
– Кто же такую задачу придумал?
– Анри Пуанкаре. Он привел первое математическое описание хаотического поведения динамической системы, связанного с гомоклиническими орбитами:
"Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, то эти пересечения образуют нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями. Ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить.
– А что именно ты найти-то не смог?
– А вот как раз такой параметр C, чтобы мое преобразование соответствовало динамической системе Пуанкаре. И в конечном счете эти фигуры нарисовать – не в воображении и не от руки, а, как множество Мандельброта, точными компьютерными вычислениями.
– Да сейчас стандартные средства, например, Excel, легко могут такую задачу решить!
– Ну вот и реши, раз для тебя так все просто. Только если тебе интересно, а не через силу.
Сергей забирает листочек с формулами и идет к своему ноутбуку. А мы отправляемся спать. И мне начинает сниться какой-то цветной серпантин, который волнами ложится на пол нашей комнаты...
А в три часа ночи нас с мамой будит торжествующий крик Сергея:
– Папа, нашел, нашел! Смотри, какая красота получилась! – и показывает мне экран. А на экране – вот что:

 

– Смотри, мы нашли то, чего еще никто не видел! – восхищается Сергей. Оказывается, у нее еще и петля вблизи нуля!
– Как это у тебя получилось? – я не верю своим глазам. – Так вот о чем говорил Пуанкаре, что он этого и представить не может!
– Ты посмотри, какая она сложная в увеличенном масштабе! – ликует Сергей.
 

И вправду, увидеть то, чего еще никто в мире не видел, доводится не каждый день!
– Я просто тщательно подбирал параметр C, и вдруг на значении C=0,22965 поймал момент перехода точек в отрицательную зону оси X! А дальше было просто.
– Да, ощущение от твоего подарка непередаваемое! – говорю я. На лице Сергея счастливая улыбка.
– Но загадочный объект, который у тебя проявился из поля чистого изобилия, хоть и прекрасен, а все-таки не моя мечта!
– Это почему же? – сразу встает на защиту своих результатов Сергей.
– Да потому что, как утверждал еще Пуанкаре, у сепаратрисы нет пересечений с самой собой, а у тебя – сколько угодно!
– Верно... – растерянно говорит Сергей, рассматривая картинку на своем ноутбуке. – А в чем же моя ошибка?
– Никакой ошибки у тебя нет. Ты путешествовал на крыльях воображения в поле чистой потенциальности, среди никем не виданных объектов, и нашел то, что тебе больше всего понравилось. Можно сказать, нашел свою мечту. А не мою.
– Так почему же у меня так получилось?
– Потому что ты исследовал не точки самой сепаратрисы, а точки, близкие к ней. С каких точек ты начинал?
– Ну... приблизительно их рассчитал...
– Вот тебе и ответ! А когда найдешь эти точки точно, чтобы они выходили из нулевой точки, получится снова спираль.
– Ладно! – отвечает Сергей. – пересчитаю.
Времени у него уходит на пересчет не так много, и в результате он показывает нам новую картинку:
 
– Вот что получается с моим подобранным коэффициентом. Просто спираль...
– Зато теперь я вижу перед собой точную картинку моего диплома! – радуюсь я. – Молодец!
– Теперь уже у меня появилась мечта, – говорит Сергей. – Я ее найду, твою... нет, теперь уже мою гомоклиническую точку!
– А ты сам почему ее найти не хочешь? – обращается ко мне мама довольно ехидно. – Теперь ребенок за тебя мечтать будет?
– Какой же я ребенок? – смеется Сергей. – А правда, папа, ты уже не хочешь свою мечту осуществить? Сорок с лишним лет назад была у тебя мечта – и куда она подевалась?
Конечно, любимые мои провокаторы, как две "третьих силы", подталкивают меня к тому, чтобы я сам выходил на связь с полем чистого изобилия. А я что – я не против! В такую игру мы еще не играли!
И вот сижу я ночью за компьютером час, сижу другой... Интересно же! Никак моя кривая не хочет разматываться, пересекая вертикальную ось, при любых вариациях параметра в улитку сворачивается. И тут меня осеняет: раз переменные в преобразовании неравноправные, и я хочу на каком-то шаге преобразования ось Y пересечь, то надо поставить для X и Y просто разные коэффициенты!
И начинаю я их подбирать, коэффициенты эти.
И что вы думаете? Не проходит и получаса, а моя сепаратриса пересекает-таки ось Y! И я реально вижу то, что Пуанкаре, а за ним и Арнольд воображали, но в реальном мире проявить не смогли! И я не смог сорок лет назад.
А с помощью поля чистого изобилия смог!
Вначале я вижу рисунок в общем плане:

 
А потом с наслаждением увеличиваю и сжимаю его, чтобы рассмотреть мой объект повнимательнее:

 
Для того, чтобы мой результат стал по-настоящему эмпирическим, я напишу здесь окончательную формулу преобразования и подобранные коэффициенты. А вдруг кто-то из читателей тоже захочет поиграть и полетать в поле чистого изобилия на своих крыльях воображения в области фрактальной геометрии?

x`=2*x–c1* (x;+y;)
y`=1/2*y+ c1* (x;– c2*y;),
где c1=0,31; c2=0,463.

...И вот смотрим мы на то, что сорок лет ждало нас в поле чистого изобилия в не проявленном состоянии, а вот только сейчас проявилось от того, что Сергей, а вовсе не я, смирил гордыню и взялся за новую игру! Смотрим и так ясно осознаем, что мечтать-то оказывается просто!
Надо просто делать это смиренно и бесстрашно.


Определения, аксиомы и выводы:

1. Динамической системой называется математическая модель реального процесса, когда известен закон, по которому можно однозначно определить состояние системы в любой момент времени, если известно ее начальное состояние.
2. Динамическая система называется потоком, когда координаты точек плоскости зависят от времени линейно и непрерывно. Динамическая система называется каскадом, когда координаты точек плоскости зависят от времени дискретно.
3. Пространство, в котором происходит перемещение всех точек динамической системы, называется фазовым пространством.
4. Бифуркация – это «раздвоение»; употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе: динамической, экологической, социальной...
5. Математика – это самый поэтический изо всех видов человеческой деятельности, всех видов творчества.
6. Финансовый Олимп" – это бифуркация процесса личностного развития человека.
7. Мечтать просто: надо это делать смиренно и бесстрашно.

Тезисы "Финансового Олимпа":
28 тезис: Полет на крыльях воображения. Медитация и автописьмо (репортаж из будущего).