Фракталы во сне и наяву

С тех пор, как математик Франсуа Мандельброт выпустил в 1976 году свою нашумевшую книгу «Фрактальная геометрия природы» термин «фрактал» не сходит с уст практически всей интеллигенции мира. А после того, как этой темой заинтересовались и многие философы мира
(которые в математике сейчас фактически не бельмеса, это ведь вам не 17 век, когда всяк математик – также был философ, а также и обратно.
(и хороший тут пример философ Рене Декарт (декартову координат систему который изобрёл), Блез Паскаль ну и, конечно же, Исаак Ньютон.("Математические начала натуральной философии" который написал, чем и навеки прославил своё имя))
Ну а что сейчас? Философ всякий, как правило, больше на беллетриста тут похож.),
так сразу же наступил фрактальный бум.
Который тут привёл к чему? Что интеллигентная общественность мира исчерпывающего понятия фрактала не имела. (а так, лишь приблизительно его она понимала.)
А отсюда что? Про фракталы стали складываться всякие сказки и легенды.

Ну вот, например, одна из них: фрактал – это дерево, кровеносная система, сеть дорог.
И по этой вот легенде как-то спорил я со своим знакомым, философом, кандидатом философских наук. И он тоже не понимал, что фрактал – аналогичен бесконечному ряду, у которого, возможно, есть предел. (А поэтому все предыдущие примеры – это лишь приближения реального фрактала, то есть конечные «суммы» этого бесконечного (но периодичного, в какой-то степени) ряда (операций).)
И именно бесконечность фрактала (как динамической, а не статической сущности) и даёт такую необычную размерность для него, дробную. Конечные же приближения фрактала имеют обыкновенную, целую, размерность.

Теперь мы переходим к следующей фазе разбирательств.
Возьмём распространённое определение понятия фрактала:
«Фракта;л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, …»

Стоп, а разве множество – это не математическое чисто понятие? И значит, есть еще и нематематические множества? Абсурд, конечно, это.

«… обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, …»

Стоп, но разве может множество само по себе со своею частью (подмножеством своим то есть) совпадать? И как подмножество его для этого нам определять? И как, вообще-то, нам тут понимать совпадение множества (в целом!) с его частью? Как равенство множества подмножеству своему? Увы, по определению равенства множества ну никак вот это не выходит!

Но тут понятно однозначно: чтобы множество (в какой-то степени) стало бы себе подобно, на нём следует отношение порядка как-то нам задать.
(ведь изначально множество – вовсе не строка, а элементов набор хаотичный (на котором совершенно нет порядка! И, стало место каждого элемента в нём совершенно не определено. А поэтому о каком подобии (в нём) при этом можно говорить?))
Но вот пример вам множества такого, на котором точно есть порядок: 123
(я выложил множество в строку, поэтому порядок на множестве точно задан)
Но как же в таком множестве нам достичь самоподобия? А задать нам шаг преобразования его в следующую его ступень. Например, такой:  1->123, 2-> 123, 3->123.
Тогда исходное множество преобразуется в 123123123, а в следующей ступени в 123123123123123123123123123.

Отсюда вывод: бесконечное самоподобие множества получено быть может бесконечным повтореньем шага преобразования.
(Это заодно есть и определение понятия «самоподобие множества» (причём не привычного, статического, а нового, динамического, то есть (дискретной тут) последовательности статических множеств): множество самоподобно, если более сложное его состояние может быть получено из более простого его состояния путём n-кратного применения к последнему правила преобразования (данного фрактала = фрактального правила))

А если шаг преобразования выберем другой, например, вот этот: 1->123, 2->231, 3->312, то последовательность фрактала состояний будет тут уже поинтересней:
1->123 –> 123231312 -> 123231312231312123312123231.
(Кстати, шаг преобразования может состоять из нескольких операций, и не обязательно все символы строки вводить в преобразование, достаточно и одного. А строка может быть не обязательно линейной, но и разветвлённой. Но во всех этих случаях мы получим что? Структуру, причём дискретную.)

Но казалось бы, фрактал здесь разве получили? Конечно, но это 1-мерный фрактал, а не 2х-мерный или 3х-мерный, к которым все привыкли. И к тому строковый, а не геометрический.

«… то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).»

Чтоб нам о форме множества говорить, нам следует работать с множеством уже континуальным, а именно с геометрическим множеством, и не обязательно 2х- или 3х-мерным. Например, возьмем отрезок, поделим его на 3 равных по длине отрезка и из них средний уберём. Вот вам шаг простейшего преобразования, который из отрезка делает фрактал, будучи последовательно применено бесконечное количество раз.

Кстати, если мы применяем шаг преобразования в прямую сторону, то мы разворачиваем фрактал (получая все более сложные состояния его) Но мы можем применять шаг (-правило) преобразования и в обратную сторону (к любому состоянию фрактала) Тогда мы будем сворачивать фрактал.
Понимая это, мы теперь можем доказывать самоподобие динамического множества путём преобразования более сложного состояния его в более простое.

И, кстати, задача определения фрактального правила исходя из заданного текущего состояния фрактала (то есть обратная фрактальная задача) - предоставляется (с точки зрения предметных наук, то есть кроме математики) более интересной!
(И при этом инверсного преобразования фрактала нам не избежать.)

Но главное тут то, что именно решение обратной той задачи - практическое применение имеет. А именно при сжатии (архивировании) данных.
Но это не относится к типовым художественным задач: например, сгенерировать фрактально натуральное изображение скалы или поверхности моря, какого-нибудь Но с некоторым, конечно, допущеньем. Ведь, чтоб скалу нам сразу получить или поверхность моря, нам надо бы какие-то домашние заготовки тут иметь. А они откуда?
Из твоей (или друзей твоих) истории решения прямых задач. Поэтому её и надо складывать всякий раз нам в базу данных.

В итоге мы получили такое определение фрактала: фрактал – это динамическое упорядоченное множество (структура, дискретная или континуальная), получаемое в результате последовательного применения постоянного правила усложняющего преобразования его к каждому текущему его состоянию.

P.S. Надо сказать, что идея самоподобия как правила, лежащего в основе всей природы, пришла к основоположнику ученья о фракталах, Б.Мандельброту, по-видимому, от идеи древних греков о золотом сечении. Которое заключается в том, что бОльшая часть целого относится к целому, как меньшая часть относится к большей части.
(отсюда получаем следующее уравнение:
х/1=(1-х)/х => x^2=1-x => x^2+x-1=0)
И именно основываясь на этом соображении греки древние и создавали 3х-мерные изображенья идеального (с точки зрения пропорций тела) человека. Например, Аполлона и Венеры Милосской.
Кстати, золотое сечение естественно (!) получается в изображении звезды (но именно 5-конечной), а также в ряде Фибоначчи (который он получил, решая задачу о размножении кроликов): 1,1,2,3,5,8,13,21 и т.д.

P.S.2: А также тут понятно, что, по задумке Мандельброта (ведь он береговую линию моделировал изначально):
1)исходный размер фрактала от шага к шагу неизменен, поэтому всякое текущее состояние фрактала - это лишь более подробное рассмотренье (то есть при более высоком разрешеньи) исходной (целевой) фигуры.
2)правило (порождения) фрактала - кусочная обязательно функция
(отсюда и прозвище его, фрактал, то есть кусочный)
3)правило фрактала - применяется не ко всему фрактала текущему состоянью, а к каждой тут текущей (и всё более мелкой, от шага к шагу) его части.

(Но последнее, разумеется, относится к геометрическим лишь фракталам.
Ну а для символьных, для более адкеватного их представленья надо нам бы предусмотреть от шага к шагу пересмотр масштаба их отображенья, в сторону, разумеется, его уподробненья: из в 1см - 5 км к с 1см - 1 км.
И выглядеть в результате это будет так примерно (для фрактала №2, приведенного в статье), и по шагам:
1)1->111(оптически "приблизили" объект)->123(резкость навели);
2)123->111222333 (оптически "приблизили" объект)->123231312 (резкость навели);
3)123231312->111222333222333111333111222 (оптически "приблизили" объект) ->123231312231312123312123231 (резкость навели))

вперёд http://www.proza.ru/2016/03/19/237