О монотонности, изотопах и экстремумах функций-2

назад http://www.proza.ru/2016/04/27/34

О монотонности, изотопах и экстремумах разных функций-2

При исследовании вопроса о направлении изменения значенья (то есть монотонности её) функции бинарной (а также полиарной, то есть много-аргументной) очень удобно также применять и другой тут инструмент, который называется (функции) изотопой.
Как получается она? Да очень просто: мы тут допускаем, что функции значенье постоянно, и например, равно тут k. Отсюда уравнение изотопы(для функции z=x*y) будет тут такое:
x*y=k => y=k/x (то есть функция «обратная пропорциональность»)

Из курса математики школьной мы все знаем, что функция «обратная пропорциональность» ведёт себя так:
[(D(k/x)=-D(x), k>0), (D(k/x)=D(x), k<0)]
Поэтому в 1-ой и 3-ей четверти данная функция будет возрастать, а во 2-ой и 4-ой – будет убывать. А изотопами её гиперболы будут.(одна другой тут выше (ну, или ниже))

Возьмём теперь бинарную функцию мы другую: z=x/y
Уравнение изотопы для неё тут выглядит вот так:
x/y=k => y=x/k (то есть как прямая пропорциональность)
И график изотопы тут выглядит как прямая. Но только такая, которая с увеличением |k| более пологая будет. Но при при увеличении |k| при  k>0 функция возрастает, а при k<0 функция убывает.
Отсюда и особенные линии (для данной функции) нам понятны:
При k= +infinity => y=+0,
При k=-infinity => y=-0,
При k= +0 => y=+ infinity,
При k=-0 => y=- infinity.

На этом об изотопах функций тему завершаем мы.
А теперь поговорим об экстремумах безусловных (то есть локальных) тут её (в отличие от экстремумах условных, о которых  в статье мы предыдущей говорили.)
И как они найдутся?

Возьмём мы для примера функцию такую (для которой точно локальный экстремум есть): z=x^2+y^2
Тогда тут полный дифференциал её таков:
Dz=2*x*Dx+2*y*Dy
Отсюда для экстремума локального нахожденья уравненье будет тут такое:
2*x*Dx+2*y*Dy =0 => x*Dx+y*Dy =0
Как нам найти решение его? (и причем при произвольных тут значениях Dx и Dy, в отличие от экстремумов локальных)
А сделаем мы так:
x*Dx+y*Dy =0 => x*Dx=-y*Dy
Отсюда и решенье: поскольку при значениях Dx и Dy произвольных левая часть тут правой может быть равна лишь при условьи x=0, y=0, то значения эти, x и y, и являются корнями данного уравненья. А поэтому нам функции этой локальный экстремум дают.

Но как бы нам установить,  какого вида этот вот экстремум? (минимум или максимум, возможно. И, как вариант, экстремум ложный.)
А нужно нам проверить, с какого знака на какой при переходе через данную точку (x=0, y=0)(причём при направлении движенья тут любом) меняет тут свой знак функции нашей полный дифференциал. (а если не меняет, то ложным этот экстремум будет)
Поскольку нам идти от этой точки (x=0, y=0) и на бесконечно малое приращенье, то в новая точка станет тут такая: x’=0+Dx, y’=0+Dy. Подставляя это в формулу для полного дифференциала, мы получим новое его значенье, то есть в новой точке (а поэтому и у него тут тоже красуется штрих:
Dz’= x’*Dx+y’*Dy = (0+Dx)*Dx+(0+Dy)*Dy= Dx^2+ Dy^2
Поскольку возведение в квадрат всегда даёт нам положительное значенье, то делаем мы тут вывод: при любых значениях Dx и Dy - Dz’>0, а значит, функция наша, выходя и экстремума точки, во всех тут направлениях возрастает.
А поэтому найденная нами точка (функции фазового пространства) – локальный минимум функции нашей.

Воодушевлённые успехом нашим, исследуем мы на экстремум локальный тут функцию другую, а именно такую: z=x*y.
И для неё, как мы все помним, полный дифференциал таков:
Dz=y*Dx+x*Dy
А уравнение для нахожденья локального экстремума её:
y*Dx+x*Dy=0
И оно, при произвольных, как и полагается для локального экстремума любого, значениях Dx и Dy, такое тут решение имеет: x=0, y=0.
(которое нам уже знакомо.
Но ведь функция-то (исследуемая) другая! Поэтому и «аукнется» нам оно, быть может, по-другому?)

Поэтому мы опять тут определить должны, какого же вида экстремум, найденный нами?
А для этого мы опять подставим  в полный дифференциал таке вот значенья:
x’=0+Dx, y’=0+Dy
Откуда и получим новое значенье нашего дифференциала:
Dz’=y’*Dx+x’*Dy = (0+Dy )*Dx+(0+Dx)*Dy = 2*Dy*Dx
Как нам его тут знак определить? Ну, разве что задать направление движения по фазовому пространству. И пусть оно такое будет (как всегда): Dy=k*Dx (где k – константа)
Тогда мы и получим тут такое:
Dz’=2* k*Dx *Dx =2*k*Dx^2
Откуда нам сразу же становится понятно, что
[(Dz’>0, k>0), (Dz’<0, k<0)]

А отсюда сразу же вывод: через точку (предполагаемого) экстремума переход из 3-ьей четверти (декартовой системы координат) в 1-ую четверть (что соответствует варианту k>0) даёт нам функции данной (в обе стороны) возрастанье, тогда как переход (через ту же точку) из 2-ой тут четверти в 4-ую уже (что соответствует k<0) даёт нам этой же функции (в обе стороны, от исходной точки, x=0, y=0) убывание уже.
А отсюда вывод: в случае 1-ом локальный экстремум минимумом будет, а в случае 2-ом тут максимумом уже.
А общий вывод будет тут таким: для данной функции (z=x*y) найденная точка (x=0, y=0) является экстремумом ложным.
Вот ведь даже как бывает!

Ну вот и всё, финита ля комедия тут (конечно, я шучу)
А если тут серьёзно, то я читателю заинтересованному (в данной теме) оставляю локального экстремума нахожденье  функции, например, такой: z=x/y