Глава i введение

§ 1. Предмет и методы механики сплошной среды
Предмет механики сплош- Механика сплошной среды — обширная
ной среды часть механики, посвященная движению
газообразных, жидких и твердых деформируемых тел.
В теоретической механике изучаются движения материаль-
ной точки, дискретных систем материальных точек и абсолютно
твердого тела. В механике сплошной среды с помощью и на
основе методов и данных, развитых в теоретической механике,
рассматриваются движения таких материальных тел, которые
заполняют пространство непрерывно, сплошным образом, и рас-
стояния между точками которых во время движения меняются.
Помимо обычных материальных тел, подобных воде, воздуху
или железу, в механике сплошной среды рассматриваются так-
же особые среды — поля: электромагнитное поле, поле излу-
чений, гравитационное поле (поле тяготения) и др.
Можно указать много разнообразных движений жидкостей,
газов и твердых деформируемых тел, с которыми мы встре-
чаемся при рассмотрении явлений природы и при решении
многочисленных технических задач.
Многими движениями деформируемых тел мы можем управ-
лять в необходимой степени, опираясь на повседневный эле-
ментарный личный опыт. Обыденные жизненные наблюдения
создают у нас чувство реальности и «здравого смысла», кото-
рое часто позволяет верно предсказывать и создавать нужные
нам механические эффекты.
Однако в сложных случаях требуется особое накапливание
и концентрация схематизированного опыта, требуются спе-
циальные методы теоретических и экспериментальных исследо-
ваний. Проведение подобных исследований привело к созданию
и развитию механики сплошной среды как науки.
Легко привести примеры, когда каждый из нас может сразу
указать способ решения важнейших практических вопросов
о движении деформируемых тел. Например, как перелить воду
из одного сосуда в другой, как сохранить теплый воздух внутри
помещения, как защитить себя от ветра и дождя и т. п. Вместе
е тем существует множество других вопросов, на которые можно10 Гл. I. Введение
дать ответы только на основании специальных знаний. Напри-
мер, какова скорость вытекания газа из отверстия в баллоне,
в котором газ находится в сжатом состоянии; как будет двигать-
ся в атмосфере воздушный циклон; как можно снизить воздуш-
ное сопротивление самолета или водяное сопротивление ко-
рабля; как построить телевизионную металлическую башню
высотой в 500 м, мост с пролетом между двумя ближайшими
опорами более двух километров; что произойдет с увеличением
или уменьшением диаметра воздушного винта на самолете; что
можно сказать о распределении давлений и о движении воз-
духа при взрыве бомбы и т. д. и т. п.
Отметим сразу, что существует весьма много вопросов и за-
дач, на которые мы еще не можем дать требуемого удовлет-
ворительного ответа с помощью известных нам эксперименталь-
ных и теоретических методов. Решение новых сложных проблем,
имеющих научное и практическое значение, и задач,5 ис-
следование которых подготовлено предшествующим развитием
науки, составляет в настоящее время предмет научно-исследо-
вательской работы.
Примерами новых актуальных проблем являются: снижение
сопротивления тел при движении в воде с большими, порядка
100 м/сек, скоростями; создание и удержание плазмы с темпера-
турой в миллионы градусов; выяснение особенностей поведения
материалов при больших нагрузках и больших температурах
(с учетом явлений пластичности, ползучести и т. п.); опре-
деление сил, действующих на сооружения при взрывах; созда-
ние гиперзвукового самолета для дальних пассажирских
полетов; объяснение общей циркуляции воздуха в атмосфере;
прогноз погоды; изучение механических процессов в растениях
и живых организмах; проблемы эволюции звезд, явлений, про-
исходящих на Солнце, и др.
Прогресс науки и техники в указанных направлениях тесно
связан и определяется исследовательской работой, тем не ме-
нее в настоящее время, наряду с точными научными данными,
в технике большую роль играет также развитый «здравый
смысл», талант, интуиция и механическое «чутье» конструктора
и инженера, которые можно развить в результате большого опы-
та. Не следует думать, что все строящиеся машины, самолеты,
корабли и т. п. могут быть рассчитаны и заранее проанализи-
рованы во всех деталях. В настоящее время многое из творений
техники делается так же, как викинги более тысячи лет тому
назад строили корабли. Тогда не существовало механики как
науки даже в зачаточном состоянии, между тем викинги строи-
ли корабли, обладавшие хорошими мореходными качествами.
Вместе с тем современная техника усложнилась настолько,
что теперь в технике уже нельзя обходиться без науки, без ис-§ 1. Предмет и методы механики сплошной среды 11
пользования накопленного и систематизированного опыта. Так
же как современное производство немыслимо без соответствую-
щей механизации, так же и развитие техники сейчас немыслимо
без опоры на созданную научную базу.
Проблемы механики сплош- Назовем некоторые наиболее существен-
ной среды ные разработанные проблемы механики
сплошной среды.
Проблема воздействия жидкости и газа на движущиеся в
них тела. Силы, действующие со стороны жидкости на тело,
определяются движением жидкости, поэтому изучение движе-
ния тел в жидкости непосредственно связано с изучением движе-
ния жидкости.
Особым стимулом развития этой проблемы послужили
технические задачи о движении самолетов, вертолетов, дири-
жаблей, снарядов, ракет, кораблей, подводных лодок; за-
дачи о создании различных двигательных приспособлений —
таких, как водяные и воздушные винты, и т. д. и т. п.
Движение жидкости и газа по трубам и вообще внутри раз-
личных машин. В этих вопросах основное значение имеют
законы взаимодействия жидкости с границами потока и, в част-
ности, величина сопротивления подвижных и неподвижных твер-
дых стенок; явления неравномерности в распределении скоро-
стей и т. п. Эти задачи имеют непосредственное значение для
проектирования газопроводов, нефтепроводов, насосов, турбин
и других гидравлических машин.
Фильтрация — движение жидкости сквозь почву и другие по-
ристые среды. Например, в почве постоянно наблюдается движе-
ние воды, которое необходимо учитывать при постройке фунда-
ментов различных сооружений (плотин, опор мостов, гидростан-
ций), при создании подземных туннелей и т. д. и т. п. Большое
значение фильтрация имеет в нефтяном деле.
Гидростатика — равновесие жидкостей и тел, плавающих
внутри и на поверхности жидкости; фигуры равновесия вращаю-
щихся масс жидкости под действием сил ньютонианского тяго-
тения.
Волновые движения. Распространение волн в твердых те-
лах; волны на поверхности моря; волны, вызываемые движением
корабля; распространение волн в каналах и реках; приливы;
сейсмические процессы; звуковые колебания; общая проблема
шума в различных средах и т. п. Окружающая нас среда (жид-
кости, газы, твердые тела и различные поля) постоянно нахо-
дится в состоянии вибраций и различных распространяющихся
во времени и по объемам возмущенных движений. Непосред-
ственно ясно, что эти явления играют очень важную роль в на-
шей жизни и существенны при решении многочисленных техни-
ческих вопросов.12 Гл. I.
Неустановившиеся движения газов с химическими превраще-
ниями при взрывах, детонации и горении, например в потоке
воздуха, в цилиндрах поршневых машин или камерах реактив-
ных двигателей и т. д.
Защита твердых тел от сгорания и сильного оплавления при
входе с большими скоростями в плотные слои атмосферы.
Теория турбулентных движений газов и жидкостей, пред-
ставляющих собой в действительности очень сложные нерегу-
лярные, случайного характера движения, пульсирующие около
некоторых средних регулярных процессов, которые в рассмат-
риваемых и ставящихся задачах существенны с практической
точки зрения. Подавляющее число движений газов и жидкостей
в звездах и космических облаках, в атмосфере Земли, в реках,
каналах, в трубопроводах и других разнообразных технических
сооружениях и машинах имеет турбулентный характер. Отсю-
да ясна огромная важность теории и экспериментов, посвящен-
ных изучению турбулентности. Исследования по турбулентно-
сти до настоящего времени еще никак нельзя считать достаточ-
ными для понимания многих особенностей и закономерностей
в природе таких сложных движений.
Проблемы описания движения очень сильно сжатых жидко-
стей и газов с учетом усложненных физических свойств различ-
ных сред в таких состояниях, особенно при наличии высоких
температур. Существуют интересные и важные отрасли техники,
в которых необходимо иметь дело с телами, подверженными
большим давлениям (порядка многих тысяч и миллионов атмо-
сфер), например при искусственном изготовлении алмазов, при
применении взрывов для штамповки деталей некоторых кон-
струкций и в множестве других задач.
С другой стороны, очень важны явления, происходящие в
сильно разреженных газах. При изучении различных процес-
сов, связанных с движением сред при большом вакууме в лабо-
раторных опытах, в космическом пространстве, в атмосферах
планет и звезд, также требуется применять методы механики
сплошной среды.
Проблемы магнитной гидродинамики и исследования движе-
ний ионизованных сред — плазмы с учетом их взаимодей-
ствий с электромагнитным полем в настоящее время приобре-
тают первостепенное познавательное и техническое значение.
В частности, такие явления нужно изучать при создании маг-
нитогидродинамических генераторов электрического тока,
в которых происходит непосредственное превращение энергии
движения плазмы в энергию электрического тока. Отметим так-
же, что решение проблемы использования термоядерной энер-
гии теснейшим образом связано с разрешением задач о поведе-
нии высокотемпературной плазмы в сильных магнитных полях.§ 1. Предмет и методы механики сплошной среды 13
Наука о прогнозе погоды — метеорология в значительной
степени представляет собой изучение движения воздушных
масс в атмосфере Земли и является важным разделом механики
сплошной среды, тесно связанным с множеством других разде-
лов физики.
Основные проблемы астрофизики и космогонии изучаются в
рамках механики сплошной среды. Сюда относятся вопросы
о внутреннем строении звезд и строении их фотосфер, о движе-
нии туманностей и космических облаков, вспышках и взрывах
переменных звезд, о колебаниях цефеид и, наконец, основная
задача о развитии галактик и о строении и эволюции Вселенной.
Значительная часть механики сплошной среды посвящена
исследованию движений и равновесий «твердых» деформируемых
тел. Теория упругости является основой для постройки всякого
рода сооружений и всевозможных машин. В настоящее время
приобретают все большее значение отделы механики, посвящен-
ные изучению усложненных упругих свойств тел и учету не-
упругих эффектов в твердых телах, таких, как пластичность,
связанная с появлением остаточных деформаций, ползучесть,
связанная с постепенным нарастанием деформаций при неиз-
менных внешних нагрузках и с жаропрочностью частей машин
(явления ползучести проявляются при долговременной работе
различных конструкций, а при повышенных температурах —
и в короткие промежутки времени).
Большое значение имеют изучение различных видов устало-
сти материалов, учет явлений наследственности в процессах
движения и равновесия тел.
С появлением и использованием новых полимерных мате-
риалов становится совершенно необходимым учет их внутрен-
ней физической структуры, которая может изменяться в инте-
ресных для практики явлениях.
Наконец, большое значение имеют работы, посвященные
общей задаче о прочности и о разрушении конструкций из
различных материалов. Эта важнейшая практическая задача до
сих пор еще не имеет ясного удовлетворительного решения.
Можно упомянуть еще о механических проблемах, связан-
ных с движением всякого рода смесей, с движением песков, сне
га и различных грунтов, сплавов, жидких растворов, суспензий
и эмульсий, жидкостей с полимерными добавками и т. д. и т. п.
Интересны проблемы кавитации, характеризующейся образо-
ванием и исчезновением в движущейся жидкости пузырьков и
больших каверн, наполненных газами и парами жидкости.
Нужно особенно подчеркнуть, что в последнее время вопросы
технологии производства на химических предприятиях бази-
руются на механических исследованиях о движениях соответ-
ствующих сплошных сред.14 Гл. I. Введение
Важны новые современные теории, в которых исследуются
проблемы взаимодействия мощных лазерных лучей с различны-
ми телами — задачи нелинейной оптики, взаимодействия дви-
жущихся тел с электромагнитными полями. Такие взаимодей-
ствия в макроскопических масштабах существенно связаны с
эффектами, описываемыми в рамках квантовой механики. Анало-
гичное положение встречается при описании макроскопических
свойств тел, связанных с движением при очень низких темпера-
турах или с учетом намагниченности и электрической поляри-
зации.
В последнее время ставится очень много исследований в об-
ласти биологической механики, в частности, строятся механи-
ческие модели, позволяющие описывать движение крови в жи-
вых организмах и явление сокращения мышц.
Предлагаемый курс является теоретиче-
Методы механики сплош- ским курсом механики сплошной среды.
н и В нем будут рассматриваться математи-
ческие методы изучения движения деформируемых тел. Эти
методы характеризуются следующим.
Вводится ряд понятий, которые характеризуют и однознач-
но определяют движение сплошной среды. Эти понятия должны
определяться с помощью чисел или других математических по-
нятий. Примерами таких понятий могут служить поле скоро-
стей, поле давлений, температура, циркуляция и т. п. В даль-
нейшем мы ознакомимся подробно с этими и с многими другими
характеристиками движения сплошной среды.
В механике сплошной среды разрабатываются методы сведе-
ния механических задач к задачам математическим, т. е. к зада-
чам об отыскании некоторых чисел или числовых функций
с помощью различных математических операций.
Кроме того, важнейшей целью механики сплошной среды
является установление общих свойств и законов движения де-
формируемых тел. В дальнейшем мы познакомимся с рядом за-
конов о силах, действующих со стороны жидкости на движу-
щиеся внутри нее тела; установим связь между давлением и
скоростью, которая имеет место для ряда важных и довольно
широких классов движений; выясним связь между внешними
нагрузками и возникающими при этом деформациями и т. п.
Следует еще отметить, что само решение конкретных задач
механики сплошной среды путем математических операций так-
же обычно относится к механике сплошной среды. Это объяс-
няется тем, что, как правило, даже в простейших случаях ма-
тематически поставленные задачи механики сплошной среды
получаются очень трудными и неразрешимыми эффективно со-
временными средствами математики. Поэтому приходится видо-
изменять постановки задач и находить приближенные решения§ 2. Основные гипотезы 15
на основе различных механических гипотез и сообра-
жений.
Под влиянием механики сплошной среды ряд отраслей ма-
тематики получил большое развитие. Например, механика
сплошной среды оказала большое влияние на развитие некото-
рых разделов теории функций комплексного переменного, крае-
вых задач для уравнений с частными производными, интеграль-
ных уравнений и др.
Весьма полезны аналогии некоторым задачам механики
сплошной среды, которые обнаруживаются при ближайшем рас-
смотрении в других отделах механики и физики.
Оказывается также, что различные проблемы механики
сплошной среды и математические методы их исследования во
многих случаях тесно связаны между собой. Так, например,
исследования движения жидкости в трубах послужили для
объяснения некоторых основных фактов движения жидкости
около крыла самолета. Методы решения задачи об обтекании
крыла самолета имеют много общего с математическими метода-
ми решения задач о фильтрации жидкости в почве. Многие ре-
зультаты теории движения газов в трубах, оказывается,
можно использовать при рассмотрении различных задач о вол-
новых движениях воды в каналах и т. д. и т. п.
На первых порах мы будем далеки от изучения указанных
выше задач. Вначале нам потребуется подготовить много мате-
риала общемеханического и математического характера. Вна-
чале у читателя не будет чувства того, что он уже занимается
или подходит непосредственно к изучению вопросов, касающих-
ся реальных, наблюдающихся в природе и технике явлений.
Утешением к такому положению вещей может послужить ссыл-
ка на историческое развитие механики сплошной среды.
Прошло более ста лет, прежде чем математические методы
механики сплошной среды в теории движения жидкостей и га-
зов получили успех в практических вопросах.
В настоящем курсе излагаются основы механики сплошной
среды, которые достаточны и необходимы для специального изу-
чения различных конкретных вопросов.
§ 2. Основные гипотезы
а) Строение реальных тел и гипотеза
сплошности
При изучении движения тел необходимо опираться на их
реальные свойства.Как известно, все тела представляют собой
совокупности разного сорта молекул и атомов. Иногда тела могут
быть ионизованными, т. е. состоящими из электронов, ионов16 Гл. I. Введение
(атомов и молекул с липшим или недостающим числом электро-
нов) и нейтральных частиц. Приведем некоторые известные из
физики данные об элементарных частицах.
Приведем данные о размерах и массе
Данные об элементарных чаСтиц: радиус ядра атома имеет порядок
10~1J см, радиус молекулы водоро-
да 1,36-10~8 си, т. е. радиус ядра атома много меньше радиуса
молекулы, ив то же время именно в нем сосредоточена основ-
ная масса вещества: масса электрона 9,1066 -10~28 г,масса протона
1,6724 -10-2i г.
При обычных условиях (температура 0° С, атмосферное да-
вление на уровне моря) в объеме воздуха в один кубический сан-
тиметр содержится N = 2,687-1019 молекул. Если взять кубик
с ребрами в одну тысячную сантиметра, что нередко лежит за
пределами повседневной точности измерения длин в технике,
то и в нем будет находиться 27.109 частиц. На высоте 60 км,
что намного больше «потолка» современных самолетов, число
частиц в атмосфере N = 8-1015 1/см3. В межзвездной среде, где
имеется сильно разреженный газ, N = 1 1/см3 = 1015 1/км3.
Расстояние в километр мало по сравнению с характерными кос-
мическими расстояниями, поэтому даже межзвездный газ можно
рассматривать как среду с очень большим числом частиц в ма-
лых объемах.
На Луне нет атмосферы, там N = 10'° 1/см3, т. е. в 2,7 мил-
лиарда раз меньше, чем у поверхности Земли. Такого сильного
вакуума в лабораторных условиях на Земле практически не
получают. При таком вакууме при соприкосновении веществ
во многих случаях происходит их сваривание.
Для железа (Fe) N =8,622-1022 1/см3, плотность
pFe = 7,8 г/см3,
а плотность ядерного вещества
Ряд. в. Fe= 1Д6-1014 г/см? И Pfc/Ряд. в. Fe = 7.104.
Мы видим, что объемы, занимаемые телами, много больше
объемов, в которых, собственно говоря, сосредоточено само ве-
щество.
Итак, все тела, по существу, «состоят из пустоты» и в то же
время в практически малых объемах пространства, занятого
телом, всегда заключено большое число частиц.
Атомы и молекулы находятся в постоянном хаотическом дви-
жении.
При обычных атмосферных условиях средняя скорость
vcp молекул водорода 1,692 м/сек (больше скорости современ-
ного пассажирского самолета). Молекулы все время сталкива-
ются друг с другом, путь свободного пробега молекулы во-§ 2. Основные гипотезы 17
дорода в обычных атмосферных условиях I = 11,2.10~в см.
Для кислорода vcp =425 м/сек, I = 6,5-10~6 см, т.е. одна
молекула за 1 секунду сталкивается 6,55-109 раз.
Между частицами имеются определенные
О взаимодействии частиц взаимодействия. В газе они связаны толь-
ко со столкновениями. В жидкостях и твердых телах частицы
расположены ближе, и в них существенны силы взаимодей-
ствия.
Силы, обеспечивающие прочность и упругость тел, имеют
электрическую природу и, грубо говоря, сводятся к силам Ку-
лона. Что касается ядерных сил и сил слабого взаимодействия,
то они проявляются только при ядерных реакциях, когда ча-
стицы взаимодействуют на близких расстояниях друг к другу.
Для того чтобы так сблизить частицы, требуется колоссальная
энергия, которая может возникать за счет хаотического движе-
ния частиц при температурах в многие миллионы градусов.
Зная электрические силы взаимодействия
О существенных для ме- между частицами, можно строить теорию
ханпкп сплошной среды фи- х тт
зико-химических процессах твердых деформируемых тел. Поэтому для
нас очень важна электродинамика.
При введении абстракций для моделирования реальных тел
необходимо учитывать различные структурные особенности тел.
Тела могут быть газообразными, жидкими, твердыми, кристал-
лическими, с различными фазами. При возрастании температу-
ры возникают состояния, в которых вещество можно рассмат-
ривать одновременно как газ, жидкость или как твердое
тело.
Помимо структуры важное значение имеют природа вещества
и свойства составных частей смесей, растворов, сплавов.
Во многих случаях возникают механические задачи о дви-
жении тел с учетом изменения качества составных частей и их
относительного содержания. Таковы, например, задачи о дви-
жении газов, сопровождаемом ядерными и химическими реак-
циями и, в частности, горением, диссоциацией, рекомбинацией,
ионизацией и т. д.
При движенииматериальных тел важное значение могут иметь
процессы фазовых переходов, такие, как конденсация, испаре-
ние, плавление, затвердевание, полимеризация, перекристал-
лизация и т. д.
При изучении движения сплошной среды — материальных
континуумов необходимо вводить внутренние напряжения.
В телах с дискретным молекулярным строением внутренние
напряжения являются статистическими средними, обусловлен-
ными как непосредственными силами взаимодействия между мо-
лекулами, расположенными по разные стороны от рассматри-
ваемого сечения, так и переносом макроскопического количества18 Гл. I.
движения через это сечение, происходящим в результате
теплового движения молекул.
Свойство вязкости в газах объясняется действием теплового
движения молекул, выравнивающим макроскопические движе-
ния соседних частиц газа. Таким образом, свойства внутренних
напряжений в материальных средах определяются их молеку-
лярным составом, силами взаимодействия между молекулами
и атомами, проявляющимися только на очень близких между
ними расстояниях, и тепловым движением, характеризуемым
температурой.
Аналогичным образом объясняется явление теплопроводнос-
ти. Для любых двух соседних частиц среды, между которыми
имеется контакт, происходит обмен энергией либо путем столк-
новений, либо непосредственно за счет обмена быстрыми и мед-
ленными молекулами. Статистически средняя энергия теплового
движения, характеризующаяся температурой, стремится к вы-
равниванию.
Механизм диффузии в смесях также объясняется молекуляр-
но-кинетическим процессом перемешивания молекул в результа-
те теплового движения.
Несколько сложнее описывается явление излучения, про-
исходящее за счет квантовых эффектов изменения уровней энер-
гии в системе молекулы, или атома, или ядра атома, а также за
счет ускоренных движений заряженных частиц. Явление излу-
чения, которое можно рассматривать как испускание фотонов,
во многих случаях тесно связано с хаотическим тепловым дви-
жением и существенным образом зависит от температуры, опре-
деляющей возможные возбуждения энергии при столкновении
частиц. Исследование движений материальных сред при боль-
ших температурах необходимо производить с учетом эффектов
передачи энергии и изменения температуры за счет сопутствую-
щих процессов поглощения и рассеяния лучистой энергии.
Электрическая поляризация и намагничивание, связанные
с правильным, упорядоченным расположением элементарных
частиц в телах, также могут иметь существенное зпачение при
различных движениях материальных тел.
Механизмы внутренних взаимодействий в твердых телах, в
материалах со сложным строением молекул, в телах с очень
большой плотностью при сравнительно низких температурах и
в других случаях могут быть очень сложными и не описывают-
ся, вообще говоря, в рамках ньютонианской механики. Для
понимания соответствующих взаимодействий во многих случа-
ях необходимо использовать понятия и законы квантовой ме-
ханики.
В перечисленных выше явлениях установление макроско-
пических законов на основании глубокого анализа физических§ 2. Основные гипотезы 19
микроскопических механизмов и свойств элементарных частиц
составляет одну из главных задач физики.
Заметим, что сложное строение молекул
Статистический и фено- и удерживающие их электрические силы
менологическии подходы г „ г т/,
взаимодействия не всегда известны. Ка-
залось бы, механику следует развивать на базе представления
о материальном теле как совокупности элементарных частиц.
Однако следить за движением каждой элементарной частицы
из-за их весьма большого числа и неизвестности сил взаимодей-
ствия между ними невозможно. Очень важно отметить, что, как
правило, даже несущественно знать движение каждой элемен-
тарной частицы.
Для практики требуются только некоторые средние, сум-
марные, или глобальные, характеристики.
Одним из общих методов подхода к исследованию поведения
материальных сред является развиваемый в физике статистичес-
кий метод.
В нем применяется вероятностный подход к изучаемым
явлениям и вводятся средние по большому ансамблю ча-
стиц характеристики. Статистические методы всегда связаны с
введением дополнительных гипотез о свойствах частиц, их взаи-
модействии и с упрощением этих свойств и взаимодействий. За-
метим, что во многих случаях не существует даже базы для по-
строения таких методов. В тех же случаях, когда они построе-
ны, они обычно не являются эффективными средствами решения
задач в силу чрезмерной сложности соответствующих урав-
нений.
Другим общим методом подхода к исследованию движения
материальных тел является построение феноменологической
макроскопической теории, основанной на общих, добытых из
опыта закономерностях и гипотезах. Макроскопические теории
являются эффективным средством решения практически важ-
ных задач, и добытые с их помощью сведения согласуются с
опытом.
В дальнейшем будем развивать феноменологическую макро-
скопическую теорию материальной среды.
Введем понятие сплошной среды. Все тела
Гипотеза сплошности состоят их отдельных частиц, но их много
в любом существенном для нас объеме, поэтому тело можно
приближенно рассматривать как среду, заполняющую
пространство сплошным образом. Воду, воздух,железо и т. д.
будем рассматривать как тела, целиком заполняющие некоторую
часть пространства.
Непрерывным континуумом можно считать не только обыч-
ные материальные тела, но и различные поля, например элект-
ромагнитное поле.20 Гл. I.
Эта идеализация, в частности, необходима потому, что мы
хотим при исследовании движения деформируемых тел исполь-
зовать аппарат непрерывных функций, дифференциальное и
интегральное исчисления.
б) О пространстве и времени
Под пространством понимают совокупность точек, задавае-
мых с помощью чисел, которые называются координатами.
,, Будем рассматривать непрерывные метри-
Метрическое пространство ,*
r r r ческиемногообразия — пространства, в ко-
торых определены расстояния между точками. Примером
метрического пространства может служить обычное трех-
мерное евклидово пространство, точки которого задаются
с помощью единой для всего пространства декартовой системы
координат х, у, z и расстояние между двумя точками хъ уг, % и
х2, у2, z2 определяется по формуле
г = V(*i - *2J + B/i - 2/2J + (*i - z2J. B.1)
Евклидово пространство В любом ли пространстве можно ввести
единую для всего пространства декартову
систему координат? Рассмотрим для простоты двумерные про-
странства. Очевидно, что на плоскости всегда можно ввести еди-
ную для всей плоскости декартову систему координат. На по-
верхности сферы, кривизна которой не равна нулю, этого сде-
лать нельзя, т. е. нельзя на сфере ввести систему координат
так, чтобы расстояния между двумя любыми точками на ней оп-
ределялись формулой B.1). На сфере декартову систему коор-
динат можно ввести только в малой окрестности каждой точки.
В случае трехмерных пространств также не всегда можно ввести
единую для всего пространства декартову систему координат.
В дальнейшем мы в основном будем рассматривать только
такие пространства, в каждом из которых можно ввести единую
для всех точек декартову систему координат. Такие простран-
ства называются евклидовыми, а развиваемая на их основе ме-
ханика носит название ньютонианской. Опыт показывает, что
физическое действительное пространство в не очень больших
масштабах с большой точностью можно считать евклидовым.
Понятие времени связано с опытом и не-
Абсолютное время обходимо в механике. Любое механичес-
кое явление всегда описывается с точки зрения какого-либо на-
блюдателя. Время, вообще говоря, может зависеть от системы
отсчета наблюдателя.
Мы будем считать, что время течет одинаково для всех наблю-
дателей — в поезде, самолете, аудитории... Следовательно, мы§ 2. Основные гипотезы 21
будем пользоваться абсолютным временем — идеализацией,
которая пригодна для правильного описания реальности не всег-
да, а только тогда, когда не учитываются эффекты теории от-
носительности.
Итак, будем рассматривать движение сплошной среды —
континуума в евклидовом пространстве и будем пользоваться
абсолютным временем. Таким образом, выше введены три фун-
даментальные гипотезы, с использованием которых будет стро-
иться теория движения деформируемых тел. Выводы из теории,
основанной на этих гипотезах, часто, но не всегда, согласуются
с опытом. В нужных случаях принятую модель пространства
и времени можно уточнять и обобщать. Однако все дальней-
шие обобщения строятся с учетом и на основе механики Нью-
тона, базирующейся на описанных выше фундаментальных
гипотезах. Сущность этих гипотез станет более понятной из
развиваемой далее теории.



ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
§ 1. Точка зрения Лагранжа на изучение движения
сплошной среды
Системы координат Движение всегда определяется по отно-
шению к некоторой системе отсчета —
системе координат. С помощью системы координат устанавли-
вается соответствие между числами и точками пространства.
Для трехмерного пространства точкам ставятся в соответствие
три числа х1, х2, х3, которые называются координатами точки.
, Линии, на которых какие-либо
"~z две координаты сохраняют по-
стоянные значения, называются
координатными линиями(рис. 1).
j- Например, линия, вдоль кото-
х =У рой х2 = const, х3 = const, oupe-
'xf=x деляет координатную линию х1,
вдоль этой линии различные точ-
Рис. 1. Криволинейная и декар- ки фиксируются значениями ж1:
това системы координат. направление роста координа-
ты хх определяет направление
вдоль этой линии. Через каждую точку пространства можно
провести три координатные линии. Касательные к координат-
ным линиям в каждой точке не лежат в одной плоскости и об-
разуют, вообще говоря, неортогональный триэдр.
Если координатные линии х\ х2, х3 прямые, то это прямоли-
нейная система координат; если нет, то — криволинейная.
Дальше мы увидим, что криволинейные системы координат, по
существу, необходимы в механике сплошной среды.
Условимся через х1, х2, х3 обозначать ко-
Обозначения координат ординаты относительно любой, в том чис-
и времени ле ИН0Гда и декартовой, системы коорди-
нат, а через х, у, z — координаты только относительно ортого-
нальной декартовой системы координат, через t — время.
Точка движется относительно системы
Движение точки координат х\ х\ х3, если ее координаты
меняются в зависимости от времени:
U. — / (I) (I — 1, Z, 6). A.1 )§ 1. Точка зрения Лагранжа 23
Движущаяся точка в разные моменты времени отождествляется
с разными точками пространства. Движение точки известно, если
известны функции A.1), называемые законом движения точки.
„ „, Сплошная среда представляет собой не-
Движение континуума ^ м ^ т-г
J прерывную совокупность точек. По опре-
делению знать движение сплошной среды — это значит знать
движение всех ее точек (изучения движения объема сплошной
среды как целого вообще недостаточно).
Для этого необходимы правила индиви-
06 индивидуализации то- дуализации отдельных, совершенно оди-
чек континуума J ' „ г
J наковых с геометрической точки зрения
точек континуума. В дальнейшем увидим, что используемые
в теории правила индивидуализации определяются, вообще
говоря, тем, что движение каждой точки сплошной среды под-
чиняется определенным физическим законам. Индивидуальные
точки сплошной среды можно, например, задавать значения-
ми их начальных координат. Координаты точек в начальный
момент времени t0 будем обозначать двояко: а, Ъ, с или g1, ?2,
?3, а координаты точек в любой момент времени —• х1, х2, х3.
Для любой точки континуума, выделяе-
Закон движения контину- мои координатами а, Ъ, с, можно написать
^ закон движения, в который входят функ-
ции уже не одной, как в случае движения точки, а четырех пере-
менных — начальных координат а, Ъ, си времени V. Рисунок 1
Если в A.2) а, Ь, с будут фиксированными, a t — перемен-
ным, то A.2) дадут закон движения одной фиксированной точки
континуума. Если а, Ъ, с будут переменными, a f — фиксиро-
ванным, то функции A.2) дадут распределение точек контину-
ума в пространстве в данный момент времени. Если переменны-
ми будут и а, Ъ, cat, то на A.2) можно смотреть как на формулы,
определяющие движение сплошной среды, и по определению
функции A.2) являются законом движения континуума.
Координаты а, Ъ, с или S1, Е2, I3, индиви-
Лагранжевы переменные ^ ,
v r дуализирующие точки континуума (или
иногда определенные функции от них), и время t называются
переменными Лагранжа.
Основная задача механики сплошной среды заключается в
определении функций A.2).
В дальнейшем мы всегда явно или неявно будем опираться
на понятие закона движения.24 Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Ради общности заметим, что сплошная среда представляет
собой совокупность точек, но не обязательно должна являться
материальным телом. Так, например, иногда можно условиться
изображать точками на плоскости цены различных товаров и
изучать методами кинематики сплошной среды движение цен
в экономике.
Можно также, и это часто делают, изучать законы пере-
мещения в пространстве различных состояний движения
материальных частиц, а не самих частиц. Например, на поверх-
ности ржаного поля в ветреную погоду наблюдаются волны, и
можно говорить о перемещениях в пространстве максимальных
возвышений или впадин поверхности ржи, а не самих ко-
лосьев.
Таким образом, в кинематике сплошную среду можно рас-
сматривать как абстрактный геометрический образ, а не только
как материальное тело. Движение сплошной среды может уп-
равляться различными законами. Это могут быть, если мы рас-
сматриваем движение материального тела, уже известные нам
в основном физические законы или, если мы говорим, например,
о движении цен, только познаваемые в настоящее время мате-
матические законы экономики.
, При изучении механики деформируемой
Непрерывность функции, r J " •*¦ г -r^
задающих закон движения сРеДы мы хотим опереться на аппарат диф-
ференциального и интегрального исчисле-
ний. Поэтому предположим, что функции, входящие в закон
движения континуума, непрерывны и имеют непрерывные част-
ные производные по всем своим аргументам. Это довольно общее
допущение, но вместе с тем оно сильно ограничивает класс до-
пустимых для изучения явлений.
Действительно, воду, например, можно разбрызгивать. При
этом находившиеся первоначально бесконечно близко друг к
другу частицы воды в последующие моменты времени не будут
близки друг к другу. Описать такого рода явление в предполо-
жении о непрерывности закона движения нельзя. В последую-
щем увидим, что во многих случаях предположение о непрерыв-
ности движения придется ослаблять и рассматривать такие
движения, сами характеристики которых или их производные
терпят разрывы на отдельных поверхностях. Такого
рода разрывы, например ударные волны, мы будем рассматривать
в дальнейшем. Однако заметим, что изучение разрывных дви-
жений ведется на базе теории непрерывных движений.
„ Основываясь на соображениях физичес-
Взаимооднозначность зако- ^ „, „„„ „ „„
на движения кого характера, предположим, что в каж-
дый фиксированный момент времени
t = const функции х1 — xl (i1, ?а, |3, t) являются взаимно одно-
значными функциями.§ 1. Точка зрения Лагранжа
25
Как известно, в этом случае якобиан Рисунок2
т. е. формулы A.2) можно разрешить относительно I1, ?2,
|3 и представить решение в виде однозначных непрерывных
функций
t = t{x\x\x\t).Рисунок 3