Великая теорема Ферма

Теорема Ферма - утверждение, что для любого натурального числа n > 2 уравнение

1)   x^n + y^n = z^n      
 
не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z.

(^ - знак возведения в степень).


(Говоря о решениях уравнения 1), будем иметь в виду только целочисленные решения.)


Если в уравнении 1) степень n равна 1 – ЛЮБАЯ пара чисел  x, y является решением уравнения 1).

Если степень n равна 2  – ТОЛЬКО НЕКОТОРЫЕ пары чисел  x, y являются решением уравнения 1).

Если степень n равна 3 – НИ ОДНА пара чисел  x, y не является решением уравнения 1).


Исходя из этого, можно сделать следующее предположение:
чем больше степень n – тем меньше существует решений уравнения 1).

Но если для некоторой степени n количество решений равно нулю – то для степени n+1 по этому предположению количество решений должно быть меньше нуля.

Поскольку количество решений уравнения не может быть меньше нуля, формулировку предположения необходимо смягчить:
при возрастании степени n количество решений уравнения 1) НЕ ВОЗРАСТАЕТ, то есть либо уменьшается, либо остаётся прежним (остаётся прежним, если оно равно нулю).


Действительно, чем строже математическое условие – тем меньше существует чисел, удовлетворяющих этому условию.

Естественно предположить, что условие для чисел х и у, выраженное уравнением 1), становится более строгим при возрастании степени n (следовательно, число решений уравнения 1) не может возрастать при возрастании степени n).


Это предположение выглядит достаточно простым и правдоподобным.

Но если бы нам удалось его доказать – тем самым мы доказали бы Великую теорему Ферма.

Действительно, если для некоторой степени n число решений равно нулю, то по нашему предположению для степени n+1 число решений также равно нулю.

А если так, то по нашему предположению число решений также равно нулю для степени n+2.

А если так, то число решений также равно нулю для степени n+3.

И так далее.
Таким образом, мы доказали бы, что число решений равно нулю для любой степени, большей n (такой метод доказательства называют индукцией).


То есть, нам было бы достаточно доказать теорему Ферма для любого конкретного значения степени n, чтобы автоматически получить доказательство теоремы Ферма для всех степеней, больших n.

Но для степени n, равной 3, теорема Ферма давно доказана – исходя из этого, мы автоматически получили бы доказательство теоремы Ферма для всех степеней, больших, чем 3 – то есть доказательство Великой теоремы Ферма.


Таким образом, необходимо доказать, что при возрастании степени n количество решений уравнения 1) не возрастает.



Во-первых, эта формулировка Великой теоремы Ферма МЯГЧЕ первоначальной формулировки:
нам не нужно доказывать ПОЛНОЕ ОТСУТСТВИЕ решений уравнения Ферма (для степеней n, больших 3) – достаточно доказать, что число решений НЕ ВОЗРАСТАЕТ с ростом степени n.

Во-вторых, такая формулировка выглядит естественно:
уравнение Ферма становится более сложным с ростом степени n – естественно предположить, что более сложному уравнению соответствует более строгое математическое условие (для входящих в уравнение чисел).
А более строгому математическому условию соответствует меньшее (точнее, не большее) количество решений, что и требуется доказать.

В-третьих, такая формулировка УНИВЕРСАЛЬНЕЕ исходной формулировки – она относится ко всем степеням n, начиная с 1 (а не с 3, как исходная формулировка).

Следовательно, есть основания предполагать, что простейший из возможных способов доказательства Великой теоремы Ферма основан на методе индукции.



Странность заключается в том, что нам нужно сравнивать между собой количества НЕСУЩЕСТВУЮЩИХ решений уравнения – чтобы доказать, что этих решений действительно не существует.

Но в математике встречаются и более странные вещи.


Каким образом можно доказать, что при возрастании степени n количество решений уравнения 1) не возрастает?


Количество решений уравнения 1) в принципе может быть бесконечным (например, при степени n, равной 1 или 2, оно бесконечно).
Каким способом можно сравнить между собой бесконечные величины (количества решений)?


Первая возможность: доказать, что каждому решению уравнения 1) для степени n+1 можно поставить в соответствие КАК МИНИМУМ одно решение уравнения 1) для степени n (естественно, речь идёт о взаимно-однозначном соответствии).

Это и будет означать, что число решений для степени n+1 не превышает числа решений для степени n.


При этом совершенно не важно, каким именно способом (алгоритмом) устанавливать соответствие между решениями.

Важно, чтобы этот способ был математически правильным и однозначным.
Если удастся найти соответствующий алгоритм – будет получено новое доказательство теоремы Ферма.


Вторая возможность: доказать, что количество решений уравнения 1) для степени n+1 не превышает количества решений уравнения 1) для степени n НА ЛЮБОМ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШОМ ИНТЕРВАЛЕ чисел x и y.

То есть, если интервалы значений x и y больше определённой конкретной величины – на этих интервалах количество решений уравнения 1) для степени n+1 не превышает количества решений уравнения 1) для степени n.

Основным инструментом доказательства должны быть не строгие равенства, а неравенства.

Естественно, большие интервалы значений x и y могут слагаться из малых интервалов.

Величина интервалов значений x и y для степени n+1 может и не совпадать с величиной соответствующих интервалов для степени n – достаточно, чтобы все эти интервалы можно было неограниченно увеличивать.


Можно сравнивать количества решений уравнения 1) не только для степеней n и n+1, но для более общего случая степеней n и m (m>n).
При этом должна оставаться возможность перебрать все целочисленные значения степени методом индукции.


Сама формулировка теоремы Ферма не даёт никаких намёков на способы доказательства подобных утверждений.

Не существует никаких стандартных методов сравнения количества решений произвольных целочисленных уравнений (тем более для несуществующих решений).

По всей видимости, простого доказательства Великой теоремы Ферма не существует.
Если бы оно существовало – оно давно было бы найдено математиками.
Сообщение самого Ферма о найденном им кратком доказательстве было, видимо, розыгрышем или ошибкой.


Я надеюсь, что изложенные здесь качественные рассуждения сделали немного понятнее как саму теорему Ферма, так и сложность её доказательства.