Рациональные точки

   Георг увлекался с детства математикой. Совершенные и дружественные числа. Арифметика Диофанта.  Дошли 6 книг из 13. Диофантовы уравнения (уравнения, решения которых ищутся в рациональных числах). Теорема Ферма. Доказательство весьма сложное. Но Георг верил, что возможна реконструкция простейшего доказательства Ферма. Альберт когда-то рассказывал об этой простой реконструкции, но у Георга тогда не хватило аппарата комбинаторики для расчётов.
  Каковы рациональные точки (задаваемой произвольным алгебраическим уравнением с целочисленными коэффициентами) кривой на евклидовой плоскости ?
Порядок кривой, т.е. максимальная из степеней одночленов, входящих в уравнение, служит грубой мерой сложности кривой.
  Кривые третьего порядка без каспов и пересечений, называемые эллиптическими кривыми, имеют интересные рациональные точки и множество приложений в разных областях. Пуанкаре сформулировал задачу нахождения ранга эллиптической кривой (см. иллюстрацию).
  Очевидно, что чем выше порядок, тем труднее найти рациональные решения уравнения . Это обстоятельство находит более точное выражение в гипотезе Морделла:
На кривой, порядок которой выше или равен четырём, имеется лишь конечное число рациональных точек.
Здесь следует сделать оговорку, что рассматриваются кривые «общего вида», а вырожденные случаи во внимание не принимаются.
Относительно справедливости гипотезы Морделла было известно очень мало; единственным общим результатом здесь являлась теорема Зигеля (1929 г.):
На кривой общего вида, порядок которой выше 2, лежит лишь конечное число целых точек (точек с целыми координатами), т.е. у соответствующего уравнения существует лишь конечное число целочисленных решений.
Гипотеза Морделла более полувека была в центре внимания ведущих математиков всего мира. В 1983 году ее доказал немецкий математик Г. Фальтингс. Эффективных алгоритмов для нахождения этих точек пока (к 2016 г.) неизвестно.
Георг целыми днями искал эффективные алгоритмы. И нашёл…