Утверждение о схожести числовых сущностей

И. Б. ПЕТРОВ

УТВЕРЖДЕНИЕ О СХОЖЕСТИ ЧИСЛОВЫХ СУЩНОСТЕЙ.

Если взять определенную группу цифр (определенные цифры в определенном количестве) и составить из них различные натуральные числа, а затем возвести каждое такое число в любую степень с натуральным показателем и сложить все цифры каждого полученного, в результате этой операции, числа до получения одной цифры (последовательное сложение сумм), то эта цифра  будет одинакова для каждого такого числа и определенного показателя степени.

Иначе, это утверждение можно сформулировать так: для всех натуральных чисел состоящих из одного и того же набора цифр (учитывая количество каждой цифры в числе), итоговая сумма сложения цифр (до получения одной цифры), составляющих каждое число, полученное при возведении в степень с любым натуральным показателем исходных чисел — будет всегда одинакова, для каждого показателя степени.

Например:

Возьмем следующий набор цифр — 4,1. Составим из них возможные натуральные числа: 41, 14. Возведем в степень и подсчитаем сумму цифр:

41^2=1681, 1+6+8+1=16, 1+6=7.
14^2=196, 1+9+6=16, 1+6=7.

41^3=68921, 6+8+9+2+1=26, 2+6=8.
14^3=2744, 2+7+4+4=17, 1+7=8.

…

Возьмем для примера более наглядное число: 3236405011. Для простоты обозначим конечную сумму цифр буквой — S (в примере выше — это 7 и 8):

S(3236405011)=7.
S(4036503211)=7.
S(3321410605)=7.
S(...)=7.

S(3236405011^2)=4.
S(4036503211^2)=4.
S(3321410605^2)=4.
S(...^2)=4.

S(3236405011^3)=1.
S(4036503211^3)=1.
S(3321410605^3)=1.
S(...^3)=1.

S(3236405011^4)=7.
S(4036503211^4)=7.
S(3321410605^4)=7.
S(...^4)=7.

S(3236405011^5)=4.
S(4036503211^5)=4.
S(3321410605^5)=4.
S(...^5)=4.

S(3236405011^12)=1.
S(4036503211^12)=1.
S(3321410605^12)=1.
S(...^12)=1.

S(3236405011^23)=4.
S(4036503211^23)=4.
S(3321410605^23)=4.
S(...^23)=4.

…