Натуральные множества и натуральные числа

Проблема обоснования математики связана с выбором её фундаментальных понятий. Столетиями, вплоть до последней четверти XIX века таким понятием было «число». С появлением теории множеств роль ведущего понятия едва не перешла к «множеству». Разразившийся на рубеже XIX и XX веков «кризис оснований» [1], вызванный обнаружением парадоксов в «наивной» теории множеств, нарушил наметившуюся смену приоритетов, так с тех пор и не определившуюся.
 
Нынешнее состояние понятийной базы математической науки в значительной мере отражает неустойчивое равновесие между различными философскими течениями в математике [2]. Эта неустойчивость компенсируется только интенсивной формализацией всевозможных подходов к числам и множествам и, по-видимому, интуицией математиков: при всём многообразии их интересов (обусловленных «непостижимой эффективностью» математики) они интуитивно избегают парадоксальных мыслительных ходов, используя таковые лишь для открытия самих «парадоксов», один из которых обрёл форму знаменитой "Теоремы Гёделя" (о неполноте арифметики!*) и стал едва ли не главным развлечением математиков (а ещё больше праздной около-математической публики) только что минувшего века...
 
Основания математики могут обрести большую устойчивость при условии выявления и логического анализа общей корневой системы понятий числа и множества. Дело в том, что даже т.н. «натуральным» числам (т. е. целым положительным), не говоря уже о дробных, иррациональных, комплексных и т. д., предшествуют множества как менее абстрактные объекты! Но это, конечно, не множества произвольного типа и уж точно не бесконечные множества, искусственно фундированные вширь и вглубь из "пустого множества" (см. известную «аксиому бесконечности» теории ZFC [3]), весьма насильственно интерпретируемые как модели числовой системы. На самом деле менее абстрактны (чем числа) только "реальные" конечные множества, которые ниже мы будем именовать «многами».

Любой мног может содержать элементы, являющиеся другими многами (тоже конечными), а также многами многов и так далее (любого конечного порядка). Но (в отличие от упомянутой теории ZFC) спуск по иерархии "многости" приводит к объектам, вообще не являющимся какими бы то ни было множествами – к "базовым элементам", которые ниже мы будем именовать «базонами» (не путать с «бОзонами» – объектами физики микромира). Простейшие многи, состоящие непосредственно из базонов, будем называть «натуральными множествами» (причём с гораздо большим основанием, чем так называемые «натуральные числа»), или, иногда для краткости, «натуралами».**

Реальные множества (многи), вовлечённые в практическую деятельность человека, соотносимы друг с другом с точки зрения ДОСТАТОЧНОСТИ одного многа другому. Мног X «достаточен» многу Y, если каждому элементу многа Y может быть поставлен в соответствие элемент многа X (не поставленный в соответствие другим элементам многа Y). Факт достаточности  будем выражать символически: X=>Y или Y<=X, что означает одно и то же, а именно: мног X достаточен многу Y

Многи X и Y могут быть "взаимодостаточны" (X=>Y и Y=>X) – это важнейший частный случай "достаточности". Взаимно достаточные многи X и Y, по определению, "эквивалентны", или "равномощны" между собой (символически: X<=>Y). Эквивалентные многи X и Y могут заменять друг друга, служа "количественными образцами" друг друга, – или "эталонами" в выяснении отношения достаточности любого из них с другим произвольным многом W. Так из X<=>Y и X=>W следует Y=>W (то есть при условии "эквивалентности" между многами X и Y, если X достаточен многу W, то и Y достаточен W).

Указанное обстоятельство означает полезность существования для каждого многа X (практически важного, но не всегда доступного) "эквивалентного" ему, всегда доступного "карманного эталона", или многа-заменителя. С признанием этого обстоятельства читатель может присоединиться к построению далее особой "карманной" математической конструкции, претендующей на роль модели, раскрывающей сущность столь простого в употреблении, но и столь загадочного по своему происхождению «"натурального" ряда чисел».


Каждый базон наделён набором разнообразных натуральных свойств, признаков. Базоны, принадлежащие одному многу (являющиеся его элементами), имеют некоторое общее свойство, точнее, набор свойств, образующих «концепт (множества)», выделяющий мног этих базонов из всего многообразия базонов. Подчеркнём, "концепт" это не наименование множества, а список всех обязательных свойств одного (любого) его элемента, часто идентифицируемый как наименование элемента. Примеры концептов: «конфета в (данной) вазе», «шоколадная конфета в (той же) вазе», – очевидно, первый мног (конфет в вазе) включает второй (с расширенным концептом) как свою часть. (Чем больше признаков в концепте, тем меньше мног.)

Обобщение понятия концепта на список свойств ненатуральных, то есть "абстрактных", позволяет давать строгое определение множествам, не являющимся "натуральными". Например, концепт «быть (любым) базоном» определяет множество всех базонов (равное, кстати, объединению всех натуральных множеств), возможно, бесконечное. Концепт «быть многом базонов» определяет множество всех простейших множеств, точнее, это множество натуральных множеств. Концепт «быть многом достаточным многу X» определяет множество всех многов, достаточных X. Концепт «быть многом взаимодостаточным с многом X» определяет множество всех многов, для которых мног X может служить "эталоном" (или, при его компактности, "карманным заменителем" каждого из них).

Любое множество множеств будем называть «системой». В частности, конечная система натуральных множеств  ("мног натуралов") это "натуральная система". Система систем – тоже система, но более высокого "ранга".
 

Изначально «система натуральных чисел», которую мы намерены построить, сугубо конечна и представляет собой систему, формируемую как средство "заочного" выявления отношений достаточности между произвольными многами через особые специфически количественные отношения между их "карманными", эталонными заменителями. Становление такой системы представлено в работе [4] как важный фрагмент практической деятельности человека с реальными множествами, но, что важно, с приоритетом логических аспектов над случайными историческими, превалировавшими, на ранних этапах становления цивилизации лишь потому, что логические аспекты тогда ещё только начинали осознаваться! 
 
Простая «счётная система» (так её лучше назвать, поскольку она предназначена не только для хранения информации, но и для операции счёта), состоит из нескольких образцовых "натуралов" (хотя бы двух), используемых в качестве эталонов «мощности» - специфического количественного свойства натурального множества, обеспечивающего возможность установления поэлементного «взаимно-однозначного соответствия» между ним и другими - "равномощными" с ним - множествами. Далее эти системные эталоны мощности мы будем прямо именовать «КОЛИЧЕСТВАМИ», а базоны, из которых они состоят, то есть элементы множеств-количеств – «НОМЕРКАМИ». Количество, эквивалентное многу X (а также, А, В и др.), можно называть также "количеством (элементов) множества X (и любого ему эквивалентного)"

С целью "минимизации материала", т.е. множества всех номерков счётной системы, количества, её образующие, связаны отношениями «наложения». Это значит, что из ЛЮБОЙ пары количеств одно является «правильной» частью другого (целиком состоит из номерков другого, но не равно ему, то есть другое «включает» первое, в качестве правильной части). Система таких "взаимоналагающихся" количеств далее называется «компактной»***. Из любых двух количеств компактной счётной системы, одно (то, которое является правильной частью другого), по определению, «меньше» (<), другое – «больше» (>).

Между произвольными конечными множествами (в частности, многами), для которых могут быть найдены эталонные многи-заменители среди количеств компактной счётной системы (из "номерков"), могут быть определены "количественные отношения", терминологически повторяющие отношения равномощных им количеств: "больше" ("меньше") тот мног, эталонное количество которого больше (меньше). Кроме того, многи (X и Y) "количественно равны (друг другу)" (X=Y), если они равномощны одному и тому же количеству (многу номерков).

Отношения достаточности связаны с количественными отношениями: X=>Y, если X>Y или X=Y (мног X достаточен многу Y, если количество многа Х больше количества многа Y, или многи X и Y эквивалентны одному количеству); X<=>Y, только если X=Y, то есть X и Y эквивалентны одному количеству.

Не для всякого многа существует эталонное количество, иначе говоря, натуральная счётная система из номерков всегда не полна. Пополнение компактной системы новыми количествами осуществляется за счёт базонов-номерков, полностью или частично принадлежащих уже созданным количествам. "Отображение" произвольного множества Z в систему количеств, предпринимаемое с целью выявления имеющегося количества номерков, равномощного Z, и, в случае отсутствия такового, создания необходимого нового количества, не нарушающего компактность системы, называем СЧЁТОМ (элементов)множества Z.

Алгоритм такого счёта (описан в [4]) заключается в последовательном отображении элементов Z (в любом их порядке) в номерки компактной системы с соблюдением требования: выбираемый номерок принадлежит КАЖДОМУ из количеств, ещё не исчерпанных (при отображении предыдущих элементов Z); новые базоны в системе в качестве дополнительных её номерков, могут потребоваться только при образовании  количества, большего любого из существующих. Если мног номерков, использованных при завершении счёта Z, не совпадает ни с одним из уже существующих количеств (больше или меньше любого из них), то этому многу присваивается статус нового количества ("количества многа Z"), в противном случае количеством многа Z оказывается уже существующее количество других (ранее сосчитанных) многов.

По логике вещей, необходимость расширения "счётной системы" (новыми количествами) вовсе не связана жёстко с ростом "мощности" отображаемых конечных множеств в счётную систему. При счёте нового многа Z, возможно, требуется лишь "залатать дыру" между количествами смежной мощности**** Заметим также, что практическая необходимость в количественных эталонах для множеств в один, два, да и в три элемента просто отсутствует: такие "мощности" удерживаются воображением без всякого эталона, и соответствующие количества логически потребуются лишь теоретически – для завершающего строительства счётной системы.

В то же время уже на этом этапе естественно возникает представление о «потенциально бесконечном» множестве количеств, выходящем за рамки представления о "натуральной" (конечной) счётной системе. Дело в том, что для любого, как угодно мощного, или "большого" количества K счётной системы (включающего любое из остальных количеств в качестве своей части) можно представить натуральное множество M, большее K (количество K равномощно лишь части множества M), что требует и нового ("увеличенного") количества в качестве эталона для M*****. В то же время даже бесконечность компактной системы ещё не обеспечивает её «полноту», под которой подразумевается наличие для ЛЮБОГО КОНЕЧНОГО множества равномощного ему количества в этой системе.
 
Полная компактная система количеств содержит теоретически важное "единичное" количество «ОДИН», состоящее всего лишь из одного базона-номерка) и для любого количества K  содержит «СЛЕДУЮЩЕЕ ЗА» ним количество K', содержащее ещё один номерок. Очевидно, множество всех количеств такой системы, тоже бесконечное, может содержать много больше количеств, чем просто компактная система ******. Вместе с тем, сама возможность существования не "полной", но "компактной" счётной системы доказывает, что, строго говоря (строго логически, но, увы, не исторически (реальная история здесь скрывает логический аспект!)), математика НЕ НУЖДАЕТСЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОБ ИЗНАЧАЛЬНОЙ УПОРЯДОЧЕННОСТИ как обязательного условия для появления понятия о числе.

В то же время отношения наложения внутри неограниченной (т.е. потенциально бесконечной) полной компактной, но отнюдь не "натуральной" счётной системы позволяют представить множество её номерков в виде так называемого «НАТУРАЛЬНОГО РЯДА» базонов, именуемых в этом качестве «ЧИСЛАМИ»:
                1  2  3  4  5  6  7  и  т.д.,
где каждый начальный отрезок ряда - вполне "натурален" как одно из количеств счётной системы. Например, количество (назовём его «пять»), равномощное многу пальцев на руке, состоит из базонов-"чисел": 1, 2, 3, 4 и 5.

При этом каждое число, будучи одним из базонов счётной системы, является особым – «собственным» номером одного из количеств. Собственный номер количества K (обозначим его №K) входит и в состав других количеств – (всех тех, которые включают количество K в качестве своей правильной части) – не являясь для них "собственным"; от других чисел-номеров №K отличается тем, что не принадлежит количествам, являющимся правильными частями количества K. Собственный номер №K можно называть также "последним" номером количества K, так как в представлении (не обязательном, но практически весьма полезном) счётной системы в виде "натурального ряда чисел", он является последним элементом "отрезка ряда", изображающего количество K. Например, №5 (собственный номер количества «пять») – последний в "отрезке" <1,2,3,4,5>.

При этом известным аксиомам Пеано для натуральных чисел (без нуля) удовлетворяют (по отдельности, при соответствующей интерпретации) и номера, и количества полной компактной счётной системы!******* Поэтому каждое «натуральное число» следует понимать как нечто общее, присущее некоторому номеру и количеству. И это не просто разные интерпретации (порядковая и количественная) одного и того же объекта – числа, а сами разные, чётко определимые объекты: каждый номер (например, №5) это отдельный базовый элемент системы, а каждое количество (например, K5) – эталонное множество номеров (K5={№1,№2,№3,№4,№5}), один из которых – собственный номер этого количества********.
 
Таким образом, "корневая система" основных понятий математики помимо "натуральных множеств" и "натуральных чисел" включает связующие их понятия о «количествах» и «номерах». Характер связи между этими объектами позволяет заключить, что понятие натурального числа выводимо из натуральных множеств, при том, что множество всех "натуральных" чисел отнюдь не натурально и приводит к понятию о «бесконечных множествах».

Бесконечные множества естественно возникают как множества разного рода элементов числовой системы, созданной людьми, и могут быть интерпретированы как вторичные, производные от неё объекты. Это идеальные (не природные, не "натуральные") объекты. Основная роль числовых множеств, как конечных, так и бесконечных, состоит в обосновании на базе «(якобы) натуральных» чисел ещё более абстрактных и сложных числовых систем: отрицательных, рациональных, вещественных, комплексных и т. д. Не исключено, что в теории множеств, допускающей существование базонов, последним уготована в дальнейшем роль особых объектов – «мер», обеспечивающих естественный теоретико-множественный переход от целых чисел к дробным и «действительным» (см.[4]).


ЛИТЕРАТУРА.
1. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.,1984.
2. Габриэле Лолли. Философия математики. Наследие двадцатого столетия. Пер. с
   итал., Н.Новгород, 2012.
3. Френкель А. и Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 2006.
4. Решетин Е.Ф. Число и порядок. – В сб. «Наука, экономика, общество»,
   г.Воскресенск, 2011, с.65-71
5. Математическая энциклопедия, Т5. М.,1985, статья «Типов теория».


ПРИМЕЧАНИЯ

* Теорема Гёделя о неполноте арифметики доказывается "от противного", то есть приведением к... парадоксу, чтО (от нас) и требуется доказать!

** Итак "натурал" это "мног" "базонов". Термин «натуральные множества» для обозначения указанных объектов (которые первоначально я именовал «многами») предложен В.Я.Перминовым (в неофициальном отзыве на работу [4]). Приняв термин "натуральное множество" и введя его сокращение «натурал», я получил возможность обобщить термин «мног» на любое конечное множество конечных множеств (в частности, на мног натуралов, мног многов натуралов и т.д.). 
Важно заметить, что базон это не обязательно физически неделимый объект, это любой объект, который в рамках универсума модели, на которую "посажена" теория для практического применения, может рассматриваться как неделимый, например, множество гостей в комнате, множество конфет в вазе (если не предполагается конфету делить на части или мыслить её как множество молекул).

*** Материальное моделирование (в учебных целях) ограниченной компактной системы количеств возможно с помощью реальных базонов в виде меченых фишек, которые будем называть также "номерками" (заготовками будущих "номеров"). Каждая такая фишка-номерок несёт на себе метки всех тех количеств, которым она одновременно принадлежит в качестве одного из его элементов. (В дальнейшем от этих меток избавляемся подменив набор меток каждой фишки-номерка единственно меткой-"номером", отражающим её место в "натуральном ряду" номерков, отражающем отношения "наложения" количеств счётной системы. Каждое число в таком представлении это некоторая фишка-номер без меток (меток принадлежности количествам), которые можно восстановить опираясь лишь на место фишки в "натуральном ряду". При всей практической важности упорядоченности "номеров", ясно, что это "определяющее" свойство вторично и выводится из отношений включения "натуралов", каковыми являются многи "номерков"...

**** Например, количество мощности «дюжина» могло бы в принципе быть создано раньше некоторых количеств меньшей мощности (которые создавались бы в таком случае уже после, как её правильные части, то есть из номерков «дюжины», и новые базоны не требовались бы). Дополнительные фишки-номерки при расширении реальной счётной системы необходимы, только если требуется получить (образовать из фишек) количество большее, чем любое из тех, которыми система уже располагает. В противном случае достаточно просто нанести дополнительные метки (нового количества) на некоторых уже имеющихся номерках системы.
 
***** Бесконечность "потенциальная" может быть "актуализирована" с помощью аксиомы, аналогичной «аксиоме бесконечности» в «теории типов» [5], также не пренебрегающей объектами типа базонов. Известно, что традиционная аксиоматическая теория множеств (ZFC) в своём стремлении сократить базовую терминологию изгоняет («выплёскивая с водой ребёнка») из своего обихода множества, элементы которых множествами не являются ("факультативно", например, в известной «теории типов», такие элементы называют «индивидами», иногда «атомами». Надо заметить, в ZFC базону формально-логически эквивалентен единственный объект, абстрактно, но не реально, существующий и называемый «пустым множеством»).
 
****** Например, бесконечная система количеств, кратных по мощности миллиону (и отличающихся друг от друга не на один, а как минимум на миллион базонов) содержит как бы в миллион раз меньше количеств, чем полная их система, при том, что обе имеют одну и ту же, «счётную» мощность. Такова внутренняя (не логическая, а так сказать, мировоззренческая) противоречивость исчисления бесконечных множеств!

******* Вот одна из формулировок свода «аксиом Пеано»: 1) существует первое число, не следующее за другим числом; 2) всякое число, кроме первого, следует за одним и только одним числом; 3) для всякого числа существует одно и только одно «следующее за» ним число; 4) известный «принцип математической индукции». Если в эти предложения-аксиомы вместо слова «число» подставить «количество» или «номер», то они останутся истинными, но – при разной интерпретации терминов «следовать за» и «первый» (за которыми, конечно, нужно видеть отношения между множествами, их частями и базонами, а не сводить систему к неосознанно создававшейся, но удобной для сенсорного восприятия, последовательности «натурального» ряда наименований для чисел "1", "2", "3"... "9", "10", "11" и т.д.).

******** В компактной, но не полной системе вполне упорядоченными (отношением включения) всегда являются количества (в том числе, бесконечное множество количеств, хотя и как угодно сильно «прореженное»), но множество номеров (в стадии "многа номерков") остаётся лишь частично упорядоченным (отношением принадлежности разным количествам), пока, в силу неполноты системы, некоторые количества содержат по несколько номеров, претендующих на роль «собственных».