О зависимости силы тренья от скорости вращенья

Практика для теории http://www.proza.ru/2016/11/18/197

Ты скатерть дёрнул, а утварь на столе

Все знают, что в соответствии с законом Кулона-Амонтона сила трения по модулю тем больше, чем больше (по модулю) сила реакции опоры, действующая на данное тело
(а значит, и чем больше вес этого тела. И не только вследствие силы тяжести, действующей на верхнее тело. Но также вследствие и произвольной силы прижима верхнего тела к нижнему телу (<-А3))
Но, как показывает всем опыт, сила трения зависит не только от веса верхнего тела, но и от скорости движения его, относительно нижнего тела. И, чем эта относительная скорость больше, тем меньше сила трения возникает (между верхним и нижним телом) Но как объяснить нам это?

В простейшем случае трение возникает, как мы знаем, из-за неровности поверхностей, контактирующих друг с другом. А самая простая поверхности неровность – это наклонная плоскость
(конечная, конечно.
И, для простоты, чередующаяся спусками с подъёмом, и при этом регулярно.
(вот и выходит пилообразный поверхности этой профиль) А отсюда такие вот характеристики её: глубина неровности (h) и полушаг её (b).
И такую же, для простоты, возьмём ответную поверхность. И при этом с тем же h и b.
А далее для простоты же мы еще допустим, что между идеально плоскими поверхностями (этих тел), при (идеальном) их контакте, сила трения - нулевая.)
Что же получится в итоге?

Для ответа на вопрос на этот рассмотрим мы отдельное звено этих тел контакта, а именно участок подъёма. Ибо именно преодоление этого участка и требует энергии затрат. Поэтому рассмотрим такую вот задачу: тело верхнее лежит на поверхности наклонной, и на него действует горизонтальная сила тяги Fт. Работа этой силы, как нетрудно доказать, на всей поверхности наклонной (то есть на всём участке подъёма): A(Fт)=|Fт|*b
Но не только сила тяги Fт действует на тело, а значит и энергию сообщает. А еще и реакции опоры сила N, а также силы тяжести сила Fg. Соответственно для которых, на этом же участке (то есть на этом же перемещеньи) работа такова:
A(N)=0; A(Fg)=-mgh
Откуда равнодействующей работа:
A(F)= |Fт|*b-mgh

Анализ этой формулы нам следующие выводы даёт:
1)при |Fт|*b<mgh тело, по идее, должно соскальзывать назад (но это здесь исключено, поскольку его движение назад ограничено участком смежным спуска.
2)при |Fт|*b=mgh мы получаем точку перехода к движению из покоя, то есть максимальную силу трения покоя
(но мы ж до этого говорили, что сила трения еще от скорости зависит ей энергии передачи, то есть от мощности воздействия на тело.
Но откуда же нам мощность взять? По-видимому, силу тяги эту надо со временем как-то нам связать, действия её (А2-));
3)при |Fт|*b>mgh тело еще и кинетическую энергию получает

(Хотя и без этого, для решения задачи данной, оно её получает, ибо как переместить нам тело, ему скорости не сообщив?
(а в теории данной силы тренья перемещение тела всяко будет, ибо как определить работу силы тяги (а значит, и энергии передачу), если перемещения тела нет? И пусть хотя бы оно есть одной неровности в пределах, то есть перемещенье-микро, которое мы покоем тела называем. )
Ибо со скоростью нулевой оно перемещения любые будет бесконечно совершать. (то есть как бы совершать, но как бы и не совершать.)
А поэтому рассматривать происходящее мы начнём  именно с этого момента, когда условие |Fт|*b>mgh  выполняться станет. Ибо до этого ничего не происходит.)
 (за счёт которой, если повезёт, тело может перелететь через несколько подъёмов сразу, то есть за один присест, поэтому фактическая сила тренья
(то есть как удельный на перемещение тела дополнительной энергии расход )
при этом будет меньше.)

-А2: …то есть со временем подъёма этого тела на высоту неровности всю, которая h. Но как нам определить это время?  А именно из того тут исходя, что сила Fт одновременно еще и двигает верхнее тело по горизонтали, на расстояние b. И как нам это сделать?
Поскольку подъём тела по наклонной является движением равнопеременным, то отсюда:
Dx(t1)=1/2*ax*t1^2 => t1=sqrt(2*Dx(t1)/ax),
Где
Dx(t1)=sqrt(h^2+b^2),
ax=Fx/m
А отсюда вывод: нужно нам определить равнодействующую силу F.  Которая, как нетрудно доказать, равна:
F=Fт*cos(alfa)-mg*sin(alfa),
Где
Alfa=arctg(h/b) => cos(alfa)=b/ sqrt(h^2+b^2), sin(alfa)=h/ sqrt(h^2+b^2).
Откуда мощность энергии сообщенья телу такова:
P=A(F)/t1=(Fт*b-mgh)^(3/2)/(2*(h^2+b^2)*m)^(1/2)

Но полученный результат, похоже – это усреднённая мощность энергии передачи. (ведь тело разгоняется при этом) Так как же мгновенную мощность нам найти? Ведь именно она и определяет результат, то есть фактическую силу тренья.
Но может, величина эта всё-таки интегральна? То есть определяется (в среднем) по некоторому времени интервалу.
И пусть даже это так. Но что нам мешает мгновеную мощность тут найти?
Да то, что универсальная формула для мощности такая:
P(t)=A’(t)=(F(t)*Dl(t))’=
=F’(t)*Dl(t)+F(t)*Dl’(t)
В частном случае, при F’(t)=0, F(t)=Fт получаем:
P(t)=Fт*v(t)
А отсюда нам понятно, что мощность передачи по мере разгона тела растёт. Но из этого-то что?
А то, что (скорей всего) не годится нам мгновенная мощность, для определения силы тренья.
А также то, что вычисленная выше мощность является всё-таки средней, за время подъёма на неровности верх.

Так вот, теперь понятно, что если средняя мощность передачи >0,то тело разгоняться будет. А поэтому появляется у него шанс  разогнаться до скорости такой;при которой оно перепрыгивать через звенья неровности начнёт (через одну сначала, а потом через 2, и т.д. и т.п.)
А поэтому и энергию на преодоление неровностей начнёт тут экономить. Но почему же экономить? Ведь на сообщение кинетической энергии телу придётся тоже энергию тратить?
Многократные подъёмы, а потом и спуски тела замЕняться лишь одним подъёмом,  а затем и однократным спуском, для которого дополнительная  энергия не нужна. А оттого и получится уменьшение силы тренья. А кроме этого, если мы уже вышли из неровности всей глубины, то нам не придётся силой тяги против силы N и Fg работать
А поэтому надо в этом случае нам меньше совершать работы для горизонтального перемещенья тела, чем при его на наклонной плоскости нахожденьи. Ибо исчезает… нет, не сила Fg, а сила N (которая в том числе препятствует горизонтальному перемещенью тела (а именно, горизонтальной составляющей своей))

Но почему, ведь  A(Fт)=A(F)+mgh была, то есть была больше. А именно потому, что при этом равнодействующей работа станет больше: A(F)= A(Fт) вместо A(F)=A(Fт)-mgh, а поэтому разгонный её эффект станет больше, пока тело наше опять не  «приземлиться» (из-за падения высоты полёта) на наклонную плоскость. И так будет повторяться всё реже и реже, чем больше начальная скорость тела (при сходе с неровности 1-ой)

А отсюда кажущаяся сила тренья такова:
(A7<-) |Fтр|=(A(Fт)-A(Fg))/|Dl|= m*g*h*n(Dl)/Dl,
Где n(Dl) – количество подъёмов на высоту h при перемещении |Dl|. И оно меньше будет, чем больше мы сообщили скорость телу в течение преодоления им неровности 1-ой.
Итак, чем больше Fт, тем быстрее мы разгоняем тело (если Fт>mg*tg(alfa)) и тем больше его скорость будет при сходе с 1-го поъёма. Но до достижения 1-го критического значения её (при котором дальность полёт тела равна b) разгон тела положительного эффекта не окажет (то есть уменьшения кажущегося значения Fтр не даст)

А для этого найдём дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту (tg(alfa)=h/b):
X(t2)=|v(0)|^2*sin(2*alfa)/g
Так как по закону несохранения энергии
M*|v(0)|^2/2=A(F)=A(Fт)-mgh => |v(0)|^2=( A(Fт)-mgh)*2/m
А также
То
X(t2)=4*h*b/(h^2+b^2)*(Fт*b/(m*g)-h)

Отсюда число неровностей рельефа, преодолеваемых сразу (за один "прыжок"):
N(Dl)=x(t2)/(2*b)=2*h/(h^2+b^2)*(Fт*b/(m*g)-h)
Поэтому уточним формулу, связанную с этой (<-А7), так:
A(Fт,Dl)=A(F)+(Dl/(2*b)-n(Dl))*m*g*h
При этом Dl следует брать такое, при котором прыжки через неровности прекратятся (то есть Dl/(2*b)-n(Dl)>0 и <1)
А отсюда и время действия силы Fт. Действие которой периодично будет при любом времени действия её. А именно, всякий раз, по завершению цикла действия этой силы (см. условие выше) этот цикл будет воспроизводиться снова. То есть на каждом интервале перемещенья длиною Dl/n(Dl) экономиться энергия будет, необходима для горизонтального перемещенья тела. Что и соответствует уменьшению «силы тренья» на заданном времени интервале (который соответствует перемещенью n(Dl)*(2*b))(где n(Dl) – целое число)
Которая на самом деле представляет из себя квазисилу, то есть энергии дополнительную трату.

В добавление к этому найдём еще период силы тренья.
(а точней, период перемещенья при действии силы тренья (то есть это как бы её длина волны))
И это будет, понятно, такое вот значенье: n(Dl)*(2*b))
Но одна тут некорректность  есть: как может период силы тренья зависеть от перемещенья?
Конечно, он зависит собственно от силы тяги Fт, а  также от параметров неровности элементарной – h и b. А поэтому вот период силы тренья:
L(Fтр)= 2*b*n(Dl)=4*h*b/(h^2+b^2)*(Fт*b/(m*g)-h) = x(t2)
А поэтому сила тренья от перемещенья зависит и вот так найдётся:
Fтр=m*g*h*Dl/L(Fтр)/Dl = m*g*h/L(Fтр) =
= m*g*h/(4*h*b)*(h^2+b^2)/(Fт*b/(m*g)-h) =
= m*g*(tg^2(alfa)+1)/(4*(Fт/(m*g)-tg(alfa) ))
(А отсюда максимальная сила трения «покоя» (а точнее, минимальная сила трения «движенья», то перепрыгивания через неровности рельефа),
которая определяется из условья:
L(Fтр) =<2*b=> 4*h*b/(h^2+b^2)*(Fт*b/(m*g)-h)=<2*b)
получается такова:
Fтрmin= m*g*h/(2*b)=m*g/2*tg(alfa))

Откуда реальный коэффициент тренья такой:
Fтр/(m*g)=(tg^2(alfa)+1) )/(4*(Fт/(m*g)-tg(alfa) ))=  mu(Fт, alfa)
Который, как теперь понятно, не только от Fт зависит, но и от alfa.
И при увеличении Fт он будет меньше, а при увеличении alfa – больше.
И это соответствует эксперименту.
А что еще даёт нам формула эта? Она нам объясняет, почему при уменьшении alfa (то есть при сглаживании неровностей всё большем), в пределе до 0, коэффициент тренья приближается к m*g/(4*Fт), то есть не прекращает зависеть ни от Fт, ни от m.
(отсюда еще одна прелюбопытнейшая формула возникает:
Sqrt(Fтр*Fт)=Fg/2)

В заключение замечу, что здесь рассмотрен всего лишь контакт двух тел с одинаковыми параметрами неровностей (и притом неровности эти периодичны) Рассмотреть другие варианты сочетания параметров этих – тема для следующих статей. А также контакт двух тел (при относительном их движении) может разрушение верхнего слоя их вызывать, а также расплавление его. Учёт которых также усложнит теорию силы тренья.