Геометрогенезис, или Рождение геометрии континуума

Выдержки из эссе Фотини Маркопулу (Fotini Markopoulou) "Пространство не существует, а вот время может существовать"*, написанного для конкурса на FQXi.org** по теме «Природа времени» и отмеченного третьей премией Жюри (1 декабря 2008 года).

*Оригинал – Space does not exist, so time can:
** FQXi – Foundational Questions Institute

Часто говорят, что в ОТО времени не существует. Это потому, что уравнения Эйнштейна порождают движение во времени, которое служит симметрией теории, а не истинно временную эволюцию. В квантовой гравитации безвременье общей теории  относительности сталкивается с течением времени в квантовой теории и приводит к «проблеме времени», которая, в её различных формах, является главным препятствием для появления успешной квантовой теории гравитации. Я утверждаю, что проблема времени является парадоксом, вытекающим из неустановленной порочной предпосылки. По-моему, ПОРОЧНОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ ЭТО ТО, ЧТО ПРОСТРАНСТВО РЕАЛЬНО. Я полагаю, что принципиально не существует не время, а пространство, геометрия и гравитация. Квантовая теория гравитации будет без пространства, но со временем. Мы можем выбросить пространство, но сохранить время – игра стоит свеч.


                ПАРАДОКС ВРЕМЕНИ В КВАНТОВОЙ ГРАВИТАЦИИ 

В изучении проблемы квантовой гравитации существует два типа людей. Те, кто думает, что безвременье является самым красивым и глубоким проникновением в суть ОТО, если не всей современной науки, и те, кто просто не может уразуметь, что может означать безвременье, и видит доказательства существования времени во всём в природе. Что выделяет такое разделение мнений от любого другого разногласия в науке, так это то, что никто никогда не изменяет свою точку зрения, точек пересечения по этому времени практически не существует.  Временами это заставляет меня задуматься, лежат ли причины такого разногласия в научной плоскости или где-то глубже. Но для целей данного исследования мы останемся строго на научной почве, и я приведу аргументы в пользу того, что время существует, и что проблема времени в квантовой механике должна рассматриваться как парадокс. Парадоксы обычно разрешаются, когда мы осознаём, что на заднем плане скрывается некое неустановленное предположение, которое при ближайшем рассмотрении оказывается ложным.


               МИР БЕЗ ГЕОМЕТРИИ

Правда, точка зрения на квантовую гравитацию как объединение общей теории относительности и квантовой теории во многом устаревает. Во-первых, основные наблюдательные данные являются, фактически, пришедшими из области квантовой гравитации. Ведь квантовая гравитация – это не только о физике чёрных дыр.

Наблюдательная космология оставляет нас с 95% неизвестной нам Вселенной и  множеством серьёзных данных по физике высоких энергий ранней Вселенной. Любой стоящий теоретик квантовой гравитации стремится установить связь между теорией и данными. Что такое тёмная энергия и тёмная материя? Что такое инфлатон и есть ли остатки транс-Планкианской физики в космологии? Является ли масштаб квантовой гравитации масштабом Планка или он намного больше?

Во-вторых, некоторое объединение общей теории относительности и квантовой теории содержится в ряде теорий, от теории струн до петлевой квантовой гравитации и причинной динамической триангуляции. Задача этих теорий в настоящее время в том, чтобы показать, что они являются правильными, опять-таки в контакте с известным миром.

И тогда более уместно думать о проблеме квантовой гравитации в более широком смысле: проблема скорее в ситуации в физике, где у нас имеются низкоэнергетические теории – общая теория относительности и квантовая теория поля – а мы ищем высокоэнергетическую теорию, микроскопическую, фундаментальную. Это представляется очень похожим на то, что мы делали раньше, например, при переходе от термодинамики к кинетической теории. Не удивительно, что это значительное изменение в перспективе открывает новые пути, которые могут вывести нас из старых проблем.

Геометрогенезис

Мы не много знаем о квантовой гравитации. Мы ожидаем, что она проявляется при энергиях масштаба Планка, порядка 10^22 МэВ. Это на 20 порядков выше, чем в субатомной физике. Наши лучшие тесты квантовой теории поля на 20 порядков холоднее, чем физика квантовой гравитации. Во всех остальных случаях, о которых мы знаем из физики, достаточно изменить энергию на гораздо меньших масштабах, чем для исследуемой системы, для прохождения фазового перехода. Тогда могут случиться две вещи.

Во-первых, система может приобрести свойства, которые не существовали ранее. Это элемент возникновения нового. Например, если мы охладим воду, то получим лёд. Порядок кристаллической структуры льда – это возникающее свойство фазы льда.

Во-вторых, но связано с первым: почти всегда мы используем степени свободы для описания двух различных фаз. Примером этого является сравнение динамики жидкости с более глубокой теорией квантовой молекулярной динамики. Первая регулируется уравнениями непрерывности и уравнением Эйлера, и мы используем такие понятия как волны, чтобы описать систему. На молекулярном уровне мы имеем уравнение Шрёдингера и межмолекулярный потенциал. Волны являются возникающими понятиями, применяемыми только в низкоэнергетической фазе. Нет степеней свободы для описания волн на молекулярном уровне.

Разумно ожидать, что квантовая гравитация будет следовать аналогичной схеме. То, что мы в настоящее время знаем, – низкоэнергетическая теория – аналог гидродинамики. Мы ищем фундаментальную теорию – аналог квантовой молекулярной динамики. Так же, как нет волн в молекулярной теории, мы, скорее всего, не найдём геометрических степеней свободы в фундаментальной теории. По аналогии с известной физикой мы должны ожидать, что КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ НЕ БУДЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ.

Я ДОЛЖНА ПОДЧЕРКНУТЬ, ЧТО ОТСУТСТВИЕ ГЕОМЕТРИИ НЕ ОЗНАЧАЕТ ДИСКРЕТНУЮ ИЛИ НЕЧЁТКУЮ ГЕОМЕТРИЮ. Это означает, что большинство основных аспектов геометрии, например, ПОНЯТИЯ «ЗДЕСЬ» и «ТАМ» ПЕРЕСТАЮТ ИМЕТЬ СМЫСЛ. На самом деле, мы сталкиваемся с отсутствием геометрии в традиционных вариантах квантовой гравитации. Квантование общей теории относительности приводит к квантовой суперпозиции всех геометрий. Однако суперпозиция всех геометрий – это ничто как геометрия.

Возьмите две геометрии или, эквивалентно, две причинных структуры 1 и 2. Скажем, в геометрии 1 событие А и событие В близки, в то время как в геометрии 2 они находятся далеко друг от друга. Если вы являетесь событием А, то в мире 1 вы видите событие В здесь, рядом, в мире 2 вы видите событие В там, далеко. Теперь накладываем не только 1 и 2, но и все возможные геометрии. При этом событие В окажется везде. (Это лёгкая версия, в которой я предполагаю, что вы можете идентифицировать А и B в обоих случаях; вообще же вы не можете сделать этого, так как вам потребуется определить понятие «тут» и «там»). В масштабах Планка мы не в квазиклассическом пределе и квантовая геометрия – не столько квантовая флуктуация в световом конусе классического мира, сколько это уже вообще не геометрия, как мы её знаем.

ЧУДОВИЩНОСТЬ того, что мы только что создали, заключается даже не в отсутствии разумного понятия «тут» и «там» – самого основного аспекта геометрии. Это также НЕ ИМЕЕТ ПОНЯТИЯ РАЗМЕРНОСТИ [3]. Мы только называем это «квантовая геометрия», как комбинация из двух слов, хотя и понимаем, что нас кто-то дурачит и вводит в заблуждение, ибо мы не постигаем этого.

Назовем ГЕОМЕТРОГЕНЕЗИСОМ  процесс перехода от фундаментальной теории квантовой гравитации без геометрии к известной геометрической физике. Сценарий геометрогенезиса прост. ПРИ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ, или в ранней Вселенной, НЕТ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ ИЛИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЛОКАЛЬНОСТИ. Система может быть описана в терминах микроскопических квантовых степеней свободы, которую мы назовем микро-материя, или – µатерия  (µatter) для краткости. Это не наша обычная материя. По тем же соображениям, что мы не ожидаем наличия геометрии в масштабах, на двадцать порядков превышающих возможности нашего измерения, мы также не ожидаем, что материю можно будет найти в целости в масштабах квантовой гравитации. При более низких энергиях, или когда Вселенная остывает, система динамически располагается вблизи основного состояния. Это и есть геометрия плюс фаза материи, с обычным веществом и симметриями, которые характеризуют геометрию нашей Вселенной де-Ситтера.

Информация до геометрии

Осознав возможность того, что геометрия не существует на фундаментальном уровне, теперь нам нужно найти способ сделать физику без геометрии. Это может показаться трудным, потому что вся наша физика сделана с геометрией. Но мы можем использовать реляционный и информационно-теоретический язык. 

В качестве первого шага, давайте думать о геометрии не как о независимой сущности, а как о производной от свойств материи. Мы переворачиваем обычный порядок… …ГЕОМЕТРИЯ – ЭТО КРАТКИЙ СПОСОБ ОПИСАТЬ СИММЕТРИИ СИСТЕМЫ. Предпосылка геометрогенезиса в том, что симметрии, которые определяют геометрию, возникают при низких энергиях.

Имея это в виду, приведём конкретную модель геометрогенезиса, а именно для возникающей локальности и возникающей геометрии, с помощью симметрии основного состояния негеометрической квантовой системы.

                *****

Здесь в эссе приводится пример Квантовых Граффити (Quantum Graphity) при высоких и низких температурах и, соответственно, энергиях на модели из сети с N вершинами (Примечания переводчика, С.Г.).

                *****

ПРИ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ, динамика инвариантна относительно перестановок вершин [сети]. НЕ СУЩЕСТВУЕТ НИКАКОГО ПОНЯТИЯ ЛОКАЛЬНОСТИ, то есть вся Вселенная одним краем примыкает к ЛЮБОЙ вершине. Иначе говоря, нет понятия подсистемы, в смысле локальной  окрестности…

                Две фазы квантовых граффити

Фаза высокой энергии                -      геометрогенезис -         Фаза низкой энергии


Перестановочная симметрия   -      геометрогенезис -         Перенос
Нет локальности                -      геометрогенезис -         Локальность
Относительная                -      геометрогенезис -         Относительная
Нет подсистем                -      геометрогенезис -         Есть подсистемы
Внешнее время                -      геометрогенезис -         Внешнее и внутреннее время
Микро-материя                -      геометрогенезис -         Материя + динамическая геометрия

Таким образом, мы можем использовать динамическую сеть квантовых отношений для описания Вселенной без геометрии. Нет необходимости назначать любые геометрические свойства сети, – это можно просто рассматривать КАК ПРОЦЕССОР КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ. В общем, теоретико-информационная перспектива полезна при изучении возникновения геометрии, так как позволяет нам работать с динамическими, но "бестелесными" (или "дегеометризованными") системами [7].

Мы настаиваем на том, что ГЕОМЕТРИЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ ПОНЯТИЕМ, а вместо квантовой гравитации существует теория геометрогенезиса. Мы также проиллюстрировали геометрогенезис в конкретной модели. Имея это в виду, зададимся вопросом: что наша негеометрическая перспектива говорит нам о времени, диффеоморфизмах и гравитации?


               ОТСЛЕЖИВАНИЕ ВРЕМЕНИ

Теперь должно быть ясно, что есть два возможных представления о времени: время, связанное с g00 компонентой метрики, описывающей геометрию при низких энергиях, и временной параметр в фундаментальном микроскопическом гамильтониане. Назовём первое ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ временем, а второе – ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ временем. В нашем контексте геометрогенезиса становится ясно, что геометрическое время будет появляться только при низких энергиях, когда появляется геометрия. Проблема появления геометрического времени такая же, как и проблема появления пространства и геометрии. «Время не существует» – это относится к геометрическому времени. Отбирая у геометрии фундаментальность, мы можем провести различие между геометрическим и фундаментальным временем, которое открывает возможность того, что ЕСЛИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВРЕМЯ – ЭТО СИММЕТРИЯ, ТО ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ВРЕМЯ РЕАЛЬНО.

Проводя различие двух понятий времени, мы можем быть в состоянии заполучить наш торт и съесть его: возникновение геометрического времени из времени фундаментального даже отдаленно не так неразрешимо, как борьба с полностью безвременным миром.

Важно отметить, что отношение между геометрическим и фундаментальным временем нетривиально и что существование  фундаментального времени не обязательно подразумевает преимущественное геометрическое время.

               МЫ НАХОДИМСЯ ВНУТРИ ВСЕЛЕННОЙ

Обычно мы думаем об уравнениях Эйнштейна в стиле: «геометрия говорит материи, куда идти, а материя говорит геометрии, как искривляться». В этом эссе мы предприняли новый шаг: ГЕОМЕТРИЯ – НИЧТО, НО ЛИШЬ КОЛЛЕКТИВНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВОЗНИКАЮЩЕЙ МАТЕРИИ. Это приводит к тому, чтобы по-новому посмотреть на уравнения Эйнштейна...

В квантовых граффити материя становится как геометрией, так и материей. Это конкретная реализация гипотезы [9]: начиная с до-геометрической квантовой системы, извлекать эффективные возбуждения и использовать подобные возбуждения для описания как геометрии метрического поля, так и кривизны и тензора энергии-импульса материи. Такой единый подход результируется в  эти два подхода, не являющиеся независимыми, но соответствующие уравнениям Эйнштейна как тождественные (в низшем порядке).

Если эта предположение верно, то задача для не-геометрической перспективы и состоит в том, чтобы объяснить уравнения Эйнштейна и гравитацию, а не квантование.

               МЫ МОЖЕМ СОХРАНИТЬ ВРЕМЯ ЕСЛИ ВЫБРОСИМ ПРОСТРАНСТВО

В этом эссе я утверждала, что проблема времени – это действительно парадокс, который можно проследить с геометрии пространства-времени и за пределы области её применимости. БЕЗВРЕМЕНЬЕ ОТНОСИТСЯ ТОЛЬКО К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ ВРЕМЕНИ, а не к микроскопическому фундаментальному времени. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ВРЕМЯ СУЩЕСТВУЕТ, зато ПРОСТРАНСТВО, ГЕОМЕТРИЯ и ГРАВИТАЦИЯ НЕ СУЩЕСТВУЮТ.

В ходе дискуссии я осознанно выкинула ряд вопросов, которые имеют важное значение для природы времени, такие, как роль наблюдателей, квантовая механика или стрела времени. Отчасти это произошло потому, что все эти тонкие и разумные утверждения потребуют для своего прояснения больше места, чем то, что доступно здесь. Но настоящая причина в том, что, на мой взгляд, НЕГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИЗИКА имеет важное значение для прогресса в этих фундаментальных вопросах, и все эти вопросы должны быть пересмотрены в негеометрическом контексте.


Примечания переводчика: Выделено большим шрифтом мною (С.Г.).




P.S. Комментарий Ли Смолина:

«Как отключаются эти соединения? Теория квантовых графов предполагает, что создание и поддержание связей в сети требует энергии. Для создания двух– или трехмерной решетки (рис. 13) требуется гораздо меньше энергии, чем для формирования многомерных решеток. Это подразумевает простую картину происходящего на ранней стадии образования Вселенной. Вначале было очень жарко, и было достаточно энергии, чтобы включить большинство соединений. Следовательно, ранняя Вселенная представляла собой мир, в котором все было связано со всем. По мере охлаждения Вселенной соединения начали отключаться, пока не осталось лишь несколько необходимых для формирования трехмерной решетки. Так, возможно, появилось пространство (некоторые мои коллеги охотнее говорят о Большом охлаждении, чем о Большом взрыве). Этот процесс называют ГЕОМЕТРОГЕНЕЗИСОМ (Markopoulou, Fotini Conserved Quantities in Background Independent Theories // arXiv: gr-qc/0703027v1 (2007)).

Геометрогенезис помогает объяснить некоторые загадки начальных условий Вселенной, например, почему микроволновое фоновое излучение во всех направлениях имеет одинаковую температуру и одинаковый спектр флуктуаций. Это происходит потому, что Вселенная изначально была высоковзаимосвязанной системой. Геометрогенезис, таким образом, является альтернативой гипотезе о сильнейшей инфляции в самом начале жизни Вселенной» («Возвращение времени. От античной космогонии к космологии будущего», глава 15, стр. 113-114).


*************************************

Примечания:

1. Abhay Ashtekar, Jerzy Lewandowski, “Introduction to Modern Canonical Quantum General Relativity”,
Class.Quant.Grav.21:R53,2004 , arXiv:gr-qc/0404018.
2. J. Ambjorn, J. Jurkiewicz, R. Loll, “Quantum Gravity, or The Art of Building Spacetime”, in ”Approaches
to Quantum Gravity - toward a new understanding of space, time, and matter”, edited by D.
Oriti, CUP 2009, arXiv:hep-th/0604212.
3. Jan Ambjorn, Bergfinnur Durhuus, Thordur Jonsson, “Quantum Geometry : A Statistical Field Theory
Approach”, CUP 2005.
4. Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou, Simone Severini, “Quantum Graphity: a model of emergent
locality”, Phys.Rev.D77:104029,2008, arXiv:0801.0861.
5. Alioscia Hamma, Fotini Markopoulou, Isabeau Premont-Schwarz, Simone Severini, “Lieb-Robinson
bounds and the speed of light from topological order”, Phys.Rev.Lett., in press, arXiv:0808.2495.
6. Michael A. Levin, Xiao-Gang Wen, “String-net condensation: A physical mechanism for topological
phases”, Phys.Rev. B71 (2005) 045110, arXiv:cond-mat/0404617.
7. Fotini Markopoulou, “New directions in Background Independent Quantum Gravity”, in ”Approaches
to Quantum Gravity - toward a new understanding of space, time, and matter”, edited by D. Oriti, CUP
2009, arXiv:gr-qc/0703097.
8. Fotini Markopoulou, “The internal description of a causal set: What the universe looks like from the
inside”, Commun.Math.Phys. 211 (2000) 559-583, arXiv:gr-qc/9811053.
9. Olaf Dreyer, “Emergent General Relativity”, in ”Approaches to Quantum Gravity - toward a new
understanding of space, time, and matter”, edited by D. Oriti, CUP 2009, arXiv:gr-qc/0604075.