О хитрых задачках

Я с детства любил задачки.  Какие-то из них мне предлагались для решения, какие-то я сам придумывал.  В занятии этом мне способствовали родители, которые в увлечении моем физикой-математикой не усматривали крамолы, в отличие от битья лампочек из рогатки, курения в школьном туалете и слишком раннего ухлестывания за девочками.

Задачки мне нравились с минимальным количеством исходных параметров.  Например, вот такая (я получил ее на вступительном экзамене в университет):  "Дана полусфера радиуса R с горизонтальной диаметральной плоскостью.  К вершины полусферы с нулевой начальной скоростью под действием силы тяжести скатывается материальная точка.  На какой высоте она оторвется от поверхности?"

Видите, в задаче этой параметр дан только один - R.  Ответ - 2/3 R.

***

Или такая: "Дана квадратная двуспальная кровать со стороной А.  По углам кровати сидят в стартовой позиции четыре клопа - первый, второй, третий, четвертый, если считать их по часовой стрелке.  Судья стреляет из пистолета и клопы начитают ползти с одинаковой скоростью V: первый на второго, второй на третьего, третий на четвертого, четвертый на первого.  Через какое время клопы сползутся?"

Когда мне подкинули эту задачку, я уже учился в вузе и осваивал азы матанализа.  Тотчас схватил ручку, вооружился полярными координатами и нарисовал дифур (он получился однородным).  При решении уперся в несобственный интеграл, сходимость которого еще доказать надо было.  Доказал, проинтегрировал.  Это был самый громоздкий и неуклюжий вариант решения.  Спустя какое-то время осенило: бесконечно малое приращение траектории равно бесконечно малому приращению стороны квадрата, следовательно - длина траектории А, а время А/V.

***

И лишь много-много позже, при изучении вариационки, я узнал о т. наз. "линии погони" - ключевого понятия при разработке, к примеру, устройств самонаведения ракет.  И тут же пришла в голову идея еще одной задачки.  "Дан квадратный перекресток двух улиц шириной А.  Даны три точки: милиционер на северо-западном углу перекрестка, гражданин на юго-западном углу и трамвай на остановке на расстоянии B к западу от перекрестка.  (Трамвайная линия идет точно по осевой).  Гражданин трогается с места и идет на восток, где перехода нет.  Увидев нарушение, милиционер свистит и устремляется на гражданина по линии погони со скоростью Vм.  В тот же момент трогается трамвай и едет на восток со скоростью Vт.  С какой скоростью должен идти гражданин, чтобы милиционер попал под трамвай?"

Задачка эта, в отличие от предыдущих, "многофигурная", но благодаря увлекательному сюжету решилась без особого труда.

***

Задачка о математическом маятнике и нематематическом (реальном) дырявом ведре с водой.  "На нерастяжимой нити при отсутствии сопротивления воздуха и прочих мешающих условий в поле силы тяжести болтается ведро с водой, вытекающей через дырку.  Вопрос: как будет меняться период колебаний по мере вытекания воды??"

Задача, в отличие от предыдущей, вообще без параметров. Но предупреждаю: она с заковыкой.  Почти все дают в ответе только половину решения.

***

Ну, есть у меня задачка даже зарифмованная: http://www.proza.ru/2016/05/23/1640 .

***

Ну, интересовали меня еще задачи с некорректной постановкой условий.  Например, такая: "Самолет стартует в точке А и летит 1000 км на восток, затем поворачивает и и летит 1000 км на север, затем поворачивает и летит 1000 км на запад, затем поворачивает и летит 1000 км на юг.  Вопрос: где относительно стартовой точки самолет приземлится????"

Подумайте секунду и обнаружите в этом условии море ляпов и нелогичностей.  Подсказывать не буду, дабы Вы получили удовольствие от собственного анализа.

***

И под конец - о задаче, которую я все пытаюсь-пытаюсь и никак не могу решить.  Почти сдался.  Читатели, подскажите!!!!

Формулируется задача так: "Найти  минимальной площади плоскую фигуру, внутри которой можно повернуть равносторонний треугольник на 360 градусов ".

Ситуация чем-то напоминает таковую с треугольником Рёлло, вращающемся внутри квадрата.  На этом аналогия и кончается.  У нас - не Рёлло (равносторонний треугольник, дополненный дугами из вершин), а нормальный рабоче-крестьянский равносторонний треугольник.  Вращается он не в квадрате, а в чем - сейчас расскажу.  Или предложу сделать собственный эксперимент.

Берем надфиль или шабер треугольного сечения, кусочек бумажечки и начинаем медленно и нежно дырявить ее вращательными движениями инструмента, позволяя его носику гулять как ему вздумается (иначе опыт не удастся - получится круг).  И через какое-то время вдруг замечаем, что дырка-то образуется квадратная.  Ну, не совсем квадратная, а такая-эдакая "подушкообразная": квадрат со слегка вмятыми сторонами и закругленными уголками.

Тривиальное решение задачи - с кругом - не проходит.  При стороне треугольника, равной корню квадратному из трех, площадь круга равна пи (3,14159).  Но внутри квадрата меньшей площади (равной трем) треугольник тоже поворачивается, да еще и с запасом.

Я додумался до варианта вращения, показанного на прикрепленной анимашке - площадь этой криволинейной фигуры = 2,89.  Но это, по всей видимости, еще не самый экономный вариант.

P.S.  Нашел вариант с показателем 2,60 (анимация показана).  Но это, видимо, тоже не предел.

Сводка:

Круг — 100%
Квадрат — 95%
Предыдущий вариант М. Дундилы — 92%
Последний вариант М. Дундилы (показанный на анимации) — 86.6% (sqr(3)/2*100).

***

Ну и на закуску совсем простая задачка.  Вероятность отказа парашюта 1/100.  Какова вероятность уцелеть после ста прыжков?