АДВ

АДВ – арифметика для взрослых.
     Современная физика утонула в мифах. Да, стандартная модель подтверждена. Квантовая электродинамика поражает воображение своей точностью. Но какой ценой? Не ценой аксиоматики. Кучей искусственных приёмов. Подгонкой. Можно ли верить глобальному мифу о Большом взрыве и о возрасте вселенной в13.8 млрд. земных лет. Подчёркиваю: земных лет. Но ведь глобального времени нет. Время локально. Это на Земле КАЖЕТСЯ, возникает иллюзия, связанная с этой системой отсчёта, будто вселенной столько лет. Если трёхмерное пространство расширяется всюду, как поверхность многомерной сферы, легко можно представить, что центр событий вовсе не в нашем трёхмерном пространстве. Это в нашей искривлённой локальности такими кажутся пространство и время. Суперсимметрия была нарушена. Мы оказались внутри какого-то взрыва, где поля Хиггса «подарили» массы элементарным частицам. Мы оказались в осадке. Возможно, мы вообще внутри «чёрной» дыры, только этого не замечаем…
     Эту сказку можно продолжить в разных направлениях. Я очень люблю математику и теоретическую физику. Могу рассчитать по лагранжиану с операторами рождения и уничтожения частиц сечения рассеяния при взаимодействии согласно диаграммам Фейнмана, посчитать произведения Вика и т.п. Даже когда-то обобщил уравнение Дирака на шестнадцатимерный случай. Могу поработать и с бранами, и с амплитудами Венециано. И даже обнаружил странный спектр масс элементарных частиц. Но…Есть это ужасное «но». Нет удовлетворения. Нет, не результатами, не трудами. Нет удовлетворения эстетического.
     Я платоник, я пифагореец. В отличие от Аристотеля понимаю и принимаю изначальное и безусловное существование высшей абстракции – Абсолюта, в котором существуют только математические абстракции и Ничто, абсолютный нуль: операторы порождения действуют на Ничто и порождают нечто, операторы уничтожения действуют на нечто и получают Ничто. От Парменида до Гегеля страдали проблемой существования-несуществования этого Ничто. Но если мы в математике определили это Ничто. Оно стало математическим объектом, оно автоматически превратилось в нечто, поэтому несуществование снялось. Ничто – нормальный абстракт. Ещё необходимо исчисление бесконечно больших. Нужно уметь работать с расходимостями. Нужна новая математика. А начинать надо с арифметики. Арифметика – начало всего. Пифагор, Диофант, Евклид, Ферма, Декарт, Мерсенн, Гаусс, Эйлер, Риман, Лежандр…Лучшие умы посвятили себя арифметическим исследованиям. Многие разделы математики развивались для и из-за задач теории чисел.
    Дискретность. Дискретность как аксиома. Демокрит как физическое воплощение, нарушение гармонии и симметрии Пифагора. Платон бы не простил. Но физика – это описание реальности как всего лишь одной из форм многочисленных иллюзорностей. Поэтому не Демокрит, а Пифагор. Затем Парменид, Платон, Диофант, Евклид…
    А это значит, что мы начинаем с целых положительных чисел. И даже индийское открытие нуля пока нам ненужно. Самое трудное теперь – определить Единицу. Ввести аксиому о существовании Единицы. Вера в существование Единого – единобожие. Всё есть Единица. И это всё содержит Единицу, которая клонируется в мириады единиц, индивидуальностей. Единица – это то, что существует, вместе  с тем ни на что не похоже, что ни с чем не совпадает, что ни с чем не тождественно и даже не конгруэнтно. Но это плохая попытка дефиниции, определения. Она ясна интуитивно, но неправильна, ибо отсылает к другим понятиям, даже более сложным абстракциям таким, как тождественность, похожесть, подобие, практически к двуместным операциям. Можем ли мы применить к Единому какую-либо операцию? Что такое операция? По-моему, Единое применяет к нам операции, а не мы к нему. Словом, трудность за трудностью. Как закрыть глаза на главное свойство, главный определитель Единицы – непохожесть, индивидуальность? Как допустить существование ещё одной Единицы? Это же противоречит определению Единицы! Как признать тождественность, равноправие и неразличимость одной Единицы от другой? Это же переход к другому принципу – к дуальности! Дискретность, тождественность – основание квантовой теории, основание теории множеств. Эти аксиомы уже здесь. Вернее, там. У Парменида и Зенона. Апории, парадоксы. Непрерывность и дискретность. Сначала определим как индивидуальность – затем закроем глаза на различия, на суть индивидуальности, примем существование второй единицы. Тогда можно ввести двуместную операцию объединения двух единиц – сложение и получение новой сущности – Двойки. А можно ввести одноместную операцию расчленения, но она кажется сложной тем, что придётся признать сразу две сущности как одну новую – Двойку, к тому же придётся всё равно ввести двуместную операцию отождествления получаемых сущностей. Ещё можно ввести операции зеркального отражения или клонирования. В любом случае приходится добавлять новые определения и аксиомы. Получить два «автоматом» из единицы никак не удаётся…
     Допустим, что всё же существуют эти единицы как самостоятельные, но уже тождественные в определённом смысле математические объекты. Мы пока не можем сказать и даже спросить, сколько их, ибо не знаем абстракцию числа. Введём операцию сложения двух единиц и получения тем самым двойки (так и аксиоматически определяемой). Но тогда с каждым новым числом  будет добавляться, казалось бы, ещё одна аксиома. Но мы «перехитрим» эту «дурную» бесконечность: введём понятия предыдущего и последующего числа, получаемого из предыдущего сложением с единицей. Эта так называемая «групповая» операция предполагает существование  «неопределённого», бесконечного ряда целых положительных чисел. Добавление аксиомы бесконечности избавляет от необходимости добавления бесконечного числа аксиом. Но за конечность числа аксиом приходится «платить» введением абстракции бесконечности. От бесконечности никуда не деться – её надо принять, определить.  А как? А не есть ли бесконечность некое преобразование единицы? Только что такое преобразование? Мы далеко заходим. Но есть ли конечный пункт? Уже здесь дыхание неполноты аксиоматики арифметики. Гильберт, Гёдель…
На мой взгляд, не существует конечного алгоритма, определяющего ВСЕ простые числа. Последние любят выкидывать сюрпризы. Потому и гипотезу Римана придётся, видимо, отвергнуть...
     Теперь перейдём к двум новым арифметическим операциям: умножению и делению.
Умножение естественным образом получается повторением сложения. Сложение и умножение положительных целых чисел даёт положительные целые числа. В таком случае определяют, что множество (пока чисто интуитивное самоочевидное понятие) положительных целых чисел составляет  ГРУППУ (это понятие окажется очень продуктивным для математики и физики) относительно операций сложения и умножения.
А вот с делением не так: результат деления не всегда оказывается целым положительным числом. И тут надо ввести различающие признаки и новые определения. Давайте не будем делить на что попало! Есть положительные целые числа, которые делятся только сами на себя и единицу. Их называют ПРОСТЫМИ (мне кажется более удачным их английское наименование – праймз – первые; они, действительно, первые, основополагающие, принципиальные для теории чисел). Простые числа классическим историческим образом получаются некоей бесконечной операцией – решетом Эратосфена – путём вычёркивания из ряда целых положительных чисел единицы и всех чисел, делящихся хотя бы на одно простое число (кроме самого этого числа). Способов получения простых чисел много. Но, забегая вперёд, скажу (это одна из моих гипотез о простых числах), что, видимо, нет конечного (в смысле числа операций) алгоритма получения ВСЕХ простых чисел. Казалось бы (так порой казалось и вышеперечисленным  гениям), что вот-вот будет «поймана за хвост жар-птица», как вдруг оказывалось, что «новые» простые числа не подчиняются прежде выведенным закономерностям и преподносят сюрпризы гениям. Видимо, можно установить связь между теоремой Гёделя, гипотезой Римана (вернее, предположением о её неверности) и отсутствием конечного алгоритма получения ВСЕХ простых чисел. Простые числа не составляют группу и относительно операции сложения. Есть ли такая операция, относительно которой множество простых чисел составляет группу? Интуитивно кажется, что можно придумать такую изощрённую операцию, что выражения с простыми числами будут порождать только простые числа. Но попробуйте!
     Конечно, нельзя, говоря о простых числах, обойти классическую задачу о СОВЕРШЕННЫХ числах, суммы делителей (включая единицу, но исключая сами эти числа) которых равны этим числам: 6, 28, 496, 8128, 33 550 336, …Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число { 2^{p-1}(2^{p}-1)} является совершенным, если число {2^{p}-1} является простым (т. н. простые числа Мерсенна). Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
    Но вернёмся к простым числам. Самое старое известное доказательство, что простых чисел бесконечно много было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство в современном изложении: «Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их (получим ПРИМОРИАЛ (или праймориал)), являющийся последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному) и прибавим единицу (получим, как мы определяем, ГРАНЬ для наибольшего простого числа в наборе). Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, это число должно делиться на некоторое простое число, большее, чем не включённое в этот набор, но меньшее или равное этому числу (т.е. грани наибольшего простого числа в наборе, если эта грань простое число). Получаем противоречие».
   Небольшие вычисления: примориал для числа 13 равен 30030, грань равна 30031=509х59, каждое из простых чисел 59, 509 больше, чем 13, но меньше, чем 30031.
   Существует ли конечный алгоритм нахождения простых чисел между наибольшим в примориал и гранью?
   За другими вычислениями и проблемами, связанными с простыми числами, я отсылаю читателя к своим сайтам (https://sites.google.com/site/albertaflitunov ; https://sites.google.com/site/wieucontenantwpu/founder-s-page ).
   За нахождение простых чисел из более, чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр, EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.