Простое число! Как отличить от составного?

  Любое число называется простым, если оно делится только на само себя и на 1. Любые другие числа называются составными, то есть составленными из 2 и более сомножителей, а значит делятся и на другие числа.
Чтобы определить, какое  число является простым, а какое составным, нужно знать свойства чисел - простого и составного. Вот некоторые из них:
    1 свойство. Любое простое число, отличное от 3, представимо  в виде (6n+1) или (6n-1),  то есть в виде (6n+-1).
Данное свойство относится и ко всем составным нечётным  числам, не кратным 3.
    2 свойство. Любое число не является простым (кроме 3), если сумма всех цифр числа делится на 3. Такое число - составное и кратно 3.
Любое число не является простым (кроме 5 и 2), если младший разряд его делится без остатка на 5 или на 2, то есть число оканчивается на 5, либо на чётную цифру, равную 2, 4, 6, 8 или на 0.
    3 свойство. Любое простое число вида (6n+1) при вычитании из него 1 делится на 6, так как принимает вид составного числа 6n.
То есть простое число вида  (6n+1) может быть простым только при младшем разряде n, равном 0,  либо при младшем разряде n, равным 1, 2, 3, но в случае с младшим разрядом числа n, равным 4 или 9,  число вида (6n+1) становится кратным 5 и является составным.
 Любое простое число вида (6n-1) при сложении его с 1 делится на  6. При младшем разряде n, равном 1 или 6, число вида (6n-1) становится кратным 5.
    4 свойство. Любое нечётное число вида (6n+1) или (6n-1) является простым, если не представимо в виде составного числа вида:
 (36ab) +- 6(a +- b)  +- (1) = (6а+-1)(6b+-1),    где а и b  больше нуля,
то есть не представимо в  виде:
36ab - 6(a + b) +1= (6а-1)(6b-1)          (1)
36ab - 6(a - b) - 1= (6а+1)(6b-1)          (2)
36ab +6(a - b) - 1= (6а-1)(6b+1)          (3)
36ab +6(a +b) +1= (6а+1)(6b+1)          (4)
   Все остальные положительные нечётные числа (не кратные 3), являются простыми.
   Пример . В соответствии с указанными выше формулами (1),  (2), (3), (4) при а и b  больше 0 ( а=1, b=1; а=2, b =1, а=3, b=1, …) все нечётные числа, не кратные 3, имеют следующие значения:
для составных нечётных чисел (вычисленные по формулам (1),  (2), (3), (4) )
25,         35,                49,    55,         65,                75,  77,         85,    91, …
для простых чисел (все нечётные числа, не кратные 3, между составными)         
    29, 31,    37, 41, 43, 47,     53,    59, 61,    67, 71, 73,           79, 83,    89,…
  5 свойство.  Любое число не является простым, если его можно представить в виде произведения двух простых чисел (6а+-1)(6b+-1) = 36ab +- 6(a +- b) +- 1. Число такого вида всегда является составным.
  6 свойство. Любое простое число отображается в виде {30k +- 1} или {30k +- 7},  или {30k +- 13}, или  {30k +- 19}.
  Данным свойством обладают и составные числа, не кратные 3 и 5.
  7 свойство. Поскольку в формуле (4) (ав) больше (а+b) (кроме значений  a=b=2, а также  когда один из сомножителей равен 1, то есть когда одно из чисел составного числа равно 7), то любое составное число меньше  42ав и больше  42(а+b), то есть
               42(a +b) < 36ab +6(a +b) +1 < 42ab      
Для формул (1), (2), (3) соответственно иные цифры пределов больше-меньше.
  8 свойство и иные свойства. Иные свойства простых чисел вытекают из формул умножения чисел (одно из которых простое), включающих переносы чисел из младших разрядов в старшие.