Константа Эйлера

Большая советская энциклопедия: «Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я. Бернулли), а в 1720-24 в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. Бернулли.
В кон. 1726 Э. был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 приехал в Петербург. В только что организованной академии Э. нашел благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Э. подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он изучил русский язык.
Э. участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам академического университета, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России, написал общедоступное «Руководство к арифметике» (нем. издание 1738-40, рус. пер. ч.1-2, 1740). По специальному поручению академии Э. подготовил к печати «Морскую науку» (ч.1-2, 1749)- фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения.
В 1741 Э. принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин, где предстояла реорганизация АН. В Берлинской АН Э. занял пост директора класса математики и член правления, а после смерти ее первого президента П.Л. Мопертюи несколько лет (с 1759) фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий.
Живя в Берлине, Э. не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание ее почетного члена. Он вел обширную научную и научно-организационную переписку, в частности переписывался с М.В. Ломоносовым, которого высоко ценил. Э. редактировал математический отдел русского академического научного органа, где опубликовал за это время почти столько же статей, сколько в «Мемуарах» Берлинской АН. Он деятельно участвовал в подготовке русских математиков; в Берлин командировались для занятий под его руководством будущие академики С.К. Котельников, С.Я. Румовский и М. Софронов. Большую помощь Э. оказывал Петербургской АН, приобретая для нее научную литературу и оборудование, ведя переговоры с кандидатами на должности в академии и т.д.
17(28) июля 1766 Э. вместе с семьей вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни продуктивно работал. За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ, среди них несколько больших книг. Э. продолжал участвовать и в организационной работе академии. В 1776 он был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И.П. Кулибиным,и из всей комиссии один оказал широкую поддержку проекту.
Заслуги Э. как крупнейшего ученого и организатора научных исследований получили высокую оценку еще при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академий, он состоял членом крупнейших научных учреждений: Парижской АН, Лондонского королевского общества и других.
Одна из отличительных сторон творчества Э. - его исключительная продуктивность. Только при жизни Э. было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Э. содержит примерно 850 назв.). В 1909 Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Э., которое завершено в 1975; оно состоит из 72 томов. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Э. (около 3000 писем), до сих пор опубликована лишь частично.
Необыкновенно широк был круг занятий Э., охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д. Около 3/5 работ Э. относится к математике, остальные 2/5 преимущественно к ее приложениям. Свои результаты и результаты, полученные другими, Э. систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами. Таковы, например, «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (т.1-2, 1736), «Введение в анализ» (т.1-2, 1748), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теория движения твердого тела» (1765), «Универсальная арифметика» (т.1-2, 1768-69), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках, «Интегральное исчисление» (т.1-3, 1768-70, т.4, 1794) и др. В 18 в., а отчасти и в 19 в. огромную популярность приобрели общедоступные «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе...» (ч.1-3, 1768-74), которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках. Большая часть содержания монографий Э. вошла затем в учебные руководства для высшей и частично средней школы. Невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Э., из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем [см., например, Эйлера метод ломаных, Эйлера подстановки, Эйлера постоянная, Эйлера уравнение, Эйлера уравнения (в гидромеханике), Эйлера формулы, Эйлера функция, Эйлера числа в математике, Эйлера число, Эйлера-Маклорена формула, Эйлера-Фурье формулы, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы].
В «Механике» Э. впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа. В 1-м томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением; во 2-м - движение точки по данной линии или по данной поверхности; большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центр. сил. В 1744 он впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения. В «Теории движения твердого тела» Э. разработал кинематику и динамику твердого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Э. внес ценный вклад в теорию устойчивости. Значительны открытия Э. в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Э. и в т.н. переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.). В оптике Э. дал (1747) формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчета показателя преломления среды. Э. придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн света. Э. предложил способы устранения хроматических аберрации линз и в 3-й части «Диоптрики» дал методы расчета оптических узлов микроскопа. Обширный цикл работ, начатый в 1748, Э. посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближенных методов анализа, спец. функций, дифференциальной геометрии и т.д. Многие математические открытия Э. содержатся именно в этих работах.
Главным делом Э. как математика явилась разработка математического анализа. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечно малых И. Ньютона, Г.В. Лейбница, Я. и И. Бернулли. Так, Э. первый ввел функции комплексного аргумента («Введение в анализ», т.1) и исследовал свойства основных элементарных функций комплексного переменного (показательные, логарифмические и тригонометрические функций); в частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной. Работы Э. в этом направлении положили начало теории функций комплексного переменного.
Э. явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744). После работ Ж. Лагранжа Э. далее развил вариационное исчисление в «Интегральном исчислении» и ряде статей. Метод, с помощью которого Э. в 1744 вывел необходимое условие экстремума функционала - уравнение Эйлера, явился прообразом прямых методов вариационного исчисления 20 в. Э. создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближенные методы и ряд приемов решения уравнений с частными производными. Значит. часть этих результатов Э. собрал в своем «Интегральном исчислении».
Э. обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов). В «Дифференциальном исчислении» Э. высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщенного суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже 19 и 20 вв. Кроме того, Э. получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл т.н. формулу суммирования Эйлера - Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил суммы громадного количества рядов и ввел в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды). Сюда же примыкают исследования Э. по теории непрерывных дробей и других бесконечных процессов.
Э. является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классического разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма-функции. Он исследовал свойства эллиптических интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тета-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.
По замечанию П.Л. Чебышева, Э. положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Э. Так, Э. доказал ряд утверждений, высказанных П. Ферма (см., например, Ферма малая теорема), разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности (см. Квадратичный вычет) и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Э. впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввел дзета-функцию и доказал т.н. тождество Э., связывающее простые числа со всеми натуральными.
Велики заслуги Э. и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высших степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также т.н. тождество Э. о четырех квадратах. Э. значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввел понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развертывающихся поверхностей и т.д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К.Ф. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. Э. занимался и отд. вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках. Э.-математика нередко характеризуют как гениального «вычислителя». Действительно, он был непревзойденным мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для e и p). Однако Э. был не только исключительной силы «вычислителем». Он внес в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.
По выражению П.С. Лапласа, Э. явился учителем математиков 2-й половины 18 в. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П.С. Лаплас, Ж.Л. Лагранж, Г. Монж, А. М. Лежандр, К.Ф. Гаусс, позднее О. Коши, М.В. Остроградский, П. Л. Чебышёв и др. Русские математики высоко ценили творчество Э., а деятели чебышёвской школы видели в Э. своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности». .
Примечание. Казалось бы, после такой энциклопедической справки нечего добавить. Но, на мой взгляд, обязательно стоило упомянуть математическую теорию музыки Эйлера. Надеюсь специально вернуться к этому вопросу. Правда, теперь доступно в интернете прекрасное эйлеровское изложение основ музыки в «Письмах к немецкой принцессе», так что читатель может самостоятельно приобщиться к этому педагогическому шедевру.
Наш герой математик. Он давно живёт в граде Петра, но, как все математики, именует этот любимый и прекрасный, вместе с тем порой серый и страшный, город Эйлербургом, Эйлерградом, поскольку никто, включая великих Петра и Екатерину (хотя именно Екатерина Вторая настоятельно пригласила Эйлера на его второй петербургский период), не сделал столько для интеллектуального прославления этого города, как это сделал один из величайших математиков Леонард Эйлер.
Нашего героя больше всего волновали доказательства иррациональности и даже трансцендентности постоянной Эйлера-Маскерони, равной 0.577..., получаемой при стремлении к бесконечности разности между суммой гармонического ряда (1+1/2+1/3+...) и натуральным логарифмом. Конечно,  он очень сожалел, что современные учебники математики для школ не содержат комплексных чисел, формул Эйлера и Муавра, не вводят операций над расходящимися рядами. Учебники, написанные Эйлером, до сих пор остаются лучшими. Пособия для начётнического дефектного ЕГЭ по математике выглядят крайне дефектно по сравнению с ними.
Но вернёмся к константе Эйлера-Маскерони:
It is not known if this constant is irrational, let alone transcendental (Wells 1986). The famous English mathematician G. H. Hardy is alleged to have offered to give up his Savilian Chair at Oxford to anyone who proved   the gamma to be irrational (Havil 2003), although no written reference for this quote seems to be known. Hilbert mentioned the irrationality of  the gamma as an unsolved problem that seems "unapproachable" and in front of which mathematicians stand helpless (Havil 2003). Conway and Guy (1996) are "prepared to bet that it is transcendental," although they do not expect a proof to be achieved within their lifetimes. If the gamma is a simple fraction, then it is known that its denominator (Brent 1977; Wells 1986), which was subsequently improved by T. Papanikolaou Havil 2003).
Как, вообще, доказываются иррациональность и трансцендентность чисел?
Еще в глубокой древности Пифагор (VI в. до н. э.) обнаружил (обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.)), что одних рациональных чисел мало для описания соотношений между двумя реально существующими величинами одинаковой природы. Так, длина  диагонали квадрата связана с длиной его стороны таким соотношением, что сторона квадрата несоизмерима с его диагональю, откуда следует, что диагональ невыразима  рациональным числом. Это число хоть и не является рациональным, однако удовлетворяет простому алгебраическому квадратному уравнению  и потому принадлежит множеству алгебраических чисел, т. е. не является трансцендентным.
Число «пи» - отношение длины окружности к ее диаметру в связи с задачей о возможности с помощью циркуля и линейки построить квадрат, обладающий той же площадью, что и заданный круг (задача о квадратуре круга), оказалось трансцендентным числом. Если возможно построение при помощи циркуля и линейки, то число «пи» является алгебраическим. Ответ на этот вопрос, заданный еще в глубокой древности, дал лишь в конце прошлого века в 1882 году Ф. Линдеман. Он доказал, что число «пи» не является алгебраическим числом, то есть является трансцендентным, и, следовательно, задача о квадратуре круга неразрешима.
Это замечательное открытие стало возможным благодаря трудам двух великих математиков. Ф. Линдеман использовал формулу Эйлера с комплексным показателем экспоненты и приём, которым пользовался Ш. Эрмит при доказательстве трансцендентности числа е — основания натурального логарифма и «естественной» экспоненты (1873 год). Этим исследованиям Ш. Эрмита и Ф. Линдемана предшествовали работы Ж. Лиувилля (1844 год), в которых он показал, что суммы рядов определенного типа являются трансцендентными числами. Это были первые примеры трансцендентных чисел.
Весьма увлекательно и мастерски просто изложил Феликс Клейн методы и примеры доказательств иррациональности и трансцендентности чисел в своей книге «Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах». Эту книгу стоило бы рекомендовать в качестве учебника по математике для старших классов средней школы, особенно для тех, кто хотел бы выбрать физико-математические и естественнонаучные специальности в высшей школе. К сожалению, школьные учебники математики не доходят до уровня ХVIII века.
Наш герой «нащупал» основные пункты плана доказательства трансцендентности константы Эйлера-Маскерони, следуя идеям Лиувилля, Эрмита, Линдемана, Гильберта, Гурвица, но хотелось построить простое и яркое изложение. И такое изложение было найдено!
Но на любого гения тут же находятся злопыхатели и недоброжелатели, которые делают всё, чтобы воспрепятствовать признанию чужого таланта. Сначала долго не включали доклад в повестку дня учёного совета профильного института. Затем слушание откладывали несколько раз по всяким причинам отсутствия кворума. Наконец слушание состоялось. Но во время заседания после доклада начали задавать вопросы не по теме. А далее стали высказываться совершенно абсурдно в духе басни Крылова «Осёл и соловей». Безграмотный «молодой специалист» и вовсе выразился в духе горбачёвской «перестройки»: мол, не видно роли «человеческого фактора». Впрочем, во всём институте только двое понимали смысл и значение работы талантливого математика. «Агрессивному большинству» гении не нравились, поскольку своими трудами они бросали вызов и мешали спокойно жить. «А как нам жить? Неужто работать за гроши, как Папа Карло?!» - часто повторяли в  «курилке».  Математику пришлось уволиться и жить на пенсию по инвалидности. Желанная свобода творчества стоила этого...