Геометрия симметричного числа 37

Число 37 обладает многими любопытными свойствами. Так, умноженное на 3 и на числа, кратные 3 (до 27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:

37 х 3 = 111;
37 х 6 = 222;
37 х 9 = 333;
37 х 12 = 444;
37 х 15 = 555;
37 х 18 = 666;
37 х 21 = 777;
37 х 24 = 888;
37 х 27 = 999.


Произведение от умножения 37 на сумму его цифр равняется сумме кубов тех же цифр, т. е.:

37 х (3 + 7) = 33 + 73 = 370.

Если в числе 37 взять сумму квадратов его цифр и вычесть из этой суммы произведение тех же цифр, то опять получим 37:

(32 + 72) – 3х7 = 37.



Но едва ли не самым интересным свойством числа 37 является то, что некоторые кратные ему числа при круговой перестановке входящих в них цифр дают опять-таки числа, кратные 37. Например:

259 = 7 х 37
592 = 16 х 37
925 = 25 х 37

То же самое верно относительно чисел 185, 518, 851 и чисел 296, 629, 962. Все эти числа состоят из тех же цифр, только переставляемых в круговом порядке, и все они кратны 37.

Подобным же свойством отличаются и некоторые числа, кратные 41. Так, числа:

17589; 75891; 58917; 89175 и 91758,

как легко проверить, все кратны 41, и каждое получается из предыдущего путем только одной круговой перестановки входящих в число цифр.


Запишем арифметическую прогрессию, первый член и разность которой равны 3.
Вот она: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.
Если каждый член этой прогрессии умножим на 37, то получим: 111, 222, 333, 444, 555, ..., 999.

В этой новой прогрессии можно заметить не только то, что каждый член представляет собой трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр, но и то, что сумма цифр каждого члена равна соответствующему множимому:
1+1+1=3, 2+2+2=6, ..., 9+9+9=27.
Объяснить эту особенность но представляет никакого труда.

*   *   *

Возьмем произвольное трехзначное число (например, 238). Припишем к этому числу его дополнение до 999 (в данном случае 761). В результате получим число, которое обладает той удивительной особенностью, что оно всегда делится на 37, а полученное при этом частное, в спою очередь, делится на 27, и, наконец, второе частное всегда на единицу больше исходного числа.

238
238761 : 37 = 6453
6453 : 27 = 239
239 = 238+1

Этот случай понять уже труднее, но он  объясняется так.
Если взятое нами число мы обозначим через а, то проделанные нами действия можно записать в следующем виде:

а•1000+(999—а) = 999•а+999 = 999(а+1),
но так как 999 = 111•9 = 37•3•9 = 37•27,
следовательно, а•1000+(999—а) = 37•27•(а+1).

*   *   *

Произведение числа 37 на сумму его цифр равно сумме кубов тех же цифр:
37 • (3+7) = 33 + 73;
если же число 37 увеличим на произведение его цифр, то в результате получим сумму квадратов тех же цифр:
37 + 3•7 = 32 + 72.

И, наконец, довольно любопытно произведение числа 37 на обе его цифры: 37 • 3 • 7 = 777.


Однако наиболее интересным свойством числа 37 является то, что некоторые его кратные при поочередной, точнее говоря, при круговой перестановке цифр не теряют своей особенности: они также делятся на 37.
Например:
259 = 37•7    185 = 37•5    296 = 37•8
592 = 37•16    518 = 37•14    629 = 37•17
925 = 37•25    851 = 37•23    962 = 37•26

Подобное же явление, достойное внимания, мы наблюдаем на некоторых числах по отношению к числу 41. Например:
17589 = 41•429
75891 = 41•1851
58917 = 41•1437
89175 = 41•2175
91758 = 41•2238

*   *   *

Число 45 состоит из четырех чисел: 8, 12, 5, 20, другими словами, 45 = 8 + 12 + 5 + 20.
Если с каждым из этих четырех чисел мы проделаем одно из четырех арифметических действии с двойкой, то в результате всегда получим 10:

8+2  = 10
12—2 = 10
5•2  = 10
20:2 = 10

Но не только число 45 разлагается на такие части. Этой особенностью обладает каждое число следующего вида с = а(b + 1)2, где а и b произвольные натуральные числа. Число с легко разложить на четыре следующих слагаемых:
с = c1 + с2 + с3 + с4,
чтобы из них можно было составить четыре равенства:
с1 + b = ab
с2 — b = ab
с3 • b = ab
с4 : b = ab


Число 400, например, даст пять разложений:

27 + 9 = 36
45 — 9 = 36
4  • 9 = 36
324: 9  =36
400       

60 + 4 = 64
68 — 4 = 64
16 • 4 = 64
256: 4 = 64
400

72 + 3 = 75
78 — 3 = 75
25 - 3 = 75
225: 3 = 75
400

0 + 19 = 19   
38— 19 = 19   
1 • 19 = 19   
361:19 = 19   
400

99 + 1 = 100
101— 1 = 100
100• 1 = 100
100: 1 = 100
400

*   *   *

Вернемся к числу 45. Оно является суммой девяти следующих цифр: 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9.

Никто не станет возражать, что из суммы нескольких чисел можно вычесть сумму нескольких чисел, лишь бы вторая сумма не была больше первой суммы. За уменьшаемое примем сумму девяти цифр, записанных в обратном порядке, а за вычитаемое — сумму тех же цифр в натуральном ряде:
9+8+7+6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+7+8+9
8+6+4+1+9+7+5+3+2

Вычитание производим обычным путем, начиная справа: 9 от 1 отнять нельзя, следовательно, мы «занимаем» 1 У соседней цифры слева; теперь мы имеем 11—9=2. Вместо 2 осталась 1, но 8 отнять от 1 невозможно — значит, нужно «занять» 1 у соседней цифры слева, получаем 11 — 8 = 3. Таким образом мы производим вычитание до конца, в результате снова получаем сумму девяти цифр, которые на этот раз расположены в произвольном порядке. Эта сумма тоже равна 45, то   есть   суммы   цифр уменьшаемого, вычитаемого и разности равны; итак, мы имеем парадоксальное вычитание: 45 — 45 = 45.
Однако шутки в сторону. Перед нами вычитание, выполненное по всем правилам:

_ 987654321
_123456789
864197532

Оно отличается только тем, что в уменьшаемом и вычитаемом выступают упорядоченные ряды цифр, а в разности выступают те же самые цифры, только расставленные не по принципу «возрастания».

Раз мы уже говорим об этом числе, девять цифр которого расположены в порядке возрастающей последовательности, то отметим в скобках, что это число обладает еще той особенностью, что если его умножать на 1, 2, 4, 5, 7 или 8, то есть на каждую из цифр, не делящихся на 3, то оно в произведении даст число, в котором ни одна из цифр не повторяется. Вот, например, пять произведений:
2 • 123456789 = 246913578
4 • 123456789 = 493827156
5 • 123456789 = 617283945
7 • 123456789 = 864197523
8 • 123456789 = 987654312
Значит, сумма цифр каждого из этих произведений тоже равна 45.

http://mathworld.ru/o-chislah-37-i-41/#more-1738