Геометрия числа 11

Число 11, особое число, его уникальность в том, что оно позволяет выйти из замкнутого круга, перевести четное, в нечетное, оно позволяет осуществить движение по спирали.
http://www.proza.ru/2017/04/17/1075
Так же, оно резонирует с 1 и 9 и обладает определенной "индивидуальностью", в отличие от всех остальных составных чисел.
Эту особенность открыл марокканец Ибп-аль-Банна и опубликовал в книге «Аналитический сборник задач на счисление».
Он заметил, что, для того чтобы- получить произвольную степень числа 11, вовсе не обязательно выполнять утомительные умножения 11 • 11 • 11... (n сомножителей). Это получить можно более легким  путем, построив такую цифровую пирамиду:

111 = 11     1+1=2
112 = 121    1+2+1 = 4 = 22
113 = 1331   1+3+3+1 = 8 = 23
114 = 14641   1+4+6+4+1 = 16 = 24


На последнем месте всегда стоит единица, десятки каждой последующей степени равны десяткам предыдущей степени плюс единицы, сотни равны сотням предыдущей степени плюс десятки, и т. д.

 

Такие же любопытные цифровые результаты дает умножение следующих совокупностей единиц:

11 • 111       = 1221
111 • 11111    = 1233321
1111 • 1111111 = 123444321
...

Еще более интересные пирамиды цифр можно образовать из квадратов чисел, составленных только из единиц:

12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
11111s = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
1111111112 = 12345678987654321


Если обе части этого равенства умножить на

1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1, то есть на 9•9,

то получим

999 999 999 • 999 999 999 = 12 345 678 987 654 321 • (1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1).

Числа,   полученные   в  качестве   квадратов   «единиц», тоже обнаруживают любопытные свойства:
1+2+1                = 4 = 22
1+2+3+2+1            = 9 = З2
1+2+3+4+3+2+1        = 16 = 42
1+2+3+4+5+4+3+2+1    = 25 = 52
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36 = 62

Если бы кто-нибудь захотел облегчить себе — впрочем, и так очень легкое — деление на 11, то может воспользоваться сокращенным способом деления, который очень напоминает сокращенный способ деления на 9.

Например, необходимо разделить 345 785 на 11. Под последней цифрой делимого мы вписываем нуль и начинаем производить вычитание таким образом: разность 5 вписываем перед нулем под десятками и вычитаем ее из 8, разность 3 вписываем под сотнями,вычитаем ее из 7, и т.д.:


3 4 5 7 8 5
3 1 4 3 5 0
3 1 4 3 5

Результат этого вычитания и является искомым частным.

Возьмем какое-нибудь произвольное число, по меньшей мере четырехзначное. Пусть, например, это будет число 43 357. Под числом 43 357 запишем это же самое число таким образом, чтобы первая цифра записываемого числа стояла под четвертой цифрой верхнего числа; затем записанные таким образом числа сложим:

4 3 3 5 7
4 3 3 5 7
4 3 4 0 0 3 5 7

Если   теперь   полученную   сумму   станем   поочередно делить на 7, 11 и 13, то снова получим исходное число:
43400357 : 7  =  6200051
6200051  : 11 = 563641
563641   : 13 = 43357

Это объясняется тем, что произведение этих трех чисел равно 7 • 11 • 13 — 1001. В самом деле, мы складывали дваа числа, которые можно записать следующим образом:
43 357 • 1000 + 43 357 = 43 357 - (1000 +1) = 43357 • 1001,
а так как 1001 : 7 = 143, 143 : 11 = 13 и 13 : 13 = 1,
значит, после выполнения трех делений останется 43 357.

Если мы возьмем трехзначное число, то тогда вышеприведенное сложение превратится в приписывание; например:

3 4 5
3 4 5
3 4 5 3 4 5
И снова имеем: [(345345 : 7) : 11] : 13 = 43357. Здесь происходит как бы соединение 11 с 7 и 13 посредством общего им числа 1001.


Уже и раньше можно было заметить очень большую близость между 11 и 9. Здесь же мы обратим внимание на еще одну их родственную связь.
Обсуждая удивительные свойства девятки, мы указывали на любопытное явление, заключавшееся в том, что если из трехзначного числа вычесть это же число, записанное в обратном порядке, то разность всегда будет кратным числа 9. А теперь еще добавим, что одновременно она является кратным числа 11; например:

932 — 239 = 693 = 9•7•11
845 — 548 = 297 = 9•3•11

Как же это объяснить? А вот как.
Предположим, что какое-либо трехзначное число (первая и последняя цифры которого не должны быть одинаковыми) состоит из а сотен, b десятков и с единиц. Это число можно записать в следующем виде: 100а + 10b + с. Записанное в обратном порядке, оно примет следующий вид:
100с + 10b + а. Вычтя одно число из другого и разделив результат на 9, получим:

100a + 10b + c — (100с + 10b + а)/9 = 99(c-a)/9 = 11(a-c)

Следовательно, если кто-нибудь назовет какое-либо трехзначное число, то, умножив разность его крайних цифр на 11, можно моментально определить частное, получаемое при делении на 9 разности данного числа и этого жо числа, записанного в обратном порядке.
Сколько людей может удивить такая мгновенная математическая операция и... математический талант будущего-соперника Инауди!