Лобачевский смелее Гаусса

Февраль 1855 года,    Гёттинген.  В зените славы  скончался величайший математик Карл Фридрих Гаусс.  А ровно через год в Казани тихо и незаметно умер Николай Иванович Лобачевский.  Непризнанный и даже осмеянный коллегами.
Сорок лет преподававший в Университете,  по существу создавший его, ректор в течение двадцати лет, смещенный на внешне почетную, но бесплатную и пустую должность помощника попечителя.  Переживший семейные трагедии, ослепший, но неизменно приходящий на экзамены.

Какой злой бывает ирония судьбы… Быть может, всего нескольких недель или даже дней не хватило, чтобы Лобачевский узнал о высочайшей оценке своих достижений Гауссом…  А если бы тот не был научным трусом, то это бы случилось полтора десятилетия назад.  И кто знает, какие высоты покорил бы еще Н.И., вдохновленный признанием другого гения… Да и просто знать хоть одного человека, который тебя понимает – как это необходимо в науке…

После смерти Гаусса стали разбирать его архив, нашли  восторженные заметки о геометрии Лобачевского и кинулись искать таинственного незнакомца. ( Н.И. опубликовал когда-то свои результаты  и на немецком). 

И тут выяснилось почти невероятное.   Гаусс пришел, несколько иным путем,  к части результатов раньше Лобачевского, но побоялся их публиковать – ставить под угрозу свою репутацию (в чем признавался в частных письмах).  Более того, прочтя Н.И., он представил его к избранию в местную академию как выдающегося математика и даже, похоже, сообщил тому об избрании. Но ни словом не обмолвился о причине избрания, т.е. новой геометрии.

Вообще, история создании геометрии Лобачевского так же таинственна, как она сама…  Чуть позже Лобачевского некоторые близкие результаты получил венгр Бояи; ему удалось  частным письмом связаться с Гауссом и получить его тайное одобрение.  Однако впоследствии он помутился рассудком; возможно, узнав о приоритете Лобачевского.

Еще пораньше в том же направлении начал двигаться Тауринус под воздействием своего дяди, назвавшего новую геометрию «звездной».   Его  тоже тайно одобрил Гаусс, тем не менее свою брошюру он вскоре сжег. О его дальнейшей судьбе неизвестно.

И только Лобачевский мужественно нес в одиночку и в безвестности свой крест, продвинувшись значительно дальше всех своих  незнакомых предшественников.  Но работы хватило еще не на одно поколение математиков. Вскоре  Бельтрами нашел связь геометрии Лобачевского с геометрией на кривой поверхности (вроде телевышки Останкина).  Несколько математиков, в том числе великий Анри Пуанкаре,  доказали: сколько бы еще теорем не будет доказано в этой геометрии, противоречий не возникнет.

Более того, изменился сам подход к геометрии (а может, и к математике в целом), здесь основную роль сыграл Давид Гильберт.  Если раньше что-то считалось очевидным из рисунка, что-то доказывали, то теперь перешли к аксиоматическому подходу: максимально четко формулируются правила игры, а затем, не думая об «очевидности и наглядности», выводят следствия из них. Сейчас их мог бы получить компьютер, в принципе.


Собственно, такие правила (они же аксиомы) начал вводить  еще Архимед.  Большинство из них просты:  от всякой точки до другой можно провести прямую;  из всякого центра и всяким раствором циркуля можно описать круг итд.  (Позже выяснилось, что кое-что в них излишне, а кое-чего не хватает).

Печально знаменитая пятая его аксиома звучит посложнее: через каждую точку вне прямой можно провести не более
одной прямой, НЕ пересекающей данную.  Каждый знает из школы, как построить такую прямую (там ее называют параллельной, но дальше лучше забыть об этом). 

Не одно столетие казалось, что эту аксиому можно вывести как теорему - следствие из других аксиом, более простых.   Но при попытках всегда раньше или позже обнаруживались ошибки.  Лобачевский  выбрал свой способ доказательства: от противного. Допустим, что Пятая неверна, то есть

? Можно построить более чем одну прямую, не пересекающуюся с данной и проходящую через ту же точку, вне данной прямой ?

Применяя ?...? и остальные аксиомы, начнем стандартным образом доказывать теоремы «воображаемой», как говорил Н.И., геометрии.  Наверно, сейчас могли бы поручить  это компьютеру. Если ?...? неверна, когда-нибудь придем к противоречию. Тем самым мы бы увидели справедливость Пятой Архимеда. 

Однако по мере продвижения противоречий не появлялось, хотя новая геометрия была совершенно непривычной.  Например, прямых, непересекающихся с данной, оказывалось бесконечно много, а сумма углов треугольника уменьшалась по мере роста его сторон… Кто знает – может, Н.И. и сам был не рад, что зашел в такие дебри. Но научная честность заставила ректора Лобачевского выступить устно и письменно с изложением своих результатов, необратимо подставив себя и свою репутацию под насмешки и критику.

Заметим –не утверждается, что мир за окном обязан следовать этим странностям. Вообще, соответствие математических понятий и реальности – отдельный глубокий вопрос.  Ну вот хотя бы – где и как  увидеть прямую на (приблизительно) сферической поверхности Земли?

Какую-то заколдованность этой истории может проверить каждый, спросив знакомых о геометрии Лобачевского.  Если хоть что-то слышали, скорее всего ответят: открыл, что параллельные пересекаются. Такая же нелепость (ведь по самому смыслу параллельные – те, что не пересекаются)  звучит нередко и в СМИ.  Пожалуй, только  одно бытующее утверждение может соперничать с этим: «Эйнштейн открыл, что всё на свете относительно».  Между тем  в релятивистской теории как раз существуют инварианты – величины, одинаковые для всех наблюдателей, будь они на ракете или на Земле. Впрочем, и открыл их не Эйнштейн, а тот же Пуанкаре.