Записки о Теореме Ферма. 2. Логический путь

Логический путь к доказательству

Сегодня, когда доказательство Великой теоремы самим Пьером Ферма восстановлено практически до последнего знака, можно попытаться восстановить и логический путь к доказательству.

Не считая арифметики счисления с простым основанием n>2 (ниже все числа будут использоваться только в такой системе счисления), первым трамплином в теоремах Ферма был, с полной очевидностью, бином Ньютона, который он открыл на полвека раньше Ньютона. Из бинома родились две очень простых, но важных теоремы: малая теорема [«В системе счисления с простым основанием n число, не кратное n, в (n-1)-й степени оканчивается на цифру 1»] и теорема-близнец: «В равенстве A^n+B^n=(A+B)R, где A+B не кратно n, число R оканчивается на цифру 1». (Занявшись Великой теоремой Ферма на пустом месте – лишь на базе математики для инженеров, я довольно быстро переоткрыл эти две теоремы, что послужило мне указанием на то, что я нахожусь на правильном пути.)

Следующим вполне логичным шагом была теорема о последних цифрах простых сомножителей числа R: все они тоже были равны 1. Правда, для доказательства этого факта должно было пройти некоторое время, чтобы оперировать необходимой в доказательстве малой теоремой Ферма с легкостью. К тому же для доказательства нужно использовать еще и теорию линейных диофантовых уравнениий...
 
А параллельно с этими тремя теоремами развивалась другая интересная линия, тоже вытекающая из бинома Ньютона: предпоследняя цифра в числе A^n никак не зависит от предпоследней цифры самого основания A! То есть последняя цифра числа А одназначно и полностью определяет двузначное окончание степени A^n! А из этого легко получить, что последняя цифра числа А одназначно определяет и трехзначное окончание следующей степени – A^(nn)! И так далее. Это значит, что если степени A^n, A^(nn) и т.д. возвести также в степень n-1, то они будут оканчиваться на 01, 001, и т.д.

Правда, я по этой дороге дальше (на уровне чисел) не пошел, а залез на дерево и стал исследовать степени с показателями вида n2^k+1, на что потратил немало безнадежных усилий. (Эта идея была опубликована в 1991 году в газете «Наука Урала».) Потом пошли другие логики (о которых расскажу как-нибудь в другой раз), которые отняли у меня еще лет двадцать...
 
А Пьер Ферма не возился ни с цифрами, ни с сомножителями и, в отличие от меня, видимо, сразу понял, как запустить «мельницу» (подобную в игре в преферанс): исходя только из двузначных окончаний чисел A, B, C, получить их трехзначные окончания. А у меня ушло на это лет десять. Интересно, что я много раз держал в руках ключевое равенство a^(nn)+b^(nn)=c^(nn) по трехзначным окончаниям (где a, b, c – цифры), но в разложенном виде – c^(nn)=(a^n+b^n)r – оно вызывало во мне ощущение бесполезности. И только 5 мая сего года до меня дошло, что: если каждый простой сомножитель числа r оканчивается на 01 и каждый из них входит в число r в n-й степени (ибо полное число R является, как известно, n-й степенью), то произведение n равных сомножителей с одним основанием оканчивается на 001!

И... ВСЁ! Точка! Дальше на полстраницы идет простая школьная игра – иллюстрация факта, что числа А, В, С имеют окончания a^(n^k), b^(n^k), c^(n^k) со сколь-угодно большим значением k и, следовательно, они образовать равенство Ферма не могут!..

А вот теперь открываются врата в куда более фантастическую фантасмогорию: социопсихологические законы, по которым общество будет реагировать на мое ЭЛЕМЕНТАРНОЕ доказательство ВТФ. Бедные академики и интересная реакция несведущих! Так что не пропустите самое яркое цирковое представление, участниками которого будут все, в том числе и вы.